WAVELETSCONCEPTO Y APLICACIONES PARA EL ANLISIS DE SEALESRAMIRO TRIANAPABLO CERON2006

NDICE

INTRODUCCIN HISTRICA (I)1807 (1822) Joseph Fourier indica que toda funcin peridica puede ser expresada como una suma infinita de senos y cosenos de distintas frecuencias. 1909 El matemtico hngaro Alfred Haar descubre una base de funciones que con el tiempo demostrarn ser los primeros wavelets. 1946 El fsico Dennis Gabor descompone una seal en paquetes de frecuencia-tiempo.1981 El ingeniero Jean Morlet encuentra el modo de descomponer una seal ssmica en cierto tipo de wavelets de forma constante. 1984 - Con la ayuda del fsico cuntico Alex Grossman, Morlet desarrolla su modelo. El trmino wavelet aparece por primera vez.

INTRODUCCIN HISTRICA (II)1985 Ives Meyer descubre el primer wavelet ortogonal suave.1986 Stphane Mallat muestra que los mtodos de Haar, Gabor, Morlet...estn relacionados por el mismo algoritmo de wavelets. 1987 Ingrid Daubechies construye el primer wavelet ortogonal con soporte compacto. Los wavelets pasan a ser una importante herramienta prctica de clculo.1990 David Donoho y Johnstone usan los wavelets para eliminar el ruido de una seal.1992 El FBI usa los wavelets para comprimir su base de datos de huellas dactilares.2004 Una vez superada la gran revolucin de los aos 90, se ve que no todo se puede hacer con wavelets, pero que s suponen una nueva herramienta til de clculo y anlisis.

QU ES UN WAVELET? Motivacin El anlisis de Fourier de una seal (supongamos temporal) permite determinar sus frecuencias, pero a costa de perder la informacin de tipo temporal sobre la seal (no dice cuando aparece cada frecuencia).

Lo que se puede hacer es subdividir la pieza en trozos, y analizar cada trozo. Esto nos da una informacin rudimentaria sobre el orden temporal en el que se dan las frecuencias. Este tipo de anlisis se conoce como la transformada de Gabor (aplicar una ventana a los datos). Sin embargo, este tipo de anlisis es imperfecto.

Recordemos que la resolucin temporal y la resolucin en frecuencias de una seal estn acopladas [Existe un principio de incertidumbre similar al de Heisenberg: Dt .Dw p]. Existen mtodos de anlisis que alcanzan este mximo. Fourier es uno de ellos pero alcanza la mxima resolucin espectral sacrificando la resolucin temporal. Los wavelets s dan informacin simultnea de t y w.

QU ES UN WAVELET? Anlisis funcional (I) Consideremos la transformacin lineal y continua de una funcin s(t) dada por: [* indica complejo conjugado]w es una funcin de peso (ventana) generalmente gaussiana.El coeficiente 1/a es un factor de normalizacin.El anlisis con Wavelets presenta interesantes diferencias frente al anlisis clsico de Fourier.

FOURIERGABORWAVELETS

QU ES UN WAVELET?Presentacin Observe algunos de los wavelets ms antiguos...

QU ES UN WAVELET?Presentacin

QU ES UN WAVELET?Presentacin

QU ES UN WAVELET?Presentacin El nmero de wavelets existentes es enorme. En general conviene usar aquel cuya forma se adece mejor al tipo de seal con la que se trabaja. Hay wavelets contnuos/discretos, con/sin soporte compacto, suaves/con discontinuidades, ortogonales/biortogonales.. Algunos wavelets tienen expresiones analticas. Por ejemplo:[Wavelet de Morlet]:[Sombrero mejicano]: (2derivada de una gaussiana)

QU ES UN WAVELET?Representacin grfica de los coeficientes de la transformada discreta de wavelets El anlisis de wavelets: Nos da informacin sobre el espectro de frecuencias en funcin del tiempo. La resolucin espectral de una frecuencia f es: Df f La resolucin temporal de esta frecuencia es: Dt 1/f (Dt.Df = cte). Realizando una Transformada discreta de Wavelets obtenemos una serie de coeficientes que podemos interpretar grficamente:

QU ES UN WAVELET? Anlisis funcional (II): Traslaciones y DilatacionesUna transformada de wavelets de una funcin s(t) viene dada por:El trmino t nos da las traslaciones y el trmino a las dilataciones del wavelet.

QU ES UN WAVELET? Anlisis funcional (II): Traslaciones y DilatacionesUna transformada de wavelets de una funcin s(t) viene dada por:El trmino t nos da las traslaciones y el trmino a las dilataciones del wavelet.

