ISSN 1988-5318

EDITORES

Juan Cuadra Díazjcdiaz@ual.es

Juan José Moreno Balcázarbalcazar@ual.es

Fernando Reche Loritefreche@ual.es

Resumen

Actividad Matemática p. 2

Enseñanza Secundaria p. 8

Divulgación Matemática p. 13

Concurso de problemas p. 15

Territorio Estudiante p. 22

Editorial

Con este número finaliza el Boletín su segundo curso académico. Aquella ideaque maduró en el verano de 2007, y que surgió del interés por divulgar, desdela UAL, las Matemáticas a toda la sociedad, se ha hecho hoy día una magní-fica realidad. Creemos que es el momento justo de dar gracias a las cerca detreinta personas involucradas en su elaboración por el excelente trabajo quehan realizado y la energía invertida en el proyecto (una foto muy reciente decasi todos nosotros la podéis encontrar en la contraportada de este número yen la web). ¡Gracias a todas y a todos!

Dicho esto, no debemos caer en la autocomplacencia. Hemos de intentarque el Boletín sea más útil cada día, se divulgue más y siga aumentado labuena conexión que estamos consiguiendo entre Secundaria y Bachillerato yla Universidad. En los próximos meses nos enfrentamos a la elaboración delgrado de Matemáticas en la UAL y al máster de profesorado de Secundaria yBachillerato. Ambas tareas serán arduas, y esperamos que el Boletín sea forode opinión y de cohesión en estos temas que tanto preocupan en estas etapaseducativas. ¡Que todo sea en beneficio de las Matemáticas!

Concurso de resolución de problemas

Ganadores del concurso

Los alumnos de 4.o ESO C del IES«La Puebla» de la Puebla de Vícar,junto con las alumnas Lorena Roda yMaría del Carmen Cervilla del mismocentro, han sido los ganadores de estaedición del concurso de resolución deproblemas. ¡Enhorabuena!

El problema propuesto en este nú-mero lo puedes encontrar en la pági-na 15 y las bases del concurso en lapágina web del Boletín. ¡Anímate yparticipa!

Tenemos el enorme placer de entrevistar en este número a Dña. Olga GilMedrano, Presidenta de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

En esta interesante entrevista nos informa sobre las actividades que dichasociedad lleva a cabo y comparte con nosotros sus opiniones y reflexiones sobrealgunos temas matemáticos de candente actualidad.

(Artículo completo en la página 2)

Olga Gil: «Entre el inmovilismoy el cambio continuo debe haberalgún término medio»

Dña. Olga Gil Medrano

BOLETÍN DE LA TITULACIÓN DE MATEMÁTICAS DE LA UAL

Bo√TitMatUal

Volumen II. Número 3 20 de abril de 2009 ‖

Bo√TitMatUal

Actividad Matemática Volumen II. Número 3 2 / 24

ENTREVISTA

Olga Gil MedranoPresidenta de la Real Sociedad Matemática Española

Juan Cuadra DíazJuan José Moreno BalcázarUniversidad de Almería

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Dña. Olga Gil Medrano, Presidenta de la RSME

La Dra. Gil Medrano es profesora del Departamentode Geometría y Topología de la Universidad de Valencia.Desde octubre de 2006 es presidenta de la Real SociedadMatemática Española (RSME), siendo la primera mu-jer en ocupar este cargo. Amablemente ha accedido a serentrevistada por esta revista.

< ¿Cuántos socios tiene actualmente la RSME?En la actualidad somos aproximadamente 1700 socios.

De los cuales unos 350 son estudiantes y otros 150 son so-cios institucionales, es decir, Departamentos, Facultades oCentros de Enseñanza Secundaria.

< ¿Cuáles están siendo las actuaciones básicas dela RSME durante su presidencia?

Comencé mi presidencia en octubre de 2006 y –sin lu-gar a dudas– el evento de mayor envergadura que ha en-carado la RSME en este tiempo ha sido la organización dela Olimpiada Matemática Internacional, el pasado mes dejulio. Para sacarlo adelante con éxito ha sido necesaria lamovilización y gestión de recursos económicos y humanossin precedente para nuestra sociedad.

«El evento de mayor envergadura que haencarado la RSME en este tiempo ha sido laorganización de la Olimpiada Matemática

Internacional»

Por lo demás, las actuaciones durante estos años sonen gran medida el mantenimiento y mejora de las activi-dades ya existentes. Por ejemplo, durante 2007 se rediseñóla página web desde el punto de vista estético y en su es-tructura interna, lo que permite que se mantenga muchomás al día. Junto con el boletín electrónico semanal, pre-tendemos la comunicación puntual a los socios de nuestrasactividades y de todo aquello que pudiera ser de su interés.

A partir de 2008, La Gaceta ha pasado a tener cua-tro números anuales, en lugar de tres, se han revisado suscontenidos y secciones a la vez que se ha modernizadosu formato y mejorado la calidad de impresión, todo elloconservando los aspectos que la hacían una revista muyapreciada desde su primer volumen en el 98. La Gace-ta Digital se ofrece en abierto a muchas universidades depaíses iberoamericanos en vías de desarrollo, sirviendo asícomo instrumento de cooperación.

La página Divulgamat es un instrumento de difusiónde las Matemáticas abierto: un centro virtual de divul-gación. Hemos puesto al día su diseño interno y externo,manteniendo sus contenidos que la hacen muy visitada. Esla piedra angular de la labor de difusión de las Matemá-ticas entre públicos amplios que lleva a cabo la sociedad:organizamos concursos literarios, exposiciones que se po-nen a disposición de facultades o institutos, coeditamoslibros, participamos en la ferias de la ciencia, organizamosla OME.

Para fomentar las vocaciones femeninas, se han organi-zado ciclos de conferencias, un folleto y exposiciones itine-rantes tendentes a hacer visible el trabajo de las mujeresen Matemáticas.

Se ha puesto en marcha un apartado de oportunidadesprofesionales y se ha hecho un informe sobre las salidasprofesionales de las Matemáticas al que se ha dado ampliadifusión.

Se han escrito informes sobre distintas cuestiones re-lativas a temas de educación y de investigación. En esteterreno, hemos continuado la organización de reuniones ycongresos, además de las escuelas de verano, la coediciónde libros con la AMS y la concesión de los premios deinvestigación para jóvenes matemáticos.

Desde principio de este año, estamos comenzando atrabajar para hacer una celebración del Centenario comola ocasión se merece, durante el año 2011.

< El número de alumnos en titulaciones como Ma-temáticas o Física viene decreciendo en los últimosaños. Una situación similar se vive en el bachillera-to científico-tecnológico. ¿Qué medidas cree que sepueden tomar para invertir esta tendencia? Comopresidenta de la RSME, ¿qué cree que se debe ha-cer en las etapas preuniversitarias para fomentarvocaciones científicas y, en especial, Matemáticas?

No creo que haya un fórmula que se pueda aplicar fácil-mente. La sociedad en la que vivimos es tan cambiante quecualquier idea que parece exitosa, al poco tiempo empiezaa perder eficacia. Quizá es que carecemos de un verdade-ro diagnóstico del problema y estamos pues aplicando tansolo remedios sintomáticos.

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Actividad Matemática Volumen II. Número 3 3 / 24

Se suele hablar de que falta una cultura del esfuerzoentre los adolescentes y sin embargo todos los días vemoscómo están dispuestos a hacer grandes sacrificios por man-tener una buena forma física, seguir un canon de bellezao disfrutar de un concierto o una competición deportiva.

«Los profesores necesitan estar al día de losavances de las matemáticas»

Cada vez me convenzo más de que el único factor co-mún de todos los ejemplos con buenos resultados es elfactor humano. Siempre hay detrás una persona (general-mente un profesor) que con su entusiasmo, dedicación ycarisma ha influido en la vocación.

Desde las facultades, deberíamos hacer sentir a los pro-fesores de secundaria, y en general a todos los licenciados,que tienen las puertas abiertas. Pensar que la formacióncontinua del profesorado sólo consiste en cursos de carác-ter didáctico o adaptación a las nuevas tecnología es unerror.

Los profesores necesitan estar al día de los avances delas matemáticas, de los nuevos enfoques y de las interco-nexiones con otras ciencias y no se puede esperar que estolo tengan que hacer en sus ratos libres, sin ninguna recom-pensa. Las facultades de ciencias pueden contribuir, juntoa las sociedades científicas y las sociedades de profesores,a poner en sus manos este material divulgativo.

< Ante la próxima desaparición del CAP, que serásustituido por el denominado Máster de Formaciónde Profesorado de Educación Secundaria, hay quie-nes creen que, dadas las características de acceso adicho máster, puede haber una disminución de laformación científica del profesorado de Secundariay Bachillerato. ¿Qué piensa usted al respecto?

El problema no está sólo en el acceso al Máster sino enel acceso al ejercicio profesional. El criterio de selecciónpara acceder a la especialidad de Matemáticas del Más-ter dependerá de las universidades que lo impartan con elvisto bueno de ANECA y las Comunidades Autónomas.

«Pensar que la formación continua delprofesorado sólo consiste en cursos de

carácter didáctico o adaptación a las nuevastecnología es un error»

La pregunta es si para dar clase de matemáticas y enparticular para acceder a la oposición de Profesor de Mate-máticas se exigirá haber cursado la especialidad de Mate-máticas del Máster. Estoy segura de que en algunas Comu-nidades Autónomas y universidades funcionará bien, perola diversidad es amplísima y los mensajes que intentamostrasmitir desde las sociedades matemáticas o la conferen-cia de decanos no es fácil que lleguen a todos los agentesinvolucrados. Los actuales titulados de ingenierías y deciencias no tienen formación suficiente para ser profesoresde matemáticas.

Ni que decir tiene que los titulados en matemáticastampoco tenemos formación para dar clase de física y quí-mica. El Máster no es el lugar de completar estas carencias,como tampoco lo era el CAP. Los contenidos matemáticosdeberían obtenerlos estos titulados como requisito previopara la admisión.

< Del borrador del estatuto del profesorado uni-versitario se puede deducir que se van a establecerdiferentes perfiles de profesorado: unos más docen-tes, otros más investigadores u otros con un perfilde gestor. ¿Cual es su opinión sobre esto?¿Cómocree que puede influir en la investigación matemá-tica?

Estén o no reconocidos en el papel, estos perfiles deprofesor universitario ya existen en la práctica, de la mis-ma forma que existe el profesor que reparte sus energíasen los tres frentes.

El hecho de que estos perfiles estén reconocidos y acep-tados puede eliminar tensiones y a la larga ser positivopara la investigación. Otro tema, ahora en forma de bo-rrador y que quizá tenga más influencia en la investigaciónmatemática, es la ley de la ciencia.

Para mí, el riesgo está en que la universidad se vayaviendo cada vez más como una institución que imparte ygestiona la docencia y que la investigación e innovaciónse haga esencialmente fuera de ella o tan solo en aquellasuniversidades que formen la primera división.

Estoy contestando justo el día en que están tomandoposesión los nuevos ministros y por lo tanto el futuro deestos borradores es difícil de predecir. Esta sensación decambio continuo y de indefinición del papel del profesoruniversitario es realmente perjudicial para el desarrollo dela investigación por parte de este colectivo.

