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LICEO TÉCNICO BICENTENARIO “JUANITA FERNÁNDEZ SOLAR” PROFESOR: CÉSAR TAPIA GATICADEPARTAMENTO DE MATEMATICAS LOS ÁNGELES

GUÍA DE MATEMÁTICA N°5 FILA A

UNIDAD: DATOS y AZAR

NOMBRE: CURSO: 4º MEDIO FECHA: /09/2020

OBJETIVOS:

Evaluar críticamente información estadística extraída desde medios de comunicación, tales como periódicos,

artículos de revistas o desde Internet.

CONCEPTOS BÁSICOS EN ESTADÍSTICA

Población y muestra estadística

La estadística es la ciencia dedicada tanto a la recolección, organización, representación y análisis de datos (estadística descriptiva) como a la generación de inferencias y predicciones a partir de dichos datos (estadística inferencial), entre otras aplicaciones. Esta es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se emplean en la recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación y comunicación de conjuntos de datos.

La población estadística corresponde a todo el conjunto sobre el cual se van a asumir las conclusiones del estudio estadístico, pero por razones prácticas (tiempo, costo, etc.) se utiliza una muestra estadística, que es un subconjunto de la población. Una muestra será tanto más adecuada dependiendo de su aleatoriedad y de su tamaño (entre otros factores), y si es lo suficientemente representativa sus resultados se pueden considerar para toda la población. La inadecuada representatividad de una muestra con respecto a la población se conoce como sesgo muestral, e impide que sus conclusiones se apliquen para toda la población.

Por ejemplo, tres estudiantes desean realizar un estudio estadístico acerca de la práctica de deporte de los jóvenes de 17 a 23 años que viven en Chile, que corresponden aproximadamente a dos millones de personas (población estadística). Para esto, cada uno de ellos ello realiza una encuesta a personas en ese rango de edad (muestra estadística):

El primero de ellos encuesta a 1.000 personas durante un torneo deportivo, obteniendo que el 90% de los encuestados practica deporte.

El segundo de ellos encuesta a 20 personas al azar, obteniendo que el 10% de los encuestados practica deporte. El tercero de ellos encuesta a 500 personas al azar, obteniendo que el 30% de los encuestados practica deporte.

Si bien los tres resultados son válidos dentro de cada muestra, el primer y segundo caso tienen problemas de sesgo muestral (por su aleatoriedad y su tamaño, respectivamente), por lo cual las conclusiones no se pueden asumir para toda la población. Sin embargo, en el tercer caso es posible aceptar que la muestra es representativa, por lo cual se puede asumir que el 30% de los jóvenes de 17 a 23 años que viven en Chile practican deporte.

Datos y variable estadística

En un estudio estadístico, la propiedad que se va a analizar se denomina variable estadística, y cada uno de los valores que se obtienen al realizar dicho estudio se llama dato estadístico. Una variable estadística se denomina:

Cuantitativa discreta, si representa una propiedad numérica que solo puede tomar ciertos valores, habiendo separaciones entre ellos. Por ejemplo, cantidad de personas que viven en una casa (1; 2; 3; 4; etc.)

Cuantitativa continua, si representa una propiedad numérica que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, sin que haya separaciones entre ellos. Por ejemplo, el peso de una persona en kilos (38,67 ; 45,19 ; 56,32 ; 73,81 ; etc.).

Cualitativa ordinal, si representa una propiedad no numérica, pero que se puede ordenar según niveles. Por ejemplo, concordancia con una afirmación (muy en desacuerdo; en desacuerdo; ni en desacuerdo ni de acuerdo; de acuerdo; muy de acuerdo).

Cualitativa nominal, si representa una propiedad no numérica que no se puede ordenar. Por ejemplo, color favorito (rojo; azul; amarillo; verde; etc.).

La frecuencia absoluta (o simplemente frecuencia) de un dato corresponde a la cantidad de veces que aparece el dato dentro de la muestra; la frecuencia relativa corresponde a la proporción del dato dentro del total de la muestra; y la frecuencia porcentual es la frecuencia relativa escrita en forma de porcentaje. Por ejemplo, si de una muestra de 40

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personas, 12 de ellas tienen los ojos cafés, entonces para la variable “color de ojos”, el dato “café” tiene una frecuencia

de 12, una frecuencia relativa de ( 1240 )=0,3 y una frecuencia porcentual de ( 12

40·100)%=30 %.

Sabías que...

Para variables estadísticas continuas (y para algunas variables estadísticas discretas) lo más práctico es que los valores de los datos se encuentren agrupados en clases o intervalos. En este caso, la frecuencia del intervalo indicará la cantidad de datos que se encuentran dentro de él, sin conocer necesariamente el valor preciso de cada uno. La marca de clase de un intervalo corresponde a un valor representativo de él, que se calcula como el promedio entre el límite inferior y el límite superior del intervalo. Por ejemplo, para la variable “edad”, en años, la clase “[63, 66[” incluye a todas las personas que tienen una edad mayor o igual que 63 años y menor que 66 años, y su marca de clase es

( 63+662 )=64,5 años.

GLOSARIO

Población: conjunto sobre el cual se realiza el estudio estadístico. Muestra: subconjunto de la población utilizada como datos en el estudio estadístico. Variables cuantitativas: variables que representan una propiedad numérica. Pueden ser discretas (ciertos valores

fijos) o continuas (ciertos valores dentro de u intervalo). Frecuencia absoluta (o frecuencia): número de veces que aparece un dato dentro de la muestra o cantidad de

elementos que agrupa un determinado intervalo. Frecuencia relativa: proporción del dato dentro del total de la muestra. Frecuencia porcentual: frecuencia relativa en forma de porcentaje. Frecuencia acumulada: suma de frecuencias desde el primer valor hasta el valor indicado. Clases: intervalos donde se encuentran agrupado los datos de una variable estadística continua. Marca de clase: valor representativo de un intervalo o clase. Se obtiene calculando el promedio entre los

extremos de un intervalo.

¿QUÉ DEBEMOS SABER?

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OBSERVACIÓN 1: Antes de calcular cualquier medida estadística, en este caso de tendencia central, debes definir el tipo de variable, si se trabaja con los datos de una población o de una muestra y cómo se presentan los datos (tabulados o no tabulados, agrupados en intervalos o no).

RESUMEN DE AÑOS ANTERIORES:

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA O

PROMEDIO

¿ x=∑i=1

n

x i

n

MEDIANA

(Me)

Si el número de datos (n) es impar, la

mediana coincide con el valor central, es

decir:

p ( Me )=1+n2

Si el número de datos (n) es par, la mediana queda determinada por

la semisuma de los

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valores centrales.

MODA

(Mo)

Es el valor de la variable que más se

repite en la distribución.

Si el número de datos (n) es par, la mediana queda determinada por

la semisuma de los valores centrales.

(¡OJO! Los datos deben estar

ORDENADOS)

RANGO

MEDIO

O

MARCA DE

CLASE

(x i¿

El rango medio o la marca de clase es el punto medio de cada

intervalo.

Rm=Máx−Mín2

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REPRESENTACIÓN GRÁFICA E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Representación de datos en gráficos y tablas

La recopilación de datos de un estudio estadístico se presenta mediante un gráfico (o tabla) de distribución de frecuencias. En ellas se representan los valores de los datos asociados a su frecuencia, frecuencia relativa o frecuencia porcentual.

Las distribuciones de frecuencias de las variables estadísticas pueden representarse mediante tablas y gráficos. A menudo es preferible un gráfico, porque permite resaltar las principales características de la distribución. El denominado gráfico de barras permite ilustrar visualmente ciertas comparaciones de tamaño. En el diagrama de barras, cada uno de los valores de la variable correspondiente se representa en el eje de abscisas (eje x) de un gráfico cartesiano, a intervalos igualmente espaciados. Para cada valor se dibuja una barra (o rectángulo) cuya altura ha de ser proporcional a la frecuencia absoluta o relativa de dicho valor.

Ejemplo: Diagrama de barras sobre la práctica de un deporte en especifico según si es niño o niña.

A menudo, una representación gráfica de una distribución de frecuencias nos da una mejor idea de un estudio estadístico que un cuadro con números. Existen distintos tipos de gráficos, algunos de los más utilizados son:

1) Gráfico de barras

Se utiliza para variables de tipo cualitativas y cuantitativas discretas. Consiste en una serie de barras cuyas alturas representan la frecuencia absoluta de estos.

