FACTORIZACIONEjemplo 1Resolvamos (3m-2n+5p)(3m-2n-5p) SoluciónAgrupemos los dos primeros términos de cada paréntesis para obtener una suma por diferencia: (3m-2n+5p) (3m-2n-5p) = [(3m-2n)+5p][(3m-2n)-5p] = (3m-2n)2-(5p)2 = 9m2 - 12mn + 4n2 - 25p2

Ejemplo 2Efectuemos (7x-3y)(49x2+21xy+9y2) Solución:Tenemos el producto de un binomio por su trinomio cuadrado imperfecto. Por lo tanto: (7x-3y)(49x2+21xy+9y2) = (7x)3-(3y)3 = 343x3-27y3

Ejemplo 3Los factores de x2 - 4 en Z son (x+2) y (x-2) ya que los coeficientes de estos polinomios son números enteros y, además, x2-4 = (x+2) (x-2).

Ejemplo 4Los factores de

827x3-1 en Q son

23x-1 y

49x2+

23x+1 porque los coeficientes ce estos polinomios son

números racionales y, además, 827x3-1 = (

23x-1)(

49 x2+

23x+1)

Ejemplo 5El polinomio 3x2 - 25 es primo en Q ya que sus factores son √3x+5 y √3x-5, pero los coeficientes de estos polinomios no son números racionales.

Ejemplo 6Factoricemos el polinomio 1-x2+2xy-y2.Solución:El polinomio 1-x2+2xy-y2, se factoriza así: 1-x2+2xy-y2=1-(x2-2xy+y2) agrupamos los tres últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) 1- x2+2xy-y2 = 1-(x-y)2 el paréntesis contiene un trinomio cuadrado perfecto 1- x2+2xy-y2 = [1-(x-y)] (1+(x-y ) )diferencia de cuadrados 1 -x2+2xy-y2 = (1-x+y) (1+x-y) quitamos paréntesis internos

Ejemplo 7Factoricemos el polinomio xa2 -xb2 + a3 - b3. Solución:El polinomio xa2-xb2+a3-b3 se factoriza así:xa2-xb2+a3-b3=(xa2-xb2)+(a3-b3) agrupación de términos xa2-xb2+a3-b3=x(a2-b2)+(a3-b3) factor común xxa2-xb2+a3-b3=x(a+b)(a-b)+(a-b)(a2+ab+b2) aplicamos diferencia de cuadrados y diferencia de cubosxa2-xb2+a3-b3=(a-b)[x(a+b)+a2+ab+b 2 ) factor común (a-b)xa2-xb2+a3-b3=(a-b)[ax+bx+a2+ab+b2] suprimimos el paréntesis internos.

Ejemplo 8Factoricemos en Z el polinomio X7-3x6+2x5

SoluciónEn los enteros, el polinomio x7-3x6+2x5 se factoriza así:X7-3x6+2x5=X5(x2-3x+2) factor común x5

x7-3x6+2x5=x5(x-2)(x-1) x2-3x+2 es un trinomio de la forma x2+bx+c

Ejemplo 9Factoricemos en Z el polinomio 5x2+29x+20. SoluciónEste trinomio es de la forma ax2n+bxn+c y podemos factorizarlo de tres maneras: PRIMERA MANERA:Paso1: Multiplicamos y dividimos por 5 (que es el coeficiente de x2) el trinomio dado:

5x2+29x+20 = 5(5 x2+29 x+20)

5 = 5

2 x2+29 (5x )+1005

= 5x2+29 (5 x)+100

5Paso2: Hagamos un cambio de variable. Sea y=5x. Por lo tanto:

5x2+29x+20 = y2+29 y+100

5 = ( y+25 )( y+4)

5

Paso3: Devolvamos el cambio de variable: (5x+25 )(5x+4)

5

Paso4: Como el factor (5x+25) tiene factor común 5, entonces: 5 (x+5 )(5 x+4 )

5 5x2+29x+20 = (x+5)(5x+4) Por lo tanto: 5x2+29x+20 = (x+5)(5x+4)SEGUNDA MANERA:La gran mayoría de los trinomios con coeficientes enteros de la forma x2n+bxn+ c o ax2n+bxn+c no tiene factores con coeficientes enteros y por lo tanto son primos en Z En efecto, si a, b y c, los elegimos al azar en el conjunto Z, la probabilidad de que el polinomio no tenga factores con coeficientes enteros es mucho más grande que la probabilidad de que los tenga. Entonces vale la pena saber si un polinomio en Z es primo antes de comenzar a buscar sus factores. Con este fin, describiremos un método llamado PRUEBA CON ac PARA LA FACTORIZACIÓN, que no sólo nos indica si es posible factorizar con coeficientes enteros los polinomios, sino que también nos ofrece una forma directa de factorizar tales trinomios en Z, cuando es posible. La prueba consiste en lo siguiente:Paso1: Realicemos la prueba ac para la factorización: ac = (5)(20)= 100Paso2: Encontremos dos factores de 100 que sumados den 29. Estos factores son 25 y 4. Luego escribimos el término 29x como la suma de 25x y 4x, así: 5x2 + 29x +20 = 5x2 + 25x + 4x +20Paso3: Agrupamos convenientemente y factorizamos: 5x2+29x+20=5x2+25x+4x+20=(5x2+25x)+(4x+20)=5x(x+5)+4(x+5)=(x+5)(5x+4) Luego,5x2+29x+20= (x+5) (5x+4)TERCERA MANERA:La tercera manera de factorizar trinomios de la forma ax2n+bxn+c, constituye un método general para factorizar tales trinomios y se denomina COMPLETACIÓN A UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Este método se fundamenta en las siguientes propiedades:1. Un trinomio de la forma ax2n+bxn+c es factorizable en R si y sólo si la expresión b2-4ac es positiva

