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MISCELANEA

1. Contra la tecnocrucia.

En el prcl oqo de su libro " Cours d' Algebre Ji (Hermann) el profesor

Roger Godement trae vari os ccmentarios muy interesantes aunque no todos

ellos referentes exactarnente al algebra abstracta. Presentamos ensequida, en

traduccion del profesor Manuel Vinent un trozo de dicho prcloqo que juzqamos

de especial actualldad.

« Corriendo el riesgo de provccar, entre algunos .. aquellos sentimientos

de horror y consternacion que Paolo Ucello magistralmente ha representado en

la profal1aciol1 de la Hostia , nos es imprescindible declarar, ya que el asun-

to se plantea cada vez con mayor frecuencia, nuestro desacuerdo con numero-

sas personalidades que actualmente piden a los cientificos en general, y a

los matematicos en particular, la formacion de millares de tecnicos a quienes

sequn parece, necesitamos urgentemente para sobrevivir Siendo las casas

10 que son. creemos que en las " qrandes r : naciones superdesarrolladas cieu

tifica y te cnicamente en las cuales vivimos, el primer deber de los maternati

cos y de otros mucho s, deberia ser suministrar mas bien 10 que no se les pi' e,

a saber, hombres capaces de reflexionar per si mismos, de develar los arqu-

mentos falsos y las frases arnbiguas y para quienes la dlfuslon de la verdad

irnportara infinitamente mas, que, por ejemplo, la television planetaria tridi-

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mens ional en cclores. en una palabra, tener hombres Iibres en lugar de robots

para tecnocratas, Es tri stemente evi dente que Ia mej or manera de formal' estes

hombres de los cuales carecemos. no es ensefiarles las ciencias fisicas y tra-

tematicas ramas est as del saber donde los buenos modales consi sten precisa-

mente en simular que se ignora la existencta misrna de los problemas humanos

ya las cuales nue stras sociedades altamente civi l izad as conceden un luqar

privilegiado cosa que deberia parecerr.os s ospechosa, Pero aun ensefiando

las matemati cas puede 1'01'10 menos intentarse dar a las personas el gusto

par la libertad y la critica y acostumbrarles a verse tratadas como seres hu-

manes provistos de la facultad de comprender ». ,

2, Metodos poco ortodoxos para medir l a altura de un edificio per medio

de un b arometro .

lncluirnos a continuacion un fragmento del libra " The Teaching of

Elementary Science and MathematicsJ] POI' Alexander Calandra (Departamento

de Fisica de 121 Universidad de Washington SL LOUiS" Missouri) el cual nos

ha sido facilitado POI' el orofe sor Santiaqo Gamba a

Hace ya a!gu!l tiempo un col ega me llama para que actuara como arbi-

tro en un problema que se Ie habia presentado al ca!ificar la respuesta a una

pregunta de exarnen. Estaba a punto de poner cera a un estudiante POI' su con~

testacion a una pregunta de Ffsica en tanto que e! estlJd iante pretendia me"

recer la nota maxima sino fuera porque el sistema de evaiuacion estaba en

su contra

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Protesor y alumno se pusieron de acuerdo para someter la cue stion a un

arbitro imparcial, Y yo resulte elegido.

FUI a la oficina de mi colega Y lei la pregunta del examen : \\ Muestre

como es posible determinar la altura de un edificio alto con la ayuda de un ba-

rcrnetro ".

EI estudiante habia respondido : \\ L1eve el barornetro a la parte mas al-

ta del edificio, atelo a una cuerda larqa, bajelo con cuidado hasta la calle y

vuelvalo a subir. Mida la longitud de la cuerda y esta sera la altura del edifl-

cio ".

Senale que el estudiante tenia realmente argum entos valederos para pre

tender el puntaje que el pensaba Ie correspondia, ya que habra contestado la

pregunta en forma correcta y cornpleta. Pero, POI' otro lado, ponerle una buena

nota contrlbuiria a aprobarlo en un examen de un curse de Fisica, y una buena

nota suponia competencla en tisica: y no hay duda que la respuesta del estu .

diante no confirmaba esta suposicion .

Suqeri en consecuencia que se diera al alumno otra oportunidad para

responder Ia pregunta. Nome sorprendio que mi col ega aprobara Ia sugeren-

cia, perc si que tambien el estudiante estuviera de acuerdo.

Of entonces al alumno seis minutos para conte star la pregunta, con la

advertencia de que su respuesta debia demostrar alqiin conocimiento de f1si-

ca de su parte.

AI cabo de cinco minutos no habia encontrado nada. Le prequnte si de-

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seaba abandonar y me dijo que no que tenia muchas respuestas para este pro'

blema y estaba pensando cual era la rnejor de todas elias Le pedi disculpas

par interrumpirlo y Ie dije que continuara

En el minuto siguiente escribio su respuesta que decia "lIeve el ba-

rornetro al techo del edificio y ccloque lo al borde del techo Deje caer el ba-

rornetro midiendo cuanto tarda su caida con un cronometro Luegc usardo la

formula

usted puede calcular la altura del edificio " "

En es te memento de la cuest ion, prequnte a mi colega si estaba sati sfe-

cho. Estuvo de acuerdo y puso al alumna el puntaje crrrespondlente,

AI abandonar la oficina de mi colega recorde que el estudiante habia di-

choque tenia otras respuestas al problema de modo que le prequnte cuales

eran . Oh sf -dije- hay muchas maneras de obtener la altura de un edificio

alto con laayuda de un barornetro Par eje mplo usted puede tomar el barome-

ira Ilevario a la calle en un dia de sol y medir la altura de I barometro. la lor .:•

gitud de su sombra y la lonqitud de !a sombra del ed if icio luego. POI' calculo

de proporciones, puede determiner la altura del edific io "

i. Bien -dije- Y las otras ?

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" Sf -dijo el estudiante hay un metodo de medic ion muy elementa' que

usted sin duda aprobara. Con este metodo usted toma el barometro yempieza

a subir por las escaleras: a medida que 10 hace, va marcando en forma sucesi

va la longitud del barometro en la pared. Luego cuenta el numero de marc as y

tendra la altura del edificio en unidades de barornetro. Es un metodo rnuy direc

to. Por supuesto, si usted desea un.metodo mas sofisticado, pod ria atar el ba-

rometro en el extremo de un polin y hacerlo balancear como un pendulo : luego

determinar el valor de "g" al nivel de la calle y en el techo del edificio •

En principio, la altura del edificio puede ser calculada partiendo de la diferen

cia entre los dos valores de go Finalmente -termino diciendo- hay muchas

otras maneras de resolver este problema. Probablemente la mejor sea llevar el

barornetro al -sotano del edificio y golpear la puerta de la oficina del Adminis,

~rador. Y cuando el Admiriistrador aparezca decirle : Senor Admlnistra ~

dof aqui traiqo un herrnoso barometro: si usted me dice la altura de este edifi--

cio, yo Ie regalo el barometro " 0

En este momento prequnte al estudiante si conocia el rnetodo convencio ~

nal de responder a la pregunta. Admitio que sf, pero me manifesto que ya esta-

ba harto de que los profesores secundarios y universitarios pretendieran ense -

fiarle a pensar, a usar el metcdo cientifico y a explorar la lcqica profunda de

la materia de un modo sofisticado -como se hace a menudo con la nueva mate-

matica- en lugar de ensefiarle la estructura de la materia. Con esto en mente I

habia decidido revivir el escolasticismo como una brom a academica, para de-

safiar las aulas todavia asustadas por e! lanzamiento del primer Sputnik.

* * *

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3. Cglttor YS. Za,,,,,.,.tr •.

Habiendose .iniciado en este numero del Boletin la publicae ion de una

serie de articulos la cual comienza con una expostclon somera de aquellas

Ideas de George Cantor que contribuyeron en gran medlda at desarrollo de la

actual teoria de conjuntos, base y lengliaje de la M atemattca contemporanea,

no nos reststirnos a transcribir la primera parte del articulo \\ La doctrina de

los ciclcs" del escritor argentino Jorge Luis Borges:

«>Esa doctrina (que su masreciente inventor llama del Eterno Retorno) es

forraulable asi :

si n~mero de todoslosr!Ltomosque componen el mundo es, aunque des ~

mesurado, [inito, y solo capaz como tal de un nitmero [inito [aunque des mesu-

rado tambien ) de permutaciones . En un tie mpo in[initQ, el ntimero de las .per-

fft,aacionesposiblesdebe ser alcaneado, '1 el univers o tiene q"e repetirs e.lle

nuevo nac eras de un vientre, de nuevo ere cera tu es queleto, de nuevo arriba-

ra esta mis ma pagina a tusrnanos iguales, de ·nuevo cursaras .todaslashoras

hasta la de tu muerte incre ible, Tal es el orden habitualde aquel argumen':

to, desde el preludio insipido hasta el enorme desenlace amenazador. Es co-

mtin atributrlo a Nietzsche.

Ante-s de .refutarlo -ernpresa de que ignoro st soy capaz- conviene

concebir, siquiera de leios, las sobrehumanas cifras que invoca. Empiezo por

el 'Homo. EI diametro de un atomo de hidrogeno .ha sido calculado, salvo

error, en un cienmillonesimode centimetro. Esa vertigioosa pequenez no

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quiere decir que sea indivisible: al contrario, Rutheford 10 define seqiin la

imagen de un sistema solar, hecho por un nucleo central y por un electron gi-

ratorio. cien mil veces menor que el atomo entero. Dejemos ese nucleo y ese

electron, y concibamos un frugal universe, compuesto de diez atomos, (Se tra-

ta, claro esta, de un modesto universe experimental: invisible, ya que no 10

sospechan 100smicroscopies: imponderable, ya que ninquna balanza 10 aprecia-

ria.) Postulem os tambien -siempre de acuerdo con laconjetura de Nietzsche--

que el ruimero de cambios de ese universo es el de las maneras en que se pue-

den disponer los diez atonies, variando el orden en que esten colocados. i Cuan-

tos estados diferentes puede conocer ese mundo, antes de un eterno retorno ?

La indaqacicn es facil : basta multiplicar 1x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 xlO,

prolija operacion que nos da la cifra de 3.628.800. 5i una particula casi infi -

nitesimal de universo es capaz de esa variedad, poca 0 ninguna fe debemos

prestar a una monotonia del cosmos. He considerado diez atomos: para obte -

ner dos gramos de hidrcqeno, preclsariam os bast ante mas de un blllon de hi-

llones. Hacer el compute de los cambios posibles en ese par de qramos cvale

decir. multipUcar un bil lcn de billones por cada uno de los numerus enteros

que 10 anteceden - es ya una operacion muy superior a mi paciencia humana.

Ignoro si mi lector esta convencido; yo no 10 estoy. EI indoloro y casto

despilfarro de numerus enormes obra sin duda ese placer peculiar de todos los

excesos, perc la Regresion sigue mas 0 menos Eterna, aunque a plazo remote.

Nietzsche podria replicar : « los electrones giratorios de Rutherford son una

novedad para mi, aSI como la idea -tan escandalosa para un filoloqo- de que

pueda partirse un atorno. Sin embargo, yo jamas desmentl que las viscisitudes

de la materia fueran cuantiosas; yo he declarado solamente que no eran infini··

tas. ~ Esa versfmil contestacion de Friedrich Zarathustra me hace recurrir a

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Georg Cantor y a su heroica teoria de los conjuntos.

Cantor destruye el fundamento de la tesis de Nietzsche. Afirma la per-

fecta infinitud del ruimero de puntos del universe, y hasta de un metro de uni-

verso, 0 de una fracclon de ese metro. La operaclon de contar no es otra co-

sa para el que la de equiparar dos series. POl' ejemplo. si los primoqenltos

de todas las casas de Egipto fueron matados POl' el Angel; salvo los que ha-

bitaban en casa que tenia en la puerta una. sefial roja, es evidente que tantos

se salvaron como sefiales rojas habia, sin que importe enumerar cuantos

fueron, Aqu[ es indefinida fa cantidad; otras aqrupaciones hay en que es in~

fin ita. E I conj unto de los mime ros natural es es infin ito. pero es posib Ie de-

mostrar que son tantos los impares como los pares.

AI 1 corresponde el 2

AI 3 corresponde el 4

AI 5 corresponde el b, etcetera,

La prueba es tan irreprochable como baladi, perc no difiete de !a st-

guiente de que hay tantos rmiltiplos de tres mil dieciocho como mimeros hay

-sln excluir de estos al tres mil dieciocho y sus multiples.

AI 1 corresponde el

AI 2 corresponds el

Ai 3 corresponde el

AI 4 corresponde el

3018

b03b

905412072, etcetera.

Cabe af rmar 10 mi smo de sus paten ci as, POl' mas que estas se vayan

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ratifi cado a med ida que progresemos

AI 1 corresponde el 3018

AI 2 cor responde el 30182 = 9.108,324

A I 3 etcetera.

Una genial aceptacion de estes hechos ha inspirado la formula de que

una coleccion infinita verbigracia la serie natural de numerosentercs es una

col eccicn cuyos miembros pueden desdoblarse a su vez en series infinitas.

