Curso propedéutico “Integración a la vida universitaria” proceso de admisión 2009

Unidad 3. Gestión de información para la investigación

S8. Actividad 1. Integración y redacción del informe final

TEMA: La relación entre la música y las matemáticas.

Nombre: Miguel Angel Aguilar Aguilar

Folio: AS1921038377

División y/o aula: División ciencias exactas, ingeniería y tecnología

Grupo: PROPE_1902

Licenciatura en matemáticas

Actividades Unidad 3

Monitora: Noemí Navarrete Aguirre

Blog: https://miguelaguilar.home.blog/

Fecha de entrega: 29 de mayo del 2019

CONTENIDOLa relación entre la música y las matemáticas......................................3Prefacio..................................................................................................3

Introducción........................................................................................3Antecedentes Históricos.....................................................................4Composición.......................................................................................9Serie de Fibonacci............................................................................10Melodía a través de la serie de Fibonacci........................................11Conclusión........................................................................................11Bibliografía y referencias..................................................................12Anexo................................................................................................13

LA RELACIÓN ENTRE LA MÚSICA Y LAS MATEMÁTICAS.

PREFACIODesde siglos atrás se han encontrado relaciones directas entre la música y las matemáticas y a pesar de que ambas tienes un origen en los albores de la humanidad y pareciera que su evolución es paralela, se han encontrado diversas convergencias que determina una estrecha relación y se puede afirmar que las música son matemáticas y que la música son matemáticas. Desde las relaciones proporcionalidad entre escalas musicales, patrones rítmicos en tempo (tiempo) y distancias en frecuencias tonales para armonía; que encontraron los grandes matemáticos y sabios como Platón, Pitágoras y Confucio; ahora se han encontrado relaciones más complejas que solo medir, contar y/o relacionar que relaciona la matemática con la música. En la actualidad se trata de crear música a partir de la teoría de conjuntos, álgebra abstracta y/o teoría de números; hasta algunos compositores han incorporado la proporción áurea y los números de Fibonacci en melodías que se podrían considerar melodías puramente matemáticas, por lo que ahora se puede afirmar que las matemáticas son música.

IntroducciónLa música y las matemáticas tienen una relación implícita innegable, ya que prácticamente cualquier cosa en la naturaleza tiene una relación con la matemática y aunque parezca poco creíble con la música, y quizá los escépticos en este punto puedan decir que en el vacío no existe sonido, pero hasta el silencio es una propiedad fundamental en la música y hasta tiene su propia simbología:

La relación entre matemática y música es tan estrecha que basta con que cada sonido es una onda que tiene una proporcionalidad con el siguiente y además se consideran los intervalos de tiempos para que estos sonidos sean agradables, pero esta relación es tan obvia, que es casi trivial, por lo que la intención del siguiente trabajo es establecer la relación que existe entre la matemática y la música no desde el plano físico, sino que a partir de la famosa serie de Fibonacci crear música, de esta manera la relación pasaría a ser más práctica, no tan trivial y más contundente. Para ello se realizarán encuestas con la finalidad de conocer si estudiantes de música y matemáticas de entre 15 a 20 años conocen la relación entre la música y las matemáticas, además de realizar una obra musical a partir de la serie de Fibonacci, si esta resulta una melodía coherente, la relación estaría fundamentada de manera más satisfactoria.

Antecedentes HistóricosTanto la música como la matemática an existido desde los comienzos del tiempo, ya que tan solo hablar de tiempo nos conduce inevitablemente al conteo tanto numérico como rítmico, inmediatamente después la creación del universo de la naturaleza, de los seres vivos, las aves que producen melodías, que posteriormente fueron imitadas por los primeros seres humanos, pero antes de ello empezaron por algo menos complejo: El ritmo que tiene estrecha relación con el tiempo y patrones numéricos, aunque estor seres humanos primitivos aún no se daban cuenta de ello.

Con el paso del tiempo la música evoluciono dando lugar a la melodía, para ello se tuvieron que inventar “herramientas” que pudieran emitir sonidos que cumplieran con la función deseada, como las flautas primitivas que a través de orificios hechos en un cilindro de madera y al ser soplada se producían diferentes sonidos al ir tapando orificios, tanto los sonidos como los orificios tienen una relación matemática estrecha ya que es sonido es físicamente una onda y los componentes de una onda son tanto su longitud como su amplitud, y la distancia ente los orificios y los orificios tapados para producir sonido tienen una relación matemática, sólo que todavía aún los creadores de estas herramientas no lo sabían.

Pero ¿hasta cuándo comenzaron a relacionar el arte de la música con la ciencia de las matemáticas? ¿Acaso la música no podría ser también una ciencia y las matemáticas un arte?

“La relación entre música y matemáticas es mucho más estrecha de lo que podría pensarse a primera vista. Por un lado, las matemáticas son la herramienta fundamental para el tratamiento de los procesos físicos que generan la música; pero, por otro lado, las matemáticas están en la propia esencia de este arte. La manera de elegir las notas musicales, su disposición, las tonalidades, los tiempos e incluso gran parte de los métodos de composición son pura matemática”. (LiernCarrión & Queralt Llopis, 2008)

La primera vinculación práctica de la música con la matemática de la que se tiene dato fue establecida por los pitagóricos quienes definieron notas musicales a partir de proporciones entre las longitudes de cuerdas tirantes, diferencia tonal las proporciones en las dimensiones de diferentes cuerpos en los que se producen sonidos por percusión y diferencias tonales entre la relación de las longitudes en tubos que se utilizaban como flautas. Fig. 1.

Fig.1.

Se atribuye a Pitágoras el descubrimiento de la relación entre el tono de la nota musical y la longitud de la cuerda que lo produce: el tono de la nota de una cuerda está en proporción con su longitud, y que los intervalos entre las frecuencias de los sonidos armoniosos forman razones numéricas simples. En la teoría conocida como «la armonía de las esferas», Pitágoras propone que el Sol, la Luna y los planetas emiten un único “zumbido” basado en su revolución orbital.

Para Filolao, matemático y astrónomo pitagórico, año 400 a.C., el mundo es «armonía y número», todo se halla ordenado según proporciones que corresponden a tres consonancias básicas para la música: 2:1 (armonía), 3:2 (quinta), 4:3 (cuarta). La música no es necesariamente exclusivamente instrumental, sino que responde más bien a un concepto abstracto así Nicómaco de Gerasa (también pitagórico, hacia el año 200) asigna las notas de la octava a los cuerpos celestes, de manera que generan una música.

“La teoría de la música de las esferas sobrevivió casi 20 siglos hasta la época de Kepler, quien se haría eco de la misma a raíz de sus descubrimientos en astronomía. Reconoció que los planetas giraban alrededor del Sol y sugirió que los planetas producían diferentes sonidos por los diferentes grados de velocidad a la que giraban. Creía que si se conocía la masa y la velocidad de un objeto que giraba se podría calcular su sonido fundamental. Desarrolló sonidos que asoció a los planetas entonces conocidos.” (Blázquez Lozano, 2015).

El monocordio:

Diógenes Laercio propone a Pitágoras como inventor del monocordio con el cual comprobó y cuantificó la relación entre la armonía musical con la matemática. Tenso una cuerda que proporcionó un sonido especifico el cual lo llamó fundamental, y la dividió por medio de señales en 12 partes. Pisó la sexta parte que correspondía a la mitad de la cuerda y llegó a un sonido igual al fundamental

pero más agudo (octava). Pisó luego la sección 9 y resultaba la cuarta. Al pisar el 8 se obtenía la quinta. A intervalos de cuerdas con longitudes de razones 1:2, 2:3 y 3:4 los llamó diapasón, diapente y diatesarón, en la actualidad octava, quinta y cuarta. Los sonidos producidos al pisar en otros puntos resultaban no gratos al oído es decir disonante. Los números 1, 2, 3, 4, la Tetraktys, determinaban con sus proporciones relativas los sonidos más consonantes. Fig. 2.

Fig. 2.

El astrónomo Tolomeo, siglo II d.C. escribió el tratado de teoría musical llamado “Harmónicos”. En su obra, fundamenta mediante axiomas la armonía pitagórica:

1. A los sonidos musicales corresponden números. A los del mismo tono el mismo número, a los de distinto tono números distintos.

2. Los números correspondientes a sonidos consonantes se comportan entre sí como el numerador y el denominador de las fracciones más perfectas a/b, que son aquéllas en que el numerador es múltiplo del denominador, a = nb, o bien aquéllas en que a sobrepasa a b en una parte de b, es decir a=b+b/n, y esta relación es tanto más perfecta cuanto más simple, es decir cuanto más pequeño sea n.

3. A la octava, como más perfecta, debe corresponder la relación 2/1. De esta forma resulta por pura deducción lógica que a la quinta le debe corresponder 3/2 y a la cuarta 4/3.

Boecio en el siglo VI d.C. escribió el “Tratado sobre la música”, base de la teoría musical elaborada durante el Medievo. Boecio consideraba la música una de las ciencias que permitían al hombre alcanzar la sabiduría. Por este motivo denominó quadrivium (cuádruple vía hacia la sabiduría) al conjunto de las cuatro ciencias matemáticas por excelencia, comprendía la aritmética “estudio de los números en reposo", la geometría “las magnitudes en reposo", la música “los números en movimiento" y la astronomía “las magnitudes en movimiento".

En la actualidad las notas musicales no se definen a partir de la longitud de un objeto vibrante, sino a partir de la frecuencia de la vibración de la onda sonora emitida por dicho objeto. La frecuencia y la longitud de una onda sonora se encuentran vinculadas por medio de la ecuación:

f = v/l

donde:

f: es la frecuencia expresada en Hertz.

v: es la velocidad del sonido en metros/segundos.

l: es la longitud de la onda en metros.

Dado tres sonidos S1, S2 y S3, de frecuencias f1, f2 y f3, en términos musicales se considera que el intervalo existente entre S3 y S1 es la suma de los intervalos formados por S2 y S1, y por S3 y S2. Ahora bien, la relación que cumplen realmente esos intervalos es, matemáticamente:

f3/f1 = f3/f2 x f2/f1

Tomando logaritmos resulta:

log f3/f1 = log f3/f2 + log f2/f1

Para conservar el lenguaje de los músicos se debería de tomar como medida de un intervalo, el logaritmo de la relación entre las frecuencias. Se conviene en utilizar logaritmos en base 10 y, para no operar con decimales, se multiplican por 1000. El intervalo unidad se llama Savart. El oído humano es incapaz de apreciar como diferentes dos notas cuya diferencia sea inferior al Savat.

Dos sonidos de la misma frecuencia tendrán de intervalo la unidad, se dice que están al unísono (musicalmente el intervalo es nulo, porque su valor es 1000 x log1 = 0) y una persona no es capaz de diferenciarlos. Si el intervalo es igual a 2 se tratará de una octava, siendo su valor en Savart:

1000 x log2 = 301

Hay que tener en cuenta que cuando dos o más sonidos son percibidos por el oído sucesiva o simultáneamente, hay en esa percepción una cualidad que no cambia cuando, variando de igual manera las frecuencias de los sonidos, no se altera la relación entre ellas, es decir, sus intervalos no varían.

En música quedan definidas todas las notas por sus intervalos, luego para determinar sus frecuencias basta fijar una de ellas. En el Congreso Técnico Internacional de Acústica (1953), se adoptó para el LA4 una frecuencia de 440 Hz.

Euler en 1739 desarrolló una teoría de consonancia basada en la ley pitagórica, y definió que entre más pequeños sean los números que expresan la relación de vibración de dos notas, éstas serán más consonantes. El físico Tyndall (1820-

1893) llego a la conclusión de que cuanto más simple sea la relación de frecuencias de dos sonidos más consonante será el intervalo que forman. Helmholtz (1821-1894) que explicó la consonancia y disonancia fijándose exclusivamente en la ausencia o no de “batidos”, que podrían darse entre los sonidos fundamentales o entre algunos de sus armónicos. Los estudios de Békésy y Plomp señalan la existencia de “batidos” que pueden crear una sensación desagradable, pero no en todas las ocasiones, de tal manera, que si la frecuencia de un “batido” es baja, el oído aprecia simplemente un “trémolo”, no una disonancia. Por el contrario, dos sonidos cuyas frecuencias difieran lo suficiente como para no producir pulsaciones audibles, pueden crear, al sonar juntos, una sensación de aspereza. Al campo de frecuencias dentro del que se perciben la sonoridad áspera y los batidos se denomina banda crítica.

En la música es necesario disponer de un número limitado de sonidos (notas), elegidos de entre las infinitas frecuencias, que han de cumplir la doble condición: por un lado la de formar intervalos sencillos con una de ellas, libremente elegida y denominada tónica y por otro la de que las relaciones de frecuencia entre dos cualesquiera sean también las más sencillas posibles. A esta sucesión de sonidos se le llama escala musical.

La escala musical está formada por la repetición ilimitada de la unidad natural por excelencia: la octava. En la práctica, los límites de la escala están condicionados por la sensibilidad del oído, que es nula por debajo de 20 Hz y por encima de 3500 Hz. Guido D´Arezzo (990-1058) estableció las denominaciones Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si de las notas que componen la escala diatónica y que son las habituales en la notación musical latina y también se le atribuye la invención del actual sistema de solfeo. El dio nombre a cada nota a partir de la primera sílaba de su himno a San Juan Bautista.

