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Teoría de la Confiabilidad

Ana Eugenia Luna

Resumen

La aparición y aplicación de nuevas tecnologías en la industria hace posible la fabricación de nuevos productos y elementos, generalmente electrónicos que aumentan la complejidad de los procesos industriales; este hecho trae como consecuencia el aumento de riesgos que influyen en la seguridad de toda la instalación. La confiabilidad y seguridad de dichas instalaciones puede ser estudiada a través de métodos probabilísticos por medio de la ley de fallas de sistemas o componentes que permite obtener técnicas de predicción que aseguran la calidad de los productos. Existen varias funciones de distribución que modelan el comportamiento de las fallas. En este trabajo se hace un estudio detallado de las distribuciones de uso más frecuente en la teoría de la confiabilidad, la distribución exponencial, la distribución normal o gaussiana y la distribución de Weibull. 1. Introducción

La teoría de la confiabilidad tiene sus cimientos en análisis meramente

estadísticos y en leyes probabilísticas de fallas pues no existe un modelo determinista

que prediga el tiempo en el cual un sistema falla. Es posible, sin embargo, aplicar un

tratamiento estadístico que modele en forma realista el estudio de la confiabilidad de

componentes o dispositivos que en condiciones de montaje y uso adecuado se

encuentran en funcionamiento un tiempo determinado, t = 0. El tiempo para que ocurra

la falla o duración, T, puede considerarse estadísticamente como la variable aleatoria

continua con una función de distribución probabilística (fdp) f.

Se define la confiabilidad de un componente o sistema, R(T), a la probabilidad

de que dicho componente no falle durante el intervalo [0,t] o lo que es lo mismo a la

probabilidad de que falle en un tiempo mayor que t. Siendo R(t) = P(T>t) y T la

duración del componente. Si f(t) es la función de densidad de probabilidad (fdp), la

confiabilidad puede expresarse como

∫=∞

0)()( dssftR (1)

En términos de la función distribución acumulativa (fda) de f(t), F(t),

la confiabilidad también se puede definir como:

R(t) = 1-P(T t≤ )=1-F(t) (2)

2

La tasa de falla o función de riesgo Z es también un concepto muy usado en la

teoría de la confiabilidad y representa la proporción de artículos que funcionan entre t y

t + t∆ de aquellos que aún funcionaban en el instante t. Su valor se puede calcular a

partir de la siguiente expresión

)(

)()(

tR

tftZ = (3)

y determina unívocamente la fdp f.

La elección de un modelo que represente los datos de fallas lo más

fehacientemente posible, restringe la posibilidad de elección de cualquier fdp para T, es

decir que el modelo matemático para la descripción de los fenómenos observables no es

arbitrario.

2. La ley normal de falla

La conducta de algunos componentes puede describirse a través de la ley normal

de falla. Si T es la duración de un artículo, que obviamente vamos a considerar que es

mayor o igual a cero, su fdp, también conocida como distribución de Gauss, está dada

por

−

−=2

2

1exp

2

1)(

σµ

σπt

tf (4)

siendo ( ) 0,,,0)( >∞<<∞−∞<<∞−≥ estandardesviaciónttf σµ .

Este modelo implica que la mayoría de los artículos fallan alrededor de un

tiempo promedio de falla E(T)= µ y el número de fallas disminuye simétricamente

cuando µ−T aumenta. Una ley normal de falla significa que alrededor del 95.44% de

las fallas tienen lugar para los valores de t que satisfacen

<

−<− 22

σµt

como se

observa en la Fig. 1.

3

Fig. 1: El área encerrada entre σµ 2− y σµ 2+ representa alrededor del 94,44% de las fallas

Se puede ver que la distribución normal es simétrica, por lo tanto, la media, la

mediana y la moda coinciden. Además la fdp normal no posee un parámetro que

caracterice a la forma, por esta razón la forma que posee de campana no cambia.

El parámetro de escala de una fdp normal está dado por la desviación

estándar,σ ; a medida que este valor se incrementa, la fdp se desparrama del valor

medio, se ensancha y su pico disminuye. Por el contrario, si el valor deσ disminuye, el

pico de la campana se vuelve más alto y además se angosta. (Fig. 2). Geométricamente,

la desviación estándar, es la distancia entre el valor medio y el punto de inflexión de la

fdp.

Fig. 2: Efecto de dos posibles valores del parámetro σ en la función de distribución de probabilidades

normal.

0 , 9 5 4 4

t = µ - 2 σ t = µ + 2 σt = µ

80 120

0.00

0.03

0.06

µ=100σ=15

µ=100σ=5

f(t)

Tiempo (t)

4

La función confiabilidad de la ley normal de falla se puede hallar utilizando la

ec. (1),

∫

−

−=∫=∞∞

ttds

sdssftR

2

2

1exp

2

1)()(

σµ

σπ (5)

Su valor no puede obtenerse a través de métodos matemáticos conocidos sino vía el uso

de tablas.

Usando la función de distribución normal acumulativa tabuladaφ ,

−

−=σ

µφ

ttR 1)( (6)

es decir que, R(t) permite aclarar conceptualmente que para obtener una confiabilidad

alta, el tiempo de operación debe ser considerablemente menor que µ , es decir que la

duración esperada (Fig. 3).

