Vivian Libeth Uzuriaga López (Colombia, 1970). Doctora

Vivian Libeth Uzuriaga López (Colombia, 1970). Doctora en Ciencias Pedagógicas del Instituto Pedagógico Latinoamericano y Caribeño, IPLAC, de la República de Cuba. Magíster en Matemáticas de la Universidad del Valle. Especialista en Matemáticas Aplicadas con énfasis en Matemática Computacional y Licenciada en Educación con especialidad en Matemáticas de la Universidad del Cauca. Profesora titular del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Pereira.

Autora de los libros: Lecciones de álgebra lineal. Libro de trabajo para estudiantes y guía didáctica del docente (2010). Introducción a la Programación Orientada a Objetos y el lenguaje Java (2004). Programando con Java -un recorrido rápido- (2000). Ha publicado artículos en revistas especializadas nacionales e internacionales.

Pertenece al grupo de investigación Estudios metodológicos para la enseñanza de la matemática incorporando las tecnologías de la información y las comunicaciones, EMEMATIC.

[email protected]

Alejandro Martínez Acosta (Bolívar, Cauca, Colombia, 1963). Licenciado en Educación con especialidad Matemática de la Universidad del Cauca. Candidato a Magíster en Enseñanza de las Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira. Profesor asociado del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Básicas de la Universidad Tecnológica de Pereira

Autor de los libros: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Una Introducción (2012). Temas de Cálculo Diferencial en Varias Variables (2010). Temas de Cálculo Integral en Varias Variables (2010). Lecciones de Álgebra Lineal. Libro de trabajo para Estudiantes y Guía didáctica del Docente (2010) entre otros. Ha publicado artículos en revistas especializadas nacionales e internacionales.

Pertenece al grupo de investigación Estudios Metodológicos para la Enseñanza de las Matemáticas y el uso de las nuevas Tecnologías (EMEMATIC).

[email protected]

Álgebra Linealdesde un enfoque desarrollador

Vivian Libeth Uzuriaga LópezAlejandro Martínez Acosta

Colección Textos AcadémicosFacultad de Ciencias Básicas

Año 2015

© Vivian Libeth Uzuriaga López, 2015© Alejandro Martínez Acosta, 2015Universidad Tecnológica de PereiraPrimera ediciónPereira, Colombia Texto Académico

Universidad Tecnológica de Pereira Vicerrectoría de Investigaciones, Innovación y Extensión Editorial Universidad Tecnológica de Pereira

Coordinador editorial:Luis Miguel Vargas [email protected] 321 2221 Ext. 381Edificio 1 Bloque ACra 27 Nº 10 - 02 -Álamos Pereira - Risaralda - Colombia www.utp.edu.co

Montaje y producción: Recursos Informáticos y EducativosDiseño Gráfico, Gestión y Promoción de Marca e Identidad UTPUniversidad Tecnológica de Pereira

Impresión y acabados: Publiprint SAS

Reservados todos los derechos

Uzuriaga López, Vivian Libeth Algebra lineal desde un Enfoque desarrollador / Vivian Libeth Uzuriaga López;

Alejandro Martínez Acosta. – Pereira : Universidad Tecnológica de Pereira, 2014.

243 p.: il ISBN 978-958-722-209-8

1. Algebra lineal 2. Ecuaciones lineales 3. Vectores 4. Transformaciones matemáticas 5. Matrices (Matemáticas) 6. Espacios vectoriales.

CDD512.5 Ed.23

Contenido

PRESENTACION 9

1. CAPITULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 15

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Coordenadas cartesianas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3. La lınea recta en el plano (R2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Sistemas 2× 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5. Sistemas m× n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6. Metodos de eliminacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.7. Sistemas de ecuaciones lineales homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.9. Autoevaluacion Capıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2. CAPITULO 2. VECTORES, RECTAS Y PLANOS 53

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2. Coordenadas y vectores en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.1. Coordenadas en el plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.2. Vectores en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2.3. Longitud y direccion de un vector de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2.4. Operaciones fundamentales con vectores en R2 . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.2.5. Producto punto o producto escalar en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.3. Vectores en R3 y en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.3.1. Coordenadas cartesianas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.3.2. Coordenadas cartesianas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.3.3. Longitud y direccion de un vector en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.3.4. Operaciones basicas con vectores en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.3.5. Producto escalar o producto punto en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.3.6. Producto vectorial en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.3.7. Aplicaciones del producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.3.8. Rectas y planos en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.3.9. Ecuacion vectorial y ecuaciones parametricas de un plano . . . . . . . . . 114

2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118


3. CAPITULO 3. MATRICES 127

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.2. Definiciones y terminologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.3. Operaciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.4. Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140


4. CAPITULO 4. DETERMINANTES 145

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.2. Definiciones y notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.4. Determinantes e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158


5. CAPITULO 5. ESPACIOS VECTORIALES 163

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.2. Definicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.3. Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.4. Combinacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.5. Bases y dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.6. Espacios fundamentales de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.7. Coordenadas y cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.8. Espacios con producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.9. Proyecciones y bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198


6. CAPITULO 6. TRANSFORMACIONES LINEALES 207

6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

6.2. Definicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.3. Nucleo e imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

6.4. Representacion matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6.5. El espacio vectorial de las transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6.5.1. Operaciones con transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219


7. CAPITULO 7. VALORES Y VECTORES PROPIOS 227

7.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

7.2. Definiciones y terminologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7.3. Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.4. Diagonalizacion ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.5. Formas cuadraticas y secciones conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239


BIBLIOGRAFIA 243

Presentacion

9

Desde la antiguedad, la matematica ha sido uno de los fundamentos teoricos para el desa-

rrollo cientıfico y tecnologico de la humanidad, posibilitando la modelacion y solucion de diferen-

tes y numerosos problemas y aplicaciones en la vida real y cotidiana. Ha brindado la posibilidad

de construir modelos matematicos de objetos reales ya sea de la ciencia, la tecnologıa, la inge-

nierıa o de la tecnica.

Los cursos universitarios de matematicas que apoyan la formacion basica en los programas

de pregrado y posgrado tienen, entre otros, el proposito de contribuir al desarrollo del pensamien-

to logico y sentar las bases para el aprendizaje de otros conocimientos, tanto en matematicas

como en otras disciplinas.

El algebra lineal es una de las areas de la matematica, que de manera significativa, con-

tribuye al desarrollo del pensamiento logico de los estudiantes, permitiendoles avanzar de lo

concreto a lo abstracto mediante la evolucion de actividades mentales generales, tales como: ra-

zonar, pensar, analizar, representar, sintetizar, generalizar, particularizar, comparar y clasificar.

Su aporte en la solucion de diferentes aplicaciones y problemas de fısica, ingenierıa, tecnologıa,

quımica, ciencias naturales, sociales y de la salud, biomedica, procesamiento y reconocimien-

to de imagenes, entre otras, la ha convertido en herramienta fundamental para un ingeniero o

cientıfico.

Ademas, ha jugado un papel significativo en los avances tecnologicos y ha llegado a ser es-

tudiada y usada desde lo numerico, implicando la utilizacion de herramientas computacionales

y algunos topicos de la matematica clasica y moderna, como el algebra abstracta y el anali-

sis funcional. Igualmente, es un fundamento teorico en la consolidacion de conceptos en otras

areas de la matematica: geometrıa analıtica y vectorial, calculo en varias variables, ecuaciones

diferenciales, etc., con las cuales guarda una estrecha relacion.

Teniendo en cuenta la importancia del algebra lineal dentro de las diferentes disciplinas

del saber y su aporte en la formacion de los estudiantes, es necesario tener un texto que per-

mita acceder de manera rapida, didactica y sistematizada a su contenido, para aumentar las

posibilidades de aprender tanto en clase como fuera de ella, siendo este una fuente permanente

de informacion y consulta que potenciara el trabajo autonomo de los alumnos.

El uso de textos de estudio ha sido objeto de diferentes investigaciones sobre polıticas

educacionales. Por ejemplo, investigaciones realizadas en la Universidad de Harvard mostraron

Algebra lineal desde un enfoque desarrollador

que los alumnos que utilizaron textos guıas se desempenaron significativamente mejor en las

pruebas de rendimiento al final del periodo escolar.

Lo anterior es una de las razones que motivo la elaboracion y diseno del texto que hoy

se presenta: “Algebra lineal desde un enfoque desarrolllador”, resultado del proyecto

de investigacion “Estudios metodologicos para contribuir a mejorar el proceso de ensenanza-

aprendizaje del algebra lineal, incorporando las nuevas tecnologıas de la informacion y las co-

municaciones”, desarrollado por el grupo “Estudios Metodologicos para la Ensenanza de

la Matematica y el uso de las Nuevas Tecnologıas (EMEMATIC)”, con el proposito

de ser el libro guıa para los estudiantes de un primer curso de algebra lineal en las carreas de

ingenierıa, tecnologıa, economıa, quımica, licenciatura en matematicas y ciencias afines.

El contenido teorico es el clasico, la diferencia radica en la forma sistemica como se pre-

sentan, desarrollan y relacionan los temas, los cuales se muestran de manera progresiva y entre-

lazada, permitiendo al estudiante avanzar en el conocimiento e integrarlo para hacer de el un

todo; posibilitandole la solucion exitosa de muchos problemas en el desarrollo de su carrera y,

posteriormente, en su actividad profesional.

Para la organizacion del contenido se tuvo en cuenta el concepto de combinacion lineal

como celula generadora de muchos otros, el cual se introduce desde el segundo capıtulo.

La metodologıa, fundamentada teoricamente en el aprendizaje desarrollador, se concreta en

la forma como esta escrito y presentado el contenido y es otro de los aspectos que lo hace diferente

de textos similares. Ademas, se han tenido en cuenta las experiencias positivas obtenidas con el

libro Lecciones de algebra lineal, libro de trabajo para estudiantes y guia didactica del docente

(2010), de los mismos autores, y que ha sido usado desde el 2010 por alumnos de la Universidad

Tecnologica de Pereira.

Aunque el algebra lineal se fundamenta esencialmente en la teorıa de los espacios vectoria-

les, las transformaciones lineales y los valores y vectores propios, el texto inicia con sistemas de

ecuaciones lineales porque permite al estudiante continuar con el desarrollo de sus conocimientos

y establecer continuidad a partir de lo visto y aprendido en los cursos previos. Ademas, propor-

ciona las herramientas algebraicas necesarias para el desarrollo numerico de otros conceptos.

Desde el segundo capıtulo se introduce el concepto de espacio vectorial a partir de ejemplos

y, posteriormente, en el capıtulo cinco, se da la fundamentacion rigurosa de ese concepto, uno

de los mas abstractos del curso.

El contenido esta distribuido en siete capıtulos para ser desarrollado completamente en un

semestre academico de 16 semanas con una intensidad de cuatro horas semanales; la mayorıa de

ellos se inicia con una situacion problema y en el desarrollo de cada uno, se presentan diferentes

aplicaciones que contextualizan la teorıa desarrollada.

Capıtulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales. Se inicia con el estudio de la lınea recta

con el fin de relacionar los conceptos vistos en un curso de calculo diferencial y proporcionar

al alumno las herramientas necesarias para el desarrollo de los capıtulos posteriores. Se incluye

el uso de una version preliminar del software ALTIC, el cual se encuentra en desarrollo por el

10

Vivian L. Uzuriaga L. – Alejandro Martınez A.

grupo de investigacion.

Capıtulo 2. Vectores, rectas, planos. Comienza con el estudio de los vectores en

R2, desde el punto de vista geometrico y analıtico. Se definen las operaciones basicas: suma

y multiplicacion por un escalar y sus propiedades, las cuales llevan a la definicion de espacio

vectorial. Ası mismo, se introduce el concepto central de combinacion lineal como celula

generadora y a partir de este, se definen dependencia e independencia lineal, espacio generado

y conjunto generador. Esta parte del libro continua con los vectores en R3 y Rn, siguiendo la

misma organizacion de R2. Se estudia el producto escalar y vectorial y se finaliza con la lınea

recta y el plano en R3.

Capıtulo 3. Matrices. Se introduce el concepto de matriz, ejemplificandolo con datos

numericos y con aplicaciones que requieren de estas para su modelado. Se continua con las ope-

raciones basicas de suma y multiplicacion por un escalar y sus propiedades, las cuales permiten

definir el conjunto de matrices como un espacio vectorial. Se define combinacion lineal y los

conceptos que se deriven tales como: dependencia e independencia lineal y espacio generado.,

para concluir con los conceptos de transpuesta, producto e inversa de matrices, al igual que sus

propiedades.

Capıtulo 4. Determinantes. Aquı se aborda la definicion de determinante mediante

cofactores, se ilustran sus propiedades que seran usadas en el capıtulo 7 y se culmina con

ejercicios que permiten relacionarlas con las de matrices.

Capıtulo 5. Espacios vectoriales. Se generaliza el concepto de espacio vectorial estu-

diado en los capıtulos dos y tres, se analiza su estructura, propiedades, leyes y regularidades.

Capıtulo 6. Transformaciones lineales. Corresponde este capıtulo al estudio de una

clase especial de funciones, las transformaciones lineales que aparecen con frecuencia en algebra

lineal, en otras ramas de las matematicas y que tienen gran variedad de aplicaciones. Se estudian

sus propiedades y se finaliza con su representacion matricial.

Capıtulo 7. Valores y vectores propios. El capıtulo final se dedica al estudio de

los valores y vectores propios de una matriz cuadrada. Se continua con la diagonalizacion, en

particular, de matrices simetricas y se termina con aplicaciones a las secciones conicas.

En esta edicion del libro, el software ALTIC solo se ha implementado en el primer capıtulo.

Se espera que en una futura edicion se pueda realizar la implementacion de una version mejorada

de dicho software para cada uno de los capıtulos.

11

CAPITULO UNO

Sistemas de ecuaciones lineales

15

1.1. Introduccion

Los sistemas de ecuaciones lineales ya eran tratados en la antiguedad. Los babilonios es-

tudiaron problemas que involucraban ecuaciones lineales simultaneas y algunos de estos se con-

servan en tabletas de arcilla que han permanecido en el tiempo. Una tableta que data alrededor

de 300 anos AC contiene el siguiente problema:

“Hay dos terrenos cuya area total es de 1800 metros cuadrados. Uno produce granos en una

proporcion de 2/3 de una medida por yarda cuadrada mientras el otro produce granos en una

proporcion de 1/2 de una medida por metro cuadrado. Si la produccion total es 1100 medidas,

¿cual es el tamano de cada terreno?”

Mucho antes, los Chinos, entre los anos 200 AC y 100 AC, plantearon un problema que

involucra sistemas de ecuaciones lineales en el texto “Nueve Capıtulos de Arte Matematico”,

escrito durante la Dinastıa Han, el cual es similar al ejemplo anterior dado en Babilonia:

“Hay tres tipos de cereal, de los cuales un fardo del primero, dos del segundo y tres del

tercero hacen 26 medidas. Dos del primero, tres del segundo y uno del tercero hacen 34 medidas.

Y tres del primero, dos del segundo y uno del tercero hacen 26 medidas. ¿Cuantas medidas de

cereal son contenidas en un fardo de cada tipo?”

Lo mas sorprendente de este estudio es que el autor utiliza un tablero contador en el que

coloca los coeficientes y da ademas, instrucciones para resolverlo, lo que hoy en dıa constituye

el metodo de eliminacion gaussiana. Extractado de [14].

1 2 3

2 3 2

3 1 1

26 34 39

Una gran variedad de problemas que surgen en diferentes areas del conocimiento como

ingenierıas, ciencias exactas, naturales y sociales, ciencias medicas, entre otras, se reducen a


resolver un sistema de ecuaciones lineales. El interes en la solucion de dichos sistemas es muy

antiguo, como lo referencia el problema del ganado de Arquımedes. Ver [7] p. 1.

Ademas de la teorıa que aportan los sistemas de ecuaciones lineales, estos se convierten

en herramientas y bases fundamentales para el desarrollo de los temas de un curso de Algebra

Lineal. Por tal razon, este libro se inicia con el estudio de la lınea recta con el fin de fortalecer

y reforzar los conceptos previos que tiene el estudiante desde su bachillerato y la matematica

universitaria previa al curso, y a la vez, ofrecerle un ambiente conocido y comprensible.

Se analizan problemas en cuyo modelado intervienen varias rectas con el fin de realizar

un acercamiento a los sistemas de ecuaciones lineales de una manera natural y contextualizada.

Posteriormente, se estudian diferentes metodos que permiten la solucion de sistemas de ecua-

ciones lineales para, finalmente proponer situaciones que permiten contextualizar el tema en

diferentes areas.

1.2. Coordenadas cartesianas en el plano

Se denominan coordenadas cartesianas en honor a Rene Descartes (1596-1650), el celebre

filosofo y matematico frances que quiso fundamentar su pensamiento filosofico en la necesidad

de tomar un punto de partida sobre el cual edificar todo el conocimiento. Como creador de la

geometrıa analıtica, tambien comienza tomando un punto de partida: el sistema de referencia

cartesiano.

Con el fin de representar la geometrıa plana, se toman como referencia dos rectas perpen-

diculares entre sı (a las cuales se les ha asignado previamente las direcciones positivas) que se

cortan en un punto llamado origen, ideando ası las denominadas coordenadas cartesianas.

Las direcciones positivas de los ejes estan indicadas por la flecha. Sea P un punto arbitrario

del plano. Por el punto P se trazan paralelas a los ejes coordenados x y y, denominando Px y Py

a los puntos donde dichas paralelas se encuentran con los ejes x y y respectivamente, tal como

se ilustra en la Figura 1.1(a).

x

y

b

b b

x1

y1

P (x1 , y1)Py(0, y1)

Px(x1 , 0)

(a) Sistema rectangular

(0, 0)b

x

y

I

x > 0

y > 0II

x < 0

y > 0

III

x < 0

y < 0IV

x > 0

y < 0

(b) Cuadrantes

Figura 1.1 Sistema de coordenadas cartesianas rectangulares

16


Las coordenadas cartesianas de P son los numeros x1 y y1 dados por:

x1 =

|OPx| si Px esta a la derecha de O

−|OPx| si Px esta a la izquierda de O

y1 =

|OPy| si Py esta encima de O

−|OPy| si Px esta debajo de O

donde |OPx| y |OPy| denotan la medida de los segmentos OPx y OPy respectivamente a partir

del segmento unidad. Se denota P (x1 , y1). Los ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadas

cuadrantes, numerados como se muestra en la Figura 1.1(b).

Ası, los puntos situados en el primer cuadrante tienen coordenadas positivas; los puntos

situados en el segundo cuadrante tienen abscisa negativa y ordenada positiva; los puntos en el

tercer cuadrante tienen coordenadas negativas y los puntos del cuarto cuadrante tienen abscisa

positiva y ordenada negativa. Los puntos en el eje x tienen coordenadas de la forma (x1 , 0) y

para los puntos del eje y sus coordenadas son de la forma (0, y1). Las coordenadas del origen

son (0, 0).

1.3. La lınea recta en el plano (R2)

Para determinar la ecuacion de la recta se debe conocer uno de los datos contemplados a

continuacion:

• Dos puntos diferentes. Sean P (x0 , y0) y Q(x1 , y1) dos puntos distintos del plano.

b

b

b

P (x0, y

0)

Q(x1, y

1)

R(x, y)

O x

y

Figura 1.2 Recta por dos puntos

Si x0 6= x1 , la ecuacion de la recta que los contiene, en su forma punto–pendiente es

y − y0 = m(x− x0) o y − y1 = m(x− x1), donde m =y1 − y0

x1 − x0

.

Si x0 = x1 y y0 6= y1 , la ecuacion de la recta es x = x0 .

17


• Un punto y la pendiente. Si la pendiente es m y el punto es P (x0 , y0), la ecuacion es

y − y0 = m(x− x0).

• La pendiente y el intersecto con el eje y. Si la pendiente es m y el intersecto con el

eje y es el punto P (0, k), la ecuacion es y = mx+ k. Figura 1.3(a).

• La derivada de una funcion y = f(x) en un punto dado. Si f ′(x0) es la derivada

de y = f(x) en el punto P (x0 , f(x0)), Figura 1.3(b), la ecuacion de la recta tangente a la

grafica de y = f(x) en el punto P es

y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0).

b P (0, k)

O x

y

(a) Pendiente-intersecto

b P (x0, f(x

0))

O

y = f(x)

x

y

(b) Recta tangente

Figura 1.3 Pendiente-intersecto y recta tangente

En general, la ecuacion de una recta se puede escribir en la forma

ax+ by = c, (1.1)

donde a, b, c ∈ R, con a y b no simultaneamente nulos. La expresion (1.1) se conoce como

ecuacion lineal en las variables x y y.

Ejemplo 1.1. Sea la ecuacion lineal 3x+ 2y = 8.

• La lınea recta tiene pendiente m = −32, pues al escribirla en la forma y = mx + k, se

obtiene y = −32x+ 4.

• Los intersectos con los ejes coordenados son (83, 0) y (0, 4).

• Su grafica es

18


1

2

3

4

5

−1

1 2 3 4 5−1−2 x

y

3x+ 2y = 8

• Los puntos (−2, 7), (1, 52), (2, 1) satisfacen la ecuacion de la recta porque al sustituir sus

coordenadas en la ecuacion, resulta una identidad. Los puntos (1, 5), (0, 0) no la satisfacen.

¿Que relacion se puede establecer con la grafica de la recta y los puntos que no satisfacen

la ecuacion?

Ejemplo 1.2. Encuentre los valores de a y c, si existen, de modo que las rectas de ecuaciones

x+ 2y = 4 y ax+ 3y = c no se corten.

Solucion. Dos rectas en el plano no se cortan si son paralelas no coincidentes. Es decir,

tienen sus pendientes iguales e intersectos con el eje y diferentes. Al escribir cada ecuacion en

la forma y = mx+ k, se tiene:

L1 : y = −12x+ 2, L2 : y = −a

3x+ c

3.

La recta L1 tiene pendiente m1 = −12y ordenada al origen k1 = 2. La recta L2 tiene

pendiente m2 = −a3y ordenadas al origen k2 = c

3. Como L1 y L2 son paralelas y no se cortan,

entonces m1 = −12= −a

3= m2 y k1 = 2 6= c

3= k2 . De ahı, a = 3

2y c 6= 6. La figura ilustra dos

rectas que no se cortan.

1

2

3

−1

1 2 3 4 5−1−2−3−4 x

y

y = − 12x+ 2

y = − 12x+ 5

4

19


El software ALTIC

En la Figura 1.4 se muestra la ventana principal del software ALTIC usado como uno de

los recursos didacticos para el curso, el cual permite comprobar, explorar y concluir sobre varios

temas del mismo. En el texto, solo se muestra su uso en el Capıtulo 1.

Figura 1.4 Ventana principal de ALTIC

Ejemplo 1.3. En un juego de video se observa un aeroplano que vuela de izquierda a derecha

a lo largo de la trayectoria y = 1 + 1x, x > 0 y dispara proyectiles en direccion tangente a la

trayectoria, a blancos que estan ubicados a lo largo del eje x en las posiciones x = 1, 2, 3, 4, 5,

Figura 1.5. Determine si los proyectiles daran en algun blanco si el avion los dispara cuando

esta en los puntos P (1, 2) y Q(32, 53). Ejercicio 63, p. 150 de [9].

1 2 3 4 5

1

2

3

60

f(x) = 1 + 1x, x > 0

Figura 1.5 Pantalla del juego

Solucion usando ALTIC. La Figura 1.6 muestra una simulacion del ejemplo dado,

usando el software ALTIC.

20


Figura 1.6 Simulacion en ALTIC

Ahora surge una pregunta natural. ¿Que teorıa matematica se debe saber para solucionar

el problema? La respuesta es tambien natural y sencilla, se debe recordar como se halla la

ecuacion de la recta tangente a la curva y = 1 + 1xen los puntos P y Q respectivamente.

Figura 1.7 Disparando desde P

La Figura 1.7 muestra la situacion que se presenta al disparar desde el punto P . la ventana

que aparece en esta figura, ALTIC la genera cuando se hace clic sobre el boton Disparo en P y

pedir ayuda para comprobar que en efecto se impacto en el blanco ubicado en x = 3.

21


Como se observa, al disparar desde P se impacta en el blanco localizado en x = 3. Las

preguntas que aparecen en la ventana ayudan a verificarlo.

• El valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P (1, 2) es m = −1.Para verificarlo, se necesita el concepto de derivada.

• La ecuacion de la recta a la curva en el punto P (1, 2) es y = −x + 3, esta ecuacion se

obtiene de la siguiente manera: La ecuacion de una recta en su forma punto pendiente es

y − y0 = m(x− x0).

Al reemplazar las coordenadas de P y m se obtiene

y − 1 = −1(x− 2).

Al hacer los calculos correspondientes, se tiene la ecuacion de la recta tangente

y = −x+ 3.

• El proyectil da en el blanco cuando y = 0, porque los blancos estan ubicados sobre el eje

x, es decir en el punto ubicado en x = 3.

¿Que sucede si se dispara desde Q? La siguiente figura ilustra la respuesta.

Figura 1.8 Disparando desde Q

Como se observa en la Figura 1.8, no se impacta blanco al disparar desde Q, pues el punto

alcanzado es x = 214= 5.25. Para comprobarlo, basta con responder cada una de las preguntas

que aparecen en la ventana.

22


El ejemplo anterior exhibe una situacion que lleva a retomar el concepto de derivada

estudiado en los cursos previos, ası como su interpretacion geometrica. Con esta aplicacion se

pretende que el alumno inicie contextualizaciones de conceptos de algebra lineal, ası como su

relacion con otras areas del conocimiento.

Al retomar el estudio de la ecuacion de la lınea recta ax+ by = c, esta se puede ver como

una funcion lineal escribiendola en la manera

y = −a

bx+

c

b, b 6= 0.

La forma funcional es

y = f(x) = a0 + a1x,

donde a1 = −aby a0 =

ca.

La funcion queda completamente determinada por los valores de las constantes a1 y a0 no

simultaneamente nulas.

Para b = 0, no se obtiene una funcion de la forma y = f(x), ¿por que?

Ejemplo 1.4. Halle la funcion lineal de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (4, 3).

Solucion. Sea y = f(x) = a0 + a1x la funcion a determinar. Para ello se deben conocer

los valores de a0 y a1 . Como la grafica de la funcion debe pasar por los puntos dados, ellos

satisfacen la ecuacion y = f(x), es decir,

Punto (x1 , y1) = (1, 1). f(1) = 1 : a0 + a1 · 1 = 1

a0 + a1 = 1 (1.2)

Punto (x2 , y2) = (4, 3). f(4) = 3 : a0 + a1 · 4 = 3

a0 + 4a1 = 3 (1.3)

Las expresiones (1.2) y (1.3) son ecuaciones lineales en las variables a0 y a1 , resultando el

siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas.

a0 + a1 = 1

a0 + 4a1 = 3.(1.4)

Su solucion es a0 =13

y a1 =23. Ası, f(x) = 1

3+ 2

3x.

Plantear el problema desde el punto de vista funcional permite llegar al analisis de dos

ecuaciones lineales simultaneamente, como aparece en 1.4.

Geometricamente, la solucion se obtiene al graficar cada una de las rectas en un mismo

plano. El punto donde se cortan es el que satisface las dos ecuaciones y se denomina solucion

del sistema.

Al conjunto de las dos ecuaciones (1.4) se le denomina sistema de dos ecuaciones

lineales con dos incognitas, o simplemente sistema 2× 2.

23


ALTIC tiene una opcion para trabajar con sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas.

La siguiente ventana ilustra la solucion del ejemplo (1.4).

Figura 1.9 Solucion grafica del sistema (1.4) con ALTIC

La Figura 1.10 muestra una ventana de ALTIC con la grafica de la funcion lineal buscada.

Figura 1.10 Grafica de la funcion f(x) = 13+ 2

3x

El software permite introducir los valores de los puntos por donde se desea que pase

la grafica de la funcion lineal, ası como las opciones para obtener el sistema y la grafica de las

ecuaciones que lo conforman, en los botones Graficar Sistema y Graficar f(x) , respectivamente.

24


Cuando se hace clic en el boton Graficar f(x) se despliega una ventana en la que se muestra la

funcion y su grafica, como se ve en la Figura 1.10.

Abscisas distintas, ordenadas iguales. Al digitar, por ejemplo P1(4, 3) y P2(1, 3), se

obtiene un sistema con solucion unica como en el ejemplo 1.4.

Figura 1.11 Grafica de las ecuaciones

Figura 1.12 Grafica de la funcion

Abscisas iguales, ordenadas distintas. El sistema no tiene solucion debido a que las

rectas son paralelas no coincidentes, tal como sucede en el ejemplo 1.2.

25


Figura 1.13 Graficas de las ecuaciones

¿Que se puede decir de la funcion buscada? En la siguiente ventana se ilustra esta situacion.

Figura 1.14 Recta vertical

La grafica indica que con los puntos dados no es posible determinar una funcion de y en terminos

de x.

Puntos iguales. Hay una sola recta, esto indica que el conjunto solucion es infinito, pues

existen infinitos puntos que satisfacen el sistema.

26


Figura 1.15 Grafica de las ecuaciones

¿Que relacion existe entre esta situacion y la funcion a determinar?

Figura 1.16 Un punto

Y como es de esperarse, con la informacion dada no se puede encontrar la recta, de hecho,

¿por un punto cuantas rectas pasan?

27


1.4. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incognitas

Definicion 1.1 (Sistema 2× 2). Un sistema de dos ecuaciones lineales en las variables x y y o

sistema 2× 2, es un conjunto de ecuaciones de la forma

a11x+ a12y = b1

a21x+ a22y = b2(1.5)

donde a11 , a12 , a21 , a22 son numeros reales no simultaneamente nulos denominados coeficientes

del sistema y b1 , b2 ∈ R, llamados los terminos independientes.

Notacion. En aij, i representa la i–esima ecuacion, j, la j−esima variable.

Definicion 1.2. Una solucion del sistema (1.5) es una pareja ordenada

(

s1

s2

)

de numeros reales,

que al ser sustituidos en cada una de las ecuaciones (1.5), se obtiene un enunciado verdadero.

Cuando se tiene un sistema 2 × 2 y se grafican las rectas en un mismo plano, siempre

sucede uno y solo uno de los casos siguientes:

b

x

y

a21x+ a

22y = b

2

a11x+ a

12y = b

1

(a) Solucion unica

x

y

a21x+ a

22y = b

2

a11x+ a

12y = b

1

(b) Infinitas soluciones

x

y

a21x+ a

22y = b

2

a11x+ a

12y = b

1

(c) Ninguna solucion

Figura 1.17 Sistemas 2× 2

A partir de lo anterior se concluye:

• Si las rectas se cortan en un solo punto, analıticamente significa que hay un unico punto

cuyas coordenadas satisfacen las dos ecuaciones. En este caso se dice que el sistema tiene

solucion unica. Figura 1.17(a).

• Cuando las rectas se cortan en infinitos puntos, analıticamente hay infinitos puntos

cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones, en cuyo caso se dice que el sistema tiene

infinitas soluciones. Figura 1.17(b).

• Si las rectas no se cortan, es decir, las rectas son paralelas, analıticamente el sistema no

tiene solucion. Figura 1.17(c).

Definicion 1.3. Cuando un sistema tiene solucion unica o infinitas soluciones se dice que es

consistente o compatible. En otro caso, el sistema es inconsistente o incompatible. Los

28


sistemas compatibles son determinados cuando tienen solucion unica e indeterminados cuando

tienen infinitas soluciones.

Ejemplo 1.5. Determine el conjunto solucion de cada uno de los sistemas de ecuaciones si-

guientes

a)x+ 2y = 3

2x+ 3y = 7b)

x− 3y = 5

−2x+ 6y = −10c)−2x+ 5y = 8

2x− 5y = 7

Solucion. Mediante eliminacion para el caso a) se tiene

x+ 2y = 3 Ec.1

2x+ 3y = 7 Ec.2

Multiplicando Ec.1 por −2y sumando Ec.2

−2x− 4y = −62x+ 3y = 7

− y = 1

De ahı, y = −1. Al sustituir en Ec.1 y despejar se obtiene x = 5. Los demas se dejan para

que los verifique el lector. Ası, los conjuntos de puntos donde se intersecan cada uno de los pares

de rectas son.

a)

(

5−1

)

b)

(

xy

)

| x− 3y = 5

=

(

5 + 3yy

)

| y ∈ R

c)

Con ALTIC se verifica para el primer caso:

Ejemplo 1.6. Encuentre los valores de a y c, si existen, de modo que las rectas de ecuaciones

x+ 2y = 4 y ax+ 3y = c se corten en infinitos puntos.

Solucion. Mediante eliminacion se tiene:

x+ 2y = 4

ax+ 3y = cEc2← Ec2− aEc1

x+ 2y = 4

(3− 2a)y = c− 4a

29


Para que el sistema tenga infinitas soluciones:

3− 2a = 0 y c− 4a = 0,

de donde, a = 32y c = 6.

Ejemplo 1.7. Una companıa va a comprar y almacenar dos tipos de artıculos A y B. El precio

por unidad de un artıculo A es $3 y de un artıculo B es $2.5. Cada artıculo A ocupa dos pies

cuadrados del espacio del piso y cada artıculo B ocupa un pie cuadrado. ¿Cuantas unidades de

cada artıculo pueden adquirirse y almacenarse si se dispone de $400 y 240 pies cuadrados de

espacio?

Solucion. La informacion se resume en la siguiente tabla:

Artıculo A Artıculo B Recursos

Valor en pesos 3 2.5 400

Espacio ocupado en pie3 3 1 240

Al definir las variables:

x = No. de artıculos A, y = No. de artıculos B,

se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales:

3x+ 2.5y = 400

2x+ y = 240

Al resolver el sistema se obtiene x = 100 y y = 40. Es decir, se pueden adquirir 100

artıculos del tipo A y 40 del tipo B.

ALTIC ofrece la ventana como opcion para resolver el sistema:

Ejemplo 1.8 (La adivinanza del granjero). Un granjero posee una coleccion de gallinas y de

conejos. Estos animales tienen en total 50 cabezas y 140 patas. ¿Cuantas gallinas y cuantos

conejos tiene el granjero?

30


Solucion. Sean

x = No. de gallinas,

y = No. de conejos.

Entonces se tiene el sistema de ecuaciones lineales:

x+ y = 50 (Numero total de cabezas)

2x+ 4y = 140 (Numero total de patas)

La solucion es x = 30, y = 20. Es decir, hay 30 gallinas y 20 conejos.

1.5. Sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas

Definicion 1.4. Una ecuacion lineal en las variables x1 , x2 , . . . , xn es una expresion de la forma

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b, (1.6)

donde a1 , a2 , . . . , an ∈ R no son simultaneamente nulos, se denominan coeficientes y b ∈ R es el

termino independiente.

Definicion 1.5. Una solucion de la ecuacion (1.6) es una n−tupla ordenada

s1

s2

...sn

de numeros

reales, que al ser sustituidos en la ecuacion, se obtiene un enunciado verdadero.

Ejemplo 1.9. La ecuacion −3x1 + 8x2 − 72x3 = 8 es una ecuacion lineal en las variables x1 , x2

y x3 .

Algunas soluciones de la ecuacion son:

−8/300

,

373−3

,

−7/611

.

ALTIC ofrece la opcion Ecuacion en 3 variables que permite explorar con otras ecuaciones y

puntos para saber si son o no solucion de la ecuacion.

31


Figura 1.18 Ejemplo 1.9

En el ejemplo que sigue se emplean las dos definiciones anteriores con las cuales se llega

al concepto de sistema de ecuaciones lineales con n variables.

Ejemplo 1.10. Encuentre una funcion polinomial de grado 3 que pase por los puntos

P1(−1, 2), P2(1, 3), P3(2, 2) y P4(4, 5).

Solucion. La funcion es de la forma: f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 y queda determinada

cuando se conocen los valores de los coeficientes a0 , a1 , a2 y a3 . Como cada uno de los puntos

satisface la funcion, se tiene

Punto P1 . f(−1) = 2 : a0 − a1 + a2 − a3 = 2

Punto P2 . f(1) = 3 : a0 + a1 + a2 + a3 = 3

Punto P3 . f(2) = 2 : a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = 2

Punto P4 . f(4) = 5 : a0 + 4a1 + 16a2 + 64a3 = 5

Las ecuaciones se pueden escribir juntas, ası:

a0 − a1 + a2 − a3 = 2

a0 + a1 + a2 + a3 = 3

a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = 2

a0 + 4a1 + 16a2 + 64a3 = 5

Como se puede observar en el ejemplo 1.10, resulto un conjunto de cuatro ecuaciones

lineales cada una con cuatro incognitas. A este conjunto se le denomina sistema de cuatro

ecuaciones lineales con cuatro incognitas. La solucion se puede comprobar con ALTIC.

32


Figura 1.19 Ejemplo 1.10

Definicion 1.6. Un sistema de m ecuaciones lineales en las n variables x1 , x2 , . . . , xn (sistema

m× n) es de la forma

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

.... . .

......

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

(1.7)

donde los coeficientes aij ∈ R no son simultaneamente nulos y bi ∈ R son los terminos inde-

pendientes. Si todos los bi son cero, se denomina sistema homogeneo. El subındice i indica la

i−esima ecuacion, mientras que el subındice j se refiere a la j−esima variable. Ası, la i−esima

ecuacion es:

ai1x1 + ai2x2 + · · ·+ ainxn = bi

Definicion 1.7 (Matriz asociada de un sistema). El arreglo

a11 a12 . . . a1n | b1a21 a22 . . . a2n | b2...

.... . .

... | ...

am1 am2 . . . amn | bm

recibe el nombre de matriz asociada o aumentada del sistema (1.7).

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

, b =

b1...

bm

y x =

x1

...

xn

son: la matriz de coeficientes, el

vector de terminos independientes y el vector de variables, respectivamente. En forma abreviada

se puede escribir Ax = b.

33


Notacion y observaciones

1. En el tamano de la matriz A, m es el numero de filas y n es el numero de columnas.

2. Las matrices se denotan con letras mayusculas: A, B, P , etc. Para abreviar se escribe

A = (aij)m×n, donde aij representa el elemento que esta en la i–esima fila con j–esima

columna.

3. Si m = n se dice que A es una matriz cuadrada de orden n.

4. Las componentes de la diagonal principal de A son a11 , a22 , . . . , akk; en donde k =

mın m,n.5. Las componentes de la fila i−esima de A son ai1, ai2, . . . , ain y forman un vector fila de

tamano n. Es decir, Ai = fi = (ai1, ai2, . . . , ain).

Ejemplo 1.11. Para cada sistema, escriba la matriz de coeficientes, el vector de terminos

independientes y el vector de variables.

a)

x− 2y + 3z = 11

4x+ y − z = 4

2x− y + 3z = 10

b)

x+ 2y − 3z + 2w = 3

−2x− 5y + 5z − w = −8x − 2z + 5w = 5

c)

x+ y = 7

4x− y = 3

3x− 2y = 5

Solucion. Para cada sistema se tiene:

a) A =

1 −2 3

4 1 −12 −1 3

de tamano 3× 3, x =

x

y

z

y b =

11

4

10

b) A =

1 2 −3 2

−2 −5 5 −11 0 −2 5


x

y

z

w

y b =

3

−58

c) A =

1 1

4 −13 −2


(x

y

)

y b =

7

3

5

Definicion 1.8. Una matriz A, m× n esta en forma escalonada reducida por filas (ferf)

si cumple las siguientes condiciones (definicion dada en [3]).

1. Todos las filas que constan solo de ceros, si las hay, estan en las ultimas filas de la matriz.

2. Al leer de izquierda a derecha, la primera entrada distinta de cero en cada fila no nula es

1, y se le denomina pivote.

3. Si fi y fi+1 son dos filas sucesivas que no constan completamente de ceros, entonces la

entrada principal (o pivote) de la fila fi+1 esta a la derecha del pivote de la fila fi.

34


4. Si una columna contiene un pivote de alguna fila, entonces el resto de las componentes de

esa columna son iguales a cero.

Si solo se cumplen las condiciones 1 a 3, se dice que A esta en forma escalonada por filas

(fef).

Ejemplo 1.12. Matrices dadas en forma escalonada reducida por filas:

a)

1 0 2

0 1 0

0 0 0

b)

1 0 0 −20 1 0 −10 0 1 2

c)

(1 −2 0 1

0 0 1 2

)

Ejemplo 1.13. Las siguientes matrices se hallan en forma escalonada por filas:

a)

1 2 2

0 1 0

0 0 0

b)

1 0 3 −20 1 0 −10 0 1 2

c)

(1 −2 3 4

0 0 1 2

)

Operaciones elementales con filas

Las operaciones elementales de fila de una matriz son:

1. cfi, c ∈ R, c 6= 0: multiplicar una fila por una constante no nula.

2. fj + cfi, c ∈ R, c 6= 0: sumar a una fila un multiplo de otra.

3. fi ↔ fj o fij: intercambiar las filas i y j para i 6= j.

Ejemplo 1.14. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x− 2y + 3z = 11

4x+ y − z = 4

2x− y + 3z = 10

Solucion. Hay varios metodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales, el mas

usado es eliminacion. La tabla siguiente muestra un paralelo entre la solucion del sistema con

las ecuaciones y la solucion usando la matriz asociada:

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES MATRIZ ASOCIADA AL SISTEMA

x− 2y + 3z = 11 Ec 1

4x+ y − z = 4 Ec 2 (1)

2x− y + 3z = 10 Ec 3

1 −2 3 | 11

4 1 −1 | 4

2 −1 3 | 10

(1a)

35


SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES MATRIZ ASOCIADA AL SISTEMA

Operacion en las ecuaciones 2 y 3, con base en la ecuacion

1, para volver cero el coeficiente de x en ambas ecuaciones

Operacion en las filas 2 y 3, tomando como base la

fila 1, para volver cero las componentes a21 y a31

Ec 2′ ←− Ec 2− 4Ec 1 f2 ←− f2 − 4f1

−4x+ 8y − 12z = −444x+ y − z = 4

9y − 13z = −40 Ec 2′

1 −2 3 | 11

0 9 −13 | −402 −1 3 | 10

Ec 3′ ←− Ec 3− 2Ec 1 f3 ←− f3 − 2f1

−2x+ 4y − 6z = −222x− y + 3z = 10

3y − 3z = −12 Ec 3′

1 −2 3 | 11

0 9 −13 | −400 3 − 3 | −12

El sistema resultante equivalente es

x− 2y + 3z = 11 Ec 1

9y − 13z = −40 Ec 2′

3y − 3z = −12 Ec 3′

Operacion en Ec.3, tomando como base Ec.2, renombrada

como Ec. 2′, para volver cero el coeficiente de y en dicha

ecuacion

Operacion en la fila 3, tomando como base la fila 2

de la nueva matriz, para volver cero la posicion a32

Ec 3′′ ←− 3Ec 3′

9y − 9z = −36 Ec 3′′′f3 ←− 3f3

1 −2 3 | 11

0 9 −13 | −400 9 − 9 | −36

Ec 3′′′ ←− Ec 3′′ − Ec 2′ f3 ←− f3 − f2

9y − 13z = −409y − 9z = −36

4z = 4 Ec 3′′′

1 −2 3 | 11

0 9 −13 | −400 0 4 | 4

Sistema equivalente Matriz equivalente

x− 2y + 3z = 11

9y − 13z = −40 (2)

4z = 4

1 −2 3 | 11

0 9 −13 | −400 0 4 | 4

(2a)

Determinando la solucion: despejando en la ultima ecua-

cion la variable z y haciendo sustitucion hacia atras:

Hallando la solucion: de la ultima fila se encuentra

el valor de z y se hace sustitucion hacia atras:

4z = 4,⇒ z = 1

9y − 13(1) = −40,⇒ y = −3x− 2(−3) + 3(1) = 11,⇒ x = 2

4z = 4,⇒ z = 1

9y − 13(1) = −40,⇒ y = −3x− 2(−3) + 3(1) = 11,⇒ x = 2

Es decir, x = 2, y = −3 y z = 1. Es decir, x = 2, y = −3 y z = 1

En notacion conjuntista:

2

−31

Tambien:

2

−31

36


Los sistemas de ecuaciones lineales (1) y (2) son equivalentes porque tienen la misma

solucion y las matrices asociadas (1a) y (2a) son equivalentes por filas, puesto que la matriz (2a)

se obtiene de (1a) aplicando un numero finito de operaciones de fila.

Nuevamente con ALTIC se puede comprobar la solucion del sistema anterior, como se

muestra en la siguiente figura.

1.6. Metodos de eliminacion para resolver sistemas de

ecuaciones lineales

1. Eliminacion

Paso 1. Formar la matriz aumentada del sistema:(A | b

).

Paso 2. Aplicar operaciones de fila para llevar la matriz A a una forma escalonada U :(A | b

)7→(U | b′

), donde los pivotes no necesariamente son 1.

Paso 3. Decidir si el sistema tiene solucion o no. El sistema no tendra solucion si U tiene al

menos una fila de ceros y el correspondiente termino independiente b′i es distinto de

cero. Si el sistema tiene solucion se utiliza sustitucion hacia atras para hallarla.

2. Eliminacion gaussiana


).

Paso 2. Aplicar operaciones de fila hasta llevar la matriz A a su forma escalonada por filas

F :(A | b

)7→(F | b′

).

Paso 3. Decidir si el sistema tiene solucion o no. El sistema no tendra solucion si la forma

escalonada de A tiene al menos una fila de ceros y el correspondiente termino in-

dependiente b′i es distinto de cero. Si el sistema tiene solucion se utiliza sustitucion

hacia atras para encontrarla.

Las variables que corresponden a los pivotes se llaman variables principales o pivotales,

las demas son parametros.

37


Ejemplo 1.15. Resolver los sistemas mediante eliminacion gaussiana.

a)

x+ 2y − 3z + 2w = 3

−2x− 5y + 5z − w = −8x − 2z + 5w = 5

b)

x+ y = 7

4x− y = 3

3x− 2y = 5

Solucion. Escribiendo la matriz asociada de cada sistema y efectuando las operaciones

a)

1 2 −3 2 | 3

−2 −5 5 −1 | −51 0 −2 5 | 8

f2 ← f2 + 2f1

f3 ← f3 − f1

1 2 −3 2 | 3

0 −1 −1 3 | 1

0 −2 1 3 | 5

f3 ← f3 − 3f2

1 2 −3 2 | 3

0 −1 −1 3 | 1

0 0 3 −3 | 3

f2 ← −f2

f3 ← 13f3

1 2 −3 2 | 3

0 1 1 −3 | −10 0 1 −1 | 1

El sistema equivalente es

x+ 2y − 3z + 2w = 3 (Ec.1)

y + z − 3w = −1 (Ec.2)

z + w = 1 (Ec.3)

Ahora se determina la solucion del sistema con sustitucion hacia atras. De (Ec.3) se tiene que

z = 1−w, con w ∈ R. Al sustituir este valor de z en (Ec.2) y despejar se tiene que y = −2+4w.

Finalmente, al reemplazar los valores de y y z en (Ec.1) y despejar se obtiene x = 2− 3w. Ası,

el sistema tiene infinitas soluciones, que en notacion de conjuntos se puede escribir como

2− 3w

−2 + 4w

1− w

w

| w ∈ R

=

2

−21

0

+ w

−34

−11

| w ∈ R

.

b)

1 1 | 7

4 −1 | 3

3 −2 | 5

f2 ← f2 − 4f1

f3 ← f3 − 3f1

1 1 | 7

0 −5 | −250 −5 | −16

f3 ← f3 − f2

1 1 | 7

0 −5 | −250 0 | 9

.

De la ultima fila de la matriz resultante se obtiene la ecuacion 0y = 9, un enunciado falso. Por

lo tanto, el sistema dado no tiene solucion.

38


3. Eliminacion de Gauss–Jordan


).

Paso 2. Aplicar operaciones de fila hasta llevar la matriz A a su forma escalonada reducida

por filas E:(A | b

)7→(E | b′

).

Paso 3. Decidir si el sistema tiene solucion o no. El sistema no tiene solucion si la forma

escalonada reducida de A tiene al menos una fila de ceros y el correspondiente

termino independiente b′i es distinto de cero. Si el sistema tiene solucion, se determina

directamente de la matriz aumentada.

Ejemplo 1.16. Resuelva mediante eliminacion de Gauss–Jordan

x− 2y + 3z = 1

4x+ y + 2z = 1

2x− y + 3z = 2

Solucion. Esribiendo la matriz ampliada y operando con filas se tiene:

1 −2 3 | 14 1 2 | 12 −1 3 | 2

f2 ← f2 − 4f1

f3 ← f3 − 2f1

1 −2 3 | 10 9 −10 | −30 3 − 3 | 0

f2 ↔ f3

1 −2 3 | 10 3 − 3 | 00 9 −10 | −3

f2 ← 13f2

1 −2 3 | 10 1 − 1 | 00 9 −10 | −3

f1 ← f1 + 2f2

f3 ← f3 − 9f2

1 0 1 | 20 1 −1 | 00 0 −1 | −3

f3 ← −f3

1 0 1 | 10 1 −1 | 00 0 1 | 3

f1 ← f1 − f3

f2 ← f3 + f3

1 0 0 | −20 1 0 | 30 0 1 | 3

La solucion se lee directamente de la ultima matriz: x = −2, y = 3, z = 3.

Ejemplo 1.17. Halle el valor (o valores) de λ para que el sistema de ecuaciones lineales

x− 2y = 1

−2x+ λ2y = λ

39


a) Sea consisitente. Escriba la solucion en cada caso.

b) sea inconsistente.

Solucion. Usando el metodo de eliminacion se tiene:

(1 −2 | 1−2 λ2 | λ

)

f2 ← f2 + 2f1

(1 −2 | 1

0 λ2 − 4 | λ+ 2

)

El sistema equivalente es

x− 2y = 1 (1.8a)

(λ2 − 4)y = λ+ 2 (1.8b)

Hay dos posibilidades para el coeficiente de y en la ecuacion (1.8b):

1. λ2 − 4 6= 0, es decir, λ 6= −2 y λ 6= 2, el sistema tiene solucion unica. Despejando y de(1.8b) y haciendo sustitucion hacia atras se obtiene:

x =λ− 1

λ− 2, y =

1

λ− 2

2. λ2 − 4 = 0, es decir, λ = −2 o λ = 2. Puede ocurrir lo siguiente:

a) λ = −2: se obtiene un sistema con infinitas soluciones, pues el sistema se reduce ax− 2y = 1. El conjunto solucion es

(

xy

)

| x = 1 + 2y, y ∈ R

=

(

1 + 2yy

)

| y ∈ R

=

(

10

)

+ y

(

21

)

| y ∈ R

.

b) λ = 2: sistema inconsistente porque la segunda ecuacion se reduce a 0z = 4.

Ejemplo 1.18. Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones: I, II y III. Los

camiones estan equipados para el transporte de dos clases de maquinaria pesada. Cada camion

tipo I puede transportar dos maquinas de clase 1 y ninguna de clase 2; cada camion de tipo

II puede llevar una maquina de cada tipo y para el camion tipo III, la capacidad es de una

maquina de clase 1 y dos de clase 2. La firma consigue una orden para 36 maquinas de la clase

1 y 14 de la clase 2.

a) Encuentre el numero de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden,

asumiendo que cada camion debe estar completamente cargado y el numero exacto de

maquinas pedidas es el que se debe despachar.

b) Si la operacion de cada camion tiene el mismo costo para la firma, ¿cual es la solucion

mas economica?

