VM - 2-3 - Sistemas 1 GL
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8/15/2019 VM - 2-3 - Sistemas 1 GL
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SISTEMAS COM UM GRAUDE LIBERDADE
Inês J. Barbosa
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8/15/2019 VM - 2-3 - Sistemas 1 GL
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não harmónica
Se a força de excitação do sistema for não harmónica: Periódica (não harmónica)
Não periódica
Força Periódica (não harmónica): substitui-se pela soma
de funções harmónicas e usa-se o princípio dasobreposição para encontrar a resposta do sistema
Força Não Periódica: usa-se um dos seguintes métodospara se obter a resposta do sistema:
Integral de convolução Transformadas de Laplace
Métodos numéricos
138
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força periódica
Força de excitação periódica (não harmónica) com
período =2
:
Pode ser expandida em série de Fourier
em que
139
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força periódica
Equação do movimento num sistema 1ª ordem com
mola-amortecedor
em que y(t) é o movimento periódico
imposto ao sistema em A
Se for definido em série de Fourier, a
equação do movimento vem
140
com
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força periódica
Considerando que o lado direito da equação écomposto por uma constante e uma soma defunções harmónicas, usando o princípio da
sobreposição, a solução em regime estacionáriopode ser obtida pela soma das soluções destasfunções individuais
Equação do movimento de um sistema de 1ª ordem
sujeito a: Força constante :
Solução:
141
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força periódica
Equação do movimento de um sistema de 1ª ordem
sujeito a:
Força :
Solução:
Escrevendo a equação do movimento na sua forma
complexa como
Substituído e
como
142
ou
ou
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força periódica
Equação do movimento de um sistema de 1ª ordem
sujeito a:
Força :
Solução:
Ou seja
Se
143
ou
com
-
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força periódica
Equação do movimento de um sistema de 1ª ordem
sujeito a:
Força :
Solução:
Logo
144
ou
-
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força periódica
Equação do movimento de um sistema de 1ª ordem
sujeito a:
Força :
Solução:
Procedendo como anteriormente
Solução completa em regime estacionário:
145
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força periódica
Equação do movimento de um sistema de 1ª ordem
sujeito a força periódica:
Solução total
Solução homogénea:
C é obtido pelas condições iniciais. Se
Solução total
146
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força periódica
Equação do movimento de um sistema de 1ª ordem
sujeito a força periódica
Solução total:
147
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Exemplo 4.2148
Determine a resposta do sistema de amortecimento
na figura considerando que a equação do movimento
do sistema é dada por
e assuma a condição inicial .
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força periódica
Equação do movimento num sistema 2ª ordem com
massa-mola-amortecedor
Se a força de excitação for periódica,
a eq. do movimento pode ser expressa
em série de Fourier
149
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Exemplo 4.4150
No estudo de vibrações em válvulas de sistemas de controlo
hidráulico, a válvula e a sua haste elástica são modeladas como
um sistema massa-mola-amortecedor. Além das forças elástica e
de amortecimento, existe a força de pressão do fluído que faz
variar a abertura da válvula. Encontre a resposta da válvula emregime estacionário quando a pressão varia como indicado no
gráfico na figura.
Dados: k=2500N/m
c=10Ns/m
m=0,25 kg
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Exemplo 4.5151
Determine a resposta completa de um sistema de 1grau de liberdade com amortecimento viscoso sujeitoa uma excitação harmónica da fundação.
Dados: m=10 kgc=20 Ns/m
k=4000 N/m
y(t)=0,05.sin(5t) m
x0=0.02 m
x 0=10 m/s
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força periódica
Força de excitação periódica de forma irregular
Pode só ser possível de determinar experimentalmente
Exemplo: tremor de terra
não há função analítica
conhecida
152
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força periódica
Força de excitação periódica de forma irregular
Se se conhecer a força em determinados instantes t1, t2,…, tN,
pode-se integrar numericamente para encontrar os coeficientes
de Fourier
Se N for um número par de pontos equidistantes num
período T (T=N.t)
153
Resposta do sistema em
regime estacionário com
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Exemplo 4.6154
Determine a resposta em regime
estacionário da válvula na figura se
as flutuações de pressão na camara
forem periódicas. Os valores dapressão medidos em intervalos de
0.01 segundos num ciclo encontram-se
na tabela.
