Descripción matemática de una onda unidimensional

Consideremos una cuerda larga estirada en la dirección X a lo largo de la cual avanza una onda.

Fig.8.8 Onda que avanza a lo largo de una cuerda

y = f (x -vt)

v: Velocidad de la onda (Velocidad de fase).

Consideremos una onda dada por la siguiente ecuación:

ym : Máxima Amplitud

: Longitud de onda.

pero, X = x -vt entonces,

El período T es el tiempo que requiere la onda para recorrer una distancia de una longitud de onda 

vT

donde,

Siendo K la constante de propagación o número de onda [mt¨¹]. Haciendo también:

donde, w es la frecuencia angular.

Por lo tanto, la ecuación de una onda que viaja hacia la derecha es:

Fig.8.9 Onda unidimensional

 

Velocidad de una onda

Consideremos el caso de una onda transversal como por ejemplo el de una cuerda.

Fig.8.10 La fuerza neta sobre un pequeño segmento de longitud de cuerda es radial.

pero,

por lo tanto, la velocidad de la onda en la cuerda es:

En general, la velocidad de las ondas mecácnicas obedece una expresión de la forma:

donde, las propiedades elásticas del medio pueden ser: Módulo volumétrico, módulo de elasticidad o tensión. Las propiedades inerciales del medio pueden ser: Masa, densidades

 

Potencia transmitida por una onda

Supongamos una onda que viaja por la cuerda. Los puntos P,Q y R representan varios segmentos de la cuerda. La onda recorre una distancia igual a una longitud de onda, en el tiempo de un período T.

Fig.8.11 Una onda que se desplaza a lo largo del eje X por una cuerda tensa.

Es bueno recordar que cada punto de la cuerda se mueve verticalmente con el MAS. En concecuencia, cada segmento de igual masa tienen la misma energía total. La energía del segmento P es puramente potencial, ya que el segemento esta momentáneamente estacionario. La energía del segemento Q es íntegramente energía cinética, y el segmento R tiene ambos tipos de energía, cinética y potencial. El segmento Q tiene una velocidad transversal máxima Vmáx y masa m. La energía total del segmento se obtiene de:

pero,   donde es la densidad lineal de masa

Al sumar sobre todos los segmentos en una longitud de onda igual a :

pero,   entonces, la energía total transportada por la onda es:

Para hallar la potencia que transporta la onda, se divide la expresión anterior por el período T,

pero, V = entonces,

En general, la potencia de cualquier onda armónica es proporcional al cuadrado de la frecuencia y al cuadrado de la amplitud.

 

Ecuación lineal de una onda

Se sabe que la ecuación matemática de una onda es:

Es una función que depende de dos variables x y t . Si hacemos una nueva función u(x, t), de tal forma que, u(x, t) = Kx -  t por lo tanto:

y = f(u), siendo u = g (x, t)

donde,

derivando por segunda vez la ecuación anterior,

 (1)

donde,

reemplazando en (1) y derivando por segunda vez se tiene:

 (2)

Relacionando las expresiones (1) y (2) se obtiene:

donde V es la velocidad de propagación de la onda. Todo fenómeno que pueda ser descrito por la ecuación anterior indica que es un fenómeno ondulatorio.

Hasta ahora nuestro estudio lo hemos realizado sin considerar lo que sucede cuando la onda llega al otro extremo de la cuerda. Vamos a analizar cuatro casos principales que pueden presentarse.

a)Cuando el extremo de la cuerda esta fijo a un punto

Fig. 8.12 Onda que se propaga hacia el extremo fijo de la cuerda.

Consideremos una onda incidente que se dirige hacia la derecha y choca contra el soporte fijo. Luego del choque, regresa hacia la izquierda. Este cambio en la dirección de la propagación se denomina reflexión de una onda, y en este proceso la onda que regresa se denomina onda reflejada. En esta reflexión se observa que la onda incidente y la onda reflejada tiene la misma configuración, igual velocidad de propagación, aunque la elongación de la onda reflejada es negativa con respecto a la onda incidente.

 

b) Cuando el extremo de la cuerda no está fijo a un punto

Fig 8.13 Si la reflexión ocurre cuando el extremo de la cuerda esta libre, la onda reflejada no se invierte.

Supongamos que el extremo de la cuerda esta unido idealmente a un anillo que puede desplazarse sin fricción a lo largo de la barra. Se observa que la onda se refleja sin invertirse conservando además su forma y su velocidad de propagación.

 

c) Cuando la cuerda está unida al extremo de una cuerda más pesada

Fig. 8.14 Onda que viaja hacia la derecha por una cuerda ligera atada a una cuerda más pesada.

La dirección de propagación de la onda es de izquierda a derecha, o sea de la cuerda liviana hacia la cuerda pesada . Cuando la onda incidente llega al punto donde se unen las dos cuerdas (separación de los dos medios, donde la cuerda liviana corresponde al medio menos denso y la cuerda pesada como medio más denso); se observa que parte de la onda se refleja y parte se transmite. Tanto la amplitud de la onda reflejada como la amplitud de la onda transmitida son menores que la amplitud de la onda incidente. La onda reflejada conserva su velocidad mientras que la transmitida tienen una velocidad de propagación que depende de la naturaleza del medio. La onda reflejada tienen un cambio de fase de 180ª mientras que la transmitida no tiene cambio de fase.

 

d) Cuando la cuerda está unida al extremo de una cuerda más liviana.