«El riesgo está en que la universidad se vayaviendo cada vez más como una institución que

imparte y gestiona la docencia y que lainvestigación e innovación se haga esencialmente

fuera de ella»

Entre el inmovilismo y el cambio continuo debe ha-ber algún término medio que seguro convendría más a unsistema de creación y transmisión del saber.

< Es usted la primera mujer que ocupa la presi-dencia de la RSME, ¿cómo se siente?

La verdad es que para mí es un honor presidir la RS-ME y creo que lo es para cualquier matemático español,sea hombre o mujer. El hecho de que yo sea mujer le hadado más visibilidad a la sociedad, porque los medios decomunicación se han interesado más por mí, así que si conesto he conseguido hacer publicidad de la RSME y de lasmatemáticas en general pues me siento orgullosa.

«El hecho de que yo sea mujer le ha dado másvisibilidad a la sociedad, porque los medios decomunicación se han interesado más por mí»

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Actividad Matemática Volumen II. Número 3 4 / 24

Me gusta pensar que llegará un momento –y esperoque no muy lejano– en que esto deje de ser digno de men-ción, porque la participación de las mujeres en todos losaspectos de la vida matemática sea equilibrada, como yalo es por lo que respecta a los estudiantes de la carrera oa los profesores de instituto.

< ¿Cómo se las arregla para compatibilizar su car-go con sus tareas universitarias?

Una de las cuestiones que dificulta la compatibilidadcon la actividad docente son los continuos viajes; esto seacrecienta en mi caso por el hecho de que yo no vivo enMadrid y también por mi pertenencia al comité ejecuti-vo de la Sociedad Matemática Europea hasta principio deeste año y por haber asumido la presidencia del ComitéEspañol de Matemáticas, a principio del pasado año.

Cuento con la ayuda y comprensión de mis compañe-ros de departamento, en particular de quienes compartenmaterias conmigo y me sustituyen siempre que es necesa-rio.

En cuanto al tiempo necesario para trabajar en los di-versos frentes: gestión de la sociedad, docencia, investiga-ción, creo que el secreto es que me vuelco en ello de formaapasionada y puedo dedicarle muchas horas sin sentir elcansancio.

< Para finalizar, ¿le gustaría añadir algo más?Tan sólo que os felicito por esta publicación: por la ilu-

sión y el esfuerzo que ponéis en ella y porque estoy segurade que contribuye muy eficazmente a crear y mantener laafición y el interés por las matemáticas entre aquellos alos que va dirigida.

Actividades matemáticas

Acto de entrega del premioa la ganadora del concursode resolución de problemas

La ganadora con dos editores delBoletín y su profesor

El pasado viernes 6 de febrero, enun acto celebrado en el IES «CerroMilano» de Alhama de Almería, sehizo entrega a la alumna de dicho cen-tro Lorena Beltrán González del pre-mio que la acredita como ganadora delconcurso de resolución de problemasmatemáticos convocado en la ediciónanterior del Boletín.

La ganadora con los regalos

En dicho acto participaron tres delos editores del boletín, el director del

centro y el profesorado de matemáti-cas del mismo, junto con el alumna-do de Bachillerato que manifestó estarmuy ilusionado con el hecho de que elpremio hubiera recaído en su compa-ñera.

Un momento de la charla

Además del propio acto de entre-ga, el editor del boletín y profesorde Álgebra Juan Cuadra Díaz impar-tió una amena charla al alumnado so-bre la aritmética circular y su aplica-ción a ejemplos tan cotidianos comoel cómputo de la letra del DNI o elcódigo de control de nuestras cuentasbancarias.

Alumnado atendiendo a la charla

XLV Olimpiada Matemática

La fase local correspondiente a laXLV edición de la Olimpiada Matemá-tica organizada por la Real SociedadMatemática Española (RSME), tuvolugar los días 23 y 24 de enero en elAula 2 del Aulario II de la Universidadde Almería. Para el citado evento, es-taban convocados un total de 151 es-tudiantes de matemáticas de toda laprovincia.

Aspecto de una de las aulas

La participación en la olimpiada esvoluntaria, y suele estar supervisadapor los profesores de bachillerato dematemáticas de todos los institutos deAlmería.

Esta actividad matemática está di-señada para que alumnos matricula-dos en bachillerato durante el cursoacadémico 2008-2009 puedan medir sucapacidad de afrontar retos matemá-ticos que van más allá de los proble-mas y ejercicios de clase, aunque endeterminados casos se permite la par-ticipación de alumnos de 2.o ciclo de

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Actividad Matemática Volumen II. Número 3 5 / 24

ESO considerados de altas capacida-des, una vez han sido avalados por es-crito por sus profesores.

El certamen celebrado este año seestructuró en dos sesiones diarias, unade mañana y otra de tarde, como vie-ne siendo habitual en las olimpiadasmatemáticas de la RSME, predomi-nando fundamentalmente los proble-mas de tipo analítico y geométrico.

La competición estuvo en esta oca-sión muy reñida, y se decidió porun escaso margen de diferencia. Losalumnos premiados fueron:

1. Rubén Mínguez Rodríguez, 19puntos, IES «Alborán» (Alme-ría).

2. José Miguel Martín Espinosa, 18puntos, IES «Fuente Nueva»(El Ejido).

3. Francisco Jesús Escamilla Gar-zón, 16 puntos, IES «Abdera»(Adra).

Los resultados reflejan el alto nivelmatemático mostrado por el alumna-do almeriense de la provincia, lo cualpermite vislumbrar un estupendo fu-turo para nuestra titulación.

La Olimpiada Matemática recibeel patrocinio de la Subdirección Ge-neral de Becas y Promoción Educativadel Ministerio de Educación, PolíticaSocial y Deporte, que ha obsequiadoa los tres primeros clasificados de estaedición, con un premio en metálico de380, 285 y 220 euros, respectivamen-te; por su parte, la RSME les concedeuna suscripción gratuita en calidad desocios-estudiantes de un año de dura-ción, que les permitirá recibir la Ga-ceta de la RSME y disfrutar de otrasventajas.

Existe una dirección web 1 dondepodéis encontrar los enunciados y so-luciones de los problemas de las faseslocal y nacional respectivamente.

Por nuestra parte, sólo nos quedafelicitar a los ganadores provincialesy animar a todos los estudiantes debachillerato a que participen en estetipo de concursos en los que se pre-tende motivar e incentivar el talento

matemático de los jóvenes almerien-ses.

XXV Olimpiada Matemáti-ca Thales

Alumnado participante

El pasado día 28 de marzo se ce-lebró en Albox la vigésimoquinta edi-ción de la fase provincial de la Olim-piada Matemática, organizada por laSociedad Andaluza de Educación Ma-temática Thales.

Las pruebas se celebraron en losIES «Cardenal Cisneros» y «Mar-tín García Ramos». Esta actividad,enfocada al alumnado de 2.o de ESO,fue todo un éxito de participación yaque se desplazaron a Albox cerca de400 alumnos y alumnas de toda la pro-vincia de Almería.

Participantes en el bingomatemático

Para culminar la jornada de con-vivencia entre profesorado, alumnadoy organización, se elaboró una paellagigante. Finalmente, y como colofónal día, el alumnado participó en un«bingo matemático» que resultó muyameno, divertido e instructivo.

Una vez evaluadas las pruebas, seproclamaron los 20 primeros clasifica-dos y la entrega de premios se celebróel viernes 17 de abril en el salón deactos del Ayuntamiento de Albox.

Acto de entrega de premios

En el acto estuvieron presentes el al-calde de la localidad D. José García,la diputada de juventud de la Dipu-tación de Almería Dña. Emma Sola, elvicedecano de Matemáticas de la Fa-cultad de Ciencias Experimentales dela UAL D. Juan José Moreno, el dele-gado provincial de Thales en AlmeríaD. Juan Girado, así como representan-tes de las instituciones colaboradorasen el evento.

Alumnado premiado

Además de la entrega de premios,se otorgó el premio Paco Anillo a lasolución más original y se anunció elnombre de las 5 personas que repre-sentarán a nuestra provincia en la fa-se regional que se celebrará en Huelvadel 19 al 23 de mayo.

Representantes de nuestraprovincia en la fase regional

Más información sobre el evento(bases, fotografías, resultados, etc.)en thales.cica.es/almeria/ .

1platea.pntic.mec.es/csanchez/olimprab.htm

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Actividad Matemática Volumen II. Número 3 6 / 24

XVI Encuentro de Topolo-gía y curso avanzado de Teo-rías Cuánticas de CamposTopológicas

La Universidad de Almería aco-gerá, del 19 al 24 de octubre de

2009, el XVI Encuentro de Topolo-gía y un curso avanzado de TeoríasCuánticas de Campos Topológicas, enlos que se abordarán temas canden-tes de la Topología y sus aplicaciones,y se explicarán algunas relaciones en-

tre la Física y las Matemáticas descu-biertas recientemente. Podréis encon-trar información detallada en la webwww.ual.es/Congresos/topologia.

Noticias matemáticas

Gromov, premio Abel 2009

Mikhail Leonidovich Gromov

El 26 de marzo de 2009 le fue concedido al matemáti-co ruso-francés Mikhail Leonidovich Gromov 2 el premioAbel 2009 que otorga la Academia de Ciencias y Letras deNoruega, considerado para las Matemáticas como el equi-valente al premio Nobel.

Gromov nació en Boksitogorsk (Rusia) en 1943 y senacionalizó francés en 1992, país en el que actualmentetrabaja. El premio le ha sido otorgado «por sus revolucio-narias aportaciones a la Geometría».

Noticia en el Wall Street JournalEl número 165 del Boletín de la RSME en su sección

«La noticia de la semana» se hizo eco de una impor-tante noticia aparecida el pasado día 6 de enero de 2009en la edición digital del Wall Street Journal. Se tratade un artículo 3 en el que se resume un estudio reali-zado por la web estadounidense de orientación laboral

(www.careercast.com/jobs) en el que se coloca a la pro-fesión de matemático en primer lugar entre un total de200 profesiones. El estudio contempla diferentes criterios:proyección profesional, ambiente laboral, salario, exigen-cia física, nivel de estrés, etc.

Concursos matemáticos

La Sociedad Andaluza de Educación Matemática Tha-les de Almería organiza diferentes concursos de partici-pación matemática: I Concurso de Vídeo Matemático deAlmería, II Concurso de Dibujo Matemático de Almería yII Concurso de Fotografía Matemática de Almería. Más in-formación sobre estos concursos en thales.cica.es/almeria.

I CONCURSO DE VIDEOMATEMÁTICO DE ALMERÍA

¿Eres capaz de grabar un video en

minutos????

CEP ALMERÍA - CEP EL EJIDO - CEP CUEVAS-OLULA

Titulación de Matemáticas

Cartel anunciador del concurso de vídeo

Nos visitaron...

En el transcurso de estos meses nos han visitado nu-merosos investigadores de diferentes universidades con lasque los grupos de investigación de la UAL colaboran acti-vamente en el desarrollo de su actividades.

Tuvimos el honor de tener entre nosotros a: NicolásAndruskiewitsch, Sonia Natale y Fernando Fantino, de laUniversidad Nacional de Córdoba (Argentina); AlejandroZarzo Altarejos y Sonia Rueda Pérez, de la Universidad

Politécnica de Madrid; Lidia Fernández Rodríguez y An-tonio Peralta Pereira, de la Universidad de Granada; PeterSchenzel, del Instituto de Informática de la UniversidadMartín Lutero de Halle-Wittenberg (Alemania); JoaquínSánchez Lara, de la Universidad de Sevilla; Vitor Sousa,de la Universidad de Aveiro (Portugal); Winfried Bruns,de la Universidad de Osnabrück (Alemania) y Lutz Strün-gamnn de la Universidad de Duisburg-Essen (Alemania).

