dragodsm.com.ardragodsm.com.ar/pdf/dragodsm-xi-jornadas-investigacion-aula-la... · XI JORNADAS DE...

XI JORNADAS DE INVESTIGACIÓN EN EL AULA DE MATEMÁTICAS. LA GEOMETRÍA

Granada, Facultad de Ciencias de la Educación 17, 18 y 19 de Noviembre

15, 16 y 17 de Diciembre de 2005 Organizadores

Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES

Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada.

Patrocinadores

Vicerrectorado de Planificación, Calidad y Evaluación Docente de la Universidad de

Granada

Consejería de Educación de la Junta de Andalucía

Delegación Provincial de Educación y Ciencia de Granada,

Con la colaboración de la Facultad de Ciencias de la Educación y los Centros del

Profesorado de Granada.

Comité de Honor

Vicerrector de Planificación, Calidad y Evaluación Docente, Universidad de Granada.

Presidente de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES

Decano de la Facultad de Educación de la Universidad de Granada

Delegada Provincial de la Consejería de Educación de la Junta de Andalucía

Directora del Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada

Comité Organizador Comité Científico

Pablo Flores Martínez Luis Rico Romero

Antonio Moreno Verdejo Pablo Flores Martínez

Margarita García Schiaffino Antonio Moreno Verdejo

José Luis Lupiañez Gómez

José María Cardeñoso Domingo

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

La SAEM Thales y el Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad

de Granada organizan las XI Jornadas de Investigación en el Aula de Matemáticas.

Durante estos once años las Jornadas se han convertido en un referente de reflexión e

intercambio de experiencias profesionales para los profesores de matemáticas de todos

los niveles.

Este año el tema central de las Jornadas es La Geometría. Con su celebración

pretendemos facilitar la reflexión acerca del papel que ha desempeñado y desempeña en

la actualidad la Geometría, y su aprendizaje y enseñanza. Los últimos estudios muestran

que nuestros alumnos tienen peores resultados en geometría que en otras ramas, por lo

que necesitamos pensar en cómo enseñarla, qué recursos existen y qué función tienen.

Como en años anteriores, el programa se desarrolla a lo largo de dos fines de semana y

en él es de destacar la celebración de conferencias y talleres. Las primeras abordarán

ideas generales sobre la historia de la enseñanza de la Geometría, y sobre aspectos de la

Geometría educativa. Los talleres acercarán experiencias desde el aula, con la intención

de darnos sugerencias sobre estrategias innovadoras, que nos ayuden en nuestra práctica

educativa.

Habrá espacio, además, para la presentación de comunicaciones que muestran el trabajo

de los docentes e investigadores sobre el tema que estructura las jornadas y una mesa

redonda que permitirá intercambiar puntos de vista sobre las finalidades, métodos y

recursos que la Educación Matemática afronta en la enseñanza y el aprendizaje de la

geometría.

Contactos: Pablo Flores ([email protected], 665314681, 958242845) Antonio Moreno ([email protected], 958303902)

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

PROGRAMA DÍA HORA ACTIVIDAD AULA

17 h. Entrega de material Entrada

18 h. Apertura de las Jornadas Aula Magna

17 Noviembre

18:30 h

Conferencia de D. Ceferino Ruiz (Dpto. Geometría, U.Granada).

Geometría estática vs. Geometría Dinámica

Aula Andrés Manjón

17 h.

Conferencia de D. Eloy Domínguez (IES Severo Ochoa,

Granada): La Geometría en secundaria.


Talleres: Materiales para la enseñanza de la geometría. Dª. María José Jiménez, Dª. Rosana Martín y D.

Luis Berenguer (IES Américo Castro, Huetor Tajar).

Seminario de Didáctica de la

Matemática

18 Noviembre

19 h.

Matemáticas, desde la reflexión histórica al aula de Geometría. Dª. Ana Argüello y D. José María

Cardeñoso

Aula ATD (planta baja)

Talleres

Materiales para la enseñanza de la geometría.


Matemática 9:30 h.

Matemáticas, desde la reflexión histórica al aula de Geometría.

Aula ATD (planta baja)

19 Noviembre

12 h.

Conferencia de Dª. Patricia E.

Balderas (Universidad Autónoma de México):

“Visualización y uso de tecnología en el aula”


DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

17 h.

Mesa redonda

“La enseñanza y el aprendizaje de la Geometría”. Coordinadora:

Dª. Margarita García.

Aula Andrés Manjón 15

Diciembre

19:00 Comunicaciones


17 h.

Conferencia de D. Baltasar Pradas (Escultor): “Esculturas

regladas: Construyendo la Geometría”


Talleres: Gymkhana matemática. Dª. María Ángeles Benitez

y Dª. Flores Serrano (Profesoras Secundaria, Córdoba)

Aula ATD 16

Diciembre

19:00

El truco está en la geometría. Grupo LaX


Matemática Talleres:

Gymkhana matemática Aula ATD

9 h. El truco está en la geometría.


Matemática

11:15

Conferencia de D. Antonio Aranda (Dpto Álgebra,

Universidad de Sevilla): “La Geometría en la resolución de

problemas”.


12:30 Clausura de las Jornadas Aula Andrés Manjón

17 Diciembre

13 h.

Asamblea provincial de la

S.A.E.M. Thales


DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

XI Jornadas de Investigación en el Aula de Matemáticas La Geometría Prólogo.

Si tuviésemos que señalar alguno de los diferentes temas o apartados que hay en las matemáticas como el más consustancial con nuestro devenir diario, creo que deberíamos apuntar la Geometría. Y sin embargo no es así como respondería la mayor parte de la gente a la que preguntáramos. ¿Qué es lo que provoca esa respuesta? Se diría que en cierta manera somos contradictorios, porque lo que la mayor parte de las personas temen de las matemáticas, los números, es aquello que consideran como más representativo de esta materia. Y no podemos decir esto sólo de los estudiantes, lo mismo se puede afirmar de muchos profesores y maestros: la parte más temida es aquella a la que se dedica más tiempo.

Unas Jornadas como las presentes, dedicadas a pensar y a trabajar en torno a los problemas de la Geometría en la educación, son bienvenidas y llenas de esperanza para avanzar hacia los objetivos que nos marcamos los profesores e investigadores en educación. Entre esos objetivos podríamos colocar la necesidad de repensar continuamente el papel de la educación y de la educación matemática en la vida de nuestros estudiantes, y ello incluye el repensar, el reflexionar y el criticar, aquellas cosas que contamos o hacemos en la clase de matemáticas, su papel en la vida diaria fuera de las aulas y el papel que tendrá en el futuro de nuestros estudiantes.

Si hablamos de una escuela constructivista, la construcción del mundo matemático debería comenzar por la Geometría, ¿lo hacemos así? No sé si es necesario recurrir a la historia de las matemáticas y tratar de emparejar ontogenia y filogenia, o sería suficiente con abrir los ojos y acostumbrar a nuestros estudiantes a abrirlos ellos también y comprender la necesidad de implicar lo que se conoce en matemáticas con el discurrir de los acontecimientos diarios. ¿Hay algo más real que lo que nos rodea, el espacio en que nos movemos, en tres dimensiones, rodeados por cosas que tienen una forma que responde a unas necesidades concretas? Es reiterativo volver a escribir aquí que lo primero que nos encontramos es el espacio, la Geometría, y sin embargo en la escuela, lo primero que nos encontramos en la clase de matemáticas es el número. Pero no por reiterativo es superfluo.

Algunos pensarán que el grito de Jean Dieudonné, “¡Abajo Euclides!”, en el año 1959, ya ha sido contestado suficientemente con las reformas de los años 70, pero necesitamos algo más. Los comentarios y las consecuencias que aparecen al analizar los resultados del Proyecto PISA, nos llevan a afirmar que no es necesario ampliar el programa de matemáticas, sino cambiar la manera de llevar a cabo ese programa. En un mundo en el que se precisa cada vez más una comprensión y una visión holísticas, la enseñanza de la Geometría tendría que ser un puntal esencial para ello. Después de haber dejado atrás unos años en donde los contenidos geométricos estaban alejados de toda referencia al razonamiento y a la demostración, y casi eran tratados como ejemplos donde practicar los contenidos aritméticos o de medida, deberíamos empezar a contemplar la Geometría como una parte esencial del currículum, que sirve para construir modelos de nuestra realidad y que nos ayuda a su interpretación. La Geometría se puede convertir en una herramienta para el razonamiento y la explicación del mundo,

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

En el año 1999, a las puertas de este nuevo siglo, Emma Castelnuovo se refería, en las IX JAEM, al Proyecto PISA como una esperanza para luchar contra el desánimo y la pasividad de los jóvenes. Hablaba Emma de la exigencia de basar la evaluación en la comprensión de amplios capítulos, a la necesidad de recurrir a la conexión, la intuición y la fantasía. ¿No deberían pasar todas esas exigencias a través de los capítulos de la Geometría? ¿Es realmente algo que estamos dispuestos a hacer en nuestras aulas, en cualquier nivel educativo?

De manera diferente a lo que sucede en las aulas, en la investigación no se da ese alejamiento de la Geometría. Los artículos y publicaciones relacionados con la enseñanza de la Geometría están, en cantidad, a la altura de los relacionados con la aritmética y muy por encima de los que tratan de álgebra, de análisis o de estadística. ¿Qué nos hace pensar esta situación? ¿Son provechosos para el aula estos trabajos de investigación? ¿A quien podemos culpar de que, frente a resultados de investigaciones que hacen propuestas de cambio para la enseñanza de la geometría y estudian problemas y dificultades en su aprendizaje, el día a día en las aulas de Geometría sea, en una gran mayoría de ellas, muy similar al de hace veinte o más años?

De la misma manera que frente a las propuestas de introducción de la calculadora en el aula (desde hace más de veinte años), una gran mayoría de profesores y maestros siguen retrasando su empleo en las aulas de aritmética, la lenta introducción de los ordenadores en las aulas no ha permitido obtener todo el beneficio de los programas de geometría dinámica, para la enseñanza y el razonamiento geométricos.

La atención a la formación de profesores parece un tema clave en los problemas que se han esbozado. El ejecutor de los cambios y novedades en la enseñanza de la Geometría va a seguir siendo el profesor en su aula, y es necesario que se inviertan grandes esfuerzos en su formación. Será necesario que los ‘estudiantes para profesores’, además de conocer las técnicas de enseñanza y las herramientas para trabajar los contenidos geométricos y de estar informados de los problemas de su aprendizaje, dispongan de una actitud de búsqueda y de interrogación para poder plantear problemas y situaciones que lleven a sus futuros alumnos a comprender la necesidad de ese conocimiento geométrico. De lo que se trata es de hacer surgir el conocimiento geométrico de las acciones cotidianas, del entorno. Y para lograrlo tendremos que situar el objetivo no en la Geometría, ni en las matemáticas, el objetivo lo debemos colocar en la educación de los estudiantes.

En vísperas del debate y la aprobación de la LOE, es necesario que todos nos planteemos el papel que cada uno desempeñamos o podríamos desempeñar, en el desarrollo educativo de nuestro país. En nuestro trabajo no podemos considerar la Geometría como un fin en sí mismo solamente. Si desde la educación queremos trabajar en Geometría (y lo mismo podríamos decir de otros temas o materias) es porque se trata de un conocimiento importante en la formación de los estudiantes de todas las edades. El último de los fines (aunque supongo que no por ello el menor en importancia) que establece el anteproyecto de la LOE para el sistema educativo español es “La preparación para el ejercicio de la ciudadanía y para la participación activa en la vida económica, social y cultural, con actitud crítica y responsable y con capacidad de adaptación a las situaciones cambiantes de la sociedad del conocimiento”. Sería ideal que en cada clase de Geometría, los profesores se cuestionaran cómo lo que están haciendo en ellas los estudiantes contribuye a este fin.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Durante estas dos semanas, los profesores convocados por el Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada y la S.A.E.M. “Thales”, en esta nueva edición de la Jornadas de Investigación en el Aula de Matemáticas, debatirán y reflexionarán sobre la Geometría, sobre su enseñanza y su aprendizaje. Las conferencias y los talleres programados serán un vehículo para enlazar investigación y práctica educativa y así buscar, entre todos, la mejora de la educación geométrica de todos los estudiantes.

Enrique de la Torre Fernández

A Coruña, noviembre de 2005.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

1 / 13 /

Ceferino Ruiz Garrido Geometría Estática vs. Geometría Dinámica

Geometría Estática vs. Geometría Dinámica. De la Geometría de los objetos a la Geometría por las transformaciones.

Ceferino Ruiz Garrido

Catedrático de Geometría y Topología Universidad de Granada

Contenido: 1 Geometría estática 2 Los Elementos de Euclides 3 Las Geometría no euclídeas 4 Geometría dinámica: Las Transformaciones geométricas. 5 El programa de Erlange o la unificación de las geometrías 6 Movimientos euclídeos. 7 Otras Transformaciones geométricas. Bibliografía

1 Geometría estática. Al buscar geometría en el diccionario web de la RAE, encontramos:

(Del lat. geometrĭa, y este del gr. γεωµετρία). 1. f. Estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el

plano o en el espacio. La palabra griega γεωµετρία es una palabra compuesta de γεω, tierra; y de µετρώ, medida.

La geometría así entendida es una la rama de las matemáticas que se ocupa de

estudiar propiedades estáticas de objetos reales, sean planos o del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos

como el cálculo del área, perímetro y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos.

1.1 Elementos geométricos • Puntos • Líneas: segmentos, curvas, ... • Figuras: polígonos, poliedros, superficies, variedades, ... • Medidas: longitudes, áreas, volúmenes, ángulos, curvaturas, ... • Relaciones: igualdad, similitud, conforme, equivalencia, ...

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

2 / 13 /


Estos elementos aparecen en cualquier construcción gráfica que incluya elementos geométricos, sin ir más lejos, el símbolo del euro corresponde a patrones geométricos bien definidos.

1.2 Antecedentes históricos En el siglo VI a.c. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la

geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados.

Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios. Los axiomas.

Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación:

Una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos

Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran:

la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos

o el muy conocido como Teorema de Pitágoras:

el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

La geometría demostrativa de los griegos se ocupaba de triángulos, polígonos y

círculos, con el análisis de sus propiedades principales, así como de sus correspondientes figuras tridimensionales. Esta geometría fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides.

1.3 Euclides de Alejandría Euclides (¿365 a.c.- 300 a.c.?) es, sin lugar a dudas, el

Matemático más famoso de la antigüedad y quizás el más nombrado y conocido de la historia de las Matemáticas. Se conoce poco de la vida de Euclides, sin embargo, su obra sí es ampliamente conocida. Lo que sabemos de su vida nos ha llegado a través de los comentarios del historiador griego Proclo (411-485).

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

3 / 13 /


2 Los Elementos de Euclides La obra más importante de Euclides es un tratado de geometría que recibe el título

de "Los Elementos". Ha tenido más de 1.000 ediciones desde su primera publicación en imprenta en 1482. Es en este punto editorial donde se la compara a “La Biblia”. Se puede afirmar, por tanto, que Euclides es el matemático más leído de la historia.

“Los Elementos” consta de trece libros, aunque no todos son de geometría, versan fundamentalmente sobre Geometría y Aritmética. La obra es importante, no tanto por la originalidad de sus contenidos, sino por la sistematización, el orden y la argumentación con la que está constituida. A lo largo de siglos sólo se pensó en Geometría como la Geometría de los Griegos; o lo que es lo mismo, la Geometría de Euclides.

“Los Elementos” fue libro de texto durante siglos. Su contenido se ha enseñado (y aún se sigue de alguna manera) hasta el siglo XVIII, cuando aparecen las geometrías no euclídeas.

En esta obra, Euclides recopila, ordena y argumenta los conocimientos geométrico-matemáticos de su época, que ya eran muchos. Construye su argumentación basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se deduce todo lo demás) que él llamó postulados.

2.1 Los postulados Aunque nuestro tema no es el análisis de los postulados de Euclides, podemos

recordar los famosos cinco Postulados de Euclides, que son los siguientes: I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une. II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección. III.- Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y con radio cualquiera. IV.- Todos los ángulos rectos son iguales. V.- Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este quinto axioma es conocido con el nombre de “axioma de las paralelas”, y también se enunció más tarde así: V.- Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.

El quinto axioma, que al parecer no satisfacía al propio Euclides, ha sido el más controvertido y dio pie en los siglos XVIII y XIX, por contraposición, al nacimiento de las llamadas Geometría no-Euclídeas.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

4 / 13 /


2.2 Otras versiones del axioma de las paralelas Algunas proposiciones equivalentes al axioma de las paralelas (postulado V) son:

Playfair (1748-1819): Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela y sólo una. Proclo: Dos rectas paralelas están entre si a una distancia finita. Proclo intenta demostrar el quinto postulado como consecuencias de los otros cuatro y descubre que una demostración atribuida a Ptolomeo (85-165) era falsa. Legendre (1752-1833): Existe un triángulo en el cual la suma de sus tres ángulos vale dos rectos. Saccheri (1667-1733) y Laplace (1749-1927): Existen dos triángulos no congruentes, con los ángulos de uno respectivamente iguales a los del otro. Legendre y Lorentz (1852-1928): Por un punto cualquiera interior a un ángulo menor que dos tercios de rectos pasa una recta que corta a ambos lados del ángulo. Gauss (1777-1855): Si k es un entero cualquiera, siempre existe un triángulo cuya área es mayor que k. Bolyai (1802-1860): Por tres puntos no alineados pasa siempre una única circunferencia.

3 Las Geometría no euclídeas A principios del siglo XIX, el matemático alemán Carl Friedrich Gauß, el ruso

Nikolái Ivánovich Lobachevski (1792-1856) y el húngaro János Bolyai demostraron

por separado la posibilidad de construir un sistema geométrico coherente, en el que el postulado de la paralela única de Euclides se reemplaza por otro que nos dice: Se puede dibujar un número infinito de paralelas a una recta que pasan por un punto

exterior a ésta.

Lobachevski escribe en un librito de 1840 lo que sería el tema crucial de las geometrías no euclídeas, el paralelismo:

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

5 / 13 /


“Todas las rectas de un plano que pasan un punto dado pueden, con referencia a otra línea recta del mismo plano, clasificarse en dos clases: las que la cortan y las que no la cortan. Las líneas limítrofes de una y otra clase son las que se llaman paralelas a la recta dada”.

Lobachevski sustituye el quinto postulado de Euclides por el siguiente axioma

de las paralelas: VL.- Existen dos rectas paralelas a una recta dada pasando por un punto que no está sobre la recta.

La equivalencia entre estos modelos viene dada por la trasformación de Legendre:

Pero esta geometría no fue fruto del azar o de la buena suerte. Muchos matemáticos anteriores a Bolyai y a Lobachevski habían tratado el problema de las paralelas y habían obtenido resultados para geometrías no euclídeas, aunque no contasen con un modelo en el que materializar esos resultados.

En este sentido podemos destacar a Johann Heinrich Lambert (1728-1777), quién escribió en 1766 su “Theorie der Parallellinien” y demostró, asumiendo que el postulado de las paralelas es falso, muchos de resultados no euclídeos. Por ejemplo, que en esas geometrías las suma de los ángulos de un triángulo decrece como aumenta su área. Trabajó mucho con cuadriláteros trirectángulos, hoy denominados de Lambert.

Algo similar había hecho el ya mencionado Giovanni Girolamo Saccheri. Sobre una base construye un cuadrilátero birectángulo con dos lados puestos iguales, y prueba que los ángulos superiores son iguales. Estos cuadriláteros se conocen como actualmente como de Saccheri. La prueba se basa en propiedades de congruencias de triángulos demostradas por Euclides en las Proposiciones 4 y 8, sin utilizar el quinto postulado. Saccheri considera, en 1697, tres posibilidades: a) Los ángulos superiores son > 90º (hipótesis del ángulo obtuso). b) Los ángulos superiores son = 90º (hipótesis del ángulo recto). c) Los ángulos superiores son < 90º (hipótesis del ángulo agudo).

Más tarde, alrededor de 1860, el matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866) mostró que una geometría en la que no existen líneas paralelas también es posible.

Los detalles de estos dos tipos de geometría no euclídea son complejos, pero ambos se pueden mostrar utilizando modelos sencillos.

La geometría de Riemann o riemanniana o geometría no euclídea elíptica, es la geometría de la superficie de una esfera en la que todas las líneas rectas son los círculos máximos (intersecciones de planos que pasan por el centro O de la esfera). Se

2 2

2( , ) ( ,1 )(1 )

x y x yx y

→ ⋅ ++ +

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

6 / 13 /


comprueba fácilmente la imposibilidad de dibujar un par de líneas paralelas en esta superficie.

Para distancias relativamente pequeñas, la geometría euclídea y las no euclídeas, tanto hiperbólica como elíptica, son esencialmente equivalentes.

Sin embargo, al trabajar con el abiertos grandes, como el espacio astronómico o con problemas de la física moderna como la relatividad o la teoría de propagación de ondas, ciertas las geometrías no euclídeas dan una descripción más precisa que la euclídea de los fenómenos observados.

Por ejemplo, la teoría de la relatividad desarrollada principalmente por Albert Einstein (1879-1955) está basada en una geometría riemanniana, semidefinida, de espacio curvo.

4 Geometría dinámica: Las Transformaciones geométricas. A la vez que se desarrollan nuevas geometrías, como las mencionadas no euclídeas

o la geometría proyectiva, surge la idea de estudiar las transformaciones de los espacios considerados y las propiedades que quedan invariantes por las mismas.

Según el tipo de geometría considerada aparecen en la literatura múltiples conceptos de transformaciones geométricas:

Isometrías, Homotecias, Inversiones, Afinidades, Congruencias, Semejanzas o Conformes, Proyectividades, Homeomorfismos Difeomorfismos, de Cayley, de Lorentz, ...

4.1 Antecedentes de las Transformaciones Proyectivas Las primeras ideas de Transformaciones Proyectiva aparecieron en la actividad

práctica de artistas y arquitectos del Renacimiento. Los pintores Fra Angelico (1378-1455) y Paolo Uccello (1397-1475) se valieron de la perspectiva para crear impresión de profundidad.

La necesidad de una base matemática para su trabajo era clara para los artistas de la época, y la elaboró el arquitecto Filippo Brunelleschi (1377-1446). Después, Tommaso Masaccio (1401-1428) y Andrea Mantenga (1431-1517) la asumieron definitivamente para la pintura.

Piero della Francesca (1416-1492), Leone Battista Alberti (1404-1472) y Albrecht Dürer, Durero (1471-1528) reflexionaron sobre las nociones

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

7 / 13 /


de proyección y sección en su afán de entender el problema de la representación plana de un objeto real tridimensional .

Leonardo da Vinci (1452-1519) trató con rigor el tema de la perspectiva, ideando algunas técnicas como la denominada perspectiva aérea

Hans Holbein el Joven (1497-1543) mostró en alguno de sus cuadros el fenómeno de la anamorfosis, comportamiento paradójico ya descrito por el propio Leonardo.

4.2 Las transformaciones de Möbius Pero en el campo de la Geometría, las transformaciones tuvieron su desarrollo en

los siglos XVIII y XIX con el avance de la Geometría Proyectiva. Fue August Ferdinand Möbius (1790-1868) quién distinguió cuidadosamente entre los distintos tipos de transformaciones de un plano: (a) Congruencias: cuando las figuras que se corresponden son iguales, es decir, se conservan longitudes y ángulos. (b) Semejanzas: cuando las figuras que se corresponden son semejantes, es decir, se conservan ángulos. (c) Afinidades: cuando se conserva el paralelismo, pero no necesariamente la longitud ni la forma. (d) Colineaciones: cuando las rectas se transforman en rectas.

Möbius se ganó la vida como astrónomo. Utilizó coor-denadas para representar las curvas y superficies mediante ecuaciones homogéneas, de ahí el nombre de las coordenadas más usuales de la Geometría Proyectiva.

Fue el creador de la banda que lleva su nombre, que aquí mostramos en dos versiones, una lúdica (Parque de las Ciencias de Granada) y otra escultórica (Robinson: Immortality); pero eso corresponde a otra cuestión.

5 El programa de Erlange o la unificación de las geometrías Felix Christian Klein (1849-1925) ve posibilidades unificadoras de las geometrías

a través del concepto de Grupo (de transformaciones) y en su “Programa de Erlangen”, escrito en 1872, muestra cómo sirve para caracterizar las diversas geometrías aparecidas durante el siglo XIX.

Según ese programa:

Una Geometría es un espacio subyacente sobre el que actúa un grupo de transformaciones.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

8 / 13 /


Klein prioriza el sentido dinámico de la Geometría, ya que sólo concibe una

Geometría si se tienen bien definidas los movimientos de la misma. De este modo, dejan prioridad las cualidades estáticas de los objetos a favor de las propiedades dinámicas de la geometría. El grupo de trasformaciones de una geometría, conocido como grupo de movimientos de la misma, tiene, necesariamente, una estructura algebraica de Grupo y está formado por transformaciones biyectivas del conjunto subyacente, o espacio de la Geometría.

Pero a este concepto de geometría global, con transformaciones globales, se le escapa la Geometría diferencial de variedades introducida por Riemann a través del concepto de multiplicidad n-dimensional.

Hasta entrado el siglo XX no aparecería el concepto actual de variedad diferenciable, donde las transformaciones son locales y forman un grupoide (categoría con elementos inversos).

Fue Élie Joseph Cartan (1869-1951) quien hizo trabajos fundamentales en la teoría de Grupos de Lie y sus usos geométricos. Por su propio criterio, el tema principal de los 186 trabajos de Élie Cartan publicados a través del período 1893-1947, fue la Teoría de Grupos de Lie. Habían sido introducidos por Marius Sophus Lie (1842-1899) y el mencionado Felix Klein.

La idea de Lie radica en suponer que si se conocen las transformaciones que dejan invariantes las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales (ordinarias o en derivadas parciales), conociendo una solución particular se conocerían todas las demás soluciones.

También Cartan introdujo el concepto actual de Grupo algebraico, que no sería desarrollado seriamente antes de 1950. Hasta tan reciente fecha, los grupos eran necesariamente grupos de Transformaciones de algún espacio o conjunto.

Definió la noción general de forma diferencial exterior; su enfoque de los grupos de Lie con las ecuaciones de Maurer-Cartan: requería 2-formas para su determinación.

Sin los trabajos de Cartan, en particular

la teoría del repère mobile no se concibe la aparición de la famosa Teoría de la Relatividad de Albert Einstein, quién recibió el Premio Nóbel de Física en 1921, aunque no fue por la relatividad, sino por su trabajo de 1905 sobre el efecto fotoeléctrico.

[ ], 0dθ θ θ+ =DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

9 / 13 /


6 Movimientos euclídeos. Volvamos a la Geometría de Euclides y mirémosla con los ojos de Felix Klein.

Podemos analizar cuales son las transformaciones que caracterizan la geometría

llana. Son las isometrías, es decir, las trasformaciones que conservan la distancia entre los puntos.

Aparte del espacio sobre el que nos movemos, una cuestión esencial es el tipo de medida o métrica que se está utilizando para medir distancias.

6.1 En 2D Tomando la métrica usual, tenemos los Movimientos euclídeos del plano. Estos

se clasifican, de acuerdo a sus puntos fijos a si conservan o no la orientación (directos o inversos) según la siguiente tabla

Directos Inversos

Sin puntos fijos Traslaciones Deslizamientos

Con puntos fijos Giros Reflexiones

Traslación

Giro

Los elementos esenciales son las reflexiones, simetrías axiales o simetrías

respecto de rectas ya que las traslaciones son el resultado de componer dos reflexiones respecto de rectas paralela, y los giros lo son respecto de rectas que se cortan. La

Deslizamiento

Reflexióno Simetría

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

10 / 13 /


simetría central o semigiro es el resultado de componer dos reflexiones respecto de rectas con ejes perpendiculares.

Por último, los deslizamientos, también llamados reflexiones en deslizamiento, son el producto de tres reflexiones consecutivas; de hecho, se pueden descomponer el el producto de tres reflexiones respecto de restas dos de ellas paralelas y una tercera perpendicular común a las anteriores.

6.2 Rosáceas, Frisos y Mosaicos Por composición repetida de movimientos euclídeos podemos construir Rosáceos

(cuando todos los movimientos dejan fijo un punto), Frisos (si todas las traslaciones van en una misma dirección) y Mosaicos o Kaleidoscopios (si hay traslaciones en dos direcciones independientes).

Ejemplos de estas figuras los encontramos en muchos elementos de decoración geométrica, componente esencial de la decoración que caracteriza el Arte Nazarí, uno de cuyos mejores exponentes es la Alhambra de Granada. Por toda España se encuentran edificio, museos y monumentos con decoración geométrica realizada a partir de frisos o cenefas, rosáceas o rosetones, y mosaicos, alicatados o embaldosados, los cuales adornan enseres, suelos, paredes y techos.

6.3 En 3D Los movimientos directos en el espacio tridimensional euclídeo son producto de

2 o 4 reflexiones respecto de planos. Una propiedad característica común, aparte de conservar la orientación es que tienen una recta de puntos fijos o una recta fija.

Básicamente corresponden a la siguiente clasificación: • Traslaciones (dos planos paralelos), • Giros entorno a rectas (dos planos que se cortan), o • Movimientos helicoidales (cuatro planos en posición

general).

Para ilustrar este tipo de movimientos podemos irnos a la Arquitectura y a la Escultura, ya que estas Artes utilizan de modo esencial la tridimensionalidad del espacio.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

11 / 13 /


Este efecto de movimiento tridimensional podemos verlo en el nuevo Ayuntamiento de Londres, de Norman Foster; en la torre Turning Torso del arquitecto Santiago Calatrava; o en la escultura Eternity de Robinson, con gran contenido conceptual geométrico. Son sólo unos pocos ejemplos de los muchos que se hallan repartidos por todas partes.

6.4 y más ... Pero el mundo de las dimensiones de los espacios

euclídeos no se termina en la tercera dimensión, continua en dimensiones superiores con el mismo modo estructural. Los movimientos euclídeos de un espacio euclídeo n-dimensional se descomponen en un determinado número de reflexiones respecto de hiperplanos (subespacios lineales n-1 dimensionales) del propio espacio euclídeo. Estas reflexiones respecto de hiperplanos también se conocen como simetrías hiperplanares o como simetrías especulares (de espejo). Se puede conseguir, haciendo una edecuada elección de hiperplanos, acotar el número de hiperplanos necesarios para la descomposició. Es el conocido Teorema de Cartán-Dieudonné:

En un espacio afín euclídeo X, con dim(X)=n todo movimiento de X se puede escribir como la composición o producto de, a lo más, n+1 reflexiones respecto de

hiperplanos.

La figura elemental de un espacio n dimensional es el hipercubo o producto de n segmentos en posición general. Del mismo modo que estamos acostumbrados a representar un cubo en el plano, bien en perspectiva, bien en su desarrollo mediante cuadrados, pordemos tomar un hipercubo en el espacio de dimensión 4 y representarlo en el espacio ordinario de dimensión 3. Tendríamos que colocar adecuadamente, los 8 cubos que constituyen

su borde y visualizarlo en 3 dimensiones.

Si lo hacemos en perspectiva obtendríamos 8 cubos vacíos que intuimos al admirar el Monumento a la Constitución Española de 1978 erigido en Madrid (un cubo interior, más los seis cubos de sus caras, más el exterior de todo el monumento).

Si lo que queremos hacer es un desarrollo espacial de los 8 cubos laterales de un hipercubo tetradimensional, hemos de colocarlos en una posición de cruz, como la que representó el pintor Salvador Dalí en su cuadro Crucifixión o Corpus Hypercubus

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

12 / 13 /


La estética o la belleza que podemos encontrar en un objeto, artístico o no, es el

fruto de impresiones que recibos a través de los sentidos. Si apreciamos éstos, además, con un matiz matemático, sentiremos algo más que quien no percibe esa dimensión artística. El resultado final es que saldremos ganando en sensibilidad y apreciación.

7 Otras Transformaciones geométricas Aparte de los movimientos euclídeos, son particularmente interesantes las

transformaciones conocidas como Homotecias y Semejanzas. De especial interés es la descripción de los invariantes asociados a esas transformaciones, así como si mantienen la orientación: directas, o por el contrario la invierten: opuestas.

La determinación de una homotecia a través de la razón y su centro, como

transformación geométrica, y sin necesidad de una expresión analítica, es muy conveniente. Estas transformaciones son de gran utilidad en el diseño industrial y para la planificación en construcción arquitectónica y de ingeniería civil.

Para profundizar en el conocimiento de estas trasformaciones, resulta primordial

saber determinar las homotecias entre circunferencias: reconocer los centros de homotecia entre dos circunferencias; e identificar los ejes de homotecia entre tres circunferencias. El descubrimiento de la circunferencia de los nueve puntos, de Euler o de Feuerbach es un fenómeno paradigmático en este contexto.

Por otro lado, en un plano compactificado con los puntos del infinito, tiene

prominencia el estudio de la Inversión como transformación geométrica. La determinación de sus puntos y elementos dobles, así como la estructura conforme subyacente en la conservación del ángulo, son motivos de interés y estudio constructivista. De este modo se dispone de una herramienta para la realización de ilustrativas construcciones geométricas, donde destacan la realización de figuras inversas elementales: Inversiones entre rectas y circunferencias.

Como aplicaciones de la inversión, podemos destacar construcciones

fundamentales del tipo del Círculo de Apolonio, como lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo es múltiplo de su distancia a otro punto fijo; de los

Porismas de Steiner, o la demostración del Teorema de Feuerbach.

Para la visualización de estas transformaciones

resulta muy ilustrativo el trabajo con herramientas informáticas que realizan, geométrica y directamente, construcciones que pueden moverse y transformarse de modo muy ilustrativo. Programas como el Cabri-Geometer o el Sketchpad resultan muy convenientes para la visualización de la dinámica geométrica de las construcciones.

Estas transformaciones tienen sus equivalentes en el espacio tridimensional, e

incluso en dimensiones superiores. Aparte de movimientos espaciales ya mencionados,

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

13 / 13 /


significaremos las Homotecias en el espacio, y la Inversión en una esfera, o la Inversión central.

Bibliografía: ALSINA, C., RÉREZ, R. y RUIZ, C. Simetría Dinámica. Síntesis. Madrid. 1989. ISBN: 84-7738-067-8.

PÉREZ GÓMEZ, R. y RUIZ GARRIDO, C. Visiones matemáticas de la Alhambra. El color. Epsilon 9, monográfico La Alhambra. A.P.M.A. Granada. 1987 (por la segunda edición, S.A.E.M. Thales. Granada. 1995). ISBN: 84-920056-4-5.

RUIZ GARRIDO, C. Escultura y Geometría. UNO, Revista de Didactica de las Matemáticas, vol 2. Graó educación. Barcelona. 1994. ISSN: 1133-9853.

RUIZ GARRIDO, C. Geometría Dinámica. Geometría por las transformaciones. Del punto a los espacios multidimensionales. Centro de Publicaciones del MEC. Madrid. 2005.

Ceferino Ruiz Garrido Departamento de Geometría y Topología Facultad de Ciencias Universidad de Granada 18071 – Granada

correo electrónico: [email protected]

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

1

LA GEOMETRÍA EN SECUNDARIA

Eloy Domínguez Izquierdo, octubre/noviembre de 2005 INTRODUCCIÓN.

A lo largo de estas líneas he intentado algunas reflexiones sobre la geometría en los niveles de Enseñanza Secundaria. Me avalan el estar dedicado a la enseñanza des-de el curso 1969/70 y el haber trabajado al amparo de diversos y a veces contrapuestos planes de estudio. No es mi intención otra que la de articular mis recuerdos, sin caer en la tentación de teorizar, ni mucho menos en la de establecer conclusiones de vali-dez universal o recomendaciones para el futuro, tareas ambas para las que no me sien-to capacitado.

Para comprender mejor las situaciones que describo, es indispensable tener una breve idea de los sucesivos planes de estudio a cuya sombra he tenido que realizar mi trabajo.

El plan 1953. En 1953 se hizo una importante reforma del Bachillerato. Se con-templaba un curso de Ingreso (a la edad de 10 años). El Bachillerato estaba dividido en dos etapas: Bachillerato Elemental (cuatro cursos, desde los once años de edad has-ta los catorce, con una Reválida al final), y Bachillerato Superior (dos cursos, hasta los dieciséis años, bifurcado en Ciencias y Letras, con otra Reválida al acabar). Tras Ba-chillerato, un curso Preuniversitario, seguido de un examen (Prueba de Madurez) que constituía la puerta de entrada en la Universidad. En 1963 se produce un cambio en las materias y programas del curso Preuniversitario.

El plan 1970. Siendo ministro de Educación D. José Luis Villar Palasí, el Go-bierno realizó una reforma radical mediante la Ley General de Educación (ley Villar). Los principales cambios fueron:

a) la extensión de la Educación Primaria hasta los 14 años, sustituyendo el nom-bre de Educación Primaria por el de Educación General Básica (E.G.B.)

b) la creación de un Bachillerato Unificado y Polivalente (B.U.P.) de tres cursos, hasta los 17 años.

c) la reordenación del Curso Preuniversitario, que pasa a llamarse C.O.U. (Curso de Orientación Universitaria).

d) la inclusión de la Formación Profesional, con un primer ciclo de dos cursos (para los alumnos de 15 y 16 años) y un ciclo superior.

e) la supresión, por primera vez en el sistema educativo, de los exámenes finales de etapa (las reválidas), estableciendo un sistema de evaluación continua.

La ley Villar, salvo pequeños cambios en los planes de estudio de la E.G.B., ha

estado vigente hasta la promulgación de la L.O.G.S.E. en 1990. Los planes que siguen a la ley Villar son bien conocidos, lo que me exime de describirlos.

Para ayudar a comprender mejor la evolución de la enseñanza de la Geometría, analizaré cinco situaciones diferentes, representativas de distintos momentos metodo-lógicos y pedagógicos, y que corresponden a momentos muy concretos del anterior marco histórico.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

2

EL TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES.

Dentro del tema "Perpendicularidad entre recta y plano" (4º de Bachillerato, plan 1953, alumnos de 14 años de edad) aparecía el teorema fundamental de la perpendicularidad (teorema de las tres perpendiculares), con el siguiente enunciado: "Si una recta corta a un plano y es perpendicular a dos rectas del mismo que pasan por su pie, es perpendicular a cualquier otra tercera recta contenida en el plano".

Como estudiante de 4º curso del plan 1953, tuve que analizar, comprender e in-cluso memorizar tanto el enunciado como, y esto era peor, la demostración, que consistía en una interminable cadena de parejas de triángulos iguales, representativa de todos los posibles casos de igualdad de dos triángulos.

Me volví a ver con el teorema en el curso 1969/1970, esta vez como Profesor. Es probable que el responsable de destinar el teorema a alumnos de 14 años se movie-ra en la óptica de una geometría excesivamente deductiva y respetuosa con la obra de Euclides. Aunque todos reconocemos su importancia científica, era un despropósito la edad elegida para entrar en contacto con una situación carente de experimentalidad y muy encorsetada en un rígido armazón deductivo. Los alumnos tenían que hacer un gran esfuerzo memorístico que privaba al teorema de cualquier atractivo que pudiera tener, y que efectivamente tiene, pero para otros destinatarios.

El 4º curso de Bachillerato, y con él la geometría espacial, tardarían poco en de-saparecer de los planes de estudios, al menos en su aspecto de geometría sintética de aspecto euclídeo. Reaparecería la geometría espacial a edades más avanzadas y expre-sada en un lenguaje vectorial y afín.. De este modo la demostración del teorema, no incluido de manera expresa en el currículo, se reducía a que si un vector es ortogonal a dos vectores independientes (producto escalar cero), también es ortogonal a cualquier otro vector que sea combinación lineal de aquellos. LOS TEMAS DE GEOMETRÍA EN PREUNIVERSITARIO.

Las Matemáticas de Preuniversitario plan 1953, en su revisión del año 1961, in-cluían casi un 50% de temas de Geometría, la mayor parte sin coordenadas ni herra-mientas vectoriales. Se había pasado desde los Elementos de Euclides al Programa de Erlangen de Félix Klein, concediéndole gran importancia a las transformaciones geo-métricas y a la idea de igualdad de figuras.

Se contemplaba como trasfondo la idea euclídea de igualdad en forma y tama-ño.(traslaciones, giros, simetrías, grupo de movimientos) y la idea de igualdad en for-ma pero no en tamaño (homotecias, semejanzas, grupo equiforme), fundamentalmente en el ámbito plano y muy someramente en el espacial. Incluso se introducían transfor-maciones geométricas no equiformes, como la inversión en el plano (las demostracio-nes no eran vectoriales, sino a base de igualdad y semejanza de triángulos)Y las geo-metrías no euclídeas tenían cabida con el tema de Geometría sobre la superficie esfé-rica, la Trigonometría esférica y sus aplicaciones a la Astronomía.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

3

LA GEOMETRÍA EN EL BACHILLERATO DEL PLAN 1970.

Es el momento de mayor ausencia de la Geometría. El temario de Matemáticas del Bachillerato plan 1970 (Bachillerato Unificado y Polivalente, B.U.P) no incluye nada de Geometría en el curso primero. En el curso segundo figuran la Trigonometría plana (triángulos rectángulos) y algunos rudimentos de Geometría analítica plana (afín y vectorial), sin ir más allá de la ecuación de la recta. En el tercer curso se amplían la Trigonometría plana (triángulos oblicuángulos) y la Geometría analítica plana (Geo-metría métrica, ecuaciones de la circunferencia y de las cónicas, algo de movimientos y cambio de ejes). LOS TEMAS DE GEOMETRÍA EN LAS OPOSICIONES L.O.G.S.E.

De los 71 temas de Matemáticas para oposiciones de Enseñanza Secundaria (B.O.E. 21/09/1993), hay 23 de Geometría (desde el 34 hasta el 56), de este modo:

− Formalización de conceptos intuitivos (tema 34) − Medida de magnitudes (tema 35) − Proporcionalidad y semejanza (temas 36 y 37) − Trigonometría y triángulos (temas 38 y 39) − Circunferencia, ángulos, potencia de un punto (tema 40) − Transformaciones en el plano y en el espacio (temas 41 al 44) − Poliedros (tema 45) − Coordenadas, curvas y superficies (temas 46 al 49) − Geometría sobre la superficie esférica (tema 50) − Geometría afín y métrica tridimensional (temas 51, 52 y 53) − Cónicas (tema 54) − Fractales (tema 55) − Historia de la Geometría (tema 56).

UNA UNIDAD DIDÁCTICA SOBRE LA NORMA DIN 476.

Se encuadra en 2º de Bachillerato LOGSE, modalidad Arte y ha formado parte de mi actividad docente durante los dos cursos (2003/2004 y 2004/2005) de existencia de la extinguida asignatura optativa Matemáticas de la Forma.

Es necesario tener presente que la norma DIN 476 regula el tamaño del papel de oficina y se basa en las tres reglas siguientes:

A. Todos los formatos son semejantes (esto facilita el encuadre al cambiar la es-cala).

B. Cada formato se obtiene a partir del superior inmediato, dividiéndolo a través del eje menor.

C. El formato máximo A0 tiene un metro cuadrado de área.

A partir de estos tres postulados, el lector podrá demostrar tres teoremas: 1. Cada formato tiene la mitad de área que el inmediato superior (se usa el axio-

ma B). 2. El cociente entre las longitudes del lado mayor y del lado menor es, para to-

dos los formatos, la raíz cuadrada de dos (se usan los axiomas A y B). 3. Las medidas de A0 son 841 y 1189 milímetros (se usan el axioma C y el teo-

rema 2).

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

4

Usando el axioma B y el teorema 3, se pueden obtener las medidas redondeadas

de los restantes formatos: A1: 594 × 841 mm. A2: 420 × 594 mm. A3: 297 × 420 mm. (pliego) A4: 210 × 297 mm. (folio) A5: 148 × 210 mm. (cuartilla) A6: 105 × 148 mm. (octavilla), etc., etc.

El planteamiento de la unidad didáctica sigue justamente el camino contrario al

enfoque anterior, que es totalmente axiomático. Se parte de un papel A4 y, de manera totalmente experimental y manipulativa, se realiza la siguiente puesta en escena:

1) plegando el papel de manera que el lado menor se superponga al lado mayor, queda marcada la diagonal del cuadrado correspondiente al lado menor

2) usando al teorema de Pitágoras, se deduce que la longitud de la citada diago-nal es igual a la longitud del lado menor del folio multiplicada por la raíz cuadrada de 2

3) plegando por segunda vez, se consigue que la citada diagonal se superponga con el lado mayor, con lo que queda claro que la longitud del lado mayor es igual a la longitud del lado menor multiplicada por la raíz cuadrada de 2

4) usando un nuevo papel A4, se pliega por el eje menor para obtener una cuar-tilla A5 (en realidad son dos cuartillas, pero una tapa a la otra)

5) superponiendo adecuadamente la cuartilla a un nuevo A4, se constata que un lado de A4 coincide con uno de A5 y que el otro es la mitad (con lo que el área de A5 es la mitad del área de A4)

6) se repiten los pasos 1 al 5 con una cuartilla A5, poniendo de relieve que las peculiaridades de A4 también las posee A5

7) se explica que el proceso anterior es repetible con todos los formatos, bas-tando con hacerlo parcialmente con A6 (o ni siquiera eso)

8) se redacta por escrito un test de reconocimiento de formato DIN 476; para saber si un papel rectangular sigue la norma DIN 476, se marca la diagonal del cuadrado y se compara con el lado mayor por superposición.

OPCIONES DE METODOLOGÍA.

A lo largo de la anterior unidad didáctica hemos podido constatar que unos mismos hechos geométricos pueden ser conducidos, a la hora de darlos a conocer, de dos enfoques que son metodológicamente opuestos:

1. El modelo axiomático−deductivo: partimos de tres axiomas plausibles (justifi-cados por las necesidades del usuario del papel de oficina y por las ventajas de mover-se dentro del sistema métrico decimal) y vamos obteniendo teoremas y conclusiones mediante reglas válidas de inferencia.

2. El modelo empírico−constructivo: partimos de un material manipulable y fá-cil de conseguir, y mediante una puesta en escena cuidadosamente planificada, vamos provocando el descubrimiento empírico y gradual de hechos geométricos relevantes.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

5

Si queremos analizar con más detalle los aspectos que diferencian a uno y otro paradigma de actuación docente, podríamos hacer uso del siguiente esquema de aná-lisis de rasgos:

a) El modelo 1 entra dentro del campo de la geometría deductiva y razonada, mientras que el modelo 2 se mueve fundamentalmente en el terreno de la geometría manipulativa y empírica.

b) El modelo 1 carga todo su contenido en las habilidades deductivas y de razo-namiento, mientras que el modelo 2 analiza constructivamente situaciones similares (como son la de A4 con relación a A5 y la de A5 con respecto a A6) para embarcarse en un proceso de abstracción que pone de relieve propiedades comunes a todos los formatos DIN 476.

c) El modelo 1 se basa en la descripción de un paradigma global (todos los for-matos siguen unas mismas reglas establecidas de antemano), mientras que el modelo 2 se dedica a inspeccionar paradigmas concretos (los formatos A4, A5 y A6 por turno) cuyos rasgos comunes quedan puestos de relieve. ANÁLISIS DE UNIDADES DIDÁCTICAS.

A cualquier unidad didáctica de Geometría se le puede aplicar un mecanismo de análisis similar al realizado con la norma DIN 476, En particular, habría que fijar la atención en los tres aspectos usados en aquella:

Deducción y razonamiento frente a manipulación y empirismo. Deducción y razonamiento frente a construcción y abstracción. Paradigma global frente a paradigmas concretos.

En el análisis de otras unidades puede ser pertinente añadir otros parámetros de

análisis metodológico, como por ejemplo:

Geometría de coordenadas (analítica) frente a geometría sintética.

Por citar algunas propuestas posibles, el lector podría elaborar, para cada uno de los contenidos siguientes, tres unidades didácticas (la primera en un extremo, la se-gunda en el otro extremo y la tercera en una posición ecléctica e intermedia):

Rectas y puntos notables de un triángulo. Polígonos regulares y poliedros regulares. Elementos de simetría de una figura plana o espacial. Agrupaciones de polígonos y agrupaciones de poliedros. Teselaciones del plano y del espacio. Modelos de papiroflexia (por ejemplo, la pajarita de papel).

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

VISUALIZACIÓN Y USO DE TECNOLOGÍA EN EL AULA

Patricia E. Balderas Cañas Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional Autónoma de México [email protected]

Resumen En este trabajo presento una secuencia de actividades para los alumnos de los niveles elemental, secundaria y primeros cursos de estudios universitarios, que busca que los alumnos relacionen algunos conocimientos de geometría, aritmética, estadística, probabilidad y cálculo integral. Los elementos de análisis que consideré para la elaboración de la secuencia versan sobre el uso de tecnología en el aula, el aprendizaje mediado por algunos recursos tecnológicos, los procesos de visualización y representación que tienen lugar durante el aprendizaje y la enseñanza apoyada en recursos tecnológicos. Además, de los elementos que se obtienen con la discusión de dos casos sobre la visualización, representación y aprendizaje de los modelos de variación proporcional y equiprobabilidad, para la adquisición paulatina de modelos más maduros y cercanos a los modelos abstractos, durante la formación escolar de los niveles citados.

Introducción En mi práctica como profesora de matemáticas en México, durante más de 30 años, he tenido oportunidad de conocer algunos de los cambios curriculares de los estudios de secundaria o nivel medio básico para alumnos de 11 a 14 años; de bachillerato o nivel medio superior para alumnos de 15 a 17 años, y de los estudios universitarios de carreras de ingeniería. Los cambios realizados en las guías curriculares o programas de estudio durante la década de los 80’s fueron principalmente de contenido, atendiendo también a la dosificación y jerarquización de los logros al término de diferentes segmentos temáticos. Los cambios curriculares en la década de los 90’s, más enfocados a la organización y presentación de los temas, aunados a la popularización de las computadoras y calculadoras personales, obligaron a elaborar estrategias docentes para hacer uso de esos recursos tecnológicos, metodológicos o didácticos en el aula de matemáticas. En México, se hicieron explícitas las recomendaciones metodológicas en los documentos de trabajo de los docentes del nivel medio superior, pues hasta entonces sólo se hacía en la enseñanza elemental y secundaria, para las que rige un currículo nacional.