Fig 8.15 Onda que viaja hacia la drecha por una cuerda pesada unida a una cuerda ligera o liviana

Este caso corresponde cuando una onda pasa de un medio más denso a un medio menos denso. Se observa que parte de la onda incidente se transmite y parte es reflejada; la onda reflejada no se invierte; las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida son diferentes a la de la onda incidente. La velocidad de la onda transmitida dependerá del medio de propagación, en tanto que la velocidad de la onda reflejada no varía por propagarse en el mismo medio.

Principio de superposición e interferencia.

El principio de superposición estabalece que, cuando dos o más ondas se mueven en el mismo medio, el desplazamiento neto del medio o sea la onda resultante en cualquier punto es igual a la suma algebraica de los desplazamientos de todas las componentes. Físicamente, la importancia del principio de superposición, es que hace posible analizar un movimiento ondulatorio complicado descomponiendolo en una combinación de ondas armónicas simples. O sea:

 

Ondas estacionarias

Cuando dos ondas de la misma frecuencia y de la misma amplitud viajan en direcciones opuestas se combinan obedeciendo al principio de superposición produciendo un fenómeno de interferencia. Consideremos dos ondas armónicas de la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda pero viajando en direcciones opuestas.

Utilizando una identidad trigonométrica, se llega a :

La expresión anterior indica que la onda resultante vibra armónicamente pero sin tener un desplazamiento aparente, a ésta configuración se le llama Onda estacionaria.

Puesto que la amplitud de la onda estacionaria 2Asen(Kx) depende de x, la amplitud máxima ocurre cuando sen(Kx) = 1, o cuando:

Ya que K=2los puntos donde ocurre la máxima amplitud se les llama Antinodos, y se obtienen de la siguiente manera:

donde, n = 1, 2, 3, .... La onda estacionaria tiene una amplitud mínima cero cuando sen(Kx)=0, o sea:

Kx = ..

donde, n = 1, 2, 3, ... Estos puntos cuya amplitud es cero, se llaman Nodos.

Fig. 8.16 Patrón de onda estacionaria

 

Ondas estacionarias en una cuerda fija en ambos extremos.

Consideremos una cuerda tensa de longitud L que está fija en los dos extremos, como se muestra en la figura.

Fig. 8. 17 Una cuerda tensa de longitud L atada en ambos extremos.

Al poner a vibrar la cuerda se crean ondas estacionarias mediante la superposición de ondas incidentes y ondas reflejadas desde los extremos. Las ondas estacionarias en la cuerda vienen dadas por la expresión:

Dos nodos fijos son en los extremos de la cuerda, po lo tanto, para x = 0 y x = L :

En concecuencia, las longitudes de onda de los modos normales de vibración, pueden expresarse de la siguiente forma:

donde, n = 1, 2, 3, ... son los modos normales de vibración. Las frecuencias naturales asociadas con estos modos de vibración se obtienen de la relación f = v / , donde v es la velocidad de la onda que es la misma para todas las frecuencias , por lo tanto:

donde, n = 1, 2, 3, ... son los modos normales de vibración. Lo anterior indica que una cuerda fija en los dos extremos no puede vibrar a cualquier frecuencia arbitraria sino a frecuencias correspondientes dadas por al expresión anterior. Todas las frecuencias posibles dadas por esta expresión son míltiplos enteros de la mínima frecuencia f0 = v / 2L, que se conoce comoFrecuencia fundamental. Todas esas frecuencias posibles que son múltiplos enteros de la fundamental se conoce como frecuencias naturales de la cuerda o armónicas.

Fig. 8.18 Frecuencia fundamental.

Fig. 8.19 Segunda armónica

Fig. 8.20 Tercera armónica.

Descripción matemática del movimiento ondulatorio armónico: Ondas armónicas

Como hemos visto en la descripción de la propagación, la ecuación y=f(x-vt) describe la propagación de una perturbación, que está representada por la función f(x), sin distorsión, a la largo del eje X, hacia la derecha, con velocidad v.

Muchos movimientos que se producen en la naturaleza se explican mediante una ecuación que contiene la función seno o coseno. .

La función y (x, t) que contiene una función seno o coseno se denomina función armónica.

y(x,t)=A· sen k(x-vt)

Las características de esta función de dos variables, son las siguientes:

La función seno es periódica (periódicamente, al aumentar t, varía entre +1 y -1) : se repite cuando el argumento se incrementa en 

¿Qué valor debe tener "k" para la función sea períodica?.

La función y (x, t) se repite cuando x se incrementa en 2 /k. . En efecto al multiplicar por "k" los miembros del argumento, ese término vale 

Si el argumento se incrementa en , la función toma el mismo valor que tenía sin 

Los puntos de una cuerda que vibra (o de cualquier medio perturbado por una onda) están en fase -tiene el mismo valor de la función "y" que es la que da su separación de la posición de equilibrio-, cuando están separados por una distancia igual a: / k. A este valor se le llama longitud de onda 

 / k.

El argumento de la función hace que sea una función periódica, de periodo espacial o longitud de onda / k., cuyos valores se repiten periódicamente a una distancia igual a la longitud de onda.

La magnitud k se denomina número de onda.