2www.abelprisen.no/nedlastning/2009/citation_es_gromov.pdfwww.abelprisen.no/nedlastning/2009/biography_es_gromov.pdf3online.wsj.com/article/SB123119236117055127.html

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Actividad Matemática Volumen II. Número 3 7 / 24

Preguntas frecuentesJosé Carmona Tapia y José Escoriza López

Universidad de Almería

¿Es una buena opción elegir Matemáticascomo carrera a cursar en la UAL?

Aunque la elección de cada uno depende de su vocacióny habilidades, a continuación damos una serie de razones(publicadas en números anteriores) por las cuales la elec-ción puede ser afortunada.

P De un matemático se valora su versatilidad paraadaptarse a una situación nueva, su rigurosidad ycapacidad de organización para afrontar y resolverproblemas, su competencia en análisis y sistemati-zación de tareas. En la UAL se educa al estudianteen un modo de pensar basado en el rigor científico, elcontraste de pareceres y la crítica constructiva. Ac-tualmente hay matemáticos investigando en temastan actuales como la criptografía, modelos de creci-miento tumoral, astronomía, visión artificial, teoríade juegos, etc. También trabajan para entidades fi-nancieras, empresas de seguros o informáticas, cen-tros de cálculo y de planificación, asesorías técnicasde cadenas industriales en labores de logística (op-timización de recursos y procesos, redes de comuni-cación, desarrollo de aplicaciones informáticas,...).

P La incorporación de los titulados en matemáticasal mercado laboral es un proceso muy rápido. Alcabo de 2 años el índice de desempleo es sólo del5%, y la ocupación es casi plena (98, 2%) despuésde 5 años. Además, el 52% obtiene un empleo esta-ble en menos de 6 meses, y tras 2 años, el porcentajealcanza el 80, 9%.

P Sus salidas profesionales mayoritariamente sonen docencia e investigación, informática y telecomu-nicaciones o bien en industria, finanzas y consulto-ría.

P La titulación de matemáticas de la UAL cuenta conun profesorado altamente cualificado para ladocencia, con especial interés en las nuevas tecnolo-gías y metodologías docentes y atención individuali-zada al alumno. De hecho, la «innovación docente» ylas «TICs en el aula» son ya una realidad en primercurso de la licenciatura de matemáticas. Algunos do-centes emplean técnicas de trabajo en grupo, tra-bajo colaborativo. La mayor parte de los cursos es-tán empleando el aula virtual (plataforma WebCT),los materiales elaborados están siempre a disposicióndel alumno a través de esta plataforma, mediante lacual se pueden plantear actividades de autoevalua-ción, trabajo en grupo, exámenes, etc.

Alumnado utilizando la pizarra digital

También se emplea la pizarra digital que, entre otrascosas, permite disponer de forma inmediata de todaslas anotaciones del profesor en la pizarra, mejoran-do la eficacia de los apuntes del alumno («obtén tusapuntes directamente de la pizarra»). Muchas de lasclases están apoyadas por software matemático deprimer nivel como Mathematica y, en cursos poste-riores,Matlab, cuyo uso está ampliamente difundidoen la empresa privada.

P La dotación informática de la UAL hace que sedisponga de aulas especialmente preparadas con elsoftware necesario para estudiar las asignaturas des-de un punto de vista moderno y práctico, donde cadaalumno dispone de un ordenador para él solo.

P La opinión del alumnado sobre la labor docentedel profesorado que imparte clase en la Titulaciónde Matemáticas de la UAL es (curso 2007-2008) de4, 28 sobre 5. La media global de toda la Universidadde Almería es de 4, 00.

P La UAL cuenta con una variada gama de activi-dades sociales. Desde el Vicerrectorado de Estu-diantes y Empleo se apoya el asociacionismo y laparticipación así como el voluntariado y la solidari-dad. Además, te ofrece actividades complementariasel Vicerrectorado de Cultura, Extensión Universita-ria y Deportes, como el cineclub universitario, el au-la de teatro, etc. El Servicio de Deportes disponede una gran cantidad de instalaciones y un progra-ma de actividades físico-deportivas actualizado men-sualmente.

Con toda esta información, tú decides.

¿Por qué se ha declarado 2009 año interna-cional de la Astronomía?

La Asamblea General de las Naciones Unidas proclamóeste año como el Año Internacional de la Astronomía con

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Enseñanza Secundaria Volumen II. Número 3 8 / 24

objeto de concienciar a los ciudadanos de la importanciade esta ciencia y de promocionar el acceso general a losconocimientos y experiencias astronómicas.

En 2009 se cumplen 400 años desde que Galileo Galileidescubriese, mediante el uso del telescopio, los 4 satélitesmayores de Júpiter, las montañas de la Luna, las estrellasde la Vía Láctea y «algo extraño» en Saturno.

¿Hay alguna relación entre Astronomía yMatemáticas?

La Astronomía estudia el comportamiento de los cuer-pos celestes. Este estudio incluye movimientos, posicionesrelativas, estructuras y evolución de los citados cuerpos,lo que lleva a fórmulas, teorías e hipótesis, coordenadas ygeometrías que entran de lleno en el campo de las Mate-máticas. De hecho, la Astronomía ha llegado a ser estu-diada como una especialidad dentro de la licenciatura deMatemáticas.

Entre las actividades previstas para el Año Interna-

cional de la Astronomía están el proyecto «Ella es unaastrónoma» y la elaboración del calendario «Astrónomasque hicieron Historia» que estará coordinado por Josefi-na F. Ling. Ella descubrió en 1992 la estrella que compartesu nombre, Ling I, que brilla en el firmamento a 3046 añosluz.

Josefina F. LingUniversidade Santiago de CompostelaObservatorio Astronomico RM Aller

EXPERIENCIA DOCENTE

Teselando mi camisetaUn taller en la hora del recreo

Rosa Ana Ramírez CamposIES Manuel de Góngora (Tabernas)

Desde hace varios años, en el IES«Manuel de Góngora» se llevan a ca-bo talleres durante los recreos. El re-creo en este centro tiene una duraciónde 30 minutos así que los diez prime-ros minutos se le deja al alumnado pa-ra que desayune y en los otros veinteminutos se realizan los talleres.

Estos talleres son propuestos aprincipio de curso por cada uno de losdepartamentos o por profesores indi-vidualmente y se temporalizan de for-ma que no coincidan dos talleres elmismo día y estén repartidos a lo largode todo el curso. Son totalmente vo-luntarios y el alumnado participa enaquel que le sea de más interés.

Los talleres realizados son de di-versa índole como taller de ajedrez,de teatro, de baile de cabaret, de re-ciclaje, de yoga, etc. Desde el Depar-tamento de Matemáticas se llevaron acabo en el curso 2007-2008 dos talle-res, uno en el segundo trimestre sobreOlimpiadas Matemáticas y otro en eltercer trimestre titulado «Teselandomi camiseta».

El primer taller de Olimpiadas

Matemáticas va dirigido al alumnadode primer ciclo de ESO y consiste enla realización de problemas de olim-piadas matemáticas de años anterio-res. A este taller asistieron alumnos yalumnas de 2.o de ESO que tenían in-terés por asistir a la fase provincial delas Olimpiadas Matemáticas de Tha-les.

Alumna dibujando las teselas

El segundo taller «Teselando micamiseta» iba dirigido al alumnadode 2.o ciclo y se llevó a cabo al tér-mino del tema de «Movimientos en elplano» de 3.o de ESO.

Aprovechando que en dicho temase introduce el concepto de teselas,mosaicos y recubrimientos del planoteníamos las condiciones óptimas pa-ra realizar una actividad práctica so-

bre dicho tema.

Comenzamos el taller repasandolos conceptos matemáticos anterior-mente nombrados ya que el alumnadode 3.o lo acababa de estudiar pero elalumnado de 4.o no lo había estudiadodesde el año anterior.

Alumnas recortando

Una vez hecho el repaso y recorda-do al alumnado qué tipos de figurasgeométricas recubren el plano tam-bién estudiamos los mosaicos de la Al-hambra así como los mosaicos de Es-cher.

A continuación los alumnos yalumnas eligen el modelo de mosaicoy crean las teselas por medio del pro-grama Geogebra.

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Enseñanza Secundaria Volumen II. Número 3 9 / 24

Trabajando en grupo

Estas teselas se calcan sobre rodi-lleras autoadhesivas de colores. Unavez que están todas la teselas recor-tadas se monta el mosaico sobre la ca-miseta y se plancha.

Planchando las teselas

Este taller tuvo gran aceptación.El alumnado en pocas sesiones realizósu propio diseño de camiseta y cadauno le dio su toque personal. El éxitode esta actividad radica en la aplica-ción práctica de un tema estudiado enclase y puesto en práctica por el alum-nado, así como en el hecho de que cadacamiseta es única.

El resultado final

Cuando al comienzo de este cur-so escolar les pedimos a los alumnos yalumnas que nos dejaran sus camise-tas para poder exponerlas en EXPO-MAT, nos encontramos con que algu-nas de las camisetas estaban estropea-das de habérselas puesto todo el ve-rano y otras que eran de alumnos que

ya no estaban en el centro y no podía-mos disponer de ellas, así que decidi-mos realizar el taller en el mes de oc-tubre para que estuvieran hechas parala exposición.

Nos llevamos una grata sorpresa alpedirnos alumnos y alumnas de todoslos cursos participar en el taller, aun-que algunos de ellos no tenían ningúnconocimiento sobre los conceptos ma-temáticos que se tratan en el taller.

Las camisetas en EXPOMAT

Mi experiencia personal de este ta-ller es muy satisfactoria ya que nosiempre tenemos ni el tiempo, ni losrecursos necesarios para realizar acti-vidades matemáticas y mucho menosconseguir motivar al alumnado a rea-lizar actividades de Matemáticas to-talmente voluntarias, y menos en sutiempo de descanso como es el recreo.

EXPERIENCIA DOCENTE

La Olimpiada EstadísticaParticipan alumnos del IES Santo Domingo (El Ejido)

Eva Acosta GavilánIES Santo Domingo (El Ejido)

Alumnos del IES «Santo Domingo» (El Ejido), par-ticipan en la Competición Internacional de AlfabetismoEstadístico organizada por el Proyecto Internacional deLiteraria Estadística de la IASE.

Esta competición, en la que participan estudiantes devarios países, consiste en la realización de distintas prue-bas eliminatorias relacionadas con el mundo de la Estadís-tica. Los jóvenes interesados en participar han de resolveren cada una de ellas una serie de preguntas en las quedemuestren sus conocimientos sobre la materia.

Son varios los objetivos que se pretenden alcanzar conla puesta en marcha de esta competición:

1. Aumentar el interés de los alumnos dentro del au-la de matemáticas y de modo más específico en elanálisis de datos y su interpretación.

2. Incentivar a los estudiantes a comprender mejor lainformación estadística y gráfica que aparece en losmedios de comunicación y en datos.

3. Promover e incentivar el uso de los recursos existen-tes en los países donde se hacen las competicionesy que están enfocados en mejorar la alfabetizaciónestadística.