2) Gráfico circular

El gráfico circular es utilizado en variables de tipo cualitativa y cuantitativa discreta. El gráfico consiste en un círculo dividido en secciones proporcionales al tamaño de la muestra y la frecuencia de los datos.

Ojo conEl área de cada sector es proporcional a la frecuencia relativa o porcentual del valor que representa.

3) Histograma

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Se utiliza para representar a los datos agrupados en intervalos. El histograma se elabora representando a los datos en el eje horizontal y a las frecuencias en el eje vertical. Se trazan barras cuyas bases equivalen a los intervalos de clase y cuyas alturas corresponden a las frecuencias de clase.

4) Polígono de frecuencias

Al igual que el histograma, este gráfico, se utiliza en datos agrupados en intervalos. Para confeccionarlo, debemos unir con una recta a los puntos donde se intersectan la marca clase y la frecuencia de los intervalos. Para “anclar” el polígono al eje horizontal, debemos agregar un intervalo de frecuencia cero, antes del primer intervalo y después del último intervalo.

5) Polígono de frecuencia acumulada u ojiva

Este gráfico, se representa uniendo puntos referidos al límite superior y frecuencia acumulada de cada intervalo. Para “anclar” la Ojiva al eje horizontal, se posiciona en el límite inferior del primer intervalo.

La frecuencia de un intervalo corresponde a todas las observaciones menores que el límite superior de ese intervalo.

TABLAS DE FRECUENCIAS

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El listado de los distintos valores o modalidades de una variable estadística, junto con las frecuencias (absolutas o relativas) de aparición de cada valor es el resumen más primario de una colección de datos y recibe el nombre de distribución de frecuencias. Las distribuciones de frecuencias de datos cualitativos pueden representarse mediante una tabla de frecuencias, como se muestra en la Tabla 2. La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece cada modalidad. La frecuencia relativa se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta por el total de casos en la muestra. El porcentaje es igual a la frecuencia relativa multiplicada por 100.

Cuando la variable es numérica interesa también calcular las frecuencias acumuladas. Para cada valor de la variable, la frecuencia acumulada es el número de elementos con un valor de la variable menor o igual que el dado. Se obtienen sumando a la frecuencia de un valor todas las anteriores. Las frecuencias relativas acumuladas se obtienen dividiendo las frecuencias absolutas acumuladas por el número de datos. También pueden obtenerse sumando a la frecuencia relativa ordinaria todas las anteriores, como se muestra en la Tabla 3.

EJEMPLO 1

La tabla adjunta representa la distribución de frecuencias de las edades de los participantes en el taller de música de un colegio.

Sumando los valores de la columna de frecuencias se obtiene la cantidad total de datos (número de alumnos que participan en el taller), que son (4+7+6+8)=25 alumnos. Luego, es posible determinar las columnas de frecuencia relativa y de frecuencia porcentual:

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Además, se pueden determinar las frecuencias acumuladas de cada valor, que corresponde a la suma de frecuencias desde el primer valor de la muestra hasta el valor indicado:

Gráficamente, existen varias representaciones de distribuciones de frecuencias. Considerando el caso de los alumnos del taller de música, es posible representar la información como:

Gráfico de barras Polígono de frecuencias Gráfico circular

En el caso de que los valores estén agrupados, es posible construir los mismos gráficos. En el gráfico de barras se representan los límites de cada intervalo, por lo cual las barras están necesariamente unidas. Todos los intervalos contienen al límite inferior, pero no al límite superior, excepto el último que incluye a ambos.

Por ejemplo:

La clase 1 corresponde al intervalo [p, q[La clase 2 corresponde al intervalo [q, r[La clase 3 corresponde al intervalo [r, s]

EJEMPLO 2

El gráfico de la figura adjunta muestra la 3 distribución de los números obtenidos al lanzar un dado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

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I) La moda es el número 2.II) En la quinta parte de los lanzamientos se obtuvo el número 4.III) En 14 lanzamientos se obtuvo números mayores o iguales a 5.

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

Resolución:

I) Verdadera, ya que 2 es el número con la mayor frecuencia (12 en este caso).

II) Verdadera, ya que si se suman las alturas de todas las barras se concluye que son 45 lanzamientos, de ellos 9 corresponden al resultado 4, es decir, la quinta parte de los resultados.

