Índice pruebas de hipótesis

1 proporción2 proporcionesMás de 2 proporciones, muestras independientesMás de 2 proporciones, muestras homogéneas1 media2 medias, muestras independientes2 medias, muestras pareadasMás de 2 medias, análisis de varianzaAnálisis de varianza en 2 vías

1

En los problemas siguientesI. Plantee la hipótesis de investigación y la hipótesis nulaII. Establezca el estadístico de prueba y sus condiciones de uso, con los datos del problemaIII. Especifique la regla de decisión (nivel de significancia, intervalos de aceptación y

rechazo de la hipótesis nula)IV. Calcule el estadístico de pruebaV. Haga la decisión estadísticaVI. Interprete los resultados

1 proporción

Si p es la proporción con la que ocurre cierta categoría de una variable categórica en una población, y si se tiene una de las siguientes hipótesis nulas:

H 0 : p=p0 H 0 : p ≤ p0 H 0 : p≥ p0

Donde p0 es un valor conocido, entonces un estadístico de prueba es:

zc=p̂−p0

√ p0 (1−p0 )n

Donde p̂ es la proporción con la que ocurre la categoría en una muestra representativa de tamaño n de la población

Si n p0>5 y n(1−p¿¿0)>5¿, y si H0 es cierta, la distribución de zc es la normal estándar. Para una α determinada, la regla de decisión se plantea de acuerdo a la siguiente tabla

Forma de H 1

Región de rechazo de H 0

z es el valor de Z con α en

H 1: p ≠ p0 (−∞,−z ]∪¿ Dos colasH 1: p> p0 ¿ Una colaH 1: p¿ p0 (−∞,−z ] Una cola

1. En un informe acerca de la deserción, se menciona que en las universidades de cierto país el 40% de los alumnos que abandonan sus estudios carecen de recursos económicos. Un sociólogo piensa que en su país esto no coincide con la realidad; para someter a prueba su hipótesis obtiene una muestra aleatoria de 70 estudiantes desertores, y encuentra que 30 de ellos carecen de recursos económicos. ¿Puede el sociólogo, con un nivel de significancia α = 0.05, considerar que, entre los alumnos desertores, los que carecen de recursos económicos son un porcentaje distinto de 40%?

2. Un psicólogo opina que más de 30% de los niños cuyas edades fluctúan entre 6 y 9 años tiene interés en conocer aspectos de educación sexual. Para someter a prueba su hipótesis, elige aleatoriamente 150 niños y por medio de una entrevista y una prueba detecta que 63 de ellos están interesados en temas de educación sexual. Supongamos que el psicólogo desea una confiabilidad en su prueba de 99% (por lo que α = 0.01)

3. Una encuesta realizada por Bancomer a 35 clientes indicó que un poco más del 74 por ciento tenían un ingreso familiar de más de $200,000 al año. Si esto es cierto, el banco desarrollará un paquete especial de servicios para este grupo. La administración quiere determinar, con

2

una confianza de 95%, si el porcentaje verdadero es mayor del 60 por ciento antes de desarrollar e introducir este nuevo paquete de servicios. Los resultados mostraron que 74.29 por ciento de los clientes encuestados reportaron ingresos de $200,000 o más al año.

4. Se piensa que menos del 75% de los padres de familia tiene una opinión buena acerca de la organización de la escuela en donde estudian sus hijos. Para probar esta hipótesis, se elige aleatoriamente a 125 padres de familia, de los cuales 89 tienen una buena opinión acerca de la organización de la escuela. Haga la prueba de hipótesis correspondiente con α = 0.10.

5. El presidente del PRI en 1988, basado en su experiencia, sostiene que un 95% de los votos para las elecciones presidenciales han sido a favor de su partido. Los partidos de oposición levantaron una muestra de1,100 electores y encontraron que un 87% de ellos votaría por el PRI. El presidente del PRI quiere probar la hipótesis, con un nivel de significación de 0.05, que másdel 95% de los votos son para su partido

6. Se ha ensayado un nuevo método de enseñanza con 54 niños con síndrome de Down tomados al azar de varias escuelas de educación especial. Al cabo de cierto tiempo se observa que 25 de los niños han avanzado substancialmente. La proporción habitual de los que avanzan substancialmente es un tercio. Haga la prueba de hipótesis correspondiente para determinar si el nuevo método ha producido un avance significativamente mayor que el método usual. (Use α=0.05)

7. El comité estudiantil de cierta universidad sostiene que menos del 70% de los estudiantes que asisten a ella aceptanel plan para aumentar las cuotas escolares bajo el pretexto de mejorar las instalaciones deportivas. Si 9 de 18 estudiantes seleccionados al azar de la citada universidad aceptanel plan, pruebe la aseveración en el nivel de significancia 0.05.

8. Un artículo publicado indica que solo uno de cada tres egresados de una universidad les espera un puesto de trabajo. En una investigación a 200 egresados recientes de la universidad A, se encontró que 80 tenían un puesto de trabajo. ¿Puede concluirse con un nivel de significancia de 0.02 que de esa universidad A la proporción de estudiantes que tienen trabajo es mayor?

3

Dos proporcionesSi p1 es la proporción con la que ocurre cierta categoría de una variable categórica en una población, y p2 es la proporción con la que ocurre la misma categoría en otra población, y si se tiene una de las siguientes hipótesis nulas:

H 0 : p1−p2=0 H 0 : p1−p2≤ 0 H 0 : p1−p2≥ 0H 1: p1−p2≠ 0 H 1: p1−p2>0 H 1: p1−p2<0

Entonces un estadístico de prueba es:

zc=p̂1− p̂2

√ p̂(1− p̂)n1

+ p̂(1− p̂)n2

donde p̂=n1 p̂1+n2 p̂2

n1+n2

p̂ estimación mancomunada y p̂1, p̂2 son las proporciones con la que ocurre la categoría en muestras representativas de tamaño n1 y n2 de las poblaciones.Si n1 p̂1>5 y n1 (1− p̂1 )>5, n2 p̂2>5 y n2 (1− p̂2 )>5 y si H0 es cierta, la distribución de Zc es la normal estándar. Para una α determinada, la regla de decisión se plantea de acuerdo a la siguiente tabla

Forma de H 1 Región de rechazo de H 0

z es el valor de Z con α en

H 1: p1−p2≠ 0 (−∞,−z ]∪¿ Dos colasH 1: p1−p2>0 ¿ Una colaH 1: p1−p2<0 (−∞,−z ] Una cola

1. Para saber si los estudiantes de la universidad A (UA) salen mejor preparados que los de la universidad B (UB), se aplicó un examen a 38 estudiantes de UA de los cuales 29 de ellos obtuvieron calificación mayor a 8, el mismo examen se aplicó a 31 estudiantes de UB y 16 de ellos obtuvieron calificación mayor de 8. Utilice un 99% de confiabilidad para comprobar si los de UA salen mejor preparados que los de UB

2. Para saber si son distintos los porcentajes de docentes y administrativos de una universidad que están a favor de solicitar despensas familiares, se tomó una muestra representativa de 37 docentes, de los cuales 22 estuvieron a favor y el resto indiferentes, y se tomó una muestra de 45 administrativos, de los cuales 41 se mostraron a favor y el resto indiferentes.

¿Se puede decir, con 99% de confianza, que es distinto el porcentaje de docentes que desean la despensa que el porcentaje de administrativos que también desean la despensa?

3. Se asegura que el índice de reprobación general en una secundaria se reduce si se hace énfasis en el aprendizaje de los temas de matemáticas. Se tomaron dos grupos: al primero se les impartió clases extras de matemáticas, 8 de los 40 alumnos inscritos

reprobaron más de la mitad de los cursos al otro grupo sólo se les impartió el curso normal de matemáticas, 13 de los 35 alumnos

reprobaron más de la mitad de los cursos¿Se puede decir, con 95% de confianza, que el índice de reprobación es menor si se hace énfasis en el aprendizaje de los temas de matemáticas?

4

4. Un psicólogo afirma que, según sus experiencias informales, las estudiantes de secundaria tienen distinta memoria verbal que los estudiantes varones del mismo nivel. Para someter a prueba su hipótesis, elige dos muestras aleatorias, una de 75 alumnas y otra de 80 alumnos. A cada persona le recita, por separado, una lista de palabras sin sentido y le pide que la repita. Al final del experimento, logra registra que 12 de las 75 alumnas repiten correctamente la lista de palabras, en tanto que 11 de los 80 alumnos lo hacen.

Haga la prueba de hipótesis correspondiente con α = 0.05

5. En una universidad se quiere saber si el nuevo plan de estudios de una de las licenciaturas mejoró la calidad del saber de los estudiantes. Se diseñó una prueba y se aplicó a 200 estudiantes que estudiaron con el nuevo plan, 60 de ellos aprobaron, la misma prueba se aplicó a 300 estudiantes que estudiaron con el plan antiguo, 75 de ellos aprobaron.

Diga, con un 98% de confianza, si efectivamente el nuevo plan mejoró el nivel de aprendizaje

6. Dadas dos muestras independientes, una de tamaño 500, la otra de tamaño 100.Si la hipótesis nula H0 es p1 ≥ p2, esto es p1 – p2≥ 0 ¿Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo I si la diferencia de proporciones muestrales es 0.11 y la estimación mancomunada es 0.69?

se obtuvieron las siguientes proporciones, para la primera p̂1=0.70, para la segunda p̂2=0.59. Si la hipótesis nula es:

a) H0: p1 = p2

b) H0: p1 ≤ p2

c) H0: p1 ≥ p2

Para cada caso calcular la probabilidad de cometer el error tipo I

7. En una muestra aleatoria de 250 personas que no tomaron desayuno, 102 reportaron que experimentaron fatiga a media mañana mientras que en otra muestra aleatoria de 250 personas que sí desayunaron, 73 dijeron que experimentaron fatiga a media mañana. Use el nivel de significancia α = .01 para probar la hipótesis de que la fatiga a media mañana es más común entre personas que no desayunan.

5

Más de dos proporciones, muestras independientes

Al considerar dos variables categóricas, se plantea la pregunta de si estas son independientes. Si se tiene la siguiente hipótesis nula con respecto a dos variables categóricas en una misma población

H0: Hay independenciaEntonces un estadístico de prueba es:

χc2=∑

i=1

k (oi−ei)2

ei

Donde las oi son las k frecuencias observadas y las ei son las k frecuencias esperadas. Si ei > 5 por lo menos en el 80% de los casos y ei > 1 en todos los casos, y si H0 es cierta, la distribución de χc

2 es la distribución “ji-cuadrada” con (r-1)(m-1) grados de libertad, donde r y m son el número de renglones y columnas de la tabla de contingenciaPara una α determinada, la regla de decisión está dada por la siguiente región de rechazo de H0.

¿¿Donde χ( (r−1 )( m−1))

2 es el valor en la tabla de la distribución “ji-cuadrada” con α en una cola y con (r - 1)(m - 1) grados de libertad. Cuando r = m = 2,el estadístico de prueba que se utiliza es ligeramente distinto. Más adelante lo veremos

Variable 1Variable2 V1 V2 … Vn Total

observada esperada observada esperada observada esperada

U1 N1,1

∑j=1

m

N j ,1

∑j=1

m

∑i=1

n

N j , i

(∑i=1

n

N 1 ,i) N1,2

∑j=1

m

N j ,2

∑j =1

m

∑i=1

n

N j , i

(∑i=1

n

N 1 ,i)… N1,n

∑j=1

m

N j ,n

∑j =1

m

∑i=1

n

N j , i

(∑i=1

n

N 1 ,i)∑i=1

n

N 1, i

U2 N2,1

∑j=1

m

N j ,1

∑j=1

m

∑i=1

n

N j , i

(∑i=1

n

N 2 ,i) N2,2

∑j=1

m

N j ,2

∑j=1

m

∑i=1

n

N j , i

(∑i=1

n

N 2 ,i)… N2,n

∑j=1

m

N j ,n

∑j =1

m

∑i=1

n

N j , i

(∑i=1

n

N 2 ,i)∑i=1

n

N 2, i

…

Um Nm,1

∑j=1

m

N j ,1

∑j=1

m

∑i=1

n

N j , i

(∑i=1

n

N m,i)Nm,2

∑j=1

m

N j ,2

∑j=1

m

∑i=1

n

N j , i

(∑i=1

n

N m,i)… Nm,n

∑j=1

m

N j ,n

∑j =1

m

∑i=1

n

N j , i

(∑i=1

n

N m,i)∑i=1

n

N m,i

Total ∑j=1

m

N j ,1 ∑j=1

m

N j ,2 … ∑j=1

m

N j ,n ∑j=1

m

∑i=1

n

N j ,i

1. El consejo estudiantil de una universidad propuso un proyecto de actividades para el próximo semestre. Se pidió a los estudiantes su opinión en relación a tal proyecto y se clasificó su respuesta de acuerdo a la licenciatura que estudian. En una muestra aleatoria se obtuvieron los siguientes datos

LICENCIATURAOPINIÓN Administración Pedagogía Psicología Sociologí Totales

6

aA favor 10 11 8 4 33Indiferente 3 1 2 1 7En contra 5 4 3 3 15Totales 18 16 13 8 55

Se quiere saber, con un 95% de confianza, si el estudiar cierta licenciatura tiene influencia en su opinión sobre el proyecto

2. Se tienen los siguientes datosCalificación en Estadística

Procedencia\CE

5 6 7 8 9 10 total

Normal 6 8 11 16 16 9 66Prepa-CCH 19 25 21 20 11 3 99C. Bachilleres 11 13 21 16 7 4 72Bach. Pedal. 0 8 2 5 4 0 19Otros 3 8 4 5 3 4 27Total 39 62 59 62 41 20 283

Se quiere saber, con un 99% de confianza, si la procedencia influye sobre la calificación en estadística

3. Se tienen los siguientes datos, la pregunta es ¿la calificación promedio es independiente del nivel socioeconómico?

Ns\cp 6 7 8 9 10 TotalBajo (b) 20 53 68 30 7 178Medio (m) 11 35 62 38 9 155Alto (a) 7 17 26 13 4 67Total 38 105 156 81 20 400

Someta a prueba la hipótesis de que las dos variables no son independientes, usando α=.10

4. El director de una escuela preparatoria en una ciudad sostiene que, en la ciudad, el nivel socioeconómico de los alumnos de preparatoria tiene influencia en su rendimiento escolar. Para ver esto, decide medir este rendimiento escolar mediante la calificación final de cada alumno en el curso de Historia de México. Toma una muestra de 115 alumnos. Los resultados obtenidos son.

nivel socioeconómico NA S B MB Total

bajo 9 15 10 7 41medio 11 12 14 8 45alto 3 11 10 5 29Total 23 38 34 20 115

Someta a prueba la hipótesis de que el nivel socioeconómico y la calificación son independientes con α=.05, esto es la hipótesis nulaH0: Hay independencia

7

Si en una misma población se consideran dos variables categóricas, cada una con dos valores, y se tiene la siguiente hipótesis nula:

H0: Hay independenciaEntonces un estadístico de prueba es:

χc2=

n(|sv−tu|−12

n)2

( s+t ) (u+v ) (s+u ) ( t+v )Donde n, s, v, t y u son valores que se encuentran en la tabla de contingencia como sigue:

Si las frecuencias esperadas son mayores que 5 y si H0 es cierta, la distribución de χc2 es la distribución “ji-

cuadrada” con 1 grado de libertad.

Para una α determinada, la regla de decisión está dada por la siguiente región de rechazo de H0:¿

Donde χ (1)2 es el valor la tabla de la distribución “ji-cuadrada” con α en una cola y un grado de

libertad.1. Se cree que en una ciudad las familias con alto ingreso generalmente envían a sus hijos a

escuelas particulares, en tanto que las familias de bajo ingreso los envían a escuelas oficiales. Con objeto de someter a prueba esta hipótesis, se escogen 150 familias al azar y se obtienen los siguientes datos.

ingresofamilia

r

Tipo de escuelaparticular oficial Total

bajo 13 91 104alto 38 8 46

Total 51 99 150Con α = 0.01 haga la prueba de hipótesis para la hipótesis nula H0: Hay independencia

2. Un psicólogo sostiene que en los adolescentes hay una relación muy estrecha entre sus promedios de calificación y la opinión que tienen de sí mismos; para someter a prueba su hipótesis toma una muestra de 210 alumnos y los clasifica según estos dos criterios con los datos que aparecen en la siguiente tabla:

opinión desí mismos

promedioalto bajo Total

buena 77 28 105mala 42 63 105Total 119 91 210

Haga la prueba de hipótesis correspondiente:a) Para α = 0.05b) Para α = 0.01

8

Primera variable TotalSegund

avariable

s t s + tu v u + v

Total s + u t + v n

Más de dos proporciones, muestras h omogéneas

Se quiere comparar las proporciones con las que ocurren los valores de una variable categórica en varias poblaciones distintas. Si en dos o más poblaciones se considera una misma variable categórica, y se tiene la siguiente hipótesis nula acerca de la distribución de los valores de la variable en las poblaciones:

H0: Hay homogeneidadEntonces un estadístico de prueba es:

a) En el caso en el que hay más de dos poblaciones o más de dos valores de la variable:

χc2=∑

i=1

k (oi−ei)2

ei

Donde las oi son las k frecuencias observadas y las ei son las k frecuencias esperadas. Para usar este estadístico se requiere que ei> 5 por lo menos en el 80% de los casos y que ei > 1 en todos los casos.

b) En el caso en el que hay dos poblaciones y dos valores de la variable:

χc2=

n(¿ sv−tu∨−12

n)2

(s+t)(u+v)(s+u)( t+v)Donde el primer valor de la variable ocurre con frecuencias s y t, y el segundo valor con frecuencias u y v respectivamente en las dos muestras, y n es la suma de todas las frecuencias anteriores (n = s + t + u + v). Para usar este estadístico se requiere que todas las frecuencias esperadas sean mayores que 5.

Si H0 es cierta χc2 tiene una distribución “ji-cuadrada” con (r-1)(m-1) grados de libertad, donde r

y m son el número de renglones y columnas de la tabla de contingencia.

Para una α determinada, la regla de decisión está dada por la siguiente región de rechazo de H0.¿¿

Donde χ( (r−1 )( m−1))2 es el valor en la tabla de la distribución “ji-cuadrada” con α en una cola y con

(r – 1)(m – 1) grados de libertad

1. Se cree que la elección de licenciatura difiere entre hombres y mujeres en la UPN. Se tomó una muestra de 55 mujeres (F) y de 45 hombres (M), obteniéndose los siguientes datos.

Sexo/CARRERA Psicología Pedagogía administración Sociología Total(PS) (P) (A) (S)

Masculino (M) 16 5 9 15 45Femenino (F) 18 15 10 12 55Total 34 20 19 27 100

¿Se puede decir, con un 95% de confianza, que la elección de carrera difiere entre hombres y mujeres?

2. Una universidad patrocina un programa dominical de radio. Para saber si la opinión de los estudiantes de 4 licenciaturas difieren respecto del programa, se toma una muestra representativa de 100 estudiantes de cada una de ellas y se les clasifica según su opinión acerca del programa. Se tiene la siguiente tabla.

9

Licenciatura

opinión

favorable desfavorableTotal

A 60 40 100B 65 35 100C 71 29 100D 77 23 100

¿Se puede decir, con α=.05, que la opinión que del programa tienen los alumnos es diferente en cada licenciatura?

3. Un sociólogo cree que en cierto municipio la proporción de campesinos que acudieron a votar en las últimas elecciones difiere de la de los obreros que acudieron a las urnas. Entrevista a 100 campesinos y a 100 obreros, obtiene los siguientes resultados.

votaron

campesinos

obreros

total

no 72 68 140si 28 32 60total 100 100 200

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente para considerar, con 95% de confianza, que la hipótesis del sociólogo es verdadera?

4. Para averiguar si en cierta entidad de la república los profesionistas, los comerciantes y los campesinos difieren en su opinión acerca del S.A.M., se seleccionan aleatoriamente 58 profesionistas, 55 comerciantes y 63 campesinos, a los cuales se les aplica un cuestionario para saber su opinión acerca de la política del S.A.M. Los datos obtenidos se agrupan en la siguiente tabla:

Ocupación Opinión acerca del S.A.M.A favor En contra indiferente Total

Profesionista 40 11 7 58Comerciante 36 8 11 55Campesino 35 15 13 63Total 111 34 31 176

¿Se puede decir, con α = 0.1, que la opinión acerca del S.A.M. difiere entre profesionistas, comerciantes y campesinos?

5. En un estudio se tomaron tres muestras aleatorias de matrimonios en tres estados de la república. Se les preguntó cuál es el grado mínimo de escolaridad que desearían que sus hijos alcanzaran y se les clasificó de acuerdo a su respuesta. Los resultados se encuentran en la siguiente tabla:

Mínimo deescolaridaddeseado

Matrimonio delestado A

Matrimonio delestado B

Matrimonio delestado C total

Primaria 48 45 38 131Secundaria 48 30 74 152Profesional 144 125 208 477

10

Total 240 200 320 760¿Se puede decir, con α = 0.1, que las opiniones de los matrimonios con respecto a la educación deseada para sus hijos son no homogéneas en los tres estados?

6. Para averiguar si los estudiantes de cuatro diferentes carreras de una universidad (Medicina, Leyes, Ingeniería y Filosofía) tenían diferente condición física, se tomaron muestras representativas de tamaño 50 de cada carrera, y se les clasificó según su condición física. Los resultados se ven en la tabla siguiente:

condiciónfísica

CarreraMedicina Leyes Ingenierí

aFilosofía Total

Alta 14 15 17 13 59Media 20 19 21 22 82Baja 16 16 12 15 59Total 50 50 50 50 200

Pruebe la hipótesis correspondiente con α = 0.05

7. En un estado de la república, se desea averiguar si las escuelas unitarias reciben apoyo satisfactorio de la Secretaría de Salubridad y Asistencia en la misma proporción que las escuelas rurales de organización completa. Para ello, se tomaron muestras aleatorias de 80 escuelas de cada tipo, con los siguientes resultados:

Apoyo de laS.S.A.

Escuelasunitarias

Escuelas de organi-zación completa

Total

Satisfactorio 42 57 99No satisfactorio 38 23 61Total 80 80 160

a) ¿Se puede afirmar que en ese estado la población de escuelas unitarias y la de escuelas de organización completa no son homogéneas con respecto al apoyo que reciben de la S.S.A., con α = 0.05?

b) ¿y con α = 0.01?

8. Una encuesta, diseñada para mostrar cómo se transportan los estudiantes que asisten a una preparatoria, dio los siguientes resultados en una muestra aleatoria:

Grado del alumno/Medio 1er grado

2º grado 3er grado

Caminando 46 34 37Automóvil 22 29 35

Transporte Público 104 87 89Use el nivel de significancia α = .05 para probar la hipótesis nula de que las mismas proporciones de alumnos de primero, segundo y tercer grado usan estos medios de transporte.

11

Una media poblacional

X se distribuye normalmente con media μ, y si se tiene una de las siguientes hipótesis nulas:H0 : μ=μ0 H 0 : μ≤ μ0 H0 : μ≥ μ0

Donde μ0 es un valor conocido, un estadístico de prueba es:

t c=x−μ0

s /√nDonde x y s son la media y la desviación estándar de una muestra de tamaño n representativa de la población. Si H 0 es cierta, la distribución de t c es la distribución “t de Student” con n-1 grados de libertad. Para α determinada, la regla de decisión se plantea de acuerdo a la siguiente tabla.

Forma de H 0

Región de rechazo de H 0 t (n−1) es el valor de t con α en

H 0 : μ=μ0 (−∞,−t (n−1) ]∪¿ Dos colasH 0 : μ≤ μ0 ¿ Una colaH 0 : μ≥ μ0 (−∞,−t (n−1) ] Una cola

1. Se sospecha que los niños de las zonas rurales tienen un nivel de conocimiento en ciencias naturales diferente del de los de zonas urbanas, con los niños de las zonas urbanas se obtuvo un promedio poblacional de 7.5 y las calificaciones se distribuyen normalmente. Se tomó una muestra de 30 estudiantes de zona rural y se obtuvo un promedio de 7.86 con una desviación estándar de 0.71, ¿podemos rechazar la hipótesis nula en el nivel de significancia α = 0.05?

2. Una máquina de refrescos está regulada para servir 1 litro por vaso. Si se prueba nueve veces la máquina, obteniéndose una media de 1.25 litros por vaso con una desviación estándar de 270 ml., ¿podemos rechazar la hipótesis nula µ=1 litro contra la hipótesis alternativa µ≠1 litro en el nivel de significancia 0.01?

3. Un criador de pollos sabe por experiencia que el peso de los pollos de cinco meses es 2.15 Kg. Los pesos siguen una distribución normal. Para tratar de aumentar el peso de dichas aves se le agregó un suplemento al alimento. En una muestra de pollos de cinco meses se obtuvieron los siguientes pesos (en Kg.)

2.22 2.18 2.13 2.15 2.11 2.16 2.17 2.21 2.20Con un nivel de significancia de 0.01 ¿se puede asegurar que el suplemento ha aumentado el peso medio de los pollos?

Establezca la hipótesis de investigación y la hipótesis nula Establezca el intervalo de aceptación de la hipótesis nula, por lo tanto el

intervalo de rechazo Calcule el estadístico de prueba Concluya

4. Para cierta población con σ=21cm, queremos probar la hipótesis nula µ=255cm contra la hipótesis alternativa µ≠255cm con base en una muestra aleatoria de tamaño n=36. Si se rechaza la hipótesis nula cuando x < 248cm o x > 262cm,

12

encuentre la probabilidad de un error tipo I

5. Una empresa que se dedica a hacer encuestas se queja de que un agente realiza en promedio 53 encuestas por semana. Se ha introducido una forma más moderna de realizar las encuestas y la empresa quiere evaluar su efectividad. Los números de encuestas realizadas en una semana por una muestra aleatoria de agentes son:

53 57 50 55 58 54 60 52 59 62 60 60 5159 56

En el nivel de significancia 0.05 ¿puede concluirse que la cantidad media de entrevistas realizadas por los agentes es superior a 53 por semana?

6. De acuerdo con las normas establecidas para una prueba de comprensión de lectura, los alumnos de segundo grado de secundaria deberían tener un promedio 73.2 con una desviación estándar de 8.6. Si 45 alumnos de segundo grado de secundaria seleccionados al azar de cierta zona escolar tuvieron un promedio de 76.7, pruebe la hipótesis nula µ ≤ 73.2 contra la hipótesis alternativa µ > 73.2 en el nivel .01 de

significancia; comente acerca de la aseveración del inspector de la zona escolar en el sentido de que

sus alumnos de segundo de secundaria superan el promedio.

7. Cinco lecturas del contenido de nicotina de cierta clase de cigarrillo fueron de 14.5, 14.2, 14.4, 14.8, y 14.1 miligramos por cigarrillo. ¿Es significativa la diferencia entre la media de esta muestra y µ ≤ 14.1 miligramos por cigarrillo, como se lee en la cajetilla, con α = 0.05, si la hipótesis de investigación es µ > 14.1 miligramos por cigarrillo?

8. Una muestra aleatoria de 12 graduadas de una escuela secretarial tuvo un promedio de 73.2 palabras por minuto con una desviación estándar de 7.9 palabras por minuto en una prueba de mecanografía. Use el nivel de significancia .05 para probar la hipótesis nula de que las graduadas de esta escuela comercial promedian 75.0 palabras por minuto en la prueba de referencia contra la hipótesis alternativa de que el promedio es distinto.

13

Dos medias, muestras independientes

Si se tiene dos poblaciones con desviaciones estándar poblacionales iguales (σ1 = σ2) cuyos elementos son valores de una variable continua con distribución normal, y se tiene una de las siguientes hipótesis nulas:

H 0 : μ1−μ2=0 H 0 : μ1−μ2 ≤0 H 0 : μ1−μ2 ≥0

Donde μ1 y μ2 son las medias de cada población, entonces un estadístico de prueba es

t c=x1−x2

s√ 1n1

+ 1n2

donde s=√ (n1−1 ) s12+(n2−1)s2

2

n1+n2−2

Y x1 , s1 son la media y desviación estándar de una muestra representativa de tamaño n1 de la población con media μ1, y x2, s2 son la media y desviación estándar de una muestra representativa de tamaño n2 de la población con media μ2. Si H 0 es cierta, la distribución det c es la distribución “t de Student” con n1 + n2– 2 grados de libertad. Para una α determinada, la regla de decisión se plantea de acuerdo a la siguiente tabla:

Forma de H 0 Región de rechazo de H 0 t (n1+ n2−2 ) es el valor de t con α en H 0 : μ1−μ2=0 (−∞ ,−t (n1+ n2−2 ) ]∪¿ Dos colasH 0 : μ1−μ2 ≤0 ¿ Una colaH 0 : μ1−μ2 ≥0 (−∞ ,−t (n1+ n2−2 ) ] Una cola

1. Para averiguar si los perímetros cefálicos de los niños de 6° grado de la escuela primaria son mayores que los de las niñas, se tomó una muestra aleatoria de 17 niños y otra de 15 niñas. Se midieron sus perímetros cefálicos y se encontró que el promedio en los niños fuex1=48.7 cm.con una desviación estándar de s1=0.633cm .y que el promedio en las niñas fue x2=48.5 cm. con una desviación estándar de s2=0.558 cm. ¿Se puede decir, con α = .05 que el promedio de los perímetros cefálicos de los niños es mayor que el de las niñas?

2. Para ver si los alumnos que permanecen en la misma escuela primaria durante los seis años tienen distinto rendimiento escolar que aquellos que han cambiado de escuela, se tomaron dos muestras de 15 niños, una de niños que habían estudiado toda su primaria en una sola escuela, otra de niños que la habían estudiado en más de una escuela. Se les aplicaron evaluaciones cuyas calificaciones fueron las siguientes.

misma escuela varias escuelas1 8.5 8.12 7.1 7.03 7.5 7.74 8.2 8.75 8.4 7.36 9.9 5.77 8.2 8.98 6.9 7.69 9.7 8.0

10 6.7 6.8

14

11 7.8 6.912 8.6 7.313 9.5 7.314 8.7 7.615 8.9 7.7

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente para corroborar la hipótesis de investigación,a) con α = 0.05?b) con α = 0.01?

3. Un maestro de primaria asegura que, en promedio, los niños corren más rápido que las niñas. 15 niños recorrieron 100 m. en un tiempo promedio de 13 seg. Con una desviación estándar de 3.3 seg. 12 niñas hicieron un tiempo promedio de 14.1 seg. Con una desviación estándar de 3.4 seg. Se supone que los tiempos de carrera se distribuyen normalmente, ¿se puede considerar con α = 0.05 que es válida la afirmación del maestro?

4. Un maestro de educación física sospecha que la estatura media de las niñas que ingresan a las primarias vespertinas de una ciudad es mayor que la de las niñas que ingresan a las primarias matutinas de la misma ciudad. Para poner a prueba su hipótesis, toma una muestra representativa de 25 niñas de primer grado que asisten a las primarias vespertinas, con estatura promedio x1=123cm y desviación estándar s1=3.4 cm y otra de 20 niñas que asisten a primer grado en primarias matutinas, con x2=117 cm y desviación estándar s2=3.7 cm; ¿Se puede decir que la estatura promedio de la población de las primeras es mayor que la de las segundas? Use α = 0.05

5. Un maestro de primaria obtiene que los 13 niños de 5o grado a los que presionó para que se dieran prisa en realizar la tarea tardaron un tiempo promedio x1=20.2 min con una desviación estándar s1=1.5 min, y que los 13 niños a los que no presionó tardaron un tiempo promedio x2=15.4 min con una desviación estándar s2=1.9 min.¿Aportan estos datos evidencia suficiente para considerar, con 99% de confianza, que el tiempo promedio que tardan los alumnos de 5o grado en realizar la tarea cuando son presionados por el maestro difiere del que tardan cuando no son presionados?

6. Una maestra de 4o grado cree que el procedimiento A para la enseñanza de fracciones comunes es mejor que el procedimiento B. Para ver si esto puede ser cierto, toma dos muestras representativas de niños de 4o grado; con unos trabaja el método A y con otros el método B, procurando que las demás condiciones del proceso se mantengan iguales. Al término del período de trabajo, aplica a ambos grupos un examen cuyas calificaciones se distribuyen normalmente. La descripción numérica de los datos es la siguiente:En la primera muestra, en la que se aplicó el método A con 16 niños, se tiene un promedio muestralx1=7.3 y una desviación estándar s1=0.42. En la segunda muestra, en la que se aplicó el método B con 17 niños, se tiene x2=6.9 y s2=0.39. ¿Puede la maestra concluir, con α = 0.05, que las calificaciones obtenidas por los niños que estudiaron con el método A son mejores que las obtenidas por los que estudiaron con el método B?

15

16

Si se tienen dos poblaciones con desviaciones estándar distintas (σ 1≠ σ2) cuyos elementos son valores de una variable continua con distribución normal, y si se tiene una de las siguientes hipótesis nulas:

H 0 : μ1−μ2=0 H 0 : μ1−μ2 ≤0 H 0 : μ1−μ2 ≥0Donde μ1 y μ2 son las medias de cada población, entonces un estadístico de prueba es

t c' =

x1−x2

√ s12

n1+

s22

n2

con gl=

( s12

n1)

2

+( s22

n2)

2

( s12

n1)

2

n1−1+

( s22

n2)

2

n2−1Donde x1, s1 son la media y desviación estándar de una muestra representativa de tamaño n1 de la población con media μ1, y x2, s2 son la media y desviación estándar de una muestra representativa

de tamaño n2 de la población con media μ2. Si H 0 es cierta, la distribución de t c' es la distribución “t

de Student” congl grados de libertad.Para una α determinada, la regla de decisión se plantea de acuerdo a la siguiente regla:

Forma de H 0

Región de rechazo de H 0 t (gl ) es el valor de t con α en

H0 : μ=μ0 (−∞,−t (gl ) ]∪¿ Dos colas

H 0 : μ≤ μ0 ¿ Una cola

H0 : μ≥ μ0 (−∞,−t (gl ) ] Una cola

Una manera de verificar si se cumple la condición de igualdad de varianzas para el uso de la “prueba de t” o para el uso del análisis de varianza es verificando que se cumpla la condición

F c' =

sa2

sb2 <F (na−1 , nb−1 )

Donde sa2 y sb

2 son, respectivamente, la mayor y la menor de las varianzas de las muestras cuyas

medias se desea comparar, na y nb son los tamaños de las muestras con varianzas sa2 y sb

2, y F (na−1 ,nb−1 ) es el valor en la tabla de la distribución “F de Fisher” con α = 0.10 en una cola y na−1 grados de libertad en el numerador y nb−1 grados de libertad en el denominador

17

Dos medias, muestras pareadas

Comparar dos medias poblacionales en la que cada elemento de una muestra está relacionado con algún elemento específico de la otraSi se tiene dos poblaciones cuyos elementos son valores de una variable continua con distribución normal, y si se tiene una de las siguientes hipótesis nulas:

H 0 : μd=0 H 0 : μd ≤ 0 H0 : μd ≥ 0Donde μd=μ1−μ2, y μ1 y μ2 son las medias de cada población, entonces un estadístico de prueba es:

t c=d

sd/√nDonde d y sd son la media y la desviación estándar de las diferencias d i den parejas de datos, obtenidos de dos muestras pareadas de tamaño n extraídas de las poblaciones. Si H0 es cierta, la distribución de t c es la distribución “t de Student” con n – 1 grados de libertad. Para una α determinada, la regla de decisión se plantea de acuerdo a la siguiente tabla:

Forma de H 0

Región de rechazo de H 0 t (n−1) es el valor de t con α en

H 0 : μd=0 (−∞,−t (n−1) ]∪¿ Dos colasH 0 : μd ≤ 0 ¿ Una colaH 0 : μd ≥ 0 (−∞,−t (n−1) ] Una cola

1. Para averiguar si el trabajo por equipos ayuda a los alumnos de 6° grado a comprender mejor los problemas aritméticos, un profesor diseñó una prueba de comprensión de conceptos aritméticos, misma que aplicó a una muestra de 16 niños que nunca antes habían trabajado por equipos. Después de un tiempo en que los niños trabajaron por equipos, les aplicó un examen equivalente al anterior. Las puntuaciones fueron.

puntuación exámenesalumno sin equipo con equipo

1 11 192 12 103 17 104 13 155 15 136 15 147 5 178 17 259 12 11

10 8 1411 11 1312 16 1113 18 1714 13 1715 16 1316 14 10

18

¿Se puede decir, con α = 0.05, que el trabajo por equipos mejora las puntuaciones en el examen de comprensión?

2. Un balneario de aguas curativas anuncia un programa de reducción de peso. E n l a s i g u i e n t e t a b l a s e m u e s t r a e l resultado en 10 personas, cuál sería su decisión con nivel de significación del 1%

antes después1 85.9 81.32 91.8 86.43 100.0 96.84 94.1 91.25 88.2 76.16 80.4 77.47 87.7 82.98 91.8 89.39 94.5 92.7

10 105.9 101.6

3. En una pequeña ciudad una escuela secundaria cambió de domicilio. Se sospecha que la distancia media que caminaban los alumnos para llegar a la escuela cambió. Se eligen 20 alumnos y miden la distancia que debía de caminar cada uno de su casa al domicilio antiguo y al nuevo. Se tiene

alumno antiguo (Km) nuevo (Km)1 1.88 1.312 1.28 0.793 2.24 2.014 0.70 0.665 1.36 0.446 2.88 1.937 2.13 2.618 2.31 1.009 0.98 0.33

10 1.38 1.6011 1.85 1.1312 1.60 0.2313 2.05 1.2214 0.53 0.8315 1.84 2.1016 1.23 0.6817 2.37 2.8018 2.35 1.6119 0.28 0.7720 1.86 2.75

19

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente para considerar, con 95% de confianza, que con el cambio de domicilio de la escuela los alumnos caminan una distancia distinta de la que caminaban anteriormente?

4. Dos profesores (A y B) suponen que tienen distinto criterio para calificar, califican 12 redacciones de un mismo grupo, esto es sacan copias de las 12 redacciones y cada uno califica las 12, obteniéndose los siguientes resultados:

Redacción

Calificación asignadapor el profesor A

Calificación asignadapor el profesor B

1 8.5 7.52 8.3 7.63 5.0 5.54 9.5 9.05 7.5 7.16 8.3 7.57 10.0 10.08 7.9 8.09 7.8 6.510 9.4 8.711 6.8 6.512 7.6 6.8

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente para considerar, con 95% de confianza, que las calificaciones que asignan los dos profesores son, en promedio, diferentes?

5. Un profesor de educación física desea saber si cierto programa de entrenamiento surte efecto en los niños de la escuela en que trabaja. Elige aleatoriamente 10 niños y mide cuánto tarda cada uno en una carrera de cierta distancia. Después del entrenamiento, vuelve a medir el tiempo que tarda cada niño en la carrera de la misma distancia, obteniendo los siguientes resultados:

niñoTiempo (en segundos) en recorrer la distanciaAntes delentrenamiento

Después delentrenamiento

Gabriel 15.3 14.4Eduardo 14.3 15.8Rogelio 13.9 13.6Alejandro 15.2 14.7José 17.4 17.6Jorge 14.0 14.0Angel 14.7 12.1Tenoch 17.5 15.6Arturo 16.9 17.3Antonio 16.3 15.8

¿Se puede decir, con α = 0.10, que el entrenamiento reduce el tiempo de la carrera?

6. Una maestra de primer grado observa que, con bastante frecuencia, los niños que no son hijos mayores llegan a primer grado sabiendo leer. Con el fin de saber si se puede considerar que la edad en la que aprenden a leer los hijos menores es menor que la de de los

20

primogénitos, escoge aleatoriamente a 15 familias con más de un hijo y registra a qué edad aprendieron a leer los hijos menor y mayor de cada familia. Obtiene los siguientes resultados:

Familia

Edad en la que aprendió aleer el hijo menor (en años)

Edad en la que aprendió aleer el hijo mayor (en años)

1 5.1 6.62 6.4 5.93 5.3 6.84 6.5 6.25 4.7 6.16 5.3 6.57 5.0 6.48 4.9 5.79 6.2 5.210 5.1 6.311 4.9 6.312 5.0 6.713 5.6 6.914 6.3 5.415 4.6 6.2

¿Se puede decir, con α = 0.01, que los hijos menores aprenden a leer a una edad más temprana?

21

Más de dos medias, análisis de varianza

Si se tienen m poblaciones con varianzas poblacionales iguales (σ12=σ2

2=…=σm2 ) constituidas

por valores de una variable numérica continua con distribución normal, y se tiene una hipótesis nula de la forma.

H 0 : μ1=μ2=…=μm

Donde μ1 , μ2 , …, μm son las medias de cada población, entonces un estadístico de prueba es

F c=SCe /(m−1)SC d/(n−m)

=CMe

CM d

Donde SCe=∑j=1

m ( T j2

n j)−T 2

n, SCd=∑

i=1

n

x i2−∑

j=1

m (T j2

n j), y xi son los datos obtenidos en m muestras

representativas e independientes de tamaño nj (n1, n2, …, nm) de las m poblaciones, n = n1 + n2 + … +nm, Tj es la suma de los datos de cada muestra y T la suma de los datos de todas las muestras. Si H0 es cierta, la distribución de Fc es la distribución “F de Fisher” con m – 1 grados de libertas en el numerador y n – m grados de libertad en el denominadorPara una α determinada, la regla de decisión está dada por la siguiente región de rechazo de H0:

¿Donde F ((m−1 ) (n−m )) es el valor en la tabla de la distribución “F de Fisher” con α en una cola y m – 1 grados de libertad en el numerador y n – m grados de libertad en el denominador

Algunos cálculos

T j=∑i=1

nj

x ji T=∑j=1

m

T j x=∑j=1

m

∑i=1

n j

x ji

n n=∑

j=1

m

n j

x j=∑i=1

n j

x ji

n j

s j

2=∑i=1

n j

( x ji−x j )2

n j−1la media y varianza de cada una de las muestras, sea

s2=CM d=SC d

n−m la varianza mancomunada o cuadrado medio dentro de las muestras, donde

SCd=∑j=1

m

∑i=1

n j

( x ji−x j )2=∑

j=1

m (∑i=1

n j

x ji2 −2 x j∑

i=1

n j

x ji+n j x j2)=¿¿

∑j=1

m (∑i=1

n j

x ji2 −

(∑i=1

n j

x ji)2

n j)=∑

i=1

n

xi2−∑

j=1

m (T j2

n j)

suma de los cuadrados dentro de las muestras, donde T j=∑i=1

nj

x ji

Sea

x=∑j=1

m

∑i=1

n j

x ji

nla media global, la varianza entre las muestras será, dándole mayor peso a los cuadrados de desviaciones de medias calculadas en muestras grandes que a los de medias calculadas en muestras pequeñas, multiplicando cada cuadrado de desviación por el respectivo tamaño

22

CM e=∑j=1

m

n j ( x j−x )2

m−1=

SC e

m−1Variación entre las muestras, llamada cuadrado medio entre muestras, donde

SCe=∑j=1

m

n j ( x j−x )2=∑j=1

m

n j ( x j2−2 x x j

2+x2 )=¿¿

∑j=1

m

n j x j2−2x∑

j=1

m

n j x j+x2∑j=1

m

n j=¿¿

∑j=1

m

n j(∑i=1

n j

x ji

n j)

2

−2∑j=1

m

∑i=1

n j

x ji

n ∑j=1

m

n j

∑i=1

n j

x ji

n j+¿ (∑j=1

m

∑i=1

nj

x ji

n )2

n=¿¿

∑j=1

m (T j2

n j)−2 T

nT+ T 2

n=∑

j=1

m ( T j2

n j)−T 2

nsuma de cuadrados entre muestras

Si SCT=∑i=1

n

( x i−x )2 se tiene que SCT=SCe+SCd

Número de muestras

m

nj n1 n2 … nmn=∑

j=1

m

n j

TjT 1=∑

i=1

n1

x1i T 2=∑i=1

n2

x2 i

…T m=∑

i=1

nm

xmi T=∑j=1

m

T j

T2

nT j

2

n j

T12

n1

T22

n2

… Tm2

nm∑j=1

m T j2

n j

∑j=1

m

∑i=1

nj

x ji2

TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZAFuente de variación

Grados de libertad

Suma de cuadrados Cuadrado medio

F c

Entre muestras

m - 1SCe=∑

j=1

m (T j2

n j)−T 2

nCM e=

SC e

m−1F c=

CMe

CM d

Dentro de muestras

n - mSCd=∑

j=1

m

∑i=1

n j

x ji2 −∑

j=1

m ( T j2

n j) CM d=

SC d

n−m

Total n - 1SCT=∑

j=1

m

∑i=1

n j

x ji2 −T 2

n

23

Con T j=∑i=1

nj

x ji T=∑j=1

m

T j

m = número de muestras

n j=¿número de datos en la muestrajn=∑j=1

m

n j

24

1. En una granja se desea saber si el volumen promedio de leche producido por las vacas difiere según el régimen alimenticio al que son sometidas. Se toman 16 vacas, a 5 de ellas se les alimenta con el régimen A, a otras 5 con el régimen B y a 6 con el régimen C. Se tiene el volumen diario de leche producido.

RégimenA B C

5 7 56 6 65 6 65 6 56 7 6

5¿Se puede decir que el volumen promedio de leche producido difiere según el régimen alimenticioa) Con α = 0.05?b) Con α = 0.01?

2. Un maestro desea comparar el tiempo promedio que requieren los métodos A, B, y C de enseñanza de la lecto-escritura, para lo cual asigna al azar a 10 niños para trabajar el método A (muestra1), a 11 niños para trabajar el método B (muestra 2) y a 10 niños para trabajar el método C (muestra 3). Quiere considerar si hay diferencias entre los tiempos promedio requeridos por cada método

3. Se cree que para resolver cierto rompecabezas se requiere de conocimientos matemáticos y se cree que el tiempo promedio que utilizan para resolverlo es diferente para distintos tipos de profesionistas cuya profesión está relacionada con la matemática. Se tomaron 3 muestras aleatorias de 3 tipos de estos profesionistas, se les pidió resolver el rompecabezas, y se midió el tiempo que tardaron. Los resultados, en horas, fueron los siguientes.

ingenieros físicos matemáticos3.3 5.3 3.45.4 3.7 5.34.1 4.8 4.63.8 4.3 3.83.9 4.1 4.24.7 4.44.4 4.1

Con α = 0.05, ¿puede considerarse que hay diferencias en el tiempo promedio que tardaron el resolver el rompecabezas los distintos profesionistas? Suponga que el tiempo requerido para resolverlo se distribuye normalmente.

25

4. Se diseñó un experimento para comparar los efectos que tienen en el aprendizaje el reforzamiento social y el castigo verbal. Se eligieron 10 niños a los que se les aplico el reforzamiento social, a otros 10 el castigo verbal y otro grupo de 10 niños a los que no se les aplicó ninguna de las 2 técnicas, se midió el aprendizaje alcanzado, se obtuvieron los siguientes puntajes.

refuerzo castigo control1.4 1.1 1.21.4 1.1 1.20.9 0.6 0.71.1 0.9 0.90.9 0.6 0.71.3 1 1.11.5 1.2 1.31.5 1.2 0.81.1 0.8 0.91.6 1.3 1.4

¿Con un nivel de significancia de 5% se puede considerar que difieren los promedios poblacionales de los puntajes obtenidos en cada uno de los grupos?