40


Solucion. Sea x, y y z el numero de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la

orden. Ademas, x, y, z ∈ Z y son no negativas. Ası,

2x+ y + z = 36 : numero total maquinas de clase 1y + 2z = 14 : numero total maquinas de clase 2

Considerando la matriz asociada del sistema y usando el metodo de eliminacion para resolverlo,

se tiene:(2 1 1 | 360 1 2 | 14

)

f1 ← f1 − f2

(2 0 −1 | 220 1 2 | 14

)

f1 ← 12f1

(1 0 −1

2| 11

0 1 2 | 14

)

El sistema reducido equivalente es

x− 12z = 11

y + 2z = 14,

de donde

x = 11 + 12z (Ec.1)

y = 14− 2z, con z “arbitrario”. (Ec.2)

Interpretacion de resultados. El sistema tiene infinitas soluciones, sin embargo para este

caso, las variables solo pueden tomar un numero finito de valores, ya que ellas representan

numero de camiones. De (Ec.1), z debe ser par. Ademas, como y ≥ 0, de (Ec.2), z ≤ 7. Es decir,

el numero de camiones que se deben enviar depende de z y estan dados por la condicion

0 ≤ z ≤ 7, en donde z es numero entero par.

En la siguiente tabla se escriben todas las soluciones posibles:

Numero de camiones

Solucion Tipo I: x Tipo II: y Tipo III: z Total

1 11 14 0 25

2 12 10 2 24

3 13 6 4 23

4 14 2 6 22

Como el costo de operacion de cada camion es el mismo para la empresa, la solucion mas

economica es la 4. Es decir, la empresa debe enviar 14 camiones de tipo I, 2 de tipo II y 6 de

tipo III.

El siguiente ejemplo requiere conocimientos de circuitos y esta dirigido especialmente a

estudiantes que cursen asignaturas que incluyan su estudio.

41


Ejemplo 1.19. Encuentre las corrientes en el circuito siguiente

b

b

i1

i2

i3

a

b c d

f e

E1= 40V E

2= 120V E

3= 80V± ± ∓

R1= 5Ω R

2= 20Ω

R3= 10Ω

R4= 30Ω

Figura 1.20 Circuito

Solucion. Las cantidades fısicas utilizadas son la corriente I, la resistenciaR y la diferencia

de potencial electrico en una baterıa E.

Baterıa Resistor Cable

−+

La diferencia de potencial en una baterıa se considera positiva si se mide la terminal

negativa a la positiva, y negativa en el otro sentido. La diferencia de potencial electrico en una

resistencia V depende de la corriente que fluye por ella y la resistencia que en efecto ofrece y

esta dada por la ley de Ohm: V = ±IR. El signo negativo se usa cuando la diferencia se mide

en la direccion del flujo de la corriente, y se utiliza el signo positivo en el otro caso. Todos los

circuitos electricos constan de ciclos de voltaje y de nodos de corriente. Un ciclo de voltaje es

una conexion cerrada dentro del circuito y un nodo de corriente es un punto donde se encuentran

tres o mas segmentos de cable. El circuito de la Figura 1.20 contiene los ciclos de voltaje:

a→ b→ c→ f → a, c→ d→ e→ f → c y a→ b→ c→ d→ e→ f → a.

El ultimo ciclo es redundante, pues esta incluido en los dos ciclos anteriores y por lo tanto no

se considera. Ademas, hay dos nodos de corriente: c y f .

Las ecuaciones que rigen el circuito se establecen con las leyes de Kirchhoff :

1. Conservacion de la energıa. En cualquier ciclo de voltaje, la diferencia total del

potencial electrico es igual a cero.

2. Conservacion de la carga. En cualquier nodo de corriente, el flujo de las corrientes

que van hacia el nodo es igual al flujo de las que salen de el.

De acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff, en el nodo c (o f) se tiene:

i1 + i2 = i3 (Ec.1)

42


Ahora, por la primera ley de Kirchhoff, en el ciclo a → b → c → f → a se obtiene la ecuacion

40− 5i1 − 120 + 10i2 = 0, la cual se simplifica a

i1 − 2i2 = −16. (Ec.2)

En el ciclo c→ d→ e→ f → c se obtiene −20i3 + 80− 30i3 − 10i2 + 120 = 0, o

i2 + 5i3 = 20. (Ec.3)

Al escribir las tres ecuaciones (Ec.1), (Ec.2) y (Ec.3) juntas se obtiene

i1 + i2 − i3 = 0

i1 − 2i2 = −16i2 + 5i3 = 20 ,

un sistema de ecuaciones lineales en i1 , i2 e i3 cuya solucion es i1 = −3.5 A, i2 = 6.24 A e

i3 = 2.75 A. El signo menos en i1 , significa que la verdadera direccion es opuesta a la asignada

en la Figura 1.20.

1.7. Sistemas de ecuaciones lineales homogeneos

Definicion 1.9. Un sistema de ecuaciones lineales de la forma

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0

......

. . ....

...

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0

(1.9)

se denomina sistema homogeneo. Los coeficientes aij ∈ R.

La solucion x1 = x2 = · · · = xn = 0 de (1.9) se denomina solucion trivial. Si al menos

una de las variables xi es diferente de cero, es una solucion no trivial.

Ejemplo 1.20. Resuelva el sistema homogeneo

x+ 2y + 3z = 0

2x− y − 4z = 0

3x+ y − z = 0

Solucion. Usando eliminacion gaussiana con sustitucion hacia atras se tiene

1 2 3 | 02 −1 −4 | 03 1 −1 | 0

f2 ← f2 − 2f1

f3 ← f3 − 3f1

1 2 3 | 00 −5 −10 | 00 −5 −10 | 0

f3 ← f3 − f2

1 2 3 | 00 −5 −10 | 00 0 0 | 0

43


f2 ← −15f3

1 2 3 | 00 1 2 | 00 0 0 | 0

f1 ← f1 − 2f2

1 0 −1 | 00 1 2 | 00 0 0 | 0

De la ultima matriz se obtiene el sistema

x− z = 0

y + 2z = 0, z arbitrario.

El sistema tiene infinitas soluciones de la forma

z

1

−21

| z ∈ R

.

Sea Ax = 0 un sistema homogeneo, donde A es una matriz de tamano m × n. Si m < n

entonces el sistema tiene soluciones no triviales.

Teorema 1.1.

Si xh es la solucion general de Ax = 0 y xp es una solucion particular de Ax = b, entonces

la solucion general de Ax = b es x = xh + xp.

Teorema 1.2.

Ejemplo 1.21. Para el sistema de ecuaciones lineales

x+ 2y + 3z = −62x− y − 4z = 8 ,

3x+ y − z = 2

en el ejemplo 1.20 se encontro que la solucion general del sistema de ecuaciones lineales ho-

mogeneo asociado Ax = 0 es

z

1−21

| z ∈ R

. Una solucion particular del sistema no

homogeneo es

1−2−1

. Por lo tanto, la solucion general esta dada por

1

−2−1

+ z

1

−21

| z ∈ R

.

Se finaliza este capıtulo enunciando el siguiente teorema en el que se dan los principales resul-

tados:

44


Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones son equivalentes

1. El sistema Ax = b tiene solucion unica para cada n-vector b.

2. El sistema homogeneo Ax = 0 tiene solucion unica, dada por x = 0.

3. La forma escalonada reducida por filas de A es I.

4. A es equivalente por filas a la matriz I.

5. La forma escalonada por filas de A tiene n pivotes.

Teorema 1.3. Teorema resumen

1.8. Ejercicios

1. Encuentre los valores de a y c, si existen, de modo que las rectas de ecuaciones 5x−3y = 4

y ax+ 7y = c no se corten.

2. Determine cuales de las siguientes ecuaciones son lineales:

(a) 23x−√3 y + z − 1

2w = log 2 (b) (log 5)x+ 2y = 3

(c) log(5x) + 2y = 3 (d) e2x− 3xy + w = −22

(e) e2x− 3x+ y + w = −22 (f) e2x − 3x− 3y + w = −27

3. Encuentre un valor de r, si existe, de modo que la terna dada sea una solucion del sistema

de ecuaciones lineales:

2x+ 3y − z = −2x− y + 2z = −14x+ y + 3z = −4

(a) (r, 2,−1)

(b) (2, r,−3)

(c) (−1, 1, r)4. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

(a)

x+ 2y − z = 2

2x+ 5y − 2z = 5

x− 2y + 2z = 1

(b)

x+ 3y − 2z + 2w = 3

2x+ 3y + 2z − w = 4

− x− 3y + 6z − 5w = −2

(c)

x+ 2y − 4z = 4

2x+ 5y − 2z = 5

3x+ 2y − 3z = 3

x+ 3y + 2z = 1

(d)

x+ 3y − 2z + w = 3

3x+ 3y + 6z − 3w = 3

− x− 3y + 6z − 5w = −22x+ 3y − 4z + 2w = −3

(e)

x+ 2y − 2z = 0

2x+ 7y + 2z = 0

x− 2y − z = 0

(f)

x+ 2y − 2z = 0

2x+ 7y + 2z = 0

x− y − 8z = 0

45


5. Determine el valor (o valores) de k para el cual el sistema de ecuaciones lineales repre-sentado por la matriz sea consistente, halle el conjunto solucion en cada caso, y el valor(o valores) de k para el cual sea inconsistente.

1 0 −1 | 1

2 1 −1 | 3

−1 k k2 + 1 | 2k − 2

6. Determine el valor (o valores) de a para el cual el sistema

x+ 2y + z = a2

x+ y + 3z = a

3x+ 4y + 7z = 8

(a) sea consistente, halle el conjunto solucion en cada caso.

(b) sea inconsistente.

7. Considere el sistema homogeneo

a1x+ b1y = 0

a2x+ b2y = 0

Sean x = x1 , y = y1 y x = x2 , y = y2 soluciones del sistema. Muestre

(a) x = x1 + x2 , y = y1 + y2 tambien es solucion del sistema.

(b) x = 3x1 + 2x2 , y = 3y1 + 2y2 tambien es solucion del sistema.

(c) x = λ1x1 + λ2x2 , y = λ1y1 + λ2y2 tambien es solucion del sistema.

8. Cuando se agrega un disco duro a una computadora personal, el sistema nuevo cuesta

$1.400.000. Se sabe que 13del valor de la computadora mas 1

5del valor del disco duro dan

un total de $400000. ¿Cual es el costo del disco duro? Ejercicio 48, p. 14 de [7].

9. Halle la ecuacion de la parabola en el plano xy con eje paralelo a y, que pasa por los

puntos P (1, 0), Q(−1, 6) y R(2, 0). Ejercicio 14, p. 52 de [7].

10. (Empaquetamiento de libros). Cesar Andres es un estudiante de segundo semestre de

ingenierıa de la Universidad Tecnologica de Pereira que se va a cambiar de casa. Al

empacar sus libros, observa que si coloca 11 libros en cada caja, dejara uno por fuera.

Por otro lado, si pone 12 libros en cada caja, entonces la ultima contiene unicamente un

libro. ¿Cuantos libros y cuantas cajas tiene Cesar Andres?

11. Dos personas inician un negocio aportando capitales iguales. Despues de tres meses, una

tercera persona ingresa al negocio y aporta la misma cantidad que aporto cada una de las

dos primeras. Si al cabo de un ano las utilidades son de $1’980.000, ¿cuanto le corresponde

a cada uno?

46


12. Una biologa ha colocado tres cepas bacterianas (denotadas como I, II, y III) en un tubo

de ensayo, donde seran alimentadas con tres distintas fuentes alimenticias (A, B, y C).

Cada dıa 2300 unidades de A, 800 de B y 1500 de C se colocan en el tubo de ensayo, y

cada bacteria de tipo I consume 2 unidades del alimento A, 1 unidad del alimento B y 1

unidad del alimento C; cada bacteria de tipo II consume 2 unidades de A, 2 de B y 3 de C

y para la bacteria tipo III, el consumo es de 4 unidades de A y 1 de C. ¿Cuantas bacterias

de cada cepa pueden coexistir en el tubo de ensayo y consumir todo el alimento? Ejemplo

2.27, p. 101 de [8].

13. Una granja piscıcola proporciona 3 tipos de comida a un lago que alberga a 3 especies de

peces: cachama, tilapia y mojarra. Cada cachama consume por semana un promedio de

1 unidad del alimento tipo A, 1 del alimento B y 2 unidades del C. Cada tilapia consume

por semana un promedio de 3 unidades del alimento A, 4 del alimento B y 5 unidades

del alimento C. Para cada mojarra, el promedio semanal de consumo es 2 unidades del

alimento A, 1 unidad del alimento B y 5 unidades del alimento C. Semanalmente se

suministra al lago 15000 unidades del primer alimento, 10000 del segundo y 35000 del

tercero. Suponga que todo el alimento se consume.

(a) Construya un modelo matematico.

(b) ¿Que poblacion de las tres especies de peces puede coexistir en el lago?

(c) ¿Pueden existir 4000 mojarras?

(d) ¿Pueden existir 6000 tilapias?

(e) ¿Pueden existir 9000 cachamas?

14. Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones: pequeno, mediano y

grande. Los camiones estan equipados para el transporte de tres clases de maquinaria

pesada: A, B y C. Cada camion pequeno puede transportar 2 maquinas de A, ninguna de

B y 2 de C, cada camion mediano puede llevar 2 maquinas de A, 1 de B y 1 de C, y cada

camion grande puede cargar 3 maquinas de A, 2 de B y 1 de C. La firma consigue una

orden para 50 maquinas de A, 14 de B y 36 de C. Cada camion debe estar completamente

cargado y el numero exacto de maquinas pedidas es el que se debe despachar.

(a) Construya un modelo matematico que represente la informacion.

(b) Determine el numero de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la

orden.

(c) Halle el numero mınimo y maximo de camiones de cada tipo.

(d) Si la operacion de cada tipo de camion es $150000, $250000 y $500000 respectiva-

mente, ¿cual es la solucion mas economica?

15. A&V Publicaciones edita tres calidades de libros: encuadernacion rustica, pasta dura y

empastados en piel. Para los rusticos, la empresa gasta en promedio $5 en papel, $2 en

47


ilustraciones y $3 las pastas. Para los de pasta dura, los gastos son $10 en papel, $6 en

ilustraciones y $8 en pastas; y para los de lujo, empastados en piel, $20 en papel, $20

en ilustraciones y $24 en pastas. Si el presupuesto permite $235000 en papel, $158000 en

ilustraciones y $205000 en pastas:

(a) Construya un modelo matematico.

(b) ¿Es posible que se puedan editar 2000 libros empastados en piel?

(c) ¿Se podran editar 4000 libros empastados en piel?

(d) ¿Se podran producir 6000 libros empastados en piel?

(e) ¿Cuantos libros de cada categorıa pueden producirse?

16. Determine las cantidades desconocidas en el circuito siguiente

i1

3A

i2

i3

5A

10A

a b c d

efghb

b

b

b

10V E2

E3−+ −+ −+

5Ω 2Ω

R

1.9. Autoevaluacion Capıtulo 1

1. Determine el valor o valores de λ, si existen, de modo que el sistema de ecuaciones lineales

representado por la matriz

1 0 0 λ+ 3 | 4

0 0 1 2 | 5

0 0 0 λ− 4 | 4− λ

0 0 0 0 | (λ− 4)(λ+ 1)

(a) Sea consistente. Escriba la solucion en cada caso.

(b) Sea inconsitente.

2. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales

x− z = 1

3x+ y − 2z = 4

−x+ ay + (a2 + 1)z = 2a− 2

Determine el valor o valores de a de modo que el sistema

48


(a) Tenga solucion. Escriba el conjunto solucion en cada caso.

(b) Sea inconsistente. Justifique su respuesta

3. Una aerolınea compra provisiones para tres de sus aviones, I, II y III. El costo por viaje,

en dolares, para el avion I para la primera clase es $350, para la clase de negocios es $500

y para la clase economica es $800. Para el avion tipo II, el costo por viaje para la primera

clase es $400, para la clase de negocios es $600 y para la clase economica es $920. Para el

avion tipo III, el costo por viaje para la primera clase es $450, para la clase de negocios

es $700 y para la clase economica es $1040. La aerolınea gasto $26000 para primera clase,

$40000 para la de negocios y $60000 para la economica. Suponiendo que se usan todos los

recursos,

(a) Construya un modelo matematico que represente la informacion.

(b) Determine el numero de viajes que pueden realizar los aviones.

(c) Encuentre el numero mınimo y el numero maximo de vuelos que pueden realizar los

aviones tipo III.

(d) ¿Cuantos vuelos pueden realizar en total los tres tipos de aviones?

4. Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique

clara y acertadamente cada una de ellas.

(a) Existen valores de a y c de modo que el sistema de ecuaciones lineales representado

por las rectas 5x− 3y = 4 y ax+ 7y = c es inconsistente.

(b) Existe un valor de k de modo que el vector

2

0

1

es solucion de

x− z = 1

2x+ y − z = 3

−x+ ky + (k2 + 1)z = 2k − 2

(c) El sistema de ecuaciones lineales cuya matriz asociada esta dada por

1 1 0 0 | 1

0 0 1 0 | 2

0 0 0 1 | 1

0 0 0 k | k2 − 2

,

es consistente si k 6= 0.

(d) Si el vector

(1

−1

)

es solucion de un sistema de ecuaciones lineales homogeneo 2× 2,

entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

49


(e) Si la matriz asociada de un sistema de ecuaciones lineales es

1 0 0 0 | 10 0 1 0 | 20 0 0 1 | 5

,

entonces el sistema tiene solucion unica.

50

CAPITULO DOS

Vectores, rectas y planos

2.1. Introduccion

53

En fısica, geometrıa, calculo y otras ciencias, algunas cantidades quedan completamente

determinadas al dar su magnitud, es decir, su tamano o numero de unidades segun alguna escala.

Por ejemplo, la longitud, el area, el volumen, la masa de un cuerpo, la carga de un electron, el

calor especıfico del agua, la resistencia de un resistor, el diametro de un cırculo, la temperatura,

entre otras. Cada una de estas cantidades se describe mediante un numero (despues de elegir

adecuadamente las unidades de medicion) y reciben el nombre de escalares.

Hay otras cantidades que no se pueden describir mediante un numero unicamente, ya que

requieren especificar una direccion y una magnitud. Tales cantidades se conocen con el nombre

de vectores. Por ejemplo, la velocidad, la aceleracion, la fuerza son cantidades de este tipo.

Graficamente, una fuerza se puede representar por una flecha o segmento rectilıneo dirigido,

la cual indica la direccion de aquella y cuya longitud es igual a la magnitud de esa fuerza segun

una escala determinada.

Aunque el concepto de vector aparece desde el siglo XIX, sus aplicaciones no se compren-

dieron sino hasta hasta el siglo XX. Recientemente, diferentes ciencias como la computacion,

estadıstica, economıa, ciencias sociales y en la vida cotidiana, han encontrado en los vectores

herramientas teoricas y practicas para modelar y solucionar problemas que surgen al interior de

ellas.

El matematico irlandes William Rowan Hamilton (1805-1865) empleo los conceptos vec-

toriales para el estudio de los numeros complejos y su generalizacion: los cuaterniones.

La palabra vector viene de la raız latina vectoris que significa “conduce”. Un vector se

forma cuando un punto es conducido o llevado a una distancia determinada en una direccion

dada.

La figura 2.1(a) muestra la fuerza de atraccion que obliga a la tierra a moverse alrededor

del sol. La velocidad de la tierra tambien se puede representar por una flecha de longitud y

direccion apropiadas. La figura 2.1(b) ilustra una traslacion de un triangulo en el plano.


Tierra

Velocidad

Sol

Fuerza

(a)

Desplaz

amien

to

A

A′

B

B′

C

C ′

P

P ′

b

b

(b)

Figura 2.1 Cantidades vectoriales

En este capıtulo se estudian los vectores desde el punto de vista geometrico y analıtico.

Se desarrolla primero la teorıa para los vectores en R2 y despues se generaliza para R3 y Rn.

Ademas, se muestran algunas aplicaciones.

2.2. Coordenadas y vectores en R2

Esta seccion se inicia retomando el plano cartesiano y se continua con el concepto de vector

desde el punto de vista geometrico y analıtico. Se sigue con la igualdad y las operaciones entre

vectores, y se presenta la definicion de combinacion lineal como concepto generador para el

desarrollo del curso Algebra lineal.

2.2.1. Coordenadas en el plano cartesiano

Para empezar, es conveniente recordar las coordenadas en el plano estudiadas en la seccion

1.2 del Capıtulo 1.

x1 es la abscisa de P

y1 es la ordenada de P b

b b

x1

y1

P (x1 , y1)Py(0, y1)

Px(x1 , 0)

O x

y

Figura 2.2 Coordenadas cartesianas en R2

Sean P1(x1 , y1) y P2(x2 , y2) dos puntos del plano. La distancia d entre P1 y P2 es

d = d(P1 , P2) =∣∣P1P2

∣∣ =

√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 (2.1)

Teorema 2.1. Distancia entre dos puntos del plano

54


Demostracion. La distancia d entre dos puntos P1(x1) y P2(x2) en la recta real esta dada por

d = d(P1 , P2) = |x2 − x1 |. Ahora, para R2,

b

b

b

b

x2

y2

x1

y1 a

bd

P1(x1 , y1)

P2(x2 , y2)

O x

y

Figura 2.3 Distancia en R2

Por el Teorema de Pitagoras

d2 = a2+b2 = (x2−x1)2+(y2−y1)

2

Luego,

d =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2

Ejemplo 2.1. Halle los valores de λ, si existen, de modo que los puntos P y Q se encuentren

a 5 unidades: a) P (−5, 0), Q(λ, 4) b) P (3,−2), Q(λ, 1).

Solucion. De acuerdo con (2.1) se tiene

a)√

(λ+ 5)2 + 16 = 5 implica (λ+ 5)2 = 9. De donde, λ = −2 o λ = −8

b)√

(λ− 3)2 + 9 = 5 implica (λ− 3)2 = 16. Es decir, λ = 7 o λ = −1

Las graficas siguientes ilustran la situacion:

P (−5, 0)

Q1(−2, 4)Q

2(−8, 4)

d=5d

=5

x

y

(a)

P (3,−2)

Q1(7, 1)Q

2(−1, 1)

d=5d

=5

x

y

(b)

Ejemplo 2.2. Halle la distancia del punto P (3, 1) a la recta L : 3x− 4y = −10.

Solucion. En el grafico se ilustra la situacion. La distancia d de P a L esta dada por

d =∣∣PQ

∣∣, donde Q es la proyeccion del punto P sobre la recta L. Esto es, Q es el punto de

modo que el segmento PQ es perpendicular a la recta L.

1

2

3

4

5

6

−11 2 3 4−1−2−3−4−5 x

y

Q

P

LL

1

d

p

Figura 2.4 Distancia de P a L

L : 3x− 4y = −10.Al despejar y se obtiene

y = 34x+ 5

2.

55


Para determinar el punto Q, primero se debe encontrar la ecuacion de la recta L1 . La

pendiente de L1 es m1 = −43, pues L y L1 son perpendiculares.

➀ La ecuacion de la recta L1 que es perpendicular a L y que pasa por el punto P es

y − 1 = −43(x− 3) o 4x+ 3y = 15.

➁ Ahora se encuentra el punto Q interseccion entre L y L1 .

Q :

3x− 4y = −104x+ 3y = 15

La solucion de este sistema es (65, 17

5).

➂ Finalmente se calcula la distancia de P a Q

d = d(P,Q) =√

(3− 65)2 + (1− 17

5)2 = 15

5= 3.

Definicion 2.1 (Punto medio). Sean P1(x1 , y1) y P2(x2 , y2) puntos en R2. Las coordenadas del

punto medio P (x, y) son:

x =x1 + x2

2, y =

y1 + y2

2. (2.2)

Ejemplo 2.3. Halle el otro extremo de un segmento si se sabe que un extremo es el punto

A(−5, 2) y el punto medio es M(−4, 7).

Solucion. De (2.2) se obtiene

x2 = 2x− x1 = −8 + 5 = −3, y2 = 2y − y1 = 14− 2 = 12

Definicion 2.2 (Mediatriz). La mediatriz de un segmento de recta se define como la recta

perpendicular que pasa por el punto medio del segmento.

Ejemplo 2.4. Determine la ecuacion de la mediatriz del segmento de recta que une los puntos

P (−4, 8) y Q(8,−6).

Solucion. La pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q es

m1 =y2 − y1

x2 − x1

=−6− 8

8 + 4= −14

12= −7

6.

Ası, la pendiente de la mediatriz es m2 =67y el punto medio del segmento PQ es M(2, 1). Por

lo tanto, la ecuacion de mediatriz es:

y − 1 = 67(x− 2) o 6x− 7y = 5.

56


2.2.2. Vectores en R2

Ejemplo 2.5. Mientras una joven esperaba el bus en la acera norte de una calle, un motoci-

clista que distribuye correspondencia comercial, conducıa su moto a una velocidad de 8 m/s

en direccion oeste; como se indica en la figura 2.5. Justo antes de que la moto pasara frente a

la joven, cuando estaba al sureste de ella, el motociclista lanzo un paquete con una revista de

propaganda hacia el jardın de una residencia, con componentes de la velocidad (de acuerdo con

el punto de referencia del motociclista) de 4 m/s hacia el norte y 4 m/s al este. El paquete

golpeo a la joven en la cara. Un agente de transito que observo la escena detuvo al motociclista y

le solicito que explicara su actuacion intencional al golpear a la joven. El motociclista manifesto

con gran seguridad, que lamentaba lo ocurrido pero que no habıa sido su intencion, puesto que

lanzo el paquete al noreste y que en ese momento la joven se encontraba al noroeste del punto

del lanzamiento del paquete. El problema consiste en determinar si lo que afirma el motociclista

es o no verdadero, y cuales fueron las causas reales que condujeron a este hecho, ver [10].

b

b

#«vM

O E

S

N

Figura 2.5

Definicion 2.3 (Vector en R2).

Geometricamente. Un vector es un segmento de recta dirigido.

b

b#«u #«v

#«

A#

«

PQP

Q

Figura 2.6 Segmentos dirigidos o vectores en R2

Notacion. Los vectores se denotaran mediante letras con una flecha encima o con letras en

negrilla, por ejemplo, #«u , #«v ,#«

A, u, p. Un vector tambien se puede representar por un segmento

rectilıneo dirigido con punto inicial, cola o punto de aplicacion P y punto terminal o cabeza Q,

en la forma# «

PQ, como se ilustra en la figura 2.6.

Analıticamente. Un vector coordenado en R2 o un 2-vector, es una pareja ordenada de numeros

reales.

Notacion. Un 2-vector se denota como el vector fila (a, b); a, b ∈ R. De esta manera se tiene

R2 = (a, b) | a, b ∈ R = R × R

57


Tambien se puede denotar como el vector columna

(

ab

)

con a, b ∈ R. Ası,

R2 =

(

ab

)∣∣a, b ∈ R

.

Por comodidad de escritura, en gran parte de este libro se usaran los vectores fila. Se debe

tener en cuenta que un vector fila es diferente de un vector columna, pero los conceptos y las

propiedades que se definan para vectores fila tambien se cumplen para vectores columna.

Nota. A cada punto P (x1 , y1) del plano se puede asociar un unico vector #«p = (x1 , y1) cuya

inicio es el origen, el cual se denomina vector anclado, vector localizado o vector de

posicion del punto P . Ası, se escribe #«p en lugar de# «

OP , como se ilustra en la figura 2.7.

O

P (x1, y

1)

#«p=(x 1

, y 1

)

x

y

Figura 2.7 Vector posicion

Es decir, cada punto de R2 se puede poner en correspondencia uno a uno con un vector lo-

calizado en el origen y recıprocamente cada vector localizado se puede poner en correspondencia

uno a uno con un punto en R2. Ası, es posible hacer la identificacion

P (x1 , y1)↔ (x1 , y1) =#«p . (2.3)

Comentario. Aunque en algunos textos, al definir vector se caracteriza con magnitud, direccion

y sentido, se ha generalizado la definicion diciendo que son cantidades con magnitud y direccion,

incluyendo en esta ultima palabra la idea de hacia donde apunta la flecha sobre la recta que la

contiene, y solo se habla de sentido cuando se quiere hacer enfasis en el mismo. El sentido lo da

la flecha.

Con base en la definicion, cualquier vector puede trasladarse arbitrariamente manteniendo

su longitud y su direccion. Es decir, se puede elegir su punto inicial de manera arbitraria. De

acuerdo con lo anterior, tambien se puede definir un vector como la coleccion de todos los

segmentos rectilıneos dirigidos que tienen una direccion y una longitud dadas.

Definicion 2.4 (Vector nulo). Geometricamente el vector nulo es aquel cuya cabeza y cola

coinciden. Analıticamente, el vector nulo es#«

0 = (0, 0), de modo que al vector cero le corresponde

el origen de coordenadas segun la identificacion dada en la ecuacion 2.3.

58


2.2.3. Longitud y direccion de un vector de R2

Definicion 2.5 (Longitud o norma).

Sea #«u = (x1 , y1) ∈ R2, la longitud,

magnitud o norma de #«u , denotada

por ‖ #«u‖, esta dada por

‖ #«u‖ =√

x21+ y2

1

y

xO

P (x1, y

1)

‖#«u‖=

√ x21

+y21

y1

x1

p

Figura 2.8 Norma de un 2-vector

Ejemplo 2.6. Sea #«u = (−5, 12). Calcule ‖ #«u‖ , ‖2 #«u‖ y ‖−2 #«u‖.

Solucion. Al calcular la norma de cada vector, se tiene

‖ #«u‖ =√

(−5)2 + 122 =√169 = 13

‖2 #«u‖ = ‖(−10, 24)‖ =√100 + 576 = 26 = 2 · 13

‖−2 #«u‖ = ‖(10,−24)‖ =√100 + 576 = 26 = |−2| · 13

El ejemplo anterior ilustra algunas de las propiedades de la norma.

Sean #«u , #«v ∈ R2 y λ ∈ R. Entonces

No. propiedad nombre

1. ‖ #«u‖ ≥ 0 No negatividad

2. ‖ #«u‖ = 0 si y solo si #«u =#«

0 Norma de#«

0

3. ‖λ #«u‖ = |λ| ‖ #«u‖ Homogeneidad

Teorema 2.2. Propiedades de la norma en R2

Ejemplo 2.7. Calcule la norma de cada uno de los siguientes vectores y dibujelos en un mismo

plano cartesiano:

a) #«u = ( 1√2,− 1√

2)

b) ı = (1, 0)

c) = (0, 1)

d) #«v = (− 2√13, 3√

13)

Solucion.

a) ‖ #«u‖ = 1

b) ‖ı‖ = 1

c) ‖‖ = 1

d) ‖ #«v ‖ = 1. 1

1

−1

−1#«u = ( 1√

2,− 1√

2)

#«v = (− 2√13

, 3√13

) = (0, 1)

ı = (1, 0)x

y

Cada vector tiene norma 1. Solo ı y quedan en las direcciones positivas de los ejes

coordenados.

59


Definicion 2.6 (Vector unitario). Sea #«u ∈ R2, #«u es unitario si ‖ #«u‖ = 1. Se denota por u.

Definicion 2.7 (Vectores canonicos en R2). Los vectores ı = (1, 0) y = (0, 1), se denominan

vectores canonicos de R2.

Definicion 2.8 (Direccion de un vector). Sea#«

0 6= #«v ∈ R2. La direccion de #«v , denotada por

θ = dir #«v , es el angulo θ con menor valor absoluto que forma el vector #«v con la parte positiva

del eje de abscisas. En la figura 2.9(a) se muestra la direccion de varios vectores.

x

y

θ1

θ2

θ3

θ4

#«v1

#«v2

#«v3

#«v4

(a) −π < θi ≤ π

x

y

θ1

θ2

θ3

θ4

#«v1

#«v2

#«v3

#«v4

(b) 0 ≤ θi < 2π

Figura 2.9 Direccion de un vector en R2

Nota. La direccion θ de un vector no nulo #«v de R2, tambien se puede definir como el

angulo de menor giro positivo del vector con respecto al eje positivo de las abscisas, como se

ilustra en la Figura 2.9(b).

La direccion θ de un vector #«v = (x1 , y1) se puede calcular mediante

tan θ =y1

x1

, si x1 6= 0

θ = π2, si x1 = 0 y y1 > 0

θ = −π2( o 3π

2), si x1 = 0 y y1 < 0.

La direccion del vector#«

0 es indeterminada. Se debe tener cuidado al calcular la direccion de

un vector #«v = (x1 , y1) cuando x1 6= 0. Se tiene lo siguiente:

θ =

arctan

(y1

x1

)

, si x1 > 0

arctan

(y1

x1

)

+ π, si x1 < 0 y y1 > 0

arctan

(y1

x1

)

± π, si x1 < 0 y y1 < 0.

Ejemplo 2.8. Hallar la direccion de los siguientes vectores:

a) #«v = (3, 3) b) #«v = (−3, 3) c) #«v = (−2,−2√3) d) #«v = (3,−3)

60


Solucion.

a) Como tan θ = 1 y #«v esta en el primer cuadrante, entonces θ = π4.

b) Puesto que tan θ = −1 y #«v esta en el segundo cuadrante, entonces θ = 3π4.

c) Como tan θ =√3 y #«v esta en el tercer cuadrante, entonces θ = −2π

3.

d) Como tan θ = −1 y #«v esta en el cuarto cuadrante, entonces θ = −π4.

Las graficas siguientes ilustran los ejemplos 2.8 a)–c):

θ = π4

#«v = (3, 3)

O x

y

(a)

θ = 3π4

#«v = (−3, 3)

O x

y

(b)

θ = − 2π3

#«v = (−2,−2√3)

O

x

y

(c)

Definicion 2.9 (Angulos y cosenos directores en

R2). Sea#«

0 6= #«v ∈ R2. Los angulos que el vector#«v = (x1 , y1) forma con las direcciones positivas de

los ejes coordenados se llaman angulos directores, y

los cosenos de los angulos directores se denominan

cosenos directores. Estos angulos se denotan α1 y α1

en la Figura 2.10. De la Figura 2.10, se tiene

α1

α2

#«v = (x1, y

1)

x

y

Figura 2.10 Angulos directores

cosα1 =x1

‖ #«v ‖ , cosα2 =y1

‖ #«v ‖ (2.4)

Ademas, se cumple

cos2 α1 + cos2 α2 = 1 (2.5)

Ejemplo 2.9. Halle todos los vectores #«v en R2 si ‖ #«v ‖ = 4 y el angulo director α1 =3π4

Solucion. Al usar la formula (2.5) con α1 =3π4se tiene

cos2 α2 = 1− cos2(3π4) = 1− 1

2= 1

2.

Luego,

cosα2 =√22

o cosα2 = −√22.

x

y

α1= 3π

4

α1= 3π

4

O

61


De donde, x1 = 2√2 y y1 = 2

√2 o x1 = 2

√2 y y1 = −2

√2. Los vectores buscados son:

#«v 1 = (2√2, 2√2), #«v 2 = (2

√2,−2

√2).

Definicion 2.10 (Vector opuesto).

Geometricamente. Para cualquier vector #«u no nulo, se define el vector − #«u , denominado el

opuesto de #«u , Figura 2.11, como el vector que satisface

1. ‖− #«u‖ = ‖ #«u‖

2. dir(− #«u ) = dir #«u ± π

#«u

− #«u

Figura 2.11 Vector opuesto

Analıticamente. El opuesto de #«u = (x1 , y1) es − #«u = (−x1 ,−y1).

Definicion 2.11 (Igualdad de vectores).

Geometricamente. Dos vectores no nulos son iguales si y solo si tienen la misma longitud y

direccion. Si #«u y #«v son iguales, se escribe #«u = #«v , de otro modo #«u 6= #«v .

x

y

O

#«u = (x1, y

1)

Figura 2.12 Vectores iguales

Analıticamente. Los vectores #«v1 = (x1 , y1) y#«v2 = (x2 , y2) de R2 son iguales si y solo si

x1 = x2 y y1 = y2 .

Ejemplo 2.10. En el paralelogramo determine:

a) ¿Cuales vectores son iguales?

b) ¿Cuales vectores son opuestos?

A

B

C

D

Solucion.

a)# «

CB =# «

DA porque∥∥

# «

CB∥∥ =

∥∥

# «

DA∥∥ y dir

# «

CB = dir# «

DA

b)# «

AB y# «

CD son opuestos porque∥∥

# «

AB∥∥ =

∥∥

# «

CD∥∥ y dir

# «

AB = dir# «

CD + π

Ejemplo 2.11. Halle los valores de α y β, si existen, de modo que #«u = (α + 2,−α + β + 5) y#«v = (2β − 3, α + β) sean iguales.

Solucion. #«u = #«v si y solo si α+2 = 2β− 3 y −α+β+5 = α+β. De ahı se obtiene el sistema

α− 2β = −5−2α + β = −5 ,

cuya solucion es α = 5, β = 5.

62


2.2.4. Operaciones fundamentales con vectores en R2

Definicion 2.12 (Suma de Vectores).

Geometricamente. Sean #«u y #«v dos vectores no nulos de R2. La suma de #«u y #«v se puede

realizar de dos maneras equivalentes: la regla del triangulo o la regla del paralelogramo.

Regla del triangulo. Se hace coincidir el punto extremo (final) de #«u con el punto inicial

(origen) de #«v . La suma de #«u con #«v , denotada #«u + #«v , se define como el vector #«w que va desde

el punto inicial de #«u al extremo de #«v . Figura 2.13(b).

Regla del paralelogramo. Consiste en colocar los dos vectores #«u y #«v haciendo coincidir sus

puntos iniciales y se completa el paralelogramo. #«u + #«v es el vector que va desde el origen de los

vectores #«u y #«v al extremo de los otros vectores que se han trazado, Figura 2.13(c). Es decir,#«u + #«v es la diagonal del paralelogramo trazada desde el punto inicial comun de #«u y #«v .

#«u

#«v

x

y

#«u

#«v#«w

=#«u+

#«v

(b) Regla del triangulo

x

y

#«u

#«v#«w

=#«u+

#«v

(c) Regla del paralelogramo

Figura 2.13 Suma geometrica de vectores

Analıticamente. La suma de los vectores #«u = (x1 , y1) y#«v = (x2 , y2), es el vector

#«u + #«v = (x1 + x2 , y1 + y2).

#«u = (x1, y

1)

#«v = (x2, y

2)

#«u+

#«v

x

y

x2

x1

x2

y1

y2

x3

y3

x2

x1

y2

y1

Figura 2.14 Suma analıtica en R2

Mediante congruencia de triangulos se

demuestra la forma analıtica de sumar

los vectores. Es decir, se prueba que

x3 = x1 + x2 y y3 = y1 + y2 ,

como se ilustra en la Figura 2.14.

Ejemplo 2.12. Sean #«u = (−2, 2) y #«v = (4, 3). Halle #«u + #«v .

Solucion. Analıticamente se tiene #«u + #«v = (−2 + 4, 2 + 3) = (2, 5). Geometricamente se

ilustra en la siguiente figura.

63


1

2

3

4

5

−1

1 2 3 4−1−2−3 x

y

#«u

#«v

#«u + #«v

Definicion 2.13 (Multiplicacion por un escalar).

Geometricamente. Sea#«

0 6= #«u ∈ R2 y λ un numero real arbitrario. El vector λ #«u se define

como el vector que satisface

i. ‖λ #«u‖ = |λ| ‖ #«u‖ ii. dir(λ #«u ) =

dir #«u si λ > 0

dir #«u ± π si λ < 0

#«u

λ #«u , λ > 0

#«ub

λ #«u , λ < 0

(a) Dilatacion: |λ| > 1

#«u

λ #«u , λ > 0

b

λ #«u , λ < 0

#«u

(b) Contraccion: 0 < |λ| < 1

Figura 2.15 Multiplicacion por un escalar

Analıticamente. La multiplicacion del vector #«u = (x1 , y1) por el escalar λ se denota por λ #«u

y se define como el vector λ #«u = (λx1 , λy1).

x1

P

x2

Q

y1 R

y2

O x

y

#«u = (x1, y

1)

λ #«u

Figura 2.16 Multiplicacion por un escalar

Por semejanza de triangulos:

λ ‖ #«u‖‖ #«u‖ =

x2

x1

⇒ x2 = λx1 .

Similarmente, y2 = λy1 .

64


Ejemplo 2.13. Sean #«a ,#«

b y #«c vectores en R2 tales que ‖ #«a ‖ = 3,∥∥

#«

b∥∥ = 5, ‖ #«c ‖ = 4, dir #«a =

dir#«

b y dir #«c = dir #«a + π. Halle

a)∥∥ #«a +

#«

b + #«c∥∥ b)

∥∥ #«a − (

#«

b + 2 #«c )∥∥

Solucion. Graficamente se tiene

b

#«a #«

b#«c

#«a +#«

b #«a +#«

b + #«c

2 #«c #«

b + 2 #«c #«a − (#«

b + 2 #«c )

a)∥∥ #«a +

#«

b + #«c∥∥ = 4 b)

∥∥ #«a − (

#«

b + 2 #«c )∥∥ = 0 pues #«a =

#«

b + 2 #«c .

Notas.

1. La resta de vectores se define como #«a − #«

b = #«a + (− #«

b )

#«a#«

b

#«a

− #«

b

#«a−

#«b

#«

b

#«a

#«a

− #«

b

#«a−

#«b

Figura 2.17 Resta de vectores

2. Sean#«

A y#«

B los vectores localizados correspondientes a los puntos A y B en R2, respec-

tivamente. El vector localizado de# «

AB es#«

C =#«

B − #«

A.

b

b

b

b

O

C

A

B

#«

A

#«

B

# «

AB

#«

C =#«

B − #«

A

x

y

Figura 2.18 Vector anclado de AB

En efecto, por la regla del triangulo,

#«

A +# «

AB =#«

B,

de donde

# «

AB =#«

B − #«

A.

Ejemplo 2.14. Sean #«a = (−2, 3), #«

b = (3, 1) y #«c = (2, 3). Efectue las operaciones indicadas y

represente graficamente:

a) #«a +#«

b b) #«a + (2#«

b − #«c ) c) 2 #«a − #«

b

65


Solucion.

a) #«a +#«

b = (1, 4) b) #«w = #«a + (2#«

b − #«c ) = (2, 2) c) #«v = 2 #«a − #«

b = (−7, 5)

x

y

#«a = (−2, 3)

#«

b = (3, 1)

#«a +#«

b = (1, 4)

(a)

x

y

#«a = (−2, 3)

2#«

b − #«c = (4,−1)

#«w = (2, 2)

(b)

x

y

#«a = (−2, 3)

#«

b = (3, 1)

2 #«a = (−4, 6)

− #«

b = (−3,−1)

#«v = (−7, 5)

(c)

Ejemplo 2.15. Si ‖ #«a ‖ = 5,∥∥

#«

b∥∥ = 3 y el angulo entre #«a y

#«

b es 60o, halle∥∥ #«a +

#«

b∥∥ y

∥∥ #«a − #«

b∥∥.

Solucion. Un grafico ayuda a ilustrar mejor la situacion.

60o120o

#«a

#«

b#«a +

#«

b

#«a − #«b

Por la ley de los cosenos se tiene

∥∥ #«a +

#«

b∥∥2=∥∥ #«a∥∥2+∥∥

#«

b∥∥2 − 2

∥∥ #«a∥∥∥∥

#«

b∥∥ cos 120o

= 25 + 9− 2 · 5 · 3 · (−0.5) = 49. Luego,∥∥ #«a +

#«

b∥∥ = 7.

∥∥ #«a − #«

b∥∥2=∥∥ #«a∥∥2+∥∥

#«

b∥∥2 − 2

∥∥ #«a∥∥∥∥

#«

b∥∥ cos 60o

= 25 + 9− 2 · 5 · 3 · (0.5) = 19.

Luego,∥∥ #«a − #«

b∥∥ =√19.

Ejemplo 2.16. Un avion tiene una rapidez de vuelo maxima de 500 km/h. Si vuela a su rapidez

maxima con un rumbo N30oO (30o al oeste del norte) y el viento esta soplando de norte a sur

con una rapidez de 40 km/h. Asumiendo que la rapidez del viento se mantiene constante y

conserva su direccion, encuentre la rapidez y la direccion del viaje con respecto a la tierra.

66


Solucion. Sean #«v y #«w la velocidad del avioncon respecto al aire y la del viento, res-pectivamente. El vector #«u es la velocidad delavion con respecto a la tierra y su direcciones el camino de vuelo respecto a la tierra. Porla ley de los cosenos:

‖ #«u‖2 = ‖ #«w‖2 + ‖ #«v ‖2 − 2 ‖ #«w‖ ‖ #«v ‖ cos 30o

= 402 + 5002 − 2 · 40 · 500 ·√3

2= 216959.

Luego, ‖ #«u‖ =√216959 ≈ 465.8 km/h.

#«w

#«v

#«u θ

30o

S

N

O E

Ahora, si θ es el angulo entre #«u y #«v , por la ley de los senos, se tiene que

sen θ =‖ #«w‖ sen 30o‖ #«u‖ = 0.04293688, de donde θ ≈ 2.5o.

Ası, el rumbo del avion con respecto a la tierra es N32.5oO (32.5 al oeste del norte).

Sean #«u , #«v , #«w ∈ R2 y λ, β ∈ R. Entonces

Propiedades de la suma

No. Propiedad Nombre

1S. #«u + #«v es un vector de R2 Cerradura o clausurativa de la suma

2S. #«u + #«v = #«v + #«u Conmutativa de la suma

3S. ( #«u + #«v ) + #«w = #«u + ( #«v + #«w ) Asociativa de la suma

4S. #«u +#«

0 = #«u Modulativa de la suma

5S. #«u + (− #«u ) =#«

0 Invertiva de la suma

Propiedades de la multiplicacion por un escalar

1M. λ #«u es un vector de R2 Cerradura de la multiplicacion por un escalar

2M. λ( #«u + #«v ) = λ #«u + λ #«vDistributiva de la multiplicacion por un escalar

con respecto a la suma vectorial

3M. (λ+ β) #«u = λ #«u + β #«uDistributiva de la suma escalar con respecto a la

multiplicacion por un escalar

4M. (λβ) #«u = λ(β #«u ) = β(λ #«u ) Regularidad escalar

5M. 1 #«u = #«u Modulativa de la multiplicacion por un escalar

Teorema 2.3. Propiedades de las operaciones basicas en R2

67


Sean #«u ∈ R2 y λ ∈ R. Entonces

1. 0 #«u =#«

0 2. λ#«

0 =#«

0 3. −1 • #«u = − #«u

Teorema 2.4.

Demostracion. Se demuestran las partes 1. y 2. Por el teorema anterior

1. (0 + 0) #«u = 0 #«u Propiedad modulativa de + en R

0 #«u + 0 #«u = 0 #«u Propiedad 3M

(0 #«u + 0 #«u ) + (−0 #«u ) = 0 #«u + (−0 #«u ) Sumando −0 #«u en ambos lados

0 #«u +[0 #«u + (−0 #«u )

]=

#«

0 Propiedades 3S y 5S

0 #«u +#«

0 =#«

0 Propiedad 5S

0 #«u =#«

0 Propiedad 4S

2. λ(#«

0 +#«

0 ) = λ#«

0 Propiedad 4S

λ#«

0 + λ#«

0 = λ#«

0 Propiedad 2M

−λ #«

0 + (λ#«

0 + λ#«

0 ) = −λ #«

0 + λ#«

0 Sumando −λ #«

0 en ambos lados

(−λ #«

0 + λ#«

0 ) + λ#«

0 =#«

0 Propiedades 3S y 5S#«

0 + λ#«

0 =#«

0 Propiedad 5S

λ#«

0 =#«

0 Propiedad 4S

Definicion 2.14 (Vectores paralelos). Dos vectores no nulos #«u y #«v son paralelos si existe un

numero real λ 6= 0 tal que#«u = λ #«v o #«v = λ #«u .

Definicion 2.15 (Espacio vectorial). El conjunto R2 con las operaciones suma y multiplicacion

por un escalar que satisfacen las propiedades 1S–5S, 1M–5M, denotado 〈R2,+, .〉, es un espacio

vectorial real.

Ejemplo 2.17. Determine los valores de las constantes, si existen, de modo que se cumplan las

igualdades

a) (2, 8) = λ1(1, 0) + λ2(0, 1)

b) (2, 8) = λ1(1, 0) + λ2(0, 1) + λ3(3,−2)c) (2, 8) = λ1(−1, 3) + λ2(2,−6)d) (2, 8) = λ1(−1, 3) + λ2(4, 2)

Solucion. Al efectuar las operaciones e igualar los vectores se obtiene:

a) λ1 = 2 y λ2 = 8. Solucion unica.

68


b)

λ1 + 3λ3 = 2

λ2 − 2λ3 = 8. Este sistema tiene infinitas soluciones.

c)

−λ1 + 2λ2 = 2

3λ1 − 6λ2 = 8. Este sistema es inconsistente.

d)

−λ1 + 4λ2 = 2

3λ1 + 4λ2 = 8. Sistema con solucion unica dada por λ1 = 2 y λ2 = 1.

Definicion 2.16 (Combinacion lineal). Sean #«u , #«v1 ,#«v2 , . . . ,

#«vk∈ R2. Se dice que #«u es una

combinacion lineal de los vectores #«v1 ,#«v2 , . . . ,

#«vksi existen escalares λ1 , λ2 , . . . , λk

tales que

λ1

#«v1 + λ2

#«v2 + · · ·+ λk

#«vk= #«u (2.6)

O b

#«v1

λ1

#«v1

#«v2

λ2

#«v2

λ1

#«v1+ λ

2

#«v2= #«u

x

y

(a)

O

#«v2

#«v1

λ1

#«v1

λ2

#«v2

λ1

#«v1+ λ2

#«v2=

#«u

x

y

(b)

Figura 2.19 Combinacion lineal con dos vectores en R2.

En el ejemplo 2.17, #«u = (2, 8) es combinacion lineal de los vectores dados en a), b) y d).

Para el literal a, (2, 8) = 2(1, 0) + 8(0, 1) = 2ı+ 8Para el literal b, (2, 8) = 2(1, 0) + 8(0, 1) + 0(3,−2) = 5(1, 0) + 6(0, 1)− (3,−2)Para el literal d, (2, 8) = 2(−1, 3) + (4, 2)

Para cualquier vector #«v = (a, b) de R2 se tiene #«v = (a, b) = aı+ b.

Teorema 2.5.

Demostracion.

(a, b) = (a, 0) + (0, b)

= a(1, 0) + b(0, 1) = aı+ b.

O

P (a, b)

b

b

x

y

ı

aı

b

#«v=aı+b

Figura 2.20 Vectores canonicos de R2

Ejemplo 2.18. Sean #«u , #«v , #«w ∈ R2 tales que ‖ #«u‖ = 2, ‖ #«v ‖ = 3, ‖ #«w‖ = 4, dir #«u = 60, dir #«v = 150

y dir #«w = −150. Exprese a #«w como combinacion lineal de #«u y #«v .

69


Solucion. Sean #«u = (u1 , u2),#«v = (v1 , v2) y

#«w = (w1 , w2). Se deben hallar escalares λ1 y

λ2 tales que #«w = λ1

#«u + λ2

#«v .

Se escriben los vectores #«u , #«v y #«w co-

mo combinacion lineal de los vectores ca-

nonicos ı y de R2.