La primera prueba ya ha tenido lugar. Las preguntastrataban sobre el reciclaje de latas de bebidas refrescantes.Dicha prueba fue la siguiente:

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Enseñanza Secundaria Volumen II. Número 3 10 / 24

Reciclar y el mercado del reciclajeEn 2 días, 4413 alumnos de instituto que comple-

taron una encuesta bebieron 7319 latas de bebida. Esoes una media de 1, 66 latas por alumno. Calcula:

1. ¿Cuántas latas son bebidas por alumno

a) cada día? b) cada mes? c) cada año?

2. Otra escuela de 1000 alumnos, ¿cuántas latas va-cías producirá al año?

3. Usando la siguiente información, dibuja un gráfi-co de barras del número de latas bebidas y escribetus conclusiones:

Si las latas son de aluminio, entonces aproxima-damente 60 latas pesan 1 kg. Las empresas quereciclan latas de aluminio pagan como media $1por un kilogramo de latas.

4. En la encuesta, ¿cuánto pesaban las latas vacíasaproximadamente (en kg)?

5. ¿Cuánto se hubiera podido ganar (en $) si todaslas latas se hubieran reciclado?

Tres de nuestros alumnos la han superado y están a laespera de participar en la segunda eliminatoria, donde sedecidirá al vencedor nacional que representará a Españaen África del Sur. Esta fase nacional se hará por Interneten abril del 2009, en un día a una hora marcada. Al seruna prueba online, todos los alumnos estarán junto a unordenador en ese momento para poder participar.

La tercera prueba, tendrá lugar en Durban, África delSur, durante el 57.o Encuentro del Instituto Internacio-nal de Estadística en agosto de 2009.

Uno de los alumnos de nuestro centro, Leo Casasola,de 1.o de Bachillerato, que quedó clasificado para la se-gunda prueba, confiesa que le ha parecido una aventuraenriquecedora y que ha disfrutado a la vez que ha apren-dido nuevos conceptos sobre la Estadística.

Entrevista a Leo Casasola, clasificado para lasegunda prueba:¿Qué te ha parecido la experiencia de participaren la Olimpiada de Estadística?

Ha sido positiva, pues he aprendido cosas nuevas y elpoder optar a más siempre me anima. Sin embargo, toda-vía no ha terminado, así que a falta de hacer la siguienteprueba, no puedo dar una opinión completa.¿Qué te motivó a participar en ella?

La opción de llegar a más, tener una experiencia nuevay conocer un poco más de esta rama de las matemáticas.¿Crees que has aprendido algo que te será útil enla vida cotidiana?

Te das cuenta de lo que es la estadística, lo que no es, loque significa y que no siempre te puedes fiar de ella. Estoes muy importante hoy en día, pues constantemente nosproporcionan «datos estadísticos» y debemos saber cómointerpretarlos, qué errores puede haber, etc. ya que son fá-cilmente manipulables y con ellos, la opinión del públicopuede variar mucho.¿Aconsejarías a otras personas participar en laspróximas convocatorias?

En cualquier caso. Teniendo en cuenta que aprendescosas nuevas y que hagas lo que hagas saldrás ganandoalgo (desde un viaje, en este caso a Sudáfrica, hasta elsimple hecho de conocer un poco más la estadística). Noveo motivos para no participar.

Desde el Departamento de Matemáticas del IES «San-to Domingo» deseamos mucha suerte a nuestros alumnosy animamos al resto de institutos para que participen eneste tipo de actividades, ya que se consigue que los alum-nos mejoren en gran medida su actitud frente a la asigna-tura de Matemáticas y en este caso, a la de Estadística.

DEPARTAMENTOS DE MATEMÁTICAS

IES AlbaidaAlmería

El IES «Albaida», conocido insti-tuto de la capital almeriense situadoen la intersección de la carretera Al-hadra y carretera de Níjar, fue inau-gurado en el año 1986 con un númerode cursos y profesores muy inferior alactual.

La oferta educativa en este cen-tro es amplia y variada. En horario

de diurno y nocturno (régimen parapersonas adultas), se imparten 11 gru-pos de ESO, 2 de ESPA (nocturno),7 grupos de Bachillerato, 26 gruposde Ciclos Formativos de las familiasde Sanidad y Comunicación, Imageny Sonido y un grupo de preparaciónpara la prueba de acceso a los ciclosformativos.

El IES «Albaida» es centro bilin-güe de Inglés y centro TIC. En estecurso el Departamento de Matemáti-cas está formado por ocho miembros:Juan Antonio Muñoz López, Francis-co Castro Arroyo, Juana López Gó-mez, Virginia Puerta Oliveros, MiguelÁngel Pérez Padilla, Guillermo SierraTortosa, Francisco José Navarro Ortiz

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y José Manuel Fernández Ruiz.

Una clase del centro

La gran variedad de cursos y alum-nos hace que el Departamento tengaque ser muy flexible a la hora de adop-tar una metodología u otra, escogerlas actividades, realizar la evaluación,etc. y nunca olvidamos que el centrode todo el aprendizaje es cada alumnoy alumna.

El Departamento en el desarrollode sus funciones realiza una serie deactividades diarias, complementadascon otras actividades más especialescomo visitas y excursiones, olimpiadasmatemáticas,... además de colaboraren todas las que se solicita su ayuda.

Mención aparte merecen las activi-dades relacionadas con las nuevas tec-nologías. En el curso 2007-2008 el De-partamento de Matemáticas participóen la elaboración del proyecto paraconvertir al IES «Albaida» en cen-tro TIC educativo, siendo concedidoel proyecto para el curso actual. Porello se está poniendo un mayor em-peño en desarrollar actividades rela-cionadas con las nuevas tecnologías:presentaciones, hojas de cálculo, co-rreo electrónico y por supuesto recur-sos propiamente matemáticos, compo-

nen un conjunto de medios que en elpresente el alumnado debe conocer ymanejar.

En este contexto, se ha formado ungrupo de trabajo para realizar una pá-gina web del departamento, cuyo prin-cipal objetivo es dar a conocer las Ma-temáticas, además de proporcionar in-formación de forma sencilla y rápida alas alumnas y alumnos, así como faci-litar al profesorado unos recursos quea veces se encuentran dispersos y sondifíciles de conseguir.

Por último, quisiéramos agradecera todas las profesoras y profesores quehan estado alguna vez aquí, que consu esfuerzo, dedicación y buen hacerhan conseguido que este Departamen-to sea cada vez mejor. Saludos paratodos ellos.

DEPARTAMENTOS DE MATEMÁTICAS

IES AlbujairaHuércal-Overa (Almería)

El IES «Albujaira» de Huércal-Overa se encuentra enla comarca del levante almeriense. Es un centro relativa-mente joven, ya que se inició como tal en el curso 1981-1982, habiendo sido sección anteriormente de la Escuelade Maestría de Almería, así como del Instituto de For-mación Profesional de Vera y del Instituto «Cura Va-lera» de Huércal-Overa.

Cuenta con casi 900 estudiantes repartidos en ESO,Bachilleratos y Ciclos Formativos.

El Departamento de Matemáticas, actualmente, estácompuesto por ocho miembros: Paula Galera Simón, JuanPedro Gallego Ruiz, Joaquín Gilabert Saavedra, Ana Gó-mez Ballesta, Concepción González Ruiz, Manuel Hernán-dez Expósito, Ginés Parra Ruiz y Daniel D. Pérez Bernal.

Miembros del departamento

Además de las actividades propias del currículo, nues-

tro departamento, lleva a cabo diferentes proyectos enca-minados a fomentar el interés por las matemáticas:

2 Semana de las MatemáticasEl pasado mes de abril se realizó la IV Semana de las

Matemáticas, con cinco días de actividades que finalizaroncon la celebración de la XXIV Olimpiada de MatemáticasThales, que este curso tuvo lugar en nuestro centro y contócon una importante participación de centros y de alumna-do.

Cartel de la Olimpiada

La inauguración de la Semana corrió a cargo del Rec-tor de la Universidad de Almería, D. Pedro Molina. Tresexposiciones (grandes matemáticos, fotografía matemáti-cas y Matemática y Arte de Dalí), conferencias a cargo D.

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Pedro Molina, D. José A. García Mas, D. Pedro José Mar-tínez y D. Cayetano Gutiérrez; la representación teatralcon alumnado del centro «Junta ordinaria de quebrados»,el Concurso de Matemáticas televisado, fueron algunas delas actividades desarrolladas.

Inauguración de las jornadas

2 Concurso de fotografía matemática

Este año se convoca el III Concurso de Fotografía Ma-temática dirigido a todo el alumnado del centro. Espera-mos, como en ediciones anteriores, una gran participacióny calidad en los trabajos presentados.

2 Concurso de Matemáticas televisadoEl pasado curso se inició el primer concurso de mate-

máticas televisado a nivel comarcal, donde participabangrupos de 2.o y 3.o de ESO.

A finales de mayo se convocará la segunda edición.

Un momento del concurso

2 Participación en actividades organizadas porotras entidades

El Departamento de Matemáticas participa todos losaños en la Olimpiada de Matemáticas Thales y en el Con-curso de Problemas de Ingenio, organizado por la Asocia-ción de Matemáticas Thales.

Problemas de las Pruebas de Acceso a la Universidad

Presentamos la solución al problema propuesto en elnúmero anterior. Os planteamos otro para que nos enviéisvuestras soluciones a bmatema@ual.es.

Los juegos de exámenes propuestos desde el año 2001hasta la fecha de las dos asignaturas de matemáticas queparticipan en las pruebas están disponibles en la pági-na web distritounicoandaluz.cica.es en el apartado de lasPruebas de Acceso.

Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importede 3000 euros.

a) ¿Es posible que en el cajero haya el triple nú-mero de billetes de 10 que de 50?

b) Suponiendo que el número de billetes de 10 esel doble que el número de billetes de 50, calculacuántos billetes hay de cada tipo.

Problema propuesto en el número anterior

Solución:Se trata de un problema de sistemas de ecuaciones,

que vamos a analizar y resolver por el procedimiento deGauss.

Para ello, comenzaremos asignando letras a las incog-nitas buscadas:

x := Número de billetes de 10e.

y := Número de billetes de 20e.

z := Número de billetes de 50e.

De los datos aportados en el enunciado en cuanto al núme-ro de billetes y al dinero que hay en el cajero, obtenemosel siguiente sistema de ecuaciones:

x+ y+ z = 130,

10x+ 20y+ 50z = 3000.

a) Para que sea posible que haya el triple de billetes de10e que de 50e, debe verificarse además la ecuación

x = 3z,

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que, unida a las dos anteriores, determina un sistema deecuaciones a cuya matriz ampliada le hacemos las siguien-tes transformaciones elementales:

1 1 1 130

1 2 5 300

1 0 −3 0

1 1 1 130

0 1 4 170

0 −1 −4 −130

1 1 1 130

0 1 4 170

0 0 0 40

Fila 2 - Fila 1Fila 3 - Fila 1

Fila 2 + Fila 3

Dado que la última fila es la representación de la ecuación

0z = 40,

y, por lo tanto, no hay ningún valor de z que la satisfaga,se deduce que el sistema no tiene solución y, en conse-cuencia, que no es posible que haya en el cajero el triplede billetes de 10e que de 50e.

b) Si lo que suponemos ahora es que el número de billetesde 10e es el doble que el de 50e, tenemos que la ecuacióna considerar sería,

x = 2z,

en cuyo caso la resolución por Gauss del sistema resultantees:

1 1 1 130

1 2 5 300

1 0 −2 0

1 1 1 130

0 1 4 170

0 −1 −3 −130

1 1 1 130

0 1 4 170

0 0 1 40

Fila 2 - Fila 1Fila 3 - Fila 1

Fila 2 + Fila 3

lo cual se traduce en el sistema,

x+ y+ z = 130,

y+ 4z = 170,

z = 40,

cuya solución es x = 80, y = 10 y z = 40.

a) Sabemos que el precio del kilo de tomates esla mitad que el del kilo de carne. Además, elprecio del kilo de gambas es el doble que elde carne. Si pagamos 18 euros por 3 kilos detomates, 1 kilo de carne y 250 gramos de gam-bas, ¿cuánto pagaríamos por 2 kilos de carne,1 kilo de tomates y 500 gramos de gambas?

b) Dada la matriz A =

(1 0

0 −1

), calcula A2004.

Nuevo problema propuesto

MATEMÁTICA Y CULTURA

Grupos de Simetría de Leonardo en losMocárabes de la Alhambra y los RealesAlcázaresCarlos Castro GómezMaría José Chávez de DiegoUniversidad de Sevilla

En la decoración musulmana en el Al-Ándalus de laépoca nazarí se han estudiado los grupos de simetría quepresentan los alicatados, 17 grupos cristalográficos en el

plano y 7 grupos lineales en los frisos. Sin embargo, losmocárabes, que son elementos decorativos tridimensiona-les de arcos, bóvedas y pechinas, no han sido estudiadosdesde el punto de vista de la simetría.

Como parte del análisis formal y constructivo de losmocárabes aquí presentamos un breve estudio de los gru-

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Divulgación Matemática Volumen II. Número 3 14 / 24

pos de simetría que presentan los rosetones, es decir, lospuntos donde dan comienzo la instalación y se va expan-diendo hacia el exterior, hasta llegar a los bordes, o has-ta encontrarse con otros rosetones o elementos singulares.Daremos ejemplos que pertenecen a la Alhambra de Gra-nada y los Reales Alcázares de Sevilla.

Fig. 1: Sala de los Abencerrajes de la Alhambra

Los mocárabes o mucarnas se componen de prismascon diferentes bases. Estos prismas o adarajas están cor-tados en la punta y atendiendo a sus bases se distinguentres tipos (las denominaciones que siguen han sido toma-das de [1]):medio cuadrado o atacia, rectángulo o conçay triangulo isósceles o dumbaque (ver Figura 2).

Existen otras secciones que se consiguen por adiciónde estas primeras como rombo o jaira, media jaira, etc.Y secciones que modifican a las primeras, bien por unacuestión ornamental, bien para resolver encuentros irre-gulares. La relación entre estas secciones sólo admite 13combinaciones que se muestran en la Figura 2.

Fig. 2: Cada una de las posibles adarajas y las 13combinaciones en las que pueden unirse

La generación tridimensional de los mocárabes se ob-tiene por la profundidad de la entalladura en las puntas delos prismas. Así pues, podrá ser muy profunda generandouna cúpula muy estilizada o, por el contrario, podrá sermuy somera con lo que tendremos el aspecto de un bajo-rrelieve. Todas las piezas de la misma instalación tienenla misma profundidad en el tallado.

Generalmente cada pieza salva un desnivel, teniendoasí un claro esquema en el que cada nueva serie añadidaal conjunto podría identificarse con un nivel común. Lacombinación de los prismas permite formar dibujos tantolineales como radiales con los que se podrá ir cuajandouna superficie cualquiera, adaptando en los bordes piezasespeciales que lo completen.

El objetivo final sería clasificar los mocárabes atendien-do a su planta, siguiendo a Claudi Alsina [2] quien afirmaque «la teoría de la simetría constituye hoy un belloejemplo de teoría interdisciplinar, en la cual, proble-mas de diversos campos científicos, artísticos y técni-cos son abordados con la metodología de la simetría».

Recordemos que dada una figura plana M, hallar sugrupo de simetría es encontrar el conjunto de todas las iso-metrías: traslaciones, giros o simetrías axiales, que trans-forman la figura en sí misma, es decir, que la deja inva-riante. Unos grupos de simetría que han tenido aplicaciónampliamente en la arquitectura desde el renacimiento sonlos grupos puntuales de simetría o de Leonardo, en ho-nor a Leonardo da Vinci quien los estudió y aplicó en eldiseño de plantas de capillas. Estos grupos, aparte de serutilizados en el diseño arquitectónico o urbanístico, tam-bién son ampliamente utilizados para la generación de ro-setones y elementos decorativos en general. La figura planaM se dice que presenta un grupo de simetría de Leonardosi todos los movimientos que la transforman en sí mismatienen un mismo punto fijo, al que se le llama centro dela figura O, de ahí su nombre.

Sólo hay dos grupos de simetría de Leonardo:

Cn: Las únicas isometrías que dejan invariante aMson giros de centro O y ángulo múltiplo de 360o

n .

Dn: Las isometrías que dejan invariante a M songiros de centro O y ángulo múltiplo de 360o

n y sime-trías axiales de ejes n rectas que pasan por el centroO y forman entre sí ángulos de 360o

n .

El replanteo de un mocárabe que viene a cubrir unasuperficie suele empezarse por los rosetones, que como yase ha dicho, son los puntos desde donde comienza el mo-cárabe. En estos puntos de inicio de la composición sóloexisten tres posibilidades para las piezas sobre las que es-tamos trabajando:

1. Si se empieza con ocho dumbaques (ver Figura 3)obtendremos el grupo D8, como el que encontramospor ejemplo en la sala de los Abencerrajes en la Al-hambra de Granada que aparece en la Figura 1.

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Divulgación Matemática Volumen II. Número 3 15 / 24

Fig. 3: Ocho dumbaques

2. Con cuatro atacias (Figura 4) unidas por sus án-gulos rectos obtenemos el grupo D4, como podemosver por ejemplo en las bóvedas del acceso al patio delas Doncellas en el Alcázar de Sevilla.

Fig. 4: Cuatro atacias

3. Uniendo dos atacias por sus hipotenusas (Figura 5)

obtenemos el grupo C4. No hemos encontrado ejem-plos exactos pero sí de otros que empezando comoel D4 ó D8, están modificados en el tercer nivel per-diendo las simetrías. Este es el caso de la bóveda dela sala de las Dos Hermanas del patio de los Leonesen la Alhambra de Granada.

Fig. 5: Dos atacias

Como se ha puesto de manifiesto, tras la construcciónde los mocárabes subyace una estructura matemática dig-na de estudio, que ha pasado más o menos inadvertida encontraste con otros elementos arquitectónicos, como frisosy teselaciones. Esperamos continuar en el futuro desarro-llando este estudio.

Bibliografía[1] Fray Andrés de San Miguel, Obras de Fray Andrés deSan Miguel. Introducción, notas y versión paleográficade Eduardo Báez Macías. UNAM, Investigaciones esté-ticas, México 2007.[2] Claudi Alsina y Enric Trillas, Lecciones de álgebray geometría para estudiantes de arquitectura. GustavoGili, Barcelona 1984.

Concurso de problemas

Calcular el área de un círculo es muy sencillo: basta conmultiplicar π por el radio al cuadrado. Sin embargo, ¿có-mo calcularías una aproximación del área de un círculosi no se conociese el valor de π? Aplica tu método paracalcular el área de un círculo de radio 1.

Problema propuesto

♣

Envía tu solución a bmatema@ual.es

Si nos envías tu solución a este problema puedes ob-tener un regalo relacionado con las matemáticas valoradoen unos 50e.

Para participar, solo tienes que mandar tu solución ala dirección de correo electrónico bmatema@ual.es. Pue-des escanear el papel en el que hayas elaborado la solucióny enviárnosla a dicha dirección de correo electrónico.

Las bases de este concurso pueden consultarse en lapágina web del boletín: boletinmatematico.ual.es.

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Resultado del concurso del número anterior

A la vista de la información descrita en el artículo«Criptografía» que aparece en las páginas 9 y 10del número anterior, descifra el siguiente mensaje:

«XT LÑEZÑXS ÑL XT BZWLWSAÑZS; LW GSLTÑGXDL, XT ÑZÑL LT BZWLWSAÑZS». ESAÑLXD QDYWQD LÑ BSFZWD ZÑLTQWZ ÑGFÑLXWAS FÑ GSL BTÑMGSL P BÑZLSADLITÑ, LÑHTZSL FÑ RDMÑZ ÑAESAXZDFS ÑGESFWHS WAÑYBTHADMGÑ, RDA ESAOWDFSEWÑHDQÑAXÑ ÑA GD LÑHTZWFDF P BZWJ-DEWFDF FÑ LTL QÑALDNÑL; PD ITÑ, ESQSFÑQTÑLXZD GD RWLXSZWD, LWÑQBZÑ RDDBDZÑEWFS ÑG QÑXSFS EDBDC FÑ FÑLE-WOZDZGSL.

GSL ESFWHSL LÑEZÑXSL. LWQSA LWAHR

Problema propuesto en el número anterior

En primer lugar, queremos agradecer a las personasque nos han enviado sus soluciones su interés en participaren el concurso y les animamos a que continúen haciéndolo.

De entre todas las soluciones correctas recibidas, laganadora es la enviada por un grupo de alumnos de4.o ESO C del IES «La Puebla» de la Puebla deVícar.

Solución:Para solucionar este problema, primero nos propusi-

mos contar todos los compañeros y compañeras de la clase,por parejas, el número de veces que se repetía cada letraen el texto. El hecho de hacerlo por parejas fue debidoprimero para trabajar en equipo y sobre todo para evitarerrores en el conteo.

Método: Hemos utilizado un tabla para contabilizarlas letras.Letra A B C D E F G H I J K L M NFrecuencia 16 10 1 27 13 18 12 7 2 1 0 35 3 1Letra teórica r p l i d c y a bLetra asignada n p z a c d l g q v s b j

Letra Ñ O P Q R S T U V W X Y ZFrecuencia 44 2 3 10 5 31 14 0 0 24 13 2 22Letra teórica e h m q o u s t nLetra asignada e f y m h o u i t x r

En las tablas anteriores tenemos en la segunda fila lafrecuencia de cada letra en el texto y en la tercera fila laletra que le debería corresponder.

Rápidamente nos dimos cuenta que si hacíamos estoscambios el texto traducido no tenía ningún sentido y porlo tanto debíamos dar un cierto margen a las letras que po-dían tener una frecuencia parecida. En la cuarta fila estánlas letras que en realidad corresponden, según buscamosuna coherencia en la traducción. Como observamos algu-nas coinciden pero otras no. Esto es lógico ya que en eltexto no aparecen algunas letras. Así que decidimos tra-ducir algunas palabras pequeñas, artículos, preposiciones,etc.

Por ejemplo: «P» está dos veces y una vez «PD ITÑ»por lo tanto la «P» es una «y» y «ITÑ» es «que».

Poco a poco hemos obtenido este texto.

Texto descifrado: «Tu secreto es tu prisionero; si lo suel-tas, tu eres su prisionero». Con esta máxima se podríaresumir el destino de los pueblos y personas que, segurosde haber encontrado el código inexpugnable, han confiadociegamente en la seguridad y privacidad de sus mensajes;ya que, como demuestra la historia, siempre ha aparecidoel método capaz de descifrarlos.

Los códigos secretos. Simon Singh

Queremos hacer mención especiala las soluciones enviadas por Lo-rena Roda Rodríguez y María delCarmen Cervilla Fernández tam-bién del IES «La Puebla» de laPuebla de Vícar por su perspica-cia a la hora de encontrar la pista«oculta» que había al final del ar-tículo Criptografía que precedía alproblema.

Solución:Primero, cuando he leído el texto, me he dado cuenta

de que la frase final podría ser el autor y el título del texto(Los códigos secretos: Simon Singh, que aparecía al finaldel artículo), por lo que ya tenía resuelta la última frase.

Luego escribí el abecedario y con las palabras que sa-lían descifré las letras que aparecían en ellas.

Para descifrar el resto de letras solo tuve que dar sen-tido a las palabras rellenando los huecos.

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LA HISTORIA Y SUS PERSONAJES

John von NeumannUn genio desconocido

Laura Castaño GarcíaIES Río Andarax (Almería)

John von Neumman

John von Neumann es un matemá-tico y químico húngaro consideradopor muchos como la mente más genialdel siglo XX. Participó activamente enel Proyecto Manhattan, el grupo decientíficos que creó la primera bombaatómica, participó y dirigió la produc-ción y diseño de los primeros ordena-dores y es el creador del campo de laTeoría de Juegos.

Nació en 1903, en Budapest (Hun-gría). Se doctoró en matemáticas porla Universidad de Budapest en 1926con un trabajo sobre la Teoría de Gru-pos. Estudió químicas en la Universi-dad de Berlín, doctorándose en inge-niería química en la Escuela de Tecno-logía de Zúrich (Alemania). En 1931

gana una plaza de profesor en la Uni-versidad de Princeton (Estados Uni-dos), enseñando hasta su tempranamuerte por cáncer en 1957, causadopor las irradiaciones en las pruebas so-bre la bomba atómica. Estableció, laahora conocida, Álgebra de von Neu-mann, basada en anillos de operado-res y que es una de las más importan-tes herramientas de análisis de la Teo-ría Cuántica. En 1932 publica «Mat-hematical Foundations of QuantumMechanics» en el que recoge sus for-mulaciones sobre la matemática cuán-tica.

Contribuyó en el desarrollo dela lógica de la computación (lengua-jes máquina) y participó en la cons-trucción de las primeras computado-ras. Por ejemplo, en los proyectosENIAC y EDVAC, base de las moder-nas computadoras.

Entre 1936 y 1938, dirigió la tesisdoctoral de su becario Alan Turing,el británico cuya creatividad concep-tual resultó determinante en el arran-que de la era de las «máquinas pen-santes».

Es el creador del campo de la Teo-ría de Juegos, campo en el que traba-jan actualmente miles de economistas.En 1937 publica «A Model of Gene-ral Economic Equilibrium», que ha

resultado ser uno de los más impor-tantes artículos sobre economía ma-temática. En 1944, junto con el eco-nomista Oskar Morgenstern, publica«Theory of Games and EconomicBehavior», donde plantea la Teoríade Juegos, analizándose distintas si-tuaciones de riesgo entre dos juga-dores. Las formulaciones matemáticasdescritas en este libro han influido endistintos campos de la economía, co-mo por ejemplo, resolver problemasdel Equilibrio General.

El proyecto ENIAC

Finalmente, diremos que fue Pre-sidente de la AMS (American Mat-hematical Society) desde 1951 a 1953y Director de las revistas Annals ofMathematics y Compositio Mathe-matica.

Para saber más:• William Poundstone, El dilema delprisionero. Alianza Editorial, 2004.

MATEMÁTICAS Y OTRAS CIENCIAS

Matemáticas en la predicción del tiempoAntonio Rosales GóngoraIES Bahía de Almería

Seguramente alguna vez nos he-mos preguntado: ¿qué hay detrás delos hombres o mujeres del tiempo ysus previsiones para el día siguiente?

Durante siglos los pronósticos seapoyaban en signos naturales que enmuchos casos se expresaban en formade refranes, por ejemplo, «cielo em-pedrado, suelo mojado» o «cielo delanas, si no llueve hoy lloverá ma-

ñana». En la actualidad hay ordena-dores superpotentes que absorben ungran número de medidas, obtenidasprincipalmente de los satélites, mu-chas leyes de la mecánica y de la físicapero también muchas matemáticas, amenudo muy recientes.

Para que los ordenadores hagansus predicciones es necesario elaborarun modelo numérico de previsión deltiempo en el que intervienen los lla-mados métodos de asimilación va-

riacional, que permiten reconstruirde manera óptima el estado inicial.Estos métodos nacen en los creadospor el matemático ruso Pontriaguine(1908-1988) y la escuela matemáticafrancesa.

Posteriormente hay que desarro-llar el programa informático capaz decalcular el tiempo futuro a partir delestado inicial y de las leyes físicas. Elloreposa sobre una descripción continuadel espacio y del tiempo, pero nuestro

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Divulgación Matemática Volumen II. Número 3 18 / 24

modelo numérico no conoce más queun número, ciertamente muy grandepero finito, de intervalos de tiempoentre dos estados, es decir, el proble-ma ha sido discretizado. La rama delas matemáticas que nos permite pa-sar de las ecuaciones continuas a es-quemas numéricos para el modelo dis-cretizado con la mejor precisión posi-ble es el análisis numérico.

¿Se puede predecir el tiempo a lar-go plazo? El matemático y meteoró-logo norteamericano Edward Lorentz,en su célebre artículo «Deterministicnon periodic flows» de 1963, mostrópoca esperanza al establecer que la at-mósfera es un sistema caótico, es de-cir, que cualquier error sobre el estadometeorológico inicial, aunque sea muypequeño, se amplifica rápidamente enel transcurso del tiempo. Sin embar-go, eso no quiere decir que no se pue-da prever el clima, previsión de tipoestadístico más que determinista, in-teresa más la media de temperaturaso precipitaciones en un período que,por ejemplo, el tiempo que hará en elCabo de Gata en un determinado díade agosto.

Lo que está en juego es importante

pues el clima futuro está amenazadopor la contaminación de las activida-des humanas y es necesario prever elefecto a largo plazo de estas perturba-ciones. Otra rama de las Matemáticas,la teoría de sistemas dinámicos,proporciona herramientas para justi-ficar esta modelización del clima.

Esta teoría, iniciada por el mate-mático francés Henry Poincaré en elsiglo XIX, ha progresado mucho enlas últimas décadas. La teoría permi-te conocer cuáles son los regímenesde tiempo más previsibles y los másinestables. En caso de inestabilidad,una buena herramienta es la modeli-zación probabilística del clima quetiene implícitamente en cuenta el ca-rácter aleatorio de la previsión.

MUJERES Y MATEMÁTICAS

Hipatia de AlejandríaLa mujer que ha cautivado a Alejandro Amenábar

Maribel Ramírez ÁlvarezAsunción Bosch SaldañaUniversidad de Almería

Hipatia de Alejandría

Hipatia de Alejandría, conocidatambién como la gran filósofa de Occi-dente, fue una de las primeras mujeresen la historia (conocida) que contribu-yó con su genialidad al desarrollo delas Matemáticas. Nació en Alejandría,Egipto, en el año 370 de nuestra eray murió asesinada en esa misma ciu-dad en el 415. Su biografía constituyeuno de esos apasionantes relatos quehacen que la historia clásica sea algomás que una materia de estudio.

Hipatia de Alejandría, la MadameCurie de la Antigüedad, fue la mejoralumna de su padre, Tejón de Alejan-dría, a quien superó en conocimientose influencia. Y al tiempo que realiza-ba importantes aportaciones a la filo-sofía, inventaba valiosos instrumentoscientíficos y escribía interesantes tra-tados matemáticos.

La vida de Hipatia transcurre pa-ralela a la de la biblioteca de Alejan-dría, punto crucial del pensamientoantiguo. En ella, desarrollará una ca-rrera de estudio científico, en los cam-pos de la Astronomía y las Matemáti-cas. Pero todo esto quedará truncadoprecozmente por el auge del integris-mo cristiano que, como nueva religiónde Estado, hará todo lo posible porsustituir a todo substrato cultural oreligioso anterior.

Aunque lamentablemente ningunade sus obras ha llegado hasta nuestrosdías, por el desastre cultural aconte-cido en Alejandría con la destrucciónde su brillante biblioteca, los historia-dores de la ciencia afirman que escri-bió tratados sobre Matemáticas (có-nicas, geometría euclídea y aritmética

diofantina) y Astronomía (tablas pto-lemáicas y explicaciones del Almages-to de Ptolomeo). Asimismo, sabemosque Hipatia construyó y mejoró ins-trumentos astronómicos tales como elastrolabio o el planisferio.

También destacó por su oratoriay se convirtió en líder de los neopla-tónicos. Su opinión era muy valoradapor los magistrados y su domicilio erapunto de encuentro y debate para losintelectuales de la Alejandría del si-glo IV, capital mundial de la sabidu-ría. Los comentaristas de la época ladescriben como una maestra carismá-tica que dejó una profunda huella ensus discípulos, algunos de ellos tam-bién importantes científicos.

Por todo ello, la figura de Hipa-tia de Alejandría es conocida comoun icono de la resistencia de la cien-cia frente al integrismo religioso, unade las últimas muestras de resisten-cia de la cultura pagana pre-cristianay del neoplatonismo, y el símbolo en-carnado de la caída de la bibliotecade Alejandría, faro de la cultura de laAntigüedad. Probablemente, su apa-sionante biografía es lo que ha lleva-

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do a Alejandro Amenábar a rodar suúltima película Ágora, protagonizadapor Rachel Weisz (la actriz británicaque posee un Oscar por «El jardinerofiel»).

En ella, Amenábar nos muestra auna Hipatia que lucha por conservarun mundo que se acaba. Sólo en eltráiler de esta película ya se puedeobservar el excelente trabajo de docu-mentación realizado, así como el granesfuerzo económico y humano llevadoa cabo en la recreación del Egipto delsiglo IV d.C.

¡Por fin! Una película sobre Hi-patia

Sinopsis: Siglo IV. Egipto bajo el Im-perio Romano. Las violentas revueltasreligiosas en las calles de Alejandríaalcanzan a su legendaria biblioteca.Atrapada tras sus muros, la brillan-te astrónoma Hipatia lucha por salvar

la sabiduría del mundo antiguo con laayuda de sus discípulos. Entre ellos,los dos hombres que se disputan su co-razón: Orestes y el joven esclavo Da-vo, que se debate entre el amor quele profesa en secreto y la libertad quepodría alcanzar uniéndose al impara-ble ascenso de los cristianos.

Para saber más:• Biografía en Dictionary of Scien-tific Biography (New York, 1970-1990).• Matemática es nombre de mu-jer, Susana Mataix, Rubes Editorial,1999.

PASATIEMPOS Y CURIOSIDADES

DualidadAntonio Andújar RodríguezUniversidad de Almería

La Humanidad, desde sus orígenes, ha tenido un in-terés primigenio en hacer clasificaciones. Incluso la máselemental –sólo dos objetos– tiene connotaciones impor-tantes. Desde los primeros momentos, nuestros antecesoresclasificaban conceptos, pegados a la tierra (día-noche, frío-calor), más abstractos (bien-mal), y llegando rápidamentea los siglos de desarrollo de la Ciencia (izquierda-derechaen el cosmos, materia-antimateria...).

Desde las Matemáticas, quedémonos en la dualidad ele-mental, representativa de cualquier otra: (0-1), para pre-sentar algunas curiosidades o «trucos de magia» de losmuchos que se resuelven basándose en ella.

I. Curva cerrada con error en interseccionesEl «mago» (M) plantea al espectador (E) que trace,

fuera de la visión de M, una línea cerrada continua quese curva y se interseca en varios puntos, a los que pondránombre. Por ejemplo,

A continuación, partiendo de cualquier punto de inter-sección, E recorrerá la curva hasta que regrese al principio,diciendo en voz alta los nombres de los puntos que encuen-tre. En un momento dado, engañará diciendo dos nombresen orden inverso, sólo una vez. A pesar de ello, M adivinaráqué puntos ha desordenado.

En este caso, el recorrido real, partiendo por ejemplode A sería:

A–M–P–N–M–A–T–R–S–T–N–P–Q–S–R–Q–A

Supongamos que E desordena los puntos T y N. Si Mhiciese la anotación de la lista de la misma manera,

A–M–P–N–M–A–T–R–S–N–T–P–Q–S–R–Q–A

no se observa nada «extraño», pero si la anotación fueseen dos líneas

A P M T S T Q R

M N A R N P S Q

se descubre una discordancia. ¿Se cumplirá siempre? Hagala prueba.

II. Jugando a la ruletaM fue a visitar a un matrimonio amigo en mal momen-

to, pues se encontraba discutiendo. El marido había ido alcasino con 4e para jugar en la ruleta a «ROJO–NEGRO»y había apostado 1e por jugada (para los profanos en eljuego, sepan que si acierta el color gana otro euro, y si fallalo pierde). Después de cinco apuestas se marchó a casa y,tras ser interpelado por su mujer, contesta que salió con elmismo dinero que entró. M interviene, diciendo que eso no

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es correcto y la mujer responde que ha perdido todo, peroM la tranquiliza asegurándole que tampoco puede darsetal circunstancia. ¿Encuentra usted la explicación?

III. Adivinación de un númeroM presenta cinco tarjetas con números como las que

siguen

1

1 173 195 217 239 2511 2713 2915 31

2

2 183 196 227 2310 2611 2714 3015 31

3

4 205 216 227 2312 2813 2914 3015 31

4

8 249 2510 2611 2712 2813 2914 3015 31

5

16 2417 2518 2619 2720 2821 2922 3023 31

pidiéndole a E que piense un número entero comprendidoentre el 1 y el 31 y le señale en qué tarjetas se encuentra.A continuación, M adivina de qué número se trata.

Por ejemplo, si E elige el 23, señalaría las tarjetas 1, 2,

3 y 5. Entonces, M haría mentalmente el siguiente cálculo:1 + 2 + 4 + 16 = 23. Si el número elegido fuese 11, seña-laría las tarjetas 1, 2 y 4, mientras el cálculo de M sería:1+ 2+ 8 = 11.

Note que el número se adivina simplemente sumandoel primer número de cada una de las tarjetas elegidas.

Es posible que E sea muy suspicaz y exprese la obje-ción: «es obvio, miras rápidamente las tarjetas para verqué número se repite en ellas».

Entonces puede mejorarse el truco si se le dice que lascoloque boca abajo o se las guarde en un bolsillo una vezelegido el número.

Es posible mejorarlo también ampliando el número detarjetas, por ejemplo con diez tarjetas siguiendo las mis-mas reglas, puede adivinarse cualquier número entre el 1y el 1023.

La base de este truco es simplemente un cambio debase (valga la redundancia). Hay otras formas de presen-tarlo, pero todas son equivalentes por lo que lo dejaremospara otra ocasión.

Lecturas recomendadas sobre divulgación matemática

El universo de las matemáticas.William Dunham.

Ficha TécnicaEditorial Pirámide444 páginasISBN: 84-368-0896-7Año 2001

William Dunham es autor de diversas obras de divul-gación matemática entre las que destacan «Viaje a travésde los genios», «Euler: el maestro de todos los mate-máticos» y la obra que pasamos a comentar, «El universode las matemáticas». A diferencia de otros ensayos de di-vulgación en los que los capítulos se distribuyen temáticao cronológicamente, en este caso la distribución se hace demanera alfabética. Esta forma tan poco usual de ordenarlos contenidos del libro contribuye a que el lector no puedaadivinar lo que depara cada capítulo y a que mantenga suatención en todo momento.

En este libro tienen cabida las biografías de personajestan importantes en la historia de las Matemáticas como,por ejemplo, Arquímedes, los hermanos Bernouilli, Eucli-

des, Euler, Fermat, Leibniz, Newton y Bertrand Russell,así como algunas de sus aportaciones más interesantes. Senarran de manera amena algunas de las controversias yanécdotas que han rodeado sus vidas y su actividad crea-tiva. Se alternan hechos más conocidos, como la controver-sia mantenida por Newton y Leibniz por la paternidad delCálculo, y otros, como la biografía del matemático Ber-trand Russell, que son desconocidos incluso para muchosmatemáticos.

Aunque se abordan muchas disciplinas matemáticas(Álgebra, Cálculo Diferencial, Teoría de Números, Teo-ría de la Probabilidad,...), se dedica especial interés a laGeometría y a la Trigonometría. Prueba de ello es la canti-dad de espacio reservado a ambas disciplinas y la selecciónde algunos de sus resultados más bellos. También se in-cluyen algunas de las demostraciones de estos resultados,pero procurando que sean accesibles al mayor número delectores.

Por todo lo dicho anteriormente, recomiendo la lec-tura de esta obra no sólo a los alumnos de secundaria obachillerato que puedan estar interesados en el mundo dela Matemáticas, sino también a los alumnos universitariosque quieran completar su formación con conocimientossobre la Historia de las Matemáticas que lamentablemen-te no se suelen estar incluidos en los planes de estudios dela mayoría de la titulaciones.

Reseña de Antonio Morales CampoyUniversidad de Almería

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Divulgación Matemática Volumen II. Número 3 21 / 24

Citas Matemáticas

«La población, si no se controla, aumenta en unaproporción geométrica. Las subsistencias lo hacen sólode modo aritmético.»

Thomas R. Malthus (1766-1834)Economista inglés.

«No hay ciencia que hable de las armonías de laNaturaleza con más claridad que las Matemáticas.»

Paul Carus (1852-1919)Filósofo alemán.

Páginas web de interés

Año Internacional de la Astronomía

www.astronomia2009.es

El año 2009 marca el cuarto centenario de las observa-ciones realizadas por Galileo, quien utilizando un modestoanteojo astronómico abrió una era fascinante en la historiade la Astronomía.

Será una celebración global de la astronomía y sus con-tribuciones a la sociedad y a la cultura, con un fuerteénfasis en la educación, en el compromiso público y com-promiso con los jóvenes, con eventos de ámbito nacional,regional, y global a lo largo de todo el año 2009.

Existen oportunidades extraordinarias para participaren los eventos del AIA2009. En el sitio web oficial del AñoInternacional de la Astronomía, www.astronomia2009.escuyo lema es El Universo para que lo descubras, pode-mos ver descripciones detalladas de las muchísimas activi-dades planeadas y eventos que se realizarán tanto a nivelnacional como internacional. Es una fuente de informa-ción muy importante para todo el que esté interesado enlos eventos de carácter astronómico en el año 2009.

La sección sobre el AIA-IYA2009, incluye informaciónsobre los objetivos, organización, participantes, así comolas noticias de prensa más relevantes, reuniones y congre-sos que se celebrarán.

También aparecen enumerados los proyectos pilares, enlos que se sustenta este Año Internacional de la Astrono-

mía. Son once programas globales centrados en una seriede temas que cubren los principales objetivos del Año In-ternacional; desde el apoyo y promoción de la mujer en laAstronomía, hasta la preservación del cielo oscuro, pasan-do por la educación y la enseñanza de los fundamentos delUniverso a millones de personas.

España participa en varios: 100 horas de Astronomía,Ella es una astrónoma, El Universo para que lo des-cubras,... y algunos más, que serán la clave del éxito delAIA-IYA2009. Además de los proyectos pilares, podemosver en la página, cómo en nuestro país se están organizan-do una serie de proyectos cuyo ámbito de alcance es todoel territorio nacional.

Es muy interesante el enlace que han puesto para quetodo el mundo que organice una actividad relacionada conla astronomía pueda inscribirla. De esa manera podemosver como la página se convertirá en una memoria nacional.

Como complemento a la información técnica, hay unenlace «Agenda de actividades», en la que pinchando enella aparece un mapa de España, y seleccionando en laregión interesada, podemos ver de forma interactiva lasactividades de la región marcada.

Por último, comentaremos la sección dedicada al Te-ma del mes. Ni que decir tiene, que la Astronomía esuna ciencia muy amplia, la cual contiene auténticas espe-cialidades que se relacionan entre sí que es lo que nos dauna visión conjunta y completa de cómo es el Universo.En «El tema del mes» hacen protagonista cada mes auna de las especialidades astronómicas, como el SistemaSolar, Cosmología, etcétera, descritas por investigadores,con entrevistas y artículos. Por ejemplo, el mes de marzose dedicó a la Planetología (disciplina dentro de la As-trofísica que se centra en el estudio de los planetas: sucomposición, su clima, su origen, etc.)

Reseña de Maribel Ramírez ÁlvarezUniversidad de Almería

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PROFESIONALES FORMADOS EN LA UAL

Lucía Gómez RamosEntrevista a una antigua alumna de la UAL

Elisa Berenguel LópezM. Carmen Castro AlférezFrancisco Morales SorrocheEstefanía Ruiz BañosEstudiantes de la UAL

Lucía Gómez Ramos

Lucía Gómez Ramos se licenció enla Universidad de Almería en 2001.Actualmente es analista del GrupoBanco Popular y su experiencia profe-sional es dilatada. Entre otras activi-dades, ha sido profesora asistente en laUniversidad de Wisconsin-Milwaukee(EEUU) durante dos cursos académi-cos e investigadora en la Universidadde Granada.

• ¿Nos puedes contar brevementecuál ha sido tu trayectoria profe-sional?

Suelo contar mi trayectoria pro-fesional a partir de mi trabajo comoTeaching Assistant en la Universidadde Wisconsin-Milwaukee (UWM) enEEUU, lo cual me permitió costearmemis estudios de postgrado dando clasea alumnos de primer ciclo de univer-sidad. Simultáneamente trabajé en unproyecto sobre filtrado de imágenes deresonancia magnética propuesto porun ingeniero de GE Medical Systemjunto con mi tutor.

Tras mi paso por EEUU opté porla investigación en la Universidad deGranada, trabajando en proyectos deingeniería orientados a diversos te-mas, primero con elementos finitosen el departamento de mecánica deestructuras y más tarde con cálculode corrientes y monitorización costeramediante cámaras Árgus en el centrode investigación CEAMA.

Finalmente, decidí abandonar launiversidad y los centros de investi-

gación para dedicarme al mundo dela empresa privada, razón por la cualme trasladé a Madrid. Fue muy movi-do, dentro de la misma empresa tra-bajé con redes neuronales y Matlab,Seguridad Informática y Bases de Da-tos, entre otras cosas. Tras un tiem-po busqué estabilidad presentándomea la oposiciones para la Administra-ción Pública y, tras descartarlo, volvía la empresa privada ya con orienta-ción a banca y seguros.

• ¿Por qué decidiste irte al ex-tranjero?

Empecé con cursos de un mes deduración en Inglaterra durante el ins-tituto, y cuando llegué a la universi-dad supe de la existencia de las be-cas Erasmus. La idea de pasar un añoen una universidad extranjera me re-sultó atractiva, esperé el momento, ycuando ya me quedaba prácticamentecompletar créditos optativos y algu-na asignatura suelta para terminar lacarrera aproveché la oportunidad deirme de Erasmus a Francia.

Tras volver de Francia quise orien-tar mi carrera profesional como ma-temática a temas de aplicación prác-tica cercanos a la empresa y consultecon algunos profesores. Gracias a esoconocí a otra matemática de Almeríacon la que entablé mucha amistad yque estaba haciendo el doctorado en laUniversidad de Wisconsin-Milwaukee,ella me ayudó a encontrar el Másterque más se adecuaba a lo que queríahacer... un Máster de dos años que in-cluía realizar un proyecto real con al-guna empresa.

• ¿Has realizado algún máster ocursos de doctorado aparte de lacarrera?

Sí, tengo posgrados en matemáti-cas y en ingeniería. Tengo un Másteren Ciencias con especialidad de Mate-máticas Industriales por la Universi-dad de Wisconsin-Milwaukee, y a con-tinuación realicé los cursos de docto-rado y obtuve la suficiencia investiga-

dora en ingeniería por la Universidadde Granada.

• ¿Hay muchas diferencias entrelas universidades españolas y lasextranjeras? ¿Y entre los distin-tos trabajos que has tenido?

En cuanto a las diferencias entreuniversidades, encuentro que tanto enFrancia como en Estados Unidos lasuniversidades tienen un esquema edu-cativo más práctico y flexible en cuan-to a la profundidad de conocimien-tos que se quieren adquirir según elperfil del estudiante. Aquí en Espa-ña los conocimientos son casi siempredemasiado teóricos y desligados de lavida laboral. También es verdad queen el mismo periodo de tiempo unestudiante español medio sin posgra-do tendrá una cultura más amplia enla materia mientras que un estudian-te extranjero será capaz de visualizaraplicaciones con más soltura.

Si hablamos de las diferencias en-tre universidad o centro de investiga-ción y empresa privada, diría que laprimera es una carrera a muy largoplazo y a menudo muy vinculada ala docencia, mientras que la segundapermite estabilidad a medio plazo yresulta más versátil aunque con pro-yectos de menor alcance académico.

• ¿Te costó mucho encontrar tra-bajo cuando regresaste a Espa-ña?

No realmente, aunque me deprimíun poco cuando vi las opciones, re-gresar a España fue una decisión du-ra. Estás desconectado... hay que vol-ver a empezar, buscar sitios en los queentiendan y valoren lo que has he-cho, proyectos interesantes... Univer-sidad, Centros de Investigación, Em-presa privada... Pero tuve varias op-ciones y la verdad es que también meapoyaron los profesores tanto de laUAL como de UWM. Eso sí, tenía cla-ro que quería que fuera en Europa.

Aquí se lleva mucho lo de favore-cer al que no se ha movido del sitio

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o al amigo poniendo las cosas difíci-les al que viene de fuera. Incluso en laempresa privada a veces sólo se valoracuánto tiempo llevas en el mismo sec-tor sobre todo en la misma empresa, yno cuál es tu trayectoria y lo que pue-des aportar en base a ella, se ha estadofomentando la especialización y fideli-dad ciega frente a conocimientos másglobales y capacidad de adaptación.

• ¿En qué consiste tu trabajo ac-tual? ¿Aplicas las matemáticasen él?

Estoy en el área de Metodología deValidación Interna del Proyecto Basi-lea II del Grupo Banco Popular. Mi la-bor actual consiste en valorar el gradode adecuación de una serie de modelos

valiéndome de pruebas cualitativas ycuantitativas.

Las matemáticas que me han ayu-dado hasta el momento, consisten fun-damentalmente en conocimientos demodelización, estadística básica y ma-temática computacional.

• ¿Nos podrías dar un consejo pa-ra los estudiantes que están ter-minando la carrera?

Lo fundamental... no creerse quelas matemáticas sirven únicamentepara dar clase, ¡se puede elegir! aun-que tenemos que «vendernos» bien ya veces cuesta mucho... los posgradospueden ayudar.

Necesitas ver qué te gustaría ha-cer, yo a veces la defino como una ca-

rrera «comodín» que puede aplicar-se en muchos sectores, ya que paraciertos proyectos es más fácil aprenderla parte imprescindible no matemáti-ca, sobre todo trabajando con otrosperfiles complementarios, que tenerel bagaje y conocimientos necesariospara entender la estructura abstrac-to/matemática.

Tómate algún tiempo para elegir,pero empieza a buscar ya... pide con-sejo a los profesores y profesionalesque conozcas, aprende idiomas, infor-mática y sobre todo a moverte. A ve-ces es cuestión de estar en el lugar ade-cuado en el momento adecuado, in-cluso en tiempos como los que corrense sigue necesitando gente con nuestroperfil.

Máster en Profesorado, nuevo jaque a MatemáticasFrancisco Morales Sorroche (Alumno de Matemáticas de la UAL)

«Quiero ser profesor de matemáticas de instituto,¿qué tengo que hacer?».

Muchas personas que estudian Matemáticas se formu-laron esta pregunta en un pasado. En algunos casos máslejano y en otros más cercano. La respuesta que a todosnos dieron en su día fue clara y concisa: «Haced la licen-ciatura y posteriormente el curso de aptitud pedagógica,el CAP».

Sabiendo esto, y sin ser realmente conscientes de loque se nos iba a exigir para alcanzar la meta profesional,comenzamos la carrera con ilusión.

Todo parecía ir sobre ruedas. Cada asignatura aproba-da significaba un peldaño menos hacia la cumbre. Desgra-ciadamente, para los que aspiramos a este trabajo, la cosase empezó a torcer hace poco más de un año, cuando nosenteramos de que a partir del curso 2009-2010 el CAP seráreemplazado por algo a lo que los pedagogos les gusta lla-mar «Máster en Profesorado», del cual no podemos decirmucho al respecto, pues la administración o los organis-mos competentes no se dignan a informar abiertamente alos interesados, o mejor dicho obligados, en realizar dichoMáster.

No os extrañéis de lo que habéis leído: obligados a te-ner que hacer un curso académico completo en lugar de 5meses como en el actual CAP; obligados a tener un nivelde inglés que no se nos ha exigido a priori en ningún mo-mento; obligados a tener que estudiar multitud de teoríaspsicopedagógicas de dudosa utilidad práctica y nula rela-ción con la actividad docente orientada a las matemáticas;y lo peor de todo, obligados a tener que pagar unas tasasde matriculación que muchos, quizá ni siquiera puedanpermitirse.

No nos parece justo que, a mitad de camino o casi alfinal del mismo, se nos hayan cambiado las condiciones. Es

por ello, por lo que desde esta revista, queremos manifes-tar nuestra indignación con respecto a este cambio. Pues,al margen de su cuestionable finalidad, debería implan-tarse junto con las nuevas carreras de grado, y no ahora,cuando ni siquiera existen los primeros cursos de dichosgrados. Es como vulgarmente se dice, empezar la casa porel tejado.

Por otra parte, también nos gustaría contar con el apo-yo de nuestros profesores en la causa. Como matemáticosespecializados e investigadores que son, fomentan y mo-tivan a los alumnos que aspiran a una salida alternativaa la docencia, lo cual nos parece loable. Sin embargo, nosiempre se dan cuenta de que la enseñanza media ha sido yes la principal salida de esta carrera. Entre muchas de lasdudas que tenemos respecto a esta «repentina» situación,nos planteamos la siguiente pregunta: ¿qué sucederá cuan-do con los nuevos planes de estudios los jóvenes se enterende que con otras carreras mucho más sencillas tendrán laoportunidad de ejercer la docencia en secundaria sin ne-cesidad de hacer este máster?

Algunas de las cosas que hemos comentado son sólo es-peculaciones, otras sin embargo son ya el futuro inmedia-to. Pensamos que este máster supone una seria amenaza amuchas carreras de vital importancia. Licenciaturas talescomo Física, Química, Biología y un largo etc. están enpeligro de extinción, y por si no te has dado cuenta aún,Matemáticas también.

Concluimos esta carta pidiendo el apoyo de todos loscompañeros y de los profesores en la medida que les seaposible. Dicen que la unión hace la fuerza. Quizá en estaocasión se precise algo más que fuerza para evitar estoscambios. No tenemos nada que perder y probablementemuy poco que ganar, pero al menos, debería intentarsealgo.

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Responsables de las secciones

2 Actividad Matemática en la UAL

Actividades organizadas y Noticias : PedroMartínez (pmartine@ual.es) y Juan Carlos Navarro(jcnav@ual.es).

La Doble Titulación Matemáticas-IngenieroTécnico en Informática : Manuel Cantón(mcanton@ual.es) y Juan Carlos Navarro(jcnav@ual.es).

La investigación : Juan Cuadra (jcdiaz@ual.es) yJuan José Moreno (balcazar@ual.es).

Foro abierto: José Carmona (jcarmona@ual.es) yJosé Escoriza (jescoriz@ual.es).

2 De la Enseñanza Media a la EnseñanzaUniversitaria: Manuel Gámez (mgamez@ual.es),Francisco Gil (fgil@ual.es) y Juan Guirado(jfguirado@gmail.com).

2 Divulgación Matemática

La Historia y sus personajes : Florencio Castaño(fci@ual.es) y Blas Torrecillas (btorreci@ual.es).

Problemas de interés : Juan Guirado(jfguirado@gmail.com), Alicia Juan (ajuan@ual.es)y Miguel Ángel Sánchez (misanche@ual.es).

Las Matemáticas aplicadas en otros campos :Juan Antonio López (jlopez@ual.es), Francisco

Luzón (fluzon@ual.es) y Antonio Salmerón(asalmero@ual.es).

Mujeres y matemáticas : Asunción Bosch(mabosch@ual.es) y Maribel Ramírez(mramirez@ual.es).

Cultura y Matemáticas : José Cáceres(jcaceres@ual.es) y José Luis Rodríguez(jlrodri@ual.es).

Lecturas recomendadas sobre divulgaciónmatemática : Juan Cuadra (jcdiaz@ual.es) yAntonio Morales (amorales@ual.es).

Páginas web de interés : José Carmona(jcarmona@ual.es) y José Escoriza(jescoriz@ual.es).

Citas matemáticas : Juan Cuadra (jcdiaz@ual.es)y Alicia Juan (ajuan@ual.es).

Pasatiempos y Curiosidades : Antonio Andújar(andujar@ual.es) y José Antonio Rodríguez(jarodrig@ual.es).

2 Territorio Estudiante: Elisa Berenguel(elisaberenguel@hotmail.com), María del Carmen Castro(mcarmencastro@hotmail.com), Francisco ManuelMorales (franciscomms 86@hotmail.com) y Estefanía dela Cruz Ruiz (steffz18@hotmail.com).

Responsables de las secciones del Boletín

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