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica
Força de excitação não periódica
Exemplos: explosão, impacto
Métodos de obtenção da resposta:
Integral de Fourier Integral de convolução
Transformadas de Laplace
Integração numérica
155
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica
Integral de convolução
Força de excitação não periódica tem, normalmente,
uma magnitude que varia com o tempo
Actua durante um período e para Força mais simples: impulso elevada magnitude
período muito curto
Se e forem as velocidades da massa m antes de
depois do impulsoImpulso =
Se a magnitude da força for
156
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica
Unidade de impulso actuante em
Para F dt ter um valor finito, F tende para infinito (dt tendepara zero)
Este impulso unitário pode ser definido pela função delta
de Dirac
e a magnitude do impulso em
157
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica
Resposta de um sistema de um grau de liberdade a
uma força excitação impulsiva
Sistema massa-mola-amortecedor actuado por um
impulso unitário em
158
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica
Para um sistema sub-crítico, sendo a equação do
movimento dada por
Solução:
Se a massa estiver em descanso antes da aplicação doimpulso para ou , relação
impulso-quantidade de movimento
Impulso =
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica
As condições iniciais são, então:
Então, a solução vem
Resposta de um sistema de 1 grau de liberdade
sujeito a um impulso unitário
160
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica
Resposta função impulso - g(t)
161
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica
Se a magnitude do impulso não for unitária mas de
valor F
velocidade inicial =
resposta
Se o impulso F é aplicado num instante , a
velocidade irá mudar nesse instante em Se x=0 até o impulso actuar, em qualquer instante
subsequente, devido à alteração da velocidade, o
deslocamento será
162
= −
-
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Exemplo 4.7163
Num ensaio de vibrações a uma estrutura, usou-se um martelo de
impacto com uma célula de força para medir a força de impacto
por forma a causa uma excitação ao sistema. Assumindo m=5 kg,
k=2000 N/m, c=10 N.s/m e F=20 N.s, determine a resposta do
sistema.
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Exemplo 4.8164
Muitas vezes, impor apenas um impacto numa
estrutura é difícil. Em muitos casos, ocorre um segundo
impacto e a força F(t) pode ser expressa como
em que (t) é a função delta de Dirac e T indica o
tempo entre os dois impactos de magnitude F1 e F2.
Determine a resposta da estrutura sabendo que
m=5 kg, k=2000 N/m, c=10 N.s/m e F(t)=20
(t)+10 (t-0,2) N.
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica
Força de excitação arbitrária
Pode ser assumida como uma série de impulsos de
magnitude variável
165
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica
Se no tempo T, a força F(t) actuar o sistema durante
um período T muito pequeno
Impulso =F= F(t). T
O tempo desde a aplicação do impulso é t=t-Tlogo a resposta do sistema a este impulso no tempo
t é
Substituindo F:
166
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica
Resposta completa no tempo t é a soma de todas
as respostas aos impulsos elementares
Se e substituindo a soma por integração:
Donde resulta a resposta de um sistema de 1 grau
de liberdade a uma excitação arbitrária
167
Integral de convolução ou de Duhamel
Nota: massa
em repouso
antes da
aplicação do
impulso
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica
Se a fundação do sistema estiver sujeita a uma
excitação arbitrária, a equação do movimento
pode ser expressa em relação ao deslocamento
relativo da massa :
que é equivalente a
Idêntico a um sistema com aplicação de uma força
de excitação se
168
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica
Se o sistema for não amortecido e sujeito a um
movimento de excitação da base, o deslocamento
relativo pode ser obtido por:
169
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Exemplo 4.9170
Uma máquina de compactação é modelada como um sistema de
1 GL, como indicado na figura. A força que actua a massa m
(que inclui a massa do pistão, da plataforma e do material a ser
compactado) devido a uma aplicação súbita de pressão pode
ser considerada como indicado no gráfico na figura. Determine aresposta do sistema.
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Exemplo 4.10171
Determine a resposta da máquina de compactação
do exemplo anterior quando sujeita a uma força
como a indicada:
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Exemplo 4.11172
Se a máquina de compactação do exercício anterior
for sujeita a uma força constante durante ,
determine a resposta do sistema.
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Exemplo 4.12173
Determine a resposta de uma máquina de
compactação como a da figura quando uma força de
variação linear é aplicada devido ao movimento do
excêntrico.
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Exemplo 4.13174
A estrutura de um edifício é modelada como um
sistema não amortecido de 1 grau de liberdade.
Determine a resposta da estrutura se for sujeita a
uma explosão representada pelo impulso triangularno gráfico da figura.
Vib ã f d d i d 1 GL
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica
Espectro da resposta: gráfico onde se visualiza aresposta máxima (deslocamento, velocidade ouaceleração, …) em relação à frequência natural(ou período natural) de um sistema de 1 grau deliberdade sujeito a uma força de excitação Resposta máxima em cada sistema de um grau de
liberdade possíveis
Se a força de excitação for arbitrária, o espectroda resposta só pode ser obtido numericamente. Ovalor máximo da resposta de um sistema semamortecimento é:
175
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Exemplo 4.14176
Determine o espectro da resposta de um sistema não
amortecido sujeito à força sinusoidal na figura,
usando para condições iniciais:
Vib ã f d d i t d 1 GL
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica
Espectro de resposta a uma excitação da base
Se a base é sujeita a uma aceleração , a equação
do movimento em termos do movimento relativo
é dada por:
e a resposta por:
No caso de um impacto, geralmente usa-se o espectro
de resposta em velocidade
177
Vib ã f d d i t d 1 GL
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica178
Para um sistema sem amortecimento em vibração
livre:
Assim, o espectro de aceleração e o de
deslocamento podem ser obtidos em termos do
espectro de velocidade
Vib ã f d d i t d 1 GL
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica179
Considerando o amortecimento, assume-se que o
valor máximo do deslocamento relativo ocorre depois
do choque, e que a oscilação subsequente é
harmónica pseudo-espectro da resposta O espectro da velocidade relativa vem
ou
Vib ã f d d i t d 1 GL
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Sistema sujeito a força não periódica180
O espectro da resposta em velocidade
O pseudo-espectro da resposta
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Exemplo 4.15181
O tanque de água na figura é submetido a uma
aceleração do chão de variação linear devido a um
tremor de terra. A massa do tanque é m, a rigidez da
coluna é k e o amortecimento é desprezável. Determineo espectro da resposta para o deslocamento relativo z
do tanque de água.
Vib ã f d d i t d 1 GL
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Transformadas de Laplace182
Definição: Se uma função f(t) é definida para
≥ 0, a transformada de Laplace de f(t), é
definida por
em que s a variável de Laplace, geralmente
complexa
A função original depende de t e a suatransformada de Laplace depende de s
As funções transformadas são designadas por
maiúsculas: f(t) F(s)
Vib ã f d d i t d 1 GL
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Transformadas de Laplace183
A transformada de Laplace de em que é
constante é
A transformada de Laplace de uma soma linear é
Inversa da transformada de Laplace
Vibração forçada de sistema de 1 GL
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Transformadas de Laplace184
Transformada de derivadas
1ª derivada
2ª derivada
Valor inicial de f(t) f(t=0)
Vibração forçada de sistema de 1 GL
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Transformadas de Laplace185
Transformada de derivadas
nª derivada
Transformada de
Vibração forçada de sistema de 1 GL
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Transformadas de Laplace186
Integral de convolução
Seja f(t) definida como
então f(t) é a convolução das funções f1(t) e f2(t) no
intervalo 0
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Transformadas de Laplace187
Encontrar a resposta de um sistema sujeito a uma
força de excitação através da transformada de
Laplace:
Escrever a equação do movimento do sistema Transformar cada termo da equação usando as
condições iniciais
Resolver para a transformada da resposta do sistema
Obter a resposta usando a inversa da transformada
de Laplace
Vibração forçada de sistema de 1 GL
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Vibração forçada de sistema de 1 GL
Transformadas de Laplace188
Resposta do sistema no domínio de Laplace
Valor inicial da resposta x(t=0)
Resposta em regime estacionário
Resposta de um sistema de 1 GL
Seja a equação do movimento
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Exemplo 4.19189
Encontre a solução da equação se a
força de excitação for um impulso unitário em t=0 e
determine os valores iniciais da resposta e a resposta
em regime estacionário.
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8/15/2019 VM - 2-3 - Sistemas 1 GL
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Exemplo 4.20190
Encontre a solução da equação se a
força de excitação for uma função em rampa.
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8/15/2019 VM - 2-3 - Sistemas 1 GL
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Exemplo 4.21191
Encontre a resposta de um sistema massa-mola-
amortecedor sub-amortecido sujeito a um impulso
unitário.
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8/15/2019 VM - 2-3 - Sistemas 1 GL
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Exemplo 4.22192
Uma massa m desloca-se com velocidade v1 e colide
com a massa M do sistema de 1 grau de liberdade
na figura e fica agarrada a essa massa M depois do
impacto. Determine o deslocamento do sistema.
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Exemplo 4.23193
Uma massa m desloca-se com velocidade v1 e colide
com a massa M do sistema de 1 grau de liberdade na
figura. A colisão é perfeitamente elástica e, depois do
impacto, a massa m ressalta com velocidade v1 .Determine o deslocamento da massa M.
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Exemplo 4.24194
Determine a resposta de um sistema de 1 GL sub-
amortecido a uma função em degrau unitária.
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Exemplo 4.25195
Encontre os valores iniciais e de regime estacionário
da resposta de uma sistema de 1 GL sub-amortecido
a uma função em degrau unitária, utilizando a
resposta do exemplo anterior.