La secuencia en sí misma, contiene elementos que pueden servir para realizar actividades educativas como diseño curricular, elaboración de propuestas didácticas, diseño de programas de formación de recursos humanos y evaluación del aprendizaje y la docencia. Las actividades están pensadas para realizarse en condiciones escolares y fortalecer las habilidades de los alumnos para interpretar, evaluar, discutir y comunicar

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

2

ideas relacionadas con situaciones en las que están implicados algunos conceptos comunes de asignaturas como geometría, aritmética, estadística, probabilidad y cálculo integral. Las actividades propuestas en la secuencia requieren el uso de diversos recursos tecnológicos, principalmente computadoras o calculadoras avanzadas, con los que se generan multitud de procesos de razonamiento de los alumnos, entre los cuales me interesa considerar el proceso de visualización y explicar su papel durante la adquisición de modelos más maduros de modelos abstractos. Con este fin, utilizo un marco teórico desarrollado para explicar algunos de los procesos mentales que tienen lugar cuando se usan diversos sistemas de representación de conceptos e ideas matemáticas. Tecnología en el aula de matemáticas Usar una computadora como medio en la educación de acuerdo con Kaput (1992, p. 519), obedece a varias líneas principales: juegos, tutoriales, manipuladores simbólicos y simulaciones. En el primer caso, los juegos, la meta curricular es enseñar la conducta de un conjunto de funciones o clases de funciones dadas basada en puntos de vista numéricos o gráficos, o ambos Un ejemplo de este tipo es “Guess my rule” (“encuentra mi regla”, Barclay, 1985; citado por Kaput, 1992), en el que los estudiantes deben adivinar la regla de correspondencia de una función escogida al azar o de una lista creada por el profesor, de modo que cuando introducen un valor del dominio, la computadora les regresa la imagen, ya sea en forma numérica como un arreglo tabular o una gráfica cartesiana.

Los tutoriales están relacionados con los intentos iniciales de la instrucción asistida por computadora (CAI, siglas en inglés), para los que se selecciona un contenido educacional, se simula una relación del tipo tutor-tutoreado en la computadora, y su diseño se apoya en la estructura de lo que se enseña y en suposiciones acerca del que aprende y sobre la forma apropiada de interacción (Kaput, 1992). Los primeros tutoriales de matemáticas estuvieron orientados a la enseñanza de la manipulación sintáctica generada en sistemas de notación estándares por diseñadores que adoptaron, sin modificación, los sistemas tradicionales de enseñanza rutinaria y sólo transfirieron esas condiciones al nuevo medio proporcionado por la capacidad de interacción de la computadora (idem) El enfoque del CAI cambió muy poco los contenidos curriculares y la pedagogía. La única diferencia consistió en la naturaleza impersonal de la retroalimentación a la cual se le reconocen dos aspectos positivos: la privacidad de la interacción y la paciencia de los sistemas de retroalimentación (Bark y Franklin, 1979; citado por Kaput, 1992, p. 520).

Los manipuladores simbólicos son herramientas poderosas pero, al igual como sucede con cualquier herramienta, sólo se pueden usar a toda su capacidad cuando el que las usa sabe cómo hacerlo (Dubinsky y Tall, 1981, p. 236). Los manipuladores simbólicos están pensados más para hacer matemática que para aprender matemáticas. De ahí que “...están mejor diseñados para el experto que para el novato...” (ibidem, p. 242).

Respecto a las simulaciones, Kaput (1992) distingue dos tipos, una que se ejecuta a la par del sistema que se modela, en donde puede comprobarse empíricamente por medición y comparar con el sistema modelado. Y un segundo tipo de simulación que se usa cuando las escalas espaciales o temporales no permiten la comprobación directa de la simulación que se está modelando, como en el caso de los modelos del sistema

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

3

planetario y del movimiento molecular. Estas simulaciones son modelos concretos de modelos más abstractos. Un tercer tipo, en opinión de Batanero, es la simulación de fenómenos que no han ocurrido y que pudieran ocurrir, como las distribuciones muestrales, que facilitan la visualización con objetos matemáticos.

Las simulaciones requieren computadoras mucho más potentes que los programas del tipo CAI, porque se necesita que tanto las cantidades como sus relaciones en los modelos puedan representarse gráficamente. Las limitaciones iniciales para la simulación en las computadoras personales se redujeron de manera considerable con el uso de las gráficas del tipo bit-mapped1.

Las herramientas computacionales que inicialmente se crearon con propósitos generales y que actualmente se adaptan a las necesidades de educación, entre otras muchas están las hojas de cálculo, los manipuladores simbólicos, las utilerías gráficas, los programas estadísticos y de modelación de datos, las bases de datos, la Internet. Algunas de estas herramientas también están disponibles en “palms”, móviles o celulares y calculadoras avanzadas.

Las herramientas de propósito particular o específico tienden a ser más sofisticadas y se ha llegado a construir una nueva habilidad de los sistemas computacionales en los que se transfieren datos de un sistema a otro. Por ejemplo, entre la Internet y hojas de cálculo; entre hojas de cálculo y ambientes de trabajo; entre procesadores de palabras y hojas de cálculo o entre calculadoras avanzadas y procesadores de palabras.

Los ambientes de trabajo como GÉOMÈTER, STATGRAPHICS, MAPLE o MATHEMATICA son potentes conjuntos de herramientas matemáticas y/o estadísticas, pero al mismo tiempo son herramientas con las que se pueden crear micromundos, es decir, ambientes computacionales donde se favorece el aprendizaje de ideas matemáticas. Para este mismo fin se usan calculadoras avanzadas o graficadoras, las cuales disponen de utilerías de graficación, generación de tablas de doble entrada, programación, cálculo numérico, funciones especiales, recursos geométricos, estadísticos, posibilidades de comunicación entre calculadoras y computadoras. Además, el dispositivo “view screen” que se conecta a la calculadora del profesor, permite mostrar en una pantalla o en un muro del aula, la ventana de la calculadora del profesor, lo que facilita la comunicación y discusión en clase.

La disponibilidad de tecnología en el aula, propiedad de la escuela, de los profesores o de los alumnos, tiene un impacto en la educación matemática porque se requiere saber qué matemáticas son susceptibles de aprendizaje y enseñanza, además de saber cómo enseñarlas y cómo evaluar el aprendizaje. En este marco educativo, coincido con Kaput (1992) cuando dice que el uso de la tecnología en la escuela, a pesar de sus limitaciones, depende en gran medida de la imaginación humana para usarla y de los hábitos y estructuras sociales. Aprendizaje de matemáticas mediado por computadoras o calculadoras El uso de computadoras y calculadoras avanzadas en la educación matemática requiere discutir una estrategia general que proporcione una visión amplia de los cambios que se 1 En una computadora, una gráfica del tipo “bit-mapped” es aquella en la que el despliegue está controlado por un pixel a un tiempo.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

4

están produciendo en las complejas relaciones escolares, desde los efectos en el currículo, las formas de conducir la clase de matemáticas hasta las formas de evaluar el desempeño del alumno en las diversas situaciones que genera el uso de tecnología en el aula. Desde luego se ve la necesidad de indagar dónde es pertinente el uso de los recursos electrónicos dinámicos o el uso de medios estáticos tradicionales, para lo cual es indispensable preguntarse “... qué estamos tratando de enseñar y cómo...” (Dubinsky y Tall, 1991, p. 242).

Una manera de estimular y ayudar al estudiante en la construcción de su conocimiento es proporcionándole software rico que incorpore poderosas ideas matemáticas de modo que el estudiante las pueda manejar y reflexionar en ellas (idem, p. 235). Otra forma que proponen Dubinsky y Tall (1991) es haciendo que el alumno construya programas matemáticos en un lenguaje de computación diseñado para que el acto de programar sea simultáneo a la construcción mental de los procesos matemáticos subyacentes (id.) En esta forma el alumno elabora o mejora programas que resuelven problemas concretos con los recursos de programación de las calculadoras avanzadas.

La construcción de conocimiento conceptual, en cualquiera de las dos formas, requiere supervisión y coordinación de las actividades de los alumnos por parte del profesor. Estas actividades de docencia se realizan mejor y fácilmente con apoyo de guías didácticas y programas sencillos diseñados para coordinar las acciones de los alumnos. Una característica indispensable de las guías didácticas es que demanden del estudiante reflexión sobre los conceptos fundamentales de los cursos de matemáticas.

En diversos espacios se dispone de materiales didácticos apropiados para los cursos de matemáticas, por ejemplo en revistas de divulgación, libros especializados y sitios de internet. En otro lugar, se ilustra el uso de calculadoras avanzadas para analizar el papel de los parámetros en cuanto a las características de las gráficas de funciones polinomiales de grado uno y dos (Balderas, 1994), o la solución de actividades relacionadas con el aprendizaje de la derivada (Balderas, 1997 y 1998).

El dispositivo view screen, conectado a la calculadora del profesor o de un alumno, ayuda al profesor a conducir la discusión en clase y permite que el profesor y el resto de los alumnos observen el trabajo de un alumno particular o el resultado obtenido por un grupo de alumnos. Mediante esas observaciones es posible reconocer algunas de las estrategias de solución del alumno o de un grupo de alumnos, que están relacionadas con el proceso de visualización o razonamiento visual.

Además, los resultados de esas observaciones son valiosos elementos para apoyar procesos de evaluación o de investigación. Así que una cuestión trascendente y que en diversos foros de educación matemática se está estudiando es ¿cómo evaluar la eficiencia o ineficiencia de los recursos electrónicos en el aprendizaje de matemáticas? Visualización en el aprendizaje de matemáticas De la experiencia docente y la investigación educativa se sabe que el uso de tecnología en el aula de matemáticas plantea diversos problemas de aprendizaje y docencia. En esta ocasión abordo la problemática del aprendizaje de matemáticas escolares, como problema de acceso al conocimiento científico, problemática que aquí se muestra, con relación al razonamiento visual o visualización que los alumnos realizan cuando resuelven tareas con recursos electrónicos.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

5

La visualización o razonamiento visual se entiende como una forma de pensar basada en representaciones esquemáticas o figuras, como los dibujos, diagramas o esquemas, gráficas, producidos en papel, medios electrónicos o en la mente, esto es imaginados (Balderas, 1998; Presmeg y Balderas; 2001). Esta forma de pensar tiene un papel importante durante la resolución de problemas, particularmente cuando se dispone computadoras y calculadoras avanzadas, y principalmente durante la fase inicial de resolución, cuando emergen las tácticas heurísticas. Otros dispositivos y recursos tecnológicos que se usan en el aula de matemáticas, como los proyectores de computadoras, el software de propósito específico para geometría y demás ramas de matemáticas o los tradicionales regla y compás, son dignos de mencionarse también, pues en mayor o menor medida apoyan la comprensión de ideas matemáticas con las representaciones estáticas (figuras, diagramas, gráficas cartesianas, histogramas), cinéticas (cuando se trazan circunferencias o elipses), cinestéticas (cuando se simula o se usa el movimiento de los dedos, por ejemplo) o dinámicas (para representar el movimiento de un elevador, el flujo de energía eléctrica, gas natural o agua).

Además de la influencia que los dispositivos tecnológicos tienen para la enseñanza de matemáticas, cabe subrayar el importante papel que desempeñan también los materiales escritos que se utilizan como guía de actividades a resolverse en el aula con uno o varios de los dispositivos mencionados. Los materiales escritos se diseñan principalmente para atender los contenidos curriculares de las asignaturas y utilizan los textos escolares, libros de matemáticas, páginas Web o mediciones realizadas, como fuentes de información. Durante la formación escolar de los niveles medio y elemental, es deseable que los alumnos, cuyas edades están entre los 6 y los 18 años, tengan experiencias sobre actividades de medición, registro, búsqueda y análisis de información, como actividades fundamentales para los cursos de matemáticas, menciono especialmente los cursos de geometría, estadística, probabilidad y cálculo integral, sobre los que más adelante me referiré. Adquisición de modelos maduros mediante representación de ideas matemáticas en computadoras y calculadoras En primer lugar me pregunto, ¿cómo es que algunos medios electrónicos pueden usarse para representar ideas y procesos matemáticos a fin de promover la adquisición de conocimiento matemático? Para dilucidar sobre esta cuestión es necesario destacar algunas de las principales capacidades de representación de las computadoras. Algunas de las capacidades que me interesa destacar aquí son la producción rápida y secuenciada de puntos, segmentos, “rectas”, “planos” y gráficas y el despliegue de tablas organizadas conforme a las escalas de los ejes coordenados asociadas a las gráficas de funciones elementales. Además, las posibilidades de procesar estadísticamente datos provenientes de mediciones en fenómenos de variación y la capacidad de programación para la reproducción sistemática y productiva de algoritmos.

También es importante señalar la capacidad de interacción2 de algunos recursos computacionales entre ellos a las calculadoras avanzadas, en el sentido de que difieren de los medios inertes porque producen reacciones físicas a las acciones emprendidas sobre 2 Kaput distingue entre un medio inerte y uno interactivo por la capacidad del último para responder físicamente a los “inputs” (1994, p. 380).

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

6

ellas, por ejemplo oprimir la tecla ZOOM en una calculadora avanzada o graficadora, produce efectos sobre el punto de vista de la gráfica. Con la tecla TRACE se despliega más información en la ventana de visualización de la calculadora, las coordenadas de posición en la gráfica de un asterisco intermitente, denominado cursor, con el que se puede recorrer la gráfica, conforme a las indicaciones del usuario mediante las teclas de navegación, que son las acciones realizadas por el usuario.

Los recursos de una computadora también permiten dibujar algunas figuras geométricas que se definen a partir del movimiento de un punto en el plano, por ejemplo, las circunferencias, elipses o parábolas. Otros fenómenos de movimiento susceptibles de modelarse son la elongación de un resorte por efecto de diversos pesos o el movimiento de oscilación del resorte, ambos se modelan por medio de una función que se expresa en uno o más sistemas de representación (Kaput, 1994, p. 381).

Aunado a las capacidades de representación mencionadas, es necesario subrayar el ambiente de trabajo que se genera en el aula con el uso de tecnología, como los ya mencionados micromundos y las aulas-laboratorios dotados de dispositivos de cómputo. En aulas-laboratorios de cómputo suelen impartirse cursos de informática principalmente, pero considero que son espacios subutilizados y que pueden aprovecharse mejor bajo la concepción denominada MBL o equipo de laboratorio basado en microcomputadoras (Microcomputer-Based Laboratory Equipment) desarrollado por Kaput y colaboradores para fenómenos de movimiento. Ejemplos y materiales desarrollados por estos educadores matemáticos se encuentra en el sitio www.simcalc.com. Estos laboratorios y las actividades que los alumnos realizan, están pensados para facilitar el desarrollo del entendimiento de ideas matemáticas, a través de comprender los cambios entre sistemas de representación asociados a modelos de movimiento. La comprensión se basa principalmente en el soporte visual inmediato a los mecanismos de prueba de hipótesis que el alumno hace y obtiene. La comprensión de los conceptos se explica a través de la integración de las conceptualizaciones asociadas a los enlaces entre sistemas particulares, en las estructuras de conocimiento (véase la figura 1).

Por ejemplo, para el modelo de variación proporcional bien conocido en la educación elemental, en una situación de medición, un sistema A puede presentarse como una lista de mediciones que se comportan conforme al modelo y un sistema B, como la colección de segmentos de donde provienen las mediciones. Ambos sistemas se conceptualizan de alguna manera como efecto de la lectura o se expresan a través de la escritura. De modo que, los enlaces que se dan entre los sistemas A y B, en los materiales de aprendizaje, tienen una contraparte a nivel interno o mental que se denomina integración cognitiva entre las conceptualizaciones asociadas a los sistemas A y B. Cuando la situación que va a ser modelada “variación proporcional” no está presente en la estructura de conocimiento del alumno como tal y sólo el texto está disponible, para el alumno que debe conceptualizar la situación, el texto es una representación indirecta que combina el procesamiento de la comprensión con el conocimiento previo de tales situaciones. Conforme el modelo se desarrolla, el texto se vuelve menos que un intermediario y el modelo mental basado en las representaciones matemáticas viene a relacionarse más directamente con las conceptualizaciones de la situación, la flecha superior en la figura 1.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

7

Figura 1. Enlaces al nivel de acciones (adaptado de Kaput, 1994, p. 389)

Las simulaciones en los laboratorios MBL utilizan diversos sistemas de representación compuestos por figuras, gráficas, tablas o lenguaje algebraico, para explorar sobre algunos fenómenos de movimiento. De acuerdo con Kaput (1989), la computadora puede usarse para “...suministrar la correspondencia entre las notaciones inmediatas, explícitas y notorias, donde las contrapartes de las acciones comprendidas en una notación pueden exhibirse en otras notaciones, en forma independiente del tiempo.” (p. 177). Cuando las acciones en la computadora están orientadas a favorecer la correspondencia física entre las distintas representaciones, el resultado podría ser una ganancia de conocimiento conceptual y de procedimiento (Hiebert and Lefevre, 1986), esto es, tendría lugar el aprendizaje de conocimiento conceptual. Pero hay que estar alerta, porque, considerar soluciones simples y superficiales puede dar lugar a errores conceptuales y conflictos cognitivos (Dubinsky y Tall, 1991, p. 236).

Los laboratorios MBL trabajan conforme al mecanismo sugerido en la figura 2. Esto es, para el texto que describe la situación o tarea “dibujar segmentos que tengan longitudes dadas, en posición vertical y ordenados de menor a mayor longitud”, después de procesar y comprender el texto se produce un modelo mental de la situación, que como consecuencia de una integración más madura, el modelo mental más complejo del modelo mental inicial de la situación, se aproxima al modelo total compuesto por la abstracción y los sistemas de representación asociados al modelo abstracto, los cuales son descripciones del mismo.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

8

Modelo mentalde la

situación

Procesamiento

del textoy comprensión

descripción de la situación

Texto de la

Modelo mental complejo del

modelo mental de la situación

MODELO TOTAL

Tabla ?

Gráfica?

Algebra?

Otra descripción?

Diagrama o

Imagen

Modelo

abstacto

Integración más madura

Figura 2. El “modelo total” de representaciones (tomado y traducido de Kaput, 1994, p. 390)

Otras investigaciones para estudiar la adquisición de conceptos matemáticos usando computadoras o calculadoras avanzadas, se realizaron en una institución pública de la ciudad de México, con estudiantes de 17 a 18 años (Balderas, 1993 y 1998). En los dos estudios, tanto las actividades como las cuestiones planteadas en los instrumentos de investigación se diseñaron para indagar sobre el proceso de visualización del alumno medidado por computadoras o calculadoras. Las representaciones principalmente utilizadas en los instrumentos y en las respuestas de los estudiantes, de ambos estudios, fueron gráficas, numéricas o aritméticas, simbólicas o algebraicas y tablas (arreglos de dos entradas), generadas en calculadoras avanzadas. Los principales conceptos abordados, en ambos estudios, fueron cambio razón de cambio, razón de cambio instantáneo, velocidad, secante, tangente, entre otros.

En el primer estudio, de tipo cuasi-experimental, se aplicó a 90 alumnos un pretest y un postest con 40 reactivos, cada uno, que contestaron sin usar computadoras o calculadoras. El tratamiento experimental consistió de 14 sesiones en las que 48 de los 90 alumnos, resolvieron las actividades con ayuda de computadoras. Los restantes 42 alumnos, quienes formaron el grupo de control, utilizaron las notas de clase de su profesor y la metodología expositiva tradicional, sin el uso calculadoras avanzadas o computadoras. Un resultado de este estudio fue que, en las condiciones en que se desarrolló, no hubo una diferencia significativa en las respuestas correctas de los alumnos, pero si en cuanto a las razones o argumentos para dar respuesta.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

9

En el segundo estudio, que tuvo formato de estudio de caso, participaron 7 alumnos-informantes que se reunieron en dos grupos, de 3 y 4 alumnos, para resolver las actividades, las cuales hicieron referencia a dos fenómenos de variación: la producción de una sustancia en una reacción química y la dirección de la trayectoria del agua que sale uniformemente de una manguera. Una de las hipótesis asumidas fue que la computadora o la calculadora avanzada pueden ayudar a proporcionar experiencias ricas al estudiante para construir conocimiento conceptual y de procedimientos.

Una de las conclusiones relacionadas con la visualización y la adquisición de modelos más maduros para la derivada fue que los alumnos participantes no mostraron, durante el estudio, enlaces físicos entre las representaciones de los conceptos tangente, dirección de la curva y derivada, con los cuales se pudiera asumir que disponían de modelos más maduros para la derivada. Por lo que, una recomendación para la enseñanza es que el profesor, la guía didáctica o el libro de texto haga explícitas las relaciones entre los conceptos tangente, dirección de la curva y derivada.

Una segunda cuestión que me interesa destacar, pero que sería tema de otra conferencia, trata sobre ¿cómo evaluar la eficiencia o ineficiencia de los recursos electrónicos en el aprendizaje de matemáticas? Cuestión que en parte se contesta por la dificultad del alumno para expresarse mediante ideas que exhiban la presencia de enlaces físicos entre sistemas de representación, los cuales se consideran como evidencia de la integración necesaria para que las conceptualizaciones del alumno sean más cercanas al concepto abstracto.

En otros espacios y como resultados de investigaciones más o menos comprehensivas, por ejemplo las evaluaciones que el profesor y la escuela hacen sobre la eficiencia o no de los recursos electrónicos en el aprendizaje, en particular de matemáticas. O los estudios realizados por agencias de evaluación internacionales, uno de los cuales fue el Tercer Estudio Internacional en Matemáticas y Ciencias (Third International Mathematics and Science Study TIMSS), realizado en la década de los 90’s. Visualización, representación y aprendizaje en los casos de variación proporcional e igualdad de áreas En esta sección considero los modelos variación proporcional y áreas iguales, los cuales son fundamentales para el aprendizaje de geometría, que es el tema de esta XI Jornada de Investigación en el Aula de Matemáticas. Ambos conceptos también son fundamentales para el aprendizaje de estadística, probabilidad y cálculo integral, asignaturas en las que ahora hago este análisis, pero que también se estudian en otras disciplinas científicas. El caso de área iguales se presenta en el contexto de probabilidad, por lo que me referiré a equiprobabilidad.

Los sistemas de representación que más abajo menciono tienen como objetivo apoyar la visualización durante la resolución de las tareas que a continuación describo

Consideremos la tarea de dibujar, en posición vertical y ordenados de menor a mayor longitud, los segmentos cuyas longitudes son 2, 4, 6, 8, 10 unidades. El modelo subyacente, que considero en esta tarea, es variación proporcional entre la longitud y la posición que ocupa cada segmento en el dibujo longitudes de segmentos verticales que varían en una proporción 2:1 respecto al ordinal en que aparecen dibujados. Con referencia a la figura 1, llamemos a la colección de segmentos cuyas longitudes son 2, 4,

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

10

6, 8, 10 unidades, sistema A. El sistema B los seleccionaremos en función del nivel escolar en el que pueda usarse, pero relacionado con objetos geométricos. Entonces, en el nivel elemental, considérese la colección de segmentos alineados verticalmente correspondientes a las longitudes citadas (véase la tabla 1). En el nivel medio básico, una gráfica cartesiana para la colección de segmentos. En el nivel medio superior una gráfica para la colección de puntos asociados a los pares formados por el ordinal del dato y su valor.

En el caso de equiprobabilidad, como modelo subyacente, los ejemplos de sistemas A y B se modifican conforme a la tarea, ésta a su vez se diseña en función del nivel escolar que se considera adecuado (véase la tabla 2).

Así, en el nivel elemental se propone la tarea de iluminar un rectángulo adyacente al de altura 99 para completar una región de área igual a la que componen los rectángulos de alturas 14, 23, 65, 70 se apoya en el sistema formado por la colección de rectángulos verticales iluminados y colocados en la parte izquierda de la figura, considerado como el sistema B. El sistema A está compuesto por las frecuencias de las alturas de 1000 alumnos presentadas en una lista de datos.

En el nivel medio básico, el sistema A consiste de los datos agrupados por intervalos, la tarea es construir un histograma para los datos y verificar que los eventos: tener una altura entre 152 y 160 centímetros o tener una altura entre 168 y 172, son equiprobables mediante la comparación de las áreas correspondientes a las dos regiones sombreadas. El sistema B es el que construye el alumno y con el que verifica la equiprobabilidad.

En el nivel medio superior, el sistema A se da mediante las frecuencias relativas de las alturas de 1000 alumnos presentadas en una lista de datos agrupados. La tarea trata de construir un polígono de frecuencias para los datos y verificar que si los eventos: tener una altura entre 157 y 161 centímetros o tener una altura entre 171 y 177 son equiprobables, por la comparación de las áreas correspondientes a las dos regiones sombreadas.

Finalmente, en el nivel superior y el mismo sistema A que en el nivel anterior, una tarea apropiada para alumnos de ciencias fisicomatemáticas y de las ingenierías, puede ser construir una curva normal que aproxime el polígono de frecuencias para los datos, construir un evento equiprobable al propuesto en la región sombreada del lado izquierdo. Secuencia de actividades En esta sección se presenta una secuencia de actividades, redactadas en términos generales, que tienen como referente los casos discutidos en la sección anterior (ver tablas 1 y 2). La secuencia se hace a partir de las reflexiones sobre visualización, representación y aprendizaje –pensado como adquisición de modelos más maduros, en función del nivel escolar al que están dirigidas, los conceptos involucrados de geometría y otras disciplinas, así como los recursos que tecnológicos a usar (ver cuadros 1 a 3).

El objetivo de la secuencia es que los alumnos relacionen, durante y al final de la formación escolar, algunos conocimientos de geometría, aritmética, estadística, probabilidad y cálculo integral. Con las actividades propuestas se pretende fortalecer las habilidades de los alumnos para construir, analizar, interpretar, evaluar, discutir y

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

11

comunicar ideas, de manera multidisciplinaria, disminuyendo en lo posible los efectos de la división académica y administrativa del conocimiento científico en asignaturas escolares. La secuencia propuesta para alumnos de escuela elemental, podría iniciar con plantear una hipótesis sobre la estatura más frecuente de su clase, posteriormente la estatura promedio, el rango de variación de las estaturas, así como anticipar la estatura de un alumno previamente a la medición o a la recolección de información. Para los niveles medio básico y superior, podría analizarse la variabilidad mediante la desviación absoluta de la media. En los niveles universitarios, la situación puede extenderse a la consideración de dos variables (edad y estatura) y al estudio de la inferencia estadística.

La secuencia presentada en los cuadros 1 a 3, señala algunos de los contenidos conceptuales centrales de geometría, aritmética, estadística, probabilidad o cálculo integral por nivel escolar donde se aborda el estudio de las situaciones. Por supuesto que las listas no son exhaustivas y algunos conceptos se estudian en más de una asignatura, pero se destacan en primer lugar los relacionados con la geometría, pues sólo se pretende ilustrar el contenido o carga conceptual de las actividades, de geometría en relación con el resto de las asignaturas mencionadas. Un análisis más completo sobre la carga conceptual, en la formación escolar y universitaria, tendría la intención de plantear un panorama para reflexionar sobre la planeación educativa en conjunto o por nivel, según el interés de quien la realice o la instancia educativa que la lleve a cabo, con respecto a diversas problemáticas educativas, entre muchas, el diseño del currículo, la formación de profesores, la evaluación del aprendizaje y de la docencia y la detección de las necesidades de recursos tecnológicos para el aula o las áreas de apoyo a la actividad escolar, como bibliotecas y laboratorios de cómputo, estos últimos diseñados para el uso extensivo y no sólo para los cursos de informática.

Consideraciones finales Si la formación matemática para el estudiante de los niveles elemental y secundario, tiene por objetivo prepararlo para el acceso libre y democrático a las distintas disciplinas y líneas profesionales de los estudios universitarios, se requiere que al final de la formación escolar construya su conocimiento de tal forma que pueda enfrentarse exitosa y provechosamente con y de los radicalmente nuevos conceptos de las matemáticas avanzadas. Por tanto, coincido con varios educadores matemáticos que participan por una democratización del cálculo, particularmente con los que he citado, Thompson, Kaput, Dubisnky, Tall, entre muchos seguramente, de que es preciso que el estudiante gane en experiencia sobre cómo funcionan las ideas y que los educadores reflexionemos activamente sobre los cambios cognitivos requeridos para que integre los nuevos conocimiento en una estructura mental más apropiada (Dubinsky y Tall, 1991).

Por último, subrayo que la computadora y las calculadoras avanzadas parecen ofrecer muchas potencialidades para el aprendizaje de matemáticas. Sin embargo, no siempre la computadora es un recurso tecnológico disponible, en el corto plazo, para todos alumnos de los niveles elemental y secundario, como sucede en México. Aunque es preciso reconocer, que desde varios foros e instituciones se hacen valiosos esfuerzos para mejorar las condiciones educativas en general. Los siguientes sitios son algunos ejemplos de esos esfuerzos:

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

12

http://sep.gob.mx/wb2/sep/sep_105_materiales_de_apoyo_pa http://dgapa.unam.mx/programas/fortalecimiento/pasd/pasd.html http://www.efit-emat.dgme.sep.gob.mx

Tal vez, las calculadoras avanzadas para uso frecuente en las aulas de matemáticas, sean una opción más factible de conseguir a través de financiamiento público, privado o con los sistemas de préstamo a educadores, que algunas empresas proveen. Referencias Balderas, P. (1993) Experiencias con el uso de un graficador en la enseñanza del cálculo

en la Escuela Nacional Preparatoria. Educación Matemática, (5), 3. México. Diciembre, 125-142.

Balderas, P. (1994) Variación de parámetros en funciones cuadráticas de variable real. Enseñanza. X Simposio Internacional de Computación en la Educación, Sociedad Mexicana de Computación en la Educación, México, D. F. Octubre.

Balderas, P. (1998) La representación y el razonamiento visual en la enseñanza de la matemática. Tesis de doctorado no publicada. Universidad Nacional Autónoma de México.

Dubinsky, E. y Tall, D. (1991) Advanced Mathematical Thinking and the Computer. En D. Tall (Ed.) Advanced Mathematical Thinking (pp. 231-248). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers,

Goldin, G. y Kaput, J. (1996) A Joint Perspective on the Idea of Representation in Learning and Doing Mathematics. En L. Steffe, P. Nesher, P. Cobb, G. A. Goldin y B. Greer (Eds.) Theories of Mathematical Learning (pp 397-430). Hillsdale, N.J.: Erlbaum.

Hiebert, J. y Lefevre, P. (1986) Conceptual and Procedural Knowledge in Mathematics: An Introductory Analysis. En J. Hiebert (ed.), Conceptual and Procedural Knowledge: The Case of Mathematics (1-27). London: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.

Kaput, J. (1989) Linking Representations in the Symbol Systems of Algebra. En S. Wagner y C. Kieran (Eds.) Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra (4) USA: National Council of Teachers of Mathematics (pp 167-194). London: Lawrence Erlbaum Associates Publishers.

Kaput, J. (1992) Technology and Mathematics Education. En D. A. Grouws (Ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp 515-556). New York: NCTM.

Kaput, J. (1994) The Representational Roles of Technology in Connecting Mathematics with Authentic Experience. En R. Biehler, R. W. Scholz, R. Sträβer, B. Winkelmann (Eds.) Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline (pp 379-397). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Presemeg, N. and Balderas, P. 2001. Visualization and Affect in Nonroutine Problem Solving. In Lyn D. English (Ed.) Mathematical Thinking and Learning. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, 289 – 313.

Tauber, L. y Batanero, C. (2001) Estimación de probabilidades a partir de tablas de frecuencias. Análisis de una tarea en un curso de introducción a la estadística

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

13

(233-237). En J. Berenguer, B. Cobo y J. Navas (Eds.) Investigación en el aula de matemáticas. Retos de la Educación Matemática del Siglo XXI. Granada: Facultad de Ciencias de la Educación.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

14

Tabla 1. Representaciones para los sistemas A y B, por nivel escolar, para tareas relacionadas con el modelo subyacente de variación proporcional

Nivel escolar

Sistema A Sistema B

Elemental

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 (longitudes de segmentos verticales que varían en una proporción 2:1 respecto al ordinal en que aparecen dibujados) Tarea: dibujar segmentos que tengan esas longitudes en posición vertical, ordenados de menor a mayor longitud

Medio básico

(1,2), (2, 4), (3, 6), ..., (8, 16), (9, 18), (10, 20) (pares de números formados por el ordinal de cada dato y la longitud del segmento asociado que varía en una proporción 2:1) Tarea: trazar segmentos que tengan esas longitudes en un plano cartesiano

Medio superior

(1,2), (2, 4), (3, 6), ..., (8, 16), (9, 18), (10, 20) (pares de números formados por el ordinal de cada dato y la longitud del segmento asociado que varía en una proporción 2:1) Tarea: localizar los puntos formados por la relación (x, 2x)

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Tabla 2. Representaciones para los sistemas A y B, por nivel escolar, para tareas relacionadas con el modelo subyacente de equiprobabilidad3

Nivel escolar Sistema A Sistema B

Elemental

Frecuencias de las alturas de 1000 alumnos presentadas en una lista de datos. Tarea: iluminar un rectángulo adyacente al de altura 99 para completar una región de área igual a la que componen los rectángulos de alturas 14, 23, 65, 70

Medio básico

Frecuencias de las alturas de 1000 alumnos presentadas en una tabla de datos agrupados Tarea: construir un histograma para los datos y verificar que los eventos: tener una altura entre 152 y 160 centímetros o tener una altura entre 168 y 172, son equiprobables mediante la comparación de las áreas correspondientes a las dos regiones sombreadas.

Medio superior

Frecuencias relativas de las alturas de 1000 alumnos presentadas en una lista de datos agrupados. Tarea: construir un polígono de frecuencias para los datos y verificar que si los eventos: tener una altura entre 157 y 161 centímetros o tener una altura entre 171 y 177 son equiprobables, por la comparación de las áreas correspondientes a las dos regiones sombreadas.

Superior

Frecuencias relativas de las alturas de 1000 alumnos presentadas en una lista de datos agrupados. Tarea: construir una curva normal que aproxime el polígono de frecuencias para los datos, construir un evento equiprobable al propuesto en la región sombreada del lado izquierdo.

3 Datos tomados y adaptados de Tauber y Batanero, 2001, p. 234

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Cuadro 1. Secuencia de actividades para el nivel elemental

Actividad

Conceptos de

geometría

Conceptos de

otras ramas de la matemática

Recursos tecnológicos

a usar

Plantear situaciones problemáticas

Planteamiento y reconocimiento de hipótesis


Papel y lápiz Películas Videos Internet Visitas

Registrar estaturas de los alumnos de la clase

Medición Cuantificación

Frecuencia absoluta

Cintas métricas Papel y lápiz Regla y compás Ambientes de trabajo para geometría y estadística Calculadora con pantalla de graficación

Organizar y presentar la información

Gráficas Escalas

Gráficas de frecuencia

Papel y lápiz Ambientes de trabajo para geometría y estadística Calculadora con pantalla de graficación

Analizar los datos Comparación de longitudes Errores de medición Propiedades de simetría Propiedades de asimetría

Moda Media aritmética Rango Tipos de distribuciones (simétricas o asimétricas) Sesgo

Papel y lápiz Regla y compás Ambientes de trabajo para geometría y estadística Calculadora con pantalla de graficación

Concluir Pronóstico Planteamiento y reconocimiento de hipótesis Argumentación Refutaciones Diferenciación entre los razonamientos inductivo y deductivo

Papel y lápiz Ambientes de trabajo para geometría y estadística Calculadora con pantalla de graficación

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

17

Cuadro 2. Secuencia de actividades para el nivel medio

Actividad

Conceptos

involucrados de geometría

Conceptos

involucrados de otras ramas de la

matemática


a usar





Recolectar información sobre estaturas en documentos impresos o electrónicos

Gráficas medición

Frecuencia relativa Marca de clase

Documentos impresos y electrónicos Papel y lápiz Ambientes de trabajo para geometría y estadística Calculadora avanzada

Organizar y presentar la información

Gráficas Escalas Intervalos Extremos de intervalos

Gráficas de frecuencia Distribución

Papel y lápiz Regla y compás Ambientes de trabajo para geometría y estadística Hojas de cálculo Calculadora avanzada

Analizar los datos Comparación de longitudes Errores de medición Propiedades de simetría Propiedades de asimetría

Moda Tipos de distribuciones (simétricas o asimétricas) Sesgo

Regla y compás Ambientes de trabajo para geometría y estadística Hojas de cálculo Software para simulación Calculadora avanzada

Concluir Pronóstico Planteamiento y reconocimiento de hipótesis Argumentación Refutaciones Diferenciación entre los razonamientos inductivo y deductivo

Papel y lápiz Ambientes de trabajo para geometría y estadística Hojas de cálculo Software para simulación Calculadora avanzada

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

18

Cuadro 3. Secuencia de actividades para el nivel superior

Actividad

Conceptos

involucrados de geometría

Conceptos

involucrados de otras ramas de la

matemática


a usar





Recolectar, organizar y presentar información

Poligonal Área bajo la poligonal Curva Área bajo la curva

Polígono de Frecuencias relativas Marca de clase Ojiva

Papel y lápiz Calculadora graficadora Ambientes de trabajo matemático (Maple, Mathematica, Derive, Stats, StatGraphicss, etc.) Software de estadística (SPSS)

Analizar datos simples

Comparación de frecuencias relativas (estudio de la proporcionalidad) Propiedades de simetría Propiedades de asimetría

Tendencia central Variabilidad Tipos de distribuciones (simétricas o asimétricas) Pronósticos


Analizar pares de datos

Gráficas de pares de datos Rectas Curvas

Gráficas de dispersión Ajuste Regresión Medidas de tendencia central y variabilidad Pronósticos


Simular (movimiento de un punto en el plano, comportamientos de pares de datos)

Lugares geométricos definidos a partir del movimiento de un punto en el plano

Variables aleatorias Generación de variables aleatorias Pronósticos

Papel y lápiz Calculadora graficadora Ambientes de trabajo matemático (Maple, Mathematica, Derive, Stats, StatGraphicss, etc.) Software para simulación

Conclusiones Pronóstico Planteamiento y reconocimiento de hipótesis Argumentación Refutaciones Diferenciación entre los razonamientos inductivo y deductivo

Papel y lápiz Ambientes de trabajo matemático (Maple, Mathematica, Derive, Stats, StatGraphicss, etc.) Hojas de cálculo Software para simulación Calculadora avanzada

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Superficies regladas: construyendo la geometría

Baltasar Pradas

Para mi es un placer encontrarme entre gente que se dedica al estudio de las matemáticas, al

pensamiento lógico, y lo que es más importante, a su enseñanza.

Puede que a lo largo de nuestra vida nos dediquemos o no a la materia que nos atrae, que vaya

en consonancia con nuestro pensamiento, pero como decía Descartes: “el pensamiento es un

atributo que me pertenece, siendo el único que no puede apartarse de mi”. Es este

pensamiento el que nos acompañará toda nuestra vida y el que se reflejará en todas nuestras

actuaciones y manifestaciones. Yo no se muy bien como he llegado hasta aquí, pero de lo que

si estoy plenamente convencido es de que hay distintas formas de” pensamiento” y cada uno de

nosotros está avocado desde que nace a una de ellas.

Yo siempre busqué las matemáticas, la geometría, las medidas y los números en todo lo que

hacía, la mayoría de las veces sin saberlo, sin encontrarle una razón. Si buscaba minerales, no

sólo me fijaba en su composición, sino en sus formas, en la geometría tan perfecta que nos

brinda la naturaleza. Me gustaba observar como las plantas crecen en espiral. Desde niño

jugaba a contar los peldaños de las escaleras que subía, le restaba una planta o le sumaba dos; y

así fueron pasando los años dedicándome a algo que nada tenia que ver con mis aficiones y con

mi forma de pensamiento.

Fue mucho más tarde cuando, por casualidad, como sucede casi todo en esta vida o nos parece

a nosotros que sucede, vi unos cuadros de los que los niños hacen en el colegio con hilos de

colores y puntillas clavadas sobre una madera. Aquellas formas captaron mi atención de tal

forma que me han acompañado hasta hoy y también me han dado algún que otro dolor de

cabeza. Aquellos primeros cuadros que yo había visto eran con formas asimétricas, pero

siempre busque la simetría por parecerme más armoniosa.

Unas horas más tarde de haber visto aquellos cuadros, me encontraba haciendo el primero. Me

fascinaba, les aseguro que ya había cumplido los treinta pero me sentía igual que un niño con

su bicicleta nueva. Sólo con cambiar la posición de las puntillas, que eran las que marcaban el

punto de partida de cada recta, cambiaba todo el dibujo. Más tarde, cambié el hilo por el

alambre de cobre, ya que este material le daba más consistencia. Tomé conciencia de con tan

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

solo utilizar rectas era posible conseguir curvas y conseguir infinidad de dibujos y formas

distintas.

Una vez que llené la casa de cuadros, (más tarde tuve la suerte de venderlos en una tienda de

decoración), pasé a realizar los dibujos en papel, ya que era mucho más fácil almacenarlos.

Durante muchos años el papel cuadriculado, la regla y el lápiz fueron mis herramientas de

trabajo. Mi mente y mi vida se llenaron de rectas, les aseguro que no exagero nada. Todo el

tiempo libre que tenia, y algún que otro rato que robaba a otros quehaceres, lo dedicaba a hacer

dibujos, así conseguí patentar más de cuatrocientos. Así surgió otro reto. Había que conseguir

pasarlas a tres dimensiones, conseguir que se quedasen de pie, que las formas que hasta ahora

eran planas tuviesen volumen.

Tras mucho observar aquellos dibujos di con la forma: un complicado eje central que

aguantaba pequeños travesaños donde descansarían las rectas. Las primeras figuras las realicé

con varilla de madera. Las siguientes fueron en metacrilato, dándome cuenta de que el material

también jugaba un papel importante. Según el material empleado el resultado era diferente,

ganaban en luminosidad, en ligereza, etc. El siguiente paso fue al metal. Pueden observar que

el proceso siguió las distintas etapas evolutivas de la humanidad, era a era, elemento a

elemento. Este cambio de material supuso un gran avance, ya que si utilizaba pletina, el nervio

central desaparecía, ganando de esta manera en belleza. El problema era que la pletina limitaba

mucho las formas, no todos los dibujos que había realizado se podían realizar en este material.

Fueron muchas pruebas y plantillas las que tuve que realizar y muchas las figuras que se han

quedado a medias, hasta que conseguí hacer desaparecer el nervio central utilizando varilla de

metal.

Muchos de los que las han visto las han llamado esculturas, aunque yo siempre las he llamado

formas. El milímetro cobra gran importancia, no sólo a la hora de hacerlas sino a la hora de

contemplarlas, un milímetro que variemos nuestra posición cambiará la forma que veamos.

Lo que más me gusta de ellas es que podemos variar las medidas sin perder la figura que

habíamos obtenido, sin perder su armonía, sólo tenemos que guardar la proporcionalidad. Se

pueden hacer pequeñas como una joya o enormes como la Torre Eiffel.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Nunca he realizado estudios de arte, de hecho me cuesta mucho hacer cosas como darles color,

pero para mi el placer radica en conseguir formas nueva y en ir combinando unas con otras

para obtener figuras diferentes.

Por comentarios que me han hecho la gente que las ha visto, o por libros de arte que yo he

consultado para ver donde podían encajar estas figuras o esculturas, lo más parecido que he

encontrado es la corriente llamada “constructivismo ruso”. A esta corriente se la define como

“un proceso riguroso de depuración matemático-científica de las formas, manejando

volúmenes geométricos”. No se ajustan estas esculturas íntegramente a las que yo hago, pero sí

puede ser con las que más puntos en común tengan y, desde luego, un mismo origen.

Lo mejor de estas esculturas o figuras, no es que de un dibujo en dos dimensiones lleguemos a

una figura con volumen, a una figura decorativa que nos sirva para contemplarla, sino que

pueden tener otras muchas aplicaciones en nuestra vida diaria. La gran consistencia que

adquieren debido a sus puntos de apoyo y su gran solidez me plantean un nuevo reto, aplicarlas

en construcciones, hacer con ellas columnas, puentes, edificios… como imaginarán este reto es

mucho más complicado.

Por último, les puedo decir que lo que más me ha llamado siempre la atención y me ha llenado

de satisfacción ha sido que al público que más le ha gustado ha sido al más joven, incluido los

niños. Estas figuras me han ayudado para enseñar a mis hijas a utilizar el metro, a multiplicar

para hacer una más grande o a dividirlas para disminuir su tamaño. También me he ayudado de

ellas para explicarles el tan temido sistema métrico, y puedo asegurarles que resulta mucho

más ameno cuando el resultado es algo que podemos ver, que podemos tocar.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

1

GEOMETRÍA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Resumen:

Hoy es difícil concebir una clase de matemáticas que no sea un “taller” donde se resuelven problemas. Se piensa, y creo que con razón, que el conocimiento matemático se adquiere resolviendo problemas. Ya se sabe que numerosos estudios y manuales avalan y enseñan a utilizar esta forma de aprendizaje. El objetivo de esta charla es poner de manifiesto, mediante algunos ejemplos clásicos, que los problemas de Geometría juegan un importante papel y son especialmente idóneos para favorecer y facilitar el aprendizaje matemático.

Para comenzar … ¡un problema! ¿Existen siempre en todo poliedro dos caras con el mismo número de aristas? (Z. Michalewicz y D. B. Fogel “How to Solve it: Modern Heuristics”). Lo dejamos así, para pensarlo un poco, y al final volveremos sobre él. Un poco de Historia. Hace más de 3000 años que se están resolviendo problemas de Geometría. En el Papiro de Rhind (1700 a.C.) aparecen cálculos de áreas de triángulos, cuadrados, trapecios y del círculo.

En Egipto y Grecia los problemas de Geometría fueron la base del conocimiento matemático. Y podemos decir que hasta el Renacimiento la forma más aceptada de razonamiento era geométrico. Incluso en Álgebra, cuya forma retórica dificultaba los razonamientos, identidades como la del cuadrado de un binomio eran sólo verificables comparando áreas (ver figura). Lo mismo ocurre con la resolución de ecuaciones. Hasta la aparición del Álgebra simbólica, la Geometría era la única

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

2

herramienta de que se disponía para alcanzar la solución de un problema algebraico. Trabajos como los de Fibonacci y posteriormente Cardano y Tartaglia nos muestran esta forma de proceder.

Así, la resolución de ecuaciones cuadráticas se hacía completando geométricamente un cuadrado, como puede verse en la siguiente figura. La famosa solución de la ecuación cúbica “del cubo y las cosas igual al número” la obtiene Cardano (“Ars Magna”) razonando sobre figuras planas, pero, en realidad, es como si estuviera haciéndolo con lo que hoy llamamos policubos.

Tenemos, pues, razones históricas para pensar que la Geometría ha sido durante siglos la base de los procesos demostrativos en matemáticas.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

3

Por qué resolver problemas. La clase de matemáticas ha vivido muchos cambios a lo largo de la historia y en todos los niveles educativos: lecciones magistrales, clases teóricas seguidas de numerosos ejercicios, clases de teoría y clases de problemas impartidas por separado, resolución de problemas de los que surgen las ideas teóricas, etc. Hoy día parece comprobado que, al menos en la enseñanza media, el modelo de plantear problemas y a través de ellos ir introduciendo los conceptos teóricos es el más adecuado para el proceso de enseñanza-aprendizaje. Incluso entre los docentes universitarios va calando también la idea de que este modelo, unido a una percepción histórica de los problemas que generaron las teorías, es la mejor manera de plantear las clases. Resolver problemas es, sin duda, no sólo el objetivo, sino también la forma de aprender matemáticas. Aunque puedan parecer una exageración, las palabras del británico Godfrey H. Hardy abundan en este sentido:

La única forma de aprender matemáticas es resolver diez problemas todos los días de la semana, ... y veinte los domingos.

La pregunta entonces es: ¿se puede aprender a resolver problemas? Y la respuesta es: sí, … ¡resolviendo problemas! Por supuesto hay estrategias de resolución de problemas (G. Polya, M. de Guzmán, …), pero resolver problemas de matemáticas es como montar en bicicleta: hay que montarse y, casi seguro, caerse más de una vez. Aunque hayamos visto, incluso a cámara lenta, vídeos y vídeos de excelentes ciclistas mostrando la forma de hacerlo, si no nos arriesgamos no aprenderemos nunca. Los problemas de Geometría. El objetivo que se pretende en esta charla es poner de manifiesto que los problemas de Geometría favorecen especialmente el aprendizaje en la resolución de problemas. Los motivos son variados, pero aquí los vamos a resumir en cuatro: 1. La visualización del problema, que se traduce en aspectos tales como:

El problema está plasmado en una imagen que tenemos presente. La figura permite recordar las características de los objetos construidos. El trazado de unas líneas puede dar luz sobre la solución. Aunque existe el peligro de la pérdida de generalidad al dibujar las

figuras. Así, si pedimos dibujar un triángulo equilátero, otro isósceles y otro rectángulo, la mayoría nos presentará este dibujo

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

4

y muy pocos lo presentarían así

2. La facilidad para compaginar la intuición y el rigor. Es bien sabido que el rigor es una herramienta necesaria para el matemático, pero es importante no sobrevalorar su importancia y saber en qué momento debe hacerse presente. Los procesos matemáticos, como los procesos científicos en general, atraviesan dos etapas: en primer lugar hay una fase "intuitiva" en la que se busca, se imagina, se conjetura sobre cuál puede ser la solución del problema. En esta etapa se puede actuar sin rigor, es más, a veces el rigor puede ser contraproducente. En segundo lugar está la fase "demostrativa" en la que, por métodos rigurosos, hay que probar que la solución encontrada es verdaderamente la solución del problema. Aquí es donde el rigor se hace imprescindible. En los problemas de Geometría se aprecia muy bien esta dualidad. En el siguiente ejemplo sospechamos que el triángulo es equilátero, pero necesitaremos probarlo con un razonamiento riguroso, que se encuentra fácilmente con sólo trazar la recta AP’.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

5

A Pm

P'

Se pliega por AB de modo que P caiga sobre P' en m y se vuelve a plegar por BP'.

¿Cómo es el triángulo ABC?B

C

Pero también es posible que la intuición, quizás ayudada por un dibujo mal hecho, nos conduzca a resultados erróneos, como en el conocido ejemplo que prueba que todos los triángulos son isósceles:

A

B

C

mediatriz

P

bisectriz

A

B

C

mediatriz

Todos los triángulos son isósceles

bisectriz

P

En la primera figura, la igualdad de los triángulos rectángulos que aparecen conduce a la igualdad de los lados AB y BC. En la segunda, la bisectriz, que ahora está correctamente trazada, corta a la mediatriz fuera del triángulo, concretamente, en la circunferencia circunscrita, lo que es fácil probar, y que no permite hacer el razonamiento aditivo sobre segmentos que se hacía antes.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

6

3. La posibilidad de empezar con casos sencillos. Muchos problemas de Geometría pueden replantearse con formas más simples, lo que permite en muchos casos obtener soluciones particulares que pueden generalizarse o aportar ideas para resolver el caso general. Por ejemplo, en la siguiente figura se han prolongado los lados del cuadrilátero ABCD, todos en el mismo sentido, el doble de su longitud. Si el área de ABCD es k, ¿cuál es el área del cuadrilátero PQMN?

Si ABCD fuese un rectángulo la solución es sencilla:

Si el área de ABCD es k, el área del cuadrilátero PQMN es 5k, porque cada triángulo es equivalente al rectángulo. Lo mismo ocurre si ABCD fuese un romboide:

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

7

Intuyendo que en el caso general será lo mismo, nos apoyamos en los casos anteriores para demostrar que es así:

Ahora el área de los triángulos no coincide con la del cuadrilátero, pero el área de cada uno de ellos resulta ser el doble de cada uno de los triángulos que determinan las diagonales en ABCD. Sumando todas las áreas se obtiene el resultado esperado. Otro ejemplo, más complicado, es el cálculo del área bajo un arco de cicloide. Aunque en secundaria no podemos pretender llegar a una prueba formal, sí que podemos, por aproximaciones sucesivas, jugando a ser Arquímedes, conjeturar una fórmula para dicha área. Empezamos volteando un triángulo equilátero y observamos que el área bajo la poligonal es tres veces el área del triángulo:

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

8

Si volteamos un cuadrado resulta otra vez que el área bajo la poligonal es tres veces el área del cuadrado:

Si repetimos el proceso con un pentágono regular, hexágono, etc. resulta de nuevo que el área bajo la poligonal es tres veces el área del polígono. Es fácil intuir entonces que el área que encierra un arco de cicloide es tres veces el área del círculo, y no podemos ir más allá, pero ya es mucho.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

9

4. Consideremos el problema resuelto. La visualización de un problema geométrico permite, en muchos casos, suponer que hemos encontrado la solución y analizar qué propiedades la relacionan con los datos del problema y si éstas son reversibles, es decir, ver si es posible usando estas relacionas hallar la solución a partir de los datos.

BA

D

C

66,2 °

106,8 °

Suma de los ángulos B y D = 172,97 °

BA

D

C 87,8 °

106,8 °

Suma de los ángulos B y D = 194,53 °

Por ejemplo, si queremos saber qué propiedad debe tener un cuadrilátero para que sea inscriptible suponemos que existe una circunferencia que pasa por los cuatro vértices. Entonces observamos que la suma de los ángulos opuestos es 180º y, además, si alguno de los vértices es interior o exterior al círculo determinado por los otros tres, dicha suma es mayor o menor, respectivamente, que 180º. Hemos encontrado así la caracterización que buscábamos. Otro ejemplo clásico es el de encontrar el camino más corto entre dos pueblos, teniendo que cruzar un puente. Si suponemos el problema resuelto, pensemos que, como la longitud del puente es constante, podemos situarla al inicio del recorrido y, a partir de ahí, la mínima distancia a recorrer sería en línea recta desde A’ hasta B.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

10

A

B

río

A'

puente

Esto nos marca la situación del puente y de ahí la solución del problema. El razonamiento para comprobar que, efectivamente, éste es el camino más corto es fácil, observando que seguir cualquier otro equivale a ir de A’ a B por un camino diferente al rectilíneo. Los programas de geometría dinámica. Cómo hemos podido apreciar a lo largo de la exposición, un programa como CABRI nos ayuda muchísimo a realizar construcciones geométricas, visualizar los problemas, encontrar relaciones entre los objetos, modificar las posiciones de los mismos, hallar lugares geométricos, etc. Pero el principal atractivo de los programas de geometría dinámica, desde un punto de vista matemático, es que permiten hacer conjeturas, avanzar resultados que luego, por supuesto, habrán de ser probados. Se expone como ejemplo el cálculo de la altura a la que se cruzan dos cables que unen dos postes. La visualización en CABRI hace pensar que esa altura es la misma cuando se aproximan o separan los postes. La prueba, aplicando el Teorema de Thales, confirma que la altura sólo depende de la longitud de los postes.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

11

Y en un segundo ejemplo la propiedad del triángulo equilátero referente a la suma de distancias desde un punto interior del triángulo a los lados del mismo:

B

C

A

P

FD

E

3,00 cm 2,05 cm

2,30 cm

PD+PE+PF = 7,35 cm

Altura del triángulo h = 7,35 cm

¿Cuánto suman las distancias desde P a los tres lados del triángulo?

Al mover el punto P con ayuda del programa se observa que la suma de distancias coincide con la altura del triángulo. Entre las diferentes pruebas de esta propiedad, destacamos una, comparando las áreas de los triángulos que se forman, y otra, más en consonancia con la idea que venimos desarrollando, reduciendo el problema a un caso más sencillo, cuando P está en un lado del triángulo, y generalizando después la situación a cualquier punto interior.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

12

Y para terminar … “En todo poliedro existen siempre dos caras con el mismo número de aristas”. La resolución de este problema se enmarca dentro de lo que se llama “Principio del Palomar”. Si en una plaza hay trece palomas revoloteando y su palomar tiene doce huecos para entrar y salir, cuando las palomas vayan a recogerse habrá, al menos, un hueco por el que entren más de una paloma. Este principio tan simple nos sirve para resolver problemas, como el propuesto, que de entrada parece bastante complicado. En primer lugar observemos que si una cara tiene x aristas, rodeándola habrá x caras. Entonces, si el poliedro tiene n caras, habrá una que tenga el máximo número de aristas. Este máximo no puede ser n porque si fuera así de esa cara saldrían n caras y el poliedro tendría n+1 caras. Luego, el máximo número posible de aristas que puede tener una cara es n-1. Aplicando ahora el principio del palomar, tenemos n-1 números posibles de aristas en una cara (“huecos”) y n caras en total (“palomas”). Por lo tanto, al menos dos caras tienen el mismo número de aristas. En realidad el resultado es más fuerte porque el razonamiento anterior supone que el número de aristas que tiene cada cara es 1, 2, 3, 4, …, n-1. Pero el 1 y el 2 no son válidos, luego el número de “huecos” es n-3 y, así, hay tres “palomas” que tienen que entrar por “huecos” ya usados, para lo que existen, claro está, diferentes combinaciones. Bibliografía. Francisco Martín Casalderrey. “Cardano y Tartaglia. Las matemáticas en el Renacimiento Italiano”. Ed. Nivola. Madrid. 2000. Zbigniew Michalewicz y David B. Fogel. “How to Solve it: Modern Heuristics”. Ed. Springer. 3ª Edición. Berlín, 2002. José M. Pichel. “Requeteoremas: reinventando teoremas de Geometría con Cabri II”. Revista SUMA. Nº 36. 2001. Norma C. Presmeg. “Las posibilidades y peligros del pensamiento basado en imágenes en la resolución de problemas matemáticos” (Traducción de Julio Sancho). Revista SUMA. Nº 32. 1999. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. “History of Mathematics”. December 2000.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

INVESTIGACIÓN EN EL AULA DE MATEMÁTICAS. LA GEOMETRÍA COMUNICACIONES

Jueves, 15 de Diciembre 2005 (Aula Andrés Manjón)

19h15: DEMOSTRACIONES Y USO DE MODELOS GEOMÉTRICOS EN LA ENSEÑANZA DEL ALGEBRA. Mª Victoria Martínez Videla, Profesora Educación Secundaria, Chile ([email protected]) 19h30: EL MAPA DEL TESORO: UN PROYECTO SOBRE LA REPRESENTACIÓN DEL ESPACIO EN LA EDUCACIÓN INFANTIL. Carlos de Castro y Beatriz Escorial. Centro Superior de Estudios Universitarios La Salle y Colegio Las Naciones de Madrid. ([email protected], [email protected]) 19h45: LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS A LOS CINCO AÑOS: EXPLORACIONES A TRAVÉS DE LA LITERATURA INFANTIL. Beatriz Escorial, Carlos de Castro. Colegio Las Naciones de Madrid y Centro Superior de Estudios Universitarios La Salle. ([email protected], [email protected]) 20h00: EXPERIENCIA EN EL AULA DE SECUNDARIA CON FRACTALES. Grupo PI. (Sandra Gallardo, Manuel J. Martínez-Santaolalla, Marta Molina, María Peñas, Mª Consuelo Cañadas, Edson Crisóstomo). ([email protected]). 20h15: EXPERIENCIA DOCENTE: TALLER DE CONSTRUCCIÓN: OMNIPOLIEDRO. Pilar Gámez Gámez, Centro Educativo Agave, Almería. 20h30: ¿POR QUÉ A ÉCIJA SE LE CONOCE COMO “CIUDAD DE LAS TORRES”? María Vega Quirós, José María Cardeñoso. Escuelas Profesionales de la Sagrada Familia de Écija, Sevilla, Dpto Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada ([email protected], [email protected]) Otras comunicaciones presentadas, que aparecerán en las actas de las Jornadas EL COMPONENTE GEOMÉTRICO EN EL CUESTIONARIO DE EVALUACIÓN DEL PROYECTO VALMAT. Carmen Díaz, Juan D. Godino, Rafael Roa y Francisco Ruiz. Universidad de Granada JE, ¡OH!, ¿METRÍA? Pablo Flores, Departamento Didáctica de la Matemática, Granada ([email protected]). LA GEOMETRÍA A LOS 18”. EL PUNTO DE PARTIDA EN LA FORMACIÓN INICIAL DE MAESTROS. Lina María Cecilia Gámiz, Pablo Flores. Escuela Universitaria de Magisterio “Sagrada Familia”, Úbeda, U. Jaén, Dpto Didáctica Matemática, U. Granada. ([email protected], [email protected]) RECURSOS PARA UNA EXPERIENCIA EN EL AULA CON FRACTALES. Grupo Pi (Edson Crisóstomo, Sandra Gallardo, Manuel J. Martínez-Santaolallla, Marta Molina, María Peñas, Mª Consuelo Cañadas) ([email protected]) SALIMOS AL MEDIO NATURAL: MATEMÁTICAS Y EDUCACIÓN FÍSICA, APRENDIZAJE INTERDISCIPLINAR. David Ríos Martín, Diplomado en Magisterio en Educación Física. ([email protected])

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

1

Experiencia docente

Taller de construcción: Omnipoliedro

Pilar Gámez Gámez

[Centro Educativo Agave, Almería]

• Resumen

Esta actividad surgió, buscando la mejor forma de repasar los contenidos de geometría

dentro de la opción A de la asignatura de matemáticas para 4º de ESO. Después de

buscar en libros, revistas y en Internet, me topé con el omnipoliedro y me puse manos a

la obra, conjuntamente con la profesora de artística. Ha sido una experiencia

maravillosa, por ello os invito a que leáis estas líneas y os animéis a llevarlo a vuestra

aula.

• Presentación y objetivos.

La idea surgió, como una actividad pensada para los alumnos de 4º de ESO de la opción

Matemáticas A; pensé que en 4º no vendría mal dar un pequeño repaso a la geometría y

¿qué mejor forma de hacerlo que manipulando y de manera práctica?. Se trata de un

grupo reducido (10 alumnos), lo que también me motivó para realizar esta actividad; la

idea era repasar los conceptos más básicos de geometría de forma práctica y agradable

para los alumnos.

Una vez que tenía la idea de lo que quería hacer, me puse a buscar algún recurso en

Internet y en las revistas de Suma y Epsilon y … ¡Eureka! Encontré una actividad que

me pareció interesante en el nº 39 de la revista SUMA en la página 77, en un artículo

titulado “Geometría de ayer y de hoy” de José Antonio Mora, que fue el que dio pie a

esta actividad, que paso a desarrollar.

En dicho artículo aparecía la página:

http://teleline.terra.es/personal/joseantm/

De esta página saqué toda la información necesaria para montar nuestro omnipoliedro

particular; el taller ha sido compartido entre las asignaturas de educación artística y

matemáticas.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

2

• Inicios

Antes de llevar la actividad al aula quise hacer una pequeña maqueta, para comprobar

que la actividad podía funcionar. Para construir mi pequeño omnipoliedro utilicé

varillas de madera, hembrillas, lana, pinturas de varios colores y paciencia,….

Las medidas que utilicé fueron:

Poliedro Número de

varillas

Long. varillas

de madera

(cm.)

Tetraedro 6 11.80

Cubo 12 8.35

Octaedro 12 5.90

Icosaedro 30 8.35

Dodecaedro 30 5

Construir este pequeño omnipoliedro me llevó algo de tiempo y paciencia, la verdad es

que me costó más trabajo que la construcción del omnipoliedro definitivo; al ser las

medidas de éste más reducidas era más difícil su manipulación.

Esta pequeña maqueta me sirvió para después explicar a los alumnos lo que íbamos a

construir. Desde el primer momento los alumnos mostraron un gran interés y

motivación por la actividad.

• Construcción

Omnipoliedro significa “todos los poliedros”. Es una composición realizada con los

armazones de los cinco sólidos platónicos o poliedros regulares, conocidos y utilizados

desde hace más de 4000 años. La construcción se realiza de forma que los cinco están

inscritos uno dentro de otro. En el interior se encuentra el Octaedro (amarillo), sus

vértices se sitúan en el centro de las aristas del Tetraedro (rojo). Los cuatro vértices del

tetraedro coinciden con otros tantos del Cubo (verde). Las aristas del cubo se encuentran

sobre las caras del Dodecaedro (morado). Y por último, el Icosaedro (azul) proporciona

rigidez al Dodecaedro ya que las aristas de ambos se cortan en los puntos medios. De

esta forma podemos ver las relaciones entre unos y otros.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

3

El omnipoliedro se puede observar, se puede tocar y nos dará motivos para reflexionar

sobre ideas matemáticas como: medida, formas, relaciones, fórmulas. Sin embargo, la

característica más interesante del omnipoliedro es que lo han realizado los propios

alumnos. Basta con fijar ataduras en los extremos de las barras para ir formando los

vértices de los poliedros regulares y encajar cada uno en el siguiente.

Las medidas para la estructura del omnipoliedro se han tomado de la página Web que ya

he referenciado antes. Y son las siguientes:

Poliedro Número de

barras Longitud de

la arista (m.)

Long. Barra

(m.) Total (m.)

Tetraedro 6 2.36 2.32 13.92

Cubo 12 1.67 1.62 20.04

Octaedro 12 1.18 1.12 13.44

Icosaedro 30 1.67 1.615 48.45

Dodecaedro 30 1.03 0.99 29.70

Total 125.55

Para el cálculo de las longitudes de las barras es necesario contar con que las hembrillas

que se colocan en los extremos incrementan la longitud. A esto hay que añadir el grosor

de la barra, lo que obliga a que las barras de los poliedros que van por el interior hayan

de ser ligeramente más cortas que las que se sitúan por el exterior. Esto ocurre con el

octaedro cuyos vértices van a los puntos medios de las aristas del tetraedro, pero el caso

más importante es el del icosaedro cuyas aristas se cruzan con las del dodecaedro.

El material que hemos utilizado para construir nuestro omnipoliedro varía con respecto

al que estamos tomando como referencia, en lugar de las barras de aluminio hemos

utilizado unos tubos huecos de plástico.

Consideramos que serían más fáciles de conseguir, más económico y más fácil de

cortar, con una sierra.

Para unir los tubos ingeniamos lo siguiente:

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

4

A unos tapones de plástico duro como los que aparecen en la figura,

les hicieron unos agujeros, con ayuda del taladro, y en ellos se introducían las

hembrillas a rosca

El siguiente paso era pintar cada uno de los tubos, según el color que se muestra a

continuación

Poliedro Barras Color

Octaedro 12

Tetraedro 6

Cubo 12

Icosaedro 30

Dodecaedro 30

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

5

Como los tubos eran de plástico, en primer lugar le dimos una mano de imprimación

blanca

para que agarrase bien la pintura de témpera que después se utilizó.

El siguiente paso fue construir cada poliedro por separado, y algunos lo utilizaron para

pintar los tubos de forma más cómoda

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

6

Para unir las hembrillas utilizamos bridas de plástico, era muy importante apretarlas

bien para conseguir consistencia, en los vértices y en las aristas que se superponen,

como se muestra en la figura

Ya estábamos preparados para comenzar el montaje del omnipoliedro.

En primer lugar se construyó el octaedro, para después introducirlo en el tetraedro

El siguiente paso era introducir el octaedro y el tetraedro en el cubo (el de color verde)

Ya teníamos montados 3 de los 5 poliedros:

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

7

Vamos a por el dodecaedro, la cosa se complica,….

Ya no se aprecia muy bien en las fotos, pero todavía nos falta el icosaedro, alguno de

los vértices nos costó más trabajo, pero ya estábamos en los últimos remates

Nos costó trabajo, pero al final lo conseguimos, os muestro dos fotos desde el interior

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

8

Y el resultado final:

• Conclusión

La experiencia ha sido estupenda, no solo para los alumnos de 4º de Educación

Secundaria Obligatoria, que han construido el omnipoliedro, sino, para todo el colegio

en general; lo hemos situado en el patio, y ya se han realizado varias salidas en la clase

de matemáticas para explicar diferentes propiedades de los poliedros.

Los primeros en visitarlo fueron los más pequeños:

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

9

Hemos realizado varias actividades teniendo como protagonista el omnipoliedro, pero la

más importante tuvo lugar el Día de las Matemáticas (12 de Mayo), en el que se

prepararon varias exposiciones, pero la exposición estrella era el omnipoliedro, para ello

se preparó el siguiente cuestionario, que pudieron rellenar perfectamente todos los

alumnos de secundaria desde 1º a 4º.

CUESTIONARIO OMNIPOLIEDRO

1. Nombra los cinco sólidos platónicos.

2. ¿Cuál es la figura que se encuentra en el interior?

3. ¿Dónde se sitúan los vértices del octaedro?

4. ¿Dónde están apoyadas las aristas del dodecaedro?

5. ¿De qué color es el icosaedro?

6. Dibuja un hexaedro.

7. Número de aristas del dodecaedro.

8. Número de vértices del icosaedro.

9. Número de caras del tetraedro.

10. ¿Qué poliedro tiene sus caras pentagonales?

11. ¿Cuántas varillas han sido necesarias para montar el omnipoliedro?

Además del omnipoliedro, los alumnos de 4º prepararon unos carteles, que pudimos

colocar en caballetes al lado del omnipoliedro, en los que se daba una breve explicación

de cada uno de los cinco poliedros regulares.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

10

También se colocó un ordenador con una presentación de todas las fotos realizadas, con

música de fondo, para que el resto de compañeros vieran el proceso de construcción.

La experiencia ha sido muy gratificante, os recomiendo que si tenéis oportunidad, la

llevéis a cabo en vuestro centro. Seguro que os gusta.

Espero que esta experiencia anime a otros profesores a ver las matemáticas de otra

forma distinta y no solo con lápiz y papel.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

JE, ¡OH!, ¿METRÍA?

Pablo Flores

Tal como aparece en el chiste de Idígoras y Pachi (figura 1), los nombres geométricos parecen asignarse para dar realce a objetos inútiles. Y es que la enseñanza de la geometría ha enfatizado especialmente el aprendizaje de fórmulas y nombres. Así, Manolito tiene pesadillas con esos nombres, aunque en su entorno haya elementos que adquieran esas formas.

Igualmente, Libertad se enfrenta a una tarea clásica en geometría, identificar el nombre de una figura representada en la pizarra.

Para evitar que los estudiantes tuviesen este tipo de dificultades, ya desde 1991, el Ministerio (MEC, 1991), sugería que la enseñanza de la geometría en la Enseñanza Primaria tendría dos objetivos esenciales, ayudar a familiarizar al alumno con el espacio y prepararlos para un posterior aprendizaje más organizado.

Figura 1: Idígoras y Pachi. IDEAL, 2004

Figura 2: Quino (1997)

Figura 3. Quino, 1997

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Situar al niño en el espacio significa (MEC, 1991), darle oportunidades para explorar el espacio ambiente tridimensional. Se trata de favorecer que el alumno perciba, identifique y caracterice elementos geométricos del entorno, con objeto de aumentar su intuición espacial. Igualmente, las primeras directrices andaluzas para la ESO recomiendan que los alumnos interactúen con objetos geométricos concretos, relaten sus actuaciones; identifiquen los problemas y describan los procesos seguidos y los resultados de sus indagaciones (Junta de Andalucía, 1992). Familiarizar al alumno con el espacio e interactuar con objetos geométricos supone realzar la actuación del alumno y darle funcionalidad. Si bien esto no se opone a las finalidades intelectuales (conocer objetos geométricos), sí alteran las prioridades. En esta línea hay que entender las propuestas del 1998 del NCTM, que hablan de la creación de sentido espacial (NCTM, 1991), para destacar la importancia de las habilidades espaciales, a la vez que mostrar su complejidad. Los estándares del 2000 (NCTM, 2003) llaman la atención sobre la visualización espacial, caracterizada como la capacidad para construir y manipular mentalmente representaciones de objetos de dos y tres dimensiones y percibir un objeto desde perspectivas diferentes. Del Grande (1990) establece seis componentes de la visualización: 1) Coordinación visual motora (habilidad para coordinar la visión con los movimientos del cuerpo), 2) Percepción de la figura en contexto, 3) Constancia visual, 4) Percepción de la posición en el espacio (evitar un anclaje de las piezas en una sola posición en el espacio), 5) Discriminación visual y 6) Memoria visual. Lectura de historietas humorísticas En anteriores trabajos hemos analizado algunas cualidades educativas del humor matemático (Flores, 2003). En esta queremos destacar especialmente las referidas a su cualidad de humor gráfico para la creación de hábitos de visualización. En el humor gráfico aparecen cualidades simbólicas que hay que comprender. Para ello es necesario tener hábitos de interpretación de la comunicación gráfica. Hemos elegido una historieta de Bill Amend (Figura 5). Para entender esta historia hay que ir recorriendo sus viñetas, descubriendo los personajes, los acontecimientos y el tiempo que transcurre en ella. Estas informaciones vienen dadas en el arte gráfico por diferentes códigos y recursos. Se llama cerrado de una viñeta el recuadro en el que está inserta. Globo o bocadillo es el espacio que rodea al texto que expresa un personaje. La forma de los cerrados y globos dan información (McCloud 1995, Eisner 1996). Por tanto, para entender en toda su amplitud el mensaje de una historieta es necesario discriminar estas formas y conocer sus códigos de interpretación.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

En la figura 4, de Nik, podemos ver diversos tipos de cerrados. Los dibujantes recurren a ellos para expresar diversas emociones. Aquí Nik juega con ellos para transmitir el mensaje de negar de todas las formas posibles.

En la historieta de la figura 5 los cerrados son todos rectangulares, colocados de manera regular, formando una retícula. Su disposición permite identificar el orden de lectura, de

izquierda a derecha y de arriba abajo. Los pocos globos existentes tiene forma de óvalo, con un contorno continuo, por lo que no son estos los recursos empleados para transmitir la historia (McCloud, 1995). Necesitamos utilizar otros recursos que se emplean en el lenguaje de los cómic, y que son la proyección y la perspectiva.

Figura 4: Formas de cerrados, Nik, La Nación, 2004

Figura 5. Bill Amend. El Pequeño País.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Es muy frecuente que los autores de cómic utilicen técnicas de proyección para dar profundidad a las viñetas de sus historias. En la figura 6, Linier ha creado una historieta

en la que se percibe el relieve de la esquina, gracias a la existencia de dos puntos de fuga fácilmente localizables (perspectiva central). El tamaño de los cerrados le ayudan a dar relieve a la historia, aunque ello conlleve la ruptura de la secuencia natural de acontecimientos, pues la lectura se hace de manera simultánea de derecha e izquierda hacia el centro. En la figura 7 Tute nos llama la atención de la importancia de la perspectiva para ver las cosas. Tute está considerando la perspectiva como el punto en el que se sitúa el observador. Watterson emplea el término perspectiva para referirse a la proyección, y fantasea con la de respetar las normas de proyección para dominar el espacio en que nos movemos en la vida cotidiana (figura 8).

El cómic, como las imágenes impresas (Aparici y García-Matilla, 1989, Aparici 1992) trata de presentar en el plano acontecimientos que ocurren en un espacio tridimensional.

Figura 6: Linier, Clarín, 2005

Figura 7: Tute, La Nación

Figura 8: Watterson, Pequeño País

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Para ello recurre a las técnicas de proyección, pero también a la angulación y al plano. La angulación sitúa al espectador en un punto determinado. Puede colocar al espectador frente a la acción (normal), o sobre la acción (picado). La distancia respecto a la acción hará que aparezcan los personajes completos (plano general), desde la cintura (plano medio), o abarcando sólo su cabeza (primer plano). Esto permitirá que el efecto que produzca sea distinto.

Con estos elementos vamos a tratar de analizar la acción de la historieta de Amend (Figura 5). Para ello descompongamos la historieta en viñetas, de las que encontramos 10 del mismo tamaño. Las viñetas 1 y 2 (figura 9) encuadran la acción. Se tratan de planos cortos (planos

detalle), con dos picados. Una mano escribe fórmulas trigonométricas, mientras la otra sujeta el papel. La forma en que se oscurece la viñeta segunda y la transición (McCloud, 1995) tan corta entre viñetas (obsérvese que la mano del lápiz ocupa casi la misma posición), nos sugieren que el dibujante ha situado la cámara en los ojos del estudiante, y a este se le están cerrando los ojos. En la viñeta 3 aparece un globo que corresponde a una voz de un personaje que está fuera del ámbito que se ve (ver punta hacia fuera del cerrado). Continúa empleando el plano corto picado anterior. La visión se abre (se ha perdido el oscurecimiento de la viñeta), las manos sueltan el lápiz y están alertas, dinámicas. En la viñeta 4 ha cambiado el decorado. El plano ha pasado a ser general aunque sigue la angulación en picado. La mano está sobre algo que puede ser el quicio de una puerta o la esquina de la pared. Los restantes objetos sugieren que el estudiante ha cambiado su posición, y contempla lo que puede ser un piso inferior

al que habita. La viñeta 5 nos confirma la hipótesis anterior, ya que mediante un plano general y una angulación en picado se muestran las escaleras y la habitación del piso de abajo.

Figura 9: Amend, Viñetas 1 y 2

Figura 10: Viñeta 3

Figura 11: Viñeta 4 DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

La visión en primer plano de las piernas sugiere que el estudiante ha saltado y está suspendido en el aire. En esta imagen se emplea una proyección en perspectiva central, con un solo punto de fuga (ver figura 12), lo que da profundidad a

la imagen. En el esquema se perciben como confluyen las aristas de la habitación, pero también las limitadoras de la escalera y de la baranda.

En la viñeta 6 (figura 14) observamos una imagen que ha perdido la horizontalidad. Se trata de un plano medio, de angulación normal. El dibujante emplea una proyección central con dos puntos de fuga para dar profundidad a la imagen. Vuelven a verse brazos y manos del estudiante, agarradas al quicio de la puerta. La cámara sigue en el estudiante, que de nuevo está volando, con la cabeza ligeramente inclinada respecto a su eje, lo que genera la visión oblicua. Las manos agarradas lo impulsan, bien para acelerar su marcha/vuelo, o para cambiar de

trayectoria. Las viñetas 7 y 8 se componen de planos medios, con angulación normal. Una esquina de la habitación en la viñeta 7 le permite dar volumen, lo que no ocurre en la viñeta 8. Aparecen en ellas dos

personajes nuevos, un chico y su mascota. La posición de las manos por delante así como el gesto defensivo del chico, hace adivinar que ha observado de la llegada del estudiante, y ha sentido que lo va a arrollar. La viñeta 8 es la instantánea que refleja el momento en que lo arrolla (la cola de la mascota muestra que ha saltado por los aires). Detrás se adivina una mesa con dos sillas puestas. La viñeta 9 es un plano corto, en picado. La proyección se percibe por los laterales de la silla, que convergen, dando indicación de profundidad, por presentar líneas



Figura 15: Viñetas 7 y 8


Figura 13: Esquema proyección

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

paralela que confluyen en el polo. El estudiante (del que adivinamos las manos y en cuyos ojos sigue estando la cámara), alcanza la silla con la mano derecha y la separa de la mesa, en la que se apoya (ver señales de arruga junto a los dedos), con la mano izquierda.

Por fin la viñeta 10 es un plano medio, con angulación normal. La proyección es escasa, pues no hay referentes que lo permitan, lo que da idea de imagen plana. La cámara ha pasado a situarse frente a la acción, en un lugar incierto. Aparecen tres globos con línea continua. El primero (izquierda) presenta puntos suspensivos, lo que indica que continua la frase que se inició en la viñeta 3 (figura 10). La emisora del mensaje es la madre del estudiante, que termina la palabra que se inició en la viñeta 3. Esto

nos permite identificar el tiempo que ha transcurrido desde la viñeta 3 a la 10: El estudiante se pone en marcha cuando escucha la primera parte de la palabra pizza, y se sienta cuando la termina. El segundo globo nos confirma el movimiento que hemos adivinado en las restantes viñetas, ya que describe la acción observada. Por último, el tercer globo nos confirma el atropello que ha sufrido el otro chico, quien se queja con voz queda (por el tamaño de las letras). Como hemos visto, fijarnos en la toma (angulación y distancia), y en la proyección, nos ha permitido reconstruir e interpretar la historieta. Pero también permite percibir la cantidad de recursos comunicativos que ha puesto en juego el dibujante. Para ello hemos tenido que identificar elementos geométricos ligados a la visualización, tales como la identificación del punto de vista, la posición del observador respecto a la imagen captada, y la profundidad de la imagen que se quiere representar. Si repasamos las componentes de la visualización (Del Grande, 1990) podemos observar que el ejercicio que hemos llevado a cabo nos ha obligado a coordinar la visión percibida con los movimientos del cuerpo del sujeto que observa, hasta imaginar cuáles son los realizados por el personaje (el estudiante). Hemos percibido la figura en el contexto, y en una acción dinámica. Hemos tenido que identificar la posición en el espacio, interpretando imágenes que cambian el horizonte. Y para ello hemos discriminado los elementos que configuran la acción (Discriminación visual). Por último, el análisis propuesto ha aprovechado que el lenguaje de los cómic mantiene las imágenes representativas de cada instante, para facilita ejercitar la memoria visual. Conclusiones Hemos querido mostrar, en esta comunicación, una actividad que se puede emplear en clase de matemáticas, con intención de mejorar la visualización de los alumnos. Se trata de utilizar la predisposición hacia el lenguaje visual en general, y del cómic en especial, para llevarles a discriminar elementos geométricos que le faciliten la interpretación de la historia. De esta forma irán ampliando sus estrategias para percibir o emitir mensajes gráficos. El esquema de la actividad puede consistir en presentar la historieta y:

1. Los alumnos interpretan la historia con sus propios recursos


DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

2. Los alumnos analizan los elementos utilizados, hasta indicar todos los elementos comunicativos de cada viñeta:

a. forma de cerrados y de globos, e interpretación de los mismos (McCloud, Eisner, Aparici y García-Matilla)

b. tomas, proyecciones, etc. 3. Reinterpretar la historia, con la ayuda de los elementos descritos. 4. Nuevas cuestiones que ayuden a recrearla en tres dimensiones:

Dibujar el plano de la casa, posición de los personajes antes, durante y después de la acción, etc.

Se trata de aprovechar las cualidades comunicativas del lenguaje gráfico para desarrollar la visualización. No hemos atendido en esta ocasión al contenido de las historietas, sin embargo este contenido se presta a nuevos análisis, como los que cabría hacer a partir de la de Davis (figura 17). En resumen la idea es facilitar la visión espacial de los alumnos, de manera que se puedan situar en el espacio, y no les ocurra como al personaje de Mena (figura 18).

Referencias bibliográficas Aparici, R. y García-Matilla, A. (1989). Lectura de imágenes. Madrid, Ediciones de la Torre. Aparici, R. (1992). El cómic y la fotonovela en el aula. Madrid, Ediciones de la Torre. Del Grande, J. (1990). Spatial sense. Arithmetic Teacher 37, 6, 14-20. Eisner, W. (1996). El cómic y el arte secuencial. Barcelona, Norma. Flores, P. (2003). Humor gráfico en el aula de matemáticas. Granada, Arial. Junta de Andalucía (1992). Decreto 106/1992 de 9 de junio de 1992. BOJA num. 56 de 20 de junio de 1992. McCloud, S. (1995). Cómo se hace un cómic. El arte invisible. Barcelona, Ediciones B. MEC (1991). Consideraciones generales sobre la enseñanza de la Geometría. Madrid, Dirección General de Renovación Pedagógica. NCTM (1991). Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática. Sevilla, SAEM THALES. NCTM (2003). Principios y Estándares para la Educación Matemática. Granada, SAEM THALES.

Figura 17: Davis

Figura 17: Mena, ABC

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

EL COMPONENTE GEOMÉTRICO EN EL CUESTIONARIO DE

EVALUACIÓN DEL PROYECTO VALMAT

Carmen Díaz, Juan D. Godino, Rafael Roa y Francisco Ruiz

Universidad de Granada

Describimos los resultados obtenidos en la evaluación del conocimiento geométrico de

alumnos de primaria desarrollado dentro del Proyecto VALMAT que forma parte del

Programa Sócrates – Comenius de la Unión Europea. Asimismo analizamos la validez

factorial del instrumento, que describe tres factores diferenciados, uno de los cuáles

corresponde al conocimiento geométrico.

Palabras Clave: Evaluación, conocimiento geométrico, validación de cuestionarios

1. Introducción

La construcción de instrumentos de evaluación es habitual en la investigación en

educación, donde se siguen en mayor o menor medida las normas metodológicas

habituales en psicometría. Al tratar de evaluar la comprensión sobre un cierto concepto

de un grupo de alumnos, hemos de tener en cuenta que es un constructo inobservable

(León y Montero, 2002), por lo que sus características deben ser inferidas de las

respuestas de los alumnos. Un requisito para ello es la fiabilidad y validez del

instrumento de evaluación.

El objetivo de este trabajo es analizar la validez de la componente geométrica

del cuestionario utilizado en el proyecto VALMAT, a la vez que proporcionar

información sobre las características psicométricas globales del cuestionario y del citado

componente. Esta información puede ser útil para los profesores que deseen utilizar el

instrumento (que puede ser facilitado por los autores) para evaluar el conocimiento

geométrico de sus alumnos.

El proyecto VALMAT, algunos de cuyos resultados hemos presentado con

anterioridad (Godino, Ruiz, Roa, Cañizares, y Díaz, 2002) parte el análisis comparativo

de los rendimientos de los alumnos en matemáticas en distintos países europeos. La idea

principal del proyecto es utilizar los datos de la evaluación de sus propias clases y la

comparación de otras de su entorno próximo (misma ciudad) y de otros países europeos

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

para inducir la reflexión del profesorado sobre los resultados de los aprendizajes de sus

alumnos. En este proyecto han participado diversos organismos de España, Italia,

Hungría y Grecia, entre otros las Universidades de Granada, Budapest, Atenas, Turín y

la red de escuelas Avimes (Turín).

Las organizaciones participantes están interesadas en el campo de la evaluación

de los resultados del aprendizaje de las matemáticas en el nivel escolar (López, 1988).

El marco teórico de referencia es el del modelo de calidad de las escuelas efectivas, que

concede un gran énfasis a la escuela como organización interesada por su propio

perfeccionamiento (Barzano, Mosca y Scheerens, 2000).

2. El instrumento y la muestra

La prueba objetiva de matemáticas usada en este estudio ha sido desarrollada por

profesores de la red de escuelas Avimes de Turín (Prueba PM5), traducida al español y

adaptada por el equipo Valmat-Granada y está pensada para los alumnos de 5º curso de

Educación Primaria. Consta de 115 ítems o cuestiones que tratan de evaluar los

conocimientos de los alumnos en los bloques de contenido matemático propuestos en

las directrices curriculares para la educación primaria: Números y operaciones,

Geometría, Medida y Estadística (tratamiento de datos y situaciones aleatorias). Estos

ítems fueron elaborados a partir de un estudio de los textos escolares y los tipos de

tareas propuestos en este nivel educativo.

Para su aplicación, la prueba se dividió en dos partes, debido a su extensión,

siendo necesario aplicarla en dos sesiones, bien seguidas con un descanso intermedio, o

en días diferentes.. El conjunto de los ítems se han agrupado en 27 grupos, de acuerdo

con el área de contenido específico cuyo dominio por parte de los alumnos tratan de

evaluar. Cada alumno recibe una puntuación total en la prueba y 27 puntuaciones

parciales sobre las distintas áreas de contenido. La muestra a la que fue administrada el

cuestionario fue de 2541 alumnos de quinto curso de Educación Primaria procedentes

de tres países diferentes (España, Italia, Hungría).

Los índices de dificultad de la prueba se calcularon separadamente para cada

muestra y globalmente. En promedio, el porcentaje de alumnos que responde

correctamente a un ítem es el 60 % y la moda y mediana son superiores a este valor, al

ser la distribución algo sesgada. Los ítems tuvieron en su conjunto buenas propiedades

de discriminación de los conocimientos matemáticos de los alumnos, aunque la

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

discriminación aislada de cada ítem aislado es pequeña o moderada, debido a la

amplitud de conocimientos abarcados en el cuestionario.

3. Validación del cuestionario

Según Thorndike (1989), el proceso de medida en educación y psicología se

propone ligar ciertos conceptos abstractos (como conocimientos, actitudes) a

indicadores empíricos (respuestas a ítems). Cuando la relación entre los indicadores

empíricos y los conceptos subyacentes es fuerte, podemos hacer inferencias útiles sobre

los conceptos teóricos así como tomar decisiones adecuadas sobre la acción didáctica.

La precisión del instrumento, se mide mediante la fiabilidad, mientras que la ausencia

de sesgo viene dada por la validez (Carmines y Séller, 1979).

En un trabajo anterior (Díaz, Mosca, Szendrei, Gilardi, y Godino, 2004)

calculamos la fiabilidad del cuestionario, por el método de consistencia interna,

estimada mediante el Coeficiente Alfa de Cronbach (que en este caso se transforma en

el KR20), obtuvo un valor de 0,9476 para la muestra global (n=2541) que es muy alta,

dado que el máximo posible es 1.

Respecto al estudio de validez, en nuestras publicaciones previas nos limitamos al

estudio de la validez de contenido, justificada en cuanto a la correspondencia entre el

contenido evaluado por los ítems y la definición semántica de la variable (Martínez

Arias, 1995). En este trabajo aportaremos evidencias de la validez de constructo

mediante el estudio de la estructura interna de la prueba, que como hemos indicado trata

de evaluar tres componentes diferenciados. Para ello analizamos si hay ajuste entre la

estructura conceptual del constructo y las relaciones empíricas entre ítems (Carmona,

2004).

Para ello, aplicamos a las puntuaciones obtenidas en las 27 áreas de contenido

(convertidas primeramente a una escala común) un análisis factorial (método de

componentes principales y rotación Varimax). Siguiendo a Peña (2002) y Catena y cols.

(2003), antes de iniciar la aplicación de dicha técnica, evaluamos los supuestos de

aplicación: tamaño de la muestra, normalidad, linealidad, unidad experimental y

multicolinealidad. A partir de la matriz de correlaciones, calculamos algunos de los

índices para comprobarlo, como el determinante de la matriz, la prueba de esfericidad

de Barlett y el índice Kaiser – Meyer – Olkin. Todos estos parámetros dieron valores

adecuados, y asimismo el gran tamaño de muestra, alta fiabilidad del cuestionario y

unidad experimental sugirieron que los datos cumplían las condiciones de aplicación.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

El resultado confirmó la existencia de los tres factores supuestos en la construcción

del cuestionario:

• Factor 1: Pensamiento numérico. Agrupa todas las áreas de contenido relacionadas

con los sistemas numéricos, excepto la recta numérica entera.

• Factor 2: Pensamiento geométrico. Las áreas de contenido relacionadas con la

mayor parte de conocimientos geométricos, tales como áreas, polígonos, etc.

aparecen integradas y fuertemente separadas del factor anterior.

• Factor 3: Estadística y aplicaciones de las matemáticas. Aparecen el resto de las

áreas de contenido, junto con otras de carácter aplicado (resolución de problemas,

diversas actividades de interpretación).

En consecuencia, este análisis confirmó la validez de constructo del cuestionario,

respecto a la estructura supuesta de los ítems.

4. Validación de la componente geométrica

Como hemos comentado anteriormente, uno de los componentes confirmados por el

análisis factorial fue el relacionado con los conocimiento geométricos. Dicho

componente se compone de 36 ítems agrupados en 10 áreas de contenido que se

agrupaban en un único factor en el análisis factorial. Para confirmarlo, se realizó un

segundo análisis factorial sólo con las variables de conocimiento geométrico para ver si

continúan agrupándose en un solo factor o se decompone en más de uno. Los resultados

de este segundo análisis se muestran en la tabla 1.

Tabla 1. Varianza total explicada

Componente Autovalores iniciales

Total % de la varianza % acumulado

1 3,210 32,101 32,101 2 ,982 9,823 41,923 3 ,863 8,629 50,552 4 ,855 8,545 59,097

Método de extracción: Análisis de Componentes principales.

Las comunalidades obtenidas resultaron altas, lo que indica una alta agrupación del

contenido. Realizamos la extracción de factores por el método de componentes

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

principales (Tabla 1) donde, al extraer los factores con autovalor mayor que uno,

quedaría un solo factor que explica aproximadamente el 32% de la inercia. Siguiendo

las recomendaciones presentadas en Cuadras (1991) podemos concluir que hay un único

factor, lo que confirma la unidad factorial de la componente geométrica del

cuestionario. Los pesos relativos de las diferentes variables se muestran en la tabla 2.

Todas las variables tienen una correlación estadísticamente significativa y bastante

fuerte con el factor, siendo la mayoría mayor que 0,6. La variable que menos

correlaciona con el factor sería la estimación de áreas.

Tabla 2. Matriz de componentes(a)

Componente

1 Estimación áreas ,380 paralelismo y perpendicularidad ,684 Polígonos ,635 Cubo ,660 Camino mínimo ,447 Propiedades plano ,420 Isometrías ,655 Medida segmentos ,529 Amplitud angular ,560 Cálculo áreas y perímetros ,600

5. Resultados del estudio de evaluación de conceptos geométricos

Para completar el trabajo, a continuación comentamos los resultados de la

evaluación de la parte geométrica del cuestionario, cuyos contenidos se presentan en la

tabla 3 ordenados según el índice medio de dificultad en los ítems que la componen. En

ella podemos observar la gran dificultad que presentan algunos aspectos geométricos,

tales como la estimación y cálculo de áreas o el paralelismo y perpendicularidad de

segmentos. Sin embargo, aspectos como la medida de segmentos o la interpretación de

planos obtienen altos niveles de respuestas correctas.

En la Figura 1 mostramos el histograma para los índices de dificultad de todos

los ítems que componen la parte de geometría, ordenados por dificultad, es decir, según

la proporción de alumnos que da una respuesta correcta. Vemos que los índices de

dificultad están distribuidos de forma aproximadamente normal y que comprenden

dificultades desde 0,03 hasta 0,88. La mayor frecuencia de dificultad sería en torno a 0,4

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

– 0,5. Algunos ejemplos de ítems que resultaron especialmente difíciles o fáciles se

presentan en las Figuras 2 y 3.

Tabla 1.Índice de dificultad de cada área de contenido

Área de contenido Ítems Índice de dificultad Estimación de áreas 1 0,040 Paralelismo y perpendicularidad de segmentos 4 0,272 Cálculo de áreas y perímetros 4 0,332 Identificación y propiedades de polígonos 8 0,480 Amplitud angular 2 0,495 Itinerario mínimo 1 0,560 Identificación y propiedades del cubo 8 0,587 Isometrías del plano 3 0,663 Interpretación de planos 2 0,680 Medida de segmentos 3 0,753

Figura 1. Histograma de los índices de dificultad de los ítems de geometría

0 , 0 0 ,1 0 , 2 0 , 3 0 ,4 0 , 5 0 , 6 0 ,7 0, 8 0 , 9

I n d ic e s d e d i f ic u lt a d

0

1

2

3

4

5

6

7

Frec

uenc

ia

M e a n = 0 , 5 0 4 8 3S t d . D e v . = 0 , 2 1 0 3 4 6N = 3 6

Figura 2. Ítems más difíciles en el componente geométrico

63. Carlos ha roto el tarro de mermelada sobre un mantel de lunares. ¿cuántos lunares quedan completamente cubiertos por la mermelada? Índice de dificultad: 0,038 115. ¿Un triángulo equilátero es también isósceles? Índice de dificultad: 0,152 103. Compara los perímetros de las figuras: Índice de dificultad: 0,199 67. Marca un segmento perpendicular a CD: Índice de dificultad: 0,237 65. Marca un segmento paralelo a CD: Índice de dificultad: 0,246

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Figura 3. Ítems más sencillos en el componente geométrico 68. Dibuja un rectángulo con lados de 8cm. y 5 cm. Índice de dificultad: 0,886 79. Indica con una cruz las posibles formas de un cubo al desarrollar sus caras: Índice de dificultad: 0,810 69. Traza las diagonales del rectángulo: Índice de dificultad: 0,773 86. Dibuja la figura realizando un cuarto de vuelta: Índice de dificultad: 0,706 84. Dibuja la misma figura, partiendo del punto B: Índice de dificultad: 0,678 Conclusiones

En este trabajo hemos presentado los resultados de validación de un cuestionario

de evaluación de los conocimientos matemáticos de los alumnos de 5º de primaria,

mostrando su composición en tres componentes diferenciados: aritmético, geométrico y

estadística-aplicaciones. Seguidamente hemos confirmado la validez del componente

geométrico, que puede utilizarse, por tanto como instrumento de evaluación de este

conocimiento, independientemente del resto de cuestionario. Hemos informado también

de la dificultad relativa de ítems y áreas de contenido, dando ejemplos de los ítems más

sencillos y difíciles. El cuestionario está disponible en el Departamento de Didáctica de

las Matemáticas, para aquellos profesores que estén interesados en su utilización.

La evaluación del aprendizaje es una de las tareas más importantes del profesor,

porque le proporciona información del aprendizaje individual de sus alumnos y de la

marcha general de la clase. El Proyecto Valmat incorporó además la evaluación como

instrumento de mejora de la práctica profesional de los profesores participantes.

Además, esta iniciativa permitió establecer vínculos de colaboración entre las escuelas y

la universidad, que sin duda son muy necesarios para la mejora de la educación

matemática.

La información proporcionada por el Proyecto Valmat puede ser utilizada para la

preparación de recursos didácticos y cursos transnacionales de formación de profesores

de matemáticas. Esta experiencia sugiere el importante papel de la elaboración de

pruebas objetivas y los estudios de evaluación comparativa como motor de la

autoevaluación y reflexión de los docentes.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Referencias bibliográficas

Barzano, G., Mosca, S. y Scheerens, J. (2000). L’autovalutazione nella scuola. Milán:

Bruno Mondadori.

Catena A., Ramos M. M. y Trujillo H. M. (2003). Análisis multivariado. Un manual

para investigadores. Madrid: Biblioteca Nueva.

Carmines, E. G. y Zeller, R. A. (1979). Reliability and validity assesment. Sage

University Paper.

Carmona, J. (2004). Una revisión de las evidencias de fiabilidad y validez de los

cuestionarios de actitudes y ansiedad hacia la estadística. Statistics Education

Research Journal. 3(1). Disponible en www.stat.auckland.ac.nz/~iase/serj/SERJ3(1)

Cuadras, C. M. (1981). Métodos de análisis multivariante. Barcelona: Eunibar.

Díaz, C., Mosca, S., Szendrei, J., Gilardi, M. y Godino, J.D. (2004). Anàlisis de datos

como recurso para la autoevaluación docente: El proyecto VALMAT.

Comunicación en el III Congreso de Metodología de Encuestas. Universidad de

Granada.

Godino, J. D., Ruiz, F., Roa, R., Cañizares, y Díaz, C. (2002). Evaluación de la

resolución de problemas aritméticos en el marco de un proyecto europeo. En, J. M.

Cardeñoso y cols (Eds.), Investigación en el aula de matemáticas: Resolución de

problemas (pp. 31-39). Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática y

Sociedad Thales.

León, O. G. y Montero, I. (2002). Métodos de investigación en psicología y educación.

Madrid: McGraw-Hill.

López, J. A. (1998). Diagnóstico general del sistema educativo. Resultados en

matemáticas. Suma 29: 17-27.

Martínez Arias, R. (1995). Psicometría: teoría de los tests psicológicos y educativos.

Madrid: Síntesis.

Muñiz, J. (1994). Teoría clásica de los tests. Madrid: Pirámide.

Peña D. (2002). Análisis de datos multivariantes. Madrid: Mc. Graw – Hill.

Thorndike, R. L. (1989). Psicometría aplicada. México: Limusa.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

EL MAPA DEL TESORO: UN PROYECTO SOBRE LA

REPRESENTACIÓN DEL ESPACIO EN LA EDUCACIÓN INFANTIL

Carlos de Castro, [email protected] y Beatriz Escorial, [email protected]

Centro Superior de Estudios Universitarios La Salle y Colegio Las Naciones de Madrid

La historia que contamos en este trabajo es la de un proyecto desarrollado con un grupo de niños y

niñas de Educación Infantil de 4 y 5 años durante el mes de mayo de 2005. Los proyectos suelen tener

su origen en el interés de los niños. A veces, estos hacen directamente una propuesta; otras, es la

escucha atenta de sus maestros la que permite detectar un elemento atractor del interés de los niños.

Cuando este elemento es percibido por sus maestros como potencialmente valioso para articular

situaciones de aprendizaje, el proyecto “está servido”.

En esta ocasión, el proyecto nació cuando una de las niñas, Candela, llevó a clase una bolsa llena

de cosas que había traído su padre de un viaje. Los niños se sentaron en la alfombra, como siempre

que tienen que compartir algo, y empezaron a ver qué tenía la bolsa. Dentro había un póster, dos guías

turísticas y tres mapas, todo de distintas zonas de Andalucía. Muy pronto, los niños dirigieron su

atención hacia los mapas. El primero era del Cabo de Gata y Níjar. Casualmente, en este lugar había

pasado la maestra (Beatriz) las vacaciones de Navidad y se lo había estado contando a la vuelta.

Beatriz había traído del viaje muchos tesoros: conchas, piedras, plumas, una estrella de mar, un

cangrejo ermitaño, arena de la playa y, lo más importante: piedras volcánicas. Les había contado que

toda la zona, antiguamente eran volcanes que estaban en una isla y que después de muchas erupciones

se habían unido a la costa, formándose así el Cabo de Gata, pero que ahora los volcanes estaban

apagados. La historia les había fascinado y dio la casualidad de que el mapa era de la misma zona y la

maestra les mostró dónde estaban los volcanes.

Algunos niños comenzaron a investigar sobre el mapa y encontraron muchas cosas: barcos,

campamentos indios (figura 1.3), leones (figura 1.2), castillos, estrellas, letras y palabras que ya

podemos leer (como la palabra “mapa”), volcanes, anclas, islas, y un sitio donde arreglan cosas, se

puede comer, hay un hospital, una casa y cosas de romanos (en orden, figura 1.3). Después de tanto

investigar, había que doblar el mapa, tarea que resultó muy complicada para los niños.

Los niños habían pasado un buen rato investigando sobre los mapas. Esta situación se había

producido gracias a que la maestra organiza con flexibilidad los tiempos de trabajo de los niños.

Ciertas ocasiones no deben desaprovecharse. Para la escucha sea fértil, es indispensable estar decidido

a “perder” ciertos momentos, dando la iniciativa a los niños y a sus propuestas. Este ambiente en el

que un miembro del grupo puede ofrecer algo a los demás, sabiendo que su aportación será valorada,

es la semilla que permite que los proyectos se desarrollen en la escuela.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Figura 1. Investigando qué “cosas” hay en los mapas.

Sin embargo, la escucha por sí no es suficiente. Es necesario que el maestro pueda dar un valor,

“ubicar” el interés de los niños dentro de una situación que permita el desarrollo de un aprendizaje

deseable. En este caso, la representación del espacio a través de mapas reunía las condiciones. Era

necesario buscar una situación que permitiera trabajar con mapas, encontrarle un sentido al trabajo.