QU ES UN WAVELET? Anlisis funcional (III): Traslaciones y Dilataciones Es decir, la seal s(t) se muestrea empleando versiones (wavelets) del wavelet madre (dilatados y trasladados) estudiando punto a punto para qu dilataciones y traslaciones la seal s(t) y el wavelet son ms similares. Como es lgico, la frecuencia de la seal s(t) estudiada est intimamente relacionada con la escala a del wavelet. Por otro lado, el que el anlisis sea local, es lo que le da a la transformada de wavelets sus interesantes propiedades.

QU ES UN WAVELET?Representacin grfica de los coeficientes de la transformada discreta de wavelets Esta forma de descomponer una seal es bastante natural: los eventos de baja frecuencia suelen durar en el tiempo, mientras que los eventos de frecuencia alta suelen ser breves.SCALOGRAM

QU ES UN WAVELET?Representacin grfica de los coeficientes: EJEMPLO PRCTICO

FOURIER vs WAVELETS:Descomposicin de una seal en ondas

FOURIER vs WAVELETSVENTAJAS DE LA TRANSFORMADA DE WAVELETS El anlisis de wavelets est especialmente indicado para seales con pulsos o intermitencias: sucesos que ocurren de manera no peridica. Para estas seales, Fourier da muy poca informacin, al perder casi toda informacin temporal. Fourier es inestable frente a seales de tipo intermitentes: si aadimos un impulso localizado en el tiempo a una seal, todo el espectro de Fourier se ver afectado, mientras que solo algunos coeficientes de wavelets se modificarn. Cuando un sistema es lineal y los modos de vibracin son modos propios del sistema, el anlisis de Fourier proporciona mucha informacin sobre los mismos. Pero si no es as, la descomposicin en modos propios no da informacin interesante, ya que mezcla la informacin de los varios modos de oscilacin. Al estudiar sistemas no lineales que no tienen modos propios, ninguna descomposicin global en el espritu del anlisis de Fourier tendr xito. Uno se debe limitar a una expansin local en modos, que es lo que hace el anlisis de wavelets.

FOURIER vs WAVELETSVENTAJAS DE LA TRANSFORMADA DE WAVELETS La Transformada Discreta de Wavelets presenta adems claras ventajas frente a su contrapartida de Fourier: - Ms rpida desde el punto de vista computacional: O(N) [DWT], frente a O(NlogN) [FFT] para una muestra de N datos. - En muchos casos proporciona un mejor ajuste a los datos con menos coeficientes.(Permitiendo una mejor compresin de los datos que los mtodos basados en Fourier). - Las tcnicas de filtrado de ruido basadas en wavelets dan mejores resultados.DESVENTAJAS DE LA TRANSFORMADA DE WAVELETS Es una tcnica reciente. Aunque en las ltimos aos se ha hecho un gran esfuerzo por darle todo el rigor matemtico que tiene la transformada de Fourier y unificar mtodos y notaciones, el ritmo de aparicin de publicaciones sobre el tema hace que no sea tarea fcil. No permite realizar algunos clculos como los relacionados con la convolucin o la modulacin de una seal...

FOURIER vs WAVELETS:Ej: Estudio de discontinuidades en una seal.

FOURIER vs WAVELETS:Ejemplo: Compresin de imgenes JPG vs JPG-2000

FOURIER vs WAVELETS:Ej: Filtrado de Ruido en imgenes

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA Partimos de la definicin indicada de la transformada: El trabajar con transformaciones de wavelets discretas es una prctica habitual. Esto se debe a su eficacia computacional y a que normalmente se trabaja con seales de datos discretos. Lo ms comn a la hora de discretizar la transformada de Wavelets continua es emplear la rejilla didica.[Tomar a = 2i ]. En este caso, la transformada viene dada por:

Cada i se denomina octava o escala, y consiste en cada uno de los niveles en los que se descompone la seal. Las escalas bajas tienen en cuenta las frecuencias bajas y las escalas altas, las frecuencias mayores.

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA Cuando se usan wavelets ortonormales (Desde el punto de vista de las funciones de cuadrado integrable L2) , lo habitual es usar un procedimiento denominado "decimation (=diezmar). Consiste en descomponer la seal en un nmero de coeficientes proporcional a la escala analizada. Esto hace que la seal tenga distinto nmero de coeficientes en cada escala. Fsicamente esto refleja el hecho de que las frecuencias menores de una seal necesitan menos coeficientes para ser representadas. Una Transformada de Wavelet diezmada es:

Ahora el paso de obtener la versin Discretizada y Diezmada de la Transformada de Wavelet (DWT):

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA Definimos la familia de wavelets asociadas a un wavelet madre dado las obtenidas mediante las siguientes traslaciones y expansiones: Con esto, la DWT diezmada queda:

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA Toda transformada de wavelets viene determinada (como mnimo) por dos funciones (o las dos series de coeficientes (filtros) que caracterizan a estas funciones): Una funcin de escala madre y un wavelet madre. La funcin de escala madre tiene la importante propiedad de: Hay que hacer notar que en esta expresin k toma valores discretos k=0,1..N-1, mientras que t es una variable contnua. A partir de esta funcin madre se puede derivar de manera similar a su familia asociada de funciones de escala:

Para unos coeficientes hk dados es relativamente sencillo construir la funcin de escala madre. Partiendo de una funcin inicial e iterando segn la relacin, obtendremos (t). NOTA: La familia de funciones de escala forman una base ortonormal de L2 FUNCIN DE ESCALA MADRE

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA Una vez definida la funcin de escala madre, el wavelet viene dado por: Aunque es bastante evidente no est de ms enfatizar que son los coeficientes hk y gk (denominados filtros pasa-bajo y filtro pasa-alto) los que determinan la funcin de escala madre y el wavelet. En muchos casos, "Los filtros discretos son ms fundamentales que los propios wavelets. Por tanto, dados unos coeficientes hk y gk tendremos ya bien definidos tanto la funcin madre como los wavelets. A estos coeficientes se les imponen una serie de condiciones que caracterizan las propiedades de los wavelets que se obtendrn. Si se es excesivamente restrictivo, la nica solucin que se obtiene es la del wavelet de Haar. Segn se van relajando condiciones aparece una amplia variedad de wavelets. FILTROS PASA-ALTO Y PASA-BAJO

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA Para unos coeficientes hk y gk podemos crear las funciones de escala y wavelet madre correspondientes. En la prctica como veremos no es necesario y basta con trabajar con los coeficientes (filtros). FUNCIN DE ESCALA MADRE DE DAUBECHIES DE ORDEN 4: Viene definida por los coeficientes:

Partimos de una funcin de escala inicial (por ejemplo, la funcin escaln) e iterando con la ecuacin: iremos obteniendo la nueva funcin de escala. Con la funcin de escala y gk , es fcil obtener el wavelet madre:

CREACIN DE WAVELETS

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETACREACIN DE WAVELETS Son fractales. Su estructura surge automticamente a partir de las reglas de escalado y ortonormalidad. Las derivadas de este wavelet no son contnuas (es una caracterstica de wavelets de soporte compacto ortonormale).

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA Sea una seal f(t) formada por N = 8 puntos. Esto nos lleva a tener M=3 escalas de descomposicin de la seal (23 = 8 ): Como la funcin de escala madre forma una base de L2, podemos hacer el desarrollo: Cada par de funciones de escala de un cierto nivel k, f2ik y f2i+1k, se pueden escribir como la suma de una funcion de escala de nivel k+1 y wavelet de nivel k+1:DESCOMPOSICIN DE UNA SEAL EN WAVELETS Y FUNCIONES DE ESCALA

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA Sea una seal f(t) formada por N = 8 puntos. Esto nos lleva a tener M=3 escalas de descomposicin de la seal (23 = 8 ): Como la funcin de escala madre forma una base de L2, podemos hacer el desarrollo: Cada par de funciones de escala de un cierto nivel k, f2ik y f2i+1k, se pueden escribir como la suma de una funcion de escala de nivel k+1 y wavelet de nivel k+1:DESCOMPOSICIN DE UNA SEAL EN WAVELETS Y FUNCIONES DE ESCALA

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

ESCALA 0

ESCALA 1

ESCALA 2

ESCALA 3

DESCOMPOSICIN DE UNA SEAL EN WAVELETS Y FUNCIONES DE ESCALA

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETADESCOMPOSICIN DE UNA SEAL EN WAVELETS Y FUNCIONES DE ESCALA

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA Los coeficientes de la transformada a distintas escalas vienen dados por las relaciones (Convolucin circular):

Por supuesto, hay que definir en este proceso a distintas escalas, los valores de la escala inicial. En este caso, debemos saber los valores de s i [0]. Como trabajamos con seales discretas s(i) ,, i = 1..N, una posible eleccin es tomar directamente: s i [0] = s(i).

NOTA: La ventaja de usar como valores iniciales directamente los de la funcin consiste en que no requiere trabajar con la funcin de escala directamente sino slo con los coeficientes. , aunque segn las definiciones anteriores, habra que hacer:

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETAINVERSA Implementacin de la transformada INVERSA: (Convolucin circular):

DWT TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETACONCLUSIONES

WAVELETS ORTOGONALES Y BIORTOGONALES Los wavelets que se hemos estado viendo son ortogonales. Los filtros g y h han sido elegidos de modo que cumplan:

WAVELETS ORTOGONALES Y BIORTOGONALESSOPORTE COMPACTO?Dentro de los wavelets ortogonales, los wavelets de Daubechies son compactos en el tiempo, y por tanto tienen una extensin infinita en el espacio de frecuencias (debido a Dt.Dw p). Esto se manifiesta en la naturaleza no-suave (no diferenciable) de los mismos.

Existen otros muchos wavelets que son compactos en el espacio de frecuencias (suaves) y que por ello se extienden hacia infinito en el tiempo. Tienen la desventaja que no existen algoritmos muy rpidos para la transformacin (los ms rpidos estn basados en la FFT), y la ventaja de ser diferenciables.

Ejemplos: Wavelet armnico, Wavelet de Meyer

WAVELETS BIORTOGONALESPor supuesto, podemos relajar algunas de estas condiciones mostradas, con lo que podemos lograr que la forma de los wavelets sea ms suave. Adems si no nos restringimos al mtodo de clculo (decimation) que hemos estado mostrando (manteniendo el mismo nmero de coeficientes en cada escala, y por tanto, informacin redundante), podremos estudiar correlaciones entre las escalas (muy til).

Es un campo bastante abierto, en el que se emplean por ejemplo splines, combinaciones de wavelets... En la actualidad se trabaja ms en desarrollar estos campos que en el uso directo de transformada discreta con wavelets ortogonales.

DWT TRANSFORMADA WAVELETS CONTNUAAunque requiere un clculo ms largo (se acaban usando mtodos numricos basados en FFT), tiene la ventaja de poder trabajar de un modo menos restrictivo y ms intuitivo. Adems, su uso es necesario para el anlisis de seales con gran nmero de discontinuidades (anlisis fino que en una discretizacin podra verse excesivamente afectado) [Por ejemplo, para el estudio del caos]WAVELET DE MORLET

APLICACIONES: EJEMPLOSESTUDIO DE DISCONTINUIDADES

APLICACIONES: EJEMPLOSOBTENCIN DE INFORMACIN FRECUENCIA-TIEMPO

APLICACIONES: EJEMPLOSOBTENCIN DE INFORMACIN FRECUENCIA-TIEMPO

APLICACIONES: EJEMPLOSOBTENCIN DE INFORMACIN EN IMGENES

APLICACIONES: EJEMPLOSFUNDAMENTOS:

1) Pocos coeficientes de wavelets sern distintos de cero si la base es escogida adecuadamente para que tenga en cuenta las caractersticas de la seal. 2)Si la seal est distribuida de modo gaussiano, los coeficientes de wavelets tambin estarn distribuidos de modo gaussiano. (Transforma ruido en ruido). Por tanto, si se aade ruido a una seal, stos generarn coeficientes ruidosos, con el ruido contribuyendo a todos los coeficientes, mientras que la seal slo lo har a unos pocos.

FILTRADO DE RUIDO EN SEALES

APLICACIONES: EJEMPLOSEn este ejemplo se tom como seal la funcin f(t) = 3*Cos(t/128) + r,, t=1..128, siendo r una variable aleatoria con valores entre 0 y 1 (Ruido gaussiano). Tras realizar una transformada de Wavelets (Con Wavelets de Daubechie de orden 20), se convirtieron en cero aquellos coeficientes por debajo de un valor =0.5 [Un 87% de los coeficientes]. Al hacer la transformada inversa, se puede observar como se ha filtrado gran parte del ruido, mantenindose la seal.

APLICACIONES: EJEMPLOS SOFT THRESHOLDINGPare el mismo ejemplo anterior, se aplic este otro mtodo en el que los coeficientes superiores al valor crtico son "comprimidos" segn este valor . Se puede observar que el filtrado de ruido es mejor que en el caso anterior.

ANLISIS MULTIRESOLUCINSEALESTRUCTURA FRACTAL (Correlaciones entre escalas)

GRACIAS