La construcción de la escala musical mediante el sistema de afinación pitagórica parte del axioma que obliga a cualquier intervalo a expresarse como una combinación de un número mayor o menor de quintas perfectas. Partiendo de una nota base se obtienen las demás notas de una escala diatónica mayor encadenando hasta seis quintas consecutivas por encima y una por debajo, lo que da lugar a las siete notas de la escala. Si comenzamos atribuyendo a Do el valor 1, a su quinta que es Sol le corresponderá 3/2; la quinta de Sol es Re' (Re de la siguiente octava), que tendrá asignado el valor (3/2)2 = 9/4; la quinta de Re' es La', de valor (3/2)3 = 278; la quinta de La' es Mi" (Mi de la octava siguiente a la anterior), que le corresponderá (3/2)4 = 81/16; y la quinta de Mi" es Si", de valor (3/2)5 = 243/32. Se tienen, pues, Do: 1, Sol: 3/2, Re: (9/4)/2 = 9/8, La: (27/8)/2 = 27/16, Mi: (81/16)/4 = 81/64, Si: (243/32)/4 = 243/128. Falta únicamente Fa, que puede obtenerse de la octava anterior a la de partida razonando así: como la quinta de Fa de la octava anterior es Do, tendrá asignado el valor 2/3, y Fa de nuestra octava será 4/3. Fa Do Sol Re La Mi Si

Enel siglo XV el organista Bartolomé Ramos de Pareja y más tarde, en el siglo XVI, Francisco de Salinas afinaban sus instrumentos por el procedimiento de las quintas desafinadas ligeramente a la baja y por igual todas ellas. En pleno siglo XVII, Juan Sebastian Bach fue impulsor de este modo de afinación que entre otras ventajas, permite interpretar con un mismo instrumento de tecla todo tipo de composiciones, cualquiera que sea su tonalidad, con un grado de afinación satisfactorio y como prueba de ello compuso la colección “El clave bien Temperado” que incluye veinticuatro melodías en todas las tonalidades y modos posibles.

William Holder (1614-1697) fue un teórico musical inglés, que publicó un tratado sobre las bases y los principios de la armonía (1693) en el que proponía una división de la octava en 53 partes, notas o comas, de esta forma un tono contiene 9 comas, el semitono cromático 5 y el diatónico 4 y es la utiliza da hasta la fecha.

ComposiciónUna composición musical consiste en secuencias de una gran cantidad de sonidos que transcurren en el tiempo, esto nos permite utilizar las técnicas de la teoría de las probabilidades y la estadística que posibilita asociar a las características físicas del sonido a un conjunto de variables aleatorias ligadas a un conjunto de funciones de densidad de probabilidad. Algunas composiciones son el resultado de reglas y conceptos como probabilidad aplicada a juegos de azar, modelos estadísticos, el movimiento browniano, el ruido blanco o música estocástica entre otros. También se puede generar música por medio de computadoras programadas con ciertas reglas.

Serie de Fibonacci Los números de la llamada serie de Fibonacci son elementos de una serie infinita. El primer número de esta serie es 1, y cada número subsecuente es la suma de los dos anteriores. Como el primero es 1 y antes no hay nada, el segundo es 1, el tercero 1+1, el cuarto es 1+2, y así sucesivamente, el 21= 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55, es decir, la sucesión dada por la fórmula u1=u2=1 y un=un-1+un-2 para n mayor o igual que 2: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ,55, 89, 144, 233, 377,... ... Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Dividamos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor y veamos lo que obtenemos: 1 : 1 = 1; 2 : 1 = 2; 3 : 2 = 1´5; 5 : 3 = 1´66666666; 8 : 5 = 1´6; …. Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro: 1,61803.... La razón entre dos elementos subyacentes de la serie lleva a converger al decimal 0.618..., y sus recíprocos al decimal 1.61803... La proporción de estas razones, sea en fracción o en decimal, es considerada por muchos como atractiva a la vista, balanceada y bella, y es nombrada proporción áurea. 13 : 8 = 1´625; 21 :13 = 1´6153846....; 34 :21 = 1´6190476....; 55 :34 = 1´6176471....; 89 :55 = 1´6181818.... Por su atractiva estética la proporción áurea se usa ampliamente en el arte y en la arquitectura. Muchos elementos de la naturaleza se desarrollan en esta proporción, las vueltas del caracol, los cuernos del cimarrón, la forma en que nacen las ramas y hojas de ciertas plantas, etcétera. Las superficies se dividen para obtener la proporción áurea, dando lugar a una composición bella y balanceada. Los números de la serie se utilizan porque es una manera fácil de lograr la proporción áurea. Pero no sólo es agradable a la vista sino al oído. Un violín, por ejemplo, puede separar hasta un tercio de tono. El oído humano sano y entrenado distingue hasta trescientos sonidos por octava. Como un ejemplo conocido y no discutido tenemos a la escala atemperada o templada. Esta es una escala logarítmica. Se creó muy poco tiempo después de que los logaritmos pasaran al patrimonio de la matemática. La octava atemperada está basada en este número irracional tiene infinitos decimales, pero la afinación se hace redondeando las cifras de las frecuencias a uno o dos decimales. De cualquier manera, el error tonal total cometido no es superior al doceavo de tono y el oído humano no lo nota. La uniformidad de la separación de las notas y la coincidencia de bemoles y sostenidos permite comenzar una melodía por cualquier nota sin que se produzcan las desagradables disonancias de la escala diatónica y la escala física. De la misma manera se actúa con la distribución de tiempos o la altura de los tonos usando el número áureo; con una aproximación racional que resulte práctica. No se sabe si el uso de la serie es intencional o, de manera intuitiva, tal vez el compositor la usa sin saber, sólo porque se oye bien. Por ejemplo, Beethoven no sólo la emplea en el tema de su Quinta Sinfonía, sino además en la forma en que incluye este tema en el transcurso de la obra, separado por un número de compases que pertenece a la serie.