Beatriz recordó que a los niños les apasionaban las historias de piratas. De aquí surgió el proyecto del

“mapa del tesoro”: de la escucha (del interés de los niños), de la reflexión curricular del maestro (para

ubicar los posibles aprendizajes), y de la reflexión didáctica (para crear una situación de aprendizaje

que tuviera sentido). Los niños elaborarían tesoros, los esconderían, y después prepararían los “mapas

del tesoro” para sus compañeros.

Sabíamos que el proyecto entrañaba una gran dificultad. Piaget e Inhelder (1967) advierten que,

asumiendo las observaciones extraídas de los estudios sobre el dibujo infantil, no es hasta la edad de 8

o 9 años (fuera ya de la Educación Infantil) en que los niños dejan de dibujar las cosas como

“‘realmente las ven’, de acuerdo con su perspectiva como observadores” (p. 209). No debemos

esperar que el “mapa” se parezca a un mapa en el sentido adulto. No obstante, Vecino (2005, p. 264)

señala como premisas fundamentales para el desarrollo de la percepción y la representación espacial

en los niños de Educación Infantil: Proporcionar medios para que los niños pasen de la representación

interna a la externa, prever que las designaciones producidas por los niños resulten significativas a

efectos de representación espacial, y procurar que los niños procedan, no sólo a la codificación, sino

también a la decodificación de las figuras que han codificado sus compañeros. Todos estos criterios se

cumplían en la tarea propuesta. También nos animaba a afrontar la tarea el conocimiento del proyecto

desarrollado en Reggio Emilia (Giudici, Rinaldi y Krechevsky, 2001) en el que un grupo de niños y

niñas de 5 años dibujan el mapa de su ciudad, mostrando como el trabajo colaborativo permite

alcanzar cotas de desarrollo en la representación espacial desconocidas en el desarrollo individual del

niño.

EL PROYECTO DEL MAPA DEL TESORO

Al día siguiente comentamos con todos lo que habíamos descubierto, para qué pensábamos que

servía, qué había en él y lo difícil que era doblarlo. La maestra pregunta: ¿Para que sirven los mapas?

Los niños contestan: “Para buscar ‘en dónde’ [sic] está un sitio, dónde están las carreteras, el

aeropuerto, donde está el tren, el metro, para saber dónde están las cosas que no sabes, para buscar

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

dónde está la casa de los ladrones, para buscar un dinosaurio”. Beatriz sigue preguntando: ¿Y cómo lo

dicen? “Te lo indica viéndolo así con el ‘celebro’ [sic], leyéndolo, mirándolo”, contesta uno de los

niños.

La elaboración de un “mapa” del Colegio. La maestra propone a los alumnos un “juego” para el

día siguiente: “Mañana vamos a hacer un mapa del colegio, de nuestro colegio. Vamos a ir de

excursión por el colegio fijándonos bien, como los exploradores, en qué cosas hay en nuestro colegio

para hacer el mapa. En los mapas no ponen todo, sólo las cosas importantes. Así que nos tenemos que

fijar en cosas importantes para poner en nuestros mapas.” El entusiasmo fue general; incluso una

madre preguntó a la maestra al día siguiente dónde iban a ir de excursión. Antes, sugirió la maestra,

“vamos a pensar qué cosas de las que hemos encontrado en nuestros mapas vamos a encontrar en el

colegio para luego poner en el mapa”. Al repasar la lista escrita en la pizarra, y muchas de las cosas no

las encontraríamos, pero otras sí: Edificios, jardines, barcos (en el jardín de los pequeños hay un barco

donde pueden jugar), campo de fútbol, teléfono, autobuses, letras.

Figura 2. El reconocimiento del terreno.

Al día siguiente, los alumnos van “de excursión” por todo el colegio, fijándose en todas las cosas

“importantes” que hay en él para luego hacer un mapa. Los niños comienzan la excursión por la

entrada, pero deteniéndose por primera vez en muchos detalles en los que antes no habían reparado.

Pasan por varias aulas, por los despachos, van al jardín de los pequeños (figura 2.2), bajan a los

comedores, la cocina, la despensa. Entraron en “lugares secretos” a los que no habían pasado nunca.

Al final, después del recreo, los niños se pusieron a elaborar los mapas reflexionando sobre todo lo

que habían visto, e investigando y buscando soluciones para plasmar en el papel todo lo importante.

Cuando todos acabaron, pusieron en común el trabajo. Cada niño salió a explicar su mapa.

Martín: La entrada (el rectángulo grande, figura 3.1), tres árboles, las escaleras, la clase de Carla, la otra, la

sala de profesores y la clase de Carmela. Luego el hall, la entrada del hall y la mesa que hay en el

hall (los tres rectángulos de la izquierda).

David: (figura 3.2) Las escaleras que subían a donde trabaja mi madre (su madre es profesora de inglés

del colegio), el despacho de mi madre, sillas, libros y árboles del patio de los mayores (los signos

de la parte inferior, derecha e izquierda son intentos de escalera que le salieron mal).

Lucas I.: Rosales, un árbol, la canasta, el gimnasio, los columpios y el tobogán del patio de los pequeños

(figura 3.3).

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Figura 3. Los “mapas” del colegio.

El juego del “mapa del tesoro”. La elaboración de los “mapas” sirvió a los maestros para valorar

cuáles eran las ideas iniciales de los niños sobre los mapas. Estos eran simplemente dibujos, como

otros muchos que hacen los niños. En esta situación, pensamos que los niños tendrían demasiadas

dificultades en poder utilizar mapas de otros niños para encontrar “tesoros”. Estaba claro que el

trabajo en grupo en la elaboración de los mapas, con la consiguiente negociación de significados,

mejoraría mucho los mapas. Sin embargo, decidimos introducir el “juego del mapa del tesoro” para

que los niños pasaran de centrarse en las características físicas (en qué hay en un mapa y cómo es) a

fijarse en la función y el uso de los mismos (para qué sirven y cómo se utilizan). Con este juego,

corríamos el riesgo de dar a los niños demasiada información, de dirigir demasiado su actividad. Sin

embargo, los niños comprenderían mejor cómo se usan los mapas, estarían reconociendo el espacio

que luego van a tener que codificar mediante un mapa y además lo harían todo jugando.

Beatriz hizo cuatro mapas del jardín iguales para cada grupo, pero cada mapa marcaba un itinerario

distinto por donde tendrían que ir a buscar el tesoro. Los enrolló para que tuvieran más aspecto de

“mapas del tesoro” y escondió los tesoros. Después bajó al jardín con los niños. Estos se organizaron

por equipos y cada equipo recibió un mapa y la instrucción de seguir el camino por donde tenían que

ir a buscar el tesoro.

Figura 4. Los niños encuentran los tesoros con ayuda de los mapas y de sus amigos mayores.

Los niños utilizaron los mapas diseñados por la maestra para encontrar los tesoros (figura 4.1 y

4.2), aunque en alguno de los grupos necesitaron ayuda de sus amigos mayores para acometer la tarea

(figura 4.3).

Las aportaciones de las niñas y los niños al proyecto. Un día después, Lucas vino con un mapa

del tesoro que había hecho con su padre. Nos quería contar su historia, así que nos pusimos en corro

en la alfombra y le escuchamos:

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Lucas: “He traído un mapa del tesoro que he hecho con mi padre. Porque mi padre sabe mucho de piratas,

porque su padre era marinero y tenía un barco. Y cuando los piratas le perseguían, salía tan deprisa

que nunca podían cogerle”.

David: “¿Porque tu abuelo iba más deprisa?”

Lucas: Sí, porque mi abuelo iba a toda máquina.

Varios: “Sí. Iría así: chuiii Y los piratas solo así: chu, chu, chu”, “Iría a toda pastilla”, “a todo motor”,

“deprisísíma”, “como una moto”, “como un cohete”, “como un dinosaurio”.

Lucas: Sí. Y me ha explicado mi padre cómo era el sitio donde habían enterrado los piratas el tesoro.

Había que pasar primero por la palmera y después cruzar el río. El campamento de los indios y

después hasta la calavera. También hay que pasar por el volcán humeante y ya llegas al tesoro.

Estos son los tiburones y estos somos nosotros: Martín, David, Lucas Ch., Bea y yo.

Durante la semana siguiente, David trajo un “mapa” donde salían todos los países. Era tan

interesante que nos pusimos en la alfombra a que nos explicara qué era aquello (Los saltos en la

conversación están marcados con puntos suspensivos entre corchetes).

Beatriz: A ver, David. ¿Qué has traído? David: Una bola del mundo.

Beatriz: ¿Y para qué sirve? David: Para saber dónde están las cosas.

Beatriz: ¿Qué cosas? David: Las cosas de dónde tenemos que ir, de

dónde tenemos que buscar, de muchas cosas.

Beatriz: ¿La bola del mundo cómo es? David: Redonda.

Beatriz: ¿Por qué redonda? David: Porque el mundo es redondo sólo que no

se nota.

Beatriz: ¿Por qué no se nota? David: Porque no hemos ido por todo el mundo.

Beatriz: ¿Y qué es lo que viene en una bola del mundo? David: Planetas, mar, hielo […].

Figura 6. Los niños traen “mapas” a clase.

Beatriz: ¿Y conoces algún sitio más que salga ahí en la bola del mundo?

David: Sí. El polo norte y el polo surf [sic].

Beatriz: ¿Y dónde están el polo norte y el polo...?

David: Surf. Aquí y aquí (Señalándolos. En la figura 6, en el centro, señala el polo “surf”) […]

Beatriz: Pero David. Si tú tienes que ir de aquí (Madrid) a aquí (Lanzarote) que sólo es este trocito... ¿Por

qué tuviste que ir en avión?

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

David: Porque como esta bola no es de verdad (refiriéndose a la bola del mundo) y esta bola es de verdad

(refiriéndose al mundo real), por eso […].

Diego: Yo conozco el país del centro de la tierra.

Beatriz: El país del centro de la tierra. ¿Y ese país está ahí, en esa bola del mundo?

Diego: En el centro.

Beatriz: ¿Y para ver ese país qué habría que hacer?

Diego: Quitar esa cosita negra. No. Eso no (Candela había señalado las letras). Eso (refiriéndose al

soporte de plástico negro que sujeta la bola por los polos). Si lo quitas, se ve por el agujero.

El día siguiente, Lucas trajo un libro muy interesante sobre galeones españoles (Harris, 2001). El

libro hablaba de los tesoros que los españoles traían de América, de cómo los transportaban en

galones. En ocasiones, eran asaltados por piratas que luego se llevaban los tesoros a las islas y allí los

escondían. También contaba cómo los piratas hacían encallar los barcos, cómo se hundían y cómo

iban desapareciendo las cosas en el fondo del mar, y cómo los arqueólogos buscaban los tesoros.

Venía mucha información interesante: qué es un pirata, un bucanero, un corsario, qué armas

empleaban, cómo eran sus códigos de honor, etc. Los niños disfrutaron muchísimo con el libro.

Figura 7. Los pequeños elaboran los tesoros y los envuelven.

La elaboración de los “tesoros”. A lo largo de varios días, los niños estuvieron preparando los

tesoros que luego tendrían que esconder a los demás. Fue una actividad grupal en la que los pequeños

tuvieron que ponerse de acuerdo sobre en qué consistirían los “tesoros” y cómo iban a hacerlos.

Además, todo debía desarrollarse en secreto (figura 7.1). Después de un duro trabajo de

“empaquetado” (figura 7.2) algunos tuvieron que volver a empezar porque, al levantar el “cofre”, se

les cayeron los tesoros. Así descubrieron que no se trataba de poner mucho celo, sino de ponerlo en

lugares estratégicos.

La elaboración y el uso de los mapas. La fase final del proyecto suponía que los niños prepararan

los mapas en grupos. Debían discutir en secreto y llegar a un acuerdo sobre dónde esconder los

tesoros. Pronto comenzaron a surgir problemas. Los niños tendían a hacer un dibujo, en lugar de una

representación fiel del espacio. La maestra les advirtió que tendrían que pensar mucho, fijarse bien en

dónde estaba cada cosa y alcanzar consenso para hacer los mapas. También les dio permiso para bajar

a explorar el terreno.

Por primera vez, los niños se enfrentaban a un trabajo en grupo que no podía ser la suma de varias

aportaciones individuales (como sí ocurría en la elaboración de los tesoros). La negociación y la

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

coordinación eran necesarias puesto que cada niño que incorporaba un nuevo elemento al mapa debía

tener en cuenta lo que habían dibujado los demás. El tipo de interacción que se produce puede

observarse en la siguiente transcripción:

Carles: Así no son los columpios.

Laura: Espera. ¿Me dejas que haga una rayita aquí?

Lucas I: Me falta una rayita.

Laura: Te tengo que borrar, porque hay una cosa que te ha salido mal.

Lucas I: ¿Me ha salido mal?

Laura: Mira. Tenía que ser: “chin, chin, chin” (sic). Porque era colgarse, pero no con barras “restitas”

(rectitas) sino barras que tengan esto y luego esto.

Lucas I: Vale.

Laura No. Pero no tan estrechitas. Gorditas. Más gorditas. Yo te decía que esto... así (y lo dibuja).

Lucas I: ¿Así?

Laura: No. Te has salido. Así es. Ya no más. Hasta aquí abajo. A ver... Yo te digo... Es que tienes que

dejar mucho más.

Lucas I: A que así es nuestro propio... (Se da cuenta de lo que está haciendo Jimena) ¡Qué no hay manzano,

Porra! Coge una goma. Es que Jimena ha hecho un manzano (añade divertido, dirigiéndose a la

maestra). Y en el colegio no hay manzanos. ¡Borra las manzanas! Jimena: Esto no lo tengo que borrar porque son las ramas. Y estas las hojas.

Lucas I: Las hojas son así. Mira. Les haces aquí un tallo, y luego aquí otro, y luego aquí otro, y luego aquí

un tallo más alto.

Laura: Yo sé cómo son las flores.

Como vemos en este fragmento, los niños están trabajando juntos, sabiendo hacer críticas de lo que

otro está haciendo y aceptando las críticas cuando las reciben por parte de un compañero. Además se

nota una clara intención de ayudarse entre ellos, explicándose los unos a los otros cómo se hacen las

cosas que no saben hacer. Al principio, en este grupo habían decidido guardar el tesoro en varios sitios

distintos, quizá como una solución pactada de varios miembros del grupo que deseaban imponer su

criterio. Más tarde se dieron cuenta de que esto no era posible y eligieron un único lugar para el

tesoro. Durante el trabajo, los niños tuvieron que hacer muchas correcciones:

Beatriz: ¿La mesa está delante de la rueda? ¿Dónde está? Bajad a mirarlo. Lo dibujáis en su sitio porque si

no es aquí, no es aquí. Porque nos hacemos un lío.

Lucas I: ¡Otra vez de viaje! (Y se bajan otra vez. Han estado bajando a lo largo de toda la actividad para

comprobar si lo estaban haciendo bien y para descubrir qué cosas les faltaban en su “mapa”).

Lucas I: Nos hemos equivocado (refiriéndose a la mesa que habían dibujado fuera de su lugar).

Beatriz: Vale. Pues cambiadlo.

Laura: Aquí no lo podemos hacer porque es muy justo (se les acaba el papel). No tenemos hasta aquí.

Necesitamos más papel.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Figura 8. Algunas cosas deben cambiar su posición en el mapa.

En el mapa definitivo (figura 8.2) se ve el “empalme” necesario para dibujar la mesa en su lugar, y

desaparecen la mesa borrada, que antes aparecía delante de la rueda y el manzano (figura 8.1).

CONCLUSIONES

El seguimiento y la documentación del proyecto a través de las fotografías, las transcripciones, las

búsquedas teóricas, los comentarios entre los profesores participantes, nos han permitido llegar a

varias conclusiones en esta experiencia. En primer lugar, es evidente que los niños muestran un gran

interés por los mapas. Estos permiten plantear un tipo de situaciones muy ricas para la exploración y

la representación del espacio. También ha resultado evidente que los mapas que hacen los niños no se

parecen en nada a los mapas adultos. Sin embargo, los mapas elaborados por los niños y niñas de 4 y

5 años han sido completamente funcionales. Han servido para su propósito de representar un espacio

indicando la localización de un “tesoro” y los compañeros han sido capaces de decodificar la

información contenida en el mapa para encontrar el tesoro.

Los niños han mejorado notablemente sus producciones iniciales, reflejándose en ese punto el

aprendizaje producido en el proyecto. Además, han evolucionado en su competencia para el trabajo en

grupo, gracias a las peculiares características de una tarea compleja (la elaboración de un mapa) que

no hubiera sido posible si cada niño no pone lo mejor de sí mismo y si el grupo no hubiera trabajado

de manera tan coordinada.

El trabajo en proyectos también supone una mejora para la autonomía intelectual de los niños, lo

que se hace evidente en el aumento de las iniciativas (al traer cosas de casa). Los proyectos respetan la

naturaleza globalizada del aprendizaje infantil y suponen un tipo de trabajo que refuerza la autoestima

de los niños, mejora las habilidades comunicativas y refuerza los lazos afectivos. Crea, en definitiva,

un ambiente óptimo para que los niños y niñas puedan desarrollar su actividad matemática.

REFERENCIAS

Giudici, C., Rinaldi, C., & Krechevsky, M. (Coord.) (2001). Making learning visible: Children as

individual and group learners. Reggio Emilia: Reggio Children.

Harris, N. (2001). Galeones. Madrid: Ediciones SM.

Piaget, J., & Inhelder, B. (1967). The child’s conception of space. New York: Norton.

Vecino, F. (2005). La representación del espacio en el niño. El espacio como modelo de desarrollo de

las distintas geometrías. En Chamorro, Mª. C. (coord.), Didáctica de las matemáticas para

Educación Infantil (pp. 255-277). Madrid: Pearson Educación.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS A LOS CINCO AÑOS: EXPLORACIONES

A TRAVÉS DE LA LITERATURA INFANTIL

Beatriz Escorial, [email protected] y Carlos de Castro, [email protected]

Colegio Las Naciones de Madrid y Centro Superior de Estudios Universitarios La Salle

En este trabajo se describen distintas actividades de geometría que se implementaron en un aula

de Educación Infantil con niños y niñas de 5 años. Todas ellas se estructuran en torno a dos relatos

en los que se habla de figuras geométricas. Antes de esta experiencia, los niños habían realizado

varias actividades de geometría, haciendo especial hincapié en la búsqueda de figuras geométricas

en el entorno (del aula, el patio, la calle...). Las actividades que se muestran aquí continúan en esta

misma línea fomentando el análisis, la reflexión y la comunicación y discusión de ideas entre los

niños, como medios para producir aprendizajes.

Antes de comenzar la descripción de la experiencia, conviene revisar brevemente algunas

cuestiones sobre el conocimiento de las figuras geométricas en la Educación Infantil. Para empezar,

debe indicarse que los niños, en estas edades, suelen percibir las figuras de forma global. No

analizan separadamente elementos de las figuras como los lados, ángulos y vértices, ni las

relaciones de paralelismo o perpendicularidad entre los lados, etc. Tampoco se hacen explícitas, en

este nivel educativo, las propiedades que definen las figuras y sirven para distinguir el cuadrado del

rombo o el rectángulo (Alsina, Burgués y Fortuny, 1992, p. 88) como tener las diagonales iguales,

perpendiculares, los ángulos rectos, etc. En esta etapa, lo visual predomina claramente sobre lo

verbal. Los niños suelen tener un prototipo del concepto de cada figura geométrica (una imagen

mental de un ejemplo concreto del concepto) y no suelen reconocer una figura cuando ésta no se

parece al prototipo de la figura que ellos han formado. Este prototipo suele coincidir con la imagen

típica de la figura, con la orientación con la que aparece representada más frecuentemente. Por

ejemplo, la orientación estándar del cuadrado y el rectángulo es la de los dibujos que presentan

estas figuras con los lados horizontales y verticales; la del rombo, con la diagonal menor horizontal.

Así, es muy habitual que los alumnos no reconozcan como cuadrado a una figura con esta forma,

cuando está colocado con la orientación típica del rombo.

MATEMÁTICAS A TRAVÉS DE LA LITERATURA INFANTIL

Hemos decidido iniciar nuestro recorrido matemático con los niños en la literatura infantil. Este

enfoque parte del planteamiento de que la actividad matemática de los niños y niñas de Educación

Infantil tiene lugar dentro de situaciones globalizadas. La realidad del niño a esta edad no ha sido

todavía fragmentada por las diferentes disciplinas académicas. Esto hace que resulte absolutamente

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

natural para los pequeños introducirse en un contexto en el cual las matemáticas vienen de la mano

con la literatura. En esta situación, como esperamos demostrar a través del relato de la experiencia,

es posible que los niños, simultáneamente, hagan matemáticas, desarrollen sus habilidades

lingüísticas, y se expresen a través del arte.

En cuanto a nuestros planteamientos sobre el uso de la literatura en el aprendizaje de las

matemáticas, hemos seguido con especial atención las orientaciones de Saa (2002). Admitimos que

los niños no suelen captar, en los relatos, las relaciones matemáticas a partir de su enunciado verbal.

Por el contrario, se hace necesario que los niños refieran la información recibida en el relato “al

mundo de los objetos concretos [...], ‘vivenciándola’ en lo posible desde el mismo” (Saa 2002, p.

197). Así, hemos invitado a los niños a participar en la narración, con su actividad, siempre atentos

a sus inquietudes, transformando la narración en diálogo, para reconstruir el relato en la interacción

con los niños, permitiéndoles a éstos adueñarse de la historia contada.

De entre los distintos usos de la literatura infantil propuestos por Welchman-Tischler (1992) para

el aprendizaje de las matemáticas, nos hemos centrado en: proporcionar un contexto para una

actividad con contenido matemático, introducir materiales manipulativos, y servir de inspiración

para una experiencia matemática creativa. Así, como se verá en la descripción de la experiencia, los

relatos empleados han servido para realizar una introducción significativa al conocimiento e

identificación de figuras geométricas en el entorno, para realizar una actividad exploratoria con el

geoplano, y para realizar una composición de “expresión artística” basada en el uso de las formas

geométricas. Dentro de toda la secuencia de trabajo, han tenido gran importancia para el grupo las

discusiones surgidas en torno a la actividad. Éstas han servido a los profesores participantes en la

experiencia para evaluar los conocimientos previos de los alumnos y para valorar la importancia de

la interacción entre los niños en la formación de conceptos matemáticos. Las conversaciones han

sido recogidas con una grabadora y se han realizado fotografías de los niños en su actividad. Toda

esta documentación recogida contribuye a reconstruir una imagen fiel de la actividad infantil, que

deseamos ofrecer a la reflexión de maestras y maestros.

El trabajo se inicia con el cuento titulado “La forma de las cosas” (Dodds y Lacome, 1994). En

este relato, se presentan distintas figuras (triángulo, cuadrado, rectángulo, círculo, rombo y óvalo)

mostrando cómo se pueden combinar para formar diferentes objetos que encontramos en la realidad.

Al final del cuento, se anima a los niños a encontrar figuras geométricas en el mundo que les rodea.

La actividad comienza con el relato del cuento. Del mismo se han extraído algunos fragmentos,

entrecomillados en la trascripción de la conversación entre la maestra (Beatriz) y los niños:

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Beatriz: “Un rectángulo no es más que un rectángulo, hasta que le añades algo más: una locomotora,

unas vías…” (Los niños interrumpen constantemente el relato para adivinar en qué se van

transformando las figuras.)

Carmen: Un tren.

Beatriz: ¿Un tren que lo han hecho con qué?

Nacho: Con cuadrados.

Inés: Con rectángulos.

Beatriz: ¿Son cuadrados o rectángulos?

Diego: Rectángulos.

Beatriz: ¿Rectángulos? ¿Los rectángulos qué tienen?

Varios: La ‘L’ (fonema que han estudiado recientemente).

Beatriz: ¿Cómo es el rectángulo, Inés? (Inés traza la figura en el aire). No, explícalo. ¿Cómo es el

rectángulo? Explica qué diferencia hay entre éste y la forma del cuadrado. (Se encoge de

hombros. No sabe cómo explicarlo.) ¿Alguien lo sabe? A ver, Cristina.

Cristina: El cuadrado se… El rectángulo parece… El rectángulo se parece a un cuadrado.

Beatriz: Vale. ¿En qué se parece?

Carmen: Uno es más corto y el otro es más largo.

Irene: Nunca vamos a acabar (Irene está impaciente. Quiere seguir con el cuento).

Nicolás: Un cuadrado es así (trazándolo en el aire) y un rectángulo es así (haciendo la forma más

alargada).

Beatriz: Hay que explicarlo con palabras. ¿En qué se parecen? ¿Alguien lo sabe? A ver, Diego.

Diego: Que tienen cuatro picos cada uno.

Beatriz: Tienen cuatro picos. ¿Sabéis cómo se llaman los picos? (Silencio) Se llaman ángulos. Mirad:

el cuadrado tiene: uno, dos, tres y cuatro y el rectángulo tiene: uno, dos, tres y cuatro. En eso

son iguales ¿Sí? ¿En qué más cosas son iguales?

Illya: En la forma, porque uno es así y el otro es así. Mira (Lo dibuja en el aire).

Beatriz: Pero hay que explicarlo con palabras.

Carmen: Son iguales.

Nacho: Son iguales en el dibujo.

Carmen: En ese dibujo está al revés (refiriéndose al rectángulo, quiere decir que no está colocado con

los lados mayores horizontales).

Illya: Si los pusiéramos alto y alto, uno alto y el otro alto, serían iguales. (“Alto” quiere decir “con

el lado mayor vertical”, refiriéndose a que en el cuento el rectángulo está colocado con sus

lados mayores horizontales. Si estuviera dibujado en vertical sería igual que un cuadrado. La

discusión queda pendiente para más adelante, cuando se pueda trabajar con algún material

manipulativo, y el cuento sigue).

Beatriz: Un óvalo…

Illya: ¿Qué? (Interrumpe, muy extrañada).

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Beatriz: “Un óvalo [ahora lo veréis] no es más que un óvalo hasta que le añades un nido, una caseta

de madera y dentro una gallina muy paciente.”

Inés: ¡Un huevo!

María: Es un poco aplastado (el óvalo con respecto al círculo).

Cristina: Claro, porque los huevos se aplastan para que salga el pollo.

Beatriz: “Un rombo…”

Cristina: Un rombo yo no sé qué es.

Diego: Es un cuadrado dado la vuelta.

Beatriz: “Un rombo no es más que un rombo hasta que le añades una cuerda, una cola al viento y

muchos niños volándola.”

Varios: ¡Hala! ¡Una cometa!

Beatriz: Dice Diego que el rombo es el cuadrado dado la vuelta (Unos dicen que sí, otros que no).

Diego: Esto es un cuadrado (hace la forma con los dedos). Y le falta la parte de arriba (porque con

los dedos sólo puede formar una “U”). Y, si lo giramos, es un rombo.

Carmen: No, eso (el rombo) es más grande. Tiene los picos más así, más grandes, porque tiene los

lados más estirados.

Beatriz: Entonces, ¿es un cuadrado dado la vuelta?

Carmen: Así sería un cuadrado pequeño.

Illya: Si lo giras parece un triángulo. Bueno, no. Un cuadrado.

Carmen: No. Si lo partes, parece un triángulo (si partes el rombo por la diagonal menor)

Beatriz: ¿Un triángulo o dos?

Varios: Dos.

Illya: Si al rombo le cortas un piquito, bueno no, tres piquitos, y lo pones como una cajita, sería un

cuadrado

Cristina: Si, pero tiene uno, dos, tres, cuatro. Tiene cuatro (ángulos). Si tiene cuatro es un cuadrado.

Han surgido dudas sobre qué es un cuadrado, un rectángulo y un rombo. Vemos, como se

advertía al inicio, que influye notablemente la orientación de la figura (un rombo es un cuadrado

dado la vuelta, según Diego). También observamos que los niños se fijan en las características

globales de las figuras (el rombo tiene los picos más grandes y los lados más estirados que el

cuadrado, según dice Carmen). Más tarde, en otra actividad, se intentarán resolver estas dudas.

Después del cuento, los niños piensan en cosas que tengan la forma de alguna de las figuras que

han aparecido en el relato. Algunas figuras aparecen con mucha frecuencia; otras, con bastante

menos. Tras la pregunta de “¿Qué tiene forma de…?”, ofrecemos algunas de las respuestas más

llamativas que dieron los niños: Un círculo es una nariz de payaso roja, una luna llena, una “O”, un

globo de montarse la gente, un tarro pero partido con la parte de arriba y el tapón; un rectángulo es

como una chimenea, los ladrillos, un tronco de un árbol; un triángulo está en unos picos como los

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

colmillos de Drácula, una “A”, la parte de delante de una flecha, un lazo, el pico de una estrella, las

orejas del murciélago; un óvalo lo vemos en una calabaza, el cuerpo de una araña, los pétalos de la

flor o en una pelota de rugby.

LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL ENTORNO

Como indican Alsina y otros (1992): “La actividad espacial en el entorno constituye el soporte

adecuado del proceso de conceptualización espacial, las observaciones y experimentaciones

geométricas con los objetos y sistemas de la naturaleza propician el conocimiento operacional de las

nociones espaciales y permiten estructurar las operaciones mentales que dan lugar a la

representación espacial” (p. 29).

Hemos visto que los pequeños inmediatamente relacionan la figura abstracta con el objeto

cercano. En esta situación, proponemos a los niños que busquen elementos de su entorno que

tengan una forma de las que han visto. Después, los niños deben hacer una fotografía de las formas

elegidas utilizando la cámara que Beatriz (la maestra) emplea habitualmente para documentar la

actividad infantil. Dentro del aula, los niños reconocen muchas figuras: El taburete y el reloj de la

clase (figura 1.1) tienen forma de círculo; La silla y los cojines tienen forma de cuadrado; El gorro

de la bruja (figura 1.2) tiene forma de triángulo; La puerta, el corcho (figuras 1.3 y 1.4) y algunos

cuentos tienen forma de rectángulo.

Figura 1. Localizando y fotografiando figuras geométricas en el entorno más próximo.

Más tarde los niños ven las fotos en un monitor. El autor de cada una de las fotografías explica lo

que ha querido captar en la imagen. Cuando acabaron, Illya comentó: “¡Qué bonito!” (con voz de

satisfacción por el trabajo bien hecho).

Por la tarde, y como conclusión al trabajo que habían hecho a medio día, hicieron una

composición de formas geométricas en el papel. Todos utilizan el mismo material: distintas formas

en papel, pegamentos, tijeras y colores (figura 2.1). Sin embargo, poco a poco, cada uno va

transformándolas en distintos objetos del mundo real: Una niña de “brazos extensibles” (figura 2.2),

una perrita sonriente, un barco navegando con una cometa, un barco con delfines, cometas y un

ancla (figura 2.3), un pez en el mar (figura 2.4) o una moto corriendo “requetedeprisa” [sic].

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Figura 2. Los niños y niñas realizan una composición con figuras geométricas.

GEOMETRÍA A TRAVÉS DE LA MANIPULACIÓN

Durante el desarrollo del trabajo, siempre hemos tenido en cuenta que “las representaciones

mentales de los objetos físicos son el resultado de construcciones que se apoyan sobre las acciones

con los objetos” (Alsina y otros, 1992, p. 85). Llegados a este punto, recordamos que uno de los

objetivos del trabajo era utilizar la literatura para introducir materiales manipulativos, y procurar

que el uso de los mismos nos condujera a la “vivencia” del relato. Fieles a este intento de establecer

un diálogo entre la manipulación y el relato, comenzamos la segunda parte de nuestra secuencia.

El relato elegido para esta parte del trabajo es “El triángulo glotón” (Burns y Silveria, 1994).

Cuenta la historia de un triángulo que está cansado de llevar una vida rutinaria (apareciendo

siempre en los mismos lugares). Decide visitar al “Mago Cambiaformas” para que, añadiéndole un

ángulo más, le transforme en un cuadrilátero. Al poco tiempo también se cansa y se va

transformando en un pentágono, en un hexágono, etc. A medida que el triángulo adopta las distintas

formas, se va descubriendo en qué objetos del mundo real podemos encontrar dichas formas.

Finalmente, acaba teniendo tantos lados que, casi convertido en un círculo, rueda colina abajo hasta

estrellarse. Todo este avatar le conduce a desear convertirse de nuevo en el triángulo que fue. La

actividad comienza de nuevo con la lectura del cuento y, en esta ocasión, también se han

seleccionado ciertos fragmentos, junto con los comentarios que hacen los pequeños:

Beatriz: Hoy tengo otro libro de formas también. Pero, para que lo entendamos bien, he conseguido

este material que me han prestado los mayores de segundo, que se llama geoplano. Nos han

dejado muchos, así que luego vamos a poder jugar cada uno con uno. Con las gomas

podemos hacer distintas formas. (Varios geoplanos son de trama cuadrada; otros, de trama

isométrica.)

Nacho: ¿Y podremos hacer esa que era como el huevo de una gallina?

Beatriz: ¿Un óvalo? Con el geoplano hay algunas formas que son un poco difíciles de hacer, pero

luego lo intentáis vosotros, a ver qué ocurre. El cuento se titula ‘El triángulo glotón’ y dice

así: “Había una vez un triángulo que, como todos los triángulos, estaba siempre muy

ocupado.” Vamos a ponerle en el geoplano. (La maestra hace un triángulo rectángulo,

sabiendo que luego será más fácil transformarlo en un rectángulo.)

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Irene: Te ha salido un poco mal (quizá esperando un triángulo isósceles, con un eje de simetría

vertical).

Beatriz: No. Tiene tres picos que... ¿Cómo decíamos que se llamaban?

Diego: Ángulos.

Beatriz: A ver tiene: uno, dos y tres. Este triángulo está igual de bien que este otro (hace el triángulo

isósceles con un ángulo hacia arriba que es como ellos suelen reconocerlo) o que éste, o que

éste (y va haciendo distintos triángulos en el geoplano) mientras tenga tres ángulos siempre

es un triángulo.

Nacho: ¿Y si tiene cinco? (Sigue el relato del cuento, y cuando el protagonista se transforma en un

pentágono, se produce la conversación que viene a continuación.)

Beatriz: Se transforma en un pentágono. Pentágono es el que tiene cinco.

Nacho: ¿Y el que tiene siete?

Cristina: ¿Y mil? (El cuento continúa)

Beatriz: Y el ‘Cambiaformas’ le convirtió en una forma que tiene: uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis.

Y se llama hexágono.

María: Bea. Un amigo suyo (un amigo del triángulo protagonista) también tiene esa forma

(refiriéndose al rombo).

Beatriz: Tiene un amigo suyo que es un rombo. Pero el rombo tiene cuatro y él tiene seis.

Nacho: ¿Y si tiene ocho? (esa constante curiosidad humana)

Figura 3. Figuras en el geoplano.

Los niños siguen formando figuras en el geoplano. La actividad es totalmente abierta y

exploratoria. Es la primera aproximación de los niños al uso del geoplano en el último curso de

Educación Infantil. Durante el curso, habrá tiempo para realizar un trabajo más sistemático con este

material. Después de un buen rato trabajando individualmente, los niños eligen la forma que más les

ha gustado de todas las que han descubierto, la rehacen en el geoplano, se la enseñan a sus

compañeros, y la comentan. En esta ocasión, vuelven a surgir las dudas sobre qué es un cuadrado y

qué es un rombo. Por eso, nada más acabar la puesta en común, los niños trabajan sobre ese aspecto.

Se le da a cada uno dos rombos, dos cuadrados y dos rectángulos dibujados en un folio. Ellos

tendrán que recortarlos e ir girándolos e intentando superponerlos. Así podrán comprobar si un

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

rombo es un cuadrado girado y aclarar todas las demás dudas que habían ido surgiendo en las

actividades anteriores sobre cuadrados, rectángulos y rombos.

Figura 4. Los niños comprueban si rombos, cuadrados y rectángulos son iguales.

CONCLUSIONES

Algo tan abstracto como podría resultar la geometría en la Educación Infantil, adquiere un

significado pleno si las actividades se relacionan con el mundo real. Los niños de estas edades están

capacitados para hacer análisis y observaciones sobre lo que están viendo, reflexionar sobre esas

observaciones y dialogar y exponer sus puntos de vista. Para ello, es necesario proporcionarles unas

herramientas fundamentales: tiempo para hablar y comentar, libertad para que se expresen sin

miedo a equivocarse, y actividades en las que puedan manipular libremente para después

reflexionar y extraer sus conclusiones. Por otro lado, es importante destacar que siempre debemos

dudar sobre lo que creemos que los niños ya saben. En muchas ocasiones, se producen solamente

aprendizajes superficiales. Cuando éstos son puestos a prueba en situaciones que requieren una

aplicación más sutil, observamos que la adquisición de estos conocimientos no se ha producido con

la profundidad esperada. Esto lo hemos podido observar en la comparación del cuadrado con el

rombo. En esta situación, el conocimiento que nos ofrece la Didáctica de la Matemática de las

dificultades que suelen tener los niños (confusión de forma y orientación) y de las causas de las

mismas (presentación habitual en dibujos) nos ha conducido a finalizar el trabajo con una situación

en la que las figuras recortadas, una vez perdida su orientación fija en el papel, nos daban la pista de

cómo estudiar la diferencia entre cuadrado y rombo.

REFERENCIAS

Alsina, C., Burgués, C., y Fortuny, J. M. (1992). Invitación a la didáctica de la geometría. Madrid:

Síntesis.

Burns, M., & Silveria, G. (1994). The greedy triangle. New York: Brainy Day Books.

Dodds, D. A., & Lacome, J. (1994). The shape of things. Cambridge, MA: Candlewick Press.

Saa, M. D. (2002). Las matemáticas de los cuentos y las canciones. Madrid: EOS.

Welchman-Tischler, R. (1992). How to use children’s literature to teach mathematics. Reston, VA:

NCTM.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

DEMOSTRACIONES Y USO DE MODELOS GEOMÉTRICOS EN LA ENSEÑANZA

DEL ALGEBRA

Ma. Victoria Martínez Videla

[email protected]

RESUMEN

En este trabajo se realiza una reflexión entorno a la utilización de la geometría,

primordialmente como modelo visual, en la enseñanza del álgebra. Dicha relación se

complementa con un tercer elemento: la demostración a nivel escolar. Se adjuntan algunos

ejemplos que permiten hacerse una idea de cómo llevar a la práctica dicha reflexión.

LA ENSEÑANZA DEL ÁLGEBRA A NIVEL ESCOLAR

La enseñanza del álgebra a nivel escolar, se caracteriza por enfatizar el aprendizaje del leguaje

algebraico que posteriormente deberá facilitar el uso de dicho lenguaje en la modelización de

situaciones en diversos ámbitos, tanto en la matemática como en otras áreas.

Según los Principios y Estándares para la Educación Matemática definidos por la NCTM

(2000), el álgebra se refiere al estudio de métodos generales y estudia las relaciones entre

cantidades, las formas de representación de relaciones matemáticas, el análisis del cambio y al

uso de estructuras abstractas en la resolución de problemas.

Sin embargo, también se hace énfasis en que el álgebra es más que manipular símbolos. Los

estudiantes necesitan comprender sus conceptos, las estructuras y principios que rigen la

manipulación de los símbolos y cómo pueden usarse éstos para registrar ideas y ampliar su

comprensión de las situaciones.

Por lo tanto, es importante tener en cuenta una doble finalidad al momento de trabajar en

torno a conocimientos algebraicos a nivel escolar: dar importancia al aprendizaje del álgebra,

en tanto lenguaje y como estructura en sí, poniendo énfasis en su funcionamiento, y por otra

parte, darle sentido al álgebra como herramienta para ser utilizada en la matemática y en otras

áreas de conocimiento.

Ahora bien, en la presente reflexión se pretende utilizar la geometría como un aporte a ambas

finalidades, centrándonos en el álgebra escolar básica, que se trabaja al comienzo de la

educación secundaria, por ejemplo las identidades notables y factorización. Por una parte

utilizar los modelos geométricos con el fin de dar sentido a identidades algebraicas que

generalmente se trabajan, desde su introducción, de manera procedimental, obviando la

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

utilización de elementos extra-algebraicos, que pudiesen permitir dar sentido a dichos

procedimientos. Y en segundo lugar se promueve el uso conjunto del álgebra y la geometría

como una forma de dar una visión más integrada de la matemática y, por tanto,

ejemplificando como dos áreas de una misma disciplina se complementan.

DEMOSTRAR A NIVEL ESCOLAR

¿Qué es una demostración?

La intención no es definir lo que es una demostración, sino resaltar algunos elementos

comunes y otros diferenciadores entre la demostración matemática propiamente y lo que es

posible trabajar a nivel escolar.

Existen varias acepciones para la palabra demostración, de hecho Vega (1990), realiza un

análisis de los términos “demostrar” y “demostración” manifestando que el origen griego de

dichas palabras se basa en el verbo “deíknymi” que presenta dos vertientes de significados: la

acción de mostrar algo y la de probar que algo es el caso. Distingue que en la línea de

mostrar se puede entender de dos maneras:

a) En el sentido de hacer ver, exhibir, poner ante los ojos

b) En el sentido de dar a conocer, explicar, manifestar o hacer saber por medio del lenguaje.

Y en la línea de probar se pueden distinguir otras dos acepciones:

c) En el sentido más amplio, equivale a ser una prueba o a dar pruebas de algo: puede incluir

las connotaciones de mostrar, indicar, dar testimonio, revelar, probar, verificar.

d) “Deíknymi” adquiere, en fin, el sentido técnico de demostrar un teorema o aducir una

prueba deductiva lógicamente concluyente de una proposición.

Atendiendo a lo anterior, se desprende la importancia de delimitar claramente a qué nos

referimos cuando hablamos de demostrar, sobre todo tomando en cuenta que en matemáticas

la demostración es considerada como: “un sistema de razonamientos por medio de los cuales

la veracidad de las proposiciones que se demuestra se deduce de axiomas de verdades antes

demostradas” (Fetísov 1980, p.10). Sin embargo la posibilidad de realizar una demostración

matemática con la rigurosidad que ésta demanda, sólo se podría hacer en los últimos niveles

de escolarización.

Ahora bien, es posible trabajar la demostración a nivel escolar, atendiendo a las otras

acepciones del dicho concepto.

¿Qué entenderemos por demostración a nivel escolar?

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Fetísov (1980) se plantea la pregunta: ¿vale la pena hacer una demostración cuando la

proposición que se quiere demostrar es por sí suficientemente clara y evidente?, y acompaña

dicho cuestionamiento argumentando que los hindúes en la Edad Media no demostraban

muchas de sus proposiciones, sino que las acompañaban de un dibujo en el que escribían solo

la palabra “¡mira!” y que el lector mirando el dibujo y razonando sobre éste podía llegar a la

conclusión determinada.

Luego entenderemos por demostración en la escuela: “la forma de poner en evidencia la

veracidad de una proposición”

Es necesario destacar que metodológicamente, cuando hablamos de poner en evidencia, nos

referimos que el alumno llegue a la convicción de que la proposición es verdadera.

¿Por qué demostrar en la escuela?

Me gustaría destacar dos fenómenos que ocurren en una clase de matemática y que

empobrecen el aprendizaje matemático que realizan los alumnos:

a) “Presentar un ejemplo y generalizar autoritariamente” (Coriat 2004, p. 11)

b) Utilizar generalizaciones, sin cuestionar su veracidad.

Lo anterior provoca una gran contradicción en la enseñanza de la matemática, sobre todo si

nos planteamos, entre otros objetivos, que los alumnos sean críticos, analíticos, desarrollen

seguridad de sus planteamientos, tomen decisiones, etc.

Por otra parte, Martínez (2000) plantea: “pensamos que una demostración muestra que una

proposición es verdadera con seguridad, y que como consecuencia de esta certidumbre

estamos seguros al aplicarla, y justificados a hacerlo. La demostración parece inexorable y

parece establecer lo que demuestra como absolutamente seguro. ¿Pero en que consiste esta

inexorabilidad?... … Lo que es inexorable, no es la demostración, sino las consecuencias de

aceptarla, esto es, que la aplicamos después inexorablemente en los cálculos empíricos, por

ejemplo, en física. Y confundimos el hecho de que mantenemos la proposición demostrada

como rígida con el pensamiento de que se mantiene firme porque es verdadera con

seguridad”.

Luego podemos plantearnos, a modo de conjetura, que el uso de la demostración en la escuela

favorece:

• Que el alumno se sienta seguro de sí mismo y de los procedimientos que lleva a cabo.

• La motivación hacia el aprendizaje, sobre todo si se trabaja con distintos tipos de

materiales, de manera lúdica y concreta.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

• El desarrollo de distintas estrategias que pueden ser utilizadas con posterioridad en

situaciones similares.

• El desarrollo del pensamiento analítico.

Sería necesaria una investigación para indagar el grado de veracidad de las conjeturas

anteriores, sin embargo creo que existe consenso en el hecho de que tiene mayor valor, a nivel

de aprendizaje, que un alumno tenga la posibilidad de entender y justificar una proposición

matemática, sobre que tenga que “creer” reglas que a priori no tienen sentido alguno. De

hecho dentro de los Principios y Estándares de la Educación Matemática definidos por la

NCTM (2000) se define un estándar llamado Razonamiento y Demostraciones.

¿Qué papel juega el profesor?

El utilizar las demostraciones, entendidas como demostraciones a nivel escolar, como parte de

la metodología de trabajo en la enseñanza de la matemática demanda definir el rol que juega

el profesor de manera clara. En Los Principios y Estándares de la Educación Matemáticas se

define el papel que desempeña el profesor a lo largo del estándar Razonamiento y

Demostraciones de acuerdo a las actividades propuestas, sin embargo a partir de éstas

podemos abstraer algunas características generales, que enunciamos a continuación (NCTM,

2000):

Los profesores:

• Deben seleccionar actividades que permitan demostrar las propuestas matemáticas que

se trabajan en cada nivel, de manera que sean significativas y accesibles a los

estudiantes.

• Deberían incitar a los alumnos a formular e investigar conjeturas matemáticas.

• Tienen que ayudar a los alumnos a comprender el papel de los contraejemplos y los

ejemplos en una demostración informal.

• Deben animar a los alumnos a conjeturar y a justificar su pensamiento empíricamente o

con argumentos razonables.

• Deben establecer la expectativa de que la clase sea una comunidad matemática que esté

continuamente desarrollando, probando y aplicando conjeturas relativas a relaciones

matemáticas.

Con los elementos anteriores sólo pretendía poner de manifiesto que trabajar

sistemáticamente con demostraciones en la escuela es posible sólo a partir de una convicción

del profesor de que es una metodología adecuada de trabajo en la enseñanza de la matemática,

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

3

2 a

ya que el papel que juega en la planificación y ejecución de este tipo de actividades es

trascendental.

ALGUNOS EJEMPLOS DE UTILIZACIÓN GEOMETRIA EN LA ENSEÑANZA

DEL ALGEBRA

Antes de dar algunos ejemplos de cómo la geometría pude ser utilizada para la enseñanza del

álgebra, quisiera hacer énfasis en lo expresado en el párrafo anterior, ya que utilizar algunos

conceptos de la geometría para dar sentido a ciertas expresiones algebraicas puede ser de gran

utilidad, de manera tal de trabajar un mismo concepto de forma más completa, sin embargo

no puede remitirse a un trabajo aislado, ya que de ser así se reducirán a ser actividades

anecdóticas y carentes de sentido.

Se adjuntan ejemplos bastante clásicos en cuanto a demostraciones geométricas, sin embargo

el énfasis debe ponerse en la forma en que se trabajan dichas demostraciones.

Por ejemplo, para utilizar las demostraciones geométricas de las identidades notables puede

ser recomendable anteponer situaciones en las que se utilicen equivalencias en cuanto a

representaciones:

La expresión algebraica 2x equivale al área de

un rectángulo cuyas dimensiones son x y 2.

También es de gran ayuda realizar actividades que permitan al alumno “hacer” (manipular,

conjeturar, validar) y que no se reduzca a que el profesor “muestre”, como:

1. Dibuja la representación geométrica de las expresiones a2, b•(b + 3), (x + 2)2,

(a + b)2:

2. Escribe una expresión que represente el área de los siguientes rectángulos

Este tipo de actividades permiten que el alumno se familiarice con el uso de representaciones

geométricas de una expresión algebraica, de manera tal que luego se pueden trabajar los

ejemplos de demostraciones que presentamos a continuación.

2x ⇔ 2

x

X

p

y

4

(a+b)2

b•(b

+ 3

) (x + 2)2

a b b

a

b b

x 2

2 x

3

a2 a

a

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

a2 a•b

b2

a

b

b a

a•b

c•a

a2 a•b

b2

a

b

b a

a•b

c•a

b•c

b•c

c2 c

c

EJEMPLOS

1. Cuadrado de un binomio

⇔ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

2. Cuadrado de un Trinomio

⇔ (a + b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

3. Suma por su Diferencia

⇔

a2 – b2 = (a + b)(a - b)

a

b

a - b

a + b

a - b

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

4. Completando el cuadrado

x2 + ax = (x + 2a )2 – (

2a )2

+ = + =

5. La suma de los N primeros números impares

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

1 = 1 1 + 3 = 22 = 4 1 + 3 + 5 = 32 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 42 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52 = 25

6. Teorema de Pitágoras

→ →

c2 = (a - b)2 + 4

ab

21 = a2 + b2

Los ejemplos anteriores pueden ayudar a trabajar distintos aspectos de la relación geometría –

algebra.

Los cuatro primeros ejemplos se pueden trabajar a modo de puzzles geométricos de manera

tal que permitan demostrar las identidades notables, la factorización, y como se muestra en el

ejemplo 4, el completar cuadrados.

x

x

a

a - b

b a c

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

El ejemplo 5, se puede trabajar en dos sentidos: como una forma de representar

geométricamente, y caso a caso, la suma de los n primeros números impares o, en el otro

sentido, a partir del modelo geométrico inducir la fórmula general.

Finalmente, el ejemplo 6 es una muestra de cómo se puede utilizar una demostración

geométrica con el fin de que los alumnos le den una justifican algebraica a algo que

visualmente parece “obvio” o al menos indiscutible.

Por lo tanto, la idea es explotar de diversas formas actividades que comúnmente se trabajan

muy superficialmente o simplemente no se trabajan, con el fin de enriquecer el trabajo

analítico y otorgar una visión un poco más completa de la matemática como ciencia a

nuestros alumnos.

Realizar un análisis de los conceptos a trabajar en la escuela desde distintos puntos de vista

amplía las posibilidades metodológicas a trabajar en el aula y por otra parte nos permite

trabajar por la construcción de una visión más integra de la matemática. En particular, utilizar

la relación geometría – álgebra, enriquece el trabajo conceptual y nos permite desarrollar

destrezas, que son necesarias para el aprendizaje de conceptos matemáticos y para la actividad

matemática en general.

REFERENCIA BIBLIOGRAFICAS

- CORIAT, M. (2004): Programación en y desde la Geometría. Documento Programa de

Doctorado, Bienio 04 – 06. Documento inédito.

- FETÍSOV, A. (1980): Acerca de la demostración en Geometría. URSS: Editorial MIR.

- GARCÍA, J. y BERTRÁN, C. (1988): Geometría y Experiencias. Madrid: Editorial

Alhambra.

- MARTