GUÍA N° 3 y 4 - 2021

CAMPO ASIGNATURA GRADO CURSOS

MATEMÁTICO MATEMÁTICAS 9° NOVENOS JM - JT

OBJETIVOS / PROPÓSITOS

Conocer y emplear los números racionales en la solución de diversas situaciones. Ubicar los números racionales (en su representación como fracción o decimal) en la

recta numérica. Resolver operaciones básicas con números racionales (en su representación como

fracción o decimal).

APRENDIZAJES / CONTENIDOS

Definición de números racionales Conversión de racionales entre número mixto, fracción y decimal Ubicación de número racionales en su representación como fracción o decimal Operaciones básicas con números fraccionarios y decimales

EVALUACIÓN Y DESEMPEÑOS ESPERADOS

ORDEN en la entrega de las imágenes Claridad en TODAS las actividades propuestas. Autenticidad en el trabajo. Identificar las características del conjunto de los números reales y resolver

situaciones problemas que necesitan de sus propiedades y operaciones para la solución.

Participar en las actividades propuestas por los docentes.

RECURSOS VIRTUALES

Pueden visitar los siguientes enlaces para reforzar el contenido: Introducción a los números racionales https://www.youtube.com/watch?v=kYyDc0XRUeg Conversión de mixto a fracción y viceversa https://www.youtube.com/watch?v=Zf4KEQfm1aY Conversión de fracción a decimal https://www.youtube.com/watch?v=3t7fQ2cPjxw Conversión de decimal exacto a fracción https://www.youtube.com/watch?v=F5TT9lzXJW8 Ubicación de racionales en la recta numérica

como fracción https://www.youtube.com/watch?v=sa2KXS2pogI como decimal https://www.youtube.com/watch?v=t5Bu_YUCrPk

TIEMPO ESTABLECIDO

Guía 3. Semanas del 01 de marzo al 12 de marzo. Guía 4. Semanas del 15 de marzo al 26 de marzo.

Fecha Máxima de entrega Guía 3: 12 de marzo. Fecha Máxima de entrega Guía 4:

26 de marzo.

FORMA DE ENVÍO

1. Envía fotos nítidas de tu trabajo, debes numerar cada página. 2. Marcar cada página con tu nombre, curso y jornada. 3. En el asunto del correo coloca curso + jornada + apellidos y nombre

ejemplo: 901_JT_Pérez_Juan 4. Envía a los correos:

JM: 901 – 902 - 903 – 904 (Alicia Páez): alicenegra@hotmail.com JT: 901 – 902 – 903: (Catalina Cristancho): catalina2021gs@gmail.com

904: (Roger León): raleonq@educacionbogota.edu.co

GUÍA 3 - FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Los números racionales se aplican en diversas situaciones para representar la relación entre dos cantidades o magnitudes, por ejemplo, en física se utilizan números racionales para expresar la relación entre la distancia recorrida por un automóvil en un tiempo determinado, en economía para indicar porcentajes, en situaciones en la que se deba expresar una medida, etc. DEFINICIÓN DEL CONJUNTO Q El conjunto de números racionales se simboliza con la letra ℚ y se define como:

ℚ = {𝑎

𝑏 / 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0}

SECRETARIA DE EDUCACIÓN MAYOR DE BOGOTA D.C INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL

GENERAL SANTANDER – ENGATIVÁ RESOLUCION 2570 DE AGOSTO 22 DE 2002

“FORMACIÓN CON SENTIDO HUMANO Y TECNOLÓGICO HACIA UN FUTURO SOLIDARIO Y EQUITATIVO”

Es decir, que todo número que se pueda escribir de la forma 𝑎

𝑏 es un número racional, por ejemplo, las fracciones

−1

2,

4

3,

−8

11 se escriben

de esta forma, inclusive los números enteros también se pueden escribir de esta forma si se escribe el divisor 1, que tienen en el

denominador por ejemplo el número 3 se puede escribir como 3

1 o el número -11 se puede escribir como

−11

1. Por lo tanto, los números

enteros también pertenecen a este conjunto de los números racionales. Otra manera de reconocer los racionales son los números decimales exactos (tienen cifras decimales finitas), o los decimales periódicos (sus cifras decimales se repiten)

NÚMEROS RACIONALES EXPRESADOS COMO FRACCIÓN Pueden ser fracciones propias (el numerador es menor que el denominador) o fracciones impropias (el numerador es mayor que el denominador). Las fracciones impropias también se pueden expresar como números mixtos: NÚMEROS MIXTOS

Un número mixto es un racional que se expresa como la suma de un entero y una fracción. Por ejemplo, el número mixto 31

2

representa la suma del número entero 3 más la fracción 1

2, lo que sería igual 3 +

1

2=

7

2

Conversión de fracción a un número mixto Para convertir una fracción impropia a número mixto se realizan los siguientes pasos: Primero, se divide el numerador entre el denominador Luego, se toma el cociente de la división como parte entera del número mixto. Finalmente, se escribe la parte fraccionaria teniendo en cuenta que el residuo de la división es el numerador y el denominador es el divisor.

Ejemplo: Una torta se partió en 12 pedazos, por lo tanto, cada pedazo es 1

12 de torta. Si compre 33 pedazos de esos, ¿cuántas tortas

completas puedo formar? Una forma de resolver la situación es: 1. Multiplicar la cantidad de tortas de pedazos de torta que compre (33), entre la proporción de estos pedazos en relación con la

torta (1

12).

33 𝑥1

12=

33

12 , es decir que en total tengo

33

12 de torta.

2. Para saber 33

12 de torta a cuantas tortas enteras equivale, convierto esta fracción impropia (se llama impropia porque el numerador

es más grande que el denominador) en número mixto:

Fracción Impropia Operación Número mixto

33

12

_ 33 12 24 2 es decir que tenemos 2 tortas enteras

9 nos sobran 9 pedazos de 1

12 de torta

= 2 9

12

Entonces, con 𝟑𝟑

𝟏𝟐 de torta obtenemos 2 tortas completas y le sobran

𝟗

𝟏𝟐 pedazos de torta.

Conversión de número mixto a fracción Para convertir de número mixto a fracción impropia se realizan los siguientes pasos: Primero, se multiplica la parte entera por el denominador de la fracción. Luego, se suma el producto anterior al numerador. Finalmente, se deja el mismo denominador. Por tanto, si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℕ 𝑦 𝑐 ≠ 0, entonces se tiene que:

𝑎 𝑏

𝑐= 𝑎 +

𝑏

𝑐 =

𝑎 𝑥 𝑐 + 𝑏

𝑐

Ejemplo: Un motociclista maneja con una velocidad constante de 60 9

13 kilómetros por hora. Suponiendo que pudiera manejar

durante 13 horas continuas, ¿Cuántos kilómetros recorrería? Una forma de resolver el problema es convertir el número mixto a fracción. Por tanto, se tiene que:

60 9

13= 60 +

9

13=

60 𝑥 13 + 9

13=

789

13

Como la velocidad 𝑣 es igual a 𝑣 = 𝑑

𝑡=

789

13, donde d es la distancia y t es el tiempo, entonces, se concluye que el motociclista

recorrería 789 kilómetros en 13 horas. REPRESENTACIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL Conversión de un racional expresado como fracción a su representación en decimal: Todo número racional puede llevarse a una representación decimal, basta con dividir el numerador entre el denominador.

Ejemplos: Número Racional

Operación Número decimal

Tipo de decimal

−3

2

_ 3 2 2 - 1,5 _ 10 10 0 División exacta (porque el residuo es 0)

= −1,5

Decimal exacto: Si la división es exacta; es decir, llegamos a un momento en el que el denominador es 0

−7

3

_ 7 3 6 - 2,333… _ 10 9 El 3 que está inmediatamente después _ 10 de la coma decimal se repetirá indefinidamente 9 10

= −2, 3̅

Decimal periódico puro: Si el digito o grupo de dígitos que está después de coma se repite indefinidamente.

7

6

_ 7, 6 6 - 1,1666… _ 10 6 En este caso es el 6 el digito que se repite _ 40 indefinidamente, no está inmediatamente después 36 de la coma, antes hay un uno. 40

- 36 4

= −1,16̅

Decimal periódico mixto: Si el digito o grupo de dígitos que se repite no está inmediatamente después de la coma.

Conversión de un racional expresado en decimal a su expresión en fracción: Para tomar un racional expresado en decimal exacto y expresarlo en su forma de fracción, multiplicamos este decimal por una potencia de 10n, donde n es la cantidad de cifras decimales que tiene el número. Y dejamos un denominador que sea igual a la potencia de 10n por la que multiplicamos. Ejemplo:

Decimal exacto Operación Racional

3,541

1. El exponente de 10n, será 3 pues el decimal tiene 3 decimales (dígitos después de la coma), entonces obtenemos 103 = 1000, que será el número por el que multipliquemos y dividamos el decimal.

3,54 𝑥 1000

1000=

3540

1000

2. Finalmente simplificamos 3540

1000=

354

100=

177

50

= 177

50

REPRESENTACION EN LA RECTA NUMÉRICA DE UN NÚMERO RACIONAL EN FORMA DE FRACCIÓN A continuación, indicaremos paso a paso con dos ejemplos cómo representar una fracción racional en la recta numérica

Ejemplo 1: Representación del fraccionario −2

3

ALGORTIMO PROCEDIMIENTO

1. Iniciando en 0, avanza hacia la izquierda si el número es negativo o a la derecha si es positivo

Como −2

3 es negativo, entonces avanzaremos desde 0 hacia la izquierda

2. Divide la primera unidad (de 0

a -1), en el número de partes que indica el denominador

Como el denominador de −2

3 es 3, entonces dividimos la unidad de 0 a -1 en 3 partes iguales

3. Tomamos de derecha a izquierda la cantidad de partes que indica el numerador

Como el numerador de −𝟐

3 es -2 entonces tomamos 2 unidades de las 3 que partimos

anteriormente, de derecha a izquierda.

4. Ubicamos el fraccionario al final del segmento que acabamos de trazar

Entonces el fraccionario queda ubicado aquí

Ejemplo 2: Representación del fraccionario 7

4

ALGORTIMO PROCEDIMIENTO

1. Iniciando en 0, avanza hacia la izquierda si el número es negativo o a la derecha si es positivo

Como 7

4 es positivo, entonces avanzaremos desde 0 hacia la derecha

2. Divide la primera unidad (de 0 a 1), en el número de partes que indica el denominador

Como el denominador de 7

𝟒 es 4, entonces dividimos la unidad de 0 a 1 en 4 partes iguales

3. Tomamos la cantidad de partes

que indica el numerador Como el numerador de

𝟕

4 es 7 entonces debemos tomar 7 unidades de las que partimos

anteriormente. Pero, como solo tenemos 4 partes es preciso tomar la siguiente unidad, de 1

a 2 y dividirla de nuevo en las partes que indica el denominador 7

𝟒 osea en 4 partes, para

tomar las partes faltantes.

4. Ubicamos el fraccionario al final del segmento que acabamos de trazar

Entonces el fraccionario 7

4 queda ubicado aquí

OPERACIONES BÁSICAS ENTRE NÚMEROS RACIONALES EXPRESADOS COMO FRACCIÓN Suma y resta: Se debe tener en cuenta las dos partes de un fraccionario: numerador y denominador a la hora de operar ya que se pueden presentar dos casos.

1. Cuando el denominador es igual se realizan las operaciones de las fracciones teniendo en cuenta solo los numeradores, y se opera teniendo en cuenta los signos (signos iguales se suman, signos diferentes se restan).

Ejemplo:

−1

5−

3

5= −

4

5 (Se deja el mismo denominador que es 5 y se operan los numeradores: -1-3, como son del mismo signo se suman

y queda -4 en el numerador)

−3

7+

9

7=

6

7 (Se deja el mismo denominador que es 7 y se operan los numeradores: -3+9, como son de signo diferente, se restan

y queda 6 en el numerador)

2. Cuando el denominador es diferente se multiplica de forma cruzada, el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción; esos resultados quedan en el numerador de la respuesta. Luego, se multiplican los dos denominadores y ese resultado queda en el denominador de la respuesta.

Nota 1: a la hora de efectuar las multiplicaciones se debe tener en cuenta la ley de signos de la multiplicación. Nota 2: Cuando la fracción es negativa se toma el signo menos para el numerador de la fracción. Nota 3: En el caso de que se presenten más de dos fraccionarios se deben operar primero los que se encuentren dentro del paréntesis y el resultado con el siguiente. Ejemplos:

−5

4−

1

6=

(−5)(6) + (4)(−1)

(4)(6)=

−30 − 4

24=

−34

24= −

34

24= −

17

12

−2

9+

4

3=

(−2)(3) + (9)(4)

(9)(3)=

−6 + 36

27=

30

27=

10

9

Multiplicación: Las operaciones de multiplicación se hacen de forma lineal (numerador con numerador, denominador con denominador). Se debe tener en cuenta la ley de signos de multiplicación. Cuando no hay ningún signo aditivo (+ o -) entre los paréntesis o entre los términos, entonces es una multiplicación. Ejemplos:

(−1

5) (

3

6) = −

3

30= −

1

10

(12

4) ∙ (

4

5) =

48

20=

24

10=

12

5

−2

3(−

6

7) =

12

21=

4

7

(−7

3) ∗

2

9= −

14

27

División: Las divisiones se realizan de forma cruzada, se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, ese resultado va en el numerador de la respuesta; y, se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, ese resultado va en el denominador de la respuesta. Se debe tener en cuenta la ley de signos de multiplicación Ejemplos:

(−1

5) ÷ (

3

6) = −

6

15= −

2

5

(12

4) ÷ (

4

5) =

60

16=

30

8=

15

4

−2

3÷ (−

6

7) =

14

18

(−7

3) ÷

2

9= −

63

6

GUÍA 3 – ACTIVIDADES Fecha máxima de entrega: 12 de marzo

1. Completa la siguiente tabla, como se indica en los ejemplos de ésta: Nota: Si la cantidad es negativa, lo sigue siendo en cualquiera de sus 3 representaciones

Mixto Procedimiento Fracción Procedimiento Decimal

Conversión de mixto a fracción Conversión de fracción a decimal

−32

5 − (

5 𝑥3 = 15 + 2

5) =

−17

5

−17

5

_17, 0.. 5 15 3,4 _ 20 20 0

-3,4

Conversión de fracción a mixto Conversión de decimal a fracción

51

2

_11 2 10 5

1

11

2

5,5 x 10

10 =

55

10 =

11

2

5,5

Conversión de mixto a fracción Conversión de fracción a decimal

31

4

Conversión de fracción a mixto Conversión de decimal a fracción

-2,18

Conversión de fracción a mixto Conversión de fracción a decimal

−4

3

Conversión de fracción a mixto

Conversión de decimal a fracción

-0,25

22

5

Conversión de mixto a fracción

Conversión de fracción a decimal

2. Siguiendo los pasos de los ejemplos, ubica en las rectas numéricas los siguientes números racionales expresados como fracción:

a. −3

2

b. 6

5

c. −43

d. 9

4

3. Identifica a que número racional corresponde la ubicación que señala la flecha

Número racional

Representación en la recta numérica

4. Realiza las siguientes operaciones entre racionales expresados como fracción.

GUÍA 4 - FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

NÚMEROS RACIONALES EXPRESADOS COMO DECIMAL

Como mencionamos en la Guía 3, los racionales también pueden ser expresados como número decimal. Pero no todos los decimales son racionales, podemos identificarlos porque son decimales exactos (cifras decimales finitas) o porque son decimales periódicos (cifras decimales infinitas que se repiten). Si son decimales no periódicos e infinitos (p.ej. 34,8724561042…) hacen parte del conjunto de los irracionales. En la Guía 3 también se explicó cómo pasar de un racional expresado como fracción a un racional expresado como decimal y viceversa. En esta Guía 4 nos centraremos en los racionales expresados como decimal. REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA DE UN NÚMERO RACIONAL EN FORMA DE DECIMAL

Para este concepto es preciso que recuerdes el nombre de los dígitos decimales según su valor posicional

A continuación, indicaremos paso a paso con dos ejemplos cómo representar una decimal racional en la recta numérica. Ejemplo 1: Representación del decimal -1,4

ALGORTIMO PROCEDIMIENTO

1.Iniciando en 0, avanza a la izquierda si el número es negativo o a la derecha si es positivo.

Como -1,4 es negativo, entonces avanzaremos desde 0 hacia la izquierda

-2 -1 0 1 2

2.Nos desplazamos la cantidad de unidades que indique el digito que está

Como -1,4 tiene en el digito de las unidades un -1, entonces nos desplazamos una unidad hacia la izquierda

-2 -1 0 1 2

en las unidades.

3.Divide la siguiente unidad en diez partes iguales.

Para nuestro ejemplo la siguiente unidad es el intervalo de -1 a -2. Entonces ese intervalo lo dividiremos en 10 partes iguales, (estas partes se llaman décimas)

-2 -1 0 1 2

4.Tomamos la cantidad de décimas que indica el digito que está en la casilla de las décimas.

Como el número -1,4 tiene 4 décimas tomamos 4 de las partes en las que partimos la unidad anteriormente

-2 -1 0 1 2

5.Ubicamos el decimal al final del segmento que acabamos de trazar

Entonces el decimal -1,4 queda ubicado aqui -1,4

-2 -1 0 1 2

Ejemplo 2: Representación del decimal 0,74

ALGORTIMO PROCEDIMIENTO

1. Iniciando en 0, avanza a la izquierda si el número es negativo o a la derecha si es positivo.

Como 0,76 es positivo, entonces avanzaremos desde 0 hacia la derecha

2.Nos desplazamos la cantidad de unidades que indique el dígito que está en las unidades

Como 0,76 tiene en el dígito de las unidades un 0, entonces nos desplazamos 0 unidades hacia la derecha. (es decir que no nos desplazamos)

3.Divide la siguiente unidad en diez partes iguales.

Para nuestro ejemplo la siguiente unidad es entonces el intervalo de 0 a 1. Entonces ese intervalo lo dividiremos en 10 partes iguales, (estas partes se llaman décimas)

4.Tomamos la cantidad de décimas que indica el dígito que está en la casilla de las décimas.

Como el número 0,76 tiene 7 décimas, entonces tomamos 7 de las partes en las que partimos la unidad anteriormente

5.Dividimos la siguiente décima en 10 partes iguales

Para nuestro ejemplo la siguiente unidad es entonces el intervalo de 0,7 a 0,8. Entonces ese intervalo lo dividiremos en 10 partes iguales, (estas partes se llaman centésimas).

6.Tomamos la cantidad de centésimas que indica el dígito que está en la casilla de las centésimas

Como el número 0,76 tiene 6 centésimas, entonces tomamos 6 de las partes en las que partimos la décima anteriormente

7.Ubicamos el decimal al final del segmento que acabamos de trazar

Entonces el decimal 0,76 queda ubicado aquí

NOTA: En el caso de que el decimal tuviera un digito adicional (milésimas), por ejemplo, si el numero fuese 0,768 se repetiría el proceso dividiendo la siguiente centésima (de 0,76 a 0,77) en 10 partes iguales y tomando las 8 partes que indica el dígito de las milésimas.

OPERACIONES BÁSICAS ENTRE NÚMEROS RACIONALES EXPRESADOS COMO DECIMAL Suma y resta: Para sumar o restar números decimales, por facilidad se sugiere ubicarlos de manera vertical de manera que las comas decimales queden alineadas en la misma columna. Se debe tener en cuenta le ley de signos en suma y resta: SIGNOS IGUALES SE SUMAN Y QUEDA EL MISMO SIGNO EN LA RESPUESTA, SIGNOS DIFERENTES SE RESTAN Y QUEDA EN LA RESPUESTA EL SIGNO DEL NÚMERO MÁS GRANDE. Ejemplos:

Operar: 4,67-56,8 Se deben restar porque son de signos diferentes, el número más grande se escribe arriba y debajo se escribe el otro número conservando las comas decimales alineadas.

Operar: -14,97-6,456 Se deben sumar porque son de signos iguales, el número más grande se escribe arriba y debajo se escribe el otro número conservando las comas decimales alineadas.

Multiplicación:

0,76

División:

GUÍA 4- ACTIVIDADES Fecha máxima de entrega: 26 de marzo

1. Siguiendo los pasos de los ejemplos anteriores ubica en las rectas numéricas los siguientes números racionales:

a. 1,9

b. -2,18

c. −0,8

0

d. 1,35

2. Identifica a qué número racional corresponde la ubicación que señala la flecha

Nú

mero

racio

nal

Representación en la recta numérica

_,__

_,_

_,__

_,_

3. Realiza las siguientes operaciones (Muestra claramente el proceso) a. (23,67 + 59,41) = b. (97,97 – 56,49) = c. (354,37 + 456, 21) + 657,96 = d. (654,98 -458,76) – 145,67 = e. 236,72 x 5= f. 97,4 ÷ 6 = g. 23,67 x 5,4= h. 8,6 ÷ 0,3 =

REFERENCIAS: Tomado de

https://idoc.pub/documents/los-caminos-del-saber-matematicas-7-pdfpdf-eljmq990zxl1

https://es.wikihow.com/operar-con-fracciones

https://www.smartick.es/blog/matematicas/sumas-y-restas/suma-de-numeros-decimales/

https://edu.gcfglobal.org/es/los-decimales/problemas-con-resta-de-decimales/1/

https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/multiplicaciones-con-decimales/

https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/como-resolver-un-ejercicio-de-division-de-decimales/

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/2esomatematicas/2quincena3/2quincena3_contenidos_2e.htm