La función y (x,t) describe la posición respecto al punto de equilibrio de un punto del medio, situado a una distancia "x"del origen, por el que se propaga una perturbación que le comunica un Movimiento Vibratorio Armónico Simple

y (x,t)=A·sen (kx-w t)

A es la amplitud o separación máxima respecto al punto de equilibrio La frecuencia angular es :w=k v

( "v" es la velocidad de avance de la onda en el medio por el que se propaga- v= / T )

El periodo de la oscilación en cada punto viene dado por T=2 / w,, y la frecuencia por=1 / T

La ecuación w=kv, nos permite relacionar el periodo espacial o longitud de onda y el periodo de la oscilaciónT.

La relación anterior la podemos expresar de forma alternativa por:

=v /.

Existe una relación de proporcionalidad inversa entre la longitud de onda y la frecuencia. Para una misma velocidad de propagación, a mayor longitud de onda menor es la frecuencia y viceversa.

Doble periodicidad

La ecuación de onda muestra su doble periodicidad: es función de t y x

y(x,t)=A· sen k(x-vt)

Las posiciones de alejamiento respecto a la posición de equilibrio se repite periódicamente con el paso del tiempo para cualquier punto determinada de la onda.

Esto supone que si asigno a la x un valor fijo (constante), la onda es armónica respecto a la otra variable, el tiempo.

Por ejemplo a la distancia x=5, la función será y(x,t)=A· sen k(5-vt) ).

 

Aplicado la ecuación anterior a una onda que se propaga por una una cuerda, supone estudiar los desplazamientos "y" respecto a la posición de equilibrio, de un punto de la cuerda que está a una distancia fija x del origen.

En esta animación la cuerda oscila por detrás del marco negro, pero nosotros sólo vemos lo que le ocurre a un punto.Mirando a través de una aberturave situada a una distancia x del origen, vemos oscilar un punto de la cuerda. Sus posiciones se repiten periodicamente.

Si representamos los alejamientos,y por los que pasa el punto x, frente a  t dan la siguiente gráfica.

Las posiciones de los puntos de una cuerda se repiten periódicamente a una distancia igual a la longitud de onda de cada punto. Esto lo vemos si "congelamos el tiempo" sacándole una foto al movimineto ondulatorio. En la onda obtenida se ve la posición de cada ounto se repite a una distanca  de él.

Si suponemos que el tiempo es fijo (no transcurre), la fórmula de la posición sólo depende del valor de x :( y(x,t)=A· sen k(x) ).

La representación de la función y frente a x es como la foto instantánea de una cuerda vibrando. Al tomar la foto hemos detenido el tiempo y "registrado/anotado" las posiciones de la cuerda en ese momento.

Si a la posición de un punto, se le suna  el valor de y se repite.

Las posiciones de alejamineto del equilibrio de los puntos de la onda se repiten con una periodicidad igual a una longitud de onda.

Movimiento ondulatorio armónico

Como se ha descrito en la sección descripción de la propagación,  =f(x-vt) describe la propagación de una perturbación representada por la función f(x), sin distorsión, a la largo del eje X, hacia la derecha, con velocidad v.

Estudiamos un caso particular importante, aquél en el que la función f(x) es una función armónica (seno o coseno).

(x,t)=0·sen k(x-vt)

Las características de esta función de dos variables, son las siguientes:

1. La función seno es periódica y se repite cuando el argumento se incrementa en 2  . La función (x, t) se repite cuando x se incrementa en 2/k.

Se trata de una función periódica, de periodo espacial o longitud de onda  =2/k. La magnitud k se denomina número de onda.

2. Cuando se propaga un movimiento ondulatorio armónico, un punto x del medio describe un Movimiento Armónico Simple de amplitud 0 y frecuencia angular =kv.

(x,t)=0·sen (kx-  t)

El periodo de la oscilación es P=2/  , y la frecuencia  f =1/P.

3. La igualdad =kv, nos permite relacionar el periodo espacial o longitud de onda y el periodo de la oscilación P de un punto del medio.

La longitud de onda λ está relacionada con la frecuencia f de la forma  =v/f  . Para una velocidad de propagación v, cuanto mayor es la longitud de onda menor es la frecuencia y viceversa.

 

Ondas transversales en una cuerda

El applet  representa la propagación de una onda transversal, y con ella trataremos de mostrar las características esenciales del movimiento ondulatorio armónico.

Se introduce

la longitud de la onda λ, en el control de edición titulado Longitud de onda

la velocidad de propagación v, en el control de edición titulado Velocidad p.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa la propagación de una onda armónica a lo largo del eje X, hacia la derecha. Podemos observar que cualquier punto del medio, en particular el origen o extremo izquierdo de la cuerda, describe un Movimiento Armónico Simple, cuyo periodo podemos medir y comprobar que es igual al cociente entre la longitud de onda y la velocidad de propagación P=  /v.

Pulsando el botón Pausa, podemos congelar el movimiento ondulatorio en un instante dado, y observar la representación de una función periódica, cuyo periodo espacial o longitud de onda, es la distancia existente entre dos picos consecutivos, dos valles, o el doble de la distancia entre dos nodos (puntos de corte de la función con el eje X). Esta distancia es la misma que hemos introducido en el control de edición titulado Longitud de onda.

Para reanudar el movimiento se pulsa en el mismo botón titulado ahora Continua.

Podemos ahora, observar la propagación de la perturbación y en particular, de un pico señalado por un pequeño círculo y fijarnos en su desplazamiento a lo largo del eje X. Comprobaremos utilizando el botón titulado Paso, que se desplaza una longitud de onda en el periodo de una oscilación =vP.

Por último, sin cambiar la velocidad de propagación, se modifica la longitud de onda y se aprecia que a mayor longitud de onda, el periodo de las oscilaciones es mayor y la frecuencia menor y viceversa,  =v/f.

Ondas longitudinales en una barra elástica

El applet representa la propagación de una onda longitudinal, y con ella trataremos de mostrar de nuevo las características esenciales del movimiento ondulatorio armónico.

Se introduce

la longitud de la onda λ, en el control de edición titulado Longitud de onda

la velocidad de propagación v, en el control de edición titulado Velocidad p.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Supongamos que una fuente situada en el origen describe un movimiento armónico simple. El movimiento de la fuente es comunicado a las partículas del medio, en el cual se propaga un movimiento ondulatorio armónico.

Podemos observar, como las partículas del medio y en particular, las situadas en la posición x=3, dibujadas en color azul para distinguirlas del resto, describen un movimiento armónico simple.

La parte superior del applet se representa en cada instante, el desplazamiento  (en el eje vertical) de cada una de las partículas del medio. Por razones de claridad se ha exagerado su amplitud.

El funcionamiento de este programa es similar al anterior y podemos hacer por tanto, las mismas comprobaciones:

Que las partículas del medio, en particular las situadas en x=3, describen un Movimiento Armónico Simple, cuyo periodo podemos medir y comprobar que es igual al cociente entre la longitud de onda y la velocidad de propagación P=  /v.  

Que los M.A.S que describen las partículas situadas en la posición x1=3.0 y la situadas en la posición x2=3.0+ están en fase. Están por tanto en fase, los MAS que describen las partículas cuya separación es un múltiplo entero de la longitud de onda, x2-x1=n

Podemos congelar el movimiento ondulatorio en un instante dado, pulsando el botón titulado Pausa, y observar la representación de una función periódica de periodo espacial o longitud de onda igual a la distancia existente entre dos picos consecutivos, dos valles, o el doble de la distancia entre dos nodos (puntos de corte de la función con el eje X).

Que la perturbación se desplaza una longitud de onda en el periodo de una oscilación =vP.

Por último, sin cambiar la velocidad de propagación, se modifica la longitud de onda y se aprecia que a mayor longitud de onda, el periodo de las oscilaciones es mayor y la frecuencia menor y viceversa, =v/f.

1.-Introducción

El movimiento ondulatorio aparece en casi todos los campos de la Física. Sin duda alguna, la noción más intuitiva que tenemos del movimiento ondulatorio está asociada con las ondas producidas por el viento o alguna otra perturbación sobre la superficie del agua. Oímos un foco sonoro por medio de las ondas (ondas sonoras) que se propagan en el aire o en cualquier otro medio material- y las vibraciones del propio foco (ejemplos: la cuerda de una guitarra, la columna de aire en un tubo sonoro, etc. ) constituyen una onda denominada onda estacionaria. Muchas de las propiedades de la luz se explican satisfactoriamente por medio de una teoría ondulatoria, estando firmemente establecido hoy día que las ondas luminosas tienen la misma naturaleza que las radiondas, las radiaciones infrarrojas y ultravioletas, los rayos X y la radiación gamma.

Uno de los progresos más importantes de la Física del siglo XX ha sido el descubrimiento de que toda la materia está dotada de propiedades ondulatorias (ondas de materia) y que, por ejemplo, un cristal difracta del mismo modo un haz de electrones que un haz de rayos X.

En este tema vamos a centrar nuestra atención en las ondas que se propagan en los medios deformables o medios elásticos. Tales ondas, entre las que se encuentran las ondas sonoras ordinarias, pueden denominarse ondas mecánicas y se originan al desplazarse alguna porción de un medio elástico de su posición normal, iniciándose así una oscilación respecto a su posición de equilibrio. Entonces, debido a las propiedades elásticas del medio material, la perturbación original se transmite a las porciones de materia vecinas, y de éstas a las siguientes, y así sucesivamente, de modo que la perturbación se propaga por el medio, alcanzando a todas las porciones de éste, que quedarán sometidas a movimientos análogos al del punto donde se inició la perturbación. Obviamente, todos los puntos del medio no serán alcanzados simultáneamente por la perturbación, ya que ésta se propaga con una velocidad finita que depende de las propiedades (elásticas e inerciales, como veremos más adelante) del medio, de modo que las partículas más alejadas del origen de la perturbación comenzarán a moverse con un cierto retraso. En definitiva, podemos decir que:la propagación de una perturbación en un medio constituye un movimiento ondulatorio.

El movimiento ondulatorio transporta energía. Este transporte de energía, que puede tener lugar a distancias considerables, se realiza sin necesidad de desplazamiento de materia a gran distancia, ya que cada elemento del medio transmite energía a los elementos vecinos.

Para que se propaguen las ondas mecánicas es necesario tener como soporte un medio material. Sin embargo, no es necesario tal medio para la propagación de ondas electromagnéticas (v.g., la luz), que pueden propasarse en el vacío, aunque también se propagan en los medios materiales. Las propiedades del medio material que determinan la velocidad de las ondas mecánicas en él son su elasticidad y su inercia. Todos los medios materiales (aire, agua, acero, etc.) poseen esas propiedades y en ellos pueden propagarse las ondas mecánicas. Es la elasticidad  la que da lugar a las fuerzas restauradoras sobre cualquier elemento que se desplaza de su posición de equilibrio; es la inercia la que determina la respuesta a esas fuerzas restauradoras.

El término de onda, como tendremos ocasión de comprobar, se refiere a un modelo matemático que sirve para interpretar de manera análoga fenómenos físicos de naturaleza muy diferente. En este tema tratamos de los diferentes tipos de ondas que pueden existir.

Haremos el estudio de las ondas cuya forma es senoidal (ondas armónicas) y los parámetros que la caracterizan: velocidad de fase, número de ondas, longitud de onda, período, frecuencia, fase, amplitud, etc.

2.-TIPOS DE ONDAS.

    Aunque las ondas se pueden clasificar de otras formas, las vamos a clasificar de acuerdo con propiedades físicas notorias.

    Dependiendo del tipo de medio que necesitan para su propagación se clasifican en mecánicas ó elásticas y no mecánicas o electromagnéticas.

    Si la dirección en la cual varía la magnitud que define la perturbación coincide con la dirección de propagación de la misma, las ondas se llaman longitudinales, y si la dirección de variación de la magnitud que define la perturbación es normal a la dirección de propagación de la misma, las ondas se llaman transversales.

Algunas ondas no son exclusivamente longitudinales ni transversales, por ejemplo las ondas sobre la superficie del agua.

También se pueden clasificar de acuerdo con el número de dimensiones en que se propaga en:

Unidimensionales: p.e. ondas en una cuerda.

Bidimensionales: p.e. ondas sobre la superficie del agua.

Tridimensionales: p.e. ondas sonoras, luminosas.

 En las ondas tridimensionales se define al frente de ondas como el lugar geométrico de los puntos del medio que son alcanzados simultáneamente por la perturbación y que, por consiguiente, en un instante dado, están en el mismo estado o fase de la perturbación.

La dirección de propagación siempre es perpendicular al frente de ondas y se representa mediante el rayo.

Atendiendo a la forma del frente de ondas, pueden clasificarse en:

Planas, la perturbación se propaga en una sola dirección. Los frentes de onda son planos y los rayos rectas paralelas.

Cilíndricas

Esféricas, la alteración se propaga en todas direcciones a partir del punto que es la fuente de las ondas. Los frentes de onda son superficies esféricas y los rayos líneas radiales. Lejos de la fuente los frentes de onda tienen una pequeña curvatura y a menudo pueden tomarse como planos. 

 

3.-ECUACIÓN DE ONDAS.

    Una perturbación unidimensional  en movimiento en una sola dirección (por ejemplo OX), debe ser función de x y de t, y puede escribirse como:

    La forma o perfil de la onda en cualquier instante se puede encontrar manteniendo el tiempo constante. Por ejemplo en t=0:

Nos limitaremos al estudio de las ondas cuya forma no varía mientras avanzan.

Supongamos un pulso cuya forma en el instante inicial para un sistema de referencia S viene dada por

En t segundos habrá avanzado a lo largo del eje X una distancia vt, pero su forma permanece inalterada.

Si introducimos un sistema de referencia S´ que viaja junto con el pulso a la velocidad v, en este sistema, ya no es función del tiempo y vemos un perfil estacionario, de forma que:

El perfil se ve igual para cualquier valor de t en S´como lo era para t=0 cuando S y S´tenían el origen común (figura 2).

De la figura:  de forma que, en términos de las variables asociadas con el sistema S, se puede escribir:

Lo que representa la forma general de la función de onda unidimensional.

Si la onda estuviera viajando en la dirección negativa del eje X, quedaría:

Si investigamos las derivadas de la función de onda, obtendremos una ecuación diferencial que se denomina ecuación de ondas unidimensionales, lo que permitirá predecir teóricamente la existencia de las ondas en un sistema.

Tomemos la derivada parcial segunda de  con respecto a x:

siendo    y   

Idem con respecto a t:

  puesto que   

Si las comparamos:

que es la ecuación de ondas en una dimensión.

Por ser una ecuación lineal, es evidente que si  Y1 y  Y2son soluciones de la

ecuación de ondas, también lo será Y1 + Y2, lo que constituye el principio de superposición.

Podría demostrarse que una onda tridimensional satisface una ecuación de onda dada por:

Si introducimos el operador laplaciano:

Nos queda:

4.-ONDAS EN UNA CUERDA.-

La segunda ley de Newton predice que pueden aparecer ondas en un medio en que existe una fuerza restauradora elástica

lineal.   Consideremos una cuerda tensa en sus extremos y que se desplaza de su posición de equilibrio debido a una onda. Tomemos un elemento diferencial de la misma.

Se supone que el efecto de la onda es lo suficientemente pequeño como para suponer que la tensión T es uniforme,  , y además que es lo suficientemente grande como para despreciar el peso del elemento de cuerda.

El equilibrio de fuerzas verticales que actúan sobre el elemento exige:

Si los ángulos son pequeños 

y como

donde podemos hacer la siguiente aproximación si el elemento es infinitesimal:

 

y por lo tanto : 

Si la densidad lineal de masa de la cuerda es  y

como  tendremos que  y por lo

tanto  y ordenando:

  Comparando con la ecuación general de ondas, la velocidad de una

onda en una cuerda es: 

 

5.-ONDAS ARMÓNICAS.-

La forma más simple del perfil de una onda es del tipo seno o coseno, que se conocen como ondas senoidales, ondas armónicas simples o como ondas armónicas. Es importante su estudio porque según el desarrollo en serie de Fourier cualquier onda aunque no fuera senoidal podría sintetizarse por superposición de ondas armónicas.

El perfil de la función simple es

siendo K es el número de ondas y A la amplitud de la onda.

Para transformarla en la función de una onda progresiva, reemplazamos x por x-vt . 

. 

    Manteniendo fijas x o t, resulta una perturbación senoidal de forma que la onda es periódica tanto en el espacio como en el tiempo.

El periodo espacial se denomina longitud de onda l

Se debe cumplir que  y en el caso de las ondas armónicas

por lo que  y

. 

    La onda es repetitiva en el tiempo. El período temporal , es el tiempo que tarda una onda en pasar por un observador estacionario.

 

por lo tanto    y  ,  finalmente

v

El período es el número de unidades de tiempo por onda, su inverso es la frecuencia o el número de ondas por unidad de tiempo:  .

Otras cantidades usadas son la frecuencia angular ;   y

el número de ondas por unidad de longitud : 

En función de los parámetros definidos la función de onda armónica admite variadas formulaciones algunas de las cuales son:

6.-ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO.-

Un medio en el que se propaga un movimiento ondulatorio posee energía, que es en parte cinética y en parte potencial.

   Observando la figura, en P toda la energía es potencial, en Q toda la energía es cinética, y en R parte es potencial y parte cinética.

La energía cinética del elemento de masa  (es la densidad lineal de masa) situado en Q será:

Ahora bien como todos los elementos de masa tienen la misma energía  

La potencia total transferida será   

teniendo en cuenta que   podemos escribir la potencia de

una onda unidimensional como:

En el desarrollo anterior, se ha evitado, hacer referencia a la sección S de la cuerda, pues hemos preferido expresarnos en términos de densiades lineales de masa. 

Si hacemos intervenir la densidad volúmica de masa ( ),  para ello , basta que tengamos en cuenta que  , de este modo la expresión que resulta es más general, puesto que será aplicable a todo tipo de ondas que se propaguen en dos o tres dimensiones.

En el caso de ondas tridimensionales, conviene, introducir una nueva magnitud, la intensidad I de la onda, definida como la potencia que pasa a través de la unidad de superficie normal a la dirección de propagación. Es por tanto, la energía que pasa por unidad de tiempo y unidad de superficie. Sus unidades en el S.I. son wm-2=Js-1m-2.

(Para una onda esférica) 

    Si consideramos los dos frentes de onda esféricos de la figura, y suponiendo que no existe absorción de energía, la cantidad de esta, que atraviesa la superficie de radio r1tiene que ser igual a la que atraviesa la de radio r2 , por tanto,

Es decir, la intensidad disminuye proporcionalmente al cuadrado de la distancia al foco, mientras que la amplitud de las oscilaciones de las partículas disminuye proporcionalmente a la distancia al mismo.

En realidad la disminución de la intensidad y la densidad es mayor que las expresadas por las relaciones anteriores debido a la absorción de energía debido a rozamientos, etc. Piénsese que en una onda plana, en donde  , la intensidad y la amplitud deberían permanecer constantes, lo que está en contradicción con la experiencia. Por lo tanto en el caso de ondas esféricas a la disminución de la intensidad por la distancia habrá que añadir la disminución por absorción.

Se puede definir la absorción de un movimiento ondulatorio, como la disminución en la intensidad debido a la naturaleza y características físicas del medio propagador.

En el caso de ondas planas que se propaga según el eje OX, se ha comprobado experimentalmente que la disminución relativa de

intensidad, viene dada por:  , donde  se llama coeficiente de absorción y depende del medio y de la frecuencia de la onda.

Integrando:

La intensidad disminuye exponencialmente con tanta mayor rapidez cuanto mayor sea . 

 

7.-FENÓMENOS ASOCIADOS A LAS ONDAS.

7.1.-Reflexión.  (pulsa para ver un applet relativo a la reflexión y refracción)

    Se entiende por reflexión el cambio en la dirección de propagación que experimenta una onda al encontrarse con un obstáculo adecuado a su naturaleza y de tamaño mucho mayor que su ;  en esta caso la onda se encuentra siempre en el mismo medio.     La reflexión no es un fenómeno exclusivo de las ondas, las partículas también lo presentan. Un caso interesante, en la reflexión, es cuando el obstáculo forma un ángulo distinto de 90º con la dirección de la onda, ya que entonces se observa que la onda incidente cambia su dirección de propagación al chocar con el obstáculo (onda reflejada).

Como ejemplo típico de ondas tridimensionales se puede citar el de la luz,- cuando se utiliza como obstáculo un espejo plano o esférico. También son frecuentes los fenómenos de reflexión de sonidos en

edificios, salas, montañas, etc. 

 

7.2.-Refracción (pulsa para ver un applet relativo a la reflexión y refracción)

    Se entiende por refracción al conjunto de fenómenos o de cambios que experimenta una onda al pasar de un medio a otro de propiedades diferentes.

Como consecuencia de tener los medios propiedades diferentes o ser de distinta estructura, la velocidad de propagación de la onda es distinta en cada uno de ellos. Este cambio de velocidad se traduce en los casos bi y tridimensionales en una variación de la dirección de propagación de la onda.

 La onda retractada siempre se encuentra en fase con la incidente. También se resalta que la energía de la onda transmitida es menor que la transportada por la onda incidente.

7.3.-Interferencias.

    Es el fenómeno que se presenta cuando en una región del espacio, se encuentran, bajo ciertas condiciones, dos o más ondas. Físicamente se caracteriza porque en dicha región existe una distribución de la intensidad de la onda resultante, es decir, varía de unos puntos a otros: no es uniforme ni igual a la suma de las intensidades de las ondas que se superponen. Esta distribución de intensidades recibe el nombre de figuras de interferencia. La forma que adoptan depende de la naturaleza de las ondas.

    El fenómeno se puede visualizar en una cubeta de ondas, colocando en el vibrador dos pequeñas

esferitas, en vez de la varilla de madera o acero, que hacen de focos para las dos ondas superficiales que se van a superponer.

    En el caso del sonido se puede observar el fenómeno montando dos diapasones (fuentes de sonidos armónicos o «puros») en los extremos de una pequeña varilla horizontal, que pueda girar alrededor de un eje vertical

    Las ondas electromagnéticas también presentan este fenómeno; en este caso, las figuras de interferencia consisten en una distribución espacial de intensidades luminosas; éstas toman la forma de franjas o de círculos, alternativamente claros y obscuros, dependiendo del proceso utilizado para obtenerlas.

Es obvio que no siempre que en una región del espacio se encuentran haces luminosos procedentes de dos fuentes de luz, se forman figuras de interferencia: en una habitación iluminada por dos o más lámparas la intensidad luminosa está distribuida más o menos uniforme. Vamos a enumerar  las condiciones que se deben cumplir , para que existan interferencias estables:

a) Proceder de focos que sean coherentes, es decir, que las fuentes de luz tengan una diferencia de fase en la emisión que sea constante en el tiempo. Normalmente las fuentes ordinarias de luz no son coherentes, ya que aunque están compuestas, cada una de ellas, por la misma clase de átomos (lo cual hace que la luz emitida sea de la misma frecuencia), no efectúan las oscilaciones (transiciones de los electrones a niveles menos energéticos) en fase, es decir al mismo tiempo. La forma normal de superar este problema, con fuentes ordinarias, es utilizar una única fuente para obtener, mediante dos pequeñas aberturas por ejemplo, dos fuentes coherentes secundarias; una solución mejor es utilizar un láser como fuente de luz.

b) Ser de frecuencia iguales o muy próximas, ya que diferencias apreciables en la frecuencia dan lugar a diferencias de fase que varían con el tiempo y por lo tanto a figuras no estables.

c) Que las amplitudes sean parecidas, para que las figuras de interferencia estén muy pronunciadas.

Las interferencias son un fenómeno exclusivo de las perturbaciones de naturaleza ondulatoria.  

   

Vamos a analizar cuantitativamente el fenómeno de interferencias, para dos ondas cualesquiera (superficiales en el agua, sonoras, o electromagnéticas). Sean dos focos emisores de ondas F1, y F2 que se encuentran separados una distancia a. A una distancia d de los mismos se encuentra un plano (o una línea) en el que se quieren estudiar las figuras de interferencias debidas a la superposición de las ondas procedentes de las fuentes. Las ondas emitidas se suponen armónicas, y de la misma amplitud y frecuencia. Calculemos el valor de la perturbación resultante en cualquier punto del plano y la distribución de intensidades en el mismo.

Supongamos que las ondas emitidas por cada uno de los focos son:

r1, y r2, son las distancias respectivas a un punto genérico P del plano; e1, y e2, son las fases iniciales de cada una de las ondas. En general, e1, y e2, variarán con el tiempo de forma totalmente aleatoria (sobre todo en el caso de fuentes luminosas); si e1-e2 es constante, independientemente de su valor, las ondas se denominan coherentes. Para simplificar los cálculos, y sin merma del contenido físico, supondremos que la fase inicial de cada onda es nula, por lo tanto las fuentes son coherentes,. Téngase en cuenta que si e1-e2, no es constante, no sería posible llegar a los resultados que obtendremos en nuestro cálculo.

Aunque las ondas que emiten los focos son esféricas, podemos considerarlas, en primera aproximación, como planas si d > > a; y las figuras de interferencia como franjas, si nos limitamos a una pequeña región del plano, en las proximidades del punto 0.

La perturbación resultante en P será:

teniendo en cuenta que 

La onda resultante tiene la misma frecuencia que las ondas superpuestas, pero su amplitud es:

Como la intensidad de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda, por lo tanto:

Observamos que el valor de la intensidad en el plano es diferente para cada punto P. Existe, por lo tanto, una distribución espacial de intensidades; puesto que r1- r2, toma un valor diferente para cada punto. Para alguno de ellos Iserá máxima:

para otros I será nula:

En el plano, para el caso de la luz, se observarán unas zonas brillantes y obscuras, que son las denominadas franjas de interferencia.

Ondas estacionarias. (pulsa para ver un applet relativo a ondas estacionarias.)

Un caso particular de interferencias, fáciles de tratar matemáticamente y de gran importancia son las que se producen al superponerse dos ondas armónicas unidimensionales de la misma amplitud y frecuencia, que se propagan en la misma dirección, pero en sentidos contrarios. Sean estas ondas:

La perturbación compuesta es entonces:

Teniendo en cuenta que 

tendremos  que es la ecuación de una onda en el espacio ya que claramente no es una función de la forma  .

El patrón de la onda no se mueve pero sí lo hacen los elementos de la cuerda si pensamos en las ondas en una cuerda fija por un extremo a la pared que se agita por el otro extremo.

En cualquier punto cada elemento particular ejecuta un M.A.S con amplitud igual a  . La amplitud del M.A.S toma su valor máximo,  , en posiciones donde  ,

o  etc. Estas posiciones de máxima amplitud se

llaman antinodos o vientres. Como  , las posiciones de los antinodos están dadas por:

Los antinodos están separados por media longitud de onda.

Dado que  para valores de x tales  los elementos situados en estas posiciones no se mueven. Estas posiciones se llaman nodos y están dadas por:

 

7.-4.-Difracción

    Es el fenómeno que se presenta siempre que una onda se encuentra con un obstáculo, o una abertura, de dimensiones comparables a su longitud de onda. El obstáculo puede ser una casa, un poste, un disco, una varilla, etc.; la abertura, un pequeño orificio o rendija en una pantalla, las plumas de un ave, etc. En todos los casos se bloquea el paso de una parte del frente de onda.

 

7.-5.-Polarización.

Como los dos anteriores es un fenómeno específico de las ondas, sea cual fuere su dimensión, pero a diferencia de aquéllos sólo lo presentan las ondas transversales. El sonido, que como veremos, está constituidos por ondas longitudinales, no lo presenta. Es el fenómeno que permite decidir si una onda es transversal o longitudinal.

En las transversales, la propiedad física que se propaga (desplazamiento, campos  , etc.) lo hace en una dirección que es perpendicular a la de la onda. Ahora bien, direcciones que cumplan

esta condición hay infinitas: todas las que se encuentren en un plano perpendicular a la dirección de propagación de la onda. En general, la dirección de variación de la magnitud física o del campo, siendo perpendicular, variará al azar de unos puntos del medio a otros, cuando esto ocurre se dice que la onda transversal no está polarizada. 

 

7.-6 Efecto Doppler. (pulsa para ver un applet relativo al efecto Dopper)

El cambio de frecuencia debido al movimiento de la fuente (o del receptor) se llama efecto Doppler (en honor al científico austríaco Christian Doppler, 1803-1853). Cuanto mayor sea la velocidad de la fuente mayor será el efecto Doppler.

    El efecto Doppler se hace patente cuando un auto pasa junto a nosotros haciendo sonar la bocina. Cuando se acerca, el tono del sonido es más alto que lo normal (es decir, más alto en la escala musical). Esto se debe a que las crestas de las ondas sonoras llegan hasta nosotros con mayor frecuencia. Y cuando el auto se aleja, el sonido se hace más grave porque las crestas de las ondas llegan con menor frecuencia.

    La policía usa el efecto Doppler de las ondas de radar para determinar la rapidez de un auto. Las ondas de radar son ondas electromagnéticas de menor frecuencia que las ondas de luz y de mayor frecuencia que las ondas de radio. El sistema de radar de los autos de la policía las hace rebotar sobre un auto en movimiento y un ordenador, calcula la rapidez del auto respecto a la unidad de radar comparando la frecuencia de las ondas emitidas por la antena con la frecuencia de las ondas reflejadas

    La luz también presenta el efecto Doppler. Cuando una fuente de luz se aproxima aumenta la frecuencia medida, y cuando se aleja disminuye su frecuencia. El aumento en la frecuencia se llama desplazamiento hacia el azul porque la frecuencia se desplaza hacia la región de altas frecuencias del espectro de la luz visible,

que corresponde al color azul. La disminución de la frecuencia se llama desplazamiento hacia el rojo porque la frecuencia se desplaza hacia el extremo de bajas frecuencias del espectro, correspondiente al color rojo. Por ejemplo, la luz de las galaxias muestra un desplazamiento hacia el rojo. Midiendo el desplazamiento los astrónomos pueden calcular la rapidez con la que se alejan de nosotros.

b)Análisis Cuantitativo. Supongamos que tanto la fuente sonora como el observador se encuentran en movimiento respecto al medio en el que se propaga el sonido, con velocidades respectivas  y  , en la dirección de la recta que los une. Puesto que estas velocidades pueden tener el mismo u, opuesto sentido, y el observador puede estar situado delante o detrás de la fuente, resulta oportuno establecer un convenio de signos. Tomaremos como sentido positivo de  y  , el que va desde la posición de la fuente (F) hacia el observador (O); que corresponde a la dirección en que avanzan los frentes de onda dirigidos hacia el observador, de modo que la velocidad de propagación de la onda, V, es siempre positiva.

En la figura un observador 0 se encuentra inicialmente a una distancia l a la derecha de una fuente sonora F y tanto uno como otra se mueven de izquierda a derecha. De acuerdo con nuestro convenio de signos, tanto .como  . son positivos.

En t=0 la fuente emite una onda. Si  t es el tiempo que marca el reloj cuando llega al observador, se cumplirá:

hemos tomado para la velocidad de la onda V. (El hecho de que la onda sea engendrada por una fuente móvil no afecta a su velocidad

de propagación en el medio. La velocidad V viene determinada tan sólo por las propiedades del medio material en el que se propagan las ondas, siendo independiente del estado de movimiento de la fuente que las produjo. Esto es, las ondas se "olvidan" de la fuente tan pronto como la abandonan.)

en t=t emite una segunda onda, sea t' el tiempo que marca el reloj al llegar al observador, se tendrá:

El intervalo de tiempo, medido por el observador entre dos ondas emitidas por la fuente en F y F' es:

Recordando que la frecuencia es la inversa del periodo se tendrá por tanto: