1 ÁLGEBRA TEMA 3SAN MARCOS INTRODUCTORIO REPASO 2015- I

FACTORIZACIÓN

ÁLGEBRA - TEMA 3

I. DEFINICIÓNEs un proceso de transformaciones sucesivas en la cualun polinomio se expresa como una multiplicaciónindicada de sus factores primos, dentro de un camponumérico.

Factorización

Polinomio primo o irreductible

Es aquel polinomio que no acepta transformación amultiplicación indicada de dos o mas polinomios noconstantes, pertenecientes a dicho campo numérico.

II. CRITERIO DE FACTORIZACIÓN

A. Criterio del factor común y/o agrupación detérminos

El factor común es el factor que más se repite entodos los términos de una expresión, para factorizarse extrae el factor común pero elevado a su menorpotencia.

Ejemplo:

2P a;b a ab ac bc

a a b c a b

a b a c

= + + +

= + + +

= + +

B. Criterio de las identidades

En estos casos debe tenerse en cuenta los diversoscasos vistos en productos notables.

Ejemplo:

Factorizar: x 2 xz + y 2 yz + 2xy

Acomodando:

2 2

T.C.P2

x 2xy y xz yz

x y z x y

x y x y z

+ + – +

+ – +

+ + –

C. Criterio del aspa simpleSe utilizan en polinomios que adoptan la forma:

2n n n 2nax bx y cy+ +

Pasos a seguir:• Descomponer los extremos, a los cuales vamos

a llamar términos fijos.• Multiplicar en aspa y sumar los resultados y nos

reproduzca el término central.• Los factores serán las sumas horizontales.Ejemplo:Factorizar

30x 2 + 13 106x5x 2

5 2525

13x

+

Finalmente: (6x + 5)(5x – 2)

D. Criterio del aspa dobleSe utiliza este criterio para factorizar polinomios quetienen la forma general:

2n n m 2m n mAx Bx y Cy Dx Ey F+ + + + +

Pasos a seguir:• Se adecua el polinomio a la forma general en

caso falte uno o más términos se completa conceros.

• A los tres primeros términos se le aplica el aspasimple para comprobar el término Bxnym.

DESARROLLO DEL TEMA

FACTORIZACIÓNExigimos más!

2 ÁLGEBRA TEMA 3SAN MARCOS INTRODUCTORIO REPASO 2015- I

• Luego el último término se descompone en 2factores primos con la finalidad de comprobarlos términos Dxn e Eym, utilizando para ello dosveces el aspa simple.

• Los factores se tomarán con los elementos deuna misma fila.

Ejemplo:Factorizar

3x 2 + 10xy + 8y 2 + 14x + 22y + 153x 54yx 32y

Finalmente: (3x + 4 y

+ 5)(x + 2y + 3)

E. Criterio del aspa doble especialSe utiliza para factorizar polinomios que adopten laforma:

4n 3n 2n nAx Bx Cx Dx E+ + + +

El método consiste en descomponer los términosextremos de tal manera que al efectuar el productoen aspa y sumar los resultados nos de un valor igualo próximo al término central, la cantidad que falteo sobre será la que se descomponga en lostérminos centrales de los nuevos dos factores detal manera que comprueba cada uno de los términosdel polinomio.Ejemplo:

x 4 + 5x + 9x2 + 11x + 6x2

x2

4xx

32

Se observa que:Se tiene: 5x2

Se debe tener: 9x2

Se necesita: 4x2 = (4x)x

3

(x2 + 4x + 3)(x2 + x + 2)(x + 3)(x + 1)(x2 + x + 2)

F. Criterio de los divisores binomiosSe utiliza para factorizar polinomios de cualquiergrado y de una sola variable que aceptan factoresbinomios de la forma (ax b).

Cero de un polinomio: Es el valor o conjunto devalores que tienen la propiedad de anular adeterminado polinomio.

Ejemplo:F(x) = x3 + 3x – 4

Para x = 1

F(1) = 13 + 3(1) – 4 = 0 1 será un "cero" de F

Regla para calcular los posibles ceros de unpolinomio:

Posibes Divisorres del T.I.P.C.

Divisores del 1er Coef.Ceros= =

Ejemplo:E(x) = x3 – 11x2 + 31x – 21P.C. = 1, 3, 7, , 21,

Para x = 1 se anula, luego tendrá un factor (x – 1)determinado el otro factor por la regla de Ruffini.

1

1

1

-11

-10

31

21

-101

-21

21

0

E(x)=(x – 1)(x2 – 10x + 21) E(x)=(x – 1)(x – 7)(x – 3)

Problema 1Factorizar: 5r(p4 + q) – p2(r2 + 25q).

Luego indique un factor primo.

A) 5p2 + r

B) p2 – 5p

C) rp – q

D) pq + r

E) 5p2 – r

Resolución:

Agrupando los términos indicados y

factorizando parcialmente:

= 5p2(rp2 – 5q) – r(–5q + rq2)

= (rp2 – 5q) (5p2 – r)

Respuesta: E) (5p2 – r)

Problema 2Factorizar:

10x2 + 21y2 + 29xy

Hallar la suma de sus factores primos.

A) 4x + y B) 5x – 2yC) 5x – 3y D) 7x + 10yE) 4x + 2y

Resolución:

Finalmente:

(5x + 7y) (2x + 3y)

Respuesta: D) (7x + 10y)

PROBLEMAS RESUELTOS

Exigimos más!FACTORIZACIÓN

3 ARITMÉÁLGEBRATICA TEMA 3SAN MARCOS INTRODUCTORIO REPASO 2015- I

Problema 3Factorizar e indicar la suma de sus

factores primos.

12a2 – 59b – 63 – 7ab – 10b2 + 15aA) 5a + 2b – 2 B) 4a + 5b + 3C) 7a – 3b + 2 D) 8a + 5b – 2E) 3a + 2b + 3

Resolución:Ordenando y aplicando el criterio deaspa doble.

2 212a 7ab 10b 15a 59b 634a3a

5b– = + – –

–

2b

7–

9

NIVEL I

1. Factorizar:

4 3 5 3 2R a;b;c a b c a b b c= + + + +

4 3 2 4ac a c ab bc+ + + +

A) 3 3a b c a b c+ + + +

B) 2 2 2a b c a b c+ + + +

C) 3a b c a b c+ + + +

D) 2a b c a b c+ + + +

E) 3 2 4a b c a b c+ + + +

2. Señalar la suma de los factoresprimos de:

22 2 2x 4abx a b+ – –A) x B) x – 2abC) 2(x + 2ab) D) 2 22 a b+

E) a + b

3. Uno de los factores primos de:

x x 2a y y 2z z a z a– – – – + –

A) x + y + z + aB) x – y + z – aC) x – y – z – aD) x + y + z – aE) x + y + z

4. Indicar uno de los factores primos de:

22 2Q x x 5x 3 4x 33 20x= – + + – –A) 2x 5x 12+ +

B) 2x 5x 2+ –

C) 2x 5x 12– +

D) 2x 2+E) 2x 7x 4+ –

5. Factorizar el polinomio: 4P x x y x 3y x 4y x 6y 48y= – – + + +

Indique el número de factoresprimos.

A) 2 B) 4 C) 3D) 1 E) 5

NIVEL II

6. Factorizar:

2 2F x;y 6x 13x 6 8y 14y 16xy= + + + + +

Señalar un factor primo.A) 2x + 3y + 4B) 2x + 4y + 3C) 2x – 3y + 4D) 2x – 4y + 3E) 2x + 3y + 3

7. Señale el número de factores de:4 3 2E 6x 35x 62x 35x 6= – + – +

A) 2 B) 1 C) 3D) 4 E) 16

8. Luego de factorizar:

4 2 2 3 4P x x P 1 x P 2P x P P= – + + – + –Hallar la suma de sus factoresprimos.

A) 2x P– B) PC) 2P D) 22x P–E) 2x P+

9. Hallar la suma de los cuadrados delas cantidades que anu la elpolinomio:

3 2x 10x 31x 30– + –A) 25 B) 5 C) 4D) 38 E) 36

10. Factoriza:

3 2R x 10x 9x 17x 6= – + –e indique la suma de los términosindependientes de sus factoresprimos.A) –2 B) –1 C) 1D) 3 E) 8

11. Cuántos factores algebraicos seencuentran en:

5 4 2P x x 4x 10x x 6= + – – +luego de factorizar.A) 4 B) 24 C) 23D) 5 E) 6

12. Señalar un factor primo lineal delsiguiente polinomio:

6 5 4 3 2F x x 2x 3x 4x 3x 2x 1= + + + + + +A) x + 2 B) x – 1C) x – 3 D) 2x 1+E) x + 1

NIVEL III

13. Proporcionar el número defactores de:

12 9 6 3P x;y x 4x 6x 4x 1= – + – +

A) 25 B) 24 C) 14D) 2 E) 8

14. Dado el polinomio:

3 2 2 3Q x;y x ax y bxy cy= + + +

sabiendo que 2x y+ es unfactor de Q x;yCalcule: 2a – bA) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

15. Factorizar:

7 2P x x x 1= + +

A) 2 5 4 2x x 1 x x x x 1– + – + – +

B) 2 5 4 2x x 1 x x x x 1+ + – + – +

C) 2 5 4 2x x 1 x x x x 1+ + + + – +

D) 2 5 4 2x x 1 x x x x 1– + + + – +

E) 2 2 3x x 1 x x 1 x x 1+ + – + + +

Finalmente:(4a – 5b – 7) (3a + 2b + 9)

Luego factores primos:

7a – 3b + 2

Respuesta: C) (7a–3+2)

problemas de clase