Volúmenes Capas Cilíndricas

TEMA:

Cálculo de volúmenes

DOCENTE: Ms.C. Ronald Juven Reyes Narváez

“UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLÓGICA DEL CONO SUR”

UNTECS

El método de capas cilíndricas

El alumno conoce en que consiste el método de capas cilíndricas, lo utiliza en el cálculo de volúmenes y valora la utilidad del método para resolver problemas de

aplicación relacionados a su especialidad.

SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

Sea R una región plana y L una recta (llamada eje de revolución ). Si a R se le rota alrededor de la recta L, la figura mostrada se llama sólido de revolución.

EJEMPLO:

Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3.

Introducción

Cebollas y troncos de madera

¿Qué es el método de las capas cilíndricas?

Es un método de cálculo integral que permite evaluar volúmenes de sólidos de revolución.

En ciertas situaciones es el único método viable.

El método del disco, llamado también de las secciones transversales no siempre es fácil de aplicar y a veces no puede aplicarse en absoluto.

En cambio…

El método de las capas cilíndricas funciona muy bien en este caso.

Consiste en dividir el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan los unos dentro de los otros y en integrar luego los volúmenes de estos casquetes para obtener el volumen total.


Es importante entender bien la estructura geométrica involucrada en el método de las capas cilíndricas.

Otros nombres del método

de los “casquetes” cilíndricos.

de los “cascarones” cilíndricos.

de las “cáscaras” cilíndricas

de las “envolturas” o “envolventes” cilíndricas.

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Planteamiento general

El método de las capas cilíndricas

Donde: y 2rr1r

2rr2r

Antes que nada… Dada una región plana y rectangular de ancho y altura ; si dicha región, se hace girar alrededor de la recta L, el sólido mostrado se llama sólido de revolución y su volumen es:

El volumen de un casquete cilíndrico se calcula restando el volumen del cilindro interior al volumen del cilindro exterior:

2 1

2 22 1

V V V

r h r h

Así que…

2 1

2 22 1

2 22 1

2 1 2 1

2 12 1

( )

( )( )

2 ( )2

2

V V V

r h r h

r r h

r r r r h

r rr r h

rh r

El volumen de un casquete cilíndrico

2V rh r

V = (circunferencia)(altura)(grosor)

El problema general

Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b.


Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos todos del mismo ancho.

Sea xi* el punto medio del subintervalo i-ésimo.

Consideramos el rectángulo Ri construido sobre el subintervalo i-ésimo con una altura de f (xi*).

Lo hacemos girar en torno del eje y.


Se produce un casquete cilíndrico que tiene como volumen:

(2 *) ( *)i i iV x f x x


Se ponen n casquetes cilíndricos de éstos, los unos dentro de los otros.

Se suman todos sus volúmenes:

1 1

(2 *) ( *)n n

i i i

i i

V V x f x x


La aproximación al volumen del sólido será mejor entre más grande sea n, el número de casquetes cilíndricos.

Se puede mostrar que:

1

lim (2 *) ( *) 2 ( )n b

i in a

i

V x f x x x f x dx

Regla general

El volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, donde 0 < a < b, está dado por la integral:

2 ( )b

aV x f x dx

◙

Ejemplo 1

El problema del comienzo

Recordando…

Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje y la región comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y = −x3 + 4x2 − 3x + 1 y la vertical x = 3.

El método de los casquetes cilíndricos

Dividimos el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan los unos dentro de los otros.


La altura de los casquetes cilíndricos varía de acuerdo a la función:

f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1

La integral para el volumen es:

◙

3

0

33 2

0

34 3 2

0

35 24 3

0

2 ( )

2 ( 4 3 1)

2 ( 4 3 )

992

5 2 5

x f x dx

x x x x dx

x x x x dx

x xx x

Ejemplo 2

El volumen de un cono

El problema del cono

Demostrar, empleando el método de los casquetes cilíndricos, que el volumen de un cono de altura h y con radio r en su base está dado por:

21.

3V r h

Generando el cono

El cono puede ser visto como el sólido que se produce al hacer girar, alrededor del eje y, la región triangular cuyos vértices son (0,0), (r,0) y (0,h), donde h y r son números reales positivos.

Generando el cono

La ecuación de la recta que pasa por los puntos (r,0) y (0,h) es y = ( −h/r ) x + h, puesto que su pendiente es m = − h/r y su intercepto con el eje y es el punto (0,h).

Utilizamos el método de las capas cilíndricas

Construimos el cono mediante una serie de casquetes cilíndricos, incrustados los unos dentro de los otros.

Los radios varían de 0 a r y las alturas de 0 a h. r

h

El método de los caspas cilíndricas

Los casquetes cercanos al centro son altos y su radio es pequeño, mientras que los que se sitúan más al exterior tienen un radio amplio pero su altura es pequeña.


La altura de los casquetes cilíndricos está dada por la recta

y = ( −h/r ) x + h.


◙

0

0

2 32

00

2 32 2

(2 ) ( )

2 ( )

12 2

2 3

1 12 2

2 3 6 3

r

r

rr

V x f x dx

x h r x h dx

x xh x x dx h

r r

r rh r h r h

r

Ejemplo 3

Una región delimitada por dos curvas

Una región delimitada por dos curvas

Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la región que está delimitada por la parábola y = − x2 + 4x − 3, por la cúbica y = x3 − 6x2 + 12x − 5 y por las verticales x = 1 y x = 3.

El sólido de revolución

Dos funciones involucradas

En este caso, a diferencia de los ejemplos anteriores, hay dos funciones involucradas que son:

3 2

2

( ) 6 12 5

( ) 4 3

g x x x x

f x x x


Consideremos que este sólido está formado por una serie de casquetes cilíndricos incrustados los unos dentro de los otros.

Esta vez, los casquetes no sólo varían en cuanto a su radio y a su altura, sino que varían además en cuanto a su ubicación respecto del eje x:

Arriba: y = x3 − 6x2 + 12x − 5

Abajo: y = − x2 + 4x − 3

La altura de un casquete cilíndrico

La altura de un casquete cilíndrico

En este caso, un casquete cilíndrico de radio x tiene como altura:

3 2 2

3 2

( ) ( )

( 6 12 5) ( 4 3)

5 8 2.

g x f x

x x x x x

x x x


3 33 2

1 1

35 4 334 3 2 2

11

35 4 3 2

1

2 ( ) ( ) 2 5 8 2

5 82 5 8 2 2

5 4 3

29212 75 160 60 .

30 15

x g x f x dx x x x x dx

x x xx x x x dx x

x x x x

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Ejemplo final

La región gira alrededor de una vertical distinta al eje y

El problema

Hallar el volumen del sólido de revolución que se produce al hacer girar alrededor de la recta vertical x = 1, la región que está comprendida entre el eje x, la curva y = f (x) y las rectas verticales x = 2, x = 3, donde

2( ) 2 2 .f x x x

El sólido de revolución

2( ) 2 2 .f x x x

Lo especial de este ejemplo

El radio de un casquete cilíndrico cualquiera, que tiene como altura f (x), es x − 1, y no x como en los casos anteriores, porque el sólido tiene como eje de rotación a la recta x = 1.

La integral del volumen

En este caso, la integral del volumen es:

32

22 ( 1) 2 2V x x x dx


32

2

3 32

2 2

2 ( 1) 2 2

4 ( 1) 2 ( 1) 2

V x x x dx

x dx x x x dx

La primera integral no tiene problema. Para evaluar la segunda podemos hacer la sustitución u = x2 − 2x.

Por lo tanto, du = 2(x − 1)dx.

Los límites de integración: si x = 2, entonces u = 0 y si x = 3, entonces u = 3. Así:


3 31 2

2 0

3 323 2

02

4 ( 1)

24 6 2 3

2 3

V x dx u du

xx u

◙

◙

FIN

GRACIAS

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