Pendientes 1º Bachillerato CCSS Ejercicios para practicar (2º parte)

Unidad 7: Límites y continuidad

Al observar la gráfica de una función es posible determinar gran cantidad de parámetros y características de dicha función aunque no conozcamos su expresión, como su dominio (región del eje X en la que está definida la función), el recorrido (región del eje Y en la que encontramos valores de la función), asíntotas (rectas a las que se aproxima la función), además de los valores que toma la función en cada punto.

Por ejemplo, observando la siguiente gráfica podemos determinar:

1. Halla el dominio, el recorrido, las asíntotas y los límites e imágenes que se indican para cada gráfica.

a) Dominio, recorrido,

y asíntota vertical de:

b) f(0), f(1), y asíntota horizontal de:

Unidad 7│Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I 1.ºBachillerato

c) Dominio, y asíntota oblicua de:

Al calcular el límite de una función cuando x tiende a un valor podemos encontrar siete tipos de indeterminaciones. Veamos cómo resolver algunas de ellas según cómo sea la expresión de la que tomamos límite:

1) Cociente de polinomios:

Indeterminación : Dividimos cada término por la potencia de mayor grado, en este caso, x2.

También podemos llegar a este resultado comparando los grados del polinomio del numerador y del denominador.

Si el grado del polinomio del numerador es igual que el del denominador, el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado.

Si el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador, el límite es , o . Si el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador, el límitees cero.

Indeterminación : El valor al que tiende la x es raíz de ambos polinomios, por eso ambos se anulan al sustituir la x. Descomponemos ambos polinomios y simplificamos.

Indeterminación : Se efectúa la operación y se calcula el nuevo límite que aparece.

2) Cuando aparecen radicales:

Indeterminación : Se observa el grado de los polinomios que están en el radicando y se aplica la misma regla que hemos utilizado en el cociente de polinomios.

El polinomio del numerador tiene grado 2, pero como está afectado por la raíz cuadrada equivale a un polinomio de grado 1. El grado del polinomio del denominador es 1 también, así que el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de ambos polinomios.

Indeterminación e indeterminación : Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado de la cantidad.

1. Calcula el valor de los siguientes límites.

Unidad 7│Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I 1.ºBachillerato

a) c) e) g) i)

b) d) f) h) j)

Al calcular el límite de una función en un punto y sustituir la variable por el valor al que tiende, se puede llegar a una expresión que no es real y en la que no resulta inmediato saber si tiende a 0, a otro número o a infinito, es decir, se tiene una indeterminación. Las indeterminaciones se resuelven según su tipo, aplicando una de las estrategias de la siguiente tabla:

Indeterminación Se resuelve:

Dividiendo el numerador y el denominador por la x de mayor grado.

Multiplicando por el conjugado, si aparece como diferencia de radicales.Efectuando la diferencia de cocientes, si aparece como diferencia de cociente de polinomios. Factorizando numerador, denominador y simplificando, si aparece como cociente de polinomios.Multiplicando numerador y denominador por el conjugado, si aparece como cociente de funciones radicales.

Transformándola en indeterminación del tipo o .

1. Calcula los siguientes límites indicando el tipo de indeterminación a que dan lugar y resolviéndola.

a) j)

b) k)

c) l)

d) m)

e) n)

f) o)

g) p)

h) q)

i) r)

Unidad 7│Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I 1.ºBachillerato

Estudia la continuidad de las siguientes funciones y comprueba tu respuesta observando el dibujo:

f ( x )={ 2 x−3 si x ≤−1x2−6 si−1<x≤0√ x+3 si x>0

f(x)={ 2x−x2 si x≤0

3x+1 si0<x<14 si x>1

Unidad 7│Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I 1.ºBachillerato

f ( x )={ 2x si x<0√ x+1 si0≤ x<32x−3 si x ≥3

f ( x )={ 1xsi x<0

x2+x si0≤ x<12 si x ≥1

Unidad 7│Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I 1.ºBachillerato

Unidad 7│Límites y continuidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I 1.ºBachillerato

Unidad 8 Derivadas

1. Calcula la derivada de cada función.

a) j)

b) k)

c) l)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

Unidad 8│Derivadas Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I 1.º Bachillerato I

Cálculo de derivadas aplicando las reglas

Unidad 9 Funciones elementales

Una recta r es asíntota de una función f(x) si se cumple que la distancia entre cada punto de f(x) y la recta r tiende a 0 cuando x tiende a infinito, positivo o negativo, es decir, si los puntos de la curva se acercan cada vez más a la asíntota. Calcular las asíntotas de una curva es de gran utilidad si queremos representarla, ya que las asíntotas marcan la dirección que toma la curva en su avance.

Las rectas en el plano pueden ser horizontales, verticales y oblicuas, y por tanto, habrá asíntotas de los tres tipos. Veamos como calcular cada una:

Unidad 9│Funciones elementales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I 1.º Bachillerato

1. Calcula, si existen, las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas en cada caso.

a) c)

b ) d)

2. Representa gráficamente las funciones a y b del ejercicio anterior calculando además de las asíntotas, dominio, cortes con los ejes, monotonía, max y min

3.

4.

5.

6.

Unidad 12 Combinatoria y probabilidad

1. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar en cada puesto del aula los 31 alumnos del aula de 1º Bachillerato?

2. ¿Cuántas moléculas se pueden formar con la unión de 6 bioelementos básicos, si cada molécula está formada por el

enlace entre dos elementos?

3. En un juego de mesa se pide a los participantes que formen palabras con 4 vocales y 6 consonantes. Calcula:

a) ¿Cuántas palabras distintas de 6 letras, con o sin significado, y sin que se repitan letras, pueden formarse?

b) Si una de las vocales escogidas es la “a”, ¿cuál es la probabilidad de que alguna palabra empiece por “a”?

c) ¿En cuántas palabras de las que se pueden formar hay tres vocales en los tres últimos lugares?

4. Calcula cuántas hay y escribe las palabras con significado que se pueden formar con las letras de la palabra “mora”, sin

repetir ninguna letra.

5. Se extraen dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) Que las dos sean figuras.

b) Que alguna sea un as.

c) Que las dos sean de copas.

d) Que las dos sean de oros, pero no figuras.

6. De los nueve ingenieros que trabajan en un proyecto, dos son ingenieros industriales, un hombre y una mujer, tres son

ingenieros civiles, de ellos, dos son hombres, y de los ingenieros agrónomos, tres son mujeres. Elabora la tabla de

contingencia y calcula la probabilidad de que escogido uno de los ingenieros al azar:

a) Sea una ingeniera.

b) Sea hombre e ingeniero agrónomo.

7. Se realiza un sorteo extrayendo sin reemplazamiento 3 bolas de una urna en la que se han introducido 5 bolas blancas y

4 bolas negras, explica qué suceso es más probable en cada caso.

Unidad 12│Combinatoria y probabilidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I 1.º Bachillerato

Unidad 12 Combinatoria y probabilidad

a) Obtener más bolas negras que blancas o sacar al menos dos bolas negras.

b) Que se extraiga una bola negra y dos blancas, o que se extraigan tres bolas del mismo color.

c) Que al menos se extraigan dos bolas blancas o que al menos se extraiga una bola negra.

8. Se recogen datos sobre el uso de energías renovables en distintos países de Europa y los resultados muestran que un 65

% de los países utilizan mayoritariamente energía solar, un 2 % utiliza sobre todo energía geotérmica y un 33 % utiliza

energía eólica. De los que utilizan energía solar, el 50 % de la población quiere ampliar su uso, un 62 % de la población

de los países que utilizan energía geotérmica quiere que se extienda el uso de esta energía y solo el 24 % de los

habitantes de los países que utilizan energía eólica desea que se amplíe su uso. Responde:

a) Elegido un país al azar, ¿cuál es la probabilidad de que desee que se extienda el uso de la energía renovable que utiliza?

b) Si sabemos que en uno de los países no se desea extender el uso de la energía renovable, ¿Qué probabilidad hay de

que utilice mayoritariamente energía geotérmica?

9.

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Unidad 12│Combinatoria y probabilidad Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I 1.º Bachillerato

Unidad 12 Combinatoria y probabilidad

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