Otro ejemplo lo encontramos en la sonata nº 1 de Mozart para piano subdivide su primer movimiento en 38 y 62 compases. El cociente, 62/38 = 1,6315, difiere en menos de un 1% de la proporción áurea. Lo mismo puede decirse de su segundo movimiento, que con 28 y 46 compases en sus dos secciones principales arrojan una proporción 46/28 = 1,6428. La sonata nº 2 subdivide el primer movimiento en 56 y 88 compases, cuyo cociente es 88/56 = 1,5714, también bastante próximo a la relación áurea.

Melodía a través de la serie de FibonacciPara la realización de la melodía se estableció la siguiente tabla con la relación de un número para cada nota musical-

Numero Nota1 Do2 Re3 Re#4 Mi5 Fa6 Fa#7 Sol8 La9 Si

Las notas se tocan en secuencia conforme a la serie de Fibonacci con los acordes correspondientes para darle más complejidad y mejor sonoridad al tema. Los números tomados en cuenta en la sucesión son: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418 y 317811.

Conclusión.Es innegable la relación que existe entre la matemática y la música, pero no solo por su relación física y temporal, sino que de alguna manera es posible hacer música a partir de ciertos teoremas, series numéricas y números como Pi y Euler, que al seguir los patrones numéricos y relacionarlos con notas musicales, se puede llegar a componer melodías coherentes y de gran emotividad y quizá existan más vínculos que todavía se desconocen, pero es un tema que se debería de estudiar con más profundidad.

Bibliografía y referencias

Libros:

1. Marcus du Sautoy. (2007). La música de los números primos. España.

Acantilado.

2. Javier Arbones, Pablo Milrud. (2011). La armonía es numérica: Música y

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Artículos:

1. Hoyos H., Diego L. (2012). La matemática de la música. Escuela Regional

de Matemáticas. Calí, Colombia. Recuperado de:

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2. Vicente Liern Carrión, Tomás Queralt Llopis (2008). MÚSICA Y

MATEMÁTICAS. La Armonía de los Números. Servicio de publicaciones de

la federación española de sociedades de profesores de matemáticas.

España. Recuperado de: http://vps280516.ovh.net/divulgamat15/index.php?

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3. Robert van Gend. (2014). The Fibonacci sequence and the golden ratio

in music. Toongabbie East, NSW 2146, Australia. Notes on Number Theory

and Discrete Mathematics. Recuperado de: http://nntdm.net/volume-20-

2014/number-1/72-77/

Tesis de grado:

1. Anderson Stiven Pachón Casas (2015). MATEMÁTICAS Y MÚSICA:

UNA MIRADA A LA ARMONÍA DESDE LA TEORÍA DE GRUPOS.

Bogotá D.C. Universidad Pedagógica Facultad de Ciencias y Tecnología

Departamento de Matemáticas. Recuperado de:

http://funes.uniandes.edu.co/11984/1/Pachon2015Matematicas.pdf

Rosa Marina Blázquez Lozano (2012). MÚSICA Y MATEMÁTICAS.

Anexo.Proceso de composición, producción y pasterización de melodía Fibonacci.