Fig. 3: Función confiabilidad de la ley normal de falla

En muchos casos, es posible que desconozcamos los parámetros que caracterizan

a la fdp normal. A continuación se presenta un método gráfico alternativo para hallarlos.

Para una distribución normal, la función distribución acumulativa (fda), F(t) se define a

partir de la siguiente expresión,

R(t) = 0.5

t = µ

R(t)

t

5

F(t)

−

=σ

µφ

t (7)

Por lo tanto,

ttFσσ

µφ

1))((1 +−=− (8)

siendo dtexx t

∫=∞−

−2

2

2

1)(

πφ .

Entonces, es posible considerar las siguientes variables que permitirán obtener una ec.

lineal para ))((1 tF−φ :

σσµ

φ1

))(( 1 =−== − batFy (9)

btay +=⇒ .

Al graficar F(t), es decir, la probabilidad de que ocurra un fallo antes del instante

t en función del tiempo, es posible estimar el valor de µ localizando el punto

correspondiente a t en el cual la F(t) es del 50%. Este hecho es posible gracias a que la

distribución normal es simétrica, por lo tanto el área bajo la curva de la fdp desde ∞−

hasta µ es 0,5 al igual que el área desde µ hasta ∞ . Entonces el valor de µ coincide

con el punto en el cual la función confiabilidad R(t) es del 50%.

Para estimar el valor deσ , debemos recordar que el área bajo la fdp representa

el 68,3%, esto es medida desde el valor de µ hasta -σ y σ . (Fig. 4). Por lo tanto la

desviación estándar se puede obtener a partir de la siguiente expresión,

2

%)85,15)((%)15,84)((ˆ

=−==

tRttRtσ (10)

a partir del gráfico linealizado, conociendo los valores de t en los cuales la línea

intersecta el 84,15% y el 15,85%.

Este método alternativo para la estimación de los parámetros característicos de

una fdp normal es fácil de aplicar cuando se conocen los tiempos en los cuales fallan

ciertos componentes y sus respectivos porcentajes de falla.1

6

Fig. 4: El intervalo de confianza entre el 15,85% y el 84,15% representa el doble de la desviación

estándar

Otro método que puede utilizarse para estimar los parámetros es el de cuadrados

mínimos, en el cual se utilizan las siguientes ecuaciones (suponiendo que la incerteza de

los valores graficados en el eje de las abscisas son despreciables respecto a los valores

de las incertezas graficados en el eje de las ordenadas):1

N

xb

N

yxbya

N

ii

N

ii ∑

−∑

=−= == 11 ˆˆˆ (11)

∑

∑

−

∑∑ ∑

−=

=

=

=

= =

N

i

N

ii

N

i

N

i

N

iii

ii

N

xx

N

yxyx

b

i1

2

12

1

1 1

ˆ (12)

[ ])(1

ii tFy −= φ (13) ii tx = (14)

2σ

68,3%

µ

7

Los valores de )( itF se obtienen a partir de tablas que figuran en varios textos de

estadística.

Finalmente,

b

1ˆ =σ (15)

y σµ ˆˆˆ a−= (16)

La ley normal de falla representa un modelo apropiado para los componentes en

los cuales la falla se debe a algunos efectos de desgaste. Una de las desventajas que

posee la distribución normal para modelar fenómenos observables en la teoría de la

confiabilidad es que existen tiempos de vida que se extienden a ∞− , es decir a tiempos

de falla negativos. Sin embargo, si la función de distribución normal posee un valor

medio relativo relativamente alto y una desviación estándar relativamente pequeña, el

tema de discusión para tiempos de falla negativos no presenta ningún problema. En

otras palabras, la función normal, tiende rápidamente a cero lejos de su máximo.

Esta distribución se utiliza, por ejemplo, para modelar los tiempos de vida de los

cartuchos de impresión para computadoras.1

3. La ley exponencial de falla

Otra de las leyes de falla aplicable al estudio de la confiabilidad de componentes

que no están afectados todavía por problemas de vejez o desgaste es aquella que se

describe a través de la distribución exponencial.

Los elementos y dispositivos con funciones primordiales de seguridad, además

de ser idóneos ante unas exigencias del sistema, deben asegurar una correcta respuesta

en el tiempo. Para ello es imprescindible establecer un programa de mantenimiento

preventivo y predictivo que permita mantenerlos en buenas condiciones de uso,

renovándolos antes de que su tasa de fallos sea inaceptable.

Un modelo matemático para la probabilidad de fallo es definir la variable

aleatoria como el tiempo durante el que el elemento funciona satisfactoriamente antes

de que se produzca la falla. La función confiabilidad será entonces,

8

00

)(1

)()()(

N

tN

N

tNtTPtR fi −==>= (17)

siendo Ni(t) el número de elementos en funcionamiento en el instante t, N0 el número de

elementos en funcionamiento inicial y Nf(t) el número de elementos averiados hasta el

momento t. (Se cumple N0 = Nf(t) + Ni(t)).