(Mejor, para eiudir toda ambiguedad : conjunto infinito es aquel conjunto que

puede equivaler a uno de sus conjuntos parciales) La parte, en esas elevadas

latitudes de la numeracion, no es menos copiosa que el todo : la cantidad pre-

cisa de puntos que hay en el universo es la que hay en un metro, 0 en un deci-

metro, 0 en l a.mas honda trayectoria estelar. La serie de los numeros naturales

esta bien ordenada : vale decir, los terminos que la forman son consecutivos;

el 28 precede al 29 y sigueal 27. La serie de los puntos del espacio (0 de los

instantesdel tiempol no es ordenable asi : ninqun numero tiene un sucesor 0

un predecedor inmediato. Es como la serie de los quebrados sequn la maqni-

tud. LQue fraccion enumeraremos despues de 1/2? No 51/100, porque 101/200

esta mas cerca; no 1011200 porque mas cerc a esta 2011400 ; no 201/400 porque

mas cerca •.• Igual sucede con los puntos, sequn Georg Cantor. Podemos

siempreintercalar otros mas, en numero infinito Sin embargo, debemos procu-

rar no concebir tamafios decrecientes. Cada punto «ya» es el final de una infi-

n itasubd ivi sian.

EI roce del hermoso juego de Cantor con el hermoso juego de Zarathustra

es mortal para Zarathustra, Si el universo consta de 'un nurnero infin ito de ter-

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minos, es rigurosamente capaz de un numero infinito de combinaciones - y fa

necesidad de un Regreso queda vencida. Queda su mera posibilidad, computa-

ble en cero ••

4. Ejercicios de rozonomiento.

En su magnifico texto \\ Introduce iOn a la logica" el profesor Irving M.

Copi presenta ciertos problemas cuya soluclon requiere razonamientos mas 0

menos lntrlnc ados. Algunos son reformulaciones de acertijos conocidos des-

de hace bastante tiempo, pero todos ellos son indiscutiblemente muy intere a

santes. He aqui algunos ejemplos.

1. En una cierta comunidad mitlca, los politicos siempre mienten y los no

politicos siempre dicen la verdad. Un extranjero seencuentra con tres

nativos y pregunta al primero de ellos sl es politico. Este re sponde

a fa pregunta. EI segundo nativo informa, entonces, que el primer nati·

vo neg6 ser un politico. Pero el tercer nativo afinna queel primer nativo

es realmente un politico.

LCuantos de estos tres nativos eran politicos?

2. De tres prisioneros que se hallaban en clerta carcel, uno tenia vision

normal, el otro tenia un solo ojo y el tercero era total mente ciego •. Los

tres eran, por 10 menos, de inteligencia media. EI carcelero dijo a los

prisioneros que de un conjunto de tres sombreros blancos y dos rojos ,

el eqlria tres de ellos y los .colocaria sobresus cabezas. Se prohibia a

cada uno de ellosque viera el color del sombrero que tenia sobre su

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propia cabeza. Se los reunio y el carcelero ofrecic la libertad al prisi o-

nero con vision normal si podia decir de que color era el sombrero que

tenia sobre su cabeza. EI prisionero confeso que no podia. l.ueqo, el

carcelero ofrecio la Iibertad al prisionero que tenia un solo oio, a con-

diclon de que dijera cual era el color de su sombrero. EI segundo prislo-

nero confeso que no podia decirlo. EI carcelero no se molesto el hacer

el ofrecimiento al prisionero cieqo, pero a pedido de este acepto conce-

derle la misma oportunidad, EI prisionero ciego esbozo entonces una an-

cha sonrisa y dijo :

"No necesito de mi vista; pues, por 10 que rnis amigos con oios han di-

cho, yeo claramente que mi sombrero es blanco ",

3, Habla un tren cuyo personal estaba formado per tres personas: eI quar-

dafrenos, el fogonero y el maquinista. Sus nombres, por orden alfabeti-

co, eran Jones, Robinson y Smith. En el tren viajaban tambien tres pa-

sajeros que tertian los mismos nombres: el senor Jones, el senor Robin-

son y el senor Smith. Se conocen los siguientes datos:

a) EI senor Robinson vive en Detroit.

b') EI guardafrenos vive a mitad de camino entre Detroit y Chicago.

c) EI senor Jones gana exactamente 10.000 ddlares al afio.

d) Smith en cierta oportunidad derroto al Ioqonero jugando al billar.

e) Un vecino del guardafrenos, que vive en una casa, situada junto a

la de este y es uno de los tres pasajeros mencionados, gana exac-

tamente tres veces 10 que gana:el guardafrenos.

f) EI pasajero que vive en Chicago tiene el mismo nombre que el guar-

dafrenos.

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L Cua] es el nombre del maquinista 7

4, Los miembros de una pequefia compafiia de prestamos son :' el senor

Black, el senor White, Ja senora Coffee, la senorita Ambrose, el senor

Kelly y I~ senorita Earnshaw. Los cargos que ocupan son :gerente; sub-..

gerente. contador, taquiqraf o, c ajero y of ic lnis ta, aunque no necesaria"

mente en este orden. EI subgerente es el nieto del gerente; el contador

es el yerno del taquigrafo; el senor Black es solte;o; el senor White tie-

ne 22 afios: la senorita Ambrose es la hermanastra d~1 cajero y el senor

Kelly es vecino del gerente,

i Cual es el cargo de cada uno de ellos ?

5, Benno Torelli, amable anf itrion del mas selecto nigth club de Hamtramck,

fue muerto a tiros POI' una banda deqansqsters prrque se atraso 'en el pa

go de la suma que res daba en concepto de prcteccion, Despues de un

considerable esfuerzo POI' parte delapol ida, esta logro Ilevar ante el

Fiscal del Distrito a cinco hombres. EI Fiscal les prequnto que era 10

. que pod ian declarar en su defensa. 'Cada uno de los hombres hizo tres

declaraciones , dos verdaderas y una falsa. Sus declaraciones fueron :

Lefty: "Yo no mate a T orel li. Nunca tuve un revolver de mi propie-

dad, Spike 10 mate s r ,

Red: "Yo no mate a Torelli. Nunca tuve un revolver de mi propie ~

dad. Los otros tipos estan tratando de sacarse el fardo de ell-.• . • • I •

clrna."

Dopey: '''Yo no se nada del asesinato. Nunca vi a Butch antes. Spike

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es el. culpable."

Spike: "Yo soy inocente. Butch es el culpable. Lefty mintio cuando di-

jo que habia sido yo./I

Butch: "Yo no se nada del asesinato. Red es el culpable. Dopey res-

pondera POl' mi: el me conoce desde hace afios."

l. Quien fue el culpable?

6. Las senoras Adams, Baker, Catt, Dodger Ennis y Fisk, esta ultima una

persona muy desal ifiada, una manana fueron todas de compras al Empori o.

Cada una de las mujeres fue directamente al pi so en el cual se hallaba el

articulo que queria comprar y cada una de elias compro solamente un artl-

culo. Compraron un libro, un vestido, una carters, una corbata, un sombre ..

1'0 y una tampara.

Todas las mujeres, excepto la senora Adams, entraron al ascensor en la

planta baja. Tambien entraron al ascensor des hombres. Dos mujeres, la

senora Catt y la que compro la corbata, descendieron en el segundo piso.

En el tercer piso se vendian vestidos. Los dos hombres descendieron en

. el cuarto piso. La mujer que compro la lampara descendio en el quinto pi-

so y dejo a la de sal ifiada senora Fisk que descendiera sola en el sexto

plso.

AI dia siguiente, la senora Baker, que reclbic la cartera como regalo

sorpresade una de las mujeres que habia descendido en el segundo piso,

encontro a su marido agradeciendo la corbata que una de las otras mujeres

Ie habia dado. Si en la planta baja se vend fan libros y la senora Ennis

fue la sexta persona que salle del ascensor, Lque compraron cada una de

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de esas mujeres ?

7, Cincobombres que fueron camaradas en fa ultima guerra asisten a una

reunion, Se trata de Green, Brown, Peters, Harper y Nash" cuyos oficios

son' grabador $ proyecti star bi oloqo, herrero y neurol oqo POl' cas ua!i dad

viven en las ciudades de Greenfield r Brownsville, Petersburg, Harper's

Ferry y Nashville, pero ninguno de el los vive en la c iudad que tiene un

nombre similar al 5UYO. ni el nombre de su ocupacion tiene la misma ini-

cial que su nombre 0 que la del nombre de la ciudad en la cual v ive,

Ei bioloqo no viv e en Petersburg .. Brown no es herrere ni proyectista

tampoco vive en Petersburg ni en Harpers Ferry. EI senor Harper vive

en Nashville y no es bidloqo ni qrabad or. Green no es residente de

Brownsvi! le. como tampoco Nash .. quien no es bioloqo ni herrero

Disponiendo solamente de la informacion dada, Lpuede usted determi

nar e l nombre de la ciudad en la que reside Nash?

Reffexion

Si nuestra logica hubiese side, POl' eiemplo. trivalente Shakespeare no

habria podido es cr ibir su Hamlet

C. Luque