bibing.us.esbibing.us.es/proyectos/abreproy/5169/descargar_fichero... · Web viewCapítulo 5....

Capítulo 5 Reglas de reparto secuencial

Capítulo 5

Asignación del agua de un río

mediante reglas de reparto

secuencial

5.1 Introducción

En este capítulo, nos vamos a centrar en la redistribución de un recurso entre una

serie de agentes que reclaman una cierta cantidad del mismo para cubrir sus

necesidades. El conjunto de agentes va a estar localizado de forma lineal y ordenada. Un

conocido ejemplo de esta situación particular es el conocido problema de reparto del

agua de un río. Aprovechándonos de la ordenación lineal en la situación de los agentes,

vamos a transformar el problema original de reparto de un río en otro tipo de problema

formado por una secuencia de pequeños problemas de reparto entre dos agentes. Esta

actuación se traduce en la transformación matemática hacia un tipo de problema

equivalente denominado problema de bancarrota y pueden ser resueltos usando todas

las reglas asociadas a este tipo de problemas. Vamos a proponer una clase de

soluciones, que denominaremos reglas de reparto secuencial, resolviendo el problema


de reparto de un río. Nuestras suposiciones abarcan la literatura de bancarrota para

establecer con una estructura secuencial de agentes el reparto de un recurso cualquiera.

En este capítulo, primero vamos a caracterizar una clase de reglas de reparto

secuencial. Además, analizamos estas reglas de reparto secuencial basadas en cuatro

reglas clásicas de los problemas de bancarrota, estableciendo sus propiedades y

comparándolos con algunas de las soluciones típicas de los problemas de reparto de un

río.

Vamos a analizar la redistribución de un recurso entre una serie de agentes que

reclaman una cierta cantidad, estando ordenados de forma lineal. Un ejemplo típico es

el problema de reparto del agua de un río (Ambec y Sprumont (2002), Parrachino et al.

(2006), Carraro et al. (2007)). En los problemas de reparto de un río, los agentes vienen

representados por ciudades (o demandantes de agua), ordenados de forma lineal a lo

largo de un río. Sobre el territorio de cada agente el nivel de agua se ve incrementado

por la aportación de los afluentes y de la lluvia sobre el territorio. Esto da lugar a la

dotación del agente al flujo del río. Además, cada ciudad reclama una cantidad de agua

para cubrir sus necesidades. Estas cantidades pueden estar establecidas por cualquiera

de los principales principios en el reparto de agua. Los dos principios más usados son

los que ya hemos visto hasta el momento. Por un lado, tenemos el principio ATS

(Absolute Territorial Sovereignty) y por otro tenemos el ATI (Absolute Territorial

Integrity). Aunque estos principios extremos no se usan con frecuencia, la cantidad de

recurso que requiere cada agente es muchas veces superior a los que aporta.

En este ejemplo, la redistribución del recurso de agua puede ser deseada, por

ejemplo, cuando algunos agentes tienen grandes aportaciones pero demandan muy poca

cantidad de recurso. Tenemos en cuenta la ordenación lineal de los agentes para

determinar la redistribución, usando aproximaciones axiomáticas. Aplicando dos

requerimientos muy naturales, el orden de los agentes nos permite transformar el

problema de reparto de un río en una secuencia de problemas de reparto formada

únicamente por dos agentes. Los problemas reducidos de reparto de un río son

matemáticamente equivales a los problemas de bancarrota (Aumann anda Maschler

(1985), Young (1987) Moulin (2002)). Así pues, podemos usar reglas de reparto

basadas en la literatura de los problemas de bancarrota para resolver estos problemas

reducidos de reparto de un río. En cada uno de estos problemas de reparto reducidos, el

derecho de agua está asignado al agente y al conjunto de sus vecinos aguas abajo. Al

igual que en los problemas de bancarrota, vamos a proponer unas clases de soluciones, a


la que vamos a denominar reglas de reparto secuencial, basadas en las exigencias de los

agentes. Las reglas de reparto secuencial están construidas por la aplicación recursiva de

las reglas de bancarrota a una secuencia de problemas de reparto de un río reducidos.

En los problemas de bancarrota, el recurso puede dividirse perfectamente y va a

ser repartido sobre un conjunto de agentes con exigencias superpuestas. Una solución a

los problemas de bancarrota es una regla de reparto basada en las exigencias de recurso

de cada agente. Vamos a analizar varias aproximaciones axiomáticas para la

construcción de las reglas de reparto.

En un problema de reparto de un río, los agentes van a estar ordenados

linealmente, caracterizados por una dotación inicial de recurso y una demanda para

cubrir sus necesidades. Las demandas pueden ser mayores o menores a las dotaciones.

Al igual que en los problemas de bancarrota, vamos a asumir escasez de recurso. Los

problemas de reparto de un río se diferencian de los problemas de bancarrota en dos

aspectos fundamentales. El primero de ellos es que existe una diferencia en la posición

de los agentes. En el problema estándar de bancarrota, todos los agentes tienen la misma

posición. En los problemas de reparto de un río, los agentes están ordenados

linealmente, reflejando la dirección de la corriente fluvial. Por lo tanto, las demandas de

los agentes tienen una estructura secuencial, uniendo los problemas de reparto de un río

a los problemas de bancarrota con prioridad de orden. El segundo aspecto es que existe

una diferencia en el estado inicial del recurso. En los problemas de bancarrota,

inicialmente el recurso está totalmente separado de los agentes. En los problemas de

reparto de un río, los agentes inicialmente tienen una dotación de recurso. Esta dotación

de recurso enlaza nuestras aproximaciones a la reasignación de problemas. Ambas

diferencias son muy importantes a la hora de construir la clase de reglas de reparto

secuencial.

Hay dos motivos o razones para resolver los problemas de reparto de un río

usando las reglas de bancarrota. El primero de ellos es el que hemos indicado

anteriormente. Ambos tipos de problemas tienen muchas cosas en común. Debido a que

las propiedades de los problemas de bancarrota están muy bien definidas, estas reglas

son buenas candidatas para ser aplicadas a los problemas de reparto de un río. La

segunda razón está basada en las actuales prácticas en la asignación de agua. Muchas

disputas entre dos agentes sobre los derechos de agua se resuelven usando varias reglas

de bancarrota, por ejemplo las reglas de mismo reparto para cada agente o de reparto

proporcional en base a cualquier criterio. Frecuentemente, estas soluciones están


explícitamente propuestas por terceras partes pero estas son también un resultado de las

negociaciones entre agentes. En este capítulo, vamos a mostrar una extensión lógica de

las reglas de reparto para los problemas de reparto de un río con más de dos agentes.

Así pues, primero vamos a extender las aproximaciones de la literatura de

bancarrota para establecer una estructura secuencial de los agentes y del recurso a

repartir. Después vamos a proporcionar fundamentos axiomáticos para una clase de

solución de los problemas de reparto de un río que satisfacen ciertas propiedades.

5.2 El problema de reparto de agua en un río

Consideremos un conjunto N ordenado de agentes, con n>2, localizados a lo

largo del río, con el agente 1 el situado aguas más arriba y el agente n el situado aguas

más abajo. Un agente cualquiera i está situado aguas arriba de j si se cumple que i< j.

Denotaremos U i= { j∈ N : j<i } al conjunto de agentes aguas arriba de i, y llamaremos

Di= { j∈N : j>i } al conjunto de agentes aguas abajo de i. Sobre el territorio de i, las

lluvias o las entradas procedentes de los afluentes incrementan el flujo del río total por

e i≥ 0 ;e=( e1 , …, en ) . Las entradas del río e i pueden ser consideradas como la dotación

de i. Esto no implica que el agente i tenga derecho de propiedad de e i . Los derechos

están asignados en un solución del problema de reparto del río, como se ha discutido

anteriormente. Además de la entrada al río e i, cada agente está caracterizado por una

demanda de agua c i ≥0 ;c=(c1 , …,cn ) de la corriente del río. Nosotros no imponemos

que porción de la demanda de un agente viene directamente de e1 ,e2 , …,en.

Toda está información es suficiente para definir nuestro problema de reparto de

agua de río.

Definición 5.1 (El problema de reparto de un río). Un problema de reparto de un río

está compuesto por la triada w= ⟨ N ,e , c ⟩ , con N un conjunto ordenado de un

número finito de agentes, e∈ R+¿n yc∈ R+¿n¿ ¿.

Para establecer la configuración de los problemas de reparto de un río vamos a usar

la siguiente representación gráfica.


Figura 5.1 El problema de reparto de un río para 4 agentes

Notar que en la Figura 5.1, los nodos representan a los agentes y las flechas

indican los flujos de agua. El agua sobre el territorio del agente i viene definida por

Ei=ei+ ∑j∈U i

( e j−x j ) .

Donde x=( x1 , …, xn ) es el vector de asignación de los derechos del agua. Esta es la

suma de todas las entradas del río sobre el territorio del agente i y el agua del río aguas

arriba no asignada. Para el problema de reparto del río vamos a realizar las siguientes

suposiciones.

Suposición 5.1 El agente n siempre va a demandar más agua que la que él tiene

disponible, es decir, cn>En.

Esta suposición implica que cn>en, y por tanto, se asegura que se va a disputar el

agua del río. Sin esta suposición, el agente n podría satisfacer su demanda

completamente y, por tanto, no existiría ningún problema.

Denotaremos Ω al conjunto de problemas de reparto del río que satisfacen la

suposición 5.1. Las reglas de reparto asignarán los derechos del agua a cada agente.


Definición 5.2 (Regla de reparto). Una regla de reparto es una aplicación F:Ω → R+¿n¿

que asigna a cada problema de reparto de un río w∈Ω un vector de asignación de

los derechos de agua x=( x1 , …,xn ) , x∈R+¿n ,¿ tal que

a) ∑i∈N

x i=∑i∈N

e i ,

b) 0≤ xi ≤ ci ,

c) x i≤ e i+ ∑j∈U i

e j ,∀ i∈N .

La asignación de los derechos de agua del agente i es F i (w )=x i. El primer

requerimiento de la regla de reparto es eficiencia, es decir, los derechos del agua no

quedan sin asignar. El segundo requerimiento implica que la asignación destinada a

cada agente esté siempre acotada por un valor máximo y cero. Para finalizar, la última

restricción representa la limitación de viabilidad.

5.3 Caracterización de las reglas de reparto secuencial

Las soluciones procedentes de la literatura de bancarrota no pueden ser

directamente aplicadas a los problemas de reparto de un río. El orden lineal de los

agentes situados a lo largo del río y la uni-direccionalidad del flujo del agua nos

permite, sin embargo, representar el problema del reparto del río como una secuencia de

problemas de reparto reducidos formados cada uno de ellos únicamente por dos agentes.

Estos problemas de reparto reducidos son matemáticamente equivalentes a los

problemas de bancarrota. Esto lleva a la definición de los problemas de reparto y a la

caracterización de una clase de reglas de reparto secuencial usando estas definiciones.

Únicamente n sobrepasa la demanda de materia. Para cada problema de reparto de

un río w= ⟨ N ,e , c ⟩ , y cada problema relacionado w '= ⟨ N , e ' , c ' ⟩ tal que

e '=(e1 ,…,en−1 , en' ) y c '=(c1, …, cn−1 , cn

' ) , con en' =0 y cn

' =cn−en, tenemos que

F i (w )=F i ( w ' ) ,∀ i∈N .

Esta propiedad nos indica que la asignación de agua, aguas arriba no debe estar

afectada por la parte de la demanda del agente n que puede estar satisfecho con la


dotación del agente n. En otras palabras, únicamente el agente n sobrepasa la demanda

cn−en. Este hecho, es un leve requerimiento ya que n no está confrontada con ninguna

demanda procedente de los agentes aguas abajo. Además, no hay ninguna alternativa de

uso para en de su asignación a n; la dotación en esta destinada al agente n. De esta

forma, parece natural que en se use para satisfacer parcialmente a cn.

Sin ventajas en las mezclas aguas abajo. Para cada problema de reparto de un río

w= ⟨ N ,e , c ⟩ , y cada problema relacionado w '= ⟨ N , e ' , c ' ⟩ tal que N '=N ¿ {n¿} y

e '=(e1 ,…,en−2 , en−1' ) con c '=(c1 ,…,cn−2 , cn−1

' ) y en−1' =en−1+en y cn−1

' =cn−1+cn,

tenemos que F i (w )=F i ( w ' ) ,∀ i<n−1.