Por lo tanto, recurriendo a la ec. (2), y haciendo la analogía con la ec. (17), la

probabilidad de que ocurra un fallo antes del instante t es,

0

)()(

N

tNtF f= (18)

Suponiendo que un artículo funciona en el instante t y falla durante los

siguientes t∆ ( t∆ > 0), entonces la probabilidad condicional de que se produzca una

avería entre el momento t y t+ t∆ puede escribirse de la siguiente manera,

tttR

ttRtR

tR

tFttFtTtTtP ∆=

∆+−=

−∆+=>∆+≤≤ )(

)(

)()(

)(

)()()t ( α (19)

siendo )(tα , la tasa de fallos.

De la ec. (19) es posible hallar el valor de la función confiabilidad,

∫−=t

dtttR0

)(exp)( α (20)

Recurriendo a la ec. (1), la función densidad de probabilidad, es decir, la

probabilidad de que un dispositivo tenga una falla entre los instantes t y t + dt es

dt

tdRtf

)()( −= (21)

Analizando las ec. (19) y (21), se cumple que la probabilidad de producirse una avería

en un elemento entre t y t + dt es igual a la probabilidad de que funcione hasta t por la

probabilidad de que falle entre t y t + dt:

dtttRtf )()()( α= (22)

9

En la Figura 5 se puede observar la representación gráfica de los parámetros

característicos de la distribución exponencial más general:2

Fig. 5: Representación gráfica general de los parámetros de confiabilidad.

Analizando cuidadosamente la representación de la curva típica de la evolución

de la tasa de fallos dependiente del tiempo (Fig. 6), también conocida como curva

bañera, se pueden distinguir tres etapas.2 La primera corresponde a los fallos iniciales

(la mortalidad infantil de las estadísticas demográficas) que se manifiestan

prematuramente y se caracteriza por una tasa decreciente, corresponde, generalmente, a

la existencia de dispositivos defectuosos o instalados indebidamente con una tasa de

fallos superior a la normal. La segunda etapa (la edad adulta) representa los fallos

normales y se presentan de forma aleatoria; su tasa es constante en el tiempo de vida del

componente. La tercera y última etapa (la vejez) se atribuye a los fallos por desgaste

donde se ha superado la vida prevista del componente; en este caso la tasa se caracteriza

por un aumento significativo debido a la degradación. Este modelo, con algunas

variantes, es válido para la mayoría de los componentes de un sistema tecnológico. Las

fallas iniciales pueden eliminarse mediante pruebas previas a la operación, mientras que

una política adecuada de reemplazos permite reducir las producidas al fin de la vida útil.

á(t) F (t)

á(t)F(t)

R(t)

R(t)

10

La mayoría de las evaluaciones de confiabilidad se refieren al período en que

prevalecen las fallas aleatorias.

Fig. 6: Curva típica de evolución de la tasa de fallos.

El caso más sencillo para describir la ley exponencial es suponer que la tasa de

fallas es constante, es decir que después de un tiempo de uso del artículo, la

probabilidad de que falle no ha cambiado, hecho que se puede expresar a través de la

siguiente función: Z(t)=α . En este modelo, claramente se está despreciando el efecto de

desgaste. La fdp asociada con el tiempo de fallo T está dada por

0,0)( >>= − αα α tetf t (23)

En este caso particular, la distribución sólo requiere el conocimiento de un parámetro, la

tasa de fallas α . Algunas de las características de la distribución exponencial de un

parámetro son:3

• A medida que α disminuye en valor, la distribución se extiende hacia el lado

derecho y por el contrario, a medida que α aumenta en valor, la distribución se

acerca al origen. (Fig. 7)

• El parámetro de escala es σα

== m1

(siendoσ la desviación estándar). Entonces, la

confiabilidad para un tiempo de duración mt = es siempre igual a 0,3679 o lo que

á (t)x 10-5

11

es lo mismo a un 36,8%. Esto es así pues 368,0)( 11

==== −−− eeetR t ααα . Este

hecho implica que la confiabilidad es relativamente baja pues sólo el 36,8% de, por

ejemplo, componentes en estudio, sobrevivirán.

• La distribución no tiene parámetro de forma pues tiene una única forma, la

exponencial; por lo tanto el único parámetro es la tasa de fallas.

• La distribución comienza en t = 0, donde α== )0(tf ; a partir de allí, decrece

exponencialmente y monótonamente a medida que t se incrementa. Además es

convexa.

• Cuando t tiende a infinito, la función distribución de probabilidades tiende a cero, en

consecuencia también tiende a cero la función confiabilidad R(t).

Fig. 7: Efecto de los posibles valores tomados por el parámetroα en la función distribución de

probabilidad exponencial. Si f tiene la forma expresada en la ec. (23),

R(t) =1-F(t) = te α− α==⇒)(

)()(

tR

tftZ (24)

0 100 200 300 4000.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

αα = 0,005

αα = 0,01

f(t)

Tiempo (t)

12

La confiabilidad R(t) representa, en este caso, la probabilidad de que el dispositivo,

caracterizado por una tasa de fallos constante, no se averíe durante el tiempo de

funcionamiento t. Es importante destacar que la fórmula (24) se aplica a todos los

elementos que han sufrido un uso adecuado que permita excluir los fallos iniciales

característicos de la tasa de fallos. Además, aplicando la función de probabilidad

condicional expresada en la ec. (19), se observa que la misma es independiente de t y

sólo depende de t∆ , es decir que el artículo en cuestión podrá ser considerado como si

fuera nuevo mientras perdure su funcionamiento.

Finalmente, es posible concluir que si T es una variable aleatoria continua que

toma todos los valores no negativos, le corresponde una distribución exponencial si y

sólo si tiene una tasa constante de fallas.

Este modelo es aplicable, por ejemplo, a lámparas que pueden considerarse que

funcionan como si fueran nuevas mientras funcionen y no se queme su resistencia.

Las gráficas características de los parámetros de este caso particular de la ley

exponencial de falla son4

Fig. 8: gráficas características de los parámetros de un caso particular de la ley exponencial de falla.

A partir de la representación gráfica de R(t), también conocida como curva de

supervivencia, es posible definir el “tiempo medio hasta un fallo”. Matemáticamente

se recurre a un cálculo estadístico para obtener una expectativa de este tiempo a partir

de la siguiente expresión:

f (t)

t

F(t

)

t

R(t

)

t

13

mdttftTTE =∫ ===∞

α1

)()(0

(25)

siendo T el tiempo que se espera que transcurra hasta un fallo y m el parámetro que

describe completamente la confiabilidad de un dispositivo sujeto a fallos de tipo

aleatorio.

Se observa, entonces que el tiempo medio y la tasa de fallos son recíprocos, es decir que

uno es el inverso del otro. Esto sólo es cierto para una distribución exponencial pues la

mayoría del resto de las distribuciones no tiene una tasa de fallo constante. Entonces,

)/exp()( mttR −= proporciona la probabilidad de supervivencia del dispositivo para

cualquier intervalo de tiempo comprendido dentro del ámbito de la vida útil del mismo.

En el caso en que t = m/100, la confiabilidad es R = 0,99, es decir que funcionan 99

dispositivos y falla sólo 1.

Por lo tanto, la calidad de funcionamiento de un cierto elemento vendrá dada por el

tiempo que se espera que dicho elemento funcione de manera satisfactoria.

A partir de la teoría previamente expuesta, es posible, calcular para un conjunto

de dispositivos, por ejemplo válvulas, la tasa de fallos anual conociendo el número de

elementos totales y aquellas que fallaron, también es posible conocer la probabilidad

que tiene una de las válvulas de que falle antes de un determinado tiempo, es decir, F(t)

o bien calcular la probabilidad de que la válvula esté en funcionamiento al cabo de un

determinado tiempo, por ende debo hallar R(t). Otro parámetro posible de calcular es la

probabilidad de que el tiempo de vida de la válvula esté comprendido entre dos tiempos

distintos, para ello debo obtener la diferencia entre la probabilidad de que falle antes de

uno de esos dos tiempos y el otro, es decir la diferencia de las confiabilidades de ambos

períodos de tiempo. Por último se puede determinar un intervalo de vida con cierto nivel

de confianza dado.

Otra ventaja que proporciona esta ley de fallas exponencial es que es posible

estimar el tiempo de operación de un artículo o sistema conociendo el parámetro α e

imponiendo R(t). Entonces dicho artículo será tan bueno como si fuera nuevo durante

ese tiempo o edad para funcionar, independientemente de su historia previa. A esta

propiedad característica de la función exponencial se la suele llamar “pérdida de

memoria”. Fenómeno que no ocurría para le ley normal.

Es importante destacar también que la confiabilidad de un dispositivo cualquiera

es constante para períodos de utilización iguales si se eliminan los fallos iniciales, si el

14

dispositivo ha sobrevivido al funcionamiento durante los períodos anteriores al

considerado y si no se supera el límite de vida útil, más allá del cual la confiabilidad

disminuye con mayor rapidez pues la tasa de fallos deja de ser constante y empieza a

crecer significativamente.

Supongamos ahora que la falla ocurre debido a factores externos aleatorios, por

ejemplo una subida de tensión o a factores internos como una desintegración química, el

tiempo de espera en una consulta sin cita previa o la vida de los vasos de vidrio en un

bar. La ley de fallas exponencial puede mejorarse a través de la distribución de Poisson,

es decir, para cualquier t fija, la variable aleatoria Xt tiene una distribución de Poisson

con parámetro tα . Para ello se supone que Xt es el número de accidentes que ocurren en

un intervalo de tiempo t>0. Se considera que la falla en dicho intervalo se produce si

solo si al menos ocurre un accidente. Si T es la variable aleatoria que representa el

tiempo para que ocurra la falla, entonces4

F(t) = P(T t≤ )=1-P(T>t) (26)

Entonces, T> t si ningún accidente ocurre en [ 0, t ] y esto sucede si y sólo si Xt = 0 .

Por lo tanto,

F(t) =1-P(Xt = 0) = 1- te α− (27)

que representa la fda de una ley exponencial de falla; físicamente la causa de las fallas

implica una ley exponencial de falla.

Si cada vez que aparece un accidente hay una probabilidad constante p de que éste no

produzca fallas, entonces:

( ) ( )

( ) tpptt

k

kt

ttt

eeek

pte

pe

tpetetF

)1(

0

22

11!

1

...!2

1)(

−−−∞

=

−

−−−

−=−=∑−

=

+++−=

αααα

ααα

α

αα (28)

Por lo tanto, T tiene una ley exponencial de fallas con parámetro )1( p−α

A continuación se presenta una alternativa para estimar el parámetroα de la

distribución exponencial. 3 El método consiste en linealizar la función de distribución de

probabilidad, para ello se recurre a la expresión de la función densidad acumulativa

F(t),

15

tetF α−−= 1)( (29)

Luego se toma el logaritmo natural a ambos miembros,

[ ] ttFy α−=−= )(1ln (30)

y finalmente la ecuación lineal es tby = , siendo α−=b . (31)

Supongamos un caso particular en el cual se desea estudiar, por ejemplo, el test

de vida de ciertos componentes a través de la estimación del parámetro característico de

la distribución exponencial. Entonces, conociendo los tiempos en los que se analizan los

elementos que sobrevivieron y sus respectivos porcentajes, es decir su respectiva

función confiabilidad, es posible graficar R(t). Lo primero que se observa es que los

puntos describen una recta cuya pendiente es negativa. Luego, la recta que mejor

aproxima a la distribución de esos puntos puede trazarse usando el método de cuadrados

mínimos. El valor del tiempo que corresponde a la intersección de la recta con el valor

de confiabilidad 36,8% es precisamente el tiempo medio hasta un fallo, es decir m o lo

que es lo mismo, el recíproco de la tasa de fallaα . Finalmente, a partir de un cálculo

sencillo es posible obtener el valor del parámetro buscadoα .

Para la utilización del método de cuadrados mínimos supondremos despreciable

la incerteza de la variable tiempo respecto a la variable R(t). Entonces es necesario

ajustar la función lineal teórica por el conjunto de puntos distribuidos en la

representación gráfica tal que la suma de los cuadrados de las desviaciones verticales de

los puntos hasta la recta sean mínimas. A continuación se presentan las ec. a ser usadas

para dicho método,

∑

∑=

=

=

=N

ii

N

iii

x

yxb

a

1

2

1ˆ

0ˆ

(32)

En este caso, las ecuaciones para yi y para xi son,

[ ]

ii

ii

tx

tFy

=

−= )(1ln (33)

Una vez que a y b son obtenidas es fácil hallar α a partir de la ec. (31).

16

También es posible obtener el parámetroα a partir del estimador de máxima

verosimilitud para la distribución exponencial, es decir que, teniendo la función de

verosimilitud de la muestra se puede encontrar el valor del parámetro que maximice

dicha función. Para el caso de la distribución exponencial, la función de verosimilitud L

es

∑−

=

− ==∏=n

ii

it

nn

i

tn eettL 1

11 ),.......(

αα ααα (34)

utilizando la propiedad de que el logaritmo neperiano es una función creciente y

monótona, es lo mismo maximizar L que el ln(L), entonces L es máxima si

t

tnL n

ii

1ˆ

)ln(0

0=⇒∑−=

∂∂

==

ααα

(35)

El modelo de la distribución exponencial en la teoría de fallas es aplicable a un

número considerable de ejemplos en los cuales se asuma el concepto básico de tasa de

fallos constante, en los cuales se desprecia el desgaste del artículo en cuestión producido

en el tiempo. Esta propiedad simplifica considerablemente el análisis, sin embargo, por

otro lado limita el uso de este modelo haciéndolo inapropiado para la mayoría de las

aplicaciones posibles en el “mundo real” pues existe evidencia suficiente e irrefutable

que la tasa de fallo de los productos, en general, no es constante. Un ejemplo que aclara

bastante este hecho es el caso de los autos. Los modelos nuevos poseen un precio

considerablemente superior comparado con aquellos modelos más antiguos en los

cuales el rendimiento de los mismos afectan significativamente el precio de venta, por

lo tanto la tasa de fallo no es constante en el tiempo y la confiabilidad se ve afectada por

esta razón. Lo mismo ocurre con los componentes electrónicos que se degradan con el

tiempo.

A pesar de estas limitaciones, la contribución en la teoría de fallas de la

distribución exponencial todavía tiene valor en el análisis de confianza para

determinados casos, no es posible subestimarla; incluso se utiliza en la evaluación

probabilística de seguridad de centrales nucleares para estudiar la confiabilidad de los

sistemas o subsistemas que las componen.5

En la actualidad se requiere del uso de métodos de análisis más sofisticados que

modelen y reflejen de una mejor manera las condiciones del “mundo real”. Tales

17

modelos han sido descubiertos y son acompañados de una alta tecnología

computacional compleja y de formulaciones matemáticas de alto nivel.

4. La ley de fallas de Weibull

La distribución estadística de Weibull es aplicable al estudio de la confiabilidad

en problemas relativos a la fatiga y vida de componentes y materiales. Se caracteriza

por considerar la tasa de fallas variable y es de la forma:

1

)(−

=

β

ααβ t

tZ (36)

donde T es la duración de un artículo, α es el parámetro de escala y β el parámetro de

perfil, ambas son constantes positivas. β determina la forma de la función de

distribución y de la tasa de fallas.

Se puede ver que Z(t) (Fig.9), llamada también función de riesgo, no es una

constante sino que es proporcional a las potencias de t. Será una función constante

cuando 1=β , creciente si 1>β , es decir que al aumentar t la proporción de artículos

defectuosos aumenta en forma continua, lo que indica que los desgastes empiezan en el

momento en que el mecanismo se pone en funcionamiento; o decreciente si 10 << β ,

es decir que al aumentar t la proporción de artículos defectuosos disminuye sin llegar a

cero, por lo que se puede suponer que corresponde a la etapa de juventud del

componente con un margen de seguridad bajo, dando lugar a fallos por tensión de

rotura.

Fig. 9: Gráfica de la función de riesgo en función del tiempo para distintos valores de β .

Z es constante

β = 1

Z(t

)

t

Z creciente

β >1

Z(t

)

t

Z es decreciente

0 < β < 1

Z(t

)

t

18

Se puede observar como la forma de la función distribución de probabilidades

varía según los valores de β (Fig. 10). A medida que β crece, la distribución se hace

más localizada y a medida que β tiende a infinito, la distribución tiene el

comportamiento de una delta de Dirac. 6

Si la fdp de T tiene la siguiente forma,

β

αβ

ααβ

−−

=

t

et

tf1

)( (37)

se dice que la variable aleatoria tiene una distribución de Weibull.

Fig. 10: Efecto del parámetro de forma de Weibull )(β en la distribución de probabilidades.

A partir de la Fig. 10 se observa que,7

Para 10 << β : • A medida que t tiende a cero, la fdp tiende a infinito.

• Cuando t tiende a infinito, la fdp tiende a cero.

• f(t) decrece monótonamente y es convexa a medida que t aumenta.

Para 1>β : • f(t) = 0 cuando t =0.

• Para 6,2<β la fdp de Weibull es asimétrica y posee una cola hacia la derecha.

ββ = 0 ,5

ββ = 3

ββ = 2

β β = 1

f (t

)

t

19

• Para 7,36,2 << β la cola desaparece y la forma de la distribución se asemeja la una

fdp normal.

• Para 7,3>β , f(t) se vuelve nuevamente asimétrica y aparece una cola en el lado

izquierdo.

Para 1=β : • Se puede ver que la distribución exponencial es un caso particular de la distribución

de Weibull, por lo tanto la propiedad mencionada en la ley de fallas exponencial de

“falta de memoria” es equivalente a la hipótesis de tasa constante.

Para el caso de que β tienda a cero la f(t) tiende a la inversa de t.

Es importante destacar el cambio abrupto que se produce al pasar de 999,0=β

donde f(0) tiende a infinito a 001,1=β para el cual f(0) es cero. Este hecho complica la

estimación del valor de β al acercarse a la unidad.

Al cambiar el valor del parámetro de escala α de la fdp, cambia la escala de las

abscisas. Manteniendo constante el parámetro de forma se observa en la Figura 11

cómo al aumentar α decrece el pico de f(t), mientras el área de la curva se mantiene

constante e igual a uno.

Fig. 11: Efecto del cambio en los valores del parámetro de escala α sobre la pdf de Weibull.

β = 3α = 200

β = 3α = 100

β = 3α = 50

f(t)

t

20

La función confiabilidad R(t) es una función decreciente de t:

β

α

−

=t

etR )( (38)

Si la variable aleatoria T tiene una distribución de Weibull, la esperanza y la

varianza están dadas por:

Γ−

Γ=

+Γ==

ββββα

βα

1122)(

11

)(

22

TV

tTE

(39)

Notar que cuando 1=β , el valor medio de t coincide con α pues 1)2( =Γ .

Γ es la función gamma y se define a partir de la siguiente expresión,

dxxe x 1)( −−∫=Γ λλ (40)

Finalmente, la desviación estándar es

2

11

12

+Γ−

+Γ=

ββασ (41)

Una forma posible de estimar los parámetros α y β pertenecientes a la

distribución de Weibull es a través de una resolución gráfica. Este procedimiento exige

varios pasos y una o dos iteraciones, es relativamente directo y requiere de álgebra

sencilla.

Este método utiliza un papel a escala funcional llamado papel de Weibull o gráfico de

Allen Plait.8 En el eje de ordenadas se tiene la linealización de la función distribución

acumulativa,

β

α

−

−=t

etF 1)( (42)

es decir,

αββ lnln)(1

1lnln −=

−

= ttF

y (43)

21

y en el eje de abscisas se coloca el tln .

Entonces, cualquier grupo de datos que sigan la distribución de Weibull se puede

representar por una línea recta siendo bxay += con

( )

βαβ

=−=

b

a ln (44)

Ahora se recurre al papel de Weibull para hallar los parámetros α y β . Para calcular β ,

es decir, el parámetro de forma que representa la pendiente de la recta, se hace pasar una

recta paralela a la recta obtenida con la representación gráfica de los datos por el punto

1 de abscisas y 63,2 de ordenadas pudiendo leer directamente el valor de β en una

escala tabulada de 0 a 7. (Fig. 12).

Para calcularα , es decir el parámetro de escala, basta con encontrar la

intersección de la recta trazada con la línea paralela al eje de abscisas correspondiente al

63,2% de fallos acumulados. De esta manera se halla el valor de t correspondiente a la

estimación deα . Esto es así pues F(t) =1- 632,01 1 =−= −

−

ee

β

αα

.

Fig. 12: Lectura de los parámetros α y β en el papel de Weibull

á=2000á

Â=1,5

22

Otra alternativa posible es plantear el método de máxima verosimilitud, siendo

la función verosimilitud de la ley de Weibull

∏==

N

ttfL

1),,(),( βαβα (45)

con N el tamaño de la muestra de una variable aleatoria T.

Los estimadores se obtienen a partir de la maximización de la función

verosimilitud, o lo que es lo mismo, a partir del logaritmo neperiano de dicha función,

entonces, se deben cumplir simultáneamente las siguientes igualdades

0

ln

0ln

=∂

∂

=∂

∂

β

αL

L

(46)

Sin embargo, el sistema de ecuaciones que se obtiene a partir de tales igualdades no

permite estimar los parámetros analíticamente. Además, los estimadores que se obtienen

mediante el método de máxima verosimilitud son sesgados. Un método numérico que

permite encontrar el factor de insesgo para β y para la varianza se puede encontrar en

el trabajo de Barone V., Calabrese P., Peralta J. E., “Estimadores de Máxima

Verosimilitud para los parámetros de la distribución de Weibull”, "Monografías sobre

Teoría de Errores y Tratamiento de Datos Experimentales (1995)", pág. 177-196.

En consecuencia, para poder hallar los estimadores de los parámetros de Weibull

se debe recurrir a métodos numéricos, como por ejemplo una simulación Monte Carlo, o

bien proponer métodos alternativos. 6

Una aproximación que se puede realizar frente a este inconveniente es

considerar la propiedad asintótica de los estimados de máxima verosimilitud, que

asigna, para un tamaño de muestra lo suficientemente grande, al estimador como

variable aleatoria una distribución normal. Es decir que nos permite aproximar el

comportamiento probabilístico del estimador.

Una de las posibles aplicaciones de la distribución de Weibull ha sido el estudio

de las variaciones de los vientos de un determinado sitio.9 Dicho análisis ha sido de gran

utilidad para los diseñadores de turbinas quienes utilizaron dichos resultados con el fin

23

de minimizar los costos. Se debe tener en cuenta, sin embargo, que la velocidad del

viento varía según el lugar donde se realicen las mediciones, depende, además, de las

condiciones locales del clima, del terreno y de su superficie; por lo tanto, la distribución

de Weibull variará no sólo en forma sino también en valor medio.

Esta función también se ha usado en las Ciencias Biológicas para estudiar

supervivencia a las bacteriemias y al cáncer gástrico.10

5. Confiabilidad de los sistemas

Se presentan a continuación las dos maneras más sencillas de combinar unidades

individuales en un sistema y el tratamiento de sus respectivas confiabilidades.4

Para que un sistema de n componentes independientes acoplados en serie funcione,

todos los componentes deben funcionar. Por lo tanto si uno falla, el sistema no funciona.

En consecuencia, la confiabilidad del sistema es menor que la confiabilidad de

cualquiera de sus componentes, siendo la función de confiabilidad del sistema

completo,

∏===

n

iin tRtRtRtRtR

121 )()()........()()( (48)

En el caso de que los componentes estén conectados en paralelo, el sistema deja

de funcionar sólo si todos los componentes dejan de funcionar; suponiendo que los

componentes funcionan independientemente.

La confiabilidad de este sistema será mayor que cualquiera de los componentes

siendo la función de confiabilidad del sistema completo,

R(t)=1-[1-R1(t)] [1-R2(t)]… [1-Rn(t)]= ∏ −−=

n

ii tR

1))(1(1 (49)

Por la sencilla razón de que el acoplamiento en paralelo aumenta la confiabilidad

del sistema es de uso más frecuente una operación en paralelo.

Es posible definir una nueva variable denominada “factor de seguridad”, que

físicamente representa la relación entre la resistencia de una estructura y la fuerza

aplicada a la misma. Si el cociente es menor a 1, la estructura fallará.

24

6. Discusión y Conclusiones La teoría de la confiabilidad trata sobre la eficiencia de los sistemas

tecnológicos, designándole a cada uno de ellos una “función probabilidad” que permita

discernir si el sistema cumple satisfactoriamente con la función para la que fue diseñado

durante determinado período y en condiciones especificadas de operación. En especial

dicha teoría se ocupa de las fallas de los sistemas sin indagar las causas de los mismos

ni la frecuencia con que ocurren. No es una teoría física, sino una teoría estadística. En

síntesis, permite predecir acerca del tiempo de vida de un conjunto de productos a través

de un ajuste de una función distribución estadística. La confianza y la probabilidad de

falla para un tiempo específico de tales productos son características que son posibles

de estimar a partir del análisis detallado de las gráficas obtenidas en cada caso en

particular.

En instalaciones en las que se pueden generar accidentes de graves

consecuencias, se hace imprescindible conocer la probabilidad de que éstos acontezcan

durante la vida del sistema. Es obligatorio, entonces, la aplicación de técnicas de

cuantificación del riesgo que recurren a modelos probabilísticos para establecer medidas

preventivas. Por esta razón los estudios de confiabilidad resultan ser cada vez más

relevantes.

Las tres leyes de fallas especificadas en este trabajo son sólo algunos de los

modelos que se utilizan en el estudio de las características de falla en componentes o en

sistemas de componentes.

La ley de fallas normal permite, a través del método más confiable de estimación

de parámetros, el de máxima verosimilitud, obtener expresiones analíticas para los

estimadores incógnitas. Existen dos razones de peso por las cuales este es el método

más usado en la actualidad, la primera es porque es relativamente fácil de implementar,

requiere poco esfuerzo computacional y porque además es poco sensible a la dispersión

de los datos. 6

Por otro lado, la distribución de Weibull es la ley de fallas más utilizada pues

describe ampliamente y en gran cantidad los fenómenos del “mundo real” a la hora de

analizar una gran variedad de funciones de confiabilidad de dispositivos o sistemas, sin

embargo sus parámetros característicos no pueden ser obtenidos a partir del método de

máxima verosimilitud pues resultan sesgados. En su lugar se puede utilizar la resolución

gráfica.

25

La pregunta que surge, en general, a la hora de la implementación de la teoría de

fallas es cuál es la distribución óptima que modela el problema a tratar.

Lamentablemente no existe un recetario en el cual nos podamos apoyar para garantizar

la repuesta correcta a dicha pregunta. Por lo tanto, algunas propiedades del sistema en

estudio son las que permitirán aproximarse a la resolución del problema planteado. Por

ejemplo si los efectos de desgaste en el tiempo pueden ser considerados despreciables,

es coherente que supongamos que la ley de falla exponencial será la más apropiada. Si

en cambio, el sistema se caracteriza por tener una simetría alrededor de un parámetro

fijo, es de esperar que la distribución que mejor ajuste será la normal o bien una de

Weibull con 7,36,2 << β .

La distribución de Weibull complementa a la distribución exponencial y a la

normal, que son casos particulares de ella.

Una vez encontrada la distribución de fallas asignada al sistema, uno podría

preguntarse si es consistente, es decir si dicha ley sigue el sistema, para ello se debe

pasar por un test de hipótesis, que garantizará dicha consistencia; en caso de contrario,

deberé aumentar el número de datos, cambiar el histograma o bien cambiar la función.

En este trabajo se han planteado tres métodos alternativos para la estimación de

los respectivos parámetros de las distintas distribuciones, el método gráfico, el de

cuadrados mínimos y el método de máxima verosimilitud. El método gráfico permite la

estimación del parámetro de forma y del parámetro de escala de la distribución de

probabilidad. Las ventajas de este método están basadas en dos conceptos, la linealidad

del gráfico de probabilidad que es un parámetro que permite garantizar la buena

elección de la distribución elegida y el coeficiente de correlación entre los puntos

experimentales y la curva teórica que es un indicador de tal linealidad. Esta técnica es

de fácil implementación para una gran variedad de distribuciones que poseen un único

parámetro de forma. Este hecho también es, por otro lado la limitación o desventaja que

posee este método.

El método de máxima verosimilitud tiene grandes ventajas cuando el tamaño de la

muestra es muy grande pues posee propiedades matemáticas óptimas como la obtención

de estimadores convergentes, insesgados, con esperanza definida y de varianza mínima,

por lo tanto, el intervalo de confianza de todos los estimadores es el más angosto

posible. Además existe gran cantidad de software disponible en el mercado que provee

excelentes algoritmos para obtener estimadores a partir del método de máxima

verosimilitud con las distribuciones más usadas. Por otro lado, las desventajas de este

26

método radican en que según sea la cantidad de parámetros a estimar, dependiendo de la

distribución elegida, la matemática no es, en general, trivial, más aún si se imponen los

intervalos de confianza a obtener. La estimación numérica tampoco es trivial y el

método puede ser sensible a la elección de los valores iniciales.

El método de cuadrados mínimos provee una alternativa al método de máxima

verosimilitud y también es de fácil acceso a través de software especializados en

estadística, en los cuales se incluyen también ajustes no lineales y proporcionan una

amplia variedad de funciones de distribución de probabilidades a elección. Las

desventajas son, por un lado, que no contempla las propiedades óptimas deseadas para

un estimador mencionadas en el método de máxima verosimilitud y por otro lado, el

método es sensible a la elección de los valores iniciales elegidos.

Referencias 1http://www.weibull.com/LifeDataWeb/the_ normal_distribution.htm 2Tamborero, J., “Fiabilidad de componentes: La distribución exponencial”. 3 http://www.weibull.com/LifeDataWeb/exponential_ probability_density_function.htm 4Paul L. Meyer, Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas”, cap. 11, addison-Wesley Iberoamericana. 5 Felizia, E. “Centrales Nucleares, La Evaluación Probabilística”, CienciaHoy, Vol. 5, N°35, 1996. 6 Barone V., Calabrese P., Peralta J. E., “Estimadores de Máxima Verosimilitud para los parámetros de la

distribución de Weibull”, "Monografías sobre Teoría de Errores y Tratamiento de Datos Experimentales (1995)", pág. 177-196.

7 http://www.weibull.com/LifeDataWeb/characteristics_of_the_weibull_distribution.htm 8 Tamborero J., “Fiabilidad: La distribución de Weibull” 9http://www.windpower.org/en/tour/wres/weibull.htmribing 10Marubini E, Bonfanti G, Bozzetti F, et al. A prognostic score for patients resected for gastric cancer.

Eur J Cancer 29A: 845-850. (1993).