III) Verdadera, ya que los números mayores o iguales a 5 que se pueden obtener son el cinco, cuya frecuencia es 6, y el seis, cuya frecuencia es 8, por lo que sumando sus frecuencias resultan 14 lanzamientos. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.

La alternativa correcta es E.

EJEMPLO 3

En el gráfico adjunto se registró la distancia, en kilómetros, que recorren los habitantes de una villa hasta el lugar de trabajo de cada uno de estos, agrupados en intervalos de la forma [a, b[ y el último de la forman [c, d]. Respecto a esta información, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) La distancia promedio que recorren, a partir de la marca de

clase, es 6,04 kilómetros.

B) La mediana se encuentra en el intervalo [6, 8[.

C) En total se les consultó a 50 habitantes.

D) La moda se encuentra en el intervalo [6, 8[.

E) 27 habitantes de la villa recorren como mínimo 6

kilómetros.

Resolución

A) Verdadera, ya que a partir de la marca de clase se obtiene:

B) Verdadera, ya que al ser 50 datos, los términos centrales ocuparán las posiciones 25 y 26. Al realizar una tabla de frecuencia acumulada, se concluye que ambos datos se encuentran en el cuarto intervalo.

C) Verdadera, ya que al sumar todas las alturas de las barras en el gráfico adjunto, da un total de 50 datos.

D) Falsa, ya que no necesariamente el dato que más se repite está en el intervalo modal.

E) Verdadera, ya que según el gráfico, son 18 las personas que recorren entre 6 y 8 kilómetros, considerando solo el primer valor de estos, mientras que son 9 las personas que recorren entre 8 y 10 kilómetros, considerando ambos valores. Es decir, (18 + 9) personas recorren como mínimo 6 kilómetros y como máximo 10 kilómetros.

La alternativa correcta es D.

EJEMPLO 4

En el hospital de Los Ángeles se registran los pesos de los bebés en kilogramos. Los siguientes datos muestran los datos registrados:

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Ordene los datos y construya un gráfico de barras para el peso de los bebés, considerando un redondeo de los pesos al número entero más cercano y además un gráfico con respecto al porcentaje de los recién nacidos.

Resolución

Bebés (Kg) Cantidad de bebés

%

3 8 224 11 305 11 306 6 16

8 kg 11 kg 11 kg 6 kg0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

EJERCICIOS

1) El gráfico muestra el número de libros que leen anualmente un grupo de personas.

Determine si es verdadera (V) o falsa (F) la afirmación planteada

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a) ___ Hay 30 personas que leen más de 4 libros anualmente.

b) ___ Hay 7 personas que leen anualmente 3 libros.

c) ___ La mediana es 5 libros anuales.

d) ___ Todos leen menos de 7 libros.

e) ___ La moda es 12 libros al año.

f) ___ Hay 13 personas que leen al año a lo más 4 libros.

g) ___ Hay 33 personas que leen al menos 6 libros al año.

2) La tabla adjunta, muestra una distribución de frecuencias de las edades, en años, de los alumnos de un colegio que

cursan 4to medio.

¿En cuál(es) de los siguientes gráficos queda representada la distribución de frecuencia de la tabla?

3) El gráfico poligonal de la figura muestra el consumo (en metros cúbicos) de gas de los departamentos de un

conjunto habitacional. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La moda es 7.

II) Cuatro departamentos consumen exactamente 18 m³.

III) El menor consumo se registró en el intervalo [12 – 16[.

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4) El gráfico de frecuencias acumuladas (ojiva), de la figura; representa los resultados obtenidos por 100 alumnos en la

PSU. ¿Cuál(es) de las siguiente(s) aseveraciones es (son) verdadera(s)?

I) 69 alumnos obtuvieron menos de 650 puntos.

II) El intervalo modal es [550 - 650[.

III) El 8% de los alumnos obtuvieron 450 puntos.

Respuestas: 1) a = V; b = V; c = V; d = F; e = F; f = V; g = F - 2) I y III - 3) Ninguna - 4) I y IISINTESIS DE CONTENIDOS

Distribución de frecuencias de datos no agrupados y agrupados

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Gráficos

Tipos de gráficos

El histograma se utiliza para datos agrupados. En el gráfico circular, la información se representa en porcentajes.

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