Esta propiedad permite la posibilidad que los agentes n y n-1 consoliden sus

demandas y dotaciones y se presenten conjuntamente como un demandante único. El

axioma indica que la asignación de los agentes situados aguas arriba no está afectada

por este comportamiento.

Estas dos definiciones que acabamos de ver, de forma conjunta proporcionan

que el flujo del río aguas abajo se usa primero para satisfacer las demandas de los

agentes situados aguas abajo. Únicamente las demandas en exceso del flujo del río

aguas abajo pueden afectar a la asignación de agua de los agentes situados aguas arriba.

Así pues, las soluciones que podemos usar para el exceso de demanda aguas abajo, que

denotaremos como c Di, vienen dadas por la siguiente expresión.

c Di=∑j∈Di

(c j−e j ).

Consecuentemente, la dotación correspondiente aguas abajo es eDi=0.

Únicamente n sobrepasa la demanda de materia y Sin ventajas en las mezclas aguas

abajo son el primer paso para aproximar el problema de reparto del río usando las reglas

de bancarrota, asumiendo que los agentes situados aguas abajo no pueden demandar

algo que ya poseen.

Usando la expresión anterior, los dos axiomas llevan directamente a la

representación del problema de reparto del río w como una secuencia ( w1 ,…, wn ) de

problemas de reparto del río reducidos w i.


Definición 5.3 (Problema de reparto de un río reducido). Un problema de reparto de

un río reducido esta compuesto por la triada w i=⟨ N i , E i , Ci ⟩, con dos agentes

N i= {i , Di }, quienes tienen unas demandas C i={c i , cDi }, en un recurso Ei.

Notar que, en un abuso de notación, vamos a llamar al segundo agente del

problema de reparto de un río reducido como Di. Este conjunto de agentes son tratados

como un demandante único. En cada problema de reparto reducido w i, el flujo del río

disponible Ei es distribuido o repartido entre i y Di. Pasamos ahora a ver el siguiente

teorema sobre la disputa del agua.

Teorema 5.1 En cada problema de reparto reducido las sumas de las demandas excede

siempre a la cantidad de agua disponible: Ei<c i+c Di∀ i∈N

El Teorema 5.1 asegura que un problema de reparto de un río reducido es un

problema de reparto, de acuerdo con la Definición 5.1, compuesto por dos agentes y sin

ninguna dotación de agua, aguas abajo. Así pues, una regla de reparto asigna a cada

problema de reparto reducido w i , un vector de asignación de los derechos del agua

x=( x i , x Di )=Ei.

Un problema de reparto reducido es matemáticamente equivalente al problema de

bancarrota. De esta forma, las reglas de bancarrota pueden ser aplicadas a cualquier

problema de reparto reducido. Para poder resolver un problema de reparto de un río, las

reglas de bancarrota son aplicadas a la secuencia ( w1 ,…, wn ) de problemas reducidos.

Debido a la expresión Ei, el problema reducido y sus soluciones dependen unas de otras.

Ya que E1=e1 , por definición, w1 es el único problema reducido cuyas salidas no

dependen de las salidas de otros problemas reducidos. Su solución (la asignación x1 al

agente 1) determina E2 con la formulación correspondiente y proporcionando la

solución w2, etc. Así, la secuencia de problemas reducidos puede ser resulto

recursivamente en el orden lineal de los agentes situados a lo largo del curso del río.

Todo esto queda reflejado en la siguiente proposición.


Proposición 5.1 Para cada problema de reparto de un riow= ⟨ N ,e , c ⟩ y

sucorrespondiente secuencia de problemas de reparto reducidos ( w1 ,…, wn ), tenemos

que F i (w )=F i ( wi )∀ i∈N .

Los derechos de agua asignados a cada agente, son igual para la solución del

problema de reparto de un río y para la resolución recursiva de la secuencia de los

distintos problemas de reparto reducidos. Dado el vector de demandas y dotaciones, la

asignación del agente i es independiente del número de agentes en Di, la distribución de

sus demandas (c i+1, …, cn ) y la distribución de sus dotaciones (e i+1 , …,en); únicamente

depende de las demandas agregadas ∑j∈Di

c j y las dotaciones de materia ∑j∈Di

e j.

Antes de aplicar estas reglas en un ejemplo, vamos a ver cuatro reglas de reparto

secuencial, basadas en cuatro reglas básicas de la literatura de bancarrota. Estas cuatro

reglas clásicas son la regla proporcional, la limitación por premios iguales, la limitación

por pérdidas iguales y la regla del Talmud.

Regla proporcional (PRO). Para cada problema de reparto de un río reducido

w i=⟨ N i , E i , Ci ⟩∈Ω, existe un valor λ>0, tal que x iPRO= λc i y xD i

PRO= λ cDi.

PRO asigna a cada agente un reparto del recurso proporcional a la demanda del

agente.

Limitación de premios iguales (CEA). Para cada problema de reparto de un río

reducido w i=⟨ N i ,E i , Ci ⟩∈Ω, existe un valor λ>0, tal que x iCEA=min (c i , λ ) y

xDiCEA=min (cDi , λ ).

CEA asigna a cada agente un reparto equitativo de un recurso, sujeto a que

ningún agente reciba más de lo que demanda.

Limitación de pérdidas iguales (CEL). Para cada problema de reparto de un río

reducido w i=⟨ N i , E i , Ci ⟩∈Ω, existe un valor λ>0, tal que x iCEL=max (0 , ci−λ ) y

xDiCEL=max (0 , cDi−λ ).


CEL asigna a cada agente un reparto de un recurso tal que sus pérdidas

comparadas a sus demandas sean iguales, sujeto a que ningún agente reciba un reparto

negativo.

Regla del Talmud (TAL). Para cada problema de reparto de un río reducido

w i=⟨ N i , E i ,Ci ⟩∈Ω, existe un valor λ>0, tal que

x iTAL={min {1

2 c i , λ}, si E i≤12 ( c i+cDi ) ,

ci−min {12

c i , λ},en otro caso .

xDiTAL={min {1

2 c Di , λ}, si Ei ≤12 (c i+c Di) ,

ci−min {12

c Di , λ}, enotro caso .

La regla TAL asigna a cada agente su reparto no impugnado del recurso

dividiéndolo en dos partes iguales.

5.4 Propiedades

Estudiamos ahora algunas propiedades que se van a dar en los problemas de

reparto reducidos. Estas propiedades van a ser las demandas monótonas, el recurso

monótono, la invariancia de escala y la consistencia.

Demandas monótonas. Para cada problema de reparto de un río w= ⟨ N ,e , c ⟩, cada

i∈N , y cada problema relacionado w '=⟨ N , e , (ci' , c i )⟩ tal que c i

'>c i , tenemos

F i (w ' )≥ F i ( w ).

Esta propiedad indica que para un agente i, su reparto no debe empeorar si su

demanda se ve incrementada por cualquier motivo.


Recurso monótono. Para cada problema de reparto de un río w= ⟨ N ,e , c ⟩, cada

i∈N , y cada problema relacionado w '=⟨ N , (e i' , ei ) , c ⟩ tal que e i

'>e i , tenemos

F ( w ' ) ≥ F (w ).

Esta propiedad nos dice que la asignación de un agente no debe empeorar

cuando un agente cuenta con una dotación mayor por cualquier motivo.

Invariancia de escala. Para cada problema de reparto de un río w= ⟨ N ,e , c ⟩, cada

i∈N , todo λ>0 y cada problema relacionado w '=⟨ N , λe , λc ⟩ , tenemos F ( w ' )= λF (w )

.

Esta propiedad nos dice que escalando las dotaciones y las demandas de todos

los agentes, esta acción no afectará a la solución de ninguno de los agentes.

Consistencia. Para cada problema de reparto de un río w= ⟨ N ,e , c ⟩, cada

i , j∈N ,i ≠ j , y cada problema relacionado w '=⟨ N ' , e ' , c ' ⟩ tal que

N '=N ¿ { j¿}, c '=c ¿ {c j¿}, y e'=(e1' ,…,e j−1

' , e j+1' , …,en

' ) , con e ' factible y eficiente tal

que ∑i≤ k

(e i'−e i )≤0 , ∀ k< j y ∑

k∈N '(ek

' −ek )=e j−x j, tenemos F i (w )=F i ( w ' ).

Vemos ahora la siguiente proposición.

Proposición 5.2 Las siguientes relaciones entre las propiedades de los problemas de

bancarrota y sus correspondientes reglas de reparto secuencial se satisfacen

a) Si una regla de bancarrota satisface las demandas monótonas, su

correspondiente regla de reparto secuencial satisface las demandas monótonas.

b) Si una regla de bancarrota satisface el recurso monótono, su correspondiente

regla de reparto secuencial satisface el recurso monótono.

c) Si una regla de bancarrota satisface invariancia de escala, su correspondiente

regla de reparto secuencial satisface invariancia de escala.


d) Si una regla de bancarrota satisface las demandas monótonas y recurso

monótono, entonces existe un vector e ' tal que su correspondiente regla de

reparto secuencial satisface consistencia.

Debido a que PRO, CEA, CEL y TAL satisfacen Demandas monótonas, Recurso

monótono e Invariancia de escala, esta proposición lleva inmediatamente al siguiente

corolario.

Corolario 5.1 Las reglas de reparto secuencial basadas en PRO, CEA, CEL y TAL

satisfacen Demandas monótonas, Recurso monótono, Invariancia de escala y

Consistencia.

5.5 Aplicación

5.5.1 Presentación del problema

Vamos a pasar a ver una aplicación donde podamos ilustrar todos los conceptos

teóricos que hemos visto hasta ahora a lo largo del capítulo. En esta sección,

presentamos un problema ejemplo sobre el reparto del agua de un río que atraviesa

cierto número de ciudades que demandan cantidades diferentes de agua. Así, vamos a

presentar el siguiente ejemplo. Sea un río que desea satisfacer la demanda de cuatro

ciudades instaladas en su curso, siendo la ciudad 1 la situada aguas más arriba y la

ciudad 4 la situada aguas más abajo. Cada una de las ciudades reclama una cierta

demanda de agua para cubrir sus necesidades y que viene representada por el siguiente

vector de demanda c= (50,10,20,90 ). La suma de todas las demandas representa un total

de 170 unidades de agua. Además, a cada municipio o nodo de nuestro problema le

debemos añadir su dotación que nos es más que la suma de las cantidades de agua de los

distintos afluentes que pueda tener el río más la cantidad de agua procedente de las

lluvias en los distintos periodos del año. La dotación de cada agente va estar

representada por el siguiente vector e=(80,10,10,10 ). La suma de las cantidades de agua

disponibles para el reparto es de 110 unidades de

agua.

En la siguiente imagen

representamos de manera esquemática la

situación que vamos a utilizar para resolver nuestro

problema de reparto de agua de un río entre una


serie de agentes. El problema se centra básicamente en repartir las 110 unidades de agua

de la manera más justa posible ante una demanda 60 unidades superior a la oferta, es

decir, que no hay agua para que todos los agentes puedan cubrir el 100% de sus

necesidades.

Primero nos centramos en resolver el problema de forma analítica usando los

cuatro métodos que hemos visto en este capítulo. Estos métodos son el PRO, el CEA, el

CEL y el TAL. Vamos a ver como realizan el reparto cada uno de ellos. Después de ver

los cuatro métodos por separado vamos a realizar dos análisis de sensibilidad. Primero

veremos como afecta la asignación de cada uno de los cuatro métodos cuando se realiza

un incremento de la cantidad de demanda de recurso por un agente, es decir, como varía

la asignación al incrementar la demanda de un agente cualquiera. El segundo análisis de

sensibilidad va a consistir en ver cómo varía la asignación de cada uno de los cuatro

métodos al incrementar la oferta de un agente una cierta cantidad. Una vez realizados

los análisis de sensibilidad pasaremos a comparar los métodos de reparto que hemos

visto a lo largo del capítulo. Para finalizar, realizaremos una serie de discusiones y

conclusiones sobre todos los resultados obtenidos en los distintos estudios.

5.5.2 Métodos de reparto secuencial: resolución analítica

Pasamos ahora a ver como se van a resolver cada uno de los cuatro métodos de

reparto secuencial que se han propuesto a lo largo del capítulo. Estos métodos son el

PRO, el CEA, el CEL y el TAL. Vamos a centrarnos en cada uno de ellos de manera

individual, viendo cuales son los criterios que usan para establecer un buen reparto.

5.5.2.1 Método de reparto proporcional (PRO)


El método PRO asigna a cada agente un reparto del recurso proporcional a la

demanda del agente. Así, los agentes que más demandan tendrán una asignación mayor

pero, a todos ellos se le va a asignar la misma cantidad proporcional. Es un método muy

sencillo matemáticamente aunque, como ya se ha comentado, establece un reparto

únicamente usando como criterio la creación de la variable lambda.

Para cada problema de reparto de un río reducido, w i=⟨ N i , E i , Ci ⟩∈Ω, el método

PRO establece que existe un valor λ>0, tal que x iPRO= λ c i y xDi

PRO= λ cDi. Donde el valor

de lambda viene dado por la siguiente expresión λ=Ei

c i+cDi .

Para desarrollar tanto este método como los demás, nos centramos en la

siguiente tabla explicando paso a paso la obtención de cada término.

i ei ci Ei cDi xiPRO xDi

PRO PiPRO

1 80 50 A B D E F

2 10 10 G H J K L

3 10 20 M N O P Q

4 10 90 R S U V W

Vamos a explicar el significado de cada una de las columnas de la tabla anterior

antes dela obtención de todos los valores necesarios. La primera columna representa la

ciudad, es decir, la fila 1 se refiere a la ciudad situada aguas más arriba mientras que la

ciudad 4 es la situada agua más abajo. La segunda columna muestra la dotación que

cada ciudad puede aportar. En la tercera columna aparecen las demandas de cada una

de las ciudades. Las tres primeras columnas son los datos de nuestro problema, a partir

de ellos, debemos ser capaces de obtener el resto de los valores de la tabla. La cuarta

columna representa la cantidad de agua disponible en cada nodo. Esta variable ya se ha

explicado anteriormente y su obtención se realiza a través de la expresión Ei. Notar que,

al igual que comentamos antes, para el agente 1, E1=e1=80 por ser el situado aguas

más arriba. La quinta columna representa el exceso de demanda aguas abajo de cada

nodo. Para la obtención de esta variable hacemos uso de la expresión de c j que ya

hemos visto antes en el desarrollo teórico del capítulo. La variable lambda, como


comentamos antes, viene dada por la expresión λ=Ei

c i+cDi . La sexta y séptima

columnas representan la cantidad de agua asignada a cada ciudad y la asignación de

agua aguas abajo, respectivamente. Esta variables, para el caso de la resolución del

método PRO vienen dadas por las siguiente expresiones x iPRO= λc i y xDi

PRO= λ cDi. Por

último, en la octava columna se representa (en tanto por uno) la porción de demanda

que queda cubierta con la asignación a cada una de las ciudades, es decir, Pi=x i

ci .

Una vez explicadas todas las variables de la tabla, procedemos a calcular cada

una de las variables mediante el método PRO.

E1=80 λ1=80

50+90=0,57 x1=28,5 xD 1=51,3 P1=0,57

E2=61,5 λ2=61,5

10+90=0,62 x2=6,2 xD 2=55,8 P2=0,62

E3=65,3 λ3=65,3100

=0,65 x3=13 xD 3=52 P3=0,65

E4=62,3 λ4=62,390

=0,69 x4=62,1 xD 4=−−¿ P4=0,69

Trasladando todos los valores a la tabla tenemos,

i ei ci Ei cDi λ xiPRO xDi

PRO PiPRO

1 80 50 80 90 0,57 28,5 51,3 0,57

2 10 10 61,5 90 0,62 6,2 55,8 0,62

3 10 20 65,3 80 0,65 13 52 0,65

4 10 90 62,3 - 0,65 62,1 - 0,65

Notar que la suma de las asignaciones proporcionadas por el método PRO

coincide con la cantidad de oferta del nivel de agua, es decir, unas 110 unidades de

agua.


5.5.2.2 Método de reparto de beneficios equitativos (CEA)

El método CEA es un método basado en la igualdad pero respetando siempre los

limites superiores máximos que podemos alcanzar con cada agente. Lo que se hace con

este método es repartir de forma equitativa toda la oferta, entre todo el conjunto de

agentes del problema de reparto reducido, sin sobrepasar en ningún caso la cantidad

demandada por cada agente. Si realizando esta actuación sobra recurso, porque puede

ocurrir que haya agentes que demanden menos cantidad que la partición equitativa de la

demanda, el sobrante se vuelve a repartir entre todos los agentes que aún no hayan

llegado al nivel máximo de su demanda.

Para este método vamos a utilizar la siguiente tabla,

i ei ci Ei cDi xiCEA xDi

CEA PiCEA

1 80 50 A B C D E

2 10 10 F G H I J

3 10 20 K L M N O

4 10 90 P Q R S T

El vector de demandas es c= (50 ;10 ;20 ;90 ) y la suma de la cantidad de oferta

que disponemos es de 110 unidades de agua. Dividimos la cantidad de oferta entre los

cuatro agentes, siendo la asignación teórica de 27,5 unidades de agua. Realizamos la

primera asignación, teniendo en cuenta la máxima demanda posible de cada agente,

obteniendo x=(27,5 ;10 ;20 ;27,5 ). Aún faltan por asignar un total de 25 unidades de

agua que repartido entre los dos agentes que aún no han llegado a su limite superior

caben a 12,5 u.a. por agente. De esta forma la asignación final es la siguiente

x=[ 40 ;10 ;20 ;40 ]. Los demás valores de la tabla son

Agente 1 2 3 4

E 80 50 50 60

c D 90 90 80 --

xD 40 40 50 --

P 0,8 1,00 1,00 0,44

La tabla con todos los resultados reflejados quedaría de la siguiente forma,



CEA PiCEA

1 80 50 80 90 40 40 0,8

2 10 10 50 90 10 40 1,00

3 10 20 50 80 20 50 1,00

4 10 90 60 -- 40 -- 0,44

Notar que la suma de las asignaciones proporcionadas por el método CEA

coincide con la cantidad de oferta del nivel de agua, es decir, 110 unidades de agua.

5.5.2.3 Método de reparto de pérdidas equitativas (CEL)

El método CEL tiene el mismo espíritu que el método CEA con la diferencia de

que este se centra en las pérdidas que incurren los demandantes. De esta forma, el

método CEL consiste en asignar la misma cantidad de pérdidas a todos los demandantes

sujetos a que ninguno de ellos reciba una cantidad negativa. Este método consiste

básicamente en tomar el sumatorio de la demanda total, ver la cantidad de recurso que

falta por cubrir con la cantidad de oferta disponible. Esa cantidad necesitada se divide

entre los cuatro agentes y se le resta a su demanda máxima. Si alguna es inferior a cero,

se le asignará cero y producirá un nuevo sobrante que se asignará en la siguiente

iteración. El método finalizará cuando no sobre demanda por restar. De esta forma

vamos a tener la siguiente tabla,

i ei ci Ei cDi xiCEL xDi

CEL PiCEL

1 80 50 A B C D E

2 10 10 F G H I J

3 10 20 K L M N O

4 10 90 P Q R S T

Como se puede comprobar tiene exactamente la mima estructura que la tabla que

usamos con el método CEA.

Para resolver el problema, lo primero es calcular la suma de demandas de

nuestro problema c= (50 ;10 ;20 ;90 ). Esta cantidad es de 170 unidades de agua. Por

otra parte, la oferta de nuestro problema es de 110 unidades de agua. Por lo tanto,


tenemos un exceso de demanda de 60 unidades de agua. Dicho exceso, se va a repartir

entre los cuatro agentes, resultando un exceso por agente de 15 unidades de agua. La

primera asignación se realiza restando a cada agente 15 unidades de la demanda

máxima permitida. Si esta cantidad es inferior a cero se le asignará el limite inferior, es

decir, cero unidades de agua. La primera asignación proporciona el vector

x=(35 ;0 ;5 ;75 ) en el que tenemos un exceso de demanda de tan solo 5 unidades de

agua. Esta cantidad se va a repartir entre los tres agentes que aún no han alcanzado su

límite inferior. De esta forma, para la segunda iteración se restan 5 unidades de agua

entre los tres agentes proporcionando un reparto final de x=(33,33 ;0 ;3,33 ;73,33 ).

Dicho reparto, ya no tiene ninguna unidad de exceso de demanda. Las demás variables

se han calculado de forma análoga al caso anterior, obteniendo los siguientes resultados.

Agente 1 2 3 4

E 80 56,67 66,67 73,34

c D 90 90 80 --

xD 46,67 56,67 63,34 --

P 0,66 0 0,16 0,81



CEA PiCEA

1 80 50 80 90 33,33 46,67 0,66

2 10 10 56,67 90 0 56,67 0,00

3 10 20 66,67 80 3,33 63,34 0,16

4 10 90 73,34 -- 73,33 -- 0,81

Notar que el sumatorio de las asignaciones proporcionadas por el método CEL

coincide con la cantidad de oferta del nivel de agua, es decir, unas 110 unidades de

agua.

5.5.2.4 Método de reparto de la regla del Talmud (TAL)

Pasamos ahora a ver el último de los cuatro métodos que vamos a usar para resolver

nuestro problema de reparto de un río. El método TAL define dos regímenes basados en


las semisumas de las demandas. Si dicha cantidad es inferior a la cantidad a repartir, se

aplica el método CEA. En caso contrario, cada agente recibe la mitad de su demanda y

se aplica el método CEL a la cantidad sobrante. Notar que estamos usando la mitad de

las demandas y no la demanda entera. De esta forma vamos a tener la siguiente tabla,


CEL PiCEL

1 80 50 A B C D E

2 10 10 F G H I J

3 10 20 K L M N O

4 10 90 P Q R S T

Como podemos comprobar, tiene exactamente la mima estructura que las tablas

que hemos usado en los métodos CEA y CEL. Para resolver nuestro problema, lo

primero que debemos hacer es comprobar que nuestra oferta es mayor a la semisuma de

las demandas. Así, para nuestro caso tenemos una oferta de 110 unidades de agua

mientras que la semisuma de las demandas es de 85 unidades de agua. Por lo tanto se

cumple que la oferta sea mayor que la semisuma de las demandas. Aplicamos entonces

el método CEA a un vector formado por la mitad de la demanda c= (25;5 ;10 ;45 ).

Como ya hemos visto, tenemos una oferta de 110 unidades de agua que repartida entre

los cuatro agentes corresponde a 27,5 unidades de agua por agente. Realizando la

asignación mediante el método CEA obtenemos x1=(25 ;5 ;10;27.5 ). Dado que el

sumatorio de la semi-demanda es de 85 y la primera asignación otorga 67,5 unidades de

agua, tenemos un sobrante de 85-67,5=17,5 unidades de agua que, cediéndolas al único

agente que aún no ha llegado a su limitación máxima de demanda, obtenemos una

asignación final de x1=(25 ;5 ;10; 45 ).

En este primer paso, hemos asignado ya 85 unidades de agua de las 110

correspondientes. Ahora debemos aplicar el método CEL pero, ¿qué cantidad de

pérdidas debemos considerar? La semisuma de las demandas suman 85 unidades de

agua, luego nos falta aún por asignar 110-85=25 unidades más. Así pues, la cantidad de

pérdidas que debemos considerar para que la segunda semisuma de las demandas sea 25

unidades de agua es de 85-25=60 unidades de agua en pérdidas. Aplicamos entonces el

método CEL con 60 unidades de agua en pérdidas. Para ello, repartimos estas pérdidas

entre todos los agentes, es decir, cada agente acarrea unas pérdidas de 15 unidades de


agua cada uno. Realizando la primera asignación obtenemos x2=(10 ;0 ;0 ;30 ). El

sumatorio de esta asignación es de 40 unidades de agua, por lo que tenemos un sobrante

de 40-25=15 unidades de agua. Repartiendo estas 15 unidades de agua entre los dos

agentes que aún no han llegado a su límite inferior, obtenemos finalmente la siguiente

asignación x2=(2.5 ;0 ;0 ;22,5 ).

Para concluir, sólo queda sumar las dos asignaciones obtenidas por este método

x=x1+x2=(25 ,5 , 10 ,45 )+ (2.5,0,0,22 .5 )=(27.5 , 5 ,10 ,67.5 ). Las demás variables se han

calculado de forma análoga a los casos vistos anteriormente.

Agente 1 2 3 4

E 80 62,5 67,5 67,5

c D 90 90 80 --

xD 52,5 57,5 57,5 --

P 0,34 0,50 0,50 0,75


i ei ci Ei cDi xiTAL xDi

TAL PiTAL

1 80 50 80 90 27,5 52,5 0,34

2 10 10 62,5 90 5 57,5 0,50

3 10 20 67,5 80 10 57,5 0,50

4 10 90 67,5 -- 67,5 -- 0,75

Notar que la suma de las asignaciones proporcionadas por el método TAL,

coincide con la cantidad de oferta del nivel de agua, es decir, 110 unidades de agua.

5.5.3 Análisis de sensibilidad

Una vez visto la resolución del problema de reparto de agua de un río entre un

conjunto de agentes situados a lo largo de su curso, pasamos ahora a ver dos análisis de


sensibilidad aplicados a cada uno de los métodos introducidos hasta ahora. El primero

de los análisis va a consistir en incrementar la demanda de uno de los agentes que

participan en el reparto. De esta forma, en el primer caso incrementaremos la demanda

del agente dos en veinte unidades de agua, es decir, c2 va a pasar de valer 10 unidades a

30 unidades de agua. Estableceremos el reparto de acuerdo a los cuatro métodos ante

esta variación en la demanda y comprobaremos que se cumple la propiedad de

Demandas monótonas introducida en la parte teórica del capítulo. El segundo análisis

de sensibilidad que realizamos va a consistir en la variación en la dotación de un agente

cualquiera que participa en el reparto. De esta forma, resolveremos el problema de

reparto utilizando los cuatro métodos al incrementar la dotación proporcionada por el

agente dos. Así, e2 va a pasar de valer 10 unidades a 30 unidades de agua. Además,

podremos comprobar que se cumple la propiedad de recurso monótono que

introducimos anteriormente.

Notar que, para la representación de los resultados, se van a presentar

únicamente las tablas ya que la resolución de cada método es totalmente análoga a la

que hemos explicado en la sección anterior.

5.5.3.1 Análisis de sensibilidad: Demanda incrementada

Método PRO

i ei ci Ei λ cDi xiPRO xDi

PRO PiPRO

1 80 50 80 0,5 110 25 55 0,5

2 10 30 65 0,54 90 16 48,6 0,54

3 10 20 59 0,59 80 12 47,2 0,59

4 10 90 57 0,63 -- 57 -- 0,63

Caso BaseDemanda

incrementada

Incremento

producido

x1 28,5 25 -3,5


x2 6,2 16 +9,8

x3 13 12 -1,0

x4 62,1 57 -5,1

p1 0,57 0,5 -0,07

p2 0,62 0,54 -0,08

p3 0,65 0,59 -0,06

p4 0,65 0,63 -0,02

Notar que las asignaciones son unidades de agua, el resto son tantos por uno.

Método CEA


CEA PiCEA

1 80 50 80 110 30 50 0,60

2 10 30 60 90 30 70 1,00

3 10 20 80 80 20 80 1,00

4 10 90 90 -- 30 -- 0,33

Caso BaseDemanda

incrementada

Incremento

producido

x1 40 30 -10,0

x2 10 30 +20,0

x3 20 20 +0,00

x4 40 30 -10,0

p1 0,8 0,60 -0,20

p2 1,00 1,00 +0,00

p3 1,00 1,00 +0,00

p4 0,44 0,33 -0,11

Método CEL



CEL PiCEL

1 80 50 80 110 30 50 0,60

2 10 30 60 90 10 50 0,33

3 10 20 60 80 0 60 0,00

4 10 90 70 -- 70 -- 0,78

Caso BaseDemanda

incrementada

Incremento

producido

x1 33,33 30 -3,33

x2 0 10 +10,0

x3 3,33 0 -3,33

x4 73,33 70 -3,33

p1 0,66 0,60 -0,06

p2 0,00 0,33 +0,33

p3 0,16 0,00 -016

p4 0,81 0,78 -0,03


Método TAL


TAL PiTAL

1 80 50 80 110 25 55 0,50

2 10 30 65 90 15 60 0,50

3 10 20 70 80 10 60 0,50

4 10 90 70 -- 60 -- 0,67

Caso BaseDemanda

incrementada

Incremento

producido

x1 27,5 25 -2,5

x2 5 15 +10,0


x3 10 10 +0,0

x4 67,5 60 -7,5

p1 0,34 0,50 +0,16

p2 0,50 0,50 +0,00

p3 0,50 0,50 +0,00

p4 0,75 0,67 -0,08


Como se puede apreciar en todos los casos el sumatorio de la cuantía total

asignada es exactamente la misma que la asignación en el caso base, es decir, de 110

unidades de agua ya que la cantidad de oferta no se ha visto modificada.

Además, podemos comprobar como se cumple la propiedad sobre las Demandas

monótonas ya que, en todos los casos, el porcentaje de agua asignada al agente dos se ve

incrementado al aumentar la cantidad demandada por él mismo.

5.5.3.2 Análisis de sensibilidad: Dotación incrementada

Método PRO

i ei ci Ei λ cDi xiPRO xDi

PRO PiPRO

1 80 50 80 0,67 70 33,33 46,9 0,67

2 30 10 76,67 0,77 90 7,67 69,3 0,77

3 10 20 79 0,79 80 15,8 63,2 0,79

4 10 90 73 0,81 -- 73 -- 0,81

Caso BaseDotación

incrementada

x1 28,5 33,33


x2 6,2 7,67

x3 13 15,8

x4 62,1 73

p1 0,57 0,67

p2 0,62 0,77

p3 0,65 0,79

p4 0,65 0,81


Método CEA


CEA PiCEA

1 80 50 80 70 50 30 1,00

2 30 10 60 90 10 50 1,00

3 10 20 60 80 20 60 1,00

4 10 90 70 -- 50 -- 0,55

Caso BaseDotación

incrementada

x1 40 50

x2 10 10

x3 20 20

x4 40 50

p1 0,8 1,00

p2 1,00 1,00

p3 1,00 1,00

p4 0,44 0,55

Método CEL



CEL PiCEL

1 80 50 80 70 40 40 0,80

2 30 10 70 90 0 70 0,00

3 10 20 80 80 10 70 0,50

4 10 90 80 -- 80 -- 0,89

Caso BaseDotación

incrementada

x1 33,33 40

x2 0 0

x3 3,33 10

x4 73,33 80

p1 0,66 0,80

p2 0,00 0,00

p3 0,16 0,50

p4 0,81 0,89


Método TAL


TAL PiTAL

1 80 50 80 70 37,5 42,5 0,75

2 30 10 72,5 90 5 67,5 0,50

3 10 20 77,5 80 10 67,5 0,50

4 10 90 77,5 -- 77,5 -- 0,86

Caso BaseDotación

incrementada

x1 27,5 37,5

x2 5 5

x3 10 10


x4 67,5 77,5

p1 0,34 0,75

p2 0,50 0,50

p3 0,50 0,50

p4 0,75 0,86


Como se puede apreciar en todos los casos la suma de la cuantía total asignada

ya no es la misma que en el caso base. Ahora, ya que la dotación del agente dos ha sido

incrementada en veinte unidades, todas las asignaciones propuestas ya no suman 110

unidades de agua sino 130. Este es el motivo por el cual se ha suprimido la última

columna de la comparación entre el caso base y el caso de la dotación incrementada.

Además, podemos comprobar como se cumple la propiedad sobre el Recurso

monótono ya que en todos los casos el agente dos que ha tenido un incremento de la

dotación nunca se ve afectado por un reparto inferior que en el caso base, siendo

siempre su asignación mayor o igual.

5.5.4 Comparación de los métodos secuenciales con sus alternativas

En esta sección vamos a comparar nuestra solución con un par de alternativas

que pueden ser aplicadas para resolver los problemas de reparto de agua de un río. La

primera comparación la vamos a realizar con la propuesta por Ambec y Sprumont

(2002). La segunda comparación va a ser únicamente importante para el caso especial

donde toda la dotación del agua del río que se va a repartir viene a cargo del agente uno

mientras que el resto de los agentes no tiene dotación alguna. En este caso, las reglas de

bancarrota pueden ser aplicadas de forma directa, mientras se mantenga el tratamiento

de las dotaciones y el orden lineal de los agentes.

Aunque estas alternativas poseen una serie de ventajas, en esta sección veremos

las desventajas frente a las soluciones mostradas en este capítulo. En el primer caso, esta

solución va a favorecer notablemente a los agentes situados aguas abajo mientras que en

el segundo caso, esa solución es únicamente válida para un caso especial de los

problemas de reparto de agua de un río.


5.5.4.1 Comparación con los problemas de reparto de Ambec y Sprumont

Ambec y Sprumont propusieron en 2002 una solución axiomática basada en las

teorías ATS y ATI. Estos dos principios son usados como un límite inferior y superior en

la aspiración sobre el bienestar de una coalición de agentes. Ambec y Sprumont (2002)

demostraron que hay una única distribución de beneficio tal que proporciona una

solución de compromiso entre estos dos principios. El agua queda asignada de tal

manera que el bienestar de cada agente sea igual a su contribución marginal a la

coalición compuesta por todos los agentes aguas arriba.

La comparación de los problemas de reparto secuencial con la solución

propuesta por Ambec y Sprumont (2002) no es sencilla ya que su solución se basa en

términos de bienestar mientras que la literatura de bancarrota proporciona una solución

en términos de recurso distribuido. La comparación es posible únicamente si asumimos

que los beneficios son lineales al uso del agua. En este caso, la solución propuesta por

Ambec y Sprumont (2002) cae en la clase de problemas de reparto secuencial. De

hecho, es un caso extremo de este tipo de problemas con x i=e i ,∀ i∈N . La solución

asigna a cada agente el derecho de su propia dotación. Obviamente, esta solución es

independiente del vector de demandas ya que Ambec y Sprumont (2002) no consideran

demandas en su modelo.

Esta alternativa puede ser un compromiso atractivo entre las teorías ATS y ATI

pero nos vamos a cuestionar su aplicabilidad por dos razones. La primera es que Ambec

y Sprumont (2002) encontraron una solución al problema de reparto de un río usando

una combinación de límites inferiores y superiores del bienestar. De esta forma, se

asume que los agentes situados aguas arriba no aspiran a un nivel de bienestar más alto

que el que se pueden asegurar ellos mismos. La segunda razón es que la solución

proporcionada por Ambec y Sprumont (2002) asigna todas las ganancias procedentes de

la cooperación a los agentes situados aguas abajo sin que sea muy convincente.

5.5.4.2 Comparación con los problemas de bancarrota sin dotación

Si todo el agua que se va a repartir entre un serie de agentes se origina en la

cabeza del río, es decir, e i=0 ∀ i>1, y el orden de los agentes no se considera, entonces


las reglas de bancarrota pueden ser directamente aplicadas a esta clase tan especial de

problemas de reparto de un río.

Como primer comentario, esta aproximación parece no estar relacionada con las

reglas de reparto secuencial. Hay una serie de reglas, sin embargo, para estas

aproximaciones aplicadas a las reglas de reparto secuencial. Esta clase de reglas

incluyen a todas las de bancarrota que satisfacen ventajas de la fusión o la división

(O`Neill (1982), Thomson (2003)). La regla PRO es una de las reglas de bancarrota

perteneciente a esta clase. Así, la solución proporcionada por la aplicación de la regla de

reparto secuencial basada en PRO corresponde con la solución dada por este método

PRO aplicada a los problemas de reparto de un río. Esto queda reflejado en la siguiente

proposición.

Proposición 5.3 La regla de reparto secuencial basada en el método PRO satisface la

siguiente propiedad. Si e i=0 , ∀ i>1 , entonces piPRO=

e1

∑j∈N

c j

,∀ i∈ N .

Esta proposición nos indica que para esta clase de problemas de reparto de un

río, las propiedades que caracterizan al método PRO, también lo hacen para su

correspondiente regla de reparto secuencial. Consecuentemente, cada agente recibe la

misma proporción de su demanda. De esta forma, las diferencias entre las soluciones

inducidas por PRO y su correspondiente regla de reparto secuencial vienen dadas por la

distribución de las demandas sobre los agentes. Estas diferencias no son como resultado

del orden lineal de los agentes.

Este resultado implica que la solución proporcional de un problema de

bancarrota iguala la solución proporcional a una secuencia de problemas de bancarrota

reducidos. Por lo tanto, esta clase de problemas de reparto de un río son una

generalización de los problemas de bancarrota. Notar, sin embargo, que desde la

perspectiva del reparto de un río esta clase de problemas reflejan un caso muy especial

debido a la específica suposición sobre el abastecimiento del agua del río.

5.5.5 Análisis de resultados, discusión y conclusiones


Empezamos analizando las distintas soluciones que nos han proporcionado cada

uno de los métodos usados en el problema de reparto del agua de un río. Para ello,

representamos en la siguiente tabla todas las soluciones obtenidas.

PRO CEA CEL TAL

x1 28,5 40 33,33 27,5

x2 6,2 10 0 5

x3 13 20 3,33 10

x4 62,1 40 73,33 67,5

p1 0,57 0,8 0,66 0,34

p2 0,62 1,00 0,00 0,50

p3 0,65 1,00 0,16 0,50

p4 0,65 0,44 0,81 0,75

Como podemos apreciar en la tabla anterior, mostramos cuatro soluciones

diferentes dadas por cada uno de los métodos anteriores. De esta forma, el método PRO

se centra en realizar un reparto en el cual todos los agentes cubran un porcentaje de su

demanda muy similar unos de otros. Así, aplicando el método PRO y con dotaciones de

partida se consigue que cada agente, independientemente de su demanda, cubra

aproximadamente el sesenta por ciento de su demanda. El segundo método que

resolvimos fue el CEA. Este método intenta repartir a cada agente la misma cantidad de

agua hasta llegar al límite máximo de cada agente. Para nuestro caso, como el límite de

los agentes dos y tres es inferior al de los agente uno y cuatro, su demanda se satisface

por completo a consta de perjudicar la del último agente. El tercer método es el CEL.

Este método restaba una cantidad constante a cada agente procedente del reparto de la

cantidad de agua que faltaba para cumplir con toda la demanda, sin que la asignación

sea nunca negativa. De esta forma y dado los límites de cada agente, los agentes que

menos demandan son los que menos perciben mientras que los agentes que más

demandan son los que más agua reciben. En nuestro caso, el agente dos se queda sin

reparto alguno, el agente tres cubre muy poca parte de su demanda pero, sin embargo

los agentes uno y cuatro cubren gran parte de su demanda, en especial el agente cuatro

que es el que más agua demanda de todo el conjunto de agentes. El último de los

métodos que aplicamos fue el método TAL. Este método es el más complejo de todos y


posiblemente es el que de un reparto más “justo” frente a sus alternativas. Con este

método todos los agentes cubren un buen porcentaje de su demanda siendo el menos

beneficiado el agente uno al no llegar a un cuarenta por ciento de su demanda.

Un tema sobre el que podemos discutir es cuando un problema reducido de

reparto de un río, aunque matemáticamente equivale a un problema de bancarrota,

pueda ser de hecho interpretado como tal. La respuesta de esta cuestión depende de la

interpretación de Ei, el recurso que va a ser distribuido entre i y Di. En los problemas de

bancarrota, el recurso está separado de los agentes. En un problema reducido de reparto

de un río, Ei es el flujo de agua disponible al agente i. Si no se consideran las demandas,

la dotación podría ser interpretada como la propiedad de derechos, es decir, la dotación

de cada agente es la cantidad de agua de la que dispone.

En nuestra interpretación, la superposición de las demandas implica que las

dotaciones no representen derechos de propiedad. Así, una regla de reparto necesita ser

introducida como un derecho. El flujo disponible del agente i, Ei , no se interpreta como

un derecho de propiedad, pero si como un recurso cuyo nivel puede influenciar la

solución del reparto del agua de un río, dependiendo de la regla de reparto usada. En

este caso, Ei es separada de los agentes y, por lo tanto, un problema reducido de reparto

de un río es completamente equivalente al problema de bancarrota. Aunque esta

interpretación proporciona un apoyo adicional al uso de reglas de reparto secuencial, no

podemos afirmar que esta interpretación sea más convincente que las alternativas.

En este capítulo hemos analizado los problemas de reparto de un río con un

orden lineal de los agentes quienes poseen una dotación y demanda de recurso. Hemos

construido una clase de reglas de reparto secuencial mediante la transformación del

problema de reparto del río a una secuencia de problemas reducidos de reparto de un

río. Estos problemas reducidos son matemáticamente equivalentes a los problemas de

bancarrota y, por lo tanto, pueden ser resueltos usando las reglas de bancarrota.

Los resultados de este capítulo pueden ser perfectamente adaptados a

aplicaciones sobre la negociación en reparto del agua de un río a nivel nacional o

internacional. La suposición a seguir es estar de acuerdo en una regla de reparto que

asigne el derecho de agua a cada uno de los agentes.

5.6 Estado del arte: Líneas actuales de negociación


En esta última sección, vamos a exponer las líneas más novedosas de

negociación en este contexto basada en la teoría de juegos cooperativos. Para ello,

consideraremos el problema del reparto de agua entre unos agentes situados a lo largo

de un río. Cada agente, tiene preferencias cuasi-lineales sobre el agua del río y el dinero,

donde el beneficio sobre el consumo de una cantidad de agua viene proporcionado por

una función de beneficio continua y cóncava. Una solución eficiente del problema

repartirá el agua del río entre todos los agentes sin malgastar dinero. Introducimos

varios axiomas para caracterizar cuatro soluciones distintas.

5.6.1 Introducción

Consideramos el problema de reparto del agua entre varios agentes, que pueden

ser pueblos, ciudades, industrias, etc., ubicados a lo largo de un río. Dado que el número

de agentes involucrados en el reparto del agua de un río es normalmente pequeño y que,

los intercambios de agua son escasos, el comercio de agua del río tiene lugar por la

firma de contratos entre las partes involucradas. Estos contratos directamente

especifican la cantidad de agua a repartir, así como, la cantidad de dinero que debe ser

pagada por el agua. El objetivo de la teoría de juegos cooperativos es el de proporcionar

el resultado de la elección de un agente, que depende de decisiones tomadas por otros,

siendo los agentes que toman decisiones, los encargados de firmar contratos vinculantes

bilaterales o multilaterales para hacer cumplir dicha cooperación. Por este motivo, la

teoría de juegos cooperativos es una de las principales herramientas usadas para el

modelado de problemas hidráulicos.

Ambec y Sprumont (2002) presentaron un modelo en el que una serie de agentes

están situados a lo largo de un río simple, de un sólo flujo desde aguas arriba hasta

aguas abajo. Cada agente, suponemos que tiene preferencias cuasi-lineales sobre el

agua del río y el dinero, donde el beneficio del consumo de una cantidad de agua viene

dado por una función de beneficio diferencial, estrictamente creciente y estrictamente

cóncava. La asignación de reparto del agua entre todos los agentes es eficiente cuando

ésta maximiza la suma total de beneficio. A fin de mantener una asignación de agua

eficiente, los agentes pueden ser compensados cada uno por el pago de transferencias

monetarias. Cada asignación de agua y transferencia proporciona una distribución de

bienestar, donde la utilidad de un agente es equivalente a su beneficio del consumo de

agua más su transferencia monetaria, que puede ser negativa. Mediante la derivación de


un juego cooperativo a partir de su modelo, Ambec y Sprumont (2002) encontraron la

forma de cómo el agua del río debe asignarse a los agentes y proponen que las

transferencias monetarias se deben realizar a fin de lograr una distribución justa del

bienestar. Ellos propusieron la solución incremental aguas abajo como la distribución

de bienestar que satisface tanto los límites inferiores como los limites superiores de la

aspiración. Dicha solución, puede ser considerada como el vector de contribución

marginal de su juego cooperativo correspondiente al orden de los agentes ubicados a lo

largo del río, desde aguas arriba hasta aguas abajo.

Ambec y Ehlers (2008), Khmelnitskaya (2010), van den Brink, van der Laan y

Moes (2010) y Wang (2011) generalizaron el modelo de Ambec y Sprumont (2002) de

una forma específica. Ambec y Ehlers (2008) permitieron que la función de beneficio de

cada agente fuese diferenciable y estrictamente cóncava, pero no necesariamente

incremental. Khmelnitskaya (2010) consideró ríos con estructura de tipo árbol

permitiendo múltiples salidas o deltas. Van den Brink, van der Laan y Moes (2010)

estudiaron ríos con múltiples salidas y propusieron una nueva clase de solución basada

en la distribución de agua según el principio conocido como Territorial Integration of

all Basin States (TIBS). Finalmente, Wang (2011) propuso una solución al modelo

original tipo línea en donde el comercio de agua está restringido a parejas de agentes

vecinos.

En este apartado, primero, vamos a tomar la suposición de Ambec y Ehlers

(2008) sobre que la función de beneficio únicamente se le exija continuidad y

concavidad. La segunda consideración consiste en caracterizar dos soluciones existentes

mediante el modelo de flujo único, introduciendo algunos axiomas. La última

consideración es proponer y caracterizar dos nuevas soluciones para el modelo de flujo

único usando nuevos axiomas.

En contraste con los documentos mencionados anteriormente, en este apartado

evitamos el desvío de modelar la situación del río como un juego cooperativo. En su

lugar, vamos a imponer inmediatamente axiomas sobre la clase de todos los problemas

de distribución del agua del río. Esto tiene como principal ventaja que los axiomas que

proponemos directamente pueden ser interpretados en términos de asignación de agua

(Beneficio).

Mientras que la mayoría de los axiomas utilizados en la literatura también

derivan de los principios de distribución de agua, ellos son axiomas sobre juegos

cooperativos y no problemas de asignación de agua. Esto a menudo induce a error


cuando se trata de interpretar los axiomas de juego cooperativos en términos de

asignación de agua.

5.6.2 Problemas de ríos con funciones de beneficio cóncavas

En el trabajo “Sharing a river”, Ambec y Sprumont (2002) consideraron el

problema de encontrar una distribución justa del bienestar resultante a la asignación de

flujos de agua a lo largo de un río internacional a los agentes situados en su cauce. Sea

N= {1, …,n } un conjunto de agentes, que supusieron países, a lo largo del río,

numerados sucesivamente desde aguas arriba hasta aguas abajo, y sea e i≥ 0 las entradas

de agua sobre el territorio del agente i, i=1 , …, n. Para cada agente i, se va a suponer

una función de utilidad cuasi-lineal asignada a cada pareja ( x i ,t i ) con x i∈R+¿¿ una

cantidad de agua asignada a i y t i∈R+¿¿ una compensación monetaria a i, la utilidad

vi ( x i ,t i )=b i ( x i )+t i,

donde b i : R+¿→ R ¿ es una función continua dando un beneficio b i ( x i ) al agente i del

consumo x i de agua. En lo siguiente, denotaremos una situación del río por la terna

( N ,e ,b ), donde N es el conjunto de agentes, e∈ R+¿n¿ es el vector de las entradas no

negativas y b=(b i) i∈N es el conjunto de las funciones de beneficio.

Por la uni-direccionalidad del flujo de agua desde aguas arriba hasta aguas abajo,

a cada agente se le puede asignar la entrada de agua a su territorio y su agente aguas

arriba, pero la entrada de agua de algunos agentes aguas abajo no puede ser asignada a

este agente. De esta forma, una asignación de agua x∈ R+¿n¿ asigna una cantidad de agua

x i al agente i ,i=1 , …, n, bajo la restricción

1. ∑i=1

j

x i ≤∑i=1

j

ei , j=1 ,…, n.

Es decir, x∈ R+¿n¿ es una asignación de agua si, para cada agente j, la suma de las

asignaciones de agua x1 , …, x j es como máximo igual a la suma de las entradas e1 ,…, e j

. Los rendimientos totales de bienestar de una asignación de agua x son ∑i=1

n

bi ( x i ). Un


esquema de compensación t∈ Rn proporciona una compensación monetaria t i al agente

i ,i=1 , …, n, bajo la restricción

∑i=1

n

t i ≤0 .

Como se mencionó anteriormente, una pareja ( x ,t ) de una asignación de agua x y

un esquema de compensación t proporcionan utilidades v ( x i ,t i ) dado por la expresión

anterior para cada i=1 ,…,n. Una pareja ( x ,t ) es Pareto eficiente si no se malgasta ni

agua ni dinero, es decir, ( x ,t ) es Pareto eficiente si y sólo si x∈ Rn maximiza el

beneficio del problema Dado por

max∑i=1

n

b i ( x i ) s .t .∑i=1

j

x i ≤∑i=1

j

ei , j=1 , …, n y x i≥ 0 , i=1 ,…, n ,

y el esquema de compensación t∈ Rn está en el balance del presupuesto: ∑i=1

n

t i=0.

En Ambec y Sprumont (2002) se asume que cada función de beneficio es una

función incremental y estrictamente cóncava, que es diferenciable para cada x i>0 , cuya

derivada tiende a infinito cuando x i tiende a cero. Bajo esta suposición, el problema de

maximización anterior tiene una única solución x¿. Decimos que z∈ Rn , es una

distribución de beneficio si existe una pareja Pareto eficiente ( x¿ , t ) tal que

z i=b i ( x i¿)+ ti , i=1 ,…,n .

Así, una distribución de bienestar z distribuye el máximo beneficio disponible

entre todos los agentes de la asignación x i¿ al agente i ,i=1 ,…,n, e implementando un

balance en el presupuesto monetario del esquema de compensación t. Inversamente, se

puede apreciar que para la asignación optima x¿ , cada balance del presupuesto del

esquema de compensación t, induce a una distribución de bienestar.

En Ambec y Sprumont (2002) el problema de encontrar un balance del

presupuesto del esquema de compensación “justo” o, equivalentemente una justa

distribución del beneficio, está modelada por un juego cooperativo de utilidad


transferible. Así, se propone una solución para el juego cooperativo tomando en

cuenta dos principios para un reparto justo de bienestar dados en Kilgour y Dinar

(1995). Estos principios son los que ya hemos visto a lo largo de todo el proyecto y que

vamos a recordar ahora. El principio ATS (Absolute Territorial Sovereignty) consideraba

que cada país no tiene limitaciones sobre el uso de sus propios recursos naturales.

Para un río internacional estas leyes sobre la doctrina de Harmon, declaran que un país

tiene absoluta soberanía sobre las entradas a un río situado en su propio territorio y

así, cada agente es el dueño legal de sus propias entradas de agua. Este principio,

favorece los países situados aguas arriba mediante la implantación que, para cada

j=1 ,…, n, la coalición {1 , …, j } del primer país j aguas arriba tiene derecho a usar las

entradas totales de agua en sus propios territorios sin tener en cuenta las

consecuencias que puedan tener para los países agua abajo. Por otra parte, el principio

de Territorial Integration of all Basin States (TIBS) favorece a los países aguas abajo

declarando que todas las entradas de agua pertenecen a todos los países juntos, sin

importar en que parte del río se tome. Esto convierte a todos los países dueños legales

de todas las entradas de agua, sin considerar a su propia contribución de flujo.

Teniendo en cuenta la uni-direccionalidad de flujo de agua desde aguas arriba hasta

aguas abajo, la interpretación del principio TIBS viene dada por el principio de

Unlimited Territorial Integrity (UTI), puntualizando que, sin restricciones usadas por un

país en sus propios recursos naturales, se permite únicamente si no causa daño alguno

a la soberanía de otros países. Este principio implica que un país j tiene derecho a usar

todas las entradas de agua situadas en su propio territorio y en los territorios de todos

sus países situados aguas arriba. Como consecuencia, esto lleva a situaciones de

conflicto en el sentido de que la entrada e i al territorio del país i , tiene derecho hacia

cada país j ≥ i.

Como se argumenta en Ambec y Sprumont (2002), la doctrina Harmon implica

estabilidad en el sentido que para cada i y cada j ≥ i el bienestar total que el conjunto de

los países consecutivos {i ,i+1 , …, j } , entiende que una pareja de Pareto eficiente ( x¿ , t )

debe ser al menos igual a la suma de beneficios que esos países pueden garantizar por si

mismos, mediante la asignación óptima de sus propias entradas e i ,…, e j. En el caso

j=i , esta noción de estabilidad se reduce a racionalidad individual, imponiendo que el

pago de un país i debe ser al menos igual al beneficio b i (e i ) de la entrada de agua en su


propio territorio. Sea i=1 y j ≥ i, la estabilidad implica estabilidad aguas arriba,

significando que para cada conjunto de países consecutivos situados aguas arriba

{1 ,…, j }, j=1 ,…, n, el total de beneficio del primer país j aguas arriba en la pareja

de Pareto eficiente ( x¿ , t ) debe ser al menos igual al máximo que estos países puedan

garantizar por sí mismos, mediante la resolución del siguiente problema de

maximización del beneficio

max∑i=1

n

b i ( x i ) s .t .∑i=1

k

x i ≤∑i=1

k

ei , k=1 ,…, j y x i ≥0 , i=1 , …, j .

Bajo la suposición tomada sobre la función de beneficio en Ambec y Sprumont

(2002), para cada j este problema de maximización tiene una única solución. Vamos a

llamar esta solución como x j=( x1j ,…, x j

j ) y el beneficio total correspondiente por

v j=∑i=1

j

bi ( xij ). Notar que x i

n=x i¿ , i=1 ,…,n y vn∑

i=1

n

b i (x i¿ ). Esto lleva a que la estabilidad

aguas arriba requiera que ∑i=1

j

zi ≥ v j , para cada j=1 ,…, n.

Por un lado, basándose en el principio UTI favoreciendo a los países aguas

abajo, Ambec y Sprumont (2002) impusieron la condición que para cada coalición

aguas arriba {1 , …, j }, j=1 ,…,n, el beneficio total de estos países esta limitado como

mucho por su nivel de aspiración, siendo el máximo beneficio que ellos pueden obtener

la distribución de sus propias entradas de agua. Así, el propio nivel de aspiración

requiere que para cada j el beneficio total ∑i=1

j

zi del primer país j situado aguas arriba es

al menos igual al beneficio obtenido de resolver el problema de maximización de

beneficio, es decir, ∑i=1

j

zi ≤ v j para cada j=1 ,…, n. Esto proporciona que los

requerimientos de la estabilidad aguas arriba y la propiedad del nivel de aspiración

juntos necesiten que ∑i=1

j

z i=v j para cada j=1 ,…, n, y así, determinar la única

distribución de beneficio z i=v i−v i−1 ,i=1, …, n, con v0 definido como igual a cero. La

correspondiente solución incremental aguas abajo asignan a cada problema de río

( N ,e ,b ), la distribución de beneficio d ( N ,e ,b )∈Rn dada por


d i ( N ,e , b )=vi−v i−1 , i=1 ,…,n .

Aunque esta distribución de beneficio quede determinada por los requerimientos

de estabilidad aguas arriba y por la propiedad del nivel de aspiración, es también estable

para cada coalición {i ,i+1 , …, j } ,1 ≤i ≤ j≤ n de agentes consecutivos.

Ambec y Ehlers (2008) generalizaron el juego básico de un río descrito

anteriormente por la permisión de saciar o satisfacer a los agentes. Esto significa que

ellos debilitan la consideración sobre los beneficios en Ambec y Sprumont (2002)

mediante la eliminación de requerimientos para que la función de beneficios vaya

estrictamente incrementándose. Ellos asumieron para cada función de beneficio

b i : R+¿→ R ,¿ una función estrictamente cóncava, diferenciable para cada x i>0 , cuya

derivada tiende a infinito cuando x i tiende a cero. Bajo esta suposición, es posible que

para algunos puntos c i>0, llamados puntos de saciedad del agente i, el beneficio va

incrementándose desde x i=0 hasta c i, alcanzando su máximo valor en c i, y decreciendo

para x i>c i. La existencia de puntos de saciedad tiene una seria consecuencia para el

correspondiente juego cooperativo. Sin el punto de saciedad, únicamente las coaliciones

de agentes consecutivos pueden operar, con el objetivo de maximizar su beneficio de

unión mediante la asignación óptima de sus propias entradas de agua entre cada una de

ellas (bajo el principio ATS, diciendo que los agentes en cada coalición tienen el

derecho de usar sus propias entradas de agua). Una coalición no consecutiva de dos

subconjuntos de agentes no pueden nunca transferir agua desde la parte aguas arriba

hasta la parte aguas abajo ya que la función incremental de beneficio podría hacer que

toda el agua enviada desde los agentes aguas arriba hasta los agentes aguas abajo sea

tomada por los agentes situados en una posición intermedia. A cambio, bajo la débil

suposición de Ambec y Ehlers (2008), podría ser rentable para una coalición de agentes

no consecutivos el transferir aguas desde aguas arriba hacia aguas abajo cuando todos

los agentes situados en una posición intermedia tienen un punto de saciedad. Aunque

algunos de estos flujos puedan tomarse por los agentes en situación intermedia, estos

agentes únicamente podrán coger agua de los puntos de saciedad. Cuando el flujo es

demasiado grande, una parte será destinada a los agentes aguas abajo, posibilitando la

cooperación entre las dos partes de la coalición. Este fenómeno podría causar

externalidades positivas sobre los agentes situados entre las dos partes de la coalición no


consecutiva. Como resultado, en el correspondiente juego cooperativo, la ganancia que

puede ser obtenido por la coalición depende del comportamiento del resto de los

agentes, dando lugar a un modelo más complicado, denominado juego con función

particionada. Sin embargo, parece claro que para cada j, la coalición aguas arriba

{1 ,…, j } tiene externalidades libres, es decir, el máximo beneficio que cada coalición

puede obtener por la asignación de sus propias entradas de agua óptimamente repartidas

entre ellas mismas, no depende del comportamiento de los agentes después de j, y ese

máximo nivel de bienestar viene dado por los valores v j , j=1 , …,n, de la solución de

problemas donde se maximiza el beneficio anterior. Así, la solución incremental aguas

abajo d ( N , e , b ) queda bien definida para los problemas de rio ( N ,e ,b ) con puntos de

saciedad, y en Ambec y Ehlers (2008) se muestra que también para situaciones de rio

con agentes saciables esta solución está únicamente determinada por el requerimiento

de la estabilidad aguas arriba y la propiedad de nivel de aspiración. Aunque ellos

modelaron el problema del río con agentes de saciedad como un juego en una función

partitiva, algunas veces caracterizan una solución la cual únicamente usa los niveles de

beneficio que pueden ser obtenidos por coaliciones consecutivas que contengan al

agente 1. Estos niveles son externalidades libres. Bajo la suposición de e i≤ ci para cada

i, la solución es también estable para cada coalición {i ,i+1 , …, j } ,1 ≤i ≤ j≤ n, de agentes

consecutivos.

Vamos a debilitar las suposiciones de Ambec y Ehlers (2008), y Ambec y

Sprumont (2002), mediante la imposición a la función de beneficio de ser cóncava en

lugar de estrictamente cóncava.

Suposición 5.2 En una situación de río (N , e , b), cada función de beneficio b i : R+¿→ R ¿

es cóncava y continua para x i>0.

La suposición dice que b i puede no estar decreciendo, pero además permite que

exista un intervalo [c i , c i ] , c i ≥ ci tal que b i este incrementándose para x i<c i, constante

para x i∈ [c i ,ci ], y decreciendo cuando x i>ci. En el último caso, el punto c i es el punto

de saciedad del agente i. El agente i alcanza su mayor beneficio en c i. Todo el nivel del

consumo de agua entre c i y c i también alcanza su máximo beneficio, pero el consumo

de agua mayor a c i proporciona un menor beneficio. Asignamos que para c i=0 y c i=∞


(significando que b i es constante para x i≥ c i≥ 0). En particular, esta asigna a

b i ( x i )=bi (0 ) , para cada x i≥ 0.

Bajo esta suposición, el problema de maximización anterior no tiene por qué

tener una única solución, aunque sigue estando bien definido. Sea X j un conjunto de

soluciones del problema de maximización para un país j, j=1 ,…, n, para cada solución

x j∈X j tenemos que v j=∑i=1

j

bi ( xij ) y para cada xn∈ Xn, la pareja de presupuesto ( xn ,t )

proporciona una distribución de beneficio

z i=b i (x in )+ ti , i=1 ,…, n ,

Con la suma de las cuotas igual a el beneficio total de Pareto eficiente

vn=∑i=1

n

bi (x in ).

Bajo esta suposición, el correspondiente juego cooperativo no esta bien definido

a menos que hagamos una suposición adicional sobre el consumo de agua de agentes

que tengan una función de beneficio cóncava pero no estrictamente cóncava.

Consideremos de nuevo una coalición no consecutiva formada por partes consecutivas

aguas arriba y partes consecutivas aguas abajo. Si algún agente j situado entre estas dos

partes tiene una función de beneficio con un punto de saciedad c j y un punto c j>c j tal

que su beneficio sea constante entre c j y c j y decreciendo a partir de ese punto, entonces

el juego cooperativo no está bien definido sin una suposición adicional sobre el

consumo de agua del agente j en caso de flujo de agua enviado desde aguas arriba hasta

aguas abajo llegando a ser tan grande que la disponibilidad de agua del agente j exceda

su punto de saciedad c j. En lugar de hacer tal suposición impondremos más adelante

axiomas relacionados directamente a la situación de río ( N . e , b ) y a partir de estos

obtendremos soluciones únicas para un problema de distribución de bienestar sin

modelar la situación del río como un juego cooperativo. Haciendo esto no

necesitaremos una suposición adicional.

5.6.3 Soluciones analíticas


Vamos a estudiar cuatro soluciones para este tipo de problemas. Para cada una

de ellas se van a definir una serie de axiomas (nueve en total) para poder caracterizar las

cuatro soluciones.

5.6.3.1 La solución incremental aguas abajo

El primer resultado es que en la clase W N de problemas de río ( N ,e , b ) la

solución incremental aguas abajo d esta caracterizada por los cuatro axiomas que se van

a definir a continuación:

Eficiencia. Para cualquier problema de río ( N ,e , b ) tenemos que

∑i∈N

f i ( N , e ,b )=vn (e ,b ).

Disminución de las propiedades compartidas. Para cualquier problema de río

( N ,e ,b ) tenemos que f i ( N , e ,b )≥ bi (0 ) para todo i∈N .

Nivel de propiedad débil en la aspiración. Para cualquier problema de río ( N ,e , b )

tenemos que f i ( N , e , b )≤ maxx i ≤∑

j∈Ne j

bi ( xi ) para todo i∈N .

Independencia de los beneficios aguas abajo. Para cada pareja de problemas de río

( N ,e ,b ) y ( N , e , b ' ) tal que b j=( b' ) j , para todo j ≤ i, tenemos que

f i ( N ,e , b )=f i ( N , e , b ' ).

Teorema 5.2 Una solución f en la clase W Nde problemas de ríos es igual a la solución

incremental aguas abajo d si y sólo si f satisface eficiencia, disminución de las

propiedades compartidas, nivel de propiedad débil en la aspiración e independencia de

los beneficios aguas abajo.

El axioma de independencia es usado en el Teorema 5.2 y en su caracterización.

Notar que la solución está totalmente determinada por los niveles de bienestar obtenidos

mediante la resolución de problemas de maximización de beneficio y que estos

problemas están bien definidos cuando la función de beneficios satisface la suposición

de la Sección 3. Así pues, no tenemos necesidad de tomar una suposición adicional

correspondiente a agentes con una función de beneficio cóncava pero no estrictamente

cóncava.


5.6.3.2 La solución incremental aguas arriba

Como se vio en la sección anterior, la propiedad del nivel de aspiración pone un

límite superior sobre la cuota total a los miembros de una coalición aguas arriba

{1 ,…, j } , j=1 ,…,n. Además, acorde a la solución incremental aguas abajo todas las

ganancias en beneficios obtenidas cuando algunas de las entradas a los territorios de las

coaliciones aguas arribas {1 , …, j }, quedan asignadas a sus agentes aguas abajo i ,i> j,

yendo desde los agentes aguas abajo en el sentido que una coalición aguas arribas es

únicamente compensada por su pérdida de beneficio total. Alternativamente, van der

Brink, van der Laan y Vasil’ev (2007) introdujeron la solución incremental aguas

arriba. De acorde a esta solución todas las ganancias en beneficios que ocurren cuando

algunas de las entradas a los territorios de una coalición aguas arriba {1 , …, j } están

asignadas a sus agentes aguas abajo i ,i> j, que van desde los agentes aguas arriba

teniendo en cuenta que la cuota total a la coalición aguas abajo { j+1 ,…,n } es

exactamente igual al beneficio total que ellos pueden lograr mediante la asignación de

sus propias entradas óptimamente repartidas entre ellos. En van den Brink, van der Laan

y Moes (2010) unaxioma denominada justa-TIBS es introducido, junto a eficiencia,

proporciona la solución incremental aguas abajo y las solución incremental aguas arriba

en los casos extremos.

Para definir la solución incremental aguas arriba, vamos a considerar para cada

j=1 ,…, n, el problema de maximización de bienestar

max∑i= j

n

b i ( x i ) s .t .∑i= j

k

x i ≤∑i= j

k

ei , k=1 , …, n y x i ≥0 , i= j ,…, n .

Es decir, para el agente j el óptimo del problema de maximización asigna las

entradas e j , …, en entre todos los agentes en la coalición { j , j+1 ,…,n }, dado la uni-

direccionalidad del flujo. Bajo la suposición de la sección tres, estos problemas de

maximización no tienen una solución única aunque estén bien definidos. Para una

solución y j=( y jj , …, yn

j ) del problema de maximización para el agente j, llamaremos

w j (e , b )=∑i= j

n

b i ( yij ) como el máximo beneficio que los agentes en { j , j+1 ,…,n } pueden

obtener mediante la distribución de sus propias entradas. Notar que para j=1 el


problema de maximización actual es equivalente al problema anterior, ya que

w1 (e , b )=vn (e , b ) es el beneficio total máximo que puede ser obtenido cuando se

asignan todas las entradas de forma óptima entre todos los agentes. Para cada solución

y1 el balance presupuestado de la pareja ( y1 , t ) proporciona una distribución de

beneficio

z i=b i ( yi1 )+ ti , i=1 ,…, n .

Con la suma de las cuotas igual al beneficio total Pareto eficiente

w1 (e , b )=∑i= j

n

bi ( y i1 ).

La solución incremental aguas arriba asigna a cada agente i su contribución

marginal al beneficio cuando los agentes entran posteriormente desde los agentes

situados aguas más abajo hasta los agentes emplazados aguas más arriba. Así, la

solución incremental aguas arriba asigna a cada situación de río ( N ,e ,b ) la distribución

de beneficio u ( N , e , b )∈Rn dada por

ui ( N , e ,b )=wi (e , b )−w i+1 (e ,b ) , i=1 , …,n .

Con wn+1 (e , b )=0.

El siguiente teorema, en la clases W N de problemas de río ( N , e , b ) , la solución

incremental aguas arriba u está caracterizada por los siguientes cuatro axiomas.

Eficiencia. Para cualquier problema de río ( N ,e , b ) , tenemos que

∑i∈N

f i ( N , e ,b )=vn (e ,b ).


( N ,e ,b ) , tenemos que f i ( N , e , b )≥ bi (0 ) , para todo i∈ N .

Propiedad de sequía. Para cualquier problema de río ( N ,e , b ) con e j=0, para todo

j ≤ i, tenemos que f i ( N , e , b )≤ bi (0 ).


Independencia de las entradas aguas arriba. Para cada pareja de problemas de río

( N ,e ,b ) y ( N ,e , b ' ) tal que e j=e ' j para todo j ≥ i, tenemos que f i ( N ,e , b )= f i ( N , e ,b ' ).

Teorema 5.3 Una solución f de la clase W Nde problemas de río es igual a la solución

incremental aguas arriba u si y sólo si satisface los axiomas de eficiencia, disminución

de las propiedades compartidas, la propiedad de sequía y la independencia de los flujos

aguas arriba.

Notar que la solución está completamente determinada por los niveles de

bienestar, obtenidos mediante la resolución de los problemas de maximización. Así,

según la definición de la solución incremental aguas arriba satisface estabilidad para

cada coalición aguas abajo {i ,i+1 , …, n }. Al igual que la solución incremental aguas

abajo, esta también cumple los requerimientos de estabilidad para cada coalición de

agentes consecutivos, tal como aparece en los documentos de van den Brink, van der

Laan y Vasil’ev (2007).

5.6.3.3 La solución aguas abajo

Como se ha mencionado antes, las soluciones incrementales aguas arriba y aguas

abajo satisfacen estabilidad para cada coalición de agentes consecutivos y, por tanto,

ambas están acorde a la doctrina de Harmon afirmando que cada agente es el dueño

legal de su propia entrada de agua. Bajo esta doctrina la solución incremental aguas

abajo favorece a los agentes situados aguas abajo en todo lo posible. La solución

incremental aguas arriba favorece pues a todos los agentes situados aguas arriba.

Como se discutió anteriormente, la doctrina Harmon entraba en conflicto con el

principio TIBS el cual toma a todos los agentes como dueños legales de todas las

entradas de agua. Por ejemplo, de acorde con el principio TIBS todos los agentes tienen

derecho a obtener un reparto de las entradas de agua e i en el territorio del agente uno.

Siguiendo el principio TIBS en su forma más extrema, un posible argumento

comprende que la mayoría de los agentes situados aguas abajo tienen derecho a recibir

todas las entradas de agua. Bajo esta condición, los agentes aguas arriba tienen la

posibilidad de “comprar” agua para compensar a la mayoría de los agentes situados

aguas abajo por su pérdida de agua. Teniendo en cuenta este punto de vista sobre los


derechos del agua, vamos a definir la solución aguas abajo s, la cual asigna a una

situación de rio (N , e , b)∈W N la distribución de beneficio s ( N , e , b )dada por

si ( N ,e , b )=wi (e , b )−w i+1 ( e , b ) , i=1 ,…,n .

Donde wn+1 (e , b )=0 y w j (e , b )=∑i= j

n

b i ( yij ) , j=1 , …, n con y j=( y j

j , …, ynj ) una

solución del problema de maximización de beneficio,

max∑i= j

n

b i ( x i ) s .t .∑i= j

k

x i ≤∑i= j

k

ei , k= j ,…, n y xi ≥ 0 ,i= j , …,n .

Hablemos de las diferencias entre los dos últimos problemas de maximización.

En el primero, los agentes en una coalición aguas abajo { j , j+1 ,…,n } pueden

únicamente consumir su propia entrada de agua, mientras que en el último, dichos

agentes pueden usar sus propias entradas de agua y también todas las entradas de agua

en su territorio de cualquier agente aguas arriba. Así, para una coalición { j , j+1 ,…,n } el

problema de maximización actual optimaliza la asignación de entradas e1 ,…, en entre

los agentes en la coalición, dada la uni-direccionalidad del flujo de agua. Notar que para

j=1 el problema de maximización es de nuevo igual al problema que le precede. Así

pues, w1 (e , b )=vn (e , b ) es el beneficio total máximo que puede ser obtenido cuando la

asignación de todas las entradas ha sido optimizada entre todos los agentes. Debido a

que ∑i=1

n

s i ( N ,e ,b )=w 1 (e ,b )=vn (e , b ), también la solución aguas abajo distribuye el

máximo beneficio total alcanzable entre todos los agentes y así, esta solución es también

eficiente.

Resulta que la solución aguas abajo puede ser caracterizada, análogamente a

como se hizo con la solución incremental aguas abajo en el Teorema 5.2, pero ahora la

independencia de los beneficios aguas abajo es remplazada por la independencia de los

beneficios aguas arriba.

En el siguiente teorema, en las clases W N de problemas de río ( N ,e , b ) la

solución aguas abajo s esta caracterizada por los siguientes cuatro axiomas.



∑i∈N

f i ( N , e ,b )=vn (e ,b ).


( N ,e ,b ) tenemos que f i ( N , e , b )≥ bi (0 ) , para todo i∈ N .

Nivel de propiedad débil en la aspiración. Para cualquier problema de río ( N ,e , b )

tenemos que f i ( N , e , b )≤ maxx i ≤∑

j∈Ne j

bi ( xi ) , para todo i∈N .

Independencia de los beneficios aguas arriba. Para cada pareja de problemas de río

( N ,e ,b ) y ( N ,e , b ' ) tal que b j=( b' ) j para todo j ≥ i, tenemos que f i ( N , e , b )=f i ( N ,e , b ' )

.

Teorema 5.4 Una solución f en la clase W Nde problemas de ríos es igual a la

solución aguas abajo si y sólo si f satisface eficiencia, disminución de las propiedades

compartidas, nivel de propiedad débil en la aspiración e independencia de los

beneficios aguas arriba.

Notar que en los problemas de maximización de beneficio, los agentes en la

coalición aguas abajo { j , …,n } tienen derecho a obtener el agua total de la entrada ∑i∈N

ei.

Cuando alguna cantidad de agua es asignada a otros agentes, de acorde con la solución

aguas abajo la mayoría de los agentes situados aguas abajo están completamente

compensados por sus pérdidas de beneficios mediante la compensación económica de

los otros agentes. Esto es una interpretación extrema del principio TIBS.

Consecuentemente, la solución aguas abajo nos satisface estabilidad aguas arriba y, por

lo tanto, viola la doctrina de Harmon: claramente todos los derechos de agua les son

otorgados a la mayoría de los agentes situados aguas abajo.

5.6.3.4 La solución aguas arriba

Como se ha visto en puntos anteriores, la solución incremental aguas arriba

favorece a los agentes situados aguas arriba en todo lo posible bajo la restricción de


estabilidad para las coaliciones aguas abajo. Al igual que la solución aguas abajo

homóloga, ahora vamos a introducir la solución aguas arriba r la cual favorece a los

agentes aguas arriba tanto como sea posible dada la uni-direccionalidad del flujo de

agua. Esto toma parte en el principio de Harmon en su forma más extrema mediante el

requerimiento de los agentes desde aguas arriba hasta aguas abajo en recibir el mayor

beneficio adicional alcanzable de sus entradas de agua dado que las entradas de sus

agentes aguas arriba han sido también distribuidas.

Para definir la solución aguas arriba, primero vamos a reconsiderar la

distribución de beneficio acorde con la solución incremental aguas arriba. Esta solución,

proporciona una cuota un ( N , e , b )=wn (e ,b ) al último agente n, donde wn ( e , b ) es el

máximo beneficio que el agente n puede lograr por el consumo de únicamente sus

propias entradas de agua. Después, el agente n−1 recibe

un−1 ( N ,e ,b )=wn−1 (e , b )−wn (e ,b ), donde wn−1 (e ,b ) es el beneficio total que los agentes

n−1 y n pueden conjuntamente conseguir mediante la distribución de sus aguas

óptimamente. De esta forma el agente n−1 recibe su contribución marginal al beneficio

total desde su entrada de agua en−1 hasta la entrada de agua en, teniendo en cuenta todas

las entradas situadas aguas arriba igual a cero. En general el agente i recibe su

contribución marginal al beneficio total de su entrada de agua e i a las entradas situadas

aguas abajo e j , j>i, teniendo en cuenta todas las entradas situadas aguas arriba e j , j>i,

igual a cero.

Al igual que hicimos con la solución incremental aguas arriba, la solución aguas

arriba puede ser definida de otra manera, empezando con el agente 1. Cuando todas las

entradas son cero, cada agente tiene una cuota b i (0 ) , i=1 , …, n. Ahora, sea la mayor

entrada aguas arriba e1 de tal forma que esté distribuida óptimamente entre todos los

agentes. Así, el agente uno recibe además de b1 (0 ) una cuota igual a la contribución

marginal del beneficio total cuando distribuyendo sus entradas e1 óptimamente entre

todos los agentes y asumiendo todas las demás entradas igual a cero, es decir, la

solución aguas arriba r proporciona al agente uno un pago r1 ( N , e , b )= v1 ( e , b ), donde

v1 (e ,b )=b1 (0 )+∑j=1

n

(b j ( y j1 )−b j (0 ))=b1 ( y1

1 )+∑j=2

n

(b j ( y j1)−b j (0 ) ) .

Con y1=( y11 , …, yn

1 ) una solución del problema de maximización de beneficio


max∑j=1

n

b j ( x j ) s .t .∑j=1

n

x j≤ e1 , x j ≥0 , j=1 , …,n .

A continuación, las entradas e1 y e2 están distribuidas óptimamente sobre todos

los agentes asumiendo todas las demás entradas igual a cero, y el agente dos recibe su

pago inicial b2 (0 ) más el beneficio total adicional que la distribución de su entrada e2

genera al beneficio obtenido de e1. Consecuentemente, para el agente i todas las

entradas e j , j ≤i están distribuidas óptimamente sobre todos los agentes asumiendo

todas las entradas a los agentes situados aguas abajo j>i,igual a cero, y el agente i

recibe su cuota inicial b i (0 ) , más el beneficio total adicional que la distribución de su

entrada e i genera al beneficio obtenido desde e i hasta e i−1. En general, la solución aguas

arriba r asigna a la situación del río ( N ,e , b )∈W N , la distribución de beneficio

r ( N , e ,b ) dada por

r i ( N ,e ,b )= v i (e , b )−v i−1 ( e ,b ) , i=1 ,… ,n .

Donde v0 (e ,b )=0 y vi (e ,b )=∑j=1

i

b j ( y ji )+ ∑

j=n+1

n

(b j ( y ji )−b j (0 ) ), i=1 , …, n , con

y i=( y1i ,…, yn

i ) una solución del problema de maximización de beneficio

max∑j=1

n

b j ( x j ) s .t .{ ∑j=1

n

x j≤∑j=1

i

e j ,

∑j=1

k

x j ≤∑j=1

k

e j , k=1 , …,i−1

x j≥ 0 , j=1, …, n .

Notar que este problema de maximización optimiza la distribución de entrada de

agua de los agentes en {1 ,…,i } sobre todos los agentes, teniendo en cuenta que para

cada agente k<i el consumo total de los primeros k agentes es al menos igual a la suma

de sus propias entradas. Los pagos de la distribución de beneficio r ( N , e , b ) puede ser

también escrita como


ri ( N , e , b )= v i (e ,b )−v i−1 ( e , b )

¿∑j=1

i

b j ( y ji )+ ∑

j=i+1

n

(b j ( y ji )−b j (0 ) )−(∑j=1

i−1

b j ( y ji−1)+∑

j=1

n

(b j ( y ji−1 )−b j ( 0 ) ))

¿bi (0 )+∑j=i

n

(b j ( y ji )−b j ( y j

i−1 )) ,i=1 ,…, n .

Para j=n, el problema de maximización anterior vuelve a ser igual al problema

inicial, siendo vn (e , b )=vn ( e ,b ) , el beneficio total máximo que puede ser obtenido

cuando se asigna todas las entradas de agua entre los agentes. Debido a que

∑i=1

n

ri ( N , e ,b )=vn (e ,b )=vn (e , b ), también la solución aguas arriba distribuye el bienestar

total máximo alcanzable que los agentes pueden conseguir juntos y, por lo tanto también

se considera una solución eficiente. Resulta que la solución aguas arriba puede ser

caracterizada de forma similar a como se realizó en la solución incremental aguas arriba

mediante los axiomas de eficiencia y de la disminución de propiedades compartidas,

pero ahora se van a cambiar un par de propiedades. La propiedad de sequía va a ser

sustituida por la propiedad de no contribución y el axioma de independencia de las

entradas aguas arriba se va a remplazar por la independencia de las entradas aguas

abajo.

El siguiente teorema establece que en la clase W N de problemas de río ( N ,e , b )

la solución aguas abajo s esta caracterizada por los siguientes cuatro axiomas.


∑i∈N

f i ( N , e ,b )=vn (e ,b ).


( N ,e ,b ) tenemos que f i ( N , e , b )≥ bi (0 ) , para todo i∈ N .

La propiedad de no contribución. Para cualquier problema de río ( N ,e , b ) donde

i∈N con e i=0, tenemos que f i ( N ,e , b )≤ bi (0 ).


Independencia de los beneficios aguas abajo. Para cada pareja de problemas de río

( N ,e ,b ) y ( N ,e , b ' ) tal que b j=( b' ) j para todo j ≤ i, tenemos que f i ( N , e , b )=f i ( N ,e , b ' )

.

Teorema 5.5 Una solución f en la clase W Nde problemas de ríos es igual a la solución

aguas arriba r si y sólo si f satisface eficiencia, disminución de las propiedades

compartidas, la propiedad de no contribución y la independencia de las entradas aguas

abajo.

Acorde a la solución aguas arriba, cada coalición aguas arriba {1 , …, j } recibe el

beneficio total que puede ser alcanzado mediante la asignación óptima de las entradas

de agua a cada coalición sobre todos los agentes. Claramente, el bienestar de una

solución del correspondiente problema de maximización anterior, es al menos tan alto

como el bienestar de una solución del problema de maximización inicial de beneficio en

donde las entradas de una coalición {1 , …, j } están distribuidas óptimamente entre ellas.

Así pues, la solución aguas arriba ciertamente satisface estabilidad para las coaliciones

aguas arriba y, además, también satisface el principio de Harmon para las coaliciones

aguas arriba. Sin embargo, la solución aguas arriba no suele satisfacer estabilidad por lo

general. Por ejemplo, el agente n recibe un beneficio marginal de vn (e , b )− vn−1 (e ,b ),

siendo la diferencia entre el beneficio total de los consumos de agua yn e yn−1. No se

puede decir nada sobre esta diferencia y el beneficio bn ( en ) que el agente n puede

obtener mediante el consumo de su propia agua. Además, es posible que ocurra que

rn ( N ,e , b )<bn ( en ), violando la racionalidad individual y, por tanto, estabilidad. Sin

embargo, podríamos decir que para cada coalición {i ,i+1 , …, j } de agentes consecutivos

la solución aguas arriba refleja una débil similitud al principio de Harmon en el sentido

de que cada coalición recibe lo máximo posible bajo la limitación del pago total a sus

coaliciones aguas arriba, siendo igual al bienestar total máximo alcanzable de todos los

países que pueden estar involucrados en la asignación de sus entradas e1 ,…, e i−1.

5.6.4 Comparaciones y conclusiones de las cuatro soluciones

Hemos considerado el problema del reparto de agua entre agentes situados a lo

largo de un río. Hemos adaptado el modelo de Ambec y Sprumont (2002) mediante una


débil suposición de la función de beneficio de los agentes. Usando nueve axiomas

diferentes hemos sido capaces de caracterizar cuatro soluciones para este modelo. La

solución incremental aguas abajo, originalmente sugerida por Ambec y Sprumont

(2002), puede ser caracterizada por eficiencia, disminución de las propiedades

compartidas, nivel de propiedad débil en la aspiración y la independencia de los

beneficios aguas abajo. La solución incremental aguas arriba, originalmente sugerida

por van der Brink, van der Laan y Vasil’ev (2007), puede ser caracterizada por

eficiencia, disminución de las propiedades compartidas, la propiedad de sequía y la

independencia de las entradas aguas arriba. La nueva solución aguas abajo puede ser

caracterizada por eficiencia, disminución de las propiedades compartidas, nivel de

propiedad débil en la aspiración y la independencia de los beneficios aguas arriba. Por

último, la nueva solución aguas arriba puede ser caracterizada por eficiencia,

disminución de las propiedades compartidas, la propiedad de no contribución y la in-

dependencia de las entradas aguas abajo.

La taxonomía se muestra en la siguiente tabla (donde, para cada solución, los

cuatro “si” en negrita proporcionan la axiomatización de la respectiva solución.

Como se puede apreciar en la tabla, ninguna de las cuatro soluciones satisface

simultáneamente la propiedad de nivel débil de aspiración y la independencia de las

entradas aguas arriba. Análogamente ninguna de las cuatro soluciones satisface a la vez

la propiedad de no contribución y la independencia de beneficios aguas abajo. Además,

la independencia de los beneficios aguas abajo queda únicamente satisfecha por la


solución incremental aguas abajo y la independencia de entradas aguas arriba es

satisfecha sólo por la solución incremental aguas arriba.

Ante los axiomas elegidos, parece que la independencia de los beneficios aguas

abajo, proporcionan una baja compensación a los países situados aguas arriba,

comparados con la independencia de las entradas aguas arriba. Las otras dos

propiedades de independencia son satisfechas por dos soluciones. La independencia de

los beneficios aguas arriba queda satisfecha por la solución aguas abajo y la solución

incremental aguas arriba, la independencia de las entradas aguas abajo queda satisfecha

por la solución aguas abajo y la solución incremental aguas abajo.

Finalmente, consideremos un caso donde aplicamos las cuatro soluciones a

un caso particular, donde cada agente tiene un beneficio marginal constante de más de

un punto de saciedad y un beneficio marginal de cero para lo posterior. En este caso,

únicamente la solución incremental aguas abajo y la solución aguas abajo pueden ser

implementadas sin transferencia monetaria entre los agentes. Esto significa que, cuando

los países situados a lo largo de un río internacional que únicamente demandan el agua

del río y que no están dispuestos a transferir dinero a cada uno, de las cuatro soluciones

presentadas en este capítulo sólo pueden usarse dos.

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