Unidad I: Cinemática de la partícula.Cinemática.Es la rama de la mecánica que trata de la descripción del movimiento sin tomar en cuenta las causas que pudieron haberlo originado.

Partícula o punto material.

Se denomina partícula a un objeto cuya masa puede considerarse que está concentrada en un punto. Así, por ejemplo, si estudiamos el movimiento de un auto con respecto a la tierra no hace falta tomar en cuenta todo el auto, sino que será suficiente referir el movimiento de un punto cualquiera de él como representativo del auto completo.

Movimiento rectilíneo de partículas.

Para describir el movimiento rectilíneo se utiliza una coordenada, que llamaremos x.

Desplazamiento y distancia recorrida.

En la Figura 1, se muestra una partícula A, la cual ha pasado de la posición inicial dada por x1, a una posición posterior dada por x2 en un intervalo de tiempo ∆t.

El desplazamiento de la partícula es el vector que va desde la posición inicial a la posición final (representado por la flecha en la figura), y su magnitud es:

∆ x=x2−x1 Ec .(1)

Figura 1. Desplazamiento.

La distancia recorrida es simplemente la longitud de la trayectoria seguida por la partícula. En el caso de movimiento rectilíneo en un solo sentido, la magnitud del desplazamiento coincide con la distancia recorrida; esto es:

s=|x2−x1|

Velocidad media y rapidez media.

La velocidad media se define como la variación de la posición en un intervalo de tiempo; es decir, el desplazamiento realizado por la partícula en un intervalo de tiempo.

V m=∆x∆ tEc .(2)

Se usó el subíndice “m” para indicar que se trata de la velocidad media.

La rapidez media se define como la distancia recorrida en la unidad de tiempo:

Velocidad instantánea y rapidez instantánea.

La velocidad instantánea; es decir, en un instante de tiempo, se obtiene tomando el límite de la ecuación anterior cuando ∆t tienda a cero:

v=lím∆t→ 0(∆ x∆ t )=dxdt Ec .(3)La rapidez instantánea es simplemente la magnitud de la velocidad instantánea.

Aceleración media.

La variación de la velocidad con respecto al tiempo se denomina aceleración. La aceleración media es la razón de cambio de la velocidad instantánea en un cierto intervalo de tiempo.

am=∆v∆ tEc .(4 )

Donde: ∆ v=v f−v i

v f=velocidad final enelintervalo

vi=velocidad inicial enel intervalo.

Aceleración instantánea.

Haciendo ∆ t →0 en la expresión anterior y tomando el límite, se obtiene la aceleración instantánea.

a=lím∆t→ 0(∆v∆ t )=dvdt Ec .(5)

Ejemplo 1.

Un automóvil viaja a una velocidad de 160 km/hr, en un lugar donde la máxima rapidez permitida es de 80 km/hr. Cuando el conductor advierte que un policía está listo para medir su velocidad, tratando de evitar la multa, aplica los frenos de tal modo que reduce su velocidad hasta 75 km/hr en un lapso de tiempo de 10 segundos. ¿Cuál fue la aceleración promedio durante este intervalo de tiempo? ¿Cuál es la rapidez media?

Solución.

Primero se convierte a unidades consistentes: 160 km/h = 44.44 m/s

75 km/h = 20.83 m/s

La aceleración media se encuentra, aplicando la Ec.(4): am = (44.44 – 20.83)/10 = 2.36 m/s2.

La rapidez media corresponde a la media de las dos rapideces (suponiendo que la aceleración es constante):

Rm = (160 + 75)/2 = 117.5 km/h = 32.64 m/s.

Observación: la treta, de frenar para tratar de llegar donde está el policía a una rapidez aceptable, no funciona. La razón es que el policía mide la rapidez instantánea que trae el vehículo. En este caso, aún la rapidez media es mayor que la permitida, de modo que será multado (mejor suerte la próxima vez).

Problemas propuestos. (Beer & Johnston, 2004)

1. Considere que una partícula se mueve en línea recta y suponga que su posición está definida por la ecuación x = 6t2 – t3 donde “t” se expresa en segundos y “x” en metros. A) Determine las ecuaciones para la velocidad y la aceleración de la partícula. B) Represente gráficamente la posición, velocidad y aceleración de la partícula como función del tiempo. C) Con base en las gráficas describa lo que ocurre con “x”, “v” y “a” desde el instante t = 0 hasta t = 6 s.

2. Una pelota se lanza con una velocidad de 10 m/s dirigida verticalmente hacia arriba desde una ventana ubicada a 20 m sobre el suelo. Si se sabe que la aceleración de la pelota es 9.81 m/s hacia abajo, determine a) la velocidad “v” y la elevación “y” de la pelota sobre el suelo en cualquier tiempo “t”, b) la elevación más alta que alcanza la pelota y el valor correspondiente de “t”, c) el tiempo en que la pelota golpea el suelo y la velocidad correspondiente, d) dibuje las curvas “v-t” y “y-t”.

3. El movimiento de una partícula está definida por la relación x = t2 – (t – 3)3, donde “x” y “t” se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine a) el momento en que la aceleración es cero, b) la posición y la velocidad de la partícula en ese momento.

4. El movimiento de la corredera A se define mediante la relación x = 500*sen(kt), donde “x” y “t” se expresan en milímetros y segundos, respectivamente, y k es una constante. Si k = 10 rad/s, determine la posición, la velocidad y la aceleración de la corredera A cuando t = 0.05 s.