5. En una escuela secundaria cuatro profesores han diseñado cada uno un examen final de cierta materia de tercer año. Se sabe que las calificaciones en estos exámenes se distribuyen normalmente, y y se sospecha que no todos tienen el mismo grado de dificultad. Para someter a prueba esta conjetura, se elige aleatoriamente a 50 estudiantes que acaban de terminar la secundaria y se les aplica a 13 de ellos el examen 1, a otros 13 el examen 2, a otros 12 el examen 3, y a los últimos 12 el examen 4. Los resultados son los siguientes:

CalificacionesExamen 1 Examen 2 Examen 3 Examen 4

7.6 7.9 6.8 9.19.5 8.5 7.3 6.07.0 7.2 5.5 6.68.2 7.6 6.4 7.96.9 7.9 5.6 6.77.9 10.0 7.2 7.08.6 8.4 4.9 7.68.2 6.7 7.3 8.28.1 7.2 6.0 6.06.5 7.8 5.0 7.97.7 7.6 4.8 7.36.9 7.2 7.0 7.26.7 6.0

Hacer la prueba de hipótesis con un nivel de significancia de 1%

26

Análisis de varianza para diseño de bloques aleatorios (ANOVA de 2 vías)Análisis de varianza en 2 vías

Si se tiene m poblaciones can varianzas poblacionales iguales(σ12=σ2

2=…=σm2 ) constituidas por

valores de una variable continua con distribución normal, y se tiene una hipótesis nula de la forma

H 0 : μ1=μ2=…=μm

Donde μ1 , μ2 , …, μm son las medias de cada población, entonces un estadístico de prueba cuando se cuenta con muestras en bloques extraídas de las poblaciones es Fc, cuyo cálculo está dado por la siguiente tabla de análisis de varianza

Fuente de variaciónGrados de

libertad(gl)

SC CM Fc

Entre tratamientos (m)(entre muestras) glt = m-1

SCt=∑j=1

m

M j2

b−T 2

nCM t=

SC t

m−1

F c=CM t

CM rEntre bloques (b) glb = b-1SCb=

∑k=1

b

Bk2

m−T 2

nResidual (r)

errorglr = glT–glt – glb

= (m-1)(b-1)SCr=SCT−SCt−SCb CM r=

SCr

(m−1)(b−1)

Total glT = n - 1n = mb SCT=∑

h=1

n

xh2−T 2

n

Donde m es el número de muestras, b es el número de bloques (o sea, el tamaño de cada muestra), xh son los datos obtenidos en las muestras (en total son n = mb), Mj es la suma de los

datos en las j-ésima muestra M j=∑i=1

b

x ji, Bk es la suma de los datos en el k-ésimo bloque

Bk=∑j=1

m

x jk, y T es la suma de los datos de todas las muestras (o sea

T=∑h=1

n

xh=∑j=i

m

M j=∑k=1

b

Bk

M j=∑i=1

b

x ji Bk=∑j=1

m

x jk T=∑j=i

m

M j=∑i=1

b

B i

SCt=∑j=1

m

M j2

b−T 2

nCM t=

SC t

m−1

SCb=∑i=1

b

Bi2

m−T2

n

27

SCT=∑j=1

m

∑i=1

b

x ji2 − T 2

∑j=1

m

b=∑

i=1

b

∑j=1

m

x ji2 − T 2

mb=∑

k=1

n

xk2−T2

n

SCr=SCT−SCt−SCb CM r=SCr

(m−1)(b−1)

1. Una empresa que administra 4 hoteles quiere comparar la calidad del servicio que se da en ellos. Comisiona a 4 personas para que (sin que sea del conocimiento del personal) califiquen la atención que cada hotel proporciona. Cada persona pasará un día en cada hotel y, por la evaluación de ciertas características del servicio (las mismas para cada individuo, de acuerdo con instrucciones precisas de la empresa), otorgará una calificación a cada hotel. Se tienen los resultados en escala de 1 a 10:

Hotelpersona A B C D

1 7.6 7.8 9 8.32 6.2 7.9 8.7 7.63 5.4 6.7 9.3 7.64 7.7 8.3 9.6 8.4

Con estos datos. ¿Hay evidencia para creer que la calidad de atención es diferente? (α = 0.05). Suponga que la variable se distribuye normalmente en cada población

2. Se tienen los siguientes datos que corresponden al número de unidades de producción por día, de 5 trabajadores que usaron 4 tipos de máquinas. Probar si la producción media es diferente para las 4 máquinas. Use α = 0.01. Suponga que la variable se distribuye normalmente en cada población.

Tipo de máquinaTrabajador A B C D

1 44 38 47 362 46 40 52 433 34 36 44 324 43 38 46 335 38 42 49 39

3. Las siguientes son las calificaciones (que supondremos se distribuyen normalmente) de un examen de lectura de comprensión de cuatro escuelas secundarias diurnas del D. F., A, B, C y D seleccionadas al azar y seleccionando al azar de cada escuela a un estudiante de nivel “bajo”, otro de nivel “medio” y otro de nivel “alto” del tercer grado.

Escuela:Nivel:

A B C D

Bajo 71 44 50 67Medio 92 51 64 81

28

Alto 89 85 72 86Pruebe en el nivel de significancia α=0.05 si las diferencias entre las medias obtenidas para las cuatro escuelas son significativas. No olvide aplicar la prueba de igualdad de varianzas.

4. Se quiere comparar 4 modelos de calculadoras electrónicas por lo que toca a su eficiencia para realizar un análisis de varianza. Para este fin se eligen al azar 3 estudiantes del curso de métodos estadísticos, y a cada uno se le instruye en la forma óptima de usar cada modelo para el fin propuesto. Posteriormente, a cada uno de los 3 se le pide que construya la tabla de análisis de varianza de un ejercicio con cada uno de los 4 modelos, aleatorizando el orden en que usa cada modelo. Se tiene la tabla con los tiempos (en minutos) en cada intento.

Tratamiento (modelos)Bloque

(alumno)M1 M2 M3 M4

1 13.8 12.6 14.7 15.32 18.6 16.4 20.3 19.93 19.2 15.8 20.6 21.4

Probar la hipótesis, con α = 0.01, de que los modelos presentan diferente eficiencia para realizar este tipo de cálculos.

5. En un experimento agrícola se utilizaron cuatro lotes con distintas condiciones de humedad. Cada uno se dividió en cinco parcelas y se asignaron fertilizantes a estas cinco parcelas. Se cultivaron papas en estas parcelas fertilizando el terreno con el fertilizante asignado, y al final de la temporada se obtuvieron las siguientes cosechas:

FertilizanteLote A B C D E1 310 353 366 299 3672 284 293 335 264 3143 307 306 339 311 3774 267 308 312 266 342

Se quiere probar, con α = 0.05, si los fertilizantes tienen diferente eficiencia con respecto al cultivo de papa

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