#«u = u1 ı+ u2 ,#«v = v1 ı+ v2 ,#«w = w1 ı+ w2 .

x

y

O

#«w

#«u#«v

λ1

#«u

λ2

#«v

60o

−150o

150o

De la figura se obtiene

u1 = ‖ #«u‖ cos 60 = 1, u2 = ‖ #«u‖ sen 60 =√3

v1 = ‖ #«v ‖ cos 150 = −3√3

2v2 = ‖ #«v ‖ sen 150 = 3

2

w1 = ‖ #«w‖ cos(−150) = −2√3 w2 = ‖ #«w‖ sen(−150) = −2

Ası, #«u = ı+√3, #«v = −3

√3

2ı+ 3

2, #«w = −2

√3ı− 2. Luego,

−2√3ı− 2 = λ1

(ı+√3)+ λ2

(− 3

√3

2ı+ 3

2).

Al igualar los vectores, se obtiene el sistema de ecuaciones lineales en λ1 y λ2

λ1 − 3√3

2λ2 = −2

√3√

3λ1 +32λ2 = −2.

La solucion es (λ1 , λ2) = (−√3, 2

3) y ası, #«w = −

√3 #«u + 2

3#«v .

Ejemplo 2.19. Determine si #«u es combinacion lineal de los vectores dados.

a) #«u = (−7, 1); #«v1 = (1, 1), #«v2 = (3, 2)

b) #«u = (3, 5); #«v1 = (1, 2), #«v2 = (4, 8)

c) #«u = (−2, 1); #«v1 = (1, 2), #«v2 = (3, 7), #«v3 = (1, 1)

Solucion. En cada caso se debe comprobar:k∑

i=1

λi#«vi =

#«u .

a) En este caso, λ1(1, 1) + λ2(3, 2) = (−7, 1). De ahı

λ1 + 3λ2 = −7λ1 + 2λ2 = 1

70


Analizando y resolviendo el sistema en forma matricial se tiene:

(1 3 | −71 2 | 1

)

f2 ← f2 − f1

(1 3 | −70 −1 | 8

)

.

De ahı, λ1 = −8, λ2 = 17. Luego, #«u es combinacion lineal de #«v1 y #«v2 .

b) Procediendo de manera analoga se obtiene

(1 4 | 3

2 8 | 5

)

f2 ← f2 − 2f1

(1 4 | 3

0 0 | −1

)

.

El sistema es inconsistente. Luego, #«u no es combinacion lineal de #«v1 y #«v2 .

c) Similarmente,(1 3 1 | −22 7 1 | 1

)

f2 ← f2 − f1

(1 3 1 | −20 1 −1 | 5

)

.

Como el sistema tiene infinitas soluciones, #«u es combinacion lineal de #«v1 ,#«v2 y #«v3 .

Observacion. Un vector #«u ∈ R2 es combinacion lineal de los vectores #«v1 ,#«v2 , . . . ,

#«vk∈ R2 si el

sistema que resulta de la combinacion lineal es consistente. En otro caso, #«u no es combinacion

lineal de los vectores #«v i; i = 1, 2, . . . , k.

Ejemplo 2.20. Determine los vectores de R2 que son combinacion lineal de los vectores dados

en cada caso.

a) #«v1 = (1,−2), #«v2 = (−2, 4) b) #«v1 = (1, 2), #«v2 = (−1, 1)

Solucion. #«v = (x, y) ∈ R2 es combinacion lineal de #«v1 y #«v2 si y solo si

#«v = λ1

#«v1 + λ2

#«v2 . (Ec. 1)

a) Al analizar y resolver en forma matricial se tiene

(1 −2 | x

−2 4 | y

)

f2 ← f2 + 2f1

(1 −2 | x

0 0 | 2x+ y

)

Para que exista solucion, 2x+ y = 0, es decir,

H =(x, y) ∈ R2 | y = −2x

. Recta que pasa por el origen.

b) En este caso, el sistema que resulta de reemplazar (Ec. 1) los vectores dados en b), siempre

tiene solucion (Verifique). Es decir, cualquier vector de R2 es combinacion lineal de los

vectores dados.

71


Definicion 2.17 (Espacio generado). Sea S = #«v1 ,#«v2 , . . . ,

#«vk ⊂ R2. El espacio generado

por S, denotado por genS, se define como el conjunto formado por todos los vectores #«u que

son combinacion lineal de #«v1 ,#«v2 , . . . ,

#«vk.

H = genS =

#«u ∈ R2 | #«u = λ1

#«v1 + λ2

#«v2 + · · ·+ λk

#«vk=

k∑

i=1

λi

#«vi

.

Ejemplo 2.21. Tomando el ejemplo anterior se tiene:

gen (1,−2), (2,−4) =(x, y) ∈ R2 | y = 2x

y gen (1, 2), (−1, 1) = R2.

Definicion 2.18. S = #«v1 ,#«v2 , . . . ,

#«vk ⊂ R2 es un conjunto generador de H ⊆ R2 si todo

vector #«u ∈ H se puede escribir como una combinacion lineal de los elementos de S.

Ejemplo 2.22. (1, 2), (3, 5) es un conjunto generador de R2.

Definicion 2.19 (Dependencia e independencia lineal). El subconjunto de vectores S de R2,

S = #«v1 ,#«v2 , . . . ,

#«vk es linealmente independiente (LI) si el vector nulo se puede escribir de

manera unica como combinacion lineal de los vectores #«v1 ,#«v2 , . . . ,

#«vk. Es decir,

k∑

i=1

λi

#«vi=

#«

0 implica λ1 = λ2 = · · · = λk= 0.

En otro caso, se dice que el conjunto S es linealmente dependiente (LD).

En otras palabras, el conjunto S = #«v1 ,#«v2 , . . . ,

#«vk de R2 es linealmente independiente (LI) si

el sistema homogeneo que resulta al hacer la combinacion linealk∑

i=1

λi#«v i =

#«

0 , tiene solucion

unica. En otro caso, se dice que S es linealmente dependiente (LD).

Ejemplo 2.23. El conjunto

a) #«v1 = (1, 2), #«v2 = (1, 1) es LI porque al resolver λ1

#«v1 +λ2

#«v2 =#«

0 , se llega a la siguiente

matriz

(1 1 | 02 1 | 0

)

que representa al sistema de ecuaciones lineales. Al reducir la matriz

se obtiene(1 1 | 02 1 | 0

)

−→(1 1 | 00 1 | 0

)

.

El sistema tiene solucion unica.

72


a) #«v1 = (1, 2), #«v2 = (−2,−4) es LD porque al resolver λ1

#«v1 + λ2

#«v2 =#«

0 , se llega a la si-

guiente matriz

(1 −2 | 02 −4 | 0

)

que representa al sistema de ecuaciones lineales. Al reducir

la matriz se obtiene (1 −2 | 02 −4 | 0

)

−→(1 −2 | 00 0 | 0

)

.

El sistema tiene infinitas soluciones.

Es una practica muy frecuente hablar de vectores linealmente independientes o vectores

linealmente dependientes.

Nota. Si dos vectores #«v1 y #«v2 son linealmente dependientes entonces existen escalares λ1 y

λ2 no simultaneamente nulos, tales que λ1

#«v1 + λ2

#«v2 =#«

0 . Si λ1 6= 0, se puede despejar #«v1 :#«v1 = −

λ2

λ1

#«v2 = λ #«v2 .

Por lo tanto, si #«v1 y #«v2 son linealmente dependientes entonces uno de ellos es multiplo

escalar del otro. Recıprocamente dados dos vectores, si uno es multiplo escalar del otro, entonces

ellos son linealmente dependientes.

Ejemplo 2.24. Los vectores #«v1 = (1, 2) y #«v2 = (−2,−4) son linealmente dependientes ya que#«v2 = −2 #«v1 . De igual forma, los vectores #«v1 = (1, 2) y #«v3 = (0, 0) son linealmente dependientes

puesto que #«v3 = 0 #«v1 .

2.2.5. Producto punto o producto escalar en R2

Definicion 2.20 (Producto escalar). Sean #«v1 ,#«v2 ∈ R2. El producto escalar o producto

punto entre #«v1 = (x1 , y1) y#«v2 = (x2 , y2), denotado por #«v1

• #«v 2 , se define como

#«v1• #«v 2 = x1x2 + y1y2 . (2.7)

Ejemplo 2.25. Si #«u = (3, 1), #«v = (−1, 2) y #«w = (4, 2), halle #«u • #«v , #«u • #«w y #«v • #«w.

Solucion. #«u • #«v = −3 + 2 = −1, #«u • #«w = 12 + 2 = 14, #«v • #«w = −4 + 4 = 0.

Sean #«u , #«v y #«w vectores en R2 y λ ∈ R. Entonces

No. propiedad nombre

1. #«u • #«v = #«v • #«u Conmutativa

2. #«u • ( #«v + #«w) = #«u • #«v + #«u • #«w Distributiva

3. λ( #«u • #«v ) = (λ #«u ) • #«v = #«u • (λ #«v ) Asociativa escalar

4. ‖ #«u‖2 = #«u • #«u Relacion norma–producto punto

Teorema 2.6. Propiedades del producto escalar en R2

73


Demostracion. Se prueban las partes 1 y 3. Sean #«u = (x1 , y1),#«v = (x2 , y2) vectores de R2 y

λ ∈ R.

1. #«u • #«v = x1x2 + y1y2 = x2x1 + y2y1 =#«v • #«u .

3. λ( #«u • #«v ) = λ(x1x2 + y1y2) = λx1x2 + λy1y2 = (λx1 , λy1) • (x2 , y2) = (λ #«u ) • #«v .

Sean #«u y #«v , vectores de R2. Entonces

1. ‖ #«u + #«v ‖2 = ‖ #«u‖2 + 2 #«u • #«v + ‖ #«v ‖2 2. ‖ #«u − #«v ‖2 = ‖ #«u‖2 − 2 #«u • #«v + ‖ #«v ‖2

Teorema 2.7.

Demostracion.

1. ‖ #«u + #«v ‖2 = ( #«u + #«v ) • ( #«u + #«v ) Teorema 2.6, parte 4

= #«u • #«u + #«u • #«v + #«v • #«u + #«v • #«v Teorema 2.6, parte 2

= ‖ #«u‖2 + 2 #«u • #«v + ‖ #«v ‖2 Teorema 2.6, partes 1 y 4

Similarmente, se prueba que ‖ #«u − #«v ‖2 = ‖ #«u‖2 − 2 #«u • #«v + ‖ #«v ‖2 .

Sean #«u , #«v ∈ R2 vectores no nulos. El angulo θ entre #«u y #«v esta dado por

cos θ =#«u • #«v

‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ , 0 ≤ θ ≤ π.

Teorema 2.8. Angulo entre vectores en R2

Demostracion. Usando la ley de los cosenos se tiene

‖ #«u − #«v ‖2 = ‖ #«u‖2 + ‖ #«v ‖2 − 2 ‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ cos θ (1)

Por otro lado, por el teorema 2.7, parte 2,

‖ #«u − #«v ‖2 = ‖ #«u‖2 − 2 #«u • #«v + ‖ #«v ‖2 (2)

De (1) y (2) se tiene

‖ #«u‖2 + ‖ #«v ‖2 − 2 ‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ cos θ = ‖ #«u‖2 − 2 #«u • #«v + ‖ #«v ‖2 .

De donde, cos θ =#«u • #«v

‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ .

74


x

y

#«u

#«v#«u − #«v

O

P

Q

θ

b

b

b

Figura 2.21 Angulo entre vectores en R2

Nota. Del Teorema 2.8, se obtiene otra formula para el producto punto:

#«u • #«v = ‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ cos θ. (2.8)

Definicion 2.21 (Vectores ortogonales). Dos vectores no nulos #«u y #«v de R2 son ortogonales

(perpendiculares) si el angulo entre ellos es θ = 90.

Dos vectores no nulos #«u y #«v de R2 son ortogonales si y solo si #«u • #«v = 0.

Teorema 2.9. Ortogonalidad

Demostracion. Si #«u y #«v son ortogonales, entonces θ = 90. De (2.8),

#«u • #«v = ‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ cos θ = ‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ cos 90 = ‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ 0 = 0.

Ahora, si #«u • #«v = 0, entonces cos θ =#«u • #«v

‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ = 0. De donde θ = 90.

Ejemplo 2.26. Halle los valores de r, si existen, para que el triangulo con vertices en

A(−5,−1), B(1, r) y C(3, 3), sea rectangulo.

Solucion. Sean #«u =# «

AB =#«

B − #«

A = (6, r + 1), #«v =# «

AC =#«

C − #«

A = (8, 4) y #«w =# «

BC =#«

C − #«

B = (2, 3− r). Hay tres posibilidades:

1. Angulo recto en C: #«v • #«w = 0⇒ 28− 4r = 0⇒ r = 7

2. Angulo recto en B: #«u • #«w = 0⇒ 15 + 2r − r2 = 0⇒ r = −3 o r = 5

3. Angulo recto en A: #«u • #«v = 0⇒ 52 + 4r = 0⇒ r = −13

75


x

y

A

C

B

p

(a)

x

y

A

C

B1

B2

p

(b)

x

y

A

C

B

y

(c)

Ejemplo 2.27. Sean #«a y#«

b vectores de R2 tales que ‖ #«a ‖ = 4 y ‖ #«

b‖ = 9. Calcule ‖ #«a +#«

b‖ encada caso:

a) #«a y#«

b son ortogonales b) el angulo entre #«a y#«

b es 2π/3

Solucion. Aplicando el Teorema 2.7, parte 1, se tiene

a) ‖ #«a +#«

b‖ =√

‖ #«a ‖2 + 20

#«a •#«

b + ‖ #«

b‖2 =√16 + 81 =

√97

b) ‖ #«a +#«

b‖ =√

‖ #«a ‖2 + 2 #«a •#«

b + ‖ #«

b‖2 =√

16 + 2 · 4 · 9 cos 2π3+ 81 =

√61.

Si #«u y #«v son vectores de R2, entonces | #«u • #«v | ≤ ‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ .Teorema 2.10. Desigualdad de Cauchy–Schwarz

Demostracion. Si #«u =#«

0 , la desigualdad es obvia. Suponiendo que #«u 6= #«

0 , sea el vector λ #«u + #«v ,

donde λ ∈ R.

0 ≤ ‖λ #«u + #«v ‖2 = ‖λ #«u‖2 + 2(λ #«u • #«v ) + ‖ #«v ‖2 Teorema 2.7, parte 1

0 ≤ λ2 ‖ #«u‖2 + 2λ( #«u • #«v ) + ‖ #«v ‖2 Teorema 2.6, parte 3

Es decir, p(λ) = aλ2 + bλ+ c ≥ 0, donde a = ‖ #«u‖2 , b = 2 #«u • #«v y c = ‖ #«v ‖2.Como p(λ) es un polinomio cuadratico no negativo en λ, corta al eje λ en un solo punto o no

lo corta. Esto sucede si el discriminante de p(λ), b2 − 4ac ≤ 0, lo cual significa que b2 ≤ 4ac,

es decir, ( #«u • #«v )2 ≤ ‖ #«u‖2 ‖ #«v ‖2. Al extraer raız cuadrada en ambos lados, se obtiene | #«u • #«v | ≤‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ .

76


Sean #«u , #«v ∈ R2. Entonces ‖ #«u + #«v ‖ ≤ ‖ #«u‖+ ‖ #«v ‖ .Teorema 2.11. Desigualdad triangular

Definicion 2.22 (Proyecciones en R2).

1. Sea Q un punto y L una recta. La proyeccion de Q sobre L es el punto Q′ en la base

perpendicular trazada de Q a L. Figura 2.22(a).

2. La proyeccion (vectorial ortogonal) de #«v sobre #«u , denotada por proy #«u#«v , es el vector

localizado #«p del punto P , que es la proyeccion del punto Q sobre la recta que contiene

el vector #«u . Figura 2.22(b).

x

y b

b

y

xO

L

Q

Q′

(a) Proyeccion de Q sobre L

x

y

θ

y

xO

#«v

#«u

#«w

Q

P

b

b

︸

︷︷

︸

#«p=proy

#«u

#«v

(b) Proyeccion de ~v sobre ~u

Figura 2.22 Proyecciones en R2

A partir de lo anterior se concluye lo siguiente:

1. El vector #«w =# «

PQ es perpendicular a #«u . Ademas, #«p + #«w = #«v y #«p = λ #«u para algun

λ ∈ R. Ası,

#«v • #«u = ( #«p + #«w) • #«u = #«p • #«u + #«w • #«u = λ #«u • #«u + 0 = λ ‖ #«u‖2 .Es decir, λ =

#«v • #«u‖ #«u ‖2 , de donde proy #«u

#«v =#«v • #«u‖ #«u ‖2

#«u .

2. Ademas, el vector #«w = #«v − proy #«u#«v es perpendicular a #«u . En efecto,

#«u • #«w = #«u • ( #«v − proy #«u#«v ) Sustitucion de #«w

= #«u • #«v − #«u • proy #«u#«v Teorema 2.6, Prop. 2

= #«u • #«v − #«u •#«v • #«u‖ #«u ‖2

#«u Sustitucion de proy #«u#«v

= #«u • #«v − #«v • #«u‖ #«u ‖2 ‖

#«u‖2 = 0

Sean #«u , #«v ∈ R2, #«u 6= #«

0 y λ ∈ R.

1. proy #«u (#«v1 +

#«v2) = proy #«u#«v1 + proy #«u

#«v2 2. proy #«u (λ#«v ) = λ proy #«u

#«v

Teorema 2.12. Propiedades de la proyeccion

77


El vector #«w = #«v − proy #«u#«v , se denomina complemento ortogonal o componente vectorial

ortogonal de #«v con respecto a #«u y se denota por #«v⊥#«u. En la figura 2.23 se ilustran los vectores

proy #«u#«v y #«v⊥

#«u.

x

y

θ

q

O

#«v

#«u

#«w = #«v − proy #«u#«v

︸

︷︷

︸

proy

#«u

#«v

(a) 0 < θ < π/2

x

y

θ

pO

#«u

#«v

#«w = #«u − proy #«u#«v

︸︷︷︸

proy

#«u

#«v

(b) π/2 < θ < π

Figura 2.23 Vector proyeccion y complemento ortogonal en R2

Ejemplo 2.28. Determine proy #«v#«u , proy #«u

#«v , #«u⊥#«v, #«v ⊥

#«u, comp #«v

#«u y comp #«v#«u para #«u = (2, 5) y

#«v = (6, 2).

Solucion. Se tiene

proy #«v#«u =

#«u • #«v‖ #«v ‖2

#«v = 2240(6, 2) = (33

10, 1110) comp #«v

#«u =#«u • #«v‖ #«v ‖ = 11√

10

proy #«u#«v =

#«v • #«u‖ #«u ‖2

#«u = 2229(2, 5) = (44

29, 110

29) comp #«u

#«v = 22√29

#«u⊥#«v= (2, 5)− (33

10, 1110) = (−13

10, 3911) #«v⊥

#«u= (130

29,−52

29)

x

y

O

#«u = (2, 5)

#«v = (6, 2)

#«w = (− 1310

, 3910

)#«w

proy #«v#«u = ( 33

10, 1110

)q

x

y

O

#«u = (2, 5)

#«v = (6, 2)

#«w = ( 13029

,− 5229

)

#«w

proy#«u

#«v = (4429,110

29)

q

2.3. Vectores en R3 y en Rn

En esta seccion se introducen los vectores coordenados en Rn desde el punto de vista

algebraico o analıtico, particularmente, para n = 3, R3 se hace el estudio geometrico. Se estudia

la estructura de espacio vectorial de Rn, n ≥ 3, generalizando los conceptos estudiados para los

vectores en R2.

78


2.3.1. Coordenadas cartesianas en R3

El sistema de coordenadas cartesianas rectangular en el espacio se determina por una

unidad lineal de medida para las longitudes y por tres ejes, perpendiculares entre sı, denominados

ejes coordenados, dados en cierto orden; es decir, que se ha indicado cual es el primero, el segundo

y cual es el tercero. El punto de interseccion de los ejes se llama origen de coordenadas y se

denota con la letra O. Ademas, el primero de ellos se llama eje x o eje de abscisas, el segundo,

eje y o de ordenadas y el tercero, eje z o de cotas.

x y

z

b Origen

x

y

z

b

Origen

x

y

z

b

Origen

z

x

y

b

Origen

Figura 2.24 Algunas representaciones de R3

Los planos coordenados xy, xz y yz dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes.

Los primeros cuatro estan situados encima del plano xy y se enumeran de acuerdo con el orden

en que aparecen los cuadrantes en dicho plano. Los restantes se encuentran ubicados debajo del

plano xy y la numeracion sigue el mismo orden. Figura 2.25(a).

Dado un punto arbitrario P del espacio (R3), sus coordenadas se determinan de la siguiente

manera: Se proyecta el punto P sobre cada uno de los planos coordenados, denotados por Pxy, Pxz

y Pyz dichos puntos se proyectan, cada uno de ellos, sobre los ejes de coordenadas x, y y z para

obtener Px, Py y Pz, tal como se ilustra en la Figura 2.25(b). Las coordenadas de P son los

numeros x1 , y1 , y, z1 dados por: x1 = OPx, y1 = OPy, z1 = OPz.

El signo de cada coordenada se determina de la siguiente manera: positivo si Px, Py y

Pz estan ubicados en las direcciones positivas de los ejes; negativo si estan localizados en la

direccion negativa.

79


xy

z

Plano xy

Plano

xzPlano yz

I

II

III

IV

V

V I

V III

(a) Planos coordenados y octantes

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

x y

z

Pyz(0, y

1, z1)

Pz

Pxz(x1

, 0,z1)

Pxy (x

1 , y1 , 0)

Px

P y

P (x1 , y1 , z1)O

(b) Coordenadas

Figura 2.25 Sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en R3

P (x, y, z) denota las coordenadas x, y, z del punto P . Las direcciones positivas de los ejes

x, y y z se han elegido hacia adelante, hacia la derecha y hacia arriba, respectivamente.

El signo de las coordenadas de un punto

P de R3 para cada uno de los octantes, esta

dado en la tabla de la derecha. Los puntos en

el plano xy tienen cota igual a cero; los puntos

sobre el plano xz tienen ordenada igual a cero

y para los puntos en el plano yz su abscisa es

cero. Las coordenadas del origen son (0, 0, 0).

Octante x1 y1 z1

I + + +II − + +III − − +IV + − +V + + −VI − + −VII − − −VIII + − −

Ejemplo 2.29. Representar graficamente los puntos P (1, 2, 3) y Q(3,−1, 2).Solucion. Una forma de dibujar un punto en R3 consiste en ubicar primero el punto en el

plano xy cuya cota es z = 0. En la figura 2.26(a) se representan las proyecciones de los puntos

dados en el plano xy y en la figura 2.26(b) se dibujan los puntos P y Q.

xy

z

bb P

xy (1, 2, 0)

Q xy(3,−1, 0

)

(a)

xy

z

b

b

P (1, 2, 3)Q(3,−1, 2)

(b)

Figura 2.26 Grafica ejemplo 2.29

80


Definicion 2.23 (Distancia entre dos puntos puntos en R3). Sean P1(x1 , y1 , z1) y P2(x2 , y2 , z2)

dos puntos en R3. La distancia entre P1 y P2 esta dada por

d =∣∣P1P2

∣∣ = d(P1 , P2) =

√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 + (z2 − z1)2.

Definicion 2.24 (Punto medio). Sean P1(x1 , y1 , z1) y P2(x2 , y2 , z2) dos puntos en R3. Las coor-

denadas del punto medio M(x, y, z) del segmento P1P2 son

x =x1 + x2

2, y =

y1 + y2

2, z =

z1 + z2

2. (2.9)

Ejemplo 2.30. Dibuje los puntos P (3, 4, 2) y Q(2 − 1, 3), determine el octante en que se

encuentra cada uno y halle la distancia entre ellos.

Solucion. Se dibujan los puntos dados y se calcula la distancia entre ellos.

b

b

xy

z

P (3, 4, 2)

Q(2,−1,

3)

O

Aplicando la formula se tiene

d =√

(2− 3)2 + (−1− 4)2 + (3− 2)2

=√1 + 25 + 1 =

√27 = 3

√3

P esta en el primer octante yQ en el cuarto.

Definicion 2.25. El conjunto formado por los puntos P (x, y, z) ∈ R3 que estan situados a

una distancia r > 0, denominado radio, a un punto fijo C(x0 , y0 , z0), llamado centro, recibe el

nombre de superficie esferica o simplemente esfera. Su ecuacion esta dada por

(x− x0)2 + (y − y0)

2 + (z − z0)2 = r2.

Ejemplo 2.31. Halle la ecuacion de la esfera de centro C(1, 2,−1) y radio 3. Dibuje la esfera.

Solucion. La figura muestra la grafica de la esfera

x

y

z

b

b

C(1, 2,−1)

La ecuacion de la esfera es

(x− 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 32.

Efectuando las operaciones y simplificando

se obtiene

x2 + y2 + z2 − 2x− 4y + 2z = 3.

81


2.3.2. Coordenadas cartesianas en Rn

A continuacion se definen las coordenadas en Rn. Las coordenadas (x1 , x2 , . . . , xn) de un

punto P en Rn estan dadas de la siguiente manera: cada xi, para i = 1, 2, . . . , n, es igual a la

longitud del segmento OPxi, si el punto P esta sobre el eje xi hacia la direccion positiva, y

es igual a la longitud del segmento OPxicon signo menos, si el punto P esta en la direccion

negativa. Las coordenadas del origen son (0, 0, ..., 0). No es posible hacer una representacion

grafica para n > 3. Los “planos” coordenados dividen a Rn en 2n regiones.

Definicion 2.26 (Distancia entre puntos). Sean P1(x1 , x2 , . . . , xn) y P2(y1 , y2 , . . . , yn) dos pun-

tos en Rn. La distancia entre P1 y P2 esta dada por

d =∣∣P1P2

∣∣ = d(P1 , P2) =

√

(y1 − x1)2 + (y2 − x2)

2 + · · ·+ (yn − xn)2.

Definicion 2.27 (Punto medio). Sean P1(x1 , x2 , . . . , xn) y P2(y1 , y2 , . . . , yn) dos puntos en Rn.

Las coordenadas del punto medio M(z1 , z2 , . . . , zn) del segmento P1P2 son

z1 =x1 + y1

2, z2 =

x2 + y2

2, . . . , zn =

xn + yn2

(2.10)

Vectores en R3 y Rn

Definicion 2.28 (Vector en R3 y Rn).

1. Un vector en R3, un 3−vector o 3 – tupla es una terna ordenada de numeros reales. Un

3−vector se denota como el vector fila (a, b, c), en donde a, b, c ∈ R. De esta manera se

tiene

R3 =(a, b, c)

∣∣ a, b, c ∈ R

= R × R × R

Tambien se puede denotar como el vector columna

a

b

c

con a, b, c ∈ R. Ası,

R3 =

a

b

c

∣∣∣∣∣a, b, c ∈ R

2. Un vector en Rn o un n−vector es una n–tupla ordenada de numeros reales. Un n–vectorse denota por cualquiera de las formas

#«x = (x1 , x2 , . . . , xn) o #«x =

x1

x2

...

xn

.

82


Ası,

Rn = (x1 , x2 , . . . , xn) | xi ∈ R o Rn =

x1

x2

...

xn

∣∣∣∣∣xi ∈ R

= R × R × . . .× R.

Por comodidad, en este texto se usaran los vectores fila a menos que se especifique otra cosa.

Se debe tener en cuenta que un vector fila es diferente de un vector columna. Sin embargo, los

conceptos que se definen para vectores fila tambien se cumplen para vectores columna.

Definicion 2.29 (Vector localizado). El vec-

tor# «

OP donde O es el origen y P es el punto

P (x1 , x2 , . . . , xn) se llama vector de posicion,

localizado o anclado en el origen con cabeza

P y cola en O. En este caso se escribira #«p

en lugar de# «

OP . En la Figura 2.27 se ilustra

para R3.

b

x

y

z

P (x1 , y1 , z1)

O

#»p = (x1, y1

, z1)

Figura 2.27 Vector localizado en R3

De esta manera, cada punto de Rn, n ≥ 3 se puede poner en correspondencia uno a

uno con un vector localizado en el origen y recıprocamente cada vector localizado se puede

poner en correspondencia uno a uno con un punto en Rn. Ası, es posible hacer la identificacion

(correspondencia biunıvoca)

P (x1 , x2 , x3)←→ (x1 , x2 , x3) =#«p y P (x1 , x2 , . . . , xn

) ←→ (x1 , x2 , . . . , xn) = #«p .

2.3.3. Longitud y direccion de un vector en Rn

Definicion 2.30 (Longitud). Sea#«v = (x1 , x2 , . . . , xn) un vector en Rn.

La longitud o norma de #«v , denotada

por ‖ #«v ‖, esta dada por

‖ #«v ‖ =√

x21+ x2

2+ · · ·+ x2

n

b

b

b

b

x

y

z

||#»v || =√ x21

+ y21+ z21

#»v = (x1 , y1 , z1)

Figura 2.28 Norma de un vector en R3

Ejemplo 2.32. Sea #«v = (1, a− 1,−2, 2). Determine todos los valores de a, si existen, de modo

que ‖ #«v ‖ = 5.

83


Solucion.

‖ #«v ‖ = 5 si y solo si√

1 + (a− 1)2 + 4 + 4 = 5 si y solo si (a− 1)2 = 16

si y solo si a− 1 = ±4 si y solo si a = −3 o a = 5

Sean #«x ∈ Rn y λ ∈ R. Entonces

1. ‖ #«x ‖ ≥ 0 No negatividad

2. ‖ #«x ‖ = 0 si y solo si #«x =#«

0 Norma de#«

0

3. ‖λ #«x | = |λ|‖ #«x ‖ Homogeneidad

Teorema 2.13. Propiedades de la norma en Rn

Observacion. La direccion de un vector en

R3 no se puede definir simplemente como el

angulo θ que el vector forma con la parte

positiva del eje x, ya que si, por ejemplo,

0 < θ < π/2, entonces existe un numero infi-

nito de vectores que forman un angulo θ con

la parte positiva de dicho eje, describiendo

un cono en el espacio, como se ilustra en la

Figura 2.29. Ver [3] p. 185.

x

y

z

Figura 2.29 Cono de vectores en R3

Definicion 2.31 (Vector unitario). Un vector cuya longitud es 1 se denomina vector unitario.

Si #«u es un vector unitario, se denota u.

Ejemplo 2.33. Son vectores unitarios en R3: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), ( 1√6,− 2√

6, 2√

6). Algunos

vectores unitarios en R4 son (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (13 , 0,−23 ,

23).

Nota. Si #«v es cualquier vector no nulo, entonces u = #«v / ‖ #«v ‖ es un vector unitario que

apunta en la misma direccion que #«v .

Ejemplo 2.34. Encuentre un vector unitario cuya direccion sea la misma de #«v = (2,−3, 4)

Solucion. Como ‖ #«v ‖ =√

22 + (−3)2 + 42 =√29, u = (2/

√29,−3/

√29, 4/

√29).

Ahora se puede definir de modo riguroso la direccion de un vector en Rn.

Definicion 2.32 (Direccion de un vector en Rn). La direccion de un vector #«v no nulo en Rn

se define como el vector unitario u = #«v / ‖ #«v ‖. Esta definicion es valida para vectores de R2. Es

decir,

dir #«v =1

‖ #«v ‖#«v .

84


Ejemplo 2.35. De acuerdo con el ejemplo 2.34, la direccion del vector #«v = (2,−3, 4) es

u = ( 2√29,− 3√

29, 4√

29).

Definicion 2.33 (Angulos y cosenos directores en R3 y Rn).

En R3. Sea #«v = (x1 , y1 , z1) ∈ R3, #«v 6= #«

0 ,

los angulos α1 , α2 y α3 que #«v forma con

las direcciones positivas de los ejes x, y y z

respectivamente, se llaman angulos direc-

tores de #«v , como se ilustra en la Figura

2.30. x

y

z

b

#»v = (x1, y

1, z

1)

O

α1

α2

α3

Figura 2.30 Angulos directores en R3

Los cosenos directores de #«v son:

cosα1 =x1

‖ #«v ‖ , cosα2 =y1

‖ #«v ‖ , cosα3 =z1

‖ #«v ‖

Ademas, se satisface cos2 α1 + cos2 α2 + cos2 α3 = 1, puesto que

cos2 α1 + cos2 α2 + cos2 α3 =x2

1

‖ #«v ‖2+

y21

‖ #«v ‖2+

z21

‖ #«v ‖2

=x2

1+ y2

1+ z2

1

‖ #«v ‖2=‖ #«v ‖2

‖ #«v ‖2= 1

Ası, u = (cosα1 , cosα2 , cosα3) es un vector unitario en R3. Es decir,

dir #«v = (cosα1 , cosα2 , cosα3).

En Rn. Sea #«v = (x1 , x2 , . . . , xn) un vector no nulo en Rn. Los angulos α1 , α2 , . . . , αn que #«v

forma con las direcciones positivas de los ejes x1 , x2 , . . . , xn respectivamente, se llaman angulos

directores de #«v . Los cosenos directores de #«v son:

cosα1 =x1

‖ #«v ‖ , cosα2 =x2

‖ #«v ‖ , . . . , cosαn=

xn

‖ #«v ‖ .

Ademas,

cos2 α1 + cos2 α2 + · · ·+ cos2 αn= 1.

Ası, un vector unitario en Rn es u = (cosα1 , cosα2 , . . . , cosαn). Es decir,

dir #«v = (cosα1 , cosα2 , . . . , cosαn).

Definicion 2.34 (Igualdad). Los vectores #«x = (x1 , x2 , . . . , xn) y#«y = (y1 , y2 , . . . , yn) son iguales

si y solo si x1 = y1 , x2 = y2 , . . . , xn = yn.

85


Ejemplo 2.36. Determine que par de vectores son iguales

a) #«x 1 = (1,−1, 0), #«y1 = (−1, 1, 0)

b) #«x 2 = (1.5, 1/2,√3/3, 0.3), #«y2 = (3/2, 3/6, 1/

√3, 1/3)

Solucion. Los vectores que son iguales son #«x 2 y #«y2 del literal b).

Ejemplo 2.37. Encuentre los valores de las constantes λ y β, si existen, para que los vectores

dados sean iguales.

a) #«x = (2, λ, λ+ β, 3), #«y = (λ, 2, 5, β)

b) #«x = (1, 2, λ+ β, 3), #«y = (λ, 2, 5, β)

Solucion. Por igualdad de vectores,

a) #«x = #«y si y solo si 2 = λ, λ = 2, λ+ β = 5, 3 = β. De ahı, λ = 2 y β = 3.

b) #«x = #«y si y solo si 1 = λ, 2 = 2, λ + β = 5, 3 = β. No existen valores de λ y β de modo

que #«x = #«y .

2.3.4. Operaciones basicas con vectores en Rn

Definicion 2.35 (Suma). Sean #«x = (x1 , . . . , xn) y#«y = (y1 , . . . , yn) vectores de Rn. Se define la

suma de #«x con #«y como el vector

#«z = #«x + #«y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn)

Definicion 2.36 (Multiplicacion por un escalar). Sean #«x = (x1 , x2 , . . . , xn) un vector de Rn y

λ un numero real. Se define la multiplicacion por un escalar de λ y #«x como

#«w = λ #«x = (λx1 , λx2 , . . . , λxn)

Sean #«x , #«y , #«z ∈ Rn y λ, β ∈ R. Entonces

suma multiplicacion por un escalar

1S. #«y + #«y ∈ Rn 1M. λ #«x ∈ Rn

2S #«x + #«y = #«y + #«x 2M. λ( #«x + #«y ) = λ #«x + λ #«y

3S. ( #«x + #«y ) + #«z = #«x + ( #«y + #«z ) 3M. (λ+ β) #«x = λ #«x + β #«x

4S. #«x +#«

0 = #«x 4M. (λβ) #«x = λ(β #«x )

5S. #«x + (− #«x ) =#«

0 5M. 1 #«x = #«x

Teorema 2.14. Propiedades de las operaciones basicas en Rn

86


Definicion 2.37 (Espacio vectorial). El conjunto Rn con las operaciones suma y multiplicacion

por un escalar definidas y satisfaciendo las propiedades 1S–5S, 1M–5M, denotado 〈Rn,+, .〉, esun espacio vectorial.

Notas.

1. La resta entre los vectores #«x = (x1 , x2 , . . . , xn) y #«y = (y1 , y2 , . . . , yn) de Rn, se define

como el vector

#«x − #«y = #«x + (− #«y ) = (x1 − y1 , x2 − y2 , . . . , xn − yn)

2. Sea#«

A y#«

B los vectores localizados de los puntos A y B de Rn, respectivamente. El vector

localizado de# «

AB es#«

C =#«

B − #«

A

3. El vector#«

0 se denomina el vector nulo, neutro o identidad.

4. El vector − #«x se llama el vector opuesto.

Definicion 2.38 (Combinacion lineal). Sean #«u , #«v 1 ,#«v 2 , . . . ,

#«vk, vectores de Rn. Se dice que #«u

es una combinacion lineal de los vectores #«v 1 ,#«v 2 , . . . ,

#«vksi existen escalares λ1 , λ2 , . . . , λk

tales

que

λ1

#«v 1 + λ2

#«v 2 + · · ·+ λk

#«vk= #«u (2.11)

Ejemplo 2.38. Determine si el vector #«u = (2, 4, 5) es combinacion lineal de los vectores #«v1 =

(1, 2, 1), #«v2 = (1, 1, 2) y #«v3 = (−1,−1, 1)

Solucion. #«u es combinacion lineal de #«v1 ,#«v2 y #«v3 si y solo si existen escalares λ1 , λ2 y λ3

tales que λ1

#«v1 + λ2

#«v2 + λ3

#«v3 =#«u . Al realizar las operaciones se tiene:

λ1(1, 2, 1) + λ2(1, 1, 2) + λ3(−1,−1, 1) = (2, 4, 5)

(λ1 + λ2 − λ3 , 2λ1 + λ2 − λ3 , λ1 + 2λ2 + λ3) = (2, 4, 5)

Por igualdad de vectores, se obtiene el sistema de ecuaciones lineales

λ1 + λ2 − λ3 = 2

2λ1 + λ2 − λ3 = 4

λ1 + 2λ2 + λ3 = 5

cuya solucion es λ1 = 2, λ2 = 1 = λ3 . Es decir,#«u = 2 #«v1 +

#«v2 +#«v3 .

Ejemplo 2.39. Determine si el vector #«u = (1, 3, 0) es combinacion lineal de los vectores #«v1 =

(1, 2, 1), #«v2 = (1, 1, 2) y #«v3 = (2, 3, 3)

Solucion. Se deben hallar, si existen, escalares λ1 , λ2 y λ3 tales que

λ1

#«v1 + λ2

#«v2 + λ3

#«v3 =#«u .

87


Reduciendo la matriz asociada del sistema de ecuaciones lineales que resulta de efectuar las

operaciones e igualdad de vectores, se tiene

1 1 2 | 12 1 3 | 31 2 3 | 0

f2 − 2f1

f3 − f1

1 1 2 | 1

0 −1 −1 | 1

0 1 1 | − 1

f3 − f2

1 1 2 | 1

0 −1 −1 | 1

0 0 0 | 0

Como el sistema tiene infinitas soluciones, #«u es combinacion lineal de los vectores dados.

Observe que un vector #«u es combinacion lineal de los vectores #«v1 ,#«v2 , . . . ,

#«vksi el siste-

ma que resulta de plantear la expresionk∑

i=1

λi#«v

i= #«u , es consistente. En otro caso, #«u no es

combinacion lineal de los vectores #«vi.

Definicion 2.39 (Espacio generado). Sea S = #«v1 ,#«v2 , . . . ,

#«vk ⊂ Rn. El espacio generado por

S, denotado por genS, se define como el conjunto formado por todos los vectores #«u de Rn que

son combinacion lineal de #«v1 ,#«v2 , . . . ,

#«vk. Es decir,

genS =

#«u ∈ Rn | #«u = λ1

#«v1 + λ2

#«v2 + · · ·+ λk

#«vk=

k∑

i=1

λi

#«vi

.

Ejemplo 2.40. Halle el espacio generado por los conjuntos de vectores

a) S1 = (1, 2,−1), (−2,−4, 2)

b) S2 = (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)

c) S3 = (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)

d) S4 = (1, 1, 2, 1), (1, 2, 3, 3), (−1, 1,−3,−3), (1, 2, 4, 5)

Solucion. Se tiene

a) #«u = (x, y, z) ∈ genS1 si y solo si existen escalares λ1 y λ2 tales que

λ1

#«v1 + λ2

#«v2 =#«u .

Al escribir la matriz asociada del sistema y reducirla se obtiene

1 −2 | x2 −4 | y−1 2 | z

→

1 −2 | x

0 0 | −2x+ y

0 0 | x+ z

.

El sistema tiene solucion si −2x+ y = 0 y x+ z = 0. Luego,

genS1 =(x, y, z) ∈ R3 | −2x+ y = 0 y x+ z = 0

.

88


b) #«u = (x, y, z) ∈ genS2 si y solo si existen escalares λ1 , λ2 y λ3 tales que

λ1

#«v1 + λ2

#«v2 + λ3

#«v3 =#«u .

Al reducir la matriz asociada del sistema se obtiene

1 0 1 | x0 1 1 | y0 1 1 | z

→

1 0 1 | x

0 1 1 | y

0 0 0 | −y + z

.

El sistema tiene solucion si −y + z = 0. Asi,

genS2 =(x, y, z) ∈ R3 | −y + z = 0

.

c) genS3 = #«u ∈ R3 | λ1

#«v1 + λ2

#«v2 + λ3

#«v3 =#«u ;λi ∈ R. La matriz asociada del sistema

resultante es

1 1 1 | x

0 1 1 | y

0 0 1 | z

.

El sistema tiene solucion unica para cada (x, y, z) ∈ R3. Luego, genS3 = R3.

d) genS4 =

#«u ∈ R4 |4∑

i=1

λi#«v i =

#«u ;λi ∈ R = #«u ;λi ∈ R

. Al escribir la matriz asociada

del sistema resultante y reducirla se obtiene

1 1 −1 1 | x

1 2 1 2 | y

2 3 −3 4 | z

1 3 −3 5 | w

−→

1 1 −1 1 | x

0 1 2 1 | y − x

0 0 3 −1 | x+ y − z

0 0 0 0 | 4x− 2z + w

.

El sistema tiene solucion si 4x− 2z + w = 0. Luego,

genS4 =(x, y, z, w) ∈ R4 | 4x− 2z + w = 0

.

Definicion 2.40. Se dice que S = #«v1 ,#«v2 , . . . ,

#«vk ⊂ Rn es un conjunto generador de H ⊆ Rn

si genS = H.

Definicion 2.41 (Dependencia e independencia lineal). S = #«v1 ,#«v2 , . . . ,

#«vk ⊂ Rn es li-

nealmente independiente (LI) si el vector nulo se puede escribir de manera unica como

combinacion lineal de los vectores #«vi, i = 1, 2, . . . , k. Es decir,

k∑

i=1

λi

#«vi=

#«

0 implica λ1 = λ2 = · · · = λk= 0

En otro caso, se dice que S es linealmente dependiente (LD).

89


En otras palabras, #«v1 ,#«v2 , . . . ,

#«vk ⊂ Rn es LI si el sistema homogeneo que resulta al hacer la

combinacion linealk∑

i=1

λi#«v i =

#«

0 , tiene solucion unica. En otro caso, se dice que S es LD.

Es usual hablar de vectores linealmente independientes y vectores linealmente dependientes

en lugar de conjunto de vectores LI y LD.

Ejemplo 2.41. Determine si los siguientes vectores son LI o LD.

a) #«v1 = (1, 2, 3), #«v2 = (−1,−3,−2), #«v3 = (1, 4, 2)

b) #«v1 = (1, 2, 3), #«v2 = (−1,−3,−2), #«v3 = (1, 1, 4)

Solucion. Al plantear la ecuacion3∑

i=1

λi#«v i = 0, se obtiene

a) λ1(1, 2, 3) + λ2(−1,−3,−2) + λ3(1, 4, 2) = 0.

1 −1 1 | 02 −3 4 | 03 −2 2 | 0

→

1 −1 1 | 00 −1 2 | 00 1 −1 | 0

→

1 0 −1 | 00 1 −2 | 00 0 1 | 0

Solucion unica. Luego, los vectores son linealmente independientes.

b) λ1(1, 2, 3) + λ2(−1,−3,−2) + λ3(1, 1, 4) = 0

1 −1 1 | 02 −3 1 | 03 −2 4 | 0

→

1 −1 1 | 00 −1 −1 | 00 1 1 | 0

→

1 0 2 | 00 1 1 | 00 0 0 | 0

Infinitas soluciones. Los vectores dados son linealmente dependientes.

Si un conjunto S contiene el vector#«

0 , entonces S es LD.

Teorema 2.15.

Demostracion. Sea S = #«v 1 ,#«v 2 , . . . ,

#«v k. Sin perdida de generalidad, se puede suponer que#«v 1 =

#«

0 . Entonces para cualquier λ1 6= 0, λ1

#«

0 + 0 #«v 2 + · · · + 0 #«v k = 0. Por lo tanto, S es

linealmente dependiente.

Definicion 2.42 (Vectores canonicos en R3 y Rn).

1. Los vectores unitarios ı = (1, 0, 0), = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1), se denominan vectores

canonicos de R3 y permiten escribir cualquier vector #«v = (a, b, c) en la forma

90


#«v = (a, b, c)

= aı+ b+ ck

OP (a, b, c)

b

b

x

y

z

ı

k

aı

b

ck

#«v = aı+b+

ck

Figura 2.31 Vectores canonicos en R3

2. En Rn los vectores unitarios e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . ., en = (0, 0, . . . , 1),

se denominan vectores canonicos y permiten escribir #«v = (a1 , a2 , . . . , an) en la forma

#«v = (a1 , a2 , . . . , an) = a1 e1 + a2e2 + · · ·+ anen =n∑

i=1

aiei.

2.3.5. Producto escalar o producto punto en Rn

Ejemplo 2.42 (Ejemplo introductorio). Un fabricante produce cuatro artıculos. Su deman-

da esta dada por el vector d = (30, 60, 40, 10) y el precio por unidad que recibe el fabricante esta

dado por el vector p = ($20, $50, $100, $25). ¿Cuanto dinero recibira el fabricante?

Solucion. Para determinar la cantidad de dinero que recibira el fabricante, se efectua el

siguiente calculo

30 · $20 + 60 · $50 + 40 · $100 + 10 · $25 = $7.850.

Observe que si la demanda es d = (d1 , d2 , d3 , d4) y el precio por unidad que recibe el fabricante

es p = ($p1 , $p2 , $p3 , $p4), entonces el dinero recibido por el fabricante es

d1p1 + d2p2 + d3p3 + d4p4 .

Para denotar la expresion anterior se escribira d • p. Es decir,

d • p = d1p1 + d2p2 + d3p3 + d4p4 .

Lo anterior motiva la siguiente definicion general.

Definicion 2.43 (Producto escalar). Sean #«u , #«v ∈ Rn. El producto escalar o producto punto

entre #«u = (x1 , x2 , . . . , xn) y#«v = (y1 , y2 , . . . , yn), denotado por #«u • #«v , se define como

#«u • #«v = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn =n∑

i=1

xiyi. (2.12)

Ejemplo 2.43. Sean #«u = (3,−2, 3), #«v = (4, 3, 1) y #«w = (−2, 2, 3). Calcule

a) #«u • #«v b) #«v • #«u c) #«u • #«w

d) #«u • ( #«v + #«w) e) #«u • #«v + #«u • #«w

91


Solucion. Se tiene #«v + #«w = (2, 5, 4)

a) #«u • #«v = 3 · 4 + (−2) · 3 + 3 · 1 = 9 b) #«v • #«u = 4 · 3 + 3 · (−2) + 1 · 3 = 9

c) #«u • #«w = −6− 4 + 9 = −1 d) #«u • ( #«v + #«w) = 6− 10 + 12 = 8

e) #«u • #«v + #«u • #«w = 8

Sean #«u , #«v , #«w ∈ Rn y λ ∈ R. Entonces


1. #«u • #«v = #«v • #«u Conmutativa

2. #«u • ( #«v + #«w) = #«u • #«v + #«u • #«w Distributiva

3. λ #«u • #«v = λ( #«u • #«v ) = #«u • λ #«v Regularidad escalar

4. #«u • #«u = ‖ #«u‖2 Relacion norma–producto punto

Teorema 2.16. Propiedades del producto escalar en Rn

Si #«u y #«v son vectores no nulos de Rn, entonces

1. ‖ #«u + #«v ‖2 = ‖ #«u‖2 + 2 #«u • #«v + ‖ #«v ‖2 2. ‖ #«u − #«v ‖2 = ‖ #«u‖2 − 2 #«u • #«v + ‖ #«v ‖2

Teorema 2.17.

Ejemplo 2.44. Sean #«u y #«v vectores de Rn tales que ‖ #«u‖ = 3, ‖ #«v ‖ = 4 y #«u • #«v = −6. Halle‖3 #«u − 2 #«v ‖.

Solucion. De acuerdo con los Teoremas 2.16 y 2.17, se tiene

‖3 #«u − 2 #«v ‖2 = ‖3 #«u‖2 − 2(3 #«u ) • (2 #«v ) + ‖2 #«v ‖2

= 9 ‖ #«u‖2 − 12 #«u • #«v + 4 ‖ #«u‖2 = 36 + 72 + 16 = 124

Luego, ‖3 #«u − 2 #«v ‖ =√124 = 2

√31.

Sean #«u , #«v ∈ Rn. Entonces

1. | #«u • #«v | ≤ ‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ Desigualdad de Cauchy–Schwarz

2. ‖ #«u + #«v ‖ ≤ ‖ #«u‖+ ‖ #«v ‖ Desigualdad triangular

Teorema 2.18.

Como una consecuencia inmediata de la desigualdad de Cauchy–Schwarz se puede afirmar que

para #«u 6= #«

0 y #«v 6= #«

0 , −1 ≤#«u • #«v

‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ ≤ 1, lo cual garantiza la existencia de un numero θ en

el intervalo [0, π] tal que

cos θ =#«u • #«v

‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ .

92


Angulo entre vectores y proyecciones

Definicion 2.44 (Angulo entre vectores). Sean #«u y #«v dos vectores no nulos de Rn. El angulo

θ entre #«u y #«v esta dado por

cos θ =#«u • #«v

‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ , 0 ≤ θ ≤ π. (2.13)

Ejemplo 2.45. Encuentre el angulo entre el par de vectores dados

a) #«u = (2, 3), #«v = (−3, 2) b) #«u = (2, 3, 1), #«v = (−3,−1, 2)

c) #«u = (1,−1, 2), #«v = (2,−2, 4) d) #«u = (1,−1, 2), #«v = (−2, 2,−4)

e) #«u = (1, 1, 0, 2), #«v = (0, 2, 1,−2)

Solucion. Usando la expresion (2.13) se tiene para cada caso.

a) cos θ =#«u • #«v

‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ = 0 porque #«u • #«v = 0. Entonces θ = 90o.

b) cos θ =#«u • #«v

‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ = − 7√14√14

= −1

2. Luego θ = cos−1(−0.5) = 120o.

c) cos θ =#«u • #«v

‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ =12

2√6√6= 1. De donde θ = cos−1(1) = 0o.

d) cos θ =#«u • #«v

‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ = − 12

2√6√6= −1. Por tanto, θ = cos−1(−1) = 180o.

e) cos θ =#«u • #«v

‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ = − 2√6 · 3

= − 2

3√6. Luego, θ = cos−1(− 2

3√6) ≈ 74.2o.

