Distribución de WeibullLa distribución de Weibull es una distribución continua y triparamétrica, es decir, está completamente definida por tres parámetros y es la más empleada en el campo de la confiabilidad.

Expresión matemática

La función de distribución de Wiebull es un modelo estadístico que representa la probabilidad de fallo después de un tiempo t (R(t)) en función del tiempo transcurrido o de una variable análoga. O dicho de otra manera, R(t) es la probabilidad de que los componentes de un conjunto sobrevivan hasta el momento t.

Esta función de probabilidad de fallo o función de fiabilidad R(t), viene dada por:

R (t )=℮−( t−γ

α)β

Donde γ,α ,β son parámetros que definen la función:

α es el parámetro de escala o vida característica. Este parámetro representa el tiempo (o el valor de la variable análoga usada) para el cual la probabilidad de fallo acumulada es de 63,2%. Por tanto cuando mayor sea α mayor será el intervalo de tiempo en que se producirán los fallos.

γ es el parámetro de translación, y se usa cuando inicialmente, durante un periodo de tiempo T, no se producen fallos y a partir de ese instante la fiabilidad del producto se puede aproximar por la distribución de Weibull (caso γ > 0); o cuando hay fallos antes de empezar los ensayos (caso γ <0).

β es el parámetro de forma o perfil y determina la forma de la distribución. En la representación gráfica del modelo, este parámetro coincide con la pendiente de la recta y da una idea de la dispersión de la muestra.

A partir de R(t) se puede definir la probabilidad de que un componente falle antes del momento t, que se indica como F(t). Esta función es muy útil en el estudio de fiabilidad de componentes y se puede representar como:

F (t)=1−R(t )

A parte de la función de distribución F(t), también se puede definir la función de densidad de probabilidad f(t), que muestra la probabilidad que tiene un componente genérico de fallar en un tiempo dado. Esta función coincide con la derivada temporal de F(t) y su expresión es:

f (t )=∂ F ( t )∂ t

f ( t )= β(t−γ )α β

℮−( t−γα )

β

La función tasa de falla Weibull se muestra a continuación:

λ (t)= β (t−γ )α β

=f ( t )R(t )

Ejemplos

1. El tiempo de falla, en horas, de un rodamiento en una caja de velocidades se modelo satisfactoriamente como una variable aleatoria de Weibull con β = 1/2, y δ = 5000 horas. Determine el tiempo medio de falla y la probabilidad de que un rodamiento dure más de6000 horas.

De la expresión de la media

Por tanto solo el 33,4% de todos los rodamientos durará al menos 6000 horas.

Asuma que la vida de una lámpara fluorescente sigue una distribución de Weibull con parámetros β = 2 y δ = 10:000 horas.

a) Determine la probabilidad de que la lámpara dure al menos 8000 horas.

b) Determine el valor esperado de la vida de la lámpara.

Bibliografía

http://confiabilidad.net/articulos/calculo-de-los-parametros-de-la-distribucion-de-weibull/

http://www.eumed.net/libros-gratis/2013/1255/aplicaciones-distribucion-weibull-ingenieria-confiabilidad.pdf