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Tema 8 — p. 1

TEMA 8

Factor de fricción y balance macroscópico decantidad de movimiento

Balance macroscópico de materia .

Balance macroscópico de cantidad de movimiento .Transporte de c.d.m.: Factor de fricción .Transporte de c.d.m.: Flujo en conducciones .Transporte de c.d.m.: Flujo alrededor de cuerpos sumergidos .Balance macroscópico de energía mecánica: Ecuación de Bernouilli .

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Tema 8 — p. 2

Balance macroscópico de materia 

Métodos de calculo alternativos para la obtención de los balances macroscópicos:

• Integración de la ecuación de variación (balance microscópico).

•Planteamiento en un volumen de control macroscópico.

Balance de materia al sistema: 1 2 1 1 1 2 2 2tot dm 

w w v S v S  dt 

En estado estacionario: 1 2w w 

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Tema 8 — p. 3

Balance macroscópico de cantidad de movimiento 

[1] [2] [3] [4] [5]

2 21 1 1 2 2 2 1 1 2 2

TOT tot 

dCDM v S v S P S P S F m g  

dt 

[1] La cdm total:

CDM vdV   

[2] Flujo neto de entrada de cdm por los planos S 1 y S 2 (despreciando ).[3] Fuerza de presión.[4] Fuerza ejercida por el fluido sobre las paredes del sistema (presión + fricción).

[5] Fuerza de gravedad. 2

TOT tot 

v dCDM w PS F m g  

dt v En función de los flujos másicos:

Laminar: Turbulento:

2 24

3

v v v v 

v v 

El cálculo del factor <v 2 >/<v> se realiza a partir del perfil de velocidad:

2

tot 

v F w PS m g  

v En régimen estacionario:

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Tema 8 — p. 4

Ejemplo: Aumento de presión en un ensanchamiento brusco

Problema:• Fluido incompresible• Flujo turbulento.

• Régimen estacionario.

1 2 1 1 1 2 2 2

2 1

1 2

1

w w v S v S  

v S 

v S 

Balance de materia:

Balance de c.d.m.:

2

tot 

v F w PS m g  

Fuerza ejercida por el fluido sobre las paredes: F = - P 1(S 2  – S 1) 

• Despreciando la contribución de fricción superficial (sólo presión).

• Presión en el ensanchamiento igual a la de entrada (vena contracta).

Operando: 22 1 2

11P P v 

1 1 2 2 1 1 2 2F w v w v P S P S  

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Tema 8 — p. 5

Transporte de c.d.m.: Factor de fricción 

Ecuaciones de variación:• Mucha información• Mucha complejidad

Método Alternativo: Transporte De Interfase  

“En la mayor parte de los procesos de interés en ingenieríaquímica la resistencia a los procesos de transporte se encuentra en una delgada capa junto a la interfase sólido —

fluido”  

Problemas característicos en el flujo de fluidos:1. Flujo en conducciones: P Q ~  2. Flujo alrededor de cuerpos sumergidos: u F R  ~  

Características:

Menos complejo

Menos información

Mas experimentación

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Tema 8 — p. 6

Factor de fricción

k F fAK  

F k : Fuerza de rozamientof : factor de fricción,A: superficie,K : energía cinética / volumen.

1) Flujo en conducciones

F  K  

F  PRESION  F  PESO  

212

2k F f RL v  

Balance de fuerzas:

2 20 0k L o L LF P P g h h R R  

Resolviendo...:

021

2

1

4LD 

f L v 

“Factor de fricción de Fanning”  

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Tema 8 — p. 7

F PESO  

F k  F FLOTACION  

2) Flujo alrededor de cuerpos sumergidos

2 212k F f R u  

Balance de fuerzas:

34

3k esf  F R g 

Resolviendo...

2

4

3esf gD 

f u 

Coeficiente de resistencia (c D ).

Correlación de valores experimentales de coeficientes de fricción:

Análisis dimensional

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Tema 8 — p. 8

Transporte de c.d.m.: Flujo en conducciones 

2 2120 0

2L

k rz r R 

F Rd dz f RL v  

2

0 0

212

2

Lz 

r R 

v Rd dz 

r f 

RL v 

Variables adimensionales:

*

*

*/ 22* *0 *0 0

1/ 2

/1 1

/Re

Re /

L D z 

r r D v D 

P P P v f d dz  L r 

D v 

Problema

• Tubería lisa horizontal• Flujo estacionario

• Propiedades constantes ( , µ)

Fuerza de rozamiento sobre la pared

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Tema 8 — p. 9

Resolución del gradiente de velocidad en la pared:

* * * *, ,Reconocida v v r z  

• Ecuación adimensional de movimiento:

* *

* * * *

* *

1/2 0

0 ,

0 0

conocida 

r v 

z v v r  

z P 

• Condiciones límite:

Substituyendo: Re, /f f L D  

* *z v v LEn perfiles desarrollados: Ref f 

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Tema 8 — p. 10

Transporte de c.d.m.: Flujo alrededor de cuerpos sumergidos 

FLUJO

 

F tz  F nz  

t F 

n F 

s F 

F sz  forma superficie, ,K K K nz sz tz  F F F F F F  

2 2

0 0cos sennz  r R 

F P R d d  

22

00 0

cos sensz  r R F P gz R d d  

22

0 0sen sentz r  r R 

F R d d  

22

0 0

1sen senr 

r R 

v  v r R d d  

r r r 

Fuerza de rozamiento sobre la superficie

Componentes:

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Tema 8 — p. 11

Procedimiento:

1. Expresar en función de variables adimensionales:

* ** *02

r r 

P P gz v   v  r v v r v v R v 

2. Ecuación adimensional de movimiento.

3. Condiciones límite:

* * *

* *

* *

1 01

0

r v v r v 

Substituyendo: Ref f 

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Tema 8 — p. 12

Balance macroscópico de energía mecánica: Ecuación de Bernouilli 

[1] [2] [3] [4]

31

ˆˆ

2tot tot tot v  

v d K A G w W E  

dt v 

[1] Energía mecánica total (cinética + potencial + energía libre de Helmholtz).[2] Flujo neto de entrada de energía mecánica por los planos S 1 y S 2  (G ˆ : energía libre

de Gibbs específica).

[3] Velocidad de trabajo mecánico SISTEMA

ALREDEDORES.[4] Pérdida de energía por fricción.

Régimen estacionario.

Proceso isotérmico:2

1

ˆ

P dP G   

2

1

31

ˆ ˆˆ 02

v P 

v  dP W E 

v “Ecuación de Bernouilli”  

Simplificaciones

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Tema 8 — p. 13

• Factor alfa:Turbulento: 1

Laminar: 1/2

3 32

3

v v v 

v  v 

• Gravedad constante: g h 

• Fluidos incompresibles:2

1

dP P 

21ˆ ˆ 0

2 v 

P v gh W E  

Para gases ideales:

dPIsotérmico:

dPAdiabático:

2

1

2

1

1

21

1 2

1 1

ln

11

P RT 

M P 

P P 

Modificaciones habituales

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Tema 8 — p. 14

Balance de energía mecánica: 2 22 1 2 1

1 1ˆ 0

2v v v P P E  

222

1 1ˆ 1

2v E v Operando:

ˆTérmino problemático: Evaluación de v E 

Ejemplo: Perdidas por fricción en un ensanchamiento brusco

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Tema 8 — p. 15

ˆPérdidas de energía por fricción ( )v E 

1. Sistemas sencillos. por integración de la ecuación de movimiento

ˆ :v 

E v dV  

2. Fricción de superficie

• Transporte de interfase: coeficientes de rozamiento.

• Tubos (vertical descendente):

v

v

Balance de cdm:

E

Balance de energía: E

1 2

2 2

1 2

1 1ˆ2

2 2

ˆ

F P P S SL g  

Lf RL v v f  

P P gL

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Tema 8 — p. 16

3. Fricción de forma

• Factor de pérdidas por fricción (análisis dimensional):21

ˆ

2v v E v e 

• Longitud equivalente.