En la siguiente figura se ilustran los vectores y los angulos obtenidos para los literales a)–d). En

el literal a), los vectores #«u y #«v son perpendiculares u ortogonales, mientras que los vectores #«u

y #«v en c) y d) son paralelos.

y

xO

#»u = (2, 3)#»v = (−3, 2)

90o

b

b

xy

z

#»u = (2, 3, 1)

#»v = (−3,−1, 2)

120O

b

b

b

b

93


b

b

b

b

x y

z

#»u = (1,−1, 2)

#»v = (2,−2, 4)

0

O

b

b

x y

z

#»u = (1,−1, 2)

#»v = (−2, 2,−4)

180

O

Definicion 2.45 (Vectores paralelos). Dos vectores no nulos #«u y #«v de Rn son paralelos si el

angulo θ entre ellos es 0 o 180.

Definicion 2.46 (Vectores ortogonales). Dos vectores #«u y #«v no nulos de Rn son ortogonales

(o perpendiculares) si el angulo entre ellos es 90o.

Sean #«u y #«v dos vectores no nulos en Rn. Entonces

1. #«u y #«v son paralelos si y solo si | #«u • #«v | = ‖ #«u‖ ‖ #«v ‖.2. #«u y #«v son paralelos si y solo si existe λ ∈ R, λ 6= 0 tal que #«u = λ #«v .

3. #«u y #«v son ortogonales si y solo si #«u • #«v = 0

Teorema 2.19.

Demostracion. Se prueba la parte 1, las demas se dejan como ejercicios.

En primer lugar, sean #«u y #«v vectores paralelos. Es decir, el angulo entre ellos es 0 o 180 y

por tanto, cos θ = 1 o cos θ = −1. Ahora por (2.13),

#«u • #«v

‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ = 1 o#«u • #«v

‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ = −1.

Pero esto significa que | #«u • #«v |‖ #«u ‖‖ #«v ‖ = 1. Es decir, | #«u • #«v | = ‖ #«u‖ ‖ #«v ‖.

Ahora si | #«u • #«v | = ‖ #«u‖ ‖ #«v ‖, | #«u • #«v |‖ #«u ‖‖ #«v ‖ = 1. De ahı, cos θ = 1 o cos θ = −1. De donde,

θ = 0 o θ = 180. Luego, los vectores son paralelos.

Ejemplo 2.46. Halle todos los valores de a de modo que los vectores (2, a, a, 1) y (−1, a,−3,−2)sean ortogonales.

Solucion. Para que #«u y #«v sean ortogonales, #«u • #«v = 0. Es decir,

(2, a, a, 1) • (−1, a,−3,−2) = 0

a2 − 3a− 4 = 0

(a+ 4)(a− 1) = 0.

De donde, a = −4 o a = 1.

94


Ejemplo 2.47. Sean #«u = ı+ 3− 2k y #«v = 3ı+ 2+ k. Halle todos los vectores #«w que sean

combinacion lineal de #«u y #«v y que ademas, sean perpendiculares a #«v .

Solucion. Sea #«w = (x, y, z) el vector a determinar. Las condiciones que se deben satisfacer

implican λ1

#«u + λ2

#«v = #«w y #«v • #«w = 0. De ahı,

x = λ1 + 3λ2 (1)

y = 3λ1 + 2λ2 (2)

z = −2λ1 + λ2 (3)

3x+ 2y + z = 0 (4)

Al sustituir (1), (2) y (3) en (4) se obtiene λ1 = −2λ2 . Los vectores buscados son de la forma#«w = λ1(1,−4, 5), λ1 ∈ R.

Definicion 2.47 (Proyeccion y componente de un vector). Sean #«u y #«v dos vectores de Rn,#«u 6= #«

0 .

1. La proyeccion de #«v sobre #«u , denotada por proy #«u#«v , es

proy #«u#«v =

#«u • #«v

‖ #«u‖2#«u

2. La componente de #«v sobre #«u , denotada por comp #«u#«v , es

comp #«u#«v =

#«u • #«v

‖ #«u‖ = ‖ #«v ‖ cos θ

Sea#«

0 6= #«u ∈ Rn. Si #«v es cualquier vector de Rn, entonces el vector #«w = #«v − proy #«u#«v es

ortogonal a #«u .

Teorema 2.20.

Definicion 2.48. El vector #«w dado en el teorema 2.20 se denomina complemento ortogonal de#«u sobre #«v y se denota por #«u ⊥

#«v.

Ejemplo 2.48. Halle proy #«v#«u , proy #«u

#«v , comp #«v#«u , comp #«v

#«u y #«u ⊥#«v

para los vectores #«u =

(2, 1, 1,−1) y #«v = (3, 2,−1, 1).Solucion.

proy #«v#«u =

#«u • #«v‖ #«v ‖2

#«v = (−15, 215,− 1

15, 115), comp #«v

#«u =#«u • #«v‖ #«v ‖ = 6√

15

proy #«u#«v =

#«u • #«v‖ #«u ‖2

#«u = (27, 17, 17,−1

7), comp #«u

#«v =#«v • #«u‖ #«u ‖ = 6√

7

#«u ⊥#«v= (11

5, 1315, 1615,−16

15)

95


Una aplicacion del producto escalar

Trabajo realizado por una fuerza. Considere un objeto sobre el cual actua una fuerza#«

F y suponga que al objeto se le da un desplazamiento #«r , entonces el trabajo W realizado por#«

F en el desplazamiento #«r se define como el producto entre ‖ #«r ‖ y la componente de#«

F en la

direccion de #«r , es decir, W = ‖ #«

F‖ ‖ #«r ‖ cos θ =#«

F • #«r , en donde θ es el angulo entre#«

F y #«r .

#«

F

#«r

b b

A B

θ

︸︷︷︸

‖ #«

F‖ cos θ

Figura 2.32 Trabajo realizado por una fuerza

2.3.6. Producto vectorial en R3

En esta seccion se define el producto vectorial o producto cruz para vectores en R3 y se

ilustran algunas de sus aplicaciones.

Ejemplo 2.49 (Momento de una fuerza). El momento m de una fuerza#«

F respecto de un

punto P es el producto m = ±‖ #«

F‖ d, donde d es la distancia de P a la recta L definida por la

direccion de#«

F.

b

b

d

P

Q

#«r#«

F

θ

L

Figura 2.33 Momento de una fuerza

De la figura 2.33 se observa que |m| = ‖ #«

F‖ d = ‖ #«

F‖ ‖ #«r ‖ sen θ.Se define el vector momento como el vector #«m cuya longitud es ‖ #«

F‖ ‖ #«r ‖ sen θ, donde θ

es el angulo entre#«

F y #«r , se escribe #«m = #«r × #«

F. La magnitud de #«m es el momento m, y se

96


desplaza a lo largo del eje de rotacion que genera#«

F con respecto a P . En la practica, se le da

un signo al momento. El signo de m es positivo si la fuerza tiende a producir rotacion en sentido

antihorario respecto al punto dado, y es negativo en caso contrario.

Recuerde: todo vector #«u = (a, b, c) de R3 se puede escribir de forma unica como com-

binacion lineal de los vectores canonicos ı = (1, 0, 0), = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1). Es decir,#«u = aı+ b+ ck.

Definicion 2.49 (Producto vectorial). Sean #«u = u1 ı + u2 + u3k y #«v = v1 ı + v2 + v3k dos

vectores en R3. El producto vectorial o producto cruz entre #«u y #«v , denotado por #«u × #«v (lease

u cruz v ), es el vector

#«u × #«v = (u2v3 − u3v2)ı− (u1v3 − u3v1)+ (u1v2 − u2v1)k (2.14)

Observacion. Debido a que la expresion (2.14) no es facil de recordar, a continuacion se

introducen los determinantes 2× 2 y 3× 3 para escribir una definicion equivalente del producto

vectorial usando determinantes.

Definicion 2.50 (Determinante de orden 2). Sea A =

(a11 a12

a21 a22

)

una matriz 2× 2. El deter-

minante de A, denotado por detA o |A|, esta dado por

detA =

∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣= a11a22 − a21a12

Definicion 2.51 (Determinante de orden 3). Sea A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

una matriz 3 × 3. El

determinante de A, denotado por detA o |A|, es

detA =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

= a11

∣∣∣∣

a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣

a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣

a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣

Ejemplo 2.50. Calcule detA en cada caso

a) A =

2 −3 −33 −1 −2−4 2 2

b) A =

a b c2 1 −2−3 2 2

.

Solucion.

a) |A| =

∣∣∣∣∣∣

2 −3 −33 −1 −2−4 2 2

∣∣∣∣∣∣

= 2

∣∣∣∣

−1 −22 2

∣∣∣∣− (−3)

∣∣∣∣

3 −2−4 2

∣∣∣∣+ (−3)

∣∣∣∣

3 −1−4 2

∣∣∣∣

97


= 2[−2− (−4)] + 3(6− 8)− 3(6− 4) = 4− 6− 6 = −8.

b) |A| =

∣∣∣∣∣∣

a b c

2 1 −2−3 2 2

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

1 −22 2

∣∣∣∣a−

∣∣∣∣

2 −2−3 2

∣∣∣∣b+

∣∣∣∣

2 1

−3 2

∣∣∣∣c

= [2− (−4)] a− (4− 6)b+ [4− (−3)] c = 6a+ 2b+ 7c

Definicion 2.52 (Producto cruz usando determinantes). El producto vectorial entre los vectores#«u = u1 ı+ u2 + u3k y #«v = v1 ı+ v2 + v3k de R3 esta dado por

#«u × #«v =

∣∣∣∣∣∣∣

ı k

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣∣

Ejemplo 2.51. Sean #«u = (2, 1,−2), #«v = (−3, 2, 2) y #«w = (1,−4, 3). Calculea) #«u × #«v b) #«v × #«u c) #«u × ( #«v + #«w)

d) #«u × #«v + #«u × #«w e) #«u • ( #«u × #«v ) f) #«v • ( #«u × #«v )

Solucion. Se tiene

a) #«u × #«v =

∣∣∣∣∣∣∣

ı k

2 1 −2−3 2 2

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

1 −22 2

∣∣∣∣ı−

∣∣∣∣

2 −2−3 2

∣∣∣∣+

∣∣∣∣

2 1

−3 2

∣∣∣∣k

= [2− (−4)] ı− (4− 6)+ [4− (−3)]k = 6ı+ 2+ 7k = (6, 2, 7)

b) #«v × #«u =

∣∣∣∣∣∣∣

ı k

−3 2 2

2 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

2 2

1 −2

∣∣∣∣ı−

∣∣∣∣

−3 2

2 −2

∣∣∣∣+

∣∣∣∣

−3 2

2 1

∣∣∣∣k = (−6,−2,−7)

c) #«u × ( #«v + #«w) =

∣∣∣∣∣∣∣

ı k

2 1 −2−2 −2 5

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

1 −2−2 5

∣∣∣∣ı−

∣∣∣∣

2 −2−2 5

∣∣∣∣+

∣∣∣∣

2 1

−2 −2

∣∣∣∣k

= (5− 4)ı− (10− 4)+ (−4 + 2)k = ı− 6− 2k = (1,−6,−2)

d) #«u × #«w =

∣∣∣∣∣∣∣

ı k

2 1 −21 −4 3

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

1 −2−4 3

∣∣∣∣ı−

∣∣∣∣

2 −21 3

∣∣∣∣+

∣∣∣∣

2 1

1 −4

∣∣∣∣k

= (3− 8)ı− [6− (−2)]+ (−8− 1)k = −5ı− 8− 9k = (−5,−8,−9)

98


Observe: #«u × #«v + #«u × #«w = ı− 6− 2k = #«u × ( #«v + #«w).

e) #«u • ( #«u × #«v ) = 0 f) #«v • ( #«u × #«v ) = 0

En el siguiente teorema se enuncian muchas de las propiedades del producto cruz.

Sean #«u , #«v , #«w vectores de R3 y λ ∈ R. Entonces


1. #«u × #«v = − #«v × #«u Anticonmutativa

2. #«u × ( #«v + #«w) = #«u × #«v + #«u × #«w Distributiva por la izquierda

3. ( #«u + #«v )× #«w = #«u × #«w + #«v × #«w Distributiva por la derecha

4. λ #«u × #«v = λ( #«u × #«v ) = #«u × λ #«v Regularidad escalar

5.#«

0 × #«v = #«v × #«

0 =#«

0 Paralelismo con#«

0

6. #«v × #«v =#«

0 Paralelismo consigo mismo

7. λ #«v × #«v =#«

0 Paralelismo

8. #«u • ( #«u × #«v ) = #«v • ( #«u × #«v ) = 0 Perpendicularidad

Teorema 2.21. Propiedades del producto vectorial

De la propiedad 7 se puede concluir que dos vectores no nulos son paralelos si su producto

vectorial es#«

0 y de la propiedad 8, que #«u × #«v es ortogonal tanto a #«u como a #«v , como se ilustra

en la figura siguiente.

#«u

#«v

#«u × #«v

#«u

#«v

#«v × #«u

Figura 2.34 Direccion de ~u× ~v y de ~v × ~u

Definicion 2.53 (Producto mixto). El producto mixto o triple producto escalar de los

vectores #«u , #«v y #«w de R3 esta dado por #«u • ( #«v × #«w).

Ejemplo 2.52. Sean #«u = (2,−3, 3), #«v = (−1, 3,−2) y #«w = (3, 4,−2). Calcule

a) #«u • ( #«v × #«w) b)

∣∣∣∣∣∣∣

2 −3 3

−1 3 −23 4 −2

∣∣∣∣∣∣∣

Solucion.

99


a) #«v × #«w =

∣∣∣∣∣∣∣

ı k

−1 3 −23 4 −2

∣∣∣∣∣∣∣

= (2,−8,−13), #«u • ( #«v × #«w) = 4 + 24− 39 = −11

b)

∣∣∣∣∣∣∣

2 −3 3

−1 3 −23 4 −2

∣∣∣∣∣∣∣

= (−6 + 8) · 2− (2 + 6) · (−3) + (−4− 9) · 3 = 4 + 24− 39 = −11

En el ejemplo 2.52 se ilustra la relacion que hay entre el producto mixto ( #«u × #«v ) • #«w y el deter-

minante de la matriz cuyas filas son las componentes de los vectores #«u , #«v y #«w, respectivamente.

Esta relacion se generaliza en el siguiente Teorema, parte 2.

Sean #«u , #«v y #«w vectores de R3. Entonces

1. #«u • ( #«v × #«w) = #«v • ( #«w × #«u ) = #«w • ( #«u × #«v ).

2. Si #«u = (u1 , u2 , u3),#«v = (v1 , v2 , v3) y

#«w = (w1 , w2 , w3), entonces

( #«u × #«v ) • #«w =

∣∣∣∣∣∣

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣

.

Teorema 2.22.

Definicion 2.54 (Triple producto vectorial). El triple producto vectorial de #«u , #«v y #«w de

R3 se define como #«u × ( #«v × #«w).

Ejemplo 2.53. Sean #«u = (2,−3, 3), #«v = (−1, 3,−2) y #«w = (3, 4,−2). Calcule#«u × ( #«v × #«w).

Solucion. #«u × ( #«v × #«w) =

∣∣∣∣∣∣∣

ı k

2 −3 3

2 −8 −13

∣∣∣∣∣∣∣

= (63, 32,−10)

Sean #«u , #«v y #«w vectores de R3. Entonces #«u × ( #«v × #«w) = ( #«u • #«w) #«v − ( #«u • #«v ) #«w.

Teorema 2.23.

Sean #«u , #«v ∈ R3. Entonces ‖ #«u × #«v ‖2 = ‖ #«u‖2 ‖ #«v ‖2 − ( #«u • #«v )2.

Teorema 2.24. Identidad de Lagrange

Demostracion.

‖ #«u × #«v ‖2 = ( #«u × #«v ) • ( #«u × #«v ) Teorema 2.16, Parte 4.

100


= #«u • [ #«v × ( #«u × #«v )] Teorema 2.22, Parte 1.

= #«u • [ ( #«v • #«v ) #«u − ( #«u • #«v ) #«v ] Teorema 2.23.

= ( #«v • #«v )( #«u • #«u )− ( #«u • #«v )( #«u • #«v ) Teorema 2.16, Parte 2.

= ‖ #«u‖2 ‖ #«v ‖2 − ( #«u • #«v )2 Teorema 2.16, Parte 4.

Si #«u y #«v son vectores de R3, entonces

‖ #«u × #«v ‖ = ‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ sen θ, donde θ es el angulo entre #«u y #«v .

Teorema 2.25.

Demostracion. Justifique los pasos

‖ #«u × #«v ‖2 = ‖ #«u‖2 ‖ #«v ‖2 − ( #«u • #«v )2 Identidad de Lagrange.

= ‖ #«u‖2 ‖ #«v ‖2 − ‖ #«u‖2 ‖ #«v ‖2 cos2 θ= ‖ #«u‖2 ‖ #«v ‖2 (1− cos2 θ)

= ‖ #«u‖2 ‖ #«v ‖2 sen2 θ.

Por lo tanto, ‖ #«u × #«v ‖ = ‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ sen θ.

2.3.7. Aplicaciones del producto vectorial

1. Areas

Sean dos vectores no nulos y no paralelos #«u y #«v de R3 y A el area del paralelogramo

determinado por los vectores #«u y #«v , como se ilustra en la Figura 2.35. Se sabe que A = bh,

donde b = ‖ #«u‖ es longitud de la base #«u y h es la altura del paralelogramo.

Pero, h = ‖ #«v ‖ sen θ. Luego,

A = ‖ #«u‖ ‖ #«v ‖ sen θ = ‖ #«u × #«v ‖ .

Es decir, ‖ #«u × #«v ‖ es numericamente igual

al area del paralelogramo determinado por

los vectores #«u y #«v .

θ

h

#«u

#«v

Figura 2.35 Paralelogramo

Ejemplo 2.54. Calcule el area del paralelogramo determinado por los vectores#«u = (1,−2,−3) y #«v = (2,−3,−4).

Solucion. #«u × #«v =

∣∣∣∣∣∣∣

ı k

1 −2 −32 −3 −4

∣∣∣∣∣∣∣

= −ı− 2+ k. Luego, A = ‖ #«u × #«v ‖ =√6.

101


Definicion 2.55. Sean #«u , #«v y #«w tres vectores no nulos de R3, #«u y #«v no paralelos y ϕ el angulo

entre #«u × #«v y #«w. Se dice que 〈 #«u , #«v , #«w〉 es una terna

1. Coplanar si ϕ = 90.

2. De mano derecha si 0 ≤ ϕ < 90. Esta

situacion se ilustra en la figura 2.36.

3. De mano izquierda si 90 < ϕ ≤ 180.

#«u

#«v

#«w

#«u

#«v

#«w

#«u × #«v

ϕ

Figura 2.36 Terna de mano derecha

Ejemplo 2.55. 〈ı, , k〉 es una terna de vectores de mano derecha porque ı× = k, de donde

ϕ = 0; 〈 #«u = (1, 2,−1), #«v = (2, 3,−2), #«w = (−1, 0, 1)〉 es una terna coplanar puesto que

( #«u × #«v ) • #«w = 0, (verifique).

2. Volumenes

Sea 〈 #«u , #«v , #«w〉 una terna de mano derecha en R3, como se ilustra en la Figura 2.37 y sea

V el volumen del paralelepıpedo determinado por los vectores #«u , #«v y #«w. Entonces V = Sh,

donde S es el area de la base y h es la altura. De la aplicacion anterior,

S = ‖ #«u × #«v ‖ y h = ‖ #«w‖ cosϕ.

Luego

V = ‖ #«u × #«v ‖ ‖ #«w‖ cosϕ = ( #«u× #«v ) • #«w,

pues ϕ es el angulo entre #«w y #«u× #«v .

h

#«u

#«v

#«w

#«u × #«v

ϕ

Figura 2.37 Paralelepıpedo

En general, el volumen del paralelepıpedo determinado por los vectores #«u , #«v y #«w esta

dado, numericamente, por V = |( #«u × #«v ) • #«w|.

#«u

#«v

#«w

(a) Paralelepıpedo (b) Medio paralelepıpedo (c) Tetraedro

Figura 2.38 En un paralelepıpedo hay 6 tetraedros

102


El volumen del tetraedro determinado por #«u , #«v y #«w esta dado por

VTET

= 16V

PAR= 1

6|( #«u × #«v ) • #«w|

Ejemplo 2.56. Determine el volumen del paralelepıpedo cuyos lados adyacentes son los vectores#«u = (1,−2,−3), #«v = (2,−3,−4) y #«w = (3, 2,−2)

Solucion. En el ejemplo 2.54 se encontro que #«u × #«v = (−1,−2, 1). Luego,

V = |( #«u × #«v ) • #«w| = |(−1,−2, 1) • (3, 2,−2)| = |−3− 4− 2| = |−9| = 9

2.3.8. Rectas y planos en R3

Rectas en R3

Una recta L en R3 queda determinada por un punto P0(x0 , y0 , z0) por donde pasa y un

vector no nulo #«v = (a, b, c) paralelo a la recta. A #«v se le denomina vector director de la recta

L.

x

y

z

b

b

P0(x0 , y0 , z0)

R(x, y, z)

#»v = (a, b, c)

#»v

L

Figura 2.39 Recta en R3

Ahora, si R(x, y, z) es un punto cualquiera de la recta L, entonces el vector # «

P0R es paralelo

a ella. Luego, existe un numero real t tal que# «

P0R = t #«v . Como# «

P0R =#«

R − #«

P0 , se obtiene una

ecuacion vectorial de la recta L#«

R =#«

R(t) =#«

P0 + t #«v , t ∈ R. (2.15)

En terminos de sus coordenadas se tiene

(x, y, z) = (x0 , y0 , z0) + t(a, b, c) para algun t ∈ R,

de donde

x = x0 + at

y = y0 + bt; t ∈ R.

z = z0 + ct

(2.16)

103


se denominan ecuaciones parametricas de L.Ademas, si a 6= 0, b 6= 0 y c 6= 0, se puede despejar t de (2.16) y al igualar se obtienen

unas ecuaciones, llamadas ecuaciones simetricas

x− x0

a=

y − y0

b=

z − z0

c.

Si a = 0, b 6= 0 y c 6= 0, unas ecuaciones simetricas son

x = x0 ,y − y0

b=

z − z0

c.

De manera similar se pueden obtener ecuaciones simetricas para L cuando a 6= 0, b = 0 y c 6= 0

o a 6= 0, b 6= 0 y c = 0.

y = y0 ,x− x0

a=

z − z0

co z = z0 ,

x− x0

a=

y − y0

b

Ejemplo 2.57. Determine ecuaciones parametricas de la recta que satisface las siguientes con-

diciones

a) Contiene el punto P (2,−1, 3) y es paralela al vector #«v = (−1, 2,−2). Halle los puntos

donde dicha recta corta a los planos coordenados.

b) Pasa por el punto Q(3, 1,−2) y corta perpendicularmente a la recta

L1 = x = 1 + 2t, y = 2− t, z = 3− 2t, t ∈ R .

Solucion.

a) Unas ecuaciones parametricas para la recta son:

L : x = 2− t, y = −1 + 2t, z = 3− 2t, t ∈ R

ya que un vector director es el vector #«v dado.

La recta cruza al plano xy cuando z = 0. Es decir, 3 − 2t = 0, de donde t = 3/2. Al

sustituir, se obtiene x = 1/2, y = 2. Ası, la recta cruza al plano xy en el punto (1/2, 2, 0).

De manera analoga, se encuentra que la recta cruza al plano xz en el punto (3/2, 0, 2) y

al plano yz en el punto (0, 3,−1).

b) Sean L1 la recta dada y L2 la recta buscada. Un grafico ayuda a visualizar mejor la

situacion

104


x y

z

b

b

b

Q(3, 1,−2)

P (1, 2, 3)

R #»v1 = (2,−1,−2)

#»v2

L1

L2

q

Figura 2.40 Grafica ejemplo 2.57(b)

Sea R(x, y, z) el punto de interseccion de L1 y L2 (desconocido por ahora). Puesto que las rectas

son perpendiculares, #«v1•

# «

QR = 0. Pero# «

QR =#«

R − #«

Q = (x− 3, y − 1, z + 2). Entonces,

#«v1•

# «

QR = 0 implica 2(x− 3)− (y − 1)− 2(z + 2) = 0,

de donde,

2x− y − 2z = 9. (I)

Como R esta en L1 , existe t tal que x = 1 + 2t, y = 2 − t, z = 3 − 2t. Sustituyendo en (I) y

despejando t se obtiene t = 5/3. Luego, las coordenadas de R son x = 13/3, y = 1/3, z = −1/3y

# «

QR = (4/3,−2/3, 5/3). El vector #«v2 es paralelo a L2 , ası, se puede elegir#«v2 = (4,−2, 5) como

un vector director para L2 . Por lo tanto, unas ecuaciones parametricas para L2 son

x = 3 + 4r, y = 1− 2r, z = −2 + 5r; r ∈ R.

Distancia de un punto a una recta en R3

x

y

z

b

b

Q

P

d

#»v

#»v

# »

PQ

L

Figura 2.41 Distancia de Q a L

Sea L una recta con vector director #«v que pasa por el punto P , y Q un punto arbitrario

de R3. Los vectores #«v y# «

PQ determinan un paralelogramo de area S, figura 2.41. La altura es

105


igual a d, la distancia de P a L. Como

S = || #«v ||d y S = || #«v × # «

PQ||,

entonces la distancia d de Q a L es

d =|| #«v × # «

PQ|||| #«v ||

Ejemplo 2.58. Encuentre la distancia del punto Q(2, 3,−3) a la recta

L :x− 1

3=

y + 2

2=

z − 1

−2 .

Solucion. Un vector director de L es #«v = (3, 2,−2) y un punto es P (1,−2, 1). Ası,# «

PQ = (1, 5,−4) y #«v × # «

PQ = (2, 10, 13). Por lo tanto,

d =|| #«v × # «

PQ|||| #«v || =

√273√17

.

Rectas paralelas, perpendiculares y cruzadas

Definicion 2.56. Sean L1 y L2 dos rectas con vectores directores #«v1 y #«v2 , respectivamente. Se

dice que L1 y L2 son:

1. Paralelas si #«v1 y #«v2 son paralelos y no tienen puntos en comun. Figura 2.42.

2. Coincidentes si #«v1 y #«v2 son paralelos y tienen todos sus puntos en comun.

3. Perpendiculares si #«v1 y #«v2 son ortogonales. Figura 2.43.

4. Cruzadas o sesgadas si no se cortan y #«v1 y #«v2 no son paralelos.

x

y

z

b

b

Q

P

#»v1

#»v1

#»v2

#»v2

L1

L2

#»v1 ‖ #»v2 , L1 ∩ L2 = ∅

Figura 2.42 Rectas paralelas

x

y

z

b

b

Q

P

#»v1

#»v1

#»v2

#»v2

L1

L2

#»v1 ⊥ #»v2

Figura 2.43 Rectas perpendiculares

106


Ejemplo 2.59. Determine si el par de rectas son paralelas, coincidentes, perpendiculares o

cruzadas.

L1 :

x = 1− 2t

y = −3 + 2t ;

z = 2− t

t ∈ R y L2 :

x = 2 + r

y = −1 + 2r ;

z = 3 + 2r

r ∈ R

Solucion. Sean #«v1 = (−2, 2,−1) y #«v2 = (1, 2, 2) vectores directores de L1 y L2 respecti-

vamente. Claramente las rectas no son paralelas, ya que ninguno de los vectores directores es

multiplo escalar del otro. Como #«v1• #«v2 = 0, las rectas son perpendiculares. Ahora se procede a

determinar siL1 y L2 se cortan o no. Si lo hacen en un punto P (x, y, z), debe existir un unico t

y un unico r tal que

1− 2t = 2 + r (A)

−3 + 2t = 1− 2r (B)

2− t = 3 + 2r (C)

Sumando miembro a miembro (A) con (B) se tiene −2 = 3 − r, de donde r = 5. Al sustituir

este valor de r en (A) y al despejar se obtiene t = −3. Al verificar estos valores en (C) se tiene

2− (−3) = 3+2(5), lo cual es falso. Por lo tanto, las rectas no se cortan, es decir, son cruzadas.

Planos en R3

Un plano en R3 queda completamente determinado cuando se conoce un punto P (x0 , y0 , z0)

de el y un vector no nulo#«

N que sea perpendicular, llamado vector normal, como lo ilustra la

Figura 2.44.

x

y

z

b

bP (x0 , y0 , z0)

Q(x, y, z)

#»

N = (a, b, c)

π

Figura 2.44 Plano en R3

Ahora, sea#«

N = (a, b, c) un vector normal al plano π que contiene el punto P0(x0 , y0 , z0).

Un punto Q(x, y, z) esta en el plano si y solo si

#«

N •# «

P0Q = 0.

107


Es decir,

a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0. (2.17)

Equivalentemente

ax+ by + cz = d, (2.18)

donde d =#«

N •# «

P0 = ax0 + by0 + cz0 .

A cualquiera de las expresiones (2.17) o (2.18) se le denomina ecuacion cartesiana del

plano π.

Ejemplo 2.60. Determine una ecuacion cartesiana del plano que contiene el punto P (4, 2,−1)y un vector normal es

#«

N = (3, 4, 8). Dibuje el plano.

Solucion. Sea Q(x, y, z) un punto arbitrario del plano. Una ecuacion cartesiana del plano

es#«

N •#«

Q =#«

N •#«

P; es decir, 3x + 4y + 8z = 12. Un procedimiento para realizar la grafica, es el

siguiente:

• Se ubican tres puntos no colineales en el plano. En este caso, se tomaron los intersectos

con los ejes coordenados.

• Se dibuja un triangulo con estos puntos y se traza un paralelogramo con lados paralelos a

dos de los lados del triangulo.

En la siguiente figura, se ilustra este procedimiento

xy

z

b

b

b

A(4, 0, 0)B(0, 3, 0)

C(0, 0, 32)

xy

z

b

b

b

b

P (4, 2,−1)

#»

N = (3, 4, 8)

3x+ 4y + 8z = 12

Ejemplo 2.61. Determine una ecuacion cartesiana del plano que contiene los puntos

P (5, 1, 2), Q(2, 3, 3) y R(2,−1, 3)

Solucion. En primer lugar, se encuentra un vector normal al plano.

108


b

b

b

P

Q

R# «

PQ× # «

PR

Un vector normal al plano es# «

PQ× # «

PR.

Se tiene# «

PQ =#«

Q − #«

P = (−3, 2, 1) y# «

PR =#«

R − #«

P = (−4,−3,−1). Luego,

# «

PQ× # «

PR =

∣∣∣∣∣∣∣

ı k

−3 2 1

−4 −3 −1

∣∣∣∣∣∣∣

= ı− 7+ 17k =#«

N.

Ası, una ecuacion cartesiana del plano buscado es x− 7y + 17z = 32.

En la siguiente figura, se ilustra la grafica del plano.

xy

z

b

b

b

P (5, 1, 2)

Q(2, 3, 3)

R(1,−2, 1)

#»

N1 = (14 ,−74 ,

174 )

x− 7y + 17z = 32

Se dice que un vector pertenece al plano si su origen y su extremo son puntos del plano;

similarmente una recta esta en un plano si dos puntos distintos de la recta estan en el plano.

Ejemplo 2.62. Encuentre la ecuacion cartesiana del plano que pasa por el punto R(2,−1,−1)y que ademas contiene a la recta

L : x = 1− 2t, y = 1 + 2t, z = −2 + t; t ∈ R.

Solucion. Un grafico ayuda a ilustrar mejor la situacion.

109


P

R

b

b

#«v × # «

PR

#«vL

Un vector director de L es #«v = (−2, 2, 1). El vector #«v y el vector# «

PR, donde P es un

punto cualquiera de L, son paralelos al plano, puesto que P y R son puntos del plano y #«v es

paralelo a L. Ası, un vector normal al plano es #«v × # «

PR. Un punto de la recta es P (1, 1,−2),# «

PR = (1,−2, 1) y #«v × # «

PR = (4, 3, 2) =#«

N. Por lo tanto, la ecuacion cartesiana del plano es

4x+ 3y + 2z = 3. En la figura siguiente se muestra la grafica del plano.

x y

z

b

b

P (1, 1,−2)

#»v = (−2, 2, 1)

R(2,−1,−1)

#»

N

L

Definicion 2.57 (Angulo entre dos planos). Sean π1 y π2 dos planos con vectores normales#«

N1

y#«

N2 respectivamente. El angulo θ entre π1 y π2 se define como el menor de los angulos que

forman los vectores#«

N1 con#«

N2 o#«

N1 con − #«

N2 , como se ilustra en la figura 2.45. El angulo θ

satisface

cos θ =| #«N1

•#«

N2|‖ #«

N1‖‖#«

N2‖.

110


x

y

z

#»

N2

#»

N1

π1 : a

1 x+ b1 y + c

1 z = d1

θ

π2 : a

2 x+ b2 y + c

2 z = d2

Figura 2.45 Angulo entre dos planos

Ejemplo 2.63. Determine el angulo entre el par de planos

π1 : 2x+ y + z = 3, π2 : x− y + 2z = 3.

Solucion. Los vectores#«

N1 = (2, 1, 1) y#«

N2 = (1,−1, 2) son normales a los planos π1 y π2

respectivamente. Sea θ el angulo entre#«

N1 y#«

N2 . Entonces

cos θ =| #«

N1• #«

N2 |‖ #«

N1‖‖#«

N2‖= |3|√

6√6= 1

2.

Luego, θ = 60.

Planos paralelos, perpendiculares y oblicuos

Definicion 2.58. Sean π1 y π2 dos planos con vectores normales#«

N1 y#«

N2 respectivamente. Los

planos π1 y π2 son:

1. Paralelos, si#«

N1 y#«

N2 lo son y los planos no tienen puntos en comun.

2. Coincidentes o iguales, si#«

N1 y#«

N2 son paralelos y los planos tienen al menos un punto en

comun.

3. Perpendiculares si,#«

N1 y#«

N2 lo son, es decir, si#«

N1•

#«

N2 = 0.

4. Oblicuos si el angulo θ entre#«

N1 y#«

N2 satisface 0 < θ < π/2.

111


x y

z

b

b

#»

N1

#»

N2

#»

N1 ‖#»

N2

π1

π2

Figura 2.46 Planos paralelos

xy

z

b

#»

N1

#»

N2

#»

N1 ⊥#»

N2

π1

π2

Figura 2.47 Planos perpendiculares

Ejemplo 2.64. Sean Q(2, 3,−1), R(3, 1,−2) ∈ R3 y π1 : 2x− y + z = 4.

a) Muestre que Q y R no pertenecen al plano π1 .

b) Determine una ecuacion cartesiana para el plano π2 que contiene los puntos Q y R y es

perpendicular a π1 .

c) Halle ecuaciones parametricas para la recta interseccion entre π1 y π2 .

Solucion. Se deja para que el lector resuelva la parte a).

b) Como π1 y π2 son perpendiculares, el vector#«

N1 = (2,−1, 1) es paralelo al plano buscado.

Otro vector paralelo es# «

QR, puesto que Q y R son puntos del plano. Luego, el vector#«

N1 ×# «

QR es normal a π2 .

#«

N1 ×# «

QR =

∣∣∣∣∣∣

ı k

2 −1 11 −2 −1

∣∣∣∣∣∣

= (3, 3,−3) = 3(1, 1,−1).

Al elegir como vector normal#«

N2 = (1, 1,−1), la ecuacion cartesiana del plano buscado

π2 es: x+ y − z = 6.

c) Una forma de encontrar las ecuaciones parametricas de la recta es resolviendo el sistema

2x− y + z = 4

x+ y − z = 6.

Mediante eliminacion se obtienen las ecuaciones parametricas de la recta L:

x = 103, y = 8

3+ t, z = t; t ∈ R.

La grafica muestra los dos planos y la recta interseccion.

112


xy

z

b

b

b

Q(2, 3,−1)R(3, 1,−2)

#»

N1

#»

N2

π1 : 2x− y + z = 4

L

π2

Ejemplo 2.65. Dibuje los planos de ecuaciones

a) x = 3 b) 2x+ 3z = 6 c) 2x+ y + 3z = 6

Solucion. Se hallan los puntos donde los planos cortan a los ejes coordenados, luego se

dibujan paralelogramos para representar una porcion del plano.a) El plano x = 3, corta al eje x en el punto (3, 0, 0). No corta al eje y ni al eje z, por tanto,

es paralelo al plano yz.

b) El plano 2x+3z = 6 corta a los ejes x y z en los puntos (3, 0, 0) y (0, 0, 2) respectivamente.

No corta al eje x, ası, es paralelo a dicho eje.

c) El plano 2x+ y + 3z = 6 corta a los ejes en los puntos (3, 0, 0), (0, 6, 0) y (0, 0, 2).

En las figuras que siguen se muestran las graficas de los tres planos.

x

y

z

bP (3, 0, 0)

x = 3

xy

z

bP (3, 0, 0)

R(0, 0, 2)2x+ 3z = 6

113


x

y

z

bP (3, 0, 0)

Q(0, 6, 0)

R(0, 0, 2) 2x+ y + 3z = 6

Obervaciones. Dado un plano de ecuacion cartesiana ax+ by+ cz = d con vector normal#«

N = (a, b, c) 6= #«

0 , se presentan los siguientes casos.

1. ax+ by + cz = 0: plano que pasa por el origen.

2. ax+ by = d; a 6= 0, b 6= 0: plano paralelo al eje z o que pasa por este.

3. ax+ cz = d; a 6= 0, c 6= 0: plano paralelo al eje y o que coincide con el.

4. by + cz = d; b 6= 0, c 6= 0: plano paralelo al eje x o coincide con el.

5. ax = d; a 6= 0: plano paralelo al plano yz o que coincide con el. Es decir, x = x0 . La

ecuacion x = 0 representa el plano yz.

6. by = d; b 6= 0: plano paralelo al plano yz o que coincide con el. O sea, y = y0 . La ecuacion

y = 0 representa el plano xz.

7. cz = d; c 6= 0: plano paralelo al plano xy o que coincide con el. Es decir, z = z0 . La

ecuacion z = 0 representa el plano xy.

8. Si a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0 y d 6= 0, la ecuacion se puede escribir como

x

a1

+y

b1+

z

c1= 1,

donde a1 = d/a, b1 = d/b y c1 = d/c, llamada ecuacion segmentaria.

2.3.9. Ecuacion vectorial y ecuaciones parametricas de un plano

Un plano π en R3 tambien queda determinado si se conoce un punto P0 en el y dos vectores

no nulos #«v1 y #«v2 paralelos a π, pero no paralelos entre sı.

114


xy

z

b

b

P0

P#»v1

λ1#»v1

#»v2

λ2#»v2

π

Figura 2.48 Ecuacion vectorial de un plano

Sea P un punto arbitrario del plano y#«

P su vector de posicion. De la figura 2.48 se observa

que# «

P0P es una combinacion lineal de #«v1 y #«v2 . Es decir,# «

P0P = λ1

#«v1 + λ2

#«v2 . Ademas,

#«

P =#«

P0 + λ1

#«v1 + λ2

#«v2︸︷︷︸

# «

P0P

; con λ1 , λ2 ∈ R (2.19)

La expresion (2.19) se denomina ecuacion vectorial del plano π.

En terminos de sus coordenadas se tienen unas ecuaciones parametricas:

x = x0 + λ1a1 + λ2a2

y = y0 + λ1b1 + λ2b2

z = z0 + λ1c1 + λ2c2

; λ1 , λ2 ∈ R (2.20)

Ejemplo 2.66. Determine ecuaciones parametricas para el plano

π : x− y − 2z = 4.

Solucion. Se debe encontrar un punto en el plano y dos vectores paralelos a el, pero no

paralelos entre sı. Por ejemplo, A(1,−1,−1) esta en π. Para hallar dos vectores paralelos, hay

que buscar otros dos puntos del plano no colineales con A. Otros puntos de π son B(4, 0, 0) y

C(0, 0,−2). De esta manera,# «

AB y# «

AC son vectores paralelos al plano. Pero,

# «

AB =#«

B − #«

A = (2, 1, 1) y# «

AC =#«

C − #«

A = (−1, 1,−1).

Ası, unas ecuaciones parametricas para π son

x = 1 + 2r − t

y = −1 + r + t ; r, t ∈ R

z = −1 + r − t

115


Haz o familias de planos

Definicion 2.59. Sean π1 : a1x + b1y + c1z = d1 y π2 : a2x + b2y + c2z = d2 dos planos en R3

no paralelos ni coincidentes los cuales se intersecan en una recta L. Figura 2.49. La familia de

planos determinados por π1 y π2 es

α(a1x+ b1y + c1z − d1) + β(a2x+ b2y + c1z − d2) = 0; α, β ∈ R (2.21)

Si α 6= 0 la expresion (2.21) se puede escribir como

a1x+ b1y + c1z − d1 + λ(a2x+ b2y + c1z − d2) = 0, (2.22)

con λ = β/α.

Similarmente, si β 6= 0, tomando µ = α/β, entonces (2.21) se escribe como

µ(a1x+ b1y + c1z − d1) + a2x+ b2y + c1z − d2 = 0. (2.23)

π 1: a 1

x+b 1y +

c 1z =

d 1

π 2: a 2

x+b 2y +

c 2z =

d 2

Figura 2.49 Haz de planos

Ejemplo 2.67. Encuentre la ecuacion cartesiana del plano que pasa por el punto R(2, 2, 3) y

contiene a la recta interseccion

L :

x+ y − 2z = 4

2x+ 3y − 2z = −2

Solucion. El plano buscado pertenece al haz

x+ y − 2z − 4 + λ(2x+ 3y − 2z + 2) = 0.

Al sustituir las coordenadas del punto R en el haz se tiene −6 + λ = 0, de donde λ = 6. Luego,

el plano tiene ecuacion 13x+ 19y − 14z = −8.

116


Desviacion y distancia de un punto a un plano

Definicion 2.60 (Desviacion de un punto a un plano). Sea P (x1 , y1 , z1) ∈ R3 y π : ax+by+cz =

d un plano. La desviacion de P con respecto a π es δ = comp#«

N

# «

P0P , donde#«

N es un vector

normal al plano y P0 es un punto del plano, tal como se ilustra en la Figura 2.50.

#«

N

P

P0

ax+ by

+ cz=d

δ

︷︸︸

︷

(a) P y ~N estan del mismo lado

#«

N

P

P0

ax+ by

+ cz=d

δ

︷︸︸

︷

(b) P y ~N estan en lados opuestos

Figura 2.50 Desviacion de un punto a un plano

La desviacion del punto P1(x1 , y1 , z1) al plano ax+ by + cz = d es

δ =ax1 + by1 + cz1 − d√

a2 + b2 + c2(2.24)

Teorema 2.26.

Ejemplo 2.68. Sean π : 2x− 3y + z = 6 un plano, P (2, 3,−3) y Q(3,−1, 4) dos puntos en R3.

Calcule la desviacion de los puntos P y Q al plano π.

Solucion. Usando la formula (2.24) para cada punto se tiene

Para el punto P : δ1 =2 · 2− 3 · 3− 3− 6√

22 + (−3)2 + 12= − 14√

14= −√14.

Para el punto Q : δ2 =2 · 3− 3 · (−1) + 4− 6√

22 + (−3)2 + 12=

7√14

=

√14

2.

Como las desviaciones de P y Q con respecto al plano π tienen signos contrarios, estos se

encuentran fuera del plano en lados opuestos del mismo. Esto significa que el segmento de recta

PQ atraviesa al plano π.

Definicion 2.61 (Distancia de un punto a un plano). La distancia d de un punto P (x1 , y1 , z1)

al plano ax+ by + cz = d esta dada por

d = |δ| = |ax1 + by1 + cz1 − d|√a2 + b2 + c2

(2.25)

117


Ejemplo 2.69. Considerando el plano π y los puntos P,Q y R del ejemplo 2.68, se tiene que

d(P, π) =√14, d(Q, π) =

6√14

7y d(R, π) =

√14

2.

Sea A una matriz de tamano n× n. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. El sistema homogeneo Ax = 0 tiene solucion unica y la solucion es x = 0.

2. El sistema Ax = b tiene solucion unica para cada n-vector b



5. La forma escalonada por filas de A tiene n pivotes

6. Las filas de A son linealmente independientes.

7. Todo vector u ∈ Rn es combinacion lineal de las filas de A.

8. El espacio generado por las filas de A es Rn. Esto es, genf1 , . . . , fn = Rn.

9. f1 , . . . , fn es una base para Rn.

10. Las columnas de A son linealmente independientes.

11. Todo vector u ∈ Rn es combinacion lineal de las columnas de A.

12. El espacio generado por las columnas de A es Rn. Es decir, genc1 , c2 , . . . , cn = Rn.

13. c1 , c2 , . . . , cn es una base para Rn.


2.4. Ejercicios

1. Halle los valores de λ, si existen, de modo que los puntos P y Q disten 5 unidades:

(a) P (0,−5), Q(4, λ) (b) P (−3,−2), Q(λ, 1)

2. Halle la distancia entre la recta 3x− 4y = −10 y el punto P que es la interseccion de las

rectas 2x − 3y = 3 y x − 2y = 1. (Si usa la formula de la distancia de un punto a una

recta, debe demostrarla).

3. Determine los valores de λ y β, si existen, de modo que los vectores #«v1 = (2 − λ,−3) y#«v2 = (−3− 2β,−λ+ β) sean iguales.

4. Dados los vectores#«

A = (4, 6) y#«

B = (−6, 4). Halle los vectores paralelos al vector # «

AB y

de longitud 6 unidades.

5. Sea #«u = (1,−3)(a) Dibuje un vector #«v igual a #«u con cola en el punto P (−5, 4).(b) Dibuje un vector #«w igual a #«u con cabeza en el punto Q(5,−1).

6. Hallar la longitud y direccion de los siguientes vectores:

118


(a) #«v1 = (2, 3) (b) #«v2 = (−3, 4)

(c) #«v3 = (−4,−3) (d) #«v4 = (2√3,−2)

7. Determine si los siguientes vectores son LI o LD.

(a) #«v1 = (1, 2), #«v2 = (−1,−1) (b) #«v1 = (1, 2), #«v2 = (0, 0)

(c) #«v1 = (1, 2), #«v2 = (−2,−4) (d) #«v1 = (1, 2), #«v2 = (1, 1), #«v3 = (3, 5)

8. Sean A(−4,−3), B(1, 4) y C(λ, 2) tres puntos del plano. Determine el valor o valores de

λ de modo que el triangulo ABC sea

(a) Isosceles (b) Rectangulo

9. Calcule proy #«v#«u , donde #«u = 2ı− 3 y #«v = ı+ .

10. Sean #«u , #«v ∈ R2. Demostrar la desigualdad triangular y el teorema de Pitagoras.

11. Una empresa de artıculos deportivos tiene dos fabricas y en cada una se ensamblan

bicicletas de montana fabricadas en aluminio y titanio. La primera planta produce 180

bicicletas de aluminio y 18 de titanio por dıa. La segunda 240 y 20, respectivamente. Si

v1 =(180, 18

)y v2 =

(240, 20

).

(a) Calcule e interprete el significado de las siguientes expresiones

i. v1 + v2 ii. v2 − v1 iii. 10v2 iv. 2v1 + 3v2

(b) ¿Cuantos dıas deberıa trabajar cada fabrica para que la empresa entregue 5520 bici-

cletas de aluminio y 520 de titanio? Elaboracion propia basada en el ejemplo 10, p.

73 de [7]).

12. Dos lanchas ayudan a que un barco salga de su embarcadero. Una de las lanchas esta

jalando de el con una fuerza de 200 N, mientras que la otra lo hace con una fuerza de

150 N. La primera lancha toma una direccion que forma un angulo de 25o. Que direccion

debe tomar la otra lancha para que el barco salga paralelamente al espigon? Tomado de

[13].

13. Determine los octantes en que pueden estar los puntos P (x, y, z) si:

(a) x+ y = 0 (b) x− z = 0 (c) y + z = 0 (d) xy < 0 (e) 0 > yz

(f) xyz > 0

14. Halle #«v ∈ R2 si se sabe que ‖ #«v ‖ = 4 y el angulo director α2 =3π4.

15. Determine todos los vectores de R3 de longitud 6 tales que dos de sus angulos directores

son α1 =π4y α2 =

π3.

16. Encuentre los valores de λ y β, si existen, de modo que los vectores #«a = (−2, 3, β) y#«

b = (λ,−6, 2) sean paralelos.

119


17. Determine si los siguientes vectores son linealmente independientes o linealmente depen-

dientes.

(a) #«v1 = (1, 2, 2), #«v2 = (−1,−3,−1), #«v3 = (1, 4, 2)

(b) #«v1 = (1, 2, 2), #«v2 = (−1,−3,−1), #«v3 = (1, 1, 4)

(c) #«v1 = (1, 2, 3,−4), #«v2 = (2, 1, 3,−2), #«v 3 = (−1,−1,−2, 2)(d) #«v1 = (1, 2, 3, 4), #«v2 = (−1,−1,−3, 2), #«v3 = (1, 3, 3, 10).

18. Determine el valor o valores de a, si existe(n), de modo que los vectores #«u = (a,−1, 2) y#«v = (2, 3, 1) formen un angulo de 120.

19. Demuestre las partes 2 y 3 del Teorema 2.19 pagina 94.

20. Sean #«a = (2, 1, 3),#«

b = (1, 1, 3) y #«c = (3, 3,−1). Halle un vector #«u que sea combinacion

lineal de #«a y#«

b , perpendicular a #«c y tenga norma√40.

21. Considere los puntos A(3, 2, 1), B(x, 3,−1) y C(2, y, 3). Halle los valores de x y y de modo

que los puntos A,B y C

(a) Sean colineales

(b) Formen un triangulo rectangulo con angulo recto en A y cuya hipotenusa tenga una

longitud de√29.

22. Sean #«u , #«v dos vectores no nulos de R3 y #«w = #«u × #«v − #«v . Halle el angulo entre #«u y #«w

dado que ‖ #«u‖ = 2, ‖ #«v ‖ = 3 y el angulo entre #«u y #«v es 60.

23. Sean #«u , #«v ∈ R3 tales que ‖ #«u‖ = 1, ‖ #«v ‖ = 4 y #«u • #«v = 2. Si #«w = 2 #«u × #«v − 3 #«u , calcule#«v • ( #«u + #«w) y ‖ #«w‖.

24. Sean #«a y#«

b dos vectores de R3 tales que ‖ #«a ‖ = 2,∥∥∥

#«

b∥∥∥ = 3 y el angulo entre #«a y

#«

b es

π/3. Si #«c = ( #«a +#«

b ) + ( #«a × #«

b ), calcule

(a) ( #«a +#«

b ) • #«c (b) ‖ #«c ‖25. Los vectores #«a y

#«

b son perpendiculares y #«c forma con ellos angulos iguales a π/3. Si

‖ #«a ‖ = 3, ‖ #«

b‖ = 5 y ‖ #«c ‖ = 8. Calcular:

(a) ‖3 #«a − 2#«

b )× (#«

b + 3 #«c )‖ (b) ‖ #«a + 2#«

b − 3 #«c ‖2

26. Sean #«a = 2ı− + 2k y#«

b = 3ı+ 4− k. Halle un vector #«c que cumpla las condiciones#«a • #«c = 8 y #«a × #«c =

#«

b .

27. El vector #«p es perpendicular a los vectores k y #«a = (8,−15, 13). Hallar sus coordenadassi ‖ #«p‖ = 51 y forma un angulo agudo con el vector ı.

28. Determine el valor o valores de y de modo que((x, y, z)× k

)• (2, 0, 3) = 4.

29. Sean #«u y #«v vectores de R3 tales que ‖ #«u‖ = 4 y el angulo entre #«u y #«v es θ = π3.

Determine #«v = (x, y, z) si se sabe que #«u • #«v = 2√2 y #«v × (1, 2, 1) = (1,−1, 1).

30. Halle el area del paralelogramo cuyos lados adyacentes son los vectores #«u = (2,−2, 3) y#«v = (−1, 3, 2).

120


31. Encuentre el volumen del paralelepıpedo determinado por los vectores #«u = (1, 2,−2),#«v = (−1,−1, 3) y #«w = (2, 3,−1).

32. Tres vertices de un tetraedro son los puntos A(2, 1,−1), B(3, 0, 1) y C(2,−1, 3) y su

volumen es V = 5. Hallar las coordenadas del cuarto vertice, si se sabe que esta en el eje

y.

33. Sean P (2, 3,−1) y Q(−1, 2, 4) dos puntos de R3.

(a) Halle ecuaciones parametricas para la recta L que pasa por P y Q .

(b) Cuales de los siguientes puntos estan en L: R(−4, 1, 9), S(5, 4,−6), T (8, 5, 9).

(c) Determine los puntos donde la recta corta a los planos coordenados

34. Determine que par de rectas son paralelas, coincidentes, perpendiculares o cruzadas.

(a) L1 :

x = 1− 3ty = −2 + 3t ;z = 2 + 6t

t ∈ R y L2 :

x = −1 + 2ry = 3− 2r ;z = −2− 4r

r ∈ R

(b) L1 :

x = 1− 2ty = −3 + 2t ;z = 2 + t

t ∈ R y L2 :

x = 2 + ry = −1 + 2r ;z = −2− r

r ∈ R

35. Determine ecuaciones simetricas para la recta que pasa por el punto P (3, 4, 5) y es paralela

al vector #«v = −5ı+ 3k

(a) Encuentre un punto en la recta y uno que no este en la recta.

(b) ¿Las ecuaciones simetricas de la recta son unicas?

36. Sean L1 y L2 dos rectas no paralelas con vectores directores #«v1 y #«v2 respectivamente.

Demuestre que la distancia entre L1 y L2 esta dada por

d =|( #«v1 × #«v2) •

# «

PQ||| #«v1 × #«v2 ||

,

donde P es un punto de L1 y Q es un punto de L2 .

37. Determine unas ecuaciones parametricas de la recta L2 que pasa porM(3, 2, 4), es paralela

al plano π : 3x− 2y − 3z = 7 y se corta con

L1 :x− 2

3=

y + 4

−2 =z − 1

2.

38. Halle el punto donde la recta L : x = 1+ 2t, y = 2− 3t, z = −2+ t; t ∈ R corta al plano

2x+ 3y + z = 4.

39. Considere los planos

π1 : 2x− y + 3z = 6 y π1 : 2x− y + 3z = 6

121


(a) Determine cual o cuales de los siguientes puntos pertenecen a π1 :

P (1,−1, 1), Q(−2, 3, 4), R(2, 4, 2), S(1, 1,−3)

(b) Halle ecuaciones parametricas para la recta L1 que interseca al plano π1 en uno de

los puntos determinados en la parte a) y pasa por uno de los puntos dados que no

este en el plano π1 .

(c) Encuentre la ecuacion cartesiana del plano π2 que contiene a la recta L1 y otro punto

del plano π1 .

40. Considere el plano π1 : 2x− 2y + 3z = 6.

(a) Determine cual o cuales de las siguientes rectas esta contenida en π1 :

L1 :x− 2

−2 =y + 1

−2 = z − 1; L2 : x = 3− t, y = 3 + 2t, z = 2 + 2t; t ∈ R.

(b) Muestre que L1 y L2 se cortan, encontrando el punto de interseccion.

(c) Halle ecuaciones parametricas para la recta L3 que es perpendicular al plano π1 y

pasa por el punto de interseccion de L1 y L2 .

(d) Encuentre la ecuacion cartesiana del plano π2 que contiene a las rectas L1 y L2 .

41. Halle la ecuacion cartesiana del plano π2 que es perpendicular al plano π1 : 2x−y−2z = 4

y que contiene la recta

L :

x = −2 + 2t

y = 2− 3t; t ∈ R

z = 3− t

42. Establezca un metodo para determinar si un segmento de recta AB interseca o no a un

plano de ecuacion ax+ by+ cz = d. Use este metodo para determinar si el segmento que

une A(3, 1,−2) con B(4, 2, 1) interseca al plano 2x− y + 3z = 6.

43. Tres vectores no coplanares #«a ,#«

b y #«c tienen un origen comun. Demostrar que el plano que

pasa por los extremos de estos vectores es perpendicular al vector #«a × #«

b +#«

b × #«c + #«c × #«a .


1. Caracterice los vectores #«w que sean combinacion lineal de #«u = ı+ +3k y #«v = 2ı− +3k

y a su vez sean ortogonales a #«u .

2. Sean #«a ,#«

b y #«c vectores de R3 tales que ‖ #«a ‖ = 2, ‖ #«c ‖ = 3, el angulo entre #«a y#«

b es

θ = 2π/3 y #«c = #«a − ( #«a × #«

b ). Calcule

122


(a)∥∥∥

#«a + 3#«

b∥∥∥. (b) 2 #«c •

#«

b . (c)∥∥∥

#«a × #«

b∥∥∥.

3. Considere los puntos A(1, 2, 3), B(2, 4,−1) y C(3,−1, 4).(a) Halle una ecuacion de la recta L1 que contenga los puntos A y B.

(b) Determine m y n para que el punto P (5,m, n) este en L1 .

(c) Halle la ecuacion del plano π1 que contiene la recta L1 y al punto C.

4. Determine una ecuacion de la recta L2 que es la interseccion de los planos π2 : x−2y+z = 3

y π3 : x− 3y + 2z = 5.

5. Halle el punto P que es la interseccion entre el plano π4 : 2x + 4y + z = 2 y la recta

L3 : x = 1,y + 1

−2 =z

6.

6. Encuentre la ecuacion del plano π5 que es perpendicular a la recta L2 hallada en el punto

4 y contiene el punto P del ejercicio 5.

7. Dibuje el plano π5 del numeral 6.

8. Calcule el area del triangulo cuyos vertices consecutivos son los puntos

P (1, 3,−2), Q(2, 1, 4) y R(−3, 1, 6). Grafique el triangulo

9. Responda verdadero o falso cada una de las siguientes afirmaciones. Justifique claramente

sus respuestas.

(a) Si [(x, y, z)× ] • (2, 1, 0) = 4, entonces z = −2.

(b) La recta L :

x = 1− 2t

y = 2− t; t ∈ R

z = 3 + 2t

es paralela al plano π : 2x− 3y + z = 4.

(c) Si #«a y#«

b dos vectores de R3 que forman un angulo ϕ = 2π/3 tales que ‖ #«a ‖ = 3 y

‖ #«

b‖ = 4, entonces #«a •#«

b = 6.

(d) El volumen del paralelepıpedo cuyos lados adyacentes son los vectores#«u = (2, 3,−1), #«v = (1,−1, 2) y #«w = (3, 2, 4) es V = −15.

(e) Sean #«u , #«v y #«w vectores no nulos de Rn. Si #«u • #«v = #«u • #«w entonces #«v = #«w.

(f) Sean #«a y#«

b vectores de R3. Si #«a • ( #«a + ( #«a × #«

b )) = 3, entonces ‖ #«a ‖ =√3.

(g) Si #«u y #«v son ortogonales de R3, entonces ‖ #«u × #«v ‖ = ‖ #«u‖ ‖ #«v ‖.

(h) #«u =

−17

10

es combinacion lineal de #«v 1 =

1

2

3

y #«v 2 =

−25

7

.

(i) Las rectas L1 :

x = −1 + 5t

y = 2 + 6t; t ∈ R

z = 4− 2t

y L2 :

x = 3− 53r

y = 7− 2r; r ∈ R

z = 1 + 23r

son paralelas.

123


(j) La recta L :x+ 3

5=

y − 7

−2 =z − 3

3esta contenida en el plano

π : 2x+ 5y − 3z = −10.

(k) No existe m de modo que la recta L :x+ 1

3=

y − 2

m=

z + 3

−2 sea paralela al plano

π : x− 3y + 6z = −7.

124

CAPITULO TRES

Matrices

3.1. Introduccion

127

El primero en usar el termino“matriz” fue Sylvester en 1850, quien definio matriz como un

arreglo rectangular de terminos y noto como algunas matrices contenıan dentro de ellas varios

determinantes representados como arreglos cuadrados. Despues de dejar America, Sylvester

volvio a Inglaterra en 1851 y se formo como abogado. Mas tarde junto a Cayley, un abogado

como el, compartio sus intereses matematicos. Cayley rapidamente se dio cuenta del significado

del concepto de matriz y en 1853 publico una nota, dando por primera vez, la inversa de una

matriz.

Cayley, en 1858, publico Memorias sobre la teorıa de matrices que contiene la primera defi-

nicion abstracta de matriz. El muestra que los arreglos de coeficiente estudiados tempranamente

para formas cuadraticas y para transformaciones lineales son casos especiales de su concepto

general. Ademas, planteo una definicion algebraica sobre adicion de matrices, multiplicacion,

multiplicacion por un escalar y matriz inversa.

Un texto importante que abre un espacio para las matrices dentro de las matematicas

fue Introduccion al algebra lineal escrito por Bocher en 1907. Tambien Turnbull y Aitken escri-

bieron textos influyentes en los anos 1930 y Mirsky con Una introduccion al algebra lineal, en

1955, presento la teorıa de matrices estableciendola como uno de los mas importantes topicos

matematicos para estudiantes de pregrado, ver [14].

3.2. Definiciones y terminologıa

En este capıtulo se estudia el concepto de matriz, se plantean algunas operaciones y la

inversa de una matriz cuadrada. Se finaliza dando algunas aplicaciones.

Para empezar, se considera la siguiente situacion en la que se ilustra el uso o aplicacion

de las matrices.


Ejemplo 3.1. Un proyecto de investigacion nutricional comprende adultos y ninos de ambos

sexos. La composicion de los participantes esta dada por la matriz

Adultos Ninos

A =

(40 50

70 80

)Hombres

Mujeres

El numero de gramos diarios de proteınas, grasa y carbohidratos que consume cada nino y

adulto esta dado por la matriz

Proteınas Grasas Carbohidratos

B =

(20 20 20

10 20 30

)Hombres

Mujeres

a) ¿Cuantos gramos de carbohidratos ingieren diariamente todos los hombres y mujeres del

proyecto?

a) ¿cuantos gramos de grasa consumen a diario todos los hombres? Elaboracion propia basada

en el ejercicio 29, p. 32 de [4]

Definicion 3.1 (Matriz m×n). Una matriz de tamano m×n es un arreglo rectangular de mn

numeros (reales o complejos) escritos en forma de m renglones o filas y n columnas, como se

muestra a continuacion.

Fila i

Columna j

A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1n

a21 a22 . . . a2j . . . a2n

......

. . ....

. . ....

ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

.... . .

.... . .

...

am1 am2 . . . amj . . . amn


1. Las matrices se denotan con letras mayusculas: A,B,P , etc. Para abreviar

se escribe A = (aij)m×n, donde aij

es la componente ij de A, para

i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n.

2. El tamano de la matriz A es m× n, donde m es el numero de filas o renglones y n es el

numero de columnas.

3. Si m = n se dice que A es una matriz cuadrada de orden n.

4. Las componentes de la diagonal principal de A son a11 , a22 , . . . , akk; en donde k =

mın m,n.

128


5. Las componentes de la fila i−esima de A son ai1, ai2, . . . , ain y forman un vector fila de

tamano n. Es decir:

reniA = Ai = fi = (ai1 ai2 . . . ain).

6. Las componentes de la columna j−esima de A son a1j, a2j, . . . , amj y forman un vector

columna de tamano m. Es decir:

coljA = A(j) = cj =

a1j

a2j

...amj

Ejemplo 3.2. Para la matriz A =

−2 5 4 7

9 0 10 14

6 12 16 13

.

a) A es de tamano 3 × 4, es decir, tiene 3 filas y 4 columnas. Luego, no es una matriz

cuadrada.

b) El numero 10 esta en la fila 2 y la columna 3. Es decir, a23 = 10.

c) Las componentes de la diagonal principal de A son: a11 = −2, a22 = 0 y a33 = 16. Se

tiene k = mın 3, 4 = 3.

d) La fila 2 de A es ren2A = A2 =(9 0 10 14

), (tamano 1× 4).

e) La fila 3 de A es col3A = A(3) =

41016

, (tamano 3× 1).

Algunas matrices especiales

Definicion 3.2 (Matriz nula). Una matriz de tamano m × n cuyas componentes son todas

iguales a 0 se denomina matriz nula o matriz cero. Se denota por O.

Ejemplo 3.3. Son matrices nulas

a)

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

3×4

b)

(0 0 0

0 0 0

)

2×3

c)

0 0 0

0 0 0

0 0 0

3×3

Definicion 3.3 (Matriz triangular superior). Sea U = (uij) una matriz n × n. Se dice que U

es una matriz triangular superior si uij = 0, si i > j.

Ejemplo 3.4. Son matrices triangulares superiores

129


a) U =

2 −1 30 0 30 0 −4

b) U =

(1 1

0 −2

)

c) U =

2 0 10 3 00 0 1

Definicion 3.4 (Matriz triangular inferior). Sea L = (lij) una matriz n× n. Se dice que L es

una matriz triangular inferior si lij = 0, para i < j.

Ejemplo 3.5. Son matrices triangulares inferiores

a) L =

2 0 03 −2 01 −1 −4

b) L =

(1 0

3 −2

)

c) L =

2 0 00 3 00 2 1

Definicion 3.5 (Matriz diagonal). Sea D = (dij) una matriz n × n. Se dice que D es una

matriz diagonal si dij = 0, cuando i 6= j.

Ejemplo 3.6. Son matrices diagonales

a) D =

2 0 00 −2 00 0 −4

b) D =

(1 0

0 −2

)

c) D =

0 0 00 0 00 0 0

Definicion 3.6 (Matriz identidad). La matriz identidad es una matriz cuadrada de orden n,

In = (δij), tal que

δij =

1 si i = j

0 si i 6= j

Ejemplo 3.7. Algunas matrices identidad son

a) I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

b) I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

c) I2 =

(1 00 1

)

3.3. Operaciones y propiedades

Definicion 3.7 (Igualdad). Dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q son iguales si y solo si

m = p, n = q y aij = bij para todo i, j.

Ejemplo 3.8. A =

(

1 −1 22 3 −3

)

y B =

(

1 1− 2 3− 12 1 + 2 1− 4

)

son iguales.

130


Ejemplo 3.9. Las matrices A =

(

1 2 22 3 1

)

y B =

1 22 32 1

no son iguales porque no son del

mismo tamano.

Ejemplo 3.10. Sean A =

(4 −2−5 3

)

, B =

(3λ− 2 3− λ− β

−5 2β − 3

)

y C =

(1 1

−5 3

)

. Determine

los valores de λ y β, si existen, de modo que

a) A = B b) B = C

Solucion. De acuerdo con la definicion de igualdad, se tiene:

a) A = B si y solo si

3λ− 2 = 4

3− λ− β = −22β − 3 = 3

Al resolver se obtiene: λ = 2 y β = 3.

b) B = C si y solo si

3λ− 2 = 1

3− λ− β = 1

2β − 3 = 3

El sistema es inconsistente. Luego, no existen valores de λ y β de modo que B = C.

Definicion 3.8 (Suma). Sean A = (aij) y B = (bij) dos matrices de tamano m× n. La suma

de A y B, denotada A+B, es la matriz C = (cij) tal que cij = aij + bij .

Definicion 3.9 (Multiplicacion por un escalar). Sean A = (aij) una matriz de tamano m× n

y λ un escalar. La multplicacion de λ y A, que se denota λA, es la matriz B = (bij) tal que

bij = λaij.

Ejemplo 3.11. Sean

A =

(

1 2 3 45 6 7 8

)

, B =

(3 5 6 −10 2 11 9

)

,C =

125

y D =(1 2 5

).

Realice las siguientes operaciones, cuando sea posible:

a) A+B b) C +D c) −1Ad) Halle la matriz E tal que 3A− 2B +E = O.

Solucion.

131


a) A+B =

(

4 7 9 35 8 18 17

)

b) No se puede hacer la operacion porque las

matrices no son del mismo tamano.

c) −1A =

(

−1 −2 −3 −4−5 −6 −7 −8

)

d) E = 2B − 3A =

(

6 4 3 −14−15 −14 1 −6

)

Sean A, B, C matrices; λ, β ∈ R.

No. Suma No. Multiplicacion por un escalar

1S. A+B es una matriz 1M. λA es una matriz

2S. A+B = B +A 2M. λ(A+B) = λA+ λB

3S. (A+B) +C = A+ (B +C) 3M. (λ+ β)A = λA+ βA

4S. A+O = A 4M. λ(βA) = (λβ)A

5S. A+ (−A) = O 5M. 1A=A

Teorema 3.1. Propiedades de las operaciones basicas

Definicion 3.10. El conjunto de matrices m × n con la suma y la multiplicacion por un

escalar satisfaciendo las propiedades 1S–5S y 1M–5M, es un espacio vectorial, que se denota por

〈Rm×n,+, .〉 o 〈Mm×n(R),+, .〉.

Definicion 3.11 (Transpuesta). Sea A = (aij)m×n una matriz. La transpuesta de A, denotada

por AT , es la matriz B = (bij)n×m tal que bij = aTij.

Ejemplo 3.12. Algunas matrices y sus respectivas transpuestas:

a) Si A =

2 3 −10 −2 43 2 −4

, entonces AT =

2 0 33 −2 2−1 4 −4

b) Si B =

(

1 1 −30 −2 2

)

, entonces BT =

1 01 −2−3 2

c) C =

2 −3 3−3 1 23 2 4

, entonces CT =

2 −3 3−3 1 23 2 4

= C

Definicion 3.12 (Producto de matrices). Sean A = (aij) y B = (bij) dos matrices de tamanos

m× p y p×n respectivamente. La multiplicacion o producto de A y B, que se denota por AB,

es la matriz C = (cij) de tamano m× n tal que

cij = reni A · colj B = Ai ·B(j) =

p∑

k=1

aikbkj. (3.1)

132


Observaciones

1. Para poder realizar el producto de A y B, el numero de columnas de A debe ser igual

al numero de filas de B.

Am×pBp×n = C

iguales

2. El tamano de la matriz C es m×n, donde m es el numero de filas de A y n es el numero

de columnas de B.

Am×pBp×n = Cm×n

3. La componente ij de C, cij, se calcula usando (3.1).

Ejemplo 3.13. Hallar AB y BA en cada caso, si es posible

a) A =

1 −10 24 −3

, B =

(2 −3 −44 7 6

)

b) A =

3 −22 23 −3

, B =

(3 −23 5

)

Solucion.

a) AB =

1 −10 24 −3

3×2

(2 −3 −44 7 6

)

2×3

=

−2 −10 −108 14 12−4 −33 −34

3×3

= C.

BA =

(2 −3 −44 7 6

)

2×3

1 −10 24 −3

3×2

=

(−14 4

28 −8

)

2×2

= D.

b) AB =

3 −22 23 −3

3×2

(3 −23 5

)

2×2

=

3 −1612 60 −21

3×2

= C,

BA no se puede realizar porque los tamanos no coinciden. En efecto,

A2×2B3×2Diferentes

Sean A,B, y C matrices de modo que las operaciones que se indican, se pueden realizar y

λ ∈ R.

Teorema 3.2. Propiedades del producto y de la transpuesta

133


Sean A,B, y C matrices de modo que las operaciones que se indican, se pueden realizar y

λ ∈ R.

No. producto No. transpuesta

1. (AB)C = A(BC) 1.(AT)T

= A

2. A(B +C) = AB +AC 2. (AB)T = BTAT

3. (A+B)C = AC +BC 3. (A+B)T = AT +BT

4. IA = A y AI = A 4. (λA)T = λAT

Teorema 3.3. Propiedades del producto y de la transpuesta

Ejemplo 3.14. Al rociar las plantas con insecticidas estas absorben parte de las sustancias,

que al ser consumidas por herbıvoros pasan a estos. Para determinar la cantidad de insecticida

absorbida por un herbıvoro, se procede de la siguiente manera: Suponga que se tienen tres

insecticidas y cuatro plantas. Sea aij la cantidad de insecticida i (en mg) que absorbe la planta

j y bij la cantidad de planta de tipo i que un herbıvoro de tipo j come mensualmente. Esta

informacion se presenta mediante las siguientes matrices.

Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4

A =

2 3 4 3

3 2 2 5

4 1 6 4

Insect. 1

Insect. 2

Insect. 3

Herb. 1 Herb. 2 Herb. 3

B =

20 12 8

28 15 15

30 12 10

40 16 20

Planta 1

Planta 2

Planta 3

Planta 4

La entrada ij de AB proporciona la cantidad de insecticida de tipo i que ha absorbido el animal

j. Ası, el herbıvoro 3 ha absorbido

ren2A • col3B = 3(8) + 2(15) + 2(10) + 5(20) = 174 mg del insecticida 2.

Definicion 3.13 (Matriz simetrica). Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es

simetrica si AT = A.

Ejemplo 3.15. A =

1 2 −32 −2 −4−3 −4 2

, AT =

1 2 −32 −2 −4−3 −4 2

= A.

Definicion 3.14 (Matriz antisimetrica). Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que

A es antisimetrica si AT = −A.

134


Ejemplo 3.16. A =

0 −3 43 0 3−4 −3 0

, AT =

0 3 −4−3 0 −34 3 0

= −A.

3.4. Inversa de una matriz cuadrada

Ejemplo 3.17. Halle una matriz B tal que AB = I2 , donde A =

(1 12 3

)

.

Solucion. Sea B =

(x yz w

)

la matriz buscada.

AB = I implica

(x+ z y + w2x+ 3z 2y + 3w

)

=

(1 00 1

)

.

Por igualdad de matrices, se obtienen los sistemas de ecuaciones lineales

x+ z = 1

2x+ 3z = 0y

y + w = 0

2y + 3w = 1.

Al resolverlos simultanemante mediante eliminacion se tiene:(1 1 | 1 02 3 | 0 1

)

∼(1 1 | 1 00 1 | −2 1

)

∼(1 0 | 3 −10 1 | −2 1

)

.

Luego, la matriz buscada es B =

(3 −1−2 1

)

.

Definicion 3.15 (Inversa de una matriz cuadrada). Sea A una matriz cuadrada de orden n.

Se dice que A es invertible o no singular si existe una matriz B tal que AB = BA = I. En

este caso, se dice que B es inversa de A. En caso contrario, se dice que A es no invertible o

singular.

Si A es una matriz invertible, entonces su inversa es unica.

Teorema 3.4.

Notacion. Si A es invertible, su inversa se denota por A−1. Ademas,

AA−1 = I = A−1A.

Advertencia. A−1 6= 1

A.

Observacion. El ejemplo 3.17 proporciona un algoritmo para hallar la inversa de una matriz

cuadrada A, si existe.

135


Procedimiento para hallar A−1

Paso 1. Formar la matriz ampliada (A | I).Paso 2. Aplicar operaciones elementales para obtener la forma escalonada reducida por ren-

glones E de A: (A | I)→ (E | B).

Paso 3. Decidir si A es invertible. Si E = I, A es invertible y A−1 = B. De otro modo, A

es no invertible o singular.

Ejemplo 3.18. Halle, si existe, la inversa de cada matriz

a) A =

1 2 32 3 43 4 6

, b) A =

2 3 −17 3 41 −1 2

.

Solucion.

a)

1 2 3 | 1 0 02 3 4 | 0 1 0

3 4 6 | 0 0 1

f2 ← f2 − 2f1

f3 ← f3 − 3f1

1 2 3 | 1 0 00 −1 −2 | −2 1 00 −2 −3 | −3 0 1

f1 ← f1 + 2f2

f3 ← f3 − 2f1

1 0 −1 | −3 2 0

0 −1 −2 | −2 1 00 0 1 | 1 −2 1

f2 ← −f2

f1 ← f1 − f3

f2 ← f2 − 2f3

1 0 0 | −2 0 10 1 0 | 0 3 −20 0 1 | 1 −2 1

Puesto que E = I, entonces A−1 =

−2 0 10 3 −21 −2 1

.

b)

2 3 −1 | 1 0 07 3 4 | 0 1 01 −1 2 | 0 0 1

f1 ↔ f3

1 −1 2 | 0 0 17 3 4 | 0 1 0

2 3 −1 | 1 0 0

f2 ← f2 − 7f1

f3 ← f3 − 2f1

1 −1 2 | 0 0 10 10 −10 | 0 1 −100 5 − 5 | 1 −2 0

f3 ← −12f2

1 −1 2 | 0 0 10 10 −10 | 0 1 −100 0 0 | 1 −5

25

.

Como E 6= I, entonces A no es invertible.

Definicion 3.16 (Potencias de matrices). SeaA una matriz cuadrada de orden n. Las potencias

de A se definen de la siguiente manera:

136


1. A0 = I si A 6= O. 2. Ak = Ak−1A para k = 1, 2, . . .

Ejemplo 3.19. En cada caso, halle A2.

a) A =

(2 −1−3 3

)

b) A =

(0 11 0

)

c) A =

(1 00 0

)

d) A =

(0 10 0

)

Solucion.

a) A2 = AA =

(2 −1−3 3

)(2 −1−3 3

)

=

(7 − 5

−15 12

)

b) A2 =

(0 11 0

)(0 11 0

)

=

(1 00 1

)

= I

c) A2 =

(1 00 0

)(1 00 0

)

=

(1 00 0

)

= A

d) A2 =

(0 10 0

)(0 10 0

)

=

(0 00 0

)

= O

Definicion 3.17. Sea A una matriz de tamano n× n.

1. A es idempotente si A2 = A.

2. A es nilpotente con ındice de nilpotencia k, si k es el menor entero positivo tal que

Ak = O.

La matriz A del ejemplo 3.19c) es idempotente, mientras que la matriz A del ejemplo 3.19d) es

nilpotente con ındice de nilpotencia 2.

Sean A y B dos matrices invertibles de orden n, 0 6= λ ∈ R y k ∈ Z+.

1. (A−1)−1

= A y A−k = (A−1)k = (Ak)−1 3. (λA)−1 = 1λA

2. AB es invertible y (AB)−1 = B−1A−1 4. (A−1)T=(AT)−1

Teorema 3.5. Propiedades de la inversa

Demostracion.

1. Como A−1A = I, entonces (A−1)−1 = A. Por otro lado, (A−1A)k = Ik implica

(A−1)kAk = I. De donde se concluye que

(Ak)−1

= (A−1)k.

2. Puesto que (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I, entonces

(AB)−1 = B−1A−1.

3. Se tiene(1λA−1

)(λA) = 1

λλA−1A = I. Luego, (λA)−1 = 1

λA−1.

4. (A−1A)T = IT implica AT (A−1)T= I. Es decir,

(AT)−1

= (A−1)T.

137


Definicion 3.18. Una matriz cuadrada A de tamano n × n es ortogonal si AAT = I. Es

decir, si A−1 = AT .

Ejemplo 3.20. Sea A =

(1√5− 2√

52√5

1√5

)

. Muestre que A es ortogonal.

Solucion. La matriz A es ortogonal puesto que

AAT =

(1√5− 2√

52√5

1√5

)(1√5

2√5

− 2√5

1√5

)

=

(1 0

0 1

)

= I.

Ejemplo 3.21. Un proyecto de investigacion nutricional comprende adultos y ninos de ambos

sexos. La composicion de los participantes esta dada por

Adultos Ninos

A =

(40 50

70 80

)Hombres

Mujeres

El numero de gramos diarios de proteınas, grasa y carbohidratos que consume cada nino y

adulto esta dado por la matriz

Proteınas Grasas Carbohidratos

B =

(20 20 20

10 20 30

)Hombres

Mujeres

a) ¿Cuantos gramos de carbohidratos ingieren diariamente todos los hombres y mujeres del

proyecto?

b) ¿Cuantos gramos de grasa consumen a diario todos los hombres? Elaboracion propia

basada en el ejercicio 29, p. 32 de [4].

Solucion.

a) Los hombres y mujeres del proyecto estan representados por la matriz A y el consumo de

carbohidratos por la columna 3 deB. Ası, el consumo diario (en gramos) de carbohidratos

de los hombres y mujeres del proyecto es

A col3 B =

(40 50

70 80

)(20

30

)

=

(2300

3800

)Hombres

Mujeres

b) Los hombres consumen diariamente

ren1 A · col2 B =(40 50

)·(20

20

)

= 1800 gramos de grasa.

138


Ejemplo 3.22. Un fabricante elabora productos P y Q en dos plantas X y Y . Durante la

fabricacion se producen los contaminantes bioxido de azufre (SO2), oxido nıtrico (NO) y partı-

culas suspendidas (PS). Las cantidades de cada contaminante estan dadas en kilogramos por la

matriz.

SO2 NO PS

A =

(300 100 150

200 250 400

)Producto P

Producto Q

Los reglamentos estatales exigen la eliminacion de estos contaminantes. El costo diario por

deshacerse de cada kg de contaminante esta dado en dolares por la matriz

Planta X Planta Y

B =

8 12

7 9

15 10

SO2

NO

PS

a) Determine el costo de deshacerse de los contaminantes del producto P en la planta X.

b) Encuentre el costo de deshacerse de los contaminantes del producto Q en la planta Y.

Solucion.

a) Costo (en dolares) de deshacerse de los contaminantes del producto P en la planta X

ren1 A · col1 B =(300 100 150

)·

8

7

15

= 5350.

b) Costo (en dolares) de deshacerse de los contaminantes del producto Q en la planta Y

ren2 A · col2 B =(200 250 400

)·

12

9

10

= 8650.

Se finaliza con el teorema resumen que recoge resultados importantes.

Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. A es invertible.

2. El sistema homogeneo Ax = 0 tiene solucion unica dada por x = 0.

3. El sistemaAx = b tiene solucion unica para cada n-vector b y la solucion es x = A−1b.







139






13. El espacio generado por las columnas de A es Rn. Es decir, genc1 , c2 , . . . , cn = Rn.

15. c1 , . . . , cn es una base para Rn.

3.5. Ejercicios

1. Determine los valores de λ y β, si existen, de modo que se satisfagan las siguientes

igualdades:

A =

(4 −2−5 7

)

, B =

(3λ− 2 7− λ− β

−5 2β − 7

)

, C =

(3 5

−5 7

)

(a) A = B (b) C = B

2. Sean A,B,C y D matrices de tamano 4 × 4. Si BD = I y CCT = I, simplificar la

expresion: X = B(DATC +DC)(ATC)T . Hallar x23 y x44 si A =

0 −1 1 0

2 1 0 2

1 −1 3 0

0 1 1 1

.

3. Sean A y B matrices simetricas de orden n. Demostrar: AB es simetrica si y solo si A

y B conmutan.

4. Sean A =

(1 5

1 2

)

y B =

(1 −2−2 4

)

. Encuentre, si existe, una matriz X tal que

XA = B +XT .

5. Sea A = (aij) una matriz n× n y x ∈ Rn. Muestre que Ax =n∑

j=1

xj colj A.

6. Sea A = (aij) una matriz de tamano m × p y B = (bij), una matriz de tamano p × n.

Exprese cada columna de AB como una combinacion lineal de las columnas de A.

7. Sea A = (aij) una matriz n× n. Muestre: Si A es antisimetrica, entonces aii = 0.

8. Halle, si existe, la inversa de las siguientes matrices:

(a) A =

(1 3−2 7

)

(b) B =

(1 −6−2 12

)

(c) C =

1 −3 1−2 4 41 −4 3

9. Sean A y B matrices cuadradas. Probar: Si A+B = I y AB = 0 entonces A y B son

idempotentes.

140


10. Calcule A2 en cada caso.

a) A =

(0 10 1

)

b) A =

(0 10 −1

)

c) A =

2 −2 12 −2 1−4 4 0

11. Probar: Si la matriz A satisface la ecuacion (A − 2I)(A + I) = O, entonces A es

invertible. ¿A que es igual A−1?

12. Si A es una matriz cuadrada nilpotente de grado k, muestre que I −A es invertible ¿A

que es igual (I −A)−1?

13. Sean A =

0 −1 1 0

2 1 0 2

1 −1 3 0

0 1 1 1

y B =

4 −1 −1 0

−1 4 0 −1−1 0 4 −10 −1 −1 4

(a) Simplifique y encuentre la matriz X, si

XA−1 = 4A−1(AB−1C +AC)(2AB−1C)−1.

(b) Calcular las componentes x32 y x22 de la matriz X.

14. Si A y B son matrices invertibles, ¿(A+B)−1 = A−1 +B−1? Justifique.

15. Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos P1 , P2 , P3 y P4 de los cuales,

cada uno requiere tres materiales R1 , R2 y R3 . La tabla siguiente muestra el numero

de unidades de cada materia prima que se requiere para elaborar una unidad de cada

producto.

P1 P2 P3 P4

R1 2 1 3 4

R2 4 2 2 1

R3 3 3 1 2

Si se producen 10 unidades del producto P1 , 30 unidades de P2 , 20 unidades de P3 y 50

unidades de P4 , ¿cuantas unidades de cada materia prima se necesitan?


1. Considere las siguientes matrices

A =

5 −24 2

3

, B =

1 2 3

5 0 1

2 −6 4

y C =

2/3 −2/3 1/3

2/3 1/3 −2/31/3 2/3 2/3

141


(a) Complete las componentes que faltan para que la matriz A sea simetrica.

(b) Simplifique y halle X =(AT +AB

)T(CA−1).

(c) Determine las componentes x22 y x32 de la matriz X.

2. Un fabricante elabora productos P y Q en dos plantas X y Y . Durante la fabricacion

se producen los contaminantes bioxido de azufre (SO2), oxido nıtrico (NO) y partıculas

suspendidas (PS). Las cantidades de cada contaminante estan dadas en kilogramos por

la matriz.

SO2 NO PS

A =

(300 100 150

200 250 400

)Producto P

Producto Q

Los reglamentos estatales exigen la eliminacion de estos contaminantes. El costo diario

por deshacerse de cada kg de contaminante esta dado en dolares por la matriz

Planta X Planta Y

B =

8 12

7 9

15 10

SO2

NO

PS

(a) Halle el costo de deshacerse de los contaminantes del producto P en la planta Y.

(b) Halle el costo de deshacerse de los contaminantes del producto Q en la planta X.

3. Responda verdadero o falso a cada una de las siguientes proposiciones. Justifique clara-

mente sus respuestas.

(a) Si A y B son matrices n× n, entonces (A+B)2 = A2 + 2AB +B2.

(b) Si A y B son matrices n× n que conmutan, entonces

(A+B)(A−B) = A2 −B2.

(c) Si A es una matriz n × n, n > 1 que satisface la ecuacion (2A − I)(A − I) = O,

entonces A es invertible.

(d) Si A es equivalente por renglones a la matriz B =

1 5 0

0 1 2

0 0 0

, entonces A no es

invertible.

(e) Sean A,D y Q matrices cuadradas de orden 4. Si D es una matriz diagonal y

A = QDQT . Entonces A es simetrica.

142

CAPITULO CUATRO

Determinantes

4.1. Introduccion

145

La idea de determinante aparecio en Japon y Europa casi al mismo tiempo, aunque Seki en

Japon lo publico primero en 1683. Sin tener una palabra que correspondiera a “determinante”,

Seki lo introdujo y dio metodos generales para calcularlo basado en ejemplos. Usando sus “de-

terminantes”, Seki fue capaz de encontrar determinantes de matrices 2× 2, 3× 3, 4× 4 y 5× 5 y

los empleo para resolver ecuaciones, pero no sistemas de ecuaciones lineales. Mas extraordinario

aun, es que la aparicion del primer determinante en Europa coincidıa con el mismo ano 1683.

Por otro lado, Leibniz uso la palabra “resultante” para cierta suma combinatorial de ter-

minos de un determinante. Probo varios resultados acerca de resultantes, incluyendo lo que en

esencia corresponde a la Regla de Cramer. El tambien sabıa que un determinante podıa ser

expandido usando alguna columna, metodo que es llamado ahora “Expansion de Laplace”. Ası

como estudio sistemas de coeficientes de ecuaciones que lo guiaron a los determinantes, Leibniz

tambien estudio sistemas de coeficientes de formas cuadraticas que lo llevaron, naturalmente,

hacia la teorıa de matrices.

Por los anos 1730, Maclaurin escribio Tratados de algebra publicado en 1748, dos anos

despues de su muerte. Este tratado contiene los primeros resultados publicados sobre determi-

nantes probando la regla de Cramer para sistemas de 2× 2 y 3× 3, e indicando como trabajar

para sistemas de 4× 4. Cramer daba la regla general para sistemas de n× n en Introduccion al

analisis de curvas algebraicas (1750). Esto surgio motivado por el deseo de encontrar la ecuacion

de una curva plana pasando a traves de un numero dado de puntos. La regla aparece en un

apendice, pero sin prueba:

“Se halla el valor de cada incognita formando n fracciones las cuales el comun denominador

tiene tantos terminos como hay permutaciones de n cosas”.

Cramer explica precisamente el calculo de estos terminos como el producto de ciertos

coeficientes en las ecuaciones, y ademas explico la manera de determinar el signo, y de como se

pueden encontrar los n numeradores de las fracciones reemplazando ciertos coeficientes en este


calculo por terminos constantes del sistema.

Ası, los trabajos sobre determinantes empiezan a aparecer con regularidad. En 1764 Bezout

dio metodos para calcular determinantes como lo hacıa Vandermonde en 1771. En 1772, Laplace

afirmo que los metodos introducidos por Cramer y Bezout eran impracticables y, en un escrito en

el cual el estudio las orbitas de planetas, discutio la solucion de sistemas de ecuaciones lineales

sin calcularlos pero, usando determinantes. Laplace tambien empleo la palabra“resultante”para

denotar determinantes, aunque no conocıa el trabajo de Leibniz. Laplace planteo la expansion

de un determinante como se conoce actualmente, y por ello lleva su nombre.

Sin embargo, el termino “determinante” fue introducido por primera vez por Gauss en

Disquisiciones Aritmeticas (1801) mientras se discutıan formas cuadraticas. Gauss uso este

termino porque el determinante determina las propiedades de la forma cuadratica, aunque este

concepto no es el mismo que se conoce hoy en dıa.

Fue Cauchy en 1812 quien uso el termino determinante en el sentido moderno. Su trabajo

es el mas completo de los primeros trabajos sobre el tema. En este escrito, de 1812, por primera

vez fue probada la multiplicacion de determinantes aunque, en la misma reunion del Instituto

de Francia, Binet leyo un escrito que contenıa la prueba del teorema de la multiplicacion, pero

fue menos satisfactoria que la realizada por Cauchy.

Jacobi publico tres tratados sobre determinantes en 1841, hecho de gran importancia, ya

que por primera vez la definicion de determinante fue elaborada en forma algorıtmica, pero

las entradas en los determinantes no estaban dadas explıcitamente. Ası, sus resultados fueron

aplicados igualmente bien a casos en los que las entradas eran numeros o funciones. Estos tres

escritos de Jacobi dieron a conocer ampliamente la idea de determinante.

Cayley tambien publico un texto en 1841, la primera contribucion Inglesa a la teorıa de

determinantes. En este escrito, uso dos lıneas verticales en ambos lados del arreglo para denotar

el determinante, una notacion que ahora es comun.

Una definicion axiomatica de determinante fue usada por Weierstrass en sus clases y fue

publicada en 1903, despues de fallecido, en la nota “Teorıa de determinantes”. En el mismo

ano, tambien fueron publicados los apuntes de Kronecker sobre determinantes, nuevamente

despues de su muerte. Con estas dos publicaciones, la teorıa moderna de determinantes estaba

desarrollada. Extractado de [14].

En este capıtulo se estudian los determinantes y sus propiedades, se demuestran algunas de

ellas y se ilustran con ejemplos las demas. Ademas, se establece la relacion entre determinantes

e inversas de matrices y se finaliza con la regla de Cramer.

146


4.2. Definiciones y notacion

Definicion 4.1 (Determinante 2 × 2). Sea A =

(a11 a12

a21 a22

)

. El determinante de A, se denota

por detA o |A| y se define como

detA = |A| =∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣= a11a22 − a21a12

Definicion 4.2 (Menor ij de A). Sea A = (aij) una matriz cuadrada de orden n. El menor ij

de A, denotado por Mij, se define como la submatriz que se obtiene de A al suprimirle la fila

i−esima y la columna j−esima.

Definicion 4.3 (Cofactor ij de A). Sea A = (aij) un matriz cuadrada de orden n. El cofactor

ij de A, se denota por Aij y se define como

Aij = (−1)i+j|Mij|.

Observe que (−1)i+j =

1 si i+ j es par

−1 si i+ j es impar.

Ejemplo 4.1. Calcule los menores M11 ,M12 y M13 y sus respectivos cofactores A11 , A12 y A13

de la matriz A =

2 −2 3

−2 3 −73 −3 8

.

Solucion. Se tiene

M11 =

(3 −7−3 8

)

, A11 = (−1)2∣∣∣∣

3 −7−3 8

∣∣∣∣= 3,

M12 =

(−3 −72 8

)

, A12 = (−1)3∣∣∣∣

−2 −73 8

∣∣∣∣= −5,

M13 =

(−2 33 −3

)

, A13 = (−1)4∣∣∣∣

−2 33 −3

∣∣∣∣= −3.

Definicion 4.4 (Determinante n× n). El determinante de la matriz

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

, se denota por detA o |A| y se define como

detA = |A| = a11A11 + a12A12 + · · ·+ a1nA1n =n∑

j=1

a1jA1j (4.1)

A la expresion (4.1) se le conoce como la expansion por cofactores de A a lo largo de la primera

fila.

147


Ejemplo 4.2. Considere la matriz A del ejemplo 4.1.

a) Calcule el determinante de la matriz A.

b) Halle los cofactores de A.

Solucion.

a) detA = a11A11 + a12A12 + a13A13 = 2(3) + (−2)(−5) + (3)(−3) = 7.

b) Ahora se calculan A21 , A22 , A23 , A31 , A32 y A33

A21 = −∣∣∣∣

−2 3−2 8

∣∣∣∣= 10, A22 = +

∣∣∣∣

2 33 8

∣∣∣∣= 7, A23 = −

∣∣∣∣

2 −23 −3

∣∣∣∣= 0,

A31 = +

∣∣∣∣

−2 33 −7

∣∣∣∣= 5, A32 = −

∣∣∣∣

2 3−2 −7

∣∣∣∣= 8, A33 = +

∣∣∣∣

2 −2−2 3

∣∣∣∣= 2.

4.3. Propiedades

A continuacion se ilustran con ejemplos varias propiedades de los determinantes. Algunas

demostraciones se pueden ver en [4] o en [6].


2 −2 3

3 −4 4

4 −5 2

. Calcule

a) a21A11 + a22A12 + a23A13 b) a31A11 + a32A12 + a33A13

c) a11A21 + a12A22 + a13A23 d) a31A21 + a32A22 + a33A23

e) a11A31 + a12A32 + a13A33 f) a21A31 + a22A32 + a23A33

Solucion. Los cofactores de A son:

A11 = +

∣∣∣∣

−4 4

−5 2

∣∣∣∣= 12, A12 = −

∣∣∣∣

3 4

4 2

∣∣∣∣= 10, A13 = +

∣∣∣∣

3 −44 −5

∣∣∣∣= 1

A21 = −∣∣∣∣

−2 3

−5 2

∣∣∣∣= −11, A22 = +

∣∣∣∣

2 3

4 2

∣∣∣∣= −8, A23 = −

∣∣∣∣

2 −24 −5

∣∣∣∣= 2

A31 = +

∣∣∣∣

−2 3

−4 4

∣∣∣∣= 4, A32 = −

∣∣∣∣

2 3

3 4

∣∣∣∣= 1, A33 = +

∣∣∣∣

2 −23 −4

∣∣∣∣= −2

a) a21A11 + a22A12 + a23A13 = (3)(12) + (−4)(10) + (4)(1) = 36− 40 + 4 = 0

b) a31A11 + a32A12 + a33A13 = (4)(12) + (−5)(10) + (2)(1) = 48− 50 + 2 = 0

148


c) a11A21 + a12A22 + a13A23 = (2)(−11) + (−2)(−8) + (3)(2) = −22 + 16 + 6 = 0

d) a31A21 + a32A22 + a33A23 = (4)(−11) + (−5)(−8) + (2)(2) = −44 + 40 + 4 = 0

e) a11A31 + a12A32 + a13A33 = (2)(4) + (−2)(1) + (3)(−2) = 8− 2− 6 = 0

f) a21A31 + a22A32 + a23A33 = (3)(4) + (−4)(1) + (4)(−2) = 12− 4− 8 = 0

Tambien se puede verificar que

a12A11 + a22A21 + a32A31 = a13A11 + a23A21 + a33A31 = 0

a11A12 + a21A22 + a31A32 = a13A12 + a23A22 + a33A32 = 0

a11A13 + a21A23 + a31A33 = a12A13 + a22A23 + a32A33 = 0

Sea A = (aij) una matriz n× n. Entonces

1. ai1Ak1 + ai2Ak2 + · · ·+ ainAkn =n∑

j=1

aijAkj = 0 si i 6= k

2. a1jA1r + a2jA2r + · · ·+ anjAnr =n∑

i=1

aijAjr = 0 si j 6= r

Teorema 4.1.

Ejemplo 4.4. Considere la matriz A del ejemplo 4.3 y calcule

a) detA b) a21A21 + a22A22 + a23A23

c) a31A31 + a32A32 + a33A33 d) a11A11 + a21A21 + a31A31

e) a12A12 + a22A22 + a32A32 f) a13A13 + a23A23 + a33A33

Solucion.

a) detA = a11A11 + a12A12 + a13A13 = (2)(12) + (−2)(10) + (3)(1) = 24− 20 + 3 = 7.

b) a21A21 + a22A22 + a23A23 = (3)(−11) + (−4)(−8) + (4)(2) = 7 = detA

c) a31A31 + a32A32 + a33A33 = (4)(4) + (−5)(1) + (2)(−2) = 7 = detA

d) a11A11 + a21A21 + a31A31 = (2)(12) + (3)(−11) + (4)(4) = 7 = detA

e) a12A12 + a22A22 + a32A32 = (−2)(10) + (−4)(−8) + (−5)(1) = 7 = detA

f) a13A13 + a23A23 + a33A33 = (3)(1) + (4)(2) + (2)(−2) = 7 = detA

149


Sea A una matriz n× n. Entonces

1. detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin︸︷︷︸

Expansion por la fila i

=n∑

j=1

aijAij, i = 1, 2, . . . , n

2. detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj︸︷︷︸

Expansion por la columna j

=n∑

i=1

aijAij , j = 1, 2, . . . , n

Teorema 4.2.


3 0 −4 02 0 −3 05 3 −3 74 0 0 1

. Halle detA.

Solucion. Expandiendo por la segunda columna se tiene

detA = 0

a12A12 +0

a22A22 + a32A32 +0

a42A42 = 3(−1)5∣∣∣∣∣∣

3 −4 02 −3 0

4 0 1

∣∣∣∣∣∣

︸︷︷︸

Expansion por col 3

= −3 · 1∣∣∣∣

3 −42 3

∣∣∣∣= −3(−9 + 8) = 3.

Corolario 1. Si A es una matriz n× n, entonces detAT = detA.

Corolario 2. Si A es una matriz n×n que tiene una fila (columna) de ceros, entonces detA = 0.

Ejemplo 4.6. Calcule |A| en cada caso, donde

a) A =

1 0 0

7 5 0

9 10 8

, b) A =

2 13 4

0 6 3

0 0 9

.

Solucion.

a) Desarrollando por la primera fila se tiene:

|A| =

∣∣∣∣∣∣

1 0 0

7 5 0

9 10 8

∣∣∣∣∣∣

= a11A11 +0

a12A12 +0

a13A13

= 1 ·∣∣∣∣

5 0

10 8

∣∣∣∣= 1 · (5 · 8− 0) = 1 · 5 · 8 = 40.

150


b) Expandiendo por la primera columna se tiene:

|A| =

∣∣∣∣∣∣

2 13 4

0 6 3

0 0 9

∣∣∣∣∣∣

= a11A11 +0

a21A21 +0

a31A31

= 2 ·∣∣∣∣

6 3

0 9

∣∣∣∣= 2 · (6 · 9− 0) = 2 · 6 · 9 = 108.

Sea A = (aij) es una matriz triangular (diagonal) de tamano n × n. Entonces detA =

a11a22 . . . ann. En particular, det I = 1.

Teorema 4.3.


(2 −32 −2

)

y B =

(3 −23 −3

)

. Halle |A|, |B| y |AB|.

Solucion. Se tiene: detA = −2, detB = 3,AB =

(−3 50 2

)

y

det(AB) = −6 = (−2) · 3 = detA · detB.

Sean A y B matrices n× n. Entonces detAB = detA detB.

Teorema 4.4.


(2 −31 −2

)

y B =

(1 −22 −3

)

. Halle detA y detB.

Solucion. Se tiene

detA =

∣∣∣∣

2 −31 −2

∣∣∣∣= −4 + 3 = −1, detB =

∣∣∣∣

1 −22 −3

∣∣∣∣= −3 + 4 = 1 = − detA.

Note que la matriz B se obtuvo de A, intercambiando los renglones 1 y 2.

Lema 1. Si B se obtiene intercambiando dos filas (columnas) adyacentes de A, entonces detB =

− detA.

Demostracion. Sea B la matriz que se obtiene de A intercambiando dos filas adyacentes, de

modo que

A =

a11 a12 . . . a1n

......

. . ....

ai1 ai2 . . . ainai+1,1 ai+1,2 . . . ai+1,n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

y B =

a11 a12 . . . a1n

......

. . ....

ai+1,1 ai+1,2 . . . ai+1,n

ai1 ai2 . . . ain...

.... . .

...

an1 an2 . . . ann

151


Calculando detA por la fila i y detB por la fial i+ 1 se tiene:

detA = (−1)i+1ai1|Mi1|+ · · ·+ (−1)i+nain|Min|

detB = (−1)i+2ai1|Mi1|+ · · ·+ (−1)i+1+nain|Min|= (−1) ·

[

(−1)i+1ai1|Mi1|+ · · ·+ (−1)i+nain|Min|]

= − detA.

En general, se tiene el siguiente teorema:

Si B se obtiene intercambiando dos filas (columnas) de A, entonces detB = − detA.

Teorema 4.5.

Demostracion. Se probara que el intercambio de dos filas se puede hacer mediante un numero

impar de intercambios de filas adyacentes. Por ejemplo, el intercambio de la fila 1 con la 4 se

puede hacer mediante los siguientes intercambios de filas adyacentes.

A1

A2

A3

A4

→

A2

A1

A3

A4

→

A2

A3

A1

A4

→

A2

A3

A4

A1

→

A2

A4

A3

A1

→

A4

A2

A3

A1

.

En este caso, se hicieron 5 intercambios sucesivos de filas.

Supongase que se desea intercambiar la fila i con la fila i+k. Pasar de la fila i a la fila i+k

requiere k intercambios adyacentes. Pasar la fila i+k, que ahora esta en la fila i+k−1, a la fila

i requiere k − 1 intercambios adyacentes. Las demas filas quedan en sus posiciones originales.

Ası, el numero total de intercambios sucesivos es k + k − 1 = 2k − 1, un numero impar. Por

el lema anterior, cada intercambio adyacente cambia el signo del determinante original. Por lo

tanto, un numero impar de intercambios adyacentes altera el signo del determinante original.

Corolario 1. Si dos filas (columnas) de A son iguales, entonces |A| = 0.


(2 −32 −2

)

y B =

(6 −92 −2

)


Solucion. Se tiene

detA =

∣∣∣∣

2 −32 −2

∣∣∣∣= −4 + 6 = 2, detB =

∣∣∣∣

6 −92 −2

∣∣∣∣= −12 + 18 = 6 = 3detA.

Note que la matriz B se obtuvo de A, multiplicando por 3 la fila 1.

Si B se obtiene de A al multiplicar una fila (columna) de A por un numero real λ, entonces

detB = λ detA.

Teorema 4.6.

152


Corolario 1. Si A es una matriz n× n, entonces det(λA) = λn detA.

Si una matriz A tiene una fila (columna) que es multiplo de otra, entonces detA = 0.

Teorema 4.7.


(2 −34 −2

)

y B =

(2 −30 4

)


Solucion. Se tiene

detA =

∣∣∣∣

2 −34 −2

∣∣∣∣= −4 + 12 = 8, detB =

∣∣∣∣

2 −30 4

∣∣∣∣= 8 = detA.

Observe que la matriz B se obtuvo de A, sumando −2 veces la fila 1 a la fila 2.

Si B se obtiene sumando a cada elemento de la fila j−esima (de la columna j−esima) de A,

c veces la fila i−esima (la columna j−esima) con i 6= j, entonces detB = detA.

Teorema 4.8.

Ejemplo 4.11. Calcule

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 3 4 6

4 7 5 8

−2 −1 2 4

−6 −7 −9 −8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

usando propiedades.

Solucion. Se tiene∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 3 4 6

4 7 5 8

−2 −1 2 4

−6 −7 −9 −8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣f2 − 2f1

f3 + f1

f4 + 3f1

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 3 4 6

0 1 −3 − 4

0 2 6 10

0 2 3 10

∣∣∣∣∣∣∣∣∣f3 − 2f2

f4 − f2

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 3 4 6

0 1 − 3 − 4

0 0 12 18

0 0 9 18

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 2 · 1 ·∣∣∣∣

12 18

9 18

∣∣∣∣= 2 · 3 · 18

∣∣∣∣

4 1

3 1

∣∣∣∣= 108.

Ejemplo 4.12. Si

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣

= 5, halle

∣∣∣∣∣∣

4b+ 3c 4e+ 3f 4h+ 3i

2a− 3b 2d− 3e 2g − 3h

c f i

∣∣∣∣∣∣

.

Solucion. Mediante propiedades se tiene

∣∣∣∣∣∣

4b+ 3c 4e+ 3f 4h+ 3i

2a− 3b 2d− 3e 2g − 3h

c f i

∣∣∣∣∣∣

f1−3f3

=

∣∣∣∣∣∣

4b 4e 4h

2a− 3b 2d− 3e 2g − 3h

c f i

∣∣∣∣∣∣

153


= 4 ·

∣∣∣∣∣∣

b e h

2a− 3b 2d− 3e 2g − 3h

c f i

∣∣∣∣∣∣

f2+3f1

= 4 ·

∣∣∣∣∣∣

b e h

2a 2d 2g

c f i

∣∣∣∣∣∣

= 4 · 2 ·

∣∣∣∣∣∣

b e h

a d g

c f i

∣∣∣∣∣∣

= 8 ·

∣∣∣∣∣∣

b a c

e d f

h g i

∣∣∣∣∣∣

= −8 ·

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣

= −40.

Regla de Sarrus

Hay un artificio para calcular determinantes, el cual solo es valido para matrices 3 × 3 y

que consta de los siguientes pasos.

Paso 1. Escriba A, y en seguida las dos primeras columnas como se indica

a11 a12 a13 | a11 a12

a21 a22 a23 | a21 a22

a31 a32 a33 | a31 a32

+ + +

− − −

Paso 2. Calcule los productos indicados por las flechas. Los productos correspondientes a las

flechas que se dirigen hacia abajo van antecedidos por el signo mas. Los productos

correspondientes a las flechas que se dirigen hacia arriba, tienen signo menos.

Paso 3. Sume los productos empleando los signos adecuados segun se determino en el paso

2.

Ejemplo 4.13. Halle detA, donde A =

2 −4 3

3 −1 4

1 5 −2

.

Solucion. Usando el artificio anterior, se tiene

Paso 1. Escribiendo A y las dos primeras columnas

2 −4 3 | 2 −43 −1 4 | 3 −11 5 −2 | 1 5

+ + +

− − −

154


Paso 2. Calculos de los productos indicados

Con signo + : + [(2)(−1)(−2)] = 4, + [(−4)(4)(1)] = −16, + [(3)(3)(5)] = 45

Con signo − :− [(1)(−1)(3)] = 3, − [(5)(4)(2)] = −40, − [(−2)(3)(−4)] = −24Paso 3. Suma de los productos teniendo en cuenta los signos

detA = (4− 16 + 44) + (3− 40− 24) = 33− 61 = −28.

4.4. Determinantes e inversas

Definicion 4.5 (Matriz de cofactores). La matriz de cofactores de A, denotada por cofA,

es la matriz formada por los cofactores de A.

Definicion 4.6 (Matriz adjunta). Sea A = (aij) de tamano n× n. La adjunta de A, denotada

por adjA, se define como la transpuesta de la matriz de los cofactores de A. Es decir, adjA =(cofA

)T.


2 −2 33 −4 44 −5 2

. Encuentre adjA y calcule A adjA.

Solucion. En el ejemplo 4.3 se encontraron los cofactores de A y en el ejemplo 4.4 se

hallo que detA = 7. Luego,

cofA =

12 10 1−11 − 8 2

4 1 −2

adjA =(cofA

)T=

12 −11 410 − 8 11 2 −2

, A adjA =

7 0 00 7 00 0 7

=(detA

)I

Si A una matriz n× n. Entonces A adjA = (detA) I.

Teorema 4.9.

Demostracion. Sea C = A adjA. Entonces

cij= reniA • colj adjA = (a

i1a

i2. . . a

in) •

A1j

A2j

...

Anj

155


= ai1A

1j+ a

i2A

2j+ · · ·+ a

inA

nj=

0 , si i 6= j

detA, si i = j.

Es decir,

A adjA =

detA 0 . . . 0

0 detA . . . 0...

.... . .

...

0 0 . . . detA

= (detA)I.

Corolario 1. Si A es singular, entonces A adjA = O.

Corolario 2. Si detA 6= 0, entonces A es invertible y A−1 = 1|A| adjA.

Ejemplo 4.15. Sean A, B y C matrices 4 × 4. Si |A| = 2, |−B−1| = −2 y |C| = 4, calcular

el determinante de la matriz (ATC)TB (adjB +B−1) .

Solucion. −2 = |−B| = (−1)4|B−1| = 1|B| . Luego, |B| = −1

2. Simplificando:

(ATC)TB(adjB +B−1

)= CT (AT )T (B adjB +BB−1) = CTA(|B|I + I)

= CT (|B|A+A) = CT (−12A+A) = 1

2CTA.

Ası,∣∣(ATC)TB

(adjB +B−1

)∣∣ =

∣∣12CTA

∣∣ =

(12

)4 |C||A| = 1

16· 4 · 2 = 1

2.

Sea A una matriz n × n invertible. Entonces el sistema Ax = b tiene solucion unica dada

por

xj =|Aj||A| , j = 1, 2, . . . , n, (4.2)

donde Aj es la matriz que se obtiene de A reemplazando la j−esima columna de A por el

vector columna b.

Teorema 4.10. Regla de Cramer

Demostracion. Sea x =

x1

...

xn

. De acuerdo con el Teorema 4.6 numeral 3,

x = A−1b =

(1

detAadjA

)

b.

Por lo tanto,

xj =1

detArenj(adjA) • b =

1

detA(A

1jb1 + A

2jb2 + · · ·+ Anjbn).

156


La expresion entre parentesis es el determinante de la matriz que se obtiene al reemplazar la

columna j de A por el vector columna b, desarrollado por dicha columna.

Ejemplo 4.16. Resolver el siguiente sistema mediante la regla de Cramer

2x1 − x2 = 3

x1 + x2 = 3

Solucion. Se tiene que A =

(2 −11 1

)

, x =

(

x1

x2

)

y b =

(

33

)

. Ahora

detA =

∣∣∣∣

2 −11 1

∣∣∣∣= 3, detA1 =

∣∣∣∣

3 −13 1

∣∣∣∣= 6 y detA2 =

∣∣∣∣

2 31 3

∣∣∣∣= 3.

Luego, x1 =|A1||A| = 2 y x2 =

|A2||A| = 1.

Ejemplo 4.17. Muestre que existe una unica funcion cuadratica f(x) = a0 + a1x + a2x2 que

pasa por los puntos (x1 , y1), (x2 , y2) y (x3 , y3) con x1 6= x2 , x1 6= x3 y x2 6= x3 .

Solucion. Al sustituir los puntos en f(x) = a0 + a1x + a2x2 se obtiene el siguiente sistema de

ecuaciones lineales en a0 , a1 , a2 :

a0 + a1x1 + a2x21= y1

a0 + a1x2 + a2x22= y2

a0 + a1x3 + a2x23= y3 .

La matriz de coeficientes del sistema es A =

1 x1 x21

1 x2 x22

1 x3 x23

cuyo determinante es el de Van-

dermonde, ejercicio 4, pagina 158 y esta dado por

detA = (x1 − x2)(x1 − x3)(x2 − x3).

Como los tres puntos son distintos, el determinante de Vandermonde no se anula. Por lo tanto,

el sistema tiene solucion unica.

157



1. A es invertible.


3. El sistema Ax = b tiene solucion solucion unica para cada n-vector b y la solucion es

x = A−1b.




7. detA 6= 0.







14. El espacio generado por las columnas de A es Rn. Es decir, genc1 , . . . , cn = Rn.



4.5. Ejercicios

1. Use propiedades del determinante para calcular detA si

(a) A =

1 −2 3

−3 5 −82 5 2

(b) A =

1 3 4 5

−1 −2 −3 −41 4 −1 2

2 7 3 7

2. Si

∣∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣∣

= 20, calcule

∣∣∣∣∣∣∣

a d g

5b 5e 5h

c+ a f + d i+ g

∣∣∣∣∣∣∣

.

3. Si

∣∣∣∣∣∣∣

x y z

3 0 2

1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣

= 2, calcule

∣∣∣∣∣∣∣

2x 2y 2z

3x+ 3 3y 3z + 2

x+ 2 y + 2 z + 2

∣∣∣∣∣∣∣

.

4. Determinante de Vandermonde. Muestre que

∣∣∣∣∣∣

1 x1 x21

1 x2 x22

1 x3 x23

∣∣∣∣∣∣

= (x1 − x2)(x1 − x3)(x2 − x3).

158


5. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales

ax+ by + cz = c+ 2a

cx+ dy + fz = f + 2d

gx+ hy + iz = i+ 2g

dado que

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣

= 5.

6. Mediante propiedades, verifique

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 x x x

x 1 x x

x x 1 x

x x x 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= −(x− 1)3(3x+ 1).

7. Sea A una matriz no singular n× n. Muestre que |adjA| = |A|n−1.

8. Determinar los valores de λ, si existen, para los cuales la matriz

A =

−λ λ− 1 λ+ 1

1 2 3

2− λ λ+ 3 λ+ 7

no tenga inversa.

9. Sea A una matriz 4× 4 tal que |2A−1| = 2. Calcule∣∣−AT

∣∣.

10. Sean A y B matrices cuadradas de orden 4. Si |−B−1| = 12y |A| = 3, calcular el

determinante de la matriz C = AB (adjB −B−1) +A.

11. Sean A, B y C matrices 4 × 4. Si |A| = 3, |B| = −8 y∣∣2CT

∣∣ = −32, calcular

∣∣∣[adj(AC)]

(ABTC

)−1∣∣∣.

12. Sean A y B matrices simetricas 4 × 4. Si |2B−1| = 2, encuentre el valor de λ de modo

que [AB(adjB −B−1) +A]−1

AT = λI.

13. Sean y A =

−1 0 0

0 1 0

0 0 2

y B =

0 0 2

3 0 1

1 2 3

. Simplifique y encuentre la matriz X tal

que X = (A+B−1A) (3B−1A)−1 |AB|. Halle x31 y x32 .

14. Sean A, B y C matrices 3 × 3 tales que |A| = 4, |B| = −2 y |C| = 3, calcule∣∣(adjA)(A−1BCT )

∣∣+∣∣(ABTC−1)−1

∣∣−1.

15. Sean A y B matrices n×n invertibles. Pruebe lo siguiente: Si A+B es singular, entonces

A−1 +B−1 tambien es singular.

16. Resolver los siguientes sistemas mediante la regla de Cramer

(a)2x+ 3y = 3

3x+ 2y = 2 (b)

x− y + z = 2

2x+ y + z = 2

3x+ 2y − 2z = 3

159



1. Calcule

∣∣∣∣∣∣

2x 2y 2z

x+ 1 y + 1 z + 1

6x+ 5 6y 6z + 3

∣∣∣∣∣∣

dado que

∣∣∣∣∣∣

x y z

5 0 3

1 1 1

∣∣∣∣∣∣

= −4.

2. Encuentre todos los valores de λ, si existen, para los cuales la matriz

(5− λ −2−2 8− λ

)

sea

singular.

3. Para la matriz A =

5− λ 4 −44 5− λ 4

−4 4 5− λ

(a) ¿Para λ = 9, la matriz es invertible? Justifique claramente su respuesta.

(b) Encuentre un valor de λ para el cual la matriz A sea invertible.

4. Sean a,B y C matrices simetricas 4 × 4. Si |2B−1| = 32, halle el valor de λ que haga

valida la ecuacion (A (B (adjB −B−1)) +A) = λI.

5. Sean A,B y C matrices 4 × 4. Si |A| = 3, |B| = −8 y∣∣−2CT

∣∣ = −32, calcule

∣∣∣(adjAC)

(ABTC

)−1∣∣∣.

6. Responda verdadero o falso en cada una de las siguientes proposiciones. Justifique clara-

mente sus respuestas

(a) Si λ = 3, entonces la matriz A =

(λ 2

3 λ− 1

)

es singular.

(b) Si A es una matriz antisimetrica de orden n > 1 y n es impar, entonces detA = 0.

(c) La matriz A =

1 1 0

1 0 0

1 2 λ

no es invertible para todo λ ∈ R.

(d) Si A es una matriz singular, entonces el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones.

(e) Si A es una matriz ortogonal, entonces el determinante de A puede tomar los valores

1 o −1.(f) SeanA,B y C matrices 4 × 4. Si |A| = 3, |B| = −8 y

∣∣2CT

∣∣ = −32, entonces

∣∣∣[adj(AC)]

(ABTC

)−1∣∣∣ = 18.

160

CAPITULO CINCO

Espacios vectoriales

5.1. Introduccion

163

Los espacios vectoriales se derivan de la geometrıa afın, a traves de la introduccion de

coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matematicos franceses

Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometrıa analıtica mediante la vinculacion de las

soluciones de una ecuacion con dos variables a la determinacion de una curva plana. Para lograr

una solucion geometrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas

operaciones sobre puntos, lıneas y planos, que son predecesoras de los vectores. Este trabajo

empleo el concepto de coordenadas baricentricas de August Ferdinand Mobius, de 1827.

Ası pues, el origen de la definicion de vector se remonta a la definicion de “bipoint” dada

por Giusto Bellavitis: un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un

objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentacion de los numeros complejos de Argand

y Hamilton y la creacion de los cuaterniones por este ultimo (Hamilton fue ademas el que invento

el nombre de vector). Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales

se remonta a Laguerre en 1867, quien tambien definio los sistemas de ecuaciones lineales.

En 1857, Cayley introdujo la notacion matricial, que permite una armonizacion y sim-

plificacion de las aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudio el calculo

baricentrico iniciado por Mobius. Intuyo conjuntos de objetos abstractos dotados de operacio-

nes. En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimension, ası como de producto

escalar estan presentes. En realidad, el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los

espacios vectoriales, ya que tiene en cuenta la multiplicacion, lo cual lo condujo a lo que hoy

en dıa se llaman algebras. Igualmente, el matematico italiano Peano dio la primera definicion

moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888. Tomado de [11].

En este capıtulo se hace una generalizacion de los espacios vectoriales Rn y las matrices

Mm×n(R) a otros conjuntos, enfatizando en el concepto de combinacion lineal como celula

generadora de otros conceptos como dependencia e independencia lineal, espacio generado y

conjunto generador.


5.2. Definicion y ejemplos

Definicion 5.1 (Espacio Vectorial). Sea V un conjunto no vacıo, en el cual se definen dos

operaciones ⊕ y ⊙, llamadas suma y multiplicacion por un escalar (numero real), res-

pectivamente. Se dice que V con las dos operaciones es un espacio vectorial, si satisface los

siguientes axiomas:

Axiomas de la suma

S1. Si u, v ∈ V , entonces u⊕ v ∈ V .

S2. Si u, v ∈ V , entonces u⊕ v = v ⊕ u.

S3. Para cada u, v, w ∈ V , se tiene (u⊕ v)⊕w = u⊕ (v ⊕w).

S4. Existe e ∈ V tal que para cada u ∈ V ; u⊕ e = u.

S5. Para cada u ∈ V , existe w ∈ V tal que u⊕w = e.

Axiomas de la multiplicacion por un escalar

M1. Si u ∈ V y λ ∈ R, entones λ⊙ u ∈ V .

M2. Si u,v ∈ V y λ ∈ R, entonces λ⊙ (u⊕ v) = λ⊙ u⊕ λ⊙ v.

M3. Si u ∈ V y λ, β ∈ R, entonces (λ+ β)⊙ u = λ⊙ u⊕ β ⊙ u.

M4. Si u ∈ V y λ, β ∈ R, entonces (λβ)⊙ u = λ⊙ (β ⊙ u).

M5. Para cada u ∈ V, 1⊙ u = u.


1. Un espacio vectorial se denota de cualquiera de las siguientes formas: 〈V, ⊕, ⊙〉 o simple-

mente V, cuando las operaciones son las usuales.

2. Cada uno de los elementos de un espacio vectorial se llama vector.

3. El vector e ∈ V se llama elemento identidad o modulo para ⊕.4. El vector w ∈ V que cumple 5S se llama el inverso de u. Se denota por ⊖u.5. Si no se indican las operaciones, se asume que son las usuales. Cuando se especifican las

usuales, no se encierran en un cırculo. En este caso, e = 0 y ⊖u = −u.

Ejemplo 5.1. Los siguientes son espacios vectoriales

1. V = Rn, n = 1, 2, . . . 2. V =Mm×n(R)

164


Ejemplo 5.2. Determine cuales de los siguientes conjuntos con las operaciones indicadas, es

un espacio vectorial:

1. V = 〈Z,+, .〉 2. V = 〈Q,+, .〉

3. 〈R2,⊕,⊙〉, donde(x, y)⊕ (z, w) = (x+ z − 1, y + w + 1)

λ⊙ (x, y) = (λx− λ+ 1, λy + λ− 1)

Solucion. Se verifica si se cumplen los axiomas de espacio vectorial:

1. 〈Z,+, .〉 no es espacio vectorial puesto que si λ ∈ R y x ∈ Z, entonces λx /∈ Z. Es decir,

no se cumple el axioma M1.

2. Igual que en el caso anterior, no se cumple el axioma M1.

3. S1. Es inmediata por definicion de ⊕.S2. (x, y)⊕ (z, w) = (x+ z − 1, y + w + 1)

= (z + x+ 1, w + y − 1) = (z, w)⊕ (x, y)

S3. [(x, y)⊕ (z, w)]⊕ (r, s) = (x+ z − 1, y + w − 1)⊕ (r, s)

= ([x+ z − 1] + r − 1, [y + w + 1] + s+ 1)

= (x+ [z + r − 1]− 1, y + [w + s+ 1] + 1)

= (x, y)⊕ (z + r − 1, w + s+ 1)

= (x, y)⊕ [(z, w)⊕ (r, s)]

S4. Sea e = (z, w) el elemento identidad para la suma. Entonces

(x, y)⊕ (z, w) = (x, y)⇒ (x+ z − 1, y + w + 1) = (x, y)

De donde, z = 1, w = −1. Es decir, e = (1,−1).S5. Sean u = (x, y) y v = (z, w) de modo que u⊕ v = e. Luego

(x, y)⊕ (z, w) = (1,−1)(x+ z − 1, y + w + 1) = (1,−1).

De ahı, z = −x+ 2, w = −y − 2. Luego, ⊖u = (−x+ 2,−y − 2).

M1. Es inmediata por definicion de ⊙.M2. Sean a = λ⊙ [(x, y)⊕ (z, w)] y b = λ⊙ (x, y)⊕ λ⊙ (z, w). Entonces

a = λ⊙ (x+ z − 1, y + w + 1)

= (λ[x+ z − 1]− λ+ 1, λ[y + w + 1] + λ− 1)

165


= ([λx− λ+ 1] + λz − λ, [λy + λ− 1] + λw + λ)

Por otra parte,

b = λ⊙ (x, y)⊕ λ⊙ (z, w)

= (λx− λ+ 1, λy + λ− 1)⊕ (λz − λ+ 1, λw + λ− 1)

= ([λx− λ+ 1] + [λz − λ+ 1]− 1, [λy + λ− 1] + [λw + λ− 1] + 1)

= ([λx− λ+ 1] + λz − λ, [λy + λ− 1] + λw + λ) = a

M3. Sean m = (λ+ µ)⊙ (x, y) y n = λ⊙ (x, y)⊕ µ(x, y).

m = ([λ+ µ]x− [λ+ µ] + 1, [λ+ µ]y + λ+ µ− 1)

= (λx+ µx− λ− µ+ 1, λy + µy + λ+ µ− 1)

Ahora,

n = (λx− λ+ 1, λy + λ− 1)⊕ (µx− µ+ 1, µy + µ− 1)

= (λx− λ+ 1 + µx− µ+ 1− 1, λy + λ− 1 + µy + µ− 1 + 1)

= (λx+ µx− λ− 1, λy + µy + λ+ µ− 1) = m

M4. Sean p = λ⊙ [µ⊙ (x, y)] y q = µ⊙ [λ⊙ (x, y)].

p = λ⊙ (µx− µ+ 1, µy + µ− 1)

= (λ[µx− µ+ 1]− λ+ 1, λ[µy + µ− 1] + λ+ 1)

= (λµx− λµ+ 1, λµy + λµ+ 1).

q = µ⊙ (λx− λ+ 1, λy + λ− 1)

= (µ[λx− λ+ 1]− µ+ 1, µ[λy + λ− 1] + µ+ 1)

= (µλx− µλ+ 1, µλy + µλ+ 1) = p

M5. 1⊙ (x, y) = (1x− 1 + 1, 1y + 1− 1) = (x, y)

Por lo tanto, 〈R2,⊕,⊙〉 es un espacio vectorial.

Ejemplo 5.3. Otros espacios vectoriales importantes son:

• V = F : el conjunto de funciones de R en R.

• Pn: el conjunto de los polinomios de grado ≤ n mas el polinomio 0.

• P : el conjunto de los polinomios de cualquier grado con el polinomio 0.

• C[I]: el conjunto de funciones continuas definidas en un intervalo I.

166


• Cn[I]: el conjunto de funciones n veces diferenciables en un intervalo I.

• C∞[I]: el conjunto de funciones infinitamente diferenciables en I.

Las operaciones son las usuales: (f + g)(x) = f(x) + g(x) y (λf)(x) = λf(x).

En lo sucesivo, las operaciones consideradas son las usuales, a menos que se especifiquen

otras. En consecuencia, no se encierran en un cırculo.

Sean u,v ∈ V y λ ∈ R. Entonces

1. 0u = 0 2. λ0 = 0 3. −1u = −u

Teorema 5.1.

Demostracion. Las pruebas de las partes 1. y 2. son similares a las del Teorema 2.4 p. 68. Aquı

se probara la parte 3.

0 = 0u Parte 1.

0 = (−1 + 1)u Prop. modulativa de + en R

0 = −1u+ 1u Propiedad M3

0 = −1u+ u Propiedad M5

0+ (−u) = [−1u+ u] + (−u) Sumando −u en ambos lados

−u = −1u+ [u+ (−u)] Propiedad S3

−u = −1u+ 0 Propiedad S5

−u = −1u Propiedad S4

5.3. Subespacios vectoriales

En esta seccion se analiza mas detalladamente la estructura de un espacio vectorial. En

primer lugar, es conveniente tener un nombre para un subconjunto no vacıo de un espacio

vectorial dado, que sea a su vez un espacio vectorial con respecto a las operaciones de V .

Definicion 5.2 (Subespacio vectorial). Sea V un espacio vectorial y H un subconjunto no

vacıo de V . Si H es un espacio vectorial con respecto de las operaciones en V , entonces H es

un subespacio vectorial de V .

Ejemplo 5.4. Sea V un espacio vectorial. Entonces H1 = 0 y H2 = V son subespacios de V ,

los cuales se denominan subespacios triviales.

Segun la definicion, para determinar que un subconjunto no vacıo de un espacio vectorial

es un subespacio de este, se deben verificar todos los axiomas de espacio vectorial, lo cual no

simplifica los procedimientos. El siguiente teorema muestra que no se deben verificar todas las

propiedades.

167


Sea V un espacio vectorial y H un subconjunto no vacıo de V . H es un subespacio de V si

y solo si para cada h1 ,h2 ∈ V y cada λ ∈ R,

1. h1 + h2 ∈ V, 2. λh1 ∈ V.

Teorema 5.2. Caracterizacion de un subespacio

Estas dos condiciones se pueden resumir en

λ1h1 + λ2h2 ∈ H para todo h1 ,h2 ∈ H y λ1 , λ2 ∈ R.

La prueba de este teorema se puede ver, por ejemplo en [3].

Ejemplo 5.5. Sea V = R2 y H = (x, y) ∈ R2 | y = kx, donde k es una constante. Determine

si H es un subespacio de R2.

Solucion. Verificando si se cumplen las dos condiciones del Teorema 5.2:

1. Sean (x1 , y1) y (x2 , y2) dos elementos de H. Entonces

y1 = kx1 y y2 = kx2 .

Ahora, si (x3 , y3) = (x1 + y1 , x2 + y2) entonces

y3 = y1 + y2 = kx1 + kx2 = k(x1 + x2) = kx3 .

Luego, (x1 + x2 , y1 + y2) ∈ H.

2. Sean (x, y) ∈ H y λ ∈ R. Entonces y = kx.

λ(x, y) = (λx, λy) = (λx, λkx) = (λx, kλx) = (x4 , kx4) ∈ V.

Por lo tanto, H es un subespacio de V .

Ejemplo 5.6. Sea V =M2×3(R) y H = A = (aij) ∈ V | a11 + 2a22 = 1 + a13. Determine si H es

subespacio de V .

Solucion. Se deben verificar si se cumplen las condiciones de un subespacio.

1. Sean A = (aij), B = (bij) ∈ H. Entonces

a11 + 2a22 = 1 + a13 y b11 + 2b22 = 1 + b13 .

Sea C = (cij) = A+B. Entonces cij = aij + bij y

c11 + 2c22 = (a11 + b11) + 2(a22 + b22)

= (a11 + 2a22) + (b11 + 2b22) = (1 + a13) + (1 + b13)

= 2 + a13 + b13 = 2 + c13 6= 1 + c13 .

Luego, A + B /∈ H. Por lo tanto, H no es subespacio de V . Note que no fue necesario

verificar la segunda condicion.

168


Ejemplo 5.7. Sea V = F [−a, a], el conjunto de todas las funciones con valores reales, definidas

en el intervalo [−a, a] y H = f ∈ V | f(−x) = f(x). Muestre que H es subespacio de V .

Solucion. Comprobando:

1. Sean f, g ∈ H. Entonces f(−x) = f(x) y g(−x) = g(x). Ahora

(f + g)(−x) = f(−x) + g(−x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x).

Luego, f + g ∈ H.

2. Sean f ∈ H y λ ∈ R. Entonces f(−x) = f(x) y

(λf)(−x) = λf(−x) = λf(x) = (λf)(x). Luego, λf ∈ H.

Por lo tanto, H es un subespacio de V .

Ejemplo 5.8. Sea V = C2[R] y H = f ∈ V | f ′′ − 3f ′ + 2f = 0. Pruebe que H es un subes-

pacio de V .

Solucion.

1. Sean f, g ∈ H. Entonces f ′′ − 3f ′ + 2f = 0 y g′′ − 3g′ + 2g = 0. Luego

(f + g)′′ − 3(f + g)′ + 2(f + g) = f ′′ + g′′ − 3f ′ − 3g′ + 2f + 2g

= (f ′′ − 3f ′ + 2f) + (g′′ − 3g′ + 2g)

= 0 + 0 = 0.

Luego, f + g ∈ H.

2. Ahora, si f ∈ H y λ ∈ R, entonces f ′′ − 3f ′ + 2f = 0. Luego,

(λf)′′ − 3(λf)′ + 2(λf) = λf ′′ − 3λf ′ + 2λf = λ(f ′′ − 3f ′ + 2f) = λ · 0 = 0.

Luego, λf ∈ H.

En consecuencia, H es un subespacio de V .

Si H un subespacio de V , entonces 0 ∈ H.

Teorema 5.3.

Demostracion. Es inmediata segun los teoremas 5.1 y 5.2.

Como consecuencia del Teorema 5.3, se tiene:

Corolario 1. Si 0 /∈ H, entonces H no es subespacio de V .

Nota. En el ejemplo 5.6 basta ver que el vector 0 no esta en H. En efecto, si 0 estuviera en

H, se deberıa cumplir que 0 + 2 · 0 = 1 + 0, lo cual es imposible. Luego 0 /∈ H y ası, H no es

un subespacio de V =M2×3(R).

En la seccion que sigue se generaliza el concepto de combinacion lineal, dependencia e

independencia lineal.

169


5.4. Combinacion lineal, independencia y dependencia li-

neal

Definicion 5.3 (Combinacion lineal). Sea V un espacio vectorial y sean u,v1 ,v2 , . . . ,vk∈ V . Se

dice que u es combinacion lineal de los vectores v1 ,v2 , . . . ,vk, si existen escalares λ1 , λ2 , . . . , λk

tales que

u = λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk=

k∑

i=1

λivi (5.1)

xy

z

#»u = λ1

#»v1 + λ

2#»v2

λ1

#»v1#»v1

#»v2

λ2

#»v2

O

b

b

b

b

xy

z

λ1

#»v1

#»v1

#»v2

λ2

#»v2

#»u=λ 1

#»v 1+λ 2

#»v 2

O

Figura 5.1 Combinacion lineal con k = 2 en R3

Ejemplo 5.9. Determine si u es combinacion lineal de los vectores dados.

a) u =

(1 2

5 −3

)

; v1 =

(1 2

3 4

)

, v2 =

(2 4

7 3

)

,v3 =

(−1 −2−1 −9

)

b) u = 4 + x2; v1 = 1 + x, v2 = 2x+ x2, v3 = 2 + 2x− x2

Solucion. Se determinara si existen escalares λ1 , λ2 y λ3 de modo que

λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 = u.

a) En este caso,

λ1

(1 2

3 4

)

+ λ2

(2 4

7 3

)

+ λ3

(−1 −2−1 −9

)

=

(1 2

5 −3

)

.

Al efectuar las operaciones y por igualdad de matrices se obtiene el siguiente sistema de

ecuaciones lineales:

λ1 + 2λ2 − λ3 = 1

2λ1 + 4λ2 − 2λ3 = 2

3λ1 + 7λ2 − 1λ3 = 5

4λ1 + 3λ2 − 9λ3 = −3

Escribiendo la matriz ampliada y reduciendo se tiene:

170


1 2 −1 | 1

2 4 −2 | 2

3 7 −1 | 5

3 3 −9 | − 3

∼

1 2 −1 | 1

0 0 0 | 0

0 1 2 | 2

0 −3 −6 | − 6

∼

1 2 −1 | 10 1 2 | 20 0 0 | 00 0 0 | 0

.

El sistema tiene infinitas soluciones. Luego, u es combinacion lineal de los vectores dados.

b) Al plantear la combinacion lineal, se tiene:

λ1(1 + x) + λ2(−2x+ x2) + λ3(2 + 4x− x2) = 4 + x2.

El sistema resultante es

λ1 + 2λ3 = 4

λ1 − 2λ2 + 4λ3 = 0

λ2 − λ3 = 1

Al escribir la matriz ampliada y reducir se tiene:

1 0 2 | 41 −2 4 | 00 1 −1 | 1

∼

1 0 2 | 4

0 −2 2 | − 4

0 1 −1 | 1

∼

1 0 2 | 4

0 1 −1 | 2

0 0 0 | − 1

.

Como el sistema es inconsistente, el vector u no es combinacion lineal de los vectores vi.

Observaciones

1. La suma, multiplicacion por un escalar y la igualdad (=), dependen de la forma como se

hayan definido en el espacio vectorial.

2. Despues de establecer la igualdad se obtiene un sistema de ecuaciones lineales en

λ1 , λ2 , . . . , λk, el cual puede ser consistente en cuyo caso, u es combinacion lineal de

los vectores vi o ser inconsistente, de donde se concluye que u no es combinacion lineal

de los vi.

Definicion 5.4 (Espacio generado). Sean v1 ,v2 , . . . ,vkvectores de un espacio vectorial V . El

espacio generado por S = v1 ,v2 , . . . ,vk es el conjunto formado por todas las combinaciones

lineales de v1 ,v2 , . . . ,vk. Es decir:

gen v1 ,v2 , . . . ,vk = u ∈ V | u = λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λ

kvk (5.2)

Si S ⊂ V , entonces H = genS es un subespacio de V .

Teorema 5.4.

171


Ejemplo 5.10. Encuentre genS e interprete geometricamente, en donde

S = v1 = (1, 1, 2),v2 = (2, 1,−2),v3 = (1, 2, 8) .

Solucion. H = genS esta formado por todos los vectores de la forma

u = (x, y, z) = λ1(1, 1, 2) + λ2(2, 1,−2) + λ3(1, 2, 8).

De ahı, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales

λ1 + 2λ2 + λ3 = x

λ1 + λ2 + 2λ3 = y .

2λ1 − 2λ2 + 8λ3 = z

La forma escalonada de la matriz aumentada es (verifique)

1 2 1 | x

0 1 −1 | x− y

0 0 0 | 2x− 6y + z

.

Para que el sistema tenga solucion, 2x− 6y + z = 0. Es decir,

H = genS =(x, y, z) ∈ R3 | 2x− 6y + z = 0

.

Geometricamente, H es un plano que pasa por el origen.

Ejemplo 5.11. Sea S = v1 = t2 − 2t+ 1,v2 = t2 − t+ 2,v3 = t+ 1. Determine si el vector

u = 3t2 + 2t+ 5 esta en genS.

Solucion. u ∈ gen v1 ,v2 ,v3 si y solo si existen escalares λ1 , λ2 , λ3 tales que

λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 = u.

Al sustituir los vectores, efectuar las operaciones e igualar se obtiene:

λ1 + λ2 = 3

−2λ1 − λ2 + 2λ3 = 2

λ1 + 2λ2 + λ3 = 5

Al formar la matriz ampliada y llevarla a la forma escalonada se tiene

1 1 0 | 3

0 1 1 | 8

0 0 0 | −6

.

Esto indica que el sistema es inconsistente. Por lo tanto, u /∈ genS.

172


Definicion 5.5. S = v1 ,v2 , . . . ,vk ⊂ V es un conjunto generador del espacio vectorial V

si todo vector u ∈ V se puede escribir como combinacion lineal de los vectores de S.

Ejemplo 5.12. Compruebe que S = v1 = (1, 3), v2 = (2, 7), v3 = (4,−2) es un conjunto

generador de R2.

Solucion. Sea u = (x, y) ∈ R2. Sean λ1 , λ2 y λ3 escalares tales que

λ1(1, 3) + λ2(2, 7) + λ3(4,−2) = (x, y).

Da ahı se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales

λ1 + 2λ2 + 4λ3 = x

3λ1 + 7λ2 − 2λ3 = y.

Al escribir la matriz ampliada y reducir se tiene

(1 2 4 | x

3 7 −2 | y

)

∼(1 2 4 | x

0 1 −14 | −3x+ y

)

.

De la ultima matriz se concluye que el sistema tiene solucion para cualquier (x, y) ∈ R2. Luego,

gen v1 ,v2 ,v3 = R2.

Ejemplo 5.13. Determine si S = #«v1 = (1, 0, 1), #«v2 = (1, 1, 0), #«v3 = (1, 2,−1) genera a R3.

Solucion. El conjunto S = v1 ,v2 ,v3 genera a R3 si y solo si, existen escalares λ1 , λ2 , λ3 tales

que λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 = u para cada u ∈ R3. De ahı,

λ1 + λ2 + λ3 = x

λ2 + 2λ3 = y .

λ1 − λ3 = z

La forma escalonada por renglones de la matriz aumentada del sistema es

1 1 1 | x

0 1 2 | y

0 0 0 | −x+ y + z

Como no hay solucion para todo (x, y, z) ∈ R3, S no genera a R3.

Ejemplo 5.14. Conjuntos generadores naturales para algunos espacios vectoriales:

V = R2, S0 = ı = (1, 0), = (0, 1)V = R3, S0 =

ı = (1, 0, 0), = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)

173


V = Rn, S0 = e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en= (0, 0, . . . , 1)

V = P1 , S0 = p0 = 1, p1 = xV = P2 , S0 =

p0 = 1, p1 = x, p2 = x2

V = Pn, S0 = p0 = 1, p1 = x, . . . ,p

n= xn

V = M2×2 , S0 =

e1 =

(1 0

0 0

)

, e2 =

(0 1

0 0

)

, e3 =

(0 0

1 0

)

, e4 =

(0 0

0 1

)

Definicion 5.6 (Dependencia e independencia lineal). S = v1 ,v2 , . . . ,vk un subconjunto no

vacıo de un espacio vectorial V . Se dice que S es un conjunto linealmente independiente

(LI) si el vector nulo se puede escribir de manera unica como combinacion lineal de v1 ,v2 , . . . ,vk.

Es decir, si

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkv

k=

k∑

i=1

λivi = 0, (5.3)

entonces λ1 = λ2 = · · · = λk= 0. En otro caso, se dice que S es linealmente dependiente

(LD).

Ejemplo 5.15. Determine si los vectores son linealmente independientes o linealmente depen-

dientes

v1 =

112

, v2 =

213

, v3 =

123

Solucion. Al plantear la ecuacion λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 = 0 se obtiene el sistema homogeneo

λ1 + 2λ2 + λ3 = 0

λ1 + λ2 + 2λ3 = 0 .

2λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 0

La forma escalonada reducida por renglones es

1 2 1 | 00 1 −1 | 00 0 0 | 0

.

De ahı, el sistema tiene infinitas soluciones. Por lo tanto, los vectores dados son linealmente

dependientes.

Ejemplo 5.16. Determine si los vectores f1 : f1(t) = t3+2t2−3t+1, f2 : f2(t) = t3+ t2−2t+3

y f3 : f3(t) = t3 + 2t− 4 de P3 , son LI o LD.

Solucion. Al plantear la ecuacion (5.3), se tiene:

λ1(t3 + 2t2 − 3t+ 1) + λ2(t

3 + t2 − 2t+ 3) + λ3(t3 + 2t− 4) = 0

174


Al igualar coeficientes se obtiene el sistema homogeneo:

t3 : λ1 + λ2 + λ3 = 0

t2 : 2λ1 + λ2 = 0

t :− 3λ1 − 2λ2 + 2λ3 = 0

1 : λ1 + 3λ2 − 4λ3 = 0

La forma escalonada de la matriz aumentada es

1 1 1 | 00 1 2 | 00 0 1 | 00 0 0 | 0

,

de donde se obtiene solucion unica. Luego, los vectores dados son LI.

Sean V un espacio vectorial y S un subconjunto de V . Si S contiene el vector cero, entonces

S es linealmente dependiente

Teorema 5.5.

Demostracion. Suponga que S = v1 ,v2 , . . . ,vk y v

i= 0 para algun i. La ecuacion (5.3) se

cumple si λi = 1 y λj = 0 para i 6= j. Luego, S es linealmente dependiente.

Interpretacion de la dependencia lineal

Sean v1 y v2 dos vectores linealmente dependientes no nulos un espacio vectorial V . Luego

existen escalares λ1 y λ2 , no simultaneamente nulos, tales que λ1v1 + λ2v2 = 0. Si λ1 6= 0,

despejando v1 se tiene v1 = −λ2

λ1v2 = λv2 . Similarmente, si λ2 6= 0, despejando v2 se tiene

v2 = −λ1

λ2v1 = µv1 . Ası, uno de los vectores es multiplo escalar del otro.

Recıprocamente, si v1 = λv2 , entonces 1 ·v1 +λv2 = 0 y como los coeficientes de v1 y v2 no

son simultaneamente nulos, los vectores son linealmente dependientes. Lo anterior demuestra el

siguiente teorema

Dos vectores no nulos v1 y v2 de un espacio vectorial V son linealmente dependientes si y

solo si uno es multiplo escalar del otro.

Teorema 5.6.

Para V = R2 o V = R3, dos vectores no nulos v1 y v2 son linealmente dependientes si y solo si

estan en la misma recta que pasa por el origen.

Ahora, si v1 ,v2 y v3 son tres vectores LD no nulos de un espacio vectorial V , entonces existen

escalares λ1 , λ2 y λ3 , no simultaneamente nulos, tales que

λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 = 0.

175


Si λ3 6= 0, despejando v3 se tiene

v3 = −λ1

λ3v1 +

λ2

λ3v2 = λv1 + µv2 .

Es decir, v3 ∈ gen v1 ,v2.

Ahora, si v3 ∈ gen v1 ,v2 entonces existen escalares µ1 y µ2 , tales que

v3 = µ1v1 + µ2v2 ,

lo que se puede escribir, 1 · v3 − µ1v1 − µ2v2 = 0, con lo cual se concluye que v1 ,v 2 y v3 son

linealmente dependientes.

En general se tiene:

Los vectores v1 ,v2 , . . . ,vkde un espacio vectorial V son linealmente dependientes si y solo si

alguno de los vectores vjes una combinacion lineal de los vectores precedentes v1 ,v2 , . . . ,vj−1

.

Teorema 5.7.

Demostracion. Suponga que S = v1 ,v2 , . . . ,vk es linealmente dependiente. Luego, existen

escalares λ1 , λ2 , . . . , λkno todos nulos tales que

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkv

k= 0.

Sea j el menor subındice tal que λj6= 0. Entonces

vj= −λ1

λj

v1 −λ2

λj

v2 − · · · −λ

j−1

λj

vj−1

.

Por lo tanto, vjes una combinacion lineal de v1 ,v2 , . . . ,vj−1

.

La otra parte se deja como ejercicio para el lector.

O b

#«v2= λ #«v

1

#«v1

#«v2= µ #«v

1

L

(a) k = 2

π

O

#«v2

#«v1

λ1

#«v1

λ2

#«v2

#«v3= λ1

#«v1+ λ2

#«v2

(b) k = 3

Figura 5.2 Dependencia lineal en R2 o en R3

176


Ejemplo 5.17. Sea

S =

v1 =

1

2

1

3

, v2 =

1

−13

2

, v3 =

1

5

−14

, v4 =

−14

−32

.

Encuentre el mayor subconjunto T de S que sea linealmente independiente y que contenga a v1

y a v2 .

Solucion. Es claro que v1 y v2 son LI, pues ninguno de ellos es multiplo escalar del otro. Al

plantear la ecuacion (5.3) y escribir la matriz ampliada y su forma escalonada reducida, se tiene

λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 + λ4v4 = 0.

1 1 1 −1 | 0

2 −1 5 4 | 0

1 3 −1 −3 | 0

3 2 4 2 | 0

∼ · · · ∼

1 0 2 0 | 0

0 1 −1 0 | 0

0 0 0 1 | 0

0 0 0 0 | 0

Como el sistema posee infinitas soluciones, los vectores dados son LI.

De la ultima matriz se obtiene: λ1 = −2λ3 , λ2 = λ3 , λ4 = 0. Eligiendo λ3 = −1, se tiene

λ1 = 2 y λ2 = −1; de donde, 2v1 − v2 − v3 = 0. Luego, v3 = 2v2 − v3 y ası, v3 ∈ gen v1 ,v2. Aleliminar v3 , los vectores que quedan son LI. Por lo tanto, T = v1 ,v2 ,v4.

Ejemplo 5.18. Determine si S = e2x, e−2x, e3x es un conjunto LI o LD.

Solucion. Al plantear la combinacion lineal λ1e2x + λ2e

−2x + λ3e3x = 0, no se puede

determinar si hay solucion unica o no. Para obtener un sistema 3× 3, una alternativa es derivar

la ecuacion anterior dos veces. De este modo, se tiene el sistema de ecuaciones lineales en λ1 , λ2

y λ3 .

λ1e2x + λ2e

−2x + λ3e3x = 0

2λ1e2x − 2λ2e

−2x + 3λ3e3x = 0

4λ1e2x + 4λ2e

−2x + 9λ3e3x = 0.

El determinante de la matriz de coeficientes es∣∣∣∣∣∣

e2x e−2x e3x

2e2x −2e−2x 3e3x

4e2x 4e−2x 9e3x

∣∣∣∣∣∣

= −20e3x 6= 0.

Luego, el sistema tiene solucion unica y por tanto, el conjunto S es LI.

177


Sean V un espacio vectorial y S ⊂ V, S 6= ∅. Si S contiene un subconjunto S1 linealmente

dependiente, entonces S tambien lo es.

Teorema 5.8.

Demostracion. Sean S = v1 ,v2 , . . . ,vm y S1 = v1 ,v2 , . . . ,vk

con k ≤ m. Como S1 es

linealmente dependiente, existen escalares λ1 , λ2 , . . . , λk, no todos nulos, tales que λ1v1 +λ2v2 +

· · ·+ λkv

k= 0.

Como λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkv

k+ 0v

k+1+ · · ·+ 0v

m= 0, S tambien es LD.

5.5. Bases y dimension

En esta seccion se continua el estudio de la estructura de un espacio vectorial V determi-

nando un conjunto de vectores de V que lo describa completamente.

Ejemplo 5.19. Un turista esta en Pereira ubicado en la Plaza de Bolıvar, en la esquina de la

calle 8 con carrera 20 (punto O) y desea ir a la Plaza Victoria ubicada entre las calles 16 y 17

con carreras 10 y 12 (punto P ). Le pregunta a un transeunte como hace para llegar a la Plaza

Cıvica Ciudad Victoria. ¿Que indicaciones debe darle al turista para llegar a su destino? ¿Que

conceptos del algebra lineal hay involucrados en esta situacion?1

O

P

N

Solucion. Se representa en un sistema de coordenadas en el plano, con el origen en el

punto O y las direcciones positivas de los ejes x y y hacia el este y norte respectivamente.

1 La imagen es tomada de http://maps.google.com/maps

178


Cl20

Cl19

Cl18

Cl17

Cl16

Cl15

Cr 7

Cr 8

Cr 9

Cr 10

Cr 11

Cr 12

PlazaBolıvar

Plaza

Ciudad

Victoria

O

P

ı

b

b

1

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1 x

y

De este modo, el vector ı representa moverse una cuadra hacia el este y el vector caminar

una cuadra hacia el norte. Para llegar al punto P , esquina donde empieza la Plaza Ciudad

Victoria, el turista debe caminar tres cuadras hacia el norte y dos hacia el sur, (direccion

contraria a la del norte). En este caso, se esta hablando de la combinacion lineal

# «

OP = 3ı− 2.

Eventualmente, se puede llegar a cualquier punto P , es decir, los vectores ı y generan cualquier

vector de R2. Lo anterior se generaliza en:

Definicion 5.7 (base). Sea S = v1 ,v2 , . . . ,vn un subconjunto no vacıo de un espacio vectorial

V . Se dice que S es una base para V si

1. S genera a V . 2. S es linealmente independiente.

Ejemplo 5.20. Los conjuntos dados en el ejemplo 5.14 son LI y como son generadores, entonces

son bases para los espacios respectivos. Cada una de ellas se denomina base canonica, natural

o estandar.

Ejemplo 5.21. Muestre que

S =

v1 =

1

1

0

0

, v2 =

−11

1

2

, v3 =

0

0

1

1

, v4 =

2

1

2

1

es una base para R4.

179


Solucion. Se debe comprobar que S genera a R4 y que es LI, para lo cual se plantea la

combinacion lineal λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 + λ4v4 = u. El sistema resultante es

λ1 − λ2 + 2λ3 = x

λ1 + λ2 + λ3 = y

λ2 + λ3 + 2λ3 = z

2λ2 + λ3 + λ3 = w.

El determinante de la matriz de coeficientes es∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 0 2

1 1 0 1

0 1 1 2

0 2 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 0 2

0 2 0 −10 1 1 2

0 0 −1 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= −1 6= 0.

Luego, el sistema tiene solucion unica para cada u ∈ R4. Por lo tanto, S genera a R4 y es LI; es

decir, es una base para R4.

Ejemplo 5.22. Halle una base para el subespacio de R3:

H =

u =

x

y

z

∈ R3 | x− 2y + 3z = 0

.

Solucion. Sea u ∈ H. Entonces x− 2y + 3z = 0 o x = 2y − 3z. Luego

u =

x

y

z

=

2y − 3z

y

z

= y

2

1

0

+ z

−30

1

.

Es decir, H = gen

v1 =

210

, v2 =

−301

. Como S = v1 ,v2 es LI, entonces S es una

base para H.

Ejemplo 5.23. Encuentre una base para

H =

A =

(a b

c d

)

| tr(A) = a+ d = 0

.

Solucion. Si A ∈ H, entonces a+ d = 0, de donde d = −a. Luego,(a b

c d

)

=

(a b

c −a

)

= a

(1 0

0 −1

)

+ b

(0 1

0 0

)

+ c

(0 0

1 0

)

.

De donde, H = gen

v1 =

(1 0

0 −1

)

, v2 =

(0 1

0 0

)

, v3 =

(0 0

1 0

)

. Como S = v1 ,v2 ,v3 es LI,entonces S es una base para H.

180


Si S = v 1 ,v2 , . . . ,vm es una base para un espacio vectorial V , entonces todo vector u en

V se puede escribir de una forma unica como una combinacion lineal de los vectores de S.

Teorema 5.9.

Sea S = v1 ,v2 , . . . ,vm un conjunto de vectores no nulos en un espacio vectorial V y

H = genS. Entonces, algun subconjunto de S es una base para H.

Teorema 5.10.

Demostracion. Si S es LI, entonces es una base para H. Si S es LD, por el Teorema 5.7 uno de

los vectores es combinacion lineal de los vectores precedentes. Supongase que vmes dicho vector

(si no es ası, ellos pueden reacomodarse de modo que se cumpla la suposicion). Es decir, existen

escalares α1 , α2 , . . . , αm−1 de modo que

vm= α1v1 + α2v2 + · · ·+ α

m−1vm−1 .

Se afirma que H = genS1 , donde S1 =v1 ,v2 , . . . ,vm−1

. En efecto, si u ∈ H, existen escalares

λ1 , λ2 , . . . , λmtales que

u = λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λmv

m=

m∑

i=1

λiv

i.

Al sustituir vm se tiene

u = (λ1 + λmα1)v1 + · · ·+ (λ

m−1 + λmα

m−1)vm−1 .

Por lo tanto, S1 genera a H.

Si S1 es LI, entonces es la base buscada. Si es LD, argumentando como antes, eventualmente

se llega a un conjunto Sr, el cual es LI y genera aH, puesto que S es finito. El conjunto resultante

Sr es una base para H.

Ejemplo 5.24. En el ejemplo 5.17 p. 177 se vio que el conjunto

S =

v1 =

1

2

1

3

, v2 =

1

−13

2

, v3 =

1

5

−14

, v4 =

−14

−32

.

es LD y que S1 = v1 ,v2 ,v4 es el subconjunto mas grande de S que es LI. Como genS = genS1 ,

entonces S1 es una base para H = genS.

Si B = v1 ,v2 , . . . ,vn es una base de V , entonces:

1. Cualquier conjunto con n+ 1 o mas vectores es LD.

2. Cualquier conjunto con n− 1 o menos vectores no puede generar a V .

Teorema 5.11.

181


Demostracion.

1. Sea S =w1 ,w2 , . . . ,wn

,wn+1

. Es decir, S contiene exactamente n + 1 vectores. Co-

mo B es una base, por el Teorema 5.9, existen escalares unicos a1k, a

2k, . . . , a

nk; k =

1, 2 . . . , n, n+ 1 tales que

wk= a

1kv1 + a

2kv2 + · · ·+ a

nkv

n=

n∑

j=1

ajkvj. (TE1)

Ahora, se consideran

λ1w1 + λ2w2 + · · ·+ λnw

n+ λ

n+1wn+1 =n+1∑

k=1

λkw

k= 0. (TE2)

Al sustituir (TE1) en (TE2) se tiene

n+1∑

k=1

λkw

k=

n+1∑

k=1

λk

( n∑

j=1

ajkv

j

)

=n+1∑

k=1

( n∑

j=1

ajkλ

kv

j

)

.

Como S es LI, entoncesn∑

j=1

ajkcj= 0, j = 1, 2, . . . , n. Es decir,

a11λ1 + a12λ2 + · · ·+ a1,n+1λn+1 = 0

a21λ1 + a22λ2 + · · ·+ a2,n+1λn+1 = 0

......

. . ....

...

an1λ1 + a

n2λ2 + · · ·+ an,n+1λn+1 = 0

Puesto que el sistema anterior tiene mas incognitas que ecuaciones, entonces existe al

menos una solucion no trivial para λ1 , λ2 , . . . , λn+1 . Pero esto significa que S es LD. Ahora,

si S tiene mas de n + 1 vectores, sea S1 un subconjunto de S con n + 1 vectores, el cual

es LD, tal como se acaba de demostrar. Como S contiene un subconjunto S1 que es LD,

por el Teorema 5.8, S es LD.

2. Si S es un conjunto con n− 1 vectores que genera a V , entonces por el Teorema 5.10, S

debe contener una base S1 para V . Si S1 tiene r vectores, debe ser r ≤ n − 1. Como S1

es una base y S tiene r + 1 o mas vectores, entonces por lo anteriormente demostrado, S

es LD. Esto contradice que S es base.

Como una consecuencia del teorema anterior, se tiene:

Si un espacio vectorial V tiene una base con n elementos, entonces cualquier otra base de V

tiene n elementos.

Teorema 5.12.

182


Definicion 5.8 (Dimension). Si un espacio vectorial V tiene una base con n elementos, se

dice que V es finito–dimensional y n es la dimension de V . Se denota por dimV = n. Si

V = 0 , dimV = 0. En otro caso, se dice que V es de dimension infinita.

Ejemplo 5.25. dim(Rn) = n, dim(Pn) = n+ 1, dim

(M

m×n(R))= mn.

Ejemplo 5.26. Sea P el espacio vectorial de los polinomios de cualquier grado. La base canonica

para P es S0 = 1, t, t2, . . . , tn, . . . y dim(P ) =∞.

Ejemplo 5.27. Determine una base H =

f ∈ P2 |2w

0

f(t) dt = 0

.

Solucion. Sea f ∈ P2 , entonces f(t) = at2 + bt+ c; a, b, c ∈ R. Luego,

2w

0

(at2 + bt+ c) dt = 0⇒ at3

3+

bt2

2+ ct

∣∣∣

2

0= 0

⇒ 8a2

3+ 2b+ 2c = 0⇒ 4a+ 3b+ 3c = 0.

Ası, f ∈ H si a = −34(b+ c). Es decir,

f(x) = −34(b+ c)t2 + bt+ c = − b

4(3t2 − 4t)− c

4(3t2 − 4).

Luego, H = gen f1(t) = 3t2 − 4t, f2(t) = 3t2 − 4. Como f1 y f2 son LI, entonces S = f1 , f2 esuna base para H. Por lo tanto, dim(H) = 2.

Ejemplo 5.28. La dimension del subespacio del ejemplo 5.22, p. 180 es 2; la dimension del

subespacio del ejemplo 5.23, p. 180 es 3 y la dimension del subsepacio H del ejemplo 5.24, p.

181 es 3.

Si S es un conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial V de dimension finita,

entonces existe una base B para V que contiene a S.

Teorema 5.13.

Ejemplo 5.29. Halle una base para H =

(a a− 2b

a+ b b

)

| a, b ∈ R

y construya una base

paraM2×2 que contenga a la base hallada.

Solucion. Se tiene (a a− 2b

a+ b b

)

= a

(1 11 0

)

+ b

(0 −21 1

)

.

Ası, H = gen

v1 =

(1 11 0

)

,v2 =

(0 −21 1

)

y como v1 ,v2 son LI, entonces S = v1 ,v2 es unabase para H. Ademas, dimH = 2. Una base que contenga a S puede ser

B =

v1 =

(1 11 0

)

,v2 =

(0 −21 1

)

,v3 =

(1 00 0

)

,v4 =

(1 00 1

)

.

183


Ejemplo 5.30. Halle una base y determine la dimension del subespacio de H deM3×3 , H =A ∈M3×3(R) | A es antisimetrica

.

Solucion. Sea A una matriz 3× 3 antisimetrica. Entonces

A =

0 b c−b 0 d−c −d 0

= b

0 1 0−1 0 0

0 0 0

+ c

0 0 10 0 0

−1 0 0

+ d

0 0 00 0 1

0 −1 0

.

Ası, H = gen

A1 =

0 1 0−1 0 00 0 0

,A2 =

0 0 10 0 0−1 0 0

,A3 =

0 0 00 0 10 −1 0

.

Como S = A1 ,A2 ,A3 es LI, es una base para H. Luego, dimH = 3.

Sea V un espacio vectorial de dimension n, n > 0 y sea S = v1 ,v2 , . . . ,vn un conjunto de

vectores en V .

1. Si S es linealmente independiente, entonces es una base para V .

2. Si S genera a V , entonces es una base para V .

Teorema 5.14.

Ejemplo 5.31. El conjunto S =

v1 =

(

21

)

,v2 =

(

−11

)

es una base para R2 por ser L.I.

Ejemplo 5.32. El conjunto S = f1 = x− 2, f2 = 2x− 3, f3 = 2 no puede ser base para P1

pues dim(P1) = 2 y ası, S es linealmente dependiente.

espacio base canonica dimension

R 1 1

R2

(

1

0

)

,

(

0

1

)

2

R3

1

0

0

,

0

1

0

,

0

0

1

. Tambien e1 , e2 , e3 3

Rn e1 , e2 , . . . , en, donde e

i=

0

0...

1...

0

0

←− Posicion i n

184


espacio base canonica dimension

P1 1, t 2

P2 1, t, t2 3

Pn 1, t, t2, . . . , tn n+ 1

P 1, t, t2, . . . , tn, . . . ∞

M2×2

(

1 0

0 0

)

,

(

0 1

0 0

)

,

(

0 0

1 0

)

,

(

0 0

0 1

)

4

M2×3

(

1 0 0

0 0 0

)

,

(

0 1 0

0 0 0

)

, . . . ,

(

0 0 0

0 1 0

)

,

(

0 0 0

0 0 1

)

6

Mm×n

1 0 · · · 0

0 0 · · · 0...

.... . .

...

0 0 . . . 0

,

0 1 · · · 0

0 0 · · · 0...

.... . .

...

0 0 . . . 0

, . . . ,

0 0 · · · 0

0 0 · · · 0...

.... . .

...

0 0 . . . 1

mn

Tabla 5.1 Bases canonicas de algunos espacios vectoriales

5.6. Espacios fundamentales de una matriz

Definicion 5.9 (Espacio nulo, nucleo o kernel). Sea A una matriz de tamano m×n. El espacionulo, nucleo o kernel de A, denotado NA o kerA, es

NA = kerA = x ∈ Rn | Ax = 0 .

kerA es un subespacio de Rn.

Teorema 5.15.

Demostracion. Se probara que kerA es un subespacio de Rn. Es claro que kerA 6= ∅ pues

0 ∈ kerA. Ahora se demuestra la cerradura de la suma y de la multiplicacion por un escalar.

1. Sean x1 ,x2 ∈ kerA. Entonces

Ax1 = 0 y Ax2 = 0 Hipotesis

A(x1 + x2) = Ax1 +Ax2 Propiedad distributiva

= 0+ 0 = 0 Propiedad modulativa

Esto implica que x1 + x2 ∈ kerA.

185


2. Sea x ∈ kerA y λ ∈ R. Entonces por hipotesis Ax = 0. Ahora

A(λx) = λAx = λ0 = 0. Propiedad 4M y Teorema 1 parte 2

Luego λx ∈ kerA.

Por lo tanto, kerA es un subespacio de Rn.

Definicion 5.10 (Nulidad). La nulidad de A, denotada ν(A), es

ν(A) = dim(kerA).

Ejemplo 5.33. Encuentre el nucleo y la nulidad para cada una de las siguientes matrices. Halle

una base para el nucleo, cuando exista.

a) A =

1 4 5 −3 2

0 1 −2 1 1

1 5 3 −2 3

b) A =

1 2 1

3 5 −24 7 −2

Solucion.

a) Para esta matriz se tiene que m = 3 y n = 5. Al resolver el sistema homogeneo Ax = 0

con x ∈ R5, se tiene

1 4 5 −3 2

0 1 −2 1 1

1 5 3 −2 3

∼ . . . ∼

1 0 13 −7 −20 1 − 2 1 1

0 0 0 0 0

.

El sistema resultante es

x1 + 13x3 − 7x4 − 2x5 = 0, x2 − 2x3 + x4 + x5 = 0

Luego,

kerA =

x1

x2

x3

x4

x5

∈ R5 | x1 + 13x3 − 7x4 − 2x5 = 0, x2 − 2x3 + x4 + x5 = 0

.

Para hallar ν(A), se debe encontrar una base para kerA. Ası, si

x1

x2

x3

x4

x5

esta en kerA,

entonces

x1

x2

x3

x4

x5

=

−13x3 + 7x4 + 2x5

2x3 − x4 − x5

x3

x4

x5

= x3

−132

1

0

0

+ x4

7

−10

1

0

+ x5

2

−10

0

1

.

186


Entonces, kerA = gen

v1 =

−132

1

0

0

,v2 =

7

−10

1

0

,v3 =

2

−10

0

1

y como S = v1 ,v2 ,v3

es LI, entonces es una base. Luego, ν(A) = 3.

b) Como detA =

∣∣∣∣∣∣

1 2 1

3 5 −24 7 −2

∣∣∣∣∣∣

= 1 6= 0, el sistema Ax = 0, tiene solucion unica. Es decir,

ker(A) = 0, de donde ν(A) = 0.

An×n es invertible si y solo si ν(A) = 0.

Teorema 5.16.

Definicion 5.11 (Imagen). Sea A una matriz m× n, la imagen de A, denotada imA, es

imA = y ∈ Rm | Ax = y, para algun x ∈ Rn .

imA es un subespacio de Rm.

Teorema 5.17.

Definicion 5.12 (Rango). El rango de A, denotado ρ(A), es

ρ(A) = dim(imA).

Ejemplo 5.34. Encuentre la imagen, una base para la imagen y el rango de cada una de las

matrices del ejemplo 5.33.

Solucion.

a) Al resolver el sistema Ax = y con x ∈ R5, se tiene

1 4 5 −3 2 | a

0 1 −2 1 1 | b

1 5 3 −2 3 | c

∼ . . . ∼

1 4 5 −3 2 | a

0 1 −2 1 1 | b

0 0 0 0 0 | a+ b− c

.

Para que el sistema tenga solucion, a+ b− c = 0. Es decir,

im(A) =

abc

∈ R3 | a+ b− c = 0

.

187


Ahora se halla una base para im(A). Si

abc

∈ im(A), a = −b+ c. Es decir,

abc

=

−b+ cbc

= b

−110

+ c

101

.

Luego, im(A) = gen

w1 =

−110

,w2 =

101

. Como T = w1 ,w2 es LI, entonces

es una base para im(A). Por lo tanto, ρ(A) = 2.

b) Como det(A) = 1 6= 0, el sistema Ax = y tiene solucion unica para cada y ∈ R3. Luego,

im(A) = R3 y por tanto, ρ(A) = 3.

Note que para las matrices anteriores se verifica la igualdad:

a) ν(A) + ρ(A) = 5 = n, b) ν(A) + ρ(A) = 3 = n

Observaciones. De los ejemplos 5.33 y 5.34, dada una matriz A de tamano m× n, se infiere:

1. La nulidad A es igual al numero de parametros del sistema reducido.

2. El rango de A es igual al numero variables principales del sistema reducido. Es decir, el

numero de pivotes de su forma escalonada.

3. ν(A) + ρ(A) = n.

An×n es invertible si y solo si ρ(A) = n

Teorema 5.18.

Sea A una matriz de tamano m× n, entonces ν(A) + ρ(A) = n.

Teorema 5.19. Teorema de la dimension

Definicion 5.13 (Espacio renglon). El espacio renglon de A es

FA = RA = gen f1 , f2 , . . . , fm .

Definicion 5.14 (Espacio columna). El espacio columna de A es

CA = gen c1 , c2 , . . . , cn .

Ejemplo 5.35. Halle una base para el espacio fila y una base para el espacio columna de las

matrices del ejemplo 5.33.

188


Solucion.

a) u ∈ RA si y solo si existen escalares λ1 , λ2 , . . . , λmtales que

λ1f1 + λ2f2 + · · ·+ λmfm= u.

Al escribir la matriz ampliada y reducirla se tiene

1 0 1 | x

4 1 5 | y

5 −2 3 | z

−3 1 −2 | w

2 1 3 | r

∼

1 0 1 | x

0 1 1 | − 4x+ y

0 0 0 | −13x+ 2y + z

0 0 0 | 7x− y + w

0 0 0 | 2x− y + r

.

Para que exista solucion,

−13x+ 2y + z = 0, 7x− y + w = 0, 2x− y + r = 0.

Al reducir se tiene

−13 2 1 0 0

7 −1 0 1 0

2 −1 0 0 1

∼

1 0 0 −1/5 0

0 1 0 2/5 −7/50 0 1 9/5 1/5

.

Es decir, RA esta generado por dos filas LI. Por ejemplo, RA = gen f1 , f2, ası S = f1 , f2es una base para RA y dim(RA) = 2.

Ahora w ∈ CA si y solo si existen escalares α1 , α2 , α3 , α4 y α5 tales que

α1c1 + α2c2 + α3c3 + α4c4 + α5c5 = w.

Pero esto es equivalente a encontrar im(A). Luego, CA = im(A).

b) Se tiene RA = R3 y CA = R3 porque las filas y las columnas de A son LI.

Si A es una matriz de m× n, entonces

1. imA = CA 2. dimRA = dimCA = ρ(A) = dim(FA)

Teorema 5.20.

Sea B una matriz equivalente por renglones con A, entonces

1 RA = FB 2 ν(A) = ν(B) 3 ρ(A) = ρ(B)

Teorema 5.21.

189


5.7. Coordenadas y cambio de base

Como se vio en la seccion anterior, si V es un espacio vectorial de dimension n > 0, entonces

tiene una base S con n vectores en ella, y hasta ahora no se habıa prestado mucha atencion al

orden de los vectores en S. En esta seccion se hablara de una base ordenada S = v1 ,v2 , . . . ,vn

para V y ası, T = v2 ,v1 , . . . ,vn es otra base ordenada distinta.

Definicion 5.15 (Vector de coordenadas). Sea V un espacio vectorial, B = v1 ,v2 , . . . ,vnuna base ordenada de V y u ∈ V . El vector de coordenadas de u en la base B se define

como el vector columna formado por los escalares c1 , c2 , . . . , cn que permiten escribir a u como

combinacion lineal de los vectores de la base B y se denota por [u]B. Es decir,

[u]B =

c1c2...

cn

si y solo si c1v1 + c2v2 + · · ·+ cnv

n= u.

Ejemplo 5.36. Sea V = R2 y S0 =

e1 =(

1

0

)

, e2 =(

0

1

)

la base canonica de R2. Como

u =(

a

b

)

= a(

1

0

)

+ b(

0

1

)

= ae1 + be2 , entonces

[u]S0=

(a

b

)

= u.

Similarmente, para V = R3 y S0 =

e1 =

(1

0

0

)

, e2 =

(0

1

0

)

, e3 =

(0

0

1

)

,

[u]S0=

abc

= u.

En general, para V = Rn y S0 = e1 , e2 , . . . , en,

[u]S0=

a1

a2...a

n

= u.

Ejemplo 5.37. Para V = P2 , S0 = x, 1 se tiene, [ax+ b]S0=

(a

b

)

.

Para V = P2 , S0 = x2, x, 1 se tiene, [ax2 + bx+ c]S0=

(abc

)

.

190


Para V = Pn, S0 = 1, x, x2, . . . , xn se tiene,

[a0 + a1x+ a2x

2 + · · ·+ anxn]

S0=

a0

a1...a

n

.

Ejemplo 5.38. Sea B = (1, 1, 0), (2, 0, 1), (0, 1, 2) una base para R3. Si u = (1, 4, 1), halle

[u]B.

Solucion. Al plantear la combinacion lineal λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 = u y resolver el sistema

resultante, se obtiene λ1 = 3, λ2 = −1, λ3 = 1. Luego

[u]B =

3−11

.

Ejemplo 5.39. Sean B1 la base canonica y B2 =

w1 =(

1

1

)

,w2 =( −1

2

)

otra base de R2.

a) Halle [w1 ]B1, [w2 ]B1

y [u]B2, donde u =

(2

5

)

b) Sea C =([w1 ]B1

[w2 ]B1

). Verifique que C[u]B2

= [u]B1

c) Compruebe que D[u]B1= [u]B2

, en donde D =([e1 ]B2

[e2 ]B2

)= C−1.

Solucion.

a) Como B1 es la base canonica, [w1 ]B1= w1 , [w2 ]B1

= w2 y [u]B1= u. Como u = 3w1+w2 ,

entonces [u]B2=(

3

1

)

. Ahora

C[u]B2=

(1 −11 2

)(3

1

)

=

(2

5

)

= [u]B1.

b) Existen escalares a11 , a21 , a12 y a22 tales que

a11w1 + a21w2 = e1 y a12w1 + a22w2 = e2

Al resolver en forma simultanea el sistema en forma matricial, se tiene

(1 −1 | 1 0

1 2 | 0 1

)

∼(1 0 | 2/3 1/3

0 1 | −1/3 1/3

)

, C−1 =

(2/3 1/3

−1/3 1/3

)

Ahora,

C−1[u]B1=

(2/3 1/3

−1/3 1/3

)(2

5

)

=

(3

1

)

= [u]B2

191


Ejemplo 5.40. Considere las bases de P2

B1 =v1 = 1 + t+ t2,v2 = 1 + t,v3 = 1 + t2

y

B2 =w1 = 2 + 2t+ t2,w2 = 1− t+ t2,w3 = 1 + 2t

.

a) Halle [vj]B2

para j = 1, 2, 3 y forme la matriz A =([v1 ]B2

[v2 ]B2[v3 ]B2

).

b) Compruebe que A[u]B1= [u]B2

donde u = 2− t− t2.

Solucion.

a) Como B2 es base, existen escalares a1j, a

2j, a

3jtales que

a1jw1 + a

2jw2 + a

3jw3 = v

jpara j = 1, 2, 3.

Al sustituir los vectores, formar el sistema y resolverlo se obtiene,

2 1 1 | 1 1 12 −1 2 | 1 1 01 1 0 | 1 0 1

∼

1 0 0 | 2 −1 10 1 0 | −1 1 00 0 1 | −2 2 −1

.

Siendo S0 la base canonica de P2 , se redujo la matriz aumentada

([w1 ]S0 [w2 ]S0 [w3 ]S0 | [v1 ]S0 [v2 ]S0 [v3 ]S0

)

b) Se tiene que A =

2 −1 1−1 1 0−2 2 −1

.

Puesto que u = −4v1 + 3v2 + 3v3 y u = −8w1 + 7w2 + 11w3 , entonces [u]B1=

−433

y

[u]B2=

−8711

. Ahora

A[u]B1 =

2 −1 1−1 1 0−2 2 −1

−433

=

−8711

= [u]B2 .

Si B es una base para un espacio vectorial V de dimension n, v y w son vectores de V y k

es un escalar, entonces

1. [v +w]B = [v]B + [w]B 2. [kv]B = k[v]B

Teorema 5.22.

192


Definicion 5.16 (Matriz de transicion). Sea V un espacio vectorial de dimension n, B1 y B2

bases de V . La matriz A tal que

A [u]B2= [u]B1

, (5.4)

se denomina matriz de transicion de la base B2 en la base B1 .

Sean B1 = v1 ,v2 , . . . ,vn y B2 = w1 ,w2 , . . . ,wn bases de un espacio vectorial V de

dimension n. Entonces la matriz de transicion de B2 a B1 esta dada por

A =(

[w1 ]B1[w2 ]B1

. . . [wn]B1

)

.

Teorema 5.23.

Demostracion. Sea u ∈ V . Entonces existen escalares c1 , c2 , . . . , cn tales que

u = c1w1 + c2w2 + · · ·+ cnw

n, (5.5)

de modo que [u]B2 =

c1c2...cn

. Ahora,

[u]B1 = [c1w1 + c2w2 + · · ·+ cnw

n]B1 = c1 [w1 ]B1 + c2 [w2 ]B1 + · · ·+ c

n[w

n]B1.

Si el vector de coordenadas de wjcon respecto a B1 es [w

j]B1 =

a1j

a2j

...a

nj

, entonces

[u]B1 = c1

a11

a21

...a

n1

+ c2

a12

a22

...a

n2

+ · · ·+ cn

a1n

a2n

...a

nn

=

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

an1 a

n2 . . . ann

c1c2...cn

.

Es decir, [u]B1 = A[u]B2 , de donde

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...

an1 a

n2 . . . ann

=([w1 ]B1 [w2 ]B1 . . . [w

n]B1

)

es la matriz de transicion de la base B2 en la base B1 . Se denota PB1←B2 .

193


Nota. Cuando B1 es la base canonica de V , es decir, B1 = S0 , entonces

A =([w1 ]S0 [w2 ]S0 . . . [w

n]S0

)

y su calculo es inmediato, como se ilustra en el ejemplo 5.39.

Ejemplo 5.41. En el ejemplo 5.40, pagina 192, se encontro que la matriz de

transicion de la base B1 = v1 = 1 + x+ x2,v2 = 1 + x,v3 = 1 + x2 en la base

B2 = w1 = 2 + 2x+ x2,w2 = 1− x+ x2,w3 = 1 + 2x es

A = PB2←B1 =

2 −1 1−1 1 0−2 2 −1

.

Sean B1 = v1 ,v2 , . . . ,vn y B2 = w1 ,w2 , . . . ,wn bases de un espacio vectorial V de

dimension n. Si A = PB1←B2 es la matriz de transicion de B2 a B1 , entonces la matriz de

transicion de la base B1 a la base B2 es A−1 = P−1B1←B2

= PB2←B1 .

Teorema 5.24.

5.8. Espacios con producto interior

Cuando se estudio el espacio vectorial Rn, se definio el producto punto o producto escalar

de la siguiente manera. Sean x = (x1 , x2 , . . . , xn) y y = (y1 , y2 , . . . , yn) dos vectores de Rn, el

producto punto o producto escalar entre los vectores x e y es

x • y = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn =n∑

i=1

xiyi,

el cual satisface las siguientes propiedades:

PI1. x • x ≥ 0 para todo x ∈ Rn y x • x = 0 si y solo si x = 0.

PI2. x • y = y • x para todo x, y ∈ Rn.

PI3. x • (y + z) = x • y + x • z para todo x, y, z ∈ Rn.

PI4. (cx) • y = c(x • y) = x • (cy) para todo x, y ∈ Rn y todo escalar c ∈ R.

Cualquier espacio vectorial V en el cual se pueda definir un producto interior que satisfaga las

propiedades PI1 a PI4 se llama espacio euclıdeo real. En esta seccion se estudian de manera

general los espacios euclıdeos.

Definicion 5.17. Sea V un espacio vectorial real, sean x, y ∈ V y sea c un escalar (real). Un

producto interior entre x e y, denotado por 〈x,y〉, es una operacion que satisface los siguientes

axiomas.

194


PI1. 〈x,x〉 ≥ 0 para todo x ∈ V y 〈x,x〉 = 0 si y solo si x = 0.

PI2. 〈x,y〉 = 〈y,x〉 para todo x, y ∈ V .

PI3. 〈x,y + z〉 = 〈x,y〉+ 〈x, z〉 para todo x, y, z ∈ V .

PI4. 〈cx,y〉 = c〈x,y〉 para todo x, y ∈ V y todo c ∈ R.

Definicion 5.18 (Espacio euclıdeo (real)). Un espacio vectorial real V sobre el cual se ha

definido un producto interior 〈x,y〉 satisfaciendo las propiedades PI1–PI4, se denomina espacio

euclıdeo real E.

Notas.

1. La norma de un vector x ∈ V esta dada por ‖x‖ =√

〈x,x〉.2. Cuando V es un espacio vectorial complejo, los axiomas PI2 es

PI2. 〈x,y〉 = 〈y,x〉 para todo x,y ∈ V , donde 〈y,x〉 denota el complejo conjugado de

〈y,x〉.3. Del axioma PI2 se deduce

i. 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉 para todo x, y, z ∈ V .

ii. 〈x, cy〉 = c〈x,y〉 para todo x, y ∈ V y todo c ∈ C.

Ejemplo 5.42. Sea E el conjunto de funciones de valor real integrables en el intervalo [a, b].

Muestre que la operacion

〈f ,g〉 =bw

a

f(x)g(x) dx

definida entre f y g, es un producto interior.

Solucion. Se verificaran los axiomas PI1–PI4:

PI1. 〈f , f〉 =bw

a

f(x)f(x) dx =

bw

a

f 2(x) dx ≥ 0 y 〈f , f〉 = 0 si y solo si f = 0.

PI2. 〈f ,g〉 =bw

a

f(x)g(x) dx =

bw

a

g(x)f(x) dx = 〈g, f〉.

PI3. 〈f ,g + h〉 =bw

a

f(x)(g(x) + h(x)

)dx =

bw

a

f(x)g(x) dx+

bw

a

f(x)h(x) dx

= 〈f ,g〉+ 〈f ,h〉.

PI4. 〈cf ,g〉 =bw

a

cf(x)g(x) dx = c

bw

a

f(x)g(x) dx = c〈f ,g〉.

195


Ejemplo 5.43. E = C, donde C es el conjunto de los numeros complejos con la operacion

〈z,w〉 definida ası:

〈z,w〉 = zw, donde w denota el complejo conjugado de w.

Determine si dicha operacion es un producto interior en C, en donde los escalares se toman en

los complejos.

Solucion. Se debe ver si se cumplen los axiomas PI1.–PI4.

PI1. 〈z, z〉 = zz = (x+ iy)(x− iy) = x2 + y2 ≥ 0 y 〈z, z〉 = 0 si y solo si

x2 + y2 = 0 si y solo si x = y = 0 si y solo si z = 0.

PI2. 〈z,w〉 = zw = wz = wz = wz = 〈w, z〉.PI3. 〈z,w + p〉 = z(w + p ) = z(w + p) = zw + zp = 〈z,w〉+ 〈z,p〉.PI4. 〈cz,w〉 = czw = c〈z,w〉.

5.9. Proyecciones y bases ortonormales

Ejemplo 5.44. La base canonica S0 = e1 , e2 , . . . , en de Rn satisface:

1. ei • ej = 0 si i 6= j 2. ‖ei‖ = 1 para cada i

Definicion 5.19 (Conjunto ortonormal). Sea S = u1 , u2 , . . . , uk ⊂ E. Se dice que S es un

conjunto ortonormal si satisface las siguientes condiciones:

1. 〈ui, uj〉 = 0 para i 6= j 2. ‖ui‖ = 1 para cada i.

Si S satisface solo la condicion 1, se dice que S es ortogonal.

Si S = u1 , u2 , . . . , uk ⊂ E es ortogonal, entonces S es un conjunto LI.

Teorema 5.25.

Proceso de Gram–Schmidt. Sea S = v1 ,v2 , . . . ,vm una base de un subespacio H de un

espacio E. Para construir una base T = u1 , u2 , . . . , um ortonormal para H a partir de S, se

procede de la siguiente manera:

u1 =w1

‖w1‖, donde w1 = v1 .

u2 =w2

‖w2‖, donde w2 = v2 − 〈v2 ,u1〉u1

Una vez hallados los vectores ortonormales u1 , u2 , . . . , uk−1,

uk=

wk

‖wk‖ , donde w

k= v

k−

k−1∑

i=1

〈vk, u

i〉u

i; k = 2, 3, . . . ,m.

196


En la figura que sigue se ilustra este proceso en R3.

b

x

y

z

#»v1 =#»w1

u1

O

(a) k = 1

b

b

x

y

z

u1

u2

#»v1 =#»w1

#»v2

#»w2

O

(b) k = 2

b

bb

x

y

z

u1

u2

u3 #»v1 =#»w1

#»v3 #»v2

#»w2

#»w3

O

(c) k = 3

Figura 5.3 Proceso de Gram-Schmidt en R3

Ejemplo 5.45. Obtenga una base ortonormal para R2 a partir de la base

S =

(

21

)

,

(

13

)

.

Solucion. Sea w1 = v1 =(

2

1

)

. Entonces u1 =w1

‖w1‖ = 1√5

(2

1

)

.

w2 = v2 − (v2• u1)u1 =

(

21

)

− 15

(

13

)

= 15

Ejemplo 5.46. Construya una base ortonormal para R3 a partir de la base

S =

−12

1

,

−3−12

,

1

−23

Solucion. Sea w1 = v1 =

−12

1

. Entonces u1 =w1

‖w1‖ = 1√6

−12

1

.

w2 = v2 − (v2• u1)u1 =

−3−12

− 12

−12

1

= 12

−5−43

,

‖w2‖ = 5√2

2, u2 =

15√2

−5−43

.

w3 = v3 − (v3• u1)u1 − (v3

• u2)u2

197


=

1

−23

+ 13

−12

1

− 625

−5−43

= 2875

5

−17

,

‖w3‖ = 28√3

15, u3 =

15√3

5

−17

.

Ası, una base ortonormal para R3 es T = u1 , u2 , u3.

Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. A es invertible.




5. A es equivalente por filas a la matriz identidad.


7. detA 6= 0.



10. El espacio generado por las filas de A es Rn. Esto es, genf1 , . . . , fn = Rn






16. kerA = 0. 17. ν(A) = 0. 18. imA = Rn. 19. ρ(A) = n.


5.10. Ejercicios

1. Sea V = (R2,⊕,⊙) es un espacio vectorial, donde ⊕ y ⊙ se definen ası:

(x, y)⊕ (z, w) = (x+ z − 1, y + w − 1)

λ⊙ (x, y) = (λx− λ+ 1, λy − λ+ 1)

(a) Halle el elemento neutro para la suma ası definida.

(b) Encuentre el opuesto para cada vector v de R2.

(c) Verifique que λ⊙ [(x, y)⊕ (z, w)] = λ⊙ (x, y)⊕ λ⊙ (z, w).

198


2. Sea H = R × R+. Se definen las operaciones

(x, y)⊕ (z, w) = (x+ z − 2, 2yw) y λ⊙ (x, y) = (λx− 2λ+ 2, 2λ−1yλ).

Halle el elemento neutro para la suma, el opuesto aditivo y verifique la propiedad 3M.

3. Determine cuales de los siguientes subconjuntos son subespacios del espacio vectorial

dado:

(a) H =

(

xy

)

∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0

(b) H =

(

xy

)

∈ R2 | y = 2x

(c) H =

(

xy

)

∈ R2 | y = 2x+ 3

(d) H = D ∈Mn×n |D es diagonal

(e) H =

A ∈M2×2 | A =

(a 5ab 0

)

; a, b ∈ R

(f) H = p(x) = c+ bx+ ax2 ∈ P2 | a− 2b+ c = 0(g) H = (x, y, z) ∈ R3 | ax+ by + cz = 0; a, b, c ∈ R

(h) H = A ∈Mn×n | detA = 0 (i) H = p(x) ∈ P4 | gr(p(x)) = 4

(j) H = 0 (k) H = V

(l) El conjunto dado por la grafica y = x2

x

y

4. Determine si el vector u es combinacion lineal de los vectores dados:

(a) u =

(

−12

)

; v1 =

(

1−2

)

,v2 =

(

−24

)

(b) u = 2 + 2x− x2; v1 = 1 + x, v2 = x2

(c) u =

(4 −7 14

−9 10 2

)

; v1 =

(1 −1 2

0 4 5

)

, v2 =

(0 1 −23 2 6

)

(d) u =

(2 31 1

)

,v1 =

(1 11 0

)

,v2 =

(1 10 1

)

,v3 =

(1 01 1

)

5. Sean H1 y H2 subespacios de V . Muestre que:

a) H1 ∩H2 es un subespacio de V .

b) H1 +H2 = h1 + h2 | h1 ∈ H1 ,h2 ∈ H2 es un subespacio de V .

c) ¿Es H = H1 ∪H2 un subespacio de V ?

6. Determine el valor (o valores) de λ de modo que el vector v = (1, 3, λ) no este en el

espacio generado por v1 = (1, 0,−2) y v2 = (2,−1, 5).7. Determine el espacio generado por los vectores:

199


(a) v1 =

(

13

)

, v2 =

(

27

)

(b) v1 =

(

1−2

)

, v2 =

(

−24

)

(c) A1 =

(1 00 0

)

, A2 =

(2 −10 0

)

(d) v1 =

123

, v2 =

61117

(e) v1 = 1 + x, v2 = 1− 2x+ 3x2, v3 = 1 + x2

(f) v1 = 1 + x, v2 = 2 + x2

8. Determine si el conjunto dado es o no una base para el espacio V :

(a) S =

v1 =

(

11

)

,v2 =

(

−13

)

; R2

(b) S =

v1 =

112

,v2 =

−132

,v3 =

−110

; R3

(c) S =

v1 =

110

,v2 =

−112

,v3 =

−134

; R3

(d) S = f1 = 1 + x, f2 = 1− 2x+ 3x2, f3 = 1 + x2 ; P2

(e) S =

v1 =

(1 1

1 1

)

,v2 =

(1 1

1 0

)

,v3 =

(1 1

0 0

)

,v4 =

(1 0

0 0

)

; M2×2 .

9. Pruebe que S1 y S2 son conjuntos generadores de R3

S1 =

v1 =

−11

0

, v2 =

1

0

1

, v3 =

1

0

0

S2 =

w1 =

1

0

0

, w2 =

0

1

0

, w3 =

0

0

1

10. Determine si W es subespacio de H.

H =(x, y, z) ∈ R3/ 2x− y = 3z

W =(x, y, z) ∈ R3/ x = 2t, y = −t, z = 2t; t ∈ R

11. Determine si W es subespacio de H.

H =(x, y, z, w) ∈ R4/ 2x+ y + z = −3w

W =(x, y, z, w) ∈ R4/ x− 2y + 3z − w = 0, 2x− y + 3z + w = 0

200


12. Sean W = gen (1, 1, 1), (1, 0, 2) y H =(x, y, z) ∈ R3 : 3x− 2y + z = 0

subespacios de R3.

(a) Determine W ∩H

(b) Halle una base para W ∩H y dim (W ∩H)

13. Halle una base para cada uno de los siguientes espacios vectoriales y determine su dimen-

sion.

(a) H = (x, y, z) ∈ R3 | x+ y − 2z = 0(b) H = p(x) = d+ cx+ bx2 + ax3 ∈ P3 | a = b, c = d+ 2b(c) H = A ∈M2×2 | A es simetrica(d) H = A ∈M3×3 | A es simetrica y trA = a11 + a22 + a33 = 0

14. Encuentre una base para el nucleo y la imagen de cada una de las siguientes matrices.

Ademas, determine su nulidad y su rango:

(a) A =

1 −1 2

−3 4 −55 −6 12

(b) A =

1 −1 0

0 1 1

2 −1 −1−1 1 2

(c) A =

1 1 −3 4

2 3 −4 3

4 5 −10 11

15. Considere las bases de bases de P2

B1 =v1 = 1 + x2, v2 = 1 + x, v3 = x+ x2

y

B2 =w1 = 1 + x+ x2, w2 = −1 + x, v3 = 1

.

(a) Determine la matriz de transicion PB1←B2 de B2 a B1 .

(b) Compruebe que A[u]B2= [u]B1

para u = −3 + 5x+ 2x2.

(c) Encuentre la matriz de transicion PB2←B1 de B1 a B2 y verifique que PB2←B1 = P−1B1←B2

.

16. Encuentre los valores de α, β y λ, si existen, de modo que S = #«u , #«v , #«w sea ortogonal,

donde#«u = (α, 1, 1), #«v = (1, λ,−2) y #«w = (2, 3,−β)

17. Sean B1 = #«v1 = (1, 2), #«v2 = (1, 0) y B2 = #«w1 ,#«w2 bases de R2. Si la matriz de transicion

de B1 en B2 es PB2←B1=

(2 11 1

)

, halle la base B2 .

18. SeaH =

xyzw

: x− y + z + 2w = 0, 2x+ y − z + w = 0

un subespacio de R4. Determine

una base para H y construya una base ortonormal a partir de la base hallada.

19. Sea E = Rn. Muestre que la siguiente operacion es un producto interior. Considere

x = (x1 , x2 , . . . , xn) y y = (y1 , y2 , . . . , yn):

201


(a) 〈x,y〉 = x1y1 + 2x2y2 + · · ·+ nxnyn =n∑

k=1

kxkyk.

(b) 〈x,y〉 = x1y1 + (x1 + x2)(y1 + y2) + · · ·+ (x1 + x2 + · · ·+ xn)(y1 + y2 + · · ·+ yn)

20. Compruebe que la siguiente operacion es un producto interior en E = Pn.

Sean f : f(t) = a0 + a1t+ · · ·+ antn y g : g(t) = b0 + b1t+ · · ·+ bnt

n,

〈f ,g〉 =n∑

k=0

f(k/n)g(k/n).

Si f(t) = t y g(t) = a+ bt, encuentre valores de a y b de modo que f y g sean ortogonales.

21. En el espacio vectorial E =Mn de las matrices n × n con entradas reales, muestre que

la operacion 〈A,B〉 = traza(ABT

)es un producto interior.

Sugerencia. Compruebe que si

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

y B =

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

.... . .

...

bn1 bn2 . . . bnn

,

entonces

traza(ABT

)= a11b11 + a12b12 + · · ·+ a1nb1n + a21b21 + a22b22 + · · ·+ a2nb2n

+ · · ·+ an1bn1 + an2bn2 + · · ·+ annbnn =n∑

i=1

n∑

j=1

aijbij .

22. Se define la siguiente operacion en R2. Si x = (x1 , x2) y y = (y1 , y2), entonces

〈x,y〉 = x1y1 − x1y2 − x2y1 + αx2y2 .

¿Para que valores de α, 〈x,y〉 es un producto interior en R2?


1. Halle el elemento neutro para la suma del espacio vectorial 〈R2,⊕,⊙〉, donde

(a, b)⊕ (x, y) = (a+ x− 1, b+ y − 1)

2. Pruebe que el conjunto H = A ∈M2 | A es simetrica es un subespacio de V =M2,

el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 con componentes reales.

3. Verifique que el conjunto H = at2 + bt+ c | a− 2b+ c = 0 es un subespacio de V = P2 .

Halle una base para H y su dimension.

202


4. Sea A una matriz n× n. Demuestre que kerA es un subespacio de V = Rn.

5. Caracterice los vectores del subespacio W ∩H de R3 y halle su dimension, donde

W = gen (1, 0, 1), (2, 1, 3) y H =(x, y, z) ∈ R3 | 3x− 2y + 1 = z

.

6. Considere la matriz A =

1 2 −2 4

2 3 −5 6

3 5 −8 10

. Halle:

(a) El nucleo, una base para el nucleo y la nulidad de A .

(b) Una base ortonormal para el nucleo de A.

(c) La imagen, una base para la imagen y el rango de A.

(d) Un vector que no pertenezca a la imagen de A.

(e) Una base para R3 que contenga los vectores de la base para la imagen hallada en el

numeral 3.

7. Halle los valores de λ y β de modo que el conjunto #«u , #«v sea ortonormal, donde

#«u =(

1√2, 0,− 1√

2

)

y #«v = (λ,−1,−β)



(a) Sea 〈R+,⊕,⊙〉 el espacio vectorial, donde x ⊕ y = xy. Entonces para cada x ∈ V ,

y = 1xes el opuesto de x.

(b) H = (x, y) | y = x3 es un subespacio de V = R2.

(c) Sea A una matriz 4× 5. Si la nulidad de A es 1, entonces imA = R4.

(d) El conjunto B = −t2 + t, 2t2 + 2 es una base para el espacio vectorial

H =at3 + bt2 + ct+ d | a = −2b, c = d

.

203

CAPITULO SEIS

Transformaciones lineales

6.1. Introduccion

207

Descartes, en uno de sus intentos por algebrizar la geometrıa plana, estudio la relacion

entre dos sistemas de coordenadas (x, y) y (x′, y′) si el segundo se obtiene girando un angulo α

el primero. Ası mismo, Jean Bernouilli (1667-1748), en una carta a Leibniz en 1715, introdujo

los planos coordenados en R3 tal como se los conoce hoy en dıa. A partir de estos estudios, rapi-

damente se empezaron a estudiar las ecuaciones de las principales transformaciones geometricas

en el espacio: proyecciones, simetrıas y giros.

Los siguientes pasos los dieron Euler y Lagrange desde dos puntos de vista: el geometrico y

el analıtico. Euler, al estudiar la ecuacion general de segundo grado en tres coordenadas, cambio

los ejes para que la expresion resultara lo mas sencilla posible. De esta manera, fue capaz de

clasificar todas las cuadricas. Por su parte, Lagrange, en un ensayo sobre la atraccion de los

esferoides, proporciono la forma general de los movimientos que conservan distancias:

x = a11x′ + a12y

′ + a13z′

y = a21x′ + a22y

′ + a23z′,

z = a31x′ + a32y

′ + a33z′

(6.1)

donde los coeficientes aij verifican

a211+ a2

12+ a2

13= 1

a221+ a2

22+ a2

23= 1,

a231+ a2

32+ a2

33= 1

(6.2)

ya11a12 + a21a22 + a31a32 = 0

a11a13 + a21a23 + a31a33 = 0

a12a13 + a22a23 + a33a33 = 0

(6.3)


En lenguaje moderno, (6.1) equivale a escribir x = Ax′, donde A = (aij), x = (x, y, z)T y

x′ = (x′, y′, z′)T . Mientras que las condiciones (6.2) y (6.3) equivalen a AAT = I.

La relacion entre matriz y aplicacion lineal se hizo mas clara cuando Cayley escribio de

forma matricial las ecuaciones de los diferentes tipos de transformaciones geometricas. Tambien

escribio de forma matricial las ecuaciones que obtuvo Lagrange, dando lugar a un tipo particular

de matrices: las ortogonales (AAT = I). El concepto de aplicacion lineal en su forma actual se

le debe a Peano cuando axiomatizo la definicion de espacio vectorial.

Hoy en dıa las aplicaciones lineales son importantes en las matematicas y en las ciencias

aplicadas. Las aplicaciones lineales modelan las transformaciones geometricas ası como las ecua-

ciones lineales. Muchos problemas de la ingenierıa se plantean usando matrices, y por tanto, con

aplicaciones lineales. Del mismo modo, muchos problemas complicados se aproximan mediante

la linealizacion prefiriendo estudiar los problemas lineales que surgen. Incluso en mecanica cuan-

tica se puede observar un cierto operador lineal en un espacio vectorial complejo. Extractado

de [15].

En este capıtulo se estudia un tipo especial de funciones denominadas transformaciones

lineales. Estas desempenan un papel importante dentro de la matematica, la fısica, las ciencias

de la computacion, la ingenierıa, entre otras.

6.2. Definicion y ejemplos

Definicion 6.1 (Transformacion lineal). Sean V y W espacios vectoriales. Una transformacion

lineal T de V en W (T : V 7→ W ) es una funcion que satisface:

1. T (u+ v) = T (u) + T (v), para cada u,v ∈ V .

2. T (λu) = λT (u), para cada u ∈ V y para cada escalar (real) λ.

Ejemplo 6.1. Demuestre que la funcion T dada es una transformacion lineal.

a) T : R2 7→ R2, T

(

xy

)

=

(

x− yx+ y

)

b) T : C[a, b] 7→ R, T (f) =

bw

a

f(x) dx

Solucion. Se deben verificar que se cumplen las dos condiciones que definen una trans-

formacion lineal para cada funcion T : V 7→ W .

a) Sean #«u , #«v ∈ R2 y λ ∈ R. Entonces #«u =(

x

y

)

y #«v =(

z

w

)

, luego

i. T ( #«u + #«v ) = T

(

x+ zy + w

)

=

(

(x+ z)− (y + w)(x+ z) + (y + w)

)

=

(

(x+ y) + (z − w)(x+ y) + (z + w)

)

= T ( #«u ) + T ( #«v ).

208


ii. T (λ #«v ) = T

(

λxλy

)

=

(

λx− λyλx+ λy

)

= λ

(

x− yx+ y

)

= λT ( #«u ).

Por lo tanto, T es una transformacion lineal.

b) Sean f, g ∈ C[a, b] y λ ∈ R. Entonces

i. T (f + g) =

bw

a

[f(x) + g(x)]dx =

bw

a

f(x) dx+

bw

a

g(x) dx = T (f) + T (g).

ii. T (λf) =

bw

a

[λf(x)]dx = λ

bw

a

f(x) dx = λT (f).

Por lo tanto, T es una transformacion lineal.

Ejemplo 6.2. La funcion T : R 7→ R definida por T (x) = 2x + 1 no es una transformacion

lineal. En efecto:

Sean x, y ∈ R y λ ∈ R. Entonces T (x) = 2x+ 1 y T (y) = 2y + 1.

T (x+ y) = 2(x+ y) + 1 = 2x+ 2y + 1 6= (2x+ 1) + (2y + 1) = T (x) + T (y).

Similarmente se tiene T (λx) = 2λx+ 1 6= λ(2x+ 1) = λT (x).

Ejemplo 6.3. La funcion T : R2 7→ R2 definida por T

(

xy

)

=

(

−xy

)

es una transformacion

lineal. En efecto:

Sean #«u =

(

xy

)

, #«v =

(

zw

)

en V = R2 y λ ∈ R. Entonces

i. T ( #«u + #«v ) = T

[(

xy

)

+

(

zw

)]

= T

(

x+ zy + w

)

Suma de vectores

=

(

−(x+ z)y + w

)

=

(

−x− zy + w

)

Definicion de la funcion

=

(

−xy

)

+

(

−zw

)

Suma de vectores

= T ( #«u ) + T ( #«v ) Definicion de la funcion

ii. T (λ #«u ) = T

[(

λxλy

)]

=

(

−λxλy

)

= λ

(

−xy

)

= λT

(

xy

)

= λT ( #«u )

209


Desde el punto geometrico se tiene

x

y

(x

y

)

T

x

y

T(

x

y

)

=(

−x

y

)

Esta transformacion se denomina reflexion sobre el eje y.

Ejemplo 6.4. Sea T : R2 7→ R2;T(

x

y

)

=(

x+βy

y

)

una transformacion lineal. Bosqueje la region

obtenida al aplicar la transformacion al rectangulo de vertices(

0

0

)

,(

3

0

)

,(

3

2

)

y(

0

2

)

, cuando

β = 1.5 y cuando β = −2.Solucion. En primer lugar, se calculan las imagenes de cada vertice.

T

(

00

)

=

(

00

)

, T

(

30

)

=

(

30

)

, T

(

32

)

=

(

3 + 2β2

)

, T

(

02

)

=

(

2β2

)

En la figura se muestran las regiones obtenidas para cada valor de β.

-1 0 1 2 3 4-1

0

1

2

3

x

y

-1 0 1 2 3 4 5 6 7-1

0

1

2

3

x′

y′

(a) β = 1.5-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

0

1

2

3

x′

y′

(b) β = −2

Nota. La transformacion lineal T : V 7→ V se llama operador lineal.

Ejemplo 6.5. Las siguientes son transformaciones lineales.

1. T : R2 7→ R2, T(

x

y

)

=(

−x

−y

)

.

2. T : Rn 7→ Rn, T (u) = proyv u, siendo v un vector fijo no nulo de Rn.

3. T : Rn 7→ Rm, T (v) = Av, para alguna matriz A fija de tamano m× n.

4. T :Mm×n 7→ Mn×m, T (A) = AT .

5. T : V 7→ Rn, T (u) =[u]

B, si dimV = n y B es una base de V .

Si T : V 7→ W es una transformacion lineal, entonces

1. T (0V) = 0

W.

2. T (u− v) = T (u)− T (v); u,v ∈ V .

3. T( k∑

i=1

λivi

)

=k∑

i=1

λiT (vi); para cada λi ∈ R, vi ∈ V .

Teorema 6.1.

210


Demostracion. Se prueba 1, las demas se dejan para el lector.

T (0V) = T (0 · 0

V) = 0 · T (0

V) = 0

W

Ejemplo 6.6. Halle una transformacion T : P2 7→ R2 tal que

T (1 + x+ x2) =

(

2−1

)

, T (x+ x2) =

(

−42

)

y T (1 + x2) =

(

4−2

)

.

Solucion. Se tiene que B = 1 + x+ x2, x+ x2, 1 + x2 es una base para P2 . Luego, existen

escalares λ1 , λ2 y λ3 tales que

a+ bx+ cx2 = λ1(1 + x+ x2) + λ2(x+ x2) + λ3(1 + x2).

De ahı, resulta el sistema

λ1 + λ3 = a

λ1 + λ2 = b

λ1 + λ2 + λ3 = c.

Al resolverlo se obtiene: λ1 = a+ b− c, λ2 = −a+ c y λ3 = −b+ c.

Como T es una transformacion lineal, entonces

T (a+ bx+ cx2) = λ1T (1 + x+ x2) + λ2T (x+ x2) + λ3T (1 + x2)

= (a+ b− c)

(

2−1

)

+ (−a+ c)

(

−42

)

+ (−b+ c)

(

4−2

)

=

(

6a− 2b− 2c−3a+ b+ c

)

.

Sean V un espacio vectorial de dimension n, B = v1 ,v2 , . . . ,vn una base de V y T :

V 7→ W una transformacion lineal. Entonces para cada u ∈ V , T (u) queda completamente

determinado por T (v1), T (v2), . . . , T (vn) .

Teorema 6.2.

Demostracion. Sea u ∈ V . Como B es una base para V , existen escalares λ1 , λ2 , . . . , λntales

que u =n∑

i=1

λivi. Como T lineal, entonces por el Teorema 1, parte 3, se tiene

T (u) = T( n∑

i=1

λivi

)

=n∑

i=1

λiT (vi).

211


6.3. Nucleo e imagen

Definicion 6.2 (Nucleo o Kernel). Sea T : V 7→ W una transformacion lineal. El nucleo (o

Kernel) de T , es el conjunto de todos los vectores u ∈ V tales que T (u) = 0. Se denota por

kerT o nuT . Es decir.

kerT = nuT = u ∈ V | T (u) = 0 .

Ejemplo 6.7. Si T : R4 7→ R2 es una transformacion lineal definida por

T

xyzw

=

(x+ z

y − w

)

,

entonces kerT =

xyzw

∈ R4

∣∣∣ x = −z, y = w

.

Definicion 6.3 (Nulidad). Si kerT es de dimension finita, esta se denomina nulidad de T y se

denota por ν(T ). Es decir, ν(T ) = dim(kerT ).

Ejemplo 6.8. En la transformacion lineal del ejemplo anterior, ν(T ) = 2.

Definicion 6.4 (Imagen). Sea T : V 7→ W una transformacion lineal. La imagen de T , es el

conjunto de todos los vectores w de W que son imagenes, bajo T , de vectores de V . Esto es,

W esta en la imagen de T si existe un u ∈ V tal que T (u) = w. La imagen de T se denota por

imT . Es decir,

imT = w ∈ W | T (u) = w, para algun u ∈ V .

Ejemplo 6.9. Sea T : R3 7→ R3 una transformacion lineal. Muestre que la imagen de una recta

es otra recta.

Solucion. Sea L una recta en R3 que pasa por P0 con vector director v 6= #«

0 . Entonces,

L tiene ecuacion vectorial#«

L =#«

P0 + λv, λ ∈ R.

Luego,

T (#«

L) = T (#«

P0) + λT (v) = #«w0 + λ #«w, λ ∈ R,

una recta en el espacio de llegada que pasa por #«w0 = T (#«

P0) con vector director #«w = T (v).

Definicion 6.5 (Rango). Si imT es de dimension finita, esta se denomina el rango de T y se

denota por ρ(T ). Es decir, ρ(T ) = dim(imT ).

212


Ejemplo 6.10. En la transformacion del ejemplo 6.7 se tiene que imT = R2, ya que la ecuacion(

x+ zy − w

)

=

(

ab

)

tiene solucion para cada

(

ab

)

∈ R2. Ası, ρ(T ) = 2.

Ejemplo 6.11. Para el ejemplo 6.6, se tiene que

kerT =a+ bx+ cx2 | 3a− b+ c = 0

e imT =

(

xy

)

| x+ 2y = 0

.

Ademas, ν(T ) = 2 y ρ(T ) = 1. Note que ν(T ) + ρ(T ) = 3 = dimP2 .

kerT es subespacio de V e imT es un subespacio de W .

Teorema 6.3.

Demostracion. Se prueba que kerT es un subespacio de V . Es claro que kerA 6= ∅ puesto que

0 ∈ kerA. Ahora se demuestra la cerradura de la suma y de la multiplicacion por un escalar.

1. Si v1 ,v2 ∈ kerT , entonces T (v1) = 0 y T (v2) = 0, por hipotesis.

T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) = 0+ 0 = 0. Esto implica que v1 ,v2 ∈ kerT.

2. Ahora, si v ∈ kerT y λ ∈ R, T (v) = 0 y ası, T (λv) = λT (v) = λ0 = 0. Por lo tanto,

λv ∈ kerT .

En consecuencia, kerT es un subespacio de V .

Ejemplo 6.12. Halle una transformacion lineal T : R3 7→ R2 tal que

kerT =

xyz

| x− 2y + z = 0

.

Solucion. Segun el Teorema 2, una transformacion lineal queda completamente determinada si

se conocen las imagenes de los vectores de una base del espacio de salida. Para ello, se encuentra

una base para kerT y luego se completa a una base de R3.

xyz

∈ kerT si y solo si x− 2y + z = 0 si y solo si x = 2y − z; y, z ∈ R.

Es decir,

xyz

=

2y − zyz

= y

210

+ z

−101

.

Luego, kerT = gen

v1 =

210

, v2 =

−101

.

213


Una base para R3 que contenga a v1 ,v2 puede ser

B =

v1 =

210

, v2 =

−101

, v3 =

100

.

Como v1 y v2 estan en kerT , entonces T (v1) = 0 = T (v2). Para hallar la transformacion lineal,

se hace T (v3) = w, para algun w ∈ R2 no nulo, por ejemplo, T (v3) =

(

11

)

. Como B es una

base para R3, existen escalares λ1 , λ2 y λ3 tales que

λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 = u para cada u ∈ R3.

Al remplazar y resolver se obtiene: λ1 = y, λ2 = z y λ3 = x− 2y + z. Ası,

T (u) = T

xyz

= λ10

T (v1) + λ20

T (v2) + λ3v3

= 0+ 0+ (x− 2y + z)

(

11

)

=

(

x− 2y + zx− 2y + z

)

.

Una transformacion que satisface la condicion es T

xyz

=

(

x− 2y + zx− 2y + z

)

.

Si V es un espacio vectorial de dimension n y T : V 7→ W es una transformacion lineal,

entonces ν(T ) + ρ(T ) = n.

Teorema 6.4. Teorema de la dimension

Definicion 6.6. Sea F : V 7→ W una funcion.

1. F es inyectiva o uno a uno si y solo si para cada u,v ∈ V

i. u 6= v implica F (u) 6= F (v), o equivalentemente,

ii. F (u) = F (v) implica u = v.

2. F es sobreyectiva si y solo si para cada w ∈ W , existe u ∈ V tal que F (u) = w.

3. F es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Sea T : V 7→ W una transformacion lineal. T es inyectiva si y solo si kerT = 0.Teorema 6.5.

214


Demostracion. Suponga que T es uno a uno y se probara que kerT = 0.

u ∈ kerT implica T (u) = 0 Definicion de kerT

T (0) = 0 Porque 0 ∈ kerT

T (u) = 0 y T (0) = 0 implica u = 0 porque T es uno a uno

Luego, kerT = 0. Ahora sea kerT = 0 y se demostrara que T es 1− 1. Sean u,v ∈ V tales

que T (u) = T (v).

T (u) = T (v) implica T (u− v) = 0 Teorema 6.1 parte 2

T (u− v) = 0 implica u− v ∈ kerT Definicion de kerT

u− v ∈ kerT implica u− v = 0 Porque kerT = 0

De donde u = v y por tanto, T es uno a uno.

Ejemplo 6.13. Sea T : R2 7→ R2 una transformacion lineal definida por

T

(

xy

)

=

(

x+ 2y2x+ 5y

)

.

Muestre que T es uno a uno y halle T−1.

Solucion. Como kerT =

(

00

)

, T es inyectiva. Ahora se halla T−1 despejando las variables

x y y.

T

(

xy

)

=

(

ab

)

si y solo si

(

xy

)

= T−1

(

ab

)

.

Resolviendo

x+ 2y = a2x+ 5y = b

⇒(

1 2 | a2 5 | b

)

∼(

1 2 | a0 1 | −2a+ b

)

∼(

1 0 | 5a− 2b0 1 | −2a+ 2a

)

.

Por lo tanto, T−1

(

ab

)

=

(

−2a+ b5a− 2b

)

.

6.4. Representacion matricial

Sean V, W dos espacios vectoriales tales que dimV = n > 0 y dimW = m > 0. Sean

B1 = v1 ,v2 , . . . ,vn ,B2 = w1 ,w2 , . . . ,wm bases de V y W respectivamente y T : V → W

una transformacion lineal. Entonces existe una matriz ATde tamano m × n de modo que

AT[v]B1

= [T (v)]B2para cada v ∈ V.

Teorema 6.6.

215


Definicion 6.7. La matriz ATdel teorema 6 recibe el nombre de matriz de T con respecto

a las bases B1 y B2 , y esta dada por

AT=([T (v1)]B2

[T (v2)]B2. . . [T (v

n)]B2

),

donde [T (vj)]B2 =

a1j

a2j...

amj

si y solo si T (vj) = a1jw1 + a

2jw2 + · · ·+ amjwm.

Ejemplo 6.14. Para la transformacion lineal dada en el ejemplo 6.7, la matriz de T con respecto

a las bases canonicas de R4 y R2 es

AT=

(

1 0 1 00 1 0 −1

)

.

Ejemplo 6.15. Sea T : R3 7→ P2 una transformacion lineal definida por

T

abc

= a+ 2b− c+ (2a+ 3b+ c)x+ (a+ b+ 2c)x2.

Halle la matriz de T con respecto a las bases B1 =

v1 =

111

, v2 =

011

, v3 =

101

de R3

y B2 = w1 = 1,w2 = 1 + x,w3 = 1 + x+ x2 de P2 .

Solucion. AT=(

[T (v1)]B2 [T (v2)]B2 [T (v3)]B2

)

.

T (v1) = 2 + 6x+ 4x2 = −4w1 + 2w2 + 4w3 . Luego,[T (v1)

]

B2=

−424

T (v2) = 1 + 4x+ 3x2 = −3w1 +w2 + 3w3 . Entonces,[T (v2)

]

B2=

−313

T (v3) = 3x+ 3x2 = −3w1 + 0w2 + 2w3 . De donde,[T (v3)

]

B2=

−303

.

Por lo tanto, AT=

−4 −3 −32 1 04 3 3

.

Si ATes la matriz de la transformacion T : V → W con respecto a las bases B1 y B2 , entonces

1. ν(T ) = ν(AT) 2. ρ(T ) = ρ(A

T)

Teorema 6.7.

216


Nota. Si V = Rn y W = Rm y T : V 7→ W es una transformacion lineal, entonces AT, la matriz

de la transformacion con respecto a las bases canonicas de Rn y Rm, respectivamente, satisface:

1. AT = [T (e1) T (e2) . . . T (en)]

2. kerT = kerAT, ν(T ) = ν(A

T)

2. imT = imAT, ρ(T ) = ρ(A

T)

6.5. El espacio vectorial de las transformaciones lineales

6.5.1. Operaciones con transformaciones lineales

Definicion 6.8 (Suma). Sean S : V 7→ W y T : V 7→ W transformaciones lineales. Se define la

suma de S y T como la transformacion S + T : V 7→ W tal que

(S + T )(v) = S(v) + T (v), para todo v ∈ V.

Ejemplo 6.16. Sean S : R3 7→ R2 tal que S(x, y, z) = (2x+y−z, y+2z) y S : R3 7→ R2 tal que

S(x, y, z) = (x+ 2y, y − 3z). Entonces la suma de S y T es la transformacion S + T : R3 7→ R2

de modo que

(S + T )(x, y, z) = (2x+ y − z, y + 2z) + (x+ 2y, y − 3z) = (3x+ 3y − z, 2y − z).

Definicion 6.9 (Multiplicacion por un escalar). Se define la multiplicacion del escalar λ ∈ R

como la transformacion (λT ) : V 7→ W tal que (λT )(v) = λT (v) para todo v ∈ V.

Ejemplo 6.17. Sea T : R2 7→ R3 tal que T (x, y) = (x− 2y, x+ y, y + z). Entonces el producto

del escalar λ = 5 por la transformacion T es la transformacion 5T : R2 7→ R3 tal que

(5T )(x, y) = 5T (x, y) = 5(x− 2y, x+ y, y + z) = (5− 10y, 5x+ 5y, 5y + 5z).

Sea λ ∈ R y sean S : V 7→ W y T : V 7→ W dos transformaciones lineales. Entonces

S + T : V 7→ W y λT : V 7→ W tambien son transformaciones lineales.

Teorema 6.8.

Definicion 6.10 (Composicion). Sean S : U 7→ V y T : V 7→ W dos transformaciones lineales.

Se define la composicion de S y T como la funcion T S : U 7→ W tal que (T S)(u) = T (S(u)).

Ejemplo 6.18. Sean S : P2 7→ R2 tal que S(at2 + bt + c) = (a − 2b, 2b − c) y T : R2 7→ M2×2

tal que T (a, b) =

(a+ b 2a+ ba− 2b 2a− b

)

. Entonces

(T S)(at2 + bt+ c) =

(a− c 2a− 2b− c

a− 6b+ 2c 2a− 6b+ c

)

.

217


Sean S : U 7→ V y T : V 7→ W dos transformaciones lineales. Entonces S T : U 7→ W

tambien es una transformacion lineal.

Teorema 6.9.

Notacion. Sean V y W espacios vectoriales. Se denota por L(V,W ) al conjunto de todas las

transformaciones lineales T : V 7→ W .

El conjunto L(V,W ) con las operaciones de suma y multiplicacion por un escalar dadas en

las definiciones 6.8 y 6.9 constituye un espacio vectorial.

Teorema 6.10.

Definicion 6.11 (Isomorfismo). Dos espacios vectoriales V y W son isomorfos si existe una

transformacion lineal biyectiva (isomorfismo) T : V 7→ W .

Notacion. Si V y W son isomorfos, se escribe V ∼ W .

Ejemplo 6.19. Pn es isomorfo a Rn+1, puesto que la transformacion lineal T : Pn 7→ Rn+1

definida por T (antn + an−1t

n−1 + · · ·+ a1t+ a0) = (an, an−1, · · · , a1 , a0) es un isomorfismo.

Si dimV = n y dimW = n, entonces V es isomorfo a W .

Teorema 6.11.

Si dimV = n y dimW = m, entonces L(V,W ) es isomorfo aMm×n(R).

Teorema 6.12.

Demostracion. Se prueba que existe isomorfismo F : L(V,W ) 7→ Mm×n(R). Para ello, se define

T de la siguiente manera: Sean B1 y B2 bases fijas de V y W respectivamente. Ası, para cada

transformacion lineal T ∈ L(V,W ) se asigna como imagen la matriz AT ∈ Mm×n que es

la representacion de T con respecto a las bases B1 y B2 ; es decir, F (T ) = AT . Primero se

demuestra que F es una transformacion lineal. Sean T1 , T2 ∈ L(V,W ) y λ, µ ∈ R. Entonces

F (λT1 + µT2) = A(λT1+µT2 )= λAT1

+ µAT2= λF (T1) + µF (T2).

Ahora se prueba que F es biyectiva

1. Sean T1 , T2 ∈ L(V,W ) tales que T1 6= T2 . Luego, existe vi ∈ B1 tal que T1(vi) 6= T2(vi) y

ası, [T1(vi)]B26= [T2(vi)]B2

. De donde, AT16= AT2

, es decir, F (T1) 6= F (T2). Luego T es

uno a uno.

2. Sea A ∈Mm×n. Se debe probar que existe T ∈ L(V,W ) tal que F (T ) = A. Las columnas

de A son las coordenadas en la base B2 de las imagenes de los vectores de la base B1 . Esto

permite conocer las imagenes de los vectores de la base B1 , y por el Teorema 6.2, esto es

suficiente para determinar T . Esto significa que existe T ∈ L(V,W ) tal que F (T ) = A.

Luego, T es sobreyectiva.

218



1. A es invertible.






7. detA 6= 0.









16. kerA = 0. 17. ν(A) = 0. 18. imA = Rn. 19. ρ(A) = n.

20. Si A es la matriz de una transformacion lineal T : V 7→ V entonces

20.1. kerT = 0. 20.2. T es 1–1. 20.3. imT = Rn.


6.6. Ejercicios

1. Determine si las siguientes funciones son transformaciones lineales:

(a) T : R 7→ R; T (x) = −3x (b) T : R 7→ R; T (x) = −3x+ 2

(c) T : C1 7→ C; T (f(x)) = f ′(x) (d) T : Mm×n 7→Mn×m; T (A) = AT

(e) T : R2 7→ P2 ;T (a, b) = a+ b+ c+ (a+ b)x+ 2a− c)x2

2. Determine si la funcion T : R2 7→ R2 que opera de acuerdo a la figura, es o no una

transformacion lineal. Justifique su respuesta.

(a) Figura 1

219


1

1 2−1 x

yT

#«a

#«

b = 3 #«a

1

1 2−1 u

v

T ( #«a )

T (#«

b )

(b) Figura 2

1

2

1 2−1 x

yT

#«a

#«

b

#«c = #«a +#«

b

1

2

1 2−1 u

v

T ( #«a )

T (#«

b )

T ( #«c )

(c) Figura 3

1

2

1 2 3−1 x

yT

#«a#«

b

#«c = 2 #«a +#«

b

1

2

1 2 3−1 u

v

T ( #«a )

T (#«

b )

T ( #«c )

3. Halle una transformacion lineal T : R2 7→ R3 de modo que

T

(

13

)

=

2

−11

y T

(

−14

)

=

−42

−2

.

4. Dada la transformacion lineal T : R4 7→ R3 definida por

T

xyzw

=

x− 2y + 2z + 3wy + 4z + w

x + 6z + 6w

(a) Encuentre kerT , una base para kerT y ν(T ).

(b) Determine imT , una base para imT y ρ(T ).

220


(c) ¿El vector

2

−46

esta en imT? Explique su respuesta.

5. Sea T : P1 7→ P2 la transformacion lineal definida por T (x+1) = x2−1 y T (x−1) = x2+x.

(a) Halle la imagen del vector 5x− 1.

(b) Determine la transformacion. Es decir, halle T (ax+ b).

6. Sea T : P2 7→ P2 una transformacion lineal que satisface

T (1) = 1 + x, T (1 + x) = 2 + 3x+ x2, T (1− x+ x2) = 3 + 4x+ x2.

(a) Halle la transformacion lineal T .

(b) Encuentre el nucleo y la nulidad de T .

(c) Determine una base para la imagen y el rango de T .

7. Encuentre una transformacion lineal T : R3 7→ R3 tal que

kerT = gen

111

e imT =

ab

c

∈ R3 | 2a− b− c = 0

8. La region

-3 -2 -1 0 1 2 3-1

0

1

2

3

4

5

x

y

se transforma en

-1 0 1 2 3 4 5-1

0

1

2

3

x′

y′

mediante una

transformacion lineal T : R2 7→ R2. Halle una de ellas.

9. Sea T : R2 7→ R2 una funcion definida por

T

(

xy

)

=

(cos θ − sen θsen θ cos θ

)(

xy

)

, 0 ≤ θ ≤ 2π ( o − π < θ ≤ π).

(a) Demuestre que T es una transformacion lineal

(b) Halle la imagen de los vectores

(

10

)

,

(

01

)

y

(

32

)

para θ = π/4 y θ = −π/4.

10. Sea A =

(1 2−1 0

)

la matriz de la transformacion T : R2 7→ R2, referida a las bases

B1 =

(

12

)

,

(

34

)

y B2 =

(

13

)

,

(

27

)

. Hallar la transformacion.

221


11. Sea T : P2 7→ P1 una transformacion lineal definida como T (p(x)) = p′(x).

(a) Determine el nucleo de la transformacion y la nulidad.

(b) Determine la imagen de la transformacion y el rango.

(c) Halle la matriz de la transformacion con respecto a las bases: B1 la base usual de P2

y B2 = 1, 1 + x base de P1 .

12. Halle el nucleo, la nulidad, la imagen y el rango de cada una de las siguientes transfor-

maciones lineales. Encuentre una base para kerT y para imT .

(a) T : R2 7→ R2, T

(

xy

)

=

(

x+ yx− y

)

(b) T : R4 7→ R2, T

xyzw

=

(x+ y + z

y + z − w

)

(c) T : P3 7→ P2 ; T (a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3) = a0 + a1x+ a2x2

(d) T : P2 7→ P3 , T (c+ bx+ ax2) = b− bx+ cx3

13. Halle la matriz de la transformacion con respecto a las bases B1 y B2 . Determine el nucleo,

la nulidad, la imagen y el rango de cada una.

(a) T : P2 7→ P3 , T (c+ bt+ at2) = b− bt+ ct3

(i) B1 y B2 son las bases canonicas.

(ii) B1 = 1 + t, 1− t, 1 + t+ t2,B2 = 2 + 3t+ t2, 1− 2t+ t2,−1 + 6t2

(b) T : R4 7→ R3, T

xyzw

=

x− y + 2z + 3w

y + 4z + 3w

x + 6z + 6w

(i) B1 y B2 son las bases canonicas.

(ii) B1 =

1100

,

1011

,

0011

,

0101

, B2 =

100

,

110

,

111

14. Identifique los conceptos que permiten solucionar la siguiente situacion:

Un caricaturista moderno emplea computadora y algebra lineal para transformar las

imagenes. Suponga que trata de dar la sensacion de movimiento a la imagen de la figura

6.1(a), inclinandola y estirandola (horizontalmente) en forma gradual para llegar a la

figura 6.1(b).

222


-2 -1 0 1 2-1

0

1

2

3

b

b

b

b

b

b

b

b

T

(a)-2 -1 0 1 2

-1

0

1

2

3

b

b

b

b

b

b

b

b

(b)

Figura 6.1 Deslizamiento en transformaciones de imagenes

Si el estiramiento gradual necesario, por ejemplo, a lo largo del eje x es 50%, ¿como puede

modelarlo matematicamente y hacer que la computadora trace la imagen inclinada? Ver

[7], p. 306.


1. Determine si la funcion dada es una transformacion lineal

(a) T :M2×2 7→ M2×2 dada por T (A) = AC −CA, donde C =

(1 1

−1 1

)

.

(b) T : C(R) 7→ R definida por T (f) =

1w

0

f(x)dx, en donde

C(R) = f : R 7→ R | f es continua(c) T : R+ 7→ R definida por T (x) = ln x, donde 〈R+,⊕,⊙〉 es el espacio vectorial en el

cual x⊕ y = xy y λ⊙ x = xλ.

2. Sea T : R2 7→ P2 una transformacion lineal tal que T

(1

0

)

= 3t2−2t+1 y T

(1

2

)

= t2−5.Halle

(a) T

(a

b

)

(b) T

(1

4

)

3. Sea T : R3 7→ R2 una transformacion lineal definida por

T

x

y

z

=

(− x+ 3y + 2z

2x− 6y − 5z

)

.

Determine:

223


(a) El nucleo de T , una base para el nucleo y la nulidad de T .

(b) La imagen de T , una base para la imagen y el rango de T .

(c) Si el vector

(

11

)

esta en imT .

4. Sea T : R2 7→ R3 una transformacion lineal tal que

imT = gen

3

−1α

,

α

−13

.

(a) Halle un valor de α, si existe, de modo que

2

1

−4

∈ imT .

(b) Determine la nulidad ν(T ) de T .

5. Sea A =

(2 −4 3

−1 2 2

)

la matriz de la transformacion lineal T : R3 7→ R2 con respecto

a las bases

B1 =

1

0

0

,

1

1

0

,

1

1

1

y B2 =

(1

2

)

,

(2

5

)

.

(a) Halle T

x

y

z

(b) Encuentre kerT y una base para el nucleo

(c) Determine el rango de la transformacion lineal



(a) La funcion T : R2 7→ R2 definida por T

(

xy

)

=

(

x+ yx+ 1

)

es una transformacion lineal.

(b) El vector p(t) = t2 + 4t+ 1 ∈ kerT , donde T : P2 7→ P1 es una transformacion lineal

definida por T (at2 + bt+ c) = (a− c)t+ (b− 2c).

(c) Si T : P2 7→ P3 es una transformacion lineal, tal que ρ(T ) = 3, entonces kerT = 0.(d) El nucleo de la transformacion lineal T : P2 7→ R3 definida por

T (at2 + bt+ c) =

a+ b− c

2a− b

3a− c

,

es kerT = gen t2 + 2t+ 3 .

224

CAPITULO SIETE

Valores y vectores propios

7.1. Introduccion

227

El tema de los valores propios aparecio cuando Euler, en el primer tercio del siglo XVIII,

estudio sistematicamente la ecuacion general de segundo grado en dos y tres variables en el

plano y en el espacio respectivamente, y demostro que existen unos ejes perpendiculares donde

la expresion de la conica o cuadrica es especialmente sencilla. Posteriormente, en 1760, en su

libro Recherches surla courbure des surfaces, al estudiar las secciones normales de una superficie

en un punto, encontro que hay dos planos mutuamente ortogonales cuyas secciones proporcionan

las curvas de maxima y mınima curvatura. Mas tarde se comprobo que estas dos situaciones son

casos particulares del hecho de que una matriz simetrica sea ortogonalmente diagonalizable.

Por otro lado, la nocion de polinomio caracterıstico aparece explıcitamente en el trabajo

de Lagrange sobre sistemas de ecuaciones diferenciales en 1774, y en el trabajo de Laplace

(1749-1827) en 1775. Ası mismo, Cauchy reconocio el problema del valor propio en la obra de

Euler, Lagrange y Laplace. En 1826 tomo el problema de la reduccion de la forma cuadratica en

tres variables y demostro que la ecuacion caracterıstica es invariante para cualquier cambio en

los ejes rectangulares. En lenguaje moderno, si A es una matriz cuadrada y si S es invertible,

entonces

det(A− λI) = det(SAS−1 − λI).

En 1829 Cauchy prueba que los valores propios de una matriz simetrica son reales. A su vez, las

matrices hermıticas (A = AT) fueron introducidas por Hermite (1822-1901). Frobenius en 1878

prueba la diagonalizabilidad de las matrices ortogonales, extendiendo en 1883 la demostracion

a matrices unitarias (AAT= I).

En este capıtulo se estudian los valores y vectores propios de una matriz cuadrada A de

orden n. Se retoma el concepto de nucleo de una matriz, base y su dimension con los que se

introducen las definiciones de espacio caracterıstico, vector propio y multiplicidad algebraica y

geometrica de un valor propio λ. Se continua con la diagonalizacion de matrices cuadradas y


luego con la diagonalizacion ortogonal de matrices simetricas, para lo cual se usa el proceso de

Gram-Schmidt. Finalmente, se estudian las formas cuadraticas y las secciones conicas.

7.2. Definiciones y terminologıa

Inicialmente, se recordara el calculo de determinantes, ası como los conceptos de espacio

nulo o nucleo de una matrizA. Ademas se hallara una base y su nulidad las cuales se relacionaran

con las definiciones de valores y vectores propios, espacio caracterıstico, multiplicidad algebraica

y geometrica.

Ejemplo 7.1. Dada la matriz A =

(1 35 3

)

. Calcule Av en cada caso

a) v =

(

35

)

b) v =

(

11

)

Solucion. Se tiene

a) Av =

(1 35 3

)(

35

)

=

(

1830

)

= 6

(

35

)

= 6v.

b) Av =

(1 35 3

)(

11

)

=

(

48

)

6= λ

(

11

)

.

En el ejemplo 7.1(a) se observa que Av es un multiplo escalar de v. En general, dada una

matriz cuadrada A de orden n con componentes reales, es posible encontrar un escalar λ (real

o complejo) tal que Av = λv para algun vector no nulo v ∈ Rn. Lo anterior motiva la siguiente

definicion.

Definicion 7.1 (Valor y vector propio). Sea A una matriz de tamano n× n con componentes

reales. Un numero λ (real o complejo) tal que

Av = λv (7.1)

para algun vector no nulo v ∈ Rn, se denomina valor propio1 de A. Un vector no nulo v que

satisface (7.1), se llama vector propio de A asociado al valor propio λ.

Ejemplo 7.2. Para la matriz A del ejemplo 7.1, λ = 6 es un valor propio con vector propio

asociado v =(35

).

¿Como determinar los valores y los vectores propios de una matriz A de tamano n × n?

Para responder esta cuestion, es conveniente expresar la ecuacion (7.1) en la forma

(A− λI)v = 0. (7.2)

1 Tambien denominado valor caracterıstico, autovalor o eigenvalor de A.

228


Como interesan soluciones no triviales de (7.2), se requiere que

det(A− λI) = |A− λI| = 0 (7.3)

Definicion 7.2 (Ecuacion caracterıstica). La expresion dada por (7.3) recibe el nombre de

ecuacion caracterıstica o auxiliar de la matriz A. A la expresion p(λ) = det(A − λI), se le

denomina polinomio caracterıstico de A.

La ecuacion (7.2) implica que si v es un vector propio de A, correspondiente al valor

propio λ, entonces v esta en el nucleo de A− λI, es decir, v ∈ ker(A− λI). Esto da origen a

la siguiente definicion.

Definicion 7.3 (Espacio propio). Sea A una matriz n × n, λ un valor propio y v un vector

propio asociado a λ. El espacio nu(A−λI) recibe el nombre de espacio propio de A y se denota

por Eλ. Es decir, Eλ = ker(A− λI).

Ejemplo 7.3. Halle los valores y los vectores propios de A =

(1 35 3

)

.

Solucion. Calculo de valores propios: |A− λI| = 0.

p(λ) = |A− λI| =∣∣∣1− λ 3

5 3− λ

∣∣∣ = λ2 − 4λ− 12 = (λ+ 2)(λ− 6)

p(λ) = 0⇒ λ = −2 o λ = 6. Los valores propios de A son λ1 = −2 y λ2 = 6.

Ahora se calculan los vectores propios correspondientes: (A− λI)v = 0.

λ1 = −2 :

(3 35 5

)

→(1 10 0

)

, E(−2)

= gen

v1 =

(

1−1

)

λ2 = 6 :

(−5 35 −3

)

→(5 −30 0

)

, E6 = gen

v2 =

(

35

)

Ejemplo 7.4. Halle los valores propios y los espacios propios de la matriz

A =

−2 0 23 0 −32 0 −2

.

Solucion. Valores propios: |A− λI| = 0.

|A− λI| =

∣∣∣∣∣∣

−2− λ 0 2

3 −λ −32 0 −2− λ

∣∣∣∣∣∣

= −λ2(λ+ 4) = 0.

Los valores propios de A son λ1 = 0 (raız doble) y λ2 = −4.

229


Espacios propios: (A− λI)v = 0.

λ1 = 0 :

−2 0 2

3 0 −32 0 −2

→

1 0 −10 0 00 0 0

; E0 = gen

v1 =

010

, v2 =

101

λ2 = −4 :

2 0 23 4 −32 0 2

→

1 0 10 2 −30 0 0

; E(−4)

= gen

v3 =

2−3−2

Ejemplo 7.5. Halle los valores y los espacios propios de A =

−2 0 21 0 12 0 −2

.


|A− λI| =

∣∣∣∣∣∣

−2− λ 0 21 −λ 12 0 −2− λ

∣∣∣∣∣∣

= −λ2(λ+ 4) = 0.

Los valores propios de A son λ1 = 0 (raız doble) y λ2 = −4.Espacios propios: (A− λI)v = 0.

λ1 = 0 :

−2 0 21 0 12 0 −2

→

1 0 00 0 10 0 0

; E0 = gen

v1 =

010

λ2 = −4 :

2 0 21 4 12 0 2

→

1 0 10 1 00 0 0

; E(−4)

= gen

v2 =

10−1

Ejemplo 7.6. Determine los valores y los espacios propios de A =

(1 2−2 1

)

.


p(λ) = |A− λI| =∣∣∣1− λ 2

−2 1− λ

∣∣∣ = (1− λ)2 + 4,

p(λ) = 0⇒ λ = 1± 2i. Los valores propios de A son λ1 = 1− 2i y λ2 = 1 + 2i.

Espacios propios: (A− λI)v = 0.

λ1 = 1− 2i :

(2i 2−2 2i

)

→(1 −i0 0

)

, E(1−2i)

= gen

v1 =

(

01

)

+ i

(

10

)

.

En los ejemplos 7.4 y 7.5, se observa que λ1 = 0 es un valor propio de A el cual aparece repetido

dos veces. Sin embargo, en el ejemplo 7.4 la dimension de E0 es 2, mientras que en el ejemplo

7.5, dimE0 = 1. Estas observaciones motivan las siguientes definiciones.

230


Definicion 7.4 (Multiplicidad algebraica). Sea A una matriz n×n y λ1 un valor propio de A.

Si (λ− λ1)m, m ∈ Z+ es un factor de p(λ), se dice que m es la multiplicidad algebraica de λ1 y

se denota por Ma(λ1); esto es, Ma(λ1) = m. Si m = 1, se dice que λ1 es un valor propio simple.

Definicion 7.5 (Multiplicidad geometrica). Sea A una matriz n × n y λ1 un valor propio de

A. La multiplicidad geometrica de λ1 , denotada por Mg(λ1), se define como la dimension del

espacio propio asociado a λ1 . Es decir, Mg(λ1) = dim(Eλ1).

7.3. Diagonalizacion

Se estudian las matrices semejantes y la diagonalizacion de matrices cuadradas, con el

proposito de usarlas mas adelante en algunas aplicaciones. El lector debera recordar claramen-

te los conceptos estudiados en secciones anteriores, los cuales sintetizan los aspectos basicos

desarrollados en el curso.

Definicion 7.6 (Matrices semejantes). Sean A y B matrices cuadradas de orden n. A y B son

semejantes o similares, si existe una matriz invertible C tal que B = C−1AC.

Ejemplo 7.7. A =

(2 31 4

)

y B =

(5 20 1

)

son matrices semejantes, en donde

C =

(1 −11 1

)

permite establecer la relacion C−1AC = B. (Verifique).

Si A y B son matrices semejantes, entonces sus polinomios caracterısticos son iguales.

Teorema 7.1.

Demostracion. Se debe probar que |A− λI| = |B − λI|.

B = C−1AC Definicion de semejanza

B − λI = C−1AC − λI Restando λI en ambos lados

|B − λI| =∣∣C−1AC − λI

∣∣ Tomando determinantes

=∣∣C−1AC − λC−1C

∣∣ C−1C = I

=∣∣C−1(A− λI)C

∣∣ Propiedad distributiva de ·

= |C−1||A− λI||C| Propiedad |AB| = |A||B|= |A− λI| |C−1C| = |I| = 1.

Definicion 7.7 (Matrices diagonalizables). Sean A una matriz cuadrada de orden n. A es

diagonalizable, si A es semejante con una matriz diagonal. Es decir, existe una matriz invertible

P tal que D = P−1AP , donde D es una matriz diagonal.

231


Ejemplo 7.8. La matriz A =

−2 0 23 0 −32 0 −2

es diagonalizable, D =

0 0 00 0 00 0 −4

es la matriz

diagonal y P =

0 1 21 0 −30 1 −2

.

Ejemplo 7.9. La matriz A =

−2 0 21 0 12 0 −2

no es diagonalizable.

Preguntas. Dada una matriz A, ¿como determinar si es diagonalizable? Si A es diagonalizable,

¿como hallar D y P ? ¿D y P son unicas?

El siguiente teorema contribuye a dar respuesta a algunas de las preguntas.

Sea A una matriz n×n con componentes reales. Las siguientes afirmaciones son equivalentes

1. A es diagonalizable.

2. A tiene n vectores propios linealmente independientes.

3. Ma(λ) = Mg(λ) para cada valor propio λ de A.

Teorema 7.2.

Sean λ1 , λ2 , . . . , λn los n valores propios de A y v1 v2 . . . vn los n vectores propios linealmente

independientes correspondientes. Como A es diagonalizable, entonces P−1AP = D, donde

D = diag λ1 , λ2 , . . . , λn matriz diagonal y P = (v1 v2 . . . vn) .

7.4. Diagonalizacion ortogonal

En esta seccion se generaliza la diagonalizacion para matrices simetricas incorporando la

diagonalizacion ortogonal, para lo cual se debe manejar el proceso de Gram-Schmidt.

Lema 2. Para cada matriz A n × n y cada par de vectores columna x,y ∈ Rn se tiene que

Ax • y = x •ATy.

Demostracion. Como Ax =n∑

j=1

xj colj A y ATy =n∑

i=1

yi renTi A, entonces

Ax • y =

( n∑

j=1

xj colj A

)

• y =n∑

j=1

(

xj colj A • y)

=n∑

j=1

(

xj

n∑

i=1

aijyi

)

y

x •ATy = x •n∑

i=1

yi renTi A =

n∑

i=1

x • yi renTi A =

n∑

j=1

(

xj

n∑

i=1

aijyi

)

.

232


Luego, Ax • y = x •ATy.

Si A es una matriz simetrica, λ1 y λ2 son valores propios de A distintos, con vectores propios

v1 , v2 respectivamente, entonces v1 y v2 son ortogonales.

Teorema 7.3.

Demostracion. Sean λ1 y λ2 son valores propios distintos de A con vectores propios asociados

v1 y v2 respectivamente. Entonces

λ1(v1• v2) = (λ1v1

• v2) Asociativa escalar de •

= Av1• v2 v1 es un valor propio de A asociado a λ1

= v1•ATv2 Lema 2

= v1•Av2 A es simetrica

= v1• λ2v2 v2 es un valor propio de A asociado a λ2

= λ2(v1• v2) Asociativa escalar de • .

Luego,

λ1(v1• v2)− λ2(v1

• v2) = 0

(λ1 − λ2)(v1• v2) = 0.

Como λ1 6= λ2 , entonces v1• v2 = 0. Por lo tanto, v1 y v2 son ortogonales.

Toda matriz simetrica es diagonalizable, ademas sus valores propios son reales.

Teorema 7.4.

Definicion 7.8 (Diagonalizacion ortogonal). Se dice que una matriz An×n es diagonalizable

ortogonalmente, si existe una matriz ortogonal Q tal que D = QTAQ, donde

D = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn); λ1 , λ2 , . . . , λn son los n valores propios de A.

Q = (u1 u2 . . . un) ; u1 , u2 , . . . ,un son vectores propios ortonormales de A.

Ejemplo 7.10. La matrizA =

2 1 11 2 11 1 2

es simetrica, luego es diagonalizable ortogonalmente.

Se tiene

Q =

1/√2 1/

√2 1/

√2

−1/√2 0 1/

√2

0 −1/√2 1/

√2

, D =

1 0 0

0 1 0

0 0 4

A es diagonalizable ortogonalmente si y solo si es simetrica.

Teorema 7.5.

233


7.5. Formas cuadraticas y secciones conicas

En esta seccion aplican los conceptos desarrollados en las secciones anteriores a conceptos

que se estudian en otros cursos de matematicas y que ahora se desarrollan desde los conceptos

del algebra lineal.

Definicion 7.9 (Forma y ecuacion cuadratica en dos variables).

Una forma cuadratica en las variables x y y es una expresion de la forma

F (x, y) = ax2 + bxy + cy2, donde |a|+ |b|+ |c| 6= 0. (7.4)

La expresion (7.4) se puede abreviar como F (X) = XTAX, donde A =

(a b/2b/2 c

)

es la

matriz asociada a la forma cuadratica y X =

(

xy

)

.

Puesto que A es simetrica, es diagonalizable ortogonalmente. Es decir, existe una matriz

ortogonal Q, |Q| = 1 y D = diag (λ1 , λ2), tal que

A = QDQT

Para eliminar el termino mixto xy, sea X1= QTX =

(x1

y1

)

, que corresponde a los nuevos ejes

coordenados. Ası, la expresion (7.4) queda

G(X1) = G(x1 , y1) = XT1DX1 = λ1 x

21+ λ2 y

21. (7.5)

Ejemplo 7.11. Elimine el termino cruzado en la forma cuadratica

F (x, y) = 325x2 − 52

5xy − 7

5y2.

Solucion. La matriz simetrica asociada a F esA =

(32/5 −26/5−26/5 −7/5

)

. Al calcular los

valores propios se tiene:

p(λ) =

∣∣∣∣

325− λ −26

5

−265−7

5− λ

∣∣∣∣= λ2 − 5λ− 36.

Sus raıces son λ1 = −4 y λ2 = 9. Ahora se calculan los vectores propios

λ1 = −4 :

(525−26

5

−265−13

5

)

∼(2 −10 0

)

: #«v1 =

(1

2

)

λ2 = 9 :

(−135−26

5

−265−52

5

)

∼(1 2

0 0

)

: #«v2 =

(−21

)

234


Una matriz ortogonal que diagonaliza a A es Q =

(1/√5 −2/

√5

2/√5 1/

√5

)

, con |Q| = 1

textyD =

(−4 0

0 9

)

.

Ası, F (x, y) se transforma en G(x1 , y1) = −4x21+ 9y2

1.

Definicion 7.10 (Ecuacion cuadratica). Una ecuacion cuadratica en las variables x y y es

una expresion de la forma

ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey = f, donde |a|+ |b|+ |c| 6= 0. (7.6)

La ecuacion (7.6) se puede escribir como XTAX+BX = f, la cual se transforma en

XT1DX1 +B1X1 = λ1 x

21 + λ2 y

21+ d1x1 + e1y1 = f,

donde B = (d e) y B1 = (d1 e1) = BQ.

Ejemplo 7.12. Identifique y trace la grafica de 325x2 − 52

5xy − 7

5y2 = 36.

Solucion. De acuerdo con el ejemplo 7.11, la nueva ecuacion es −4x21+9y2

1= 36. La grafica

es una hiperbola con centro en (0, 0) y semieje transverso 3 unidades y semieje conjugado 2

unidades en los ejes rotados, los cuales estan dados en las direcciones de los vectores ortogonales

#«v1 =

(

12

)

y #«v2 =

(

−21

)

. El angulo de rotacion esta dado por tan θ =v21

v11

= 2, de donde θ =

tan−1 (2) ≈ 63.4o. La grafica es

x

y

x 1

y 1

#«v2

#«v1

θ


235


Ejemplo 7.13. Identifique y trace

325x2 − 52

5xy − 7

5y2 + 4

√5 x− 10

√5 y = 43 (I)

Solucion. A =

(32/5 −26/5−26/5 −7/5

)

, B = (4√5,−10

√5), luego B1 = BQ = (−16,−18).

Ası, la ecuacion (I) se transforma en

−4x21+ 9y2

1− 16x1 − 18y1 = 43

y esta a su vez en −(x1 + 2)2

9+

(y1 − 1)2

4= 1, una hiperbola con centro en (−2, 1), semieje

transverso 3 unidades y semieje conjugado 2 unidades en los ejes rotados, los cuales estan dados

en las direcciones de los vectores ortogonales #«v1 =

(

12

)

y #«v2 =

(

−21

)

. El angulo de rotacion

esta dado por tan θ =v21

v11

= 2, de donde θ ≈ 63.4o. La grafica es

x

y

x 1

y 1

x 2

y 2

#«v2

#«v1

b

θ


Ejemplo 7.14. Identifique y trace la grafica de la conica dada por la ecuacion:

5x2 − 4xy + 8y2 + 10√5 x− 4

√5 y = 11.

236


Solucion. Se tiene que A =

(5 −2−2 8

)

, B = (10√5,−4

√5). Los valores propios de A

son λ1 = 4 con vector propio asociado #«v1 =

(

21

)

y λ2 = 9 con vector propio #«v2 =

(

−12

)

.

Una matriz ortogonal que diagonaliza a A es Q =

(2/√5 −1/

√5

−1/√5 2/

√5

)

, con |Q| = 1 y D =(4 00 9

)

. Luego, B1 = BQ = (16,−18). De este modo, la ecuacion dada se transforma en

4x21+9y2

1+16x1−18y1 = 11 y esta a su vez en

(x1 + 2)2

9+

(y1 − 1)2

4= 1, una elipse con centro

en (−2, 1) y semiejes mayor y menor de 3 y 2 unidades respectivamente en los ejes rotados y

trasladados, los cuales estan dados en las direcciones de los vectores ortogonales #«v1 y #«v2 . El

angulo de rotacion es tan θ =v21

v11

= 12, θ = tan−1(−2) ≈ 26.57o. La grafica es

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

x

y

x 1

y 1

x 2

y 2

#«v2

#«v1

b

θ


Ejemplo 7.15. Identifique y trace la grafica de la conica de ecuacion

9x2 + 6xy + y2 − 8√10 x+ 4

√10 y = 30.

237


Solucion. En este caso se tieneA =

(9 33 1

)

yB = (−8√10, 4√10). Los valores y vectores

propios de A son: λ1 = 10 con vector propio #«v1 =

(

31

)

y λ2 = 0 con vector propio #«v2 =

(

−13

)

.

Una matriz que diagonaliza ortogonalmente a A es Q =

(3√10− 1√

101√10

3√10

)

con D =

(10 00 0

)

y

B1 = BQ = (−20,−20).La ecuacion dada se transforma en 10x2

1− 20x1 + 20y1 = 30 o x2

1− 2x1 + 2y1 = 3. Al agrupar

y factorizar se obtiene (x1 − 1)2 = −2(y1 − 2), una parabola con vertice en V1(1, 2) en los ejes

rotados x1y1 que se abre en la direccion negativa del eje y1 . Los ejes x1 y y1 estan dados en las

direcciones de los dos vectores ortogonales #«v1 =

(

31

)

y #«v2 =

(

−13

)

con angulo de rotacion

θ = tan−1 13≈ 18.435.

La grafica es

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

y

x1

y1

x2

y2

b

#«v2

#«v1

θ


Suponga que la ecuacion (7.6) representa una conica. Sean λ1 y λ2 los valores propios de la

matriz simetrica asociada A de (7.4). Se tiene

1. Si λ1λ2 > 0, entonces (7.6) es una elipse.

2. Si λ1λ2 < 0, entonces (7.6) es una hiperbola.

3. Si λ1λ2 = 0, entonces (7.6) es una parabola.

Teorema 7.6.

238



1. A es invertible.






7. detA 6= 0.









16. kerA = 0. 17. ν(A) = 0. 18. imA = Rn. 19. ρ(A) = n.

20. Si A es la matriz de una transformacion lineal T : V 7→ V entonces

20.1. kerT = 0. 20.2. T es 1–1. 20.3. imT = Rn.

21. Todos los valores propios de A son diferentes de cero.


7.6. Ejercicios

1. Halle los valores propios y los espacios propios para las matrices:

(a) A =

(1 22 4

)

(b) A =

(1 3−2 −4

)

(c) A =

(3 1−1 1

)

(d) A =

(1 2−1 3

)

(e) A =

1 2 −11 0 14 −4 5

(f) A =

1 2 32 3 43 4 6

(g) A =

3 −2 12 −1 1−4 4 1

(h) A =

2 1 11 2 1−2 −2 −1

239


(i) A =

1 −2 2−2 1 22 2 1

(j) A =

1 −1 2−1 1 0−1 0 1

2. El polinomio caracterıstico de una matriz A2×2 con componentes reales es

p(λ) = (λ − 2)2, el espacio propio asociado a λ1 = 2 es E2 = gen

v1 =(

1

−1

)

. Ha-

lle la matriz A si (A− λ1I)(

1

0

)

= v1 .

3. Determine si A =

(2 10 2

)

y B =

(3 10 −2

)

son diagonalizables. Justifique claramente

su respuesta.

4. Sea A =

2 1 1 11 2 1 11 1 2 11 1 1 2

(a) Determine si λ = 1 y λ = 2 son valores propios de A.

(b) Halle el valor propio de A asociado al vector propio #«v1 =

1111

.

(c) Encuentre el espacio propio correspondiente al valor propio λ = 1.

(d) Determine la multiplicidad geometrica de λ = 1.

(e) Determine si A es diagonalizable. En caso afirmativo, halle una matriz invertible P

tal que P−1AP = D, donde D es una matriz diagonal. Recuerde: Mg(λ) ≤Ma(λ).

5. ¿Cuales de las siguientes matrices son diagonalizables?

(a) A =

1 1 −24 0 41 −1 3

(b) A =

4 2 32 1 2−1 −2 0

(c) A =

−1 2 22 −1 22 2 −1

6. ¿Para que valores de a, la matriz A =

1 0 00 2 1a 0 0

es diagonalizable?

7. Sea A =

a 2 2

2 a 2

2 2 a

. Halle el valor o valores de a de modo que λ = −1 sea un valor

propio de A. Diagonalice ortogonalmente la matriz A.

8. Diagonalice ortogonalmente las matrices simetricas

(a) A =

1 −2 2−2 1 −22 −2 1

(b) A =

−1 2 22 −1 22 2 −1

240


9. Calcule A10 si A =

3 2 42 0 24 2 3

. Use el hecho que A es diagonalizable.

En los ejercicos 11 y 12 realice lo que se plantea en los literales (a)–(e)

11. −2x2 + 10xy − 2y2 = 21.

12. x2 + 4xy + 4y2 + 4√5 x− 2

√5 y = 20

(a) Halle la matriz simetrica A que representa la forma cuadratica.

(b) Encuentre los espacios propios de la matriz A.

(c) Diagonalice ortogonalmente la matriz A.

(d) Elimine el termino cruzado e identifique la conica dada por la ecuacion.

(e) Realice el grafico de la conica donde muestre los ejes principales y el angulo de

rotacion.

13. Identifique y trace la grafica de la ecuacion dada.

(a) 9x2 + 2√6 xy + 4y2 = 30

(b) x2 + 4xy + y2 = 12

(c) x2 + 2√3 xy − y2 + 6x = 0

(d) 3y2 + 4xy + 2√5x+ 4

√5y = 1

(a) x2 − 2xy + y2 −√2x−

√2y = 0

(e) 9x2 + 6xy + y2 − 10√10 x+ 10

√10 y = −90

(f) x2 + 2xy + y2 +√2 x−

√2 y = 4


1. Consideree la matriz A =

3 2 4

2 0 2

4 2 3

.

(a) Verifique que λ = −1 es un valor propio de A.

(b) Compruebe que #«v =

2

1

2

es un vector propio de A y encuentre el valor propio

correspondiente.

(c) Halle el espacio caracterıstico correspondiente al valor propio λ = −1.(d) Determine una matriz ortogonal Q que diagonalice ortogonalmente la matriz A.

Recuerde: D = QTAQ.

(e) Use el hecho que A es diagonalizable ortogonalmente para calcular A3.

241


2. Considere la ecuacion cuadratica x2 − 6xy + y2 + 4√2y − 4

√2y = −8.

(a) Elimine el termino cruzado e identifique la conica dada por la ecuacion.

(b) Haga un grafico de la conica, donde muestre los ejes principales y el angulo de rotacion


mente sus respuestas

(a) Si λ = 0 es un valor propio de A, entonces la matriz es singular.

(b) Si λ es un valor propio de A, entonces −λ es un valor propio de −A.

(c) Si λ es un valor propio de una matriz invertible A, entonces 1/λ es un valor propio

de A−1.

(d) Si A tiene componentes reales, entonces sus valores propios son reales.

(e) Sea A una matriz de tamano 3 × 3. Si p(λ) = −(λ − 4)2(λ + 3) es el polinomio

caracterıstico de A, entonces A es diagonalizable.

242

Bibliografıa

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243

Este libro terminó de imprimirse en febrero de 2015, en los talleresgráficos de Publiprint S.A.S., bajo el cuidado del autor.

Pereira, Risaralda, Colombia.

Vivian Libeth Uzuriaga López (Colombia, 1970). Doctora

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