o cero; en caso contrario, el trinomio no es factorizable en los reales.2. Si un trinomio ax2n+bxn+c es CUADRADO PERFECTO y el coeficiente de x2n es a= 1. entonces el

tercer término (c) es igual al CUADRADO DE LA MITAD DEL COEFICIENTE DE xn; es decir

c=(b2 )2

Teniendo en cuenta estas propiedades, la factorización del trinomio 5x2+29x+20 la realizamos así Paso 1: Necesitamos que el coeficiente de x2 sea 1. Con este fin, sacamos factor común 5:5x2+29x+20 = 5(x2+205 x+4)

Paso 2: Completemos el trinomio del paréntesis al cuadrado perfecto, sumando (y restando)

( 2910 )2

5(x2+205 x+4) =5(x2+

205 x+( 2910 )

2

+4-( 2910 )2

)

4−841100 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Paso 3: 5[(x2+ 2910 )2

− 441100 ]

DIFERENCIA DE CUADRADOS

5[(x+ 2910 + 2110 )( x+ 2910−21

10 )] = 5[(x+ 5010 )(x+ 810 )] = 5(x+5)(x+45 ) = (x+5)(5x+4)

Luego, 5x2 + 29x +20 = (x+5) (5x*4)Observemos que las tres maneras de factorizar este trinomio conducen a la misma respuesta.

Ejemplo 10Factoricemos en Q el polinomio a9-a6-64a3+64 SoluciónAgrupando los dos primeros términos en un paréntesis precedido del signo (+) y los otros dos en un paréntesis precedido del signo (-), tenemos: a9-a6-64a3+64 = (a9-a6)-(64a3-64) = a6(a3-1)-64(a3-1) = (a3-1)(a6-64)Como el primer factor es una diferencia de cubos y el segundo es una diferencia de cuadrados, entonces: a9-a6-64a3+64 = (a-1)(a2+a+1)(a3+8)(a3-8)El tercer y cuarto factores son una suma y una diferencia de cubos. Por lo tanto:

a9-a6-64a3+64 = (a-1)(a2+a+1)(a+2)(a2-2a+4)(a-2)(a2+2a+4)

Ejemplo 11Hallemos los posibles ceros enteros del polinomio P(x) = 2x3+x2-3x+6 y, si existen, factoricémoslo. SoluciónLos posibles ceros enteros son los divisores del término independiente del polinomio:+1,±2,±3 y ±6.Verifiquemos:* Para x = -1: 2(-1)3+(-1)2-3(-1)+6 = - 2 + 1 + 3 + 6 = 8 ≠ 0* Para x = 1: 2(1)3+1 2 - 3(1)+6=2 + 1 - 3 + 6 = 6 ≠ 0* Para x = -2: 2(-2)3+(-2)2-3(-2)+6 = - 1 6 + 4 + 6 + 6 = 0* Para x = 2: 2(2)3+22-3(2)+6=16+4-6+6=20≠0* Para x = -3: 2(-3)3+(-3)2-3(-3)+6=-54+9+9+6=-30≠0* Para x = 3 : 2(3)3+32-3(3)+6=54+9-9+6=60≠0* Para x = -6: 2(-6)3+(-6)2-3(-6)+6=-432+36+18+6=-372≠0* Para x = 6: 2(6)3+62-3(6)+6=432+36-18+6=456≠0Sólo encontramos un cero entero: x=-2. Por lo tanto (x+2) es un factor P(x) = 2x3 + x2 - 3x + 6; es decir: P(x) = 2x3+x2-3x+6 = (x+2)*C(x)

Para encontrar C(x), que debe ser un polinomio de segundo grado (¿por qué?), recurrimos al método de la división sintética:

2 1 - 3 6-2 -4 6 -6

2 - 3 3 0Luego, P(x) =(x+2) (2x2 - 3x + 3)Pregunta: ¿Tiene el polinomio 2x2-3x+3 ceros que no sean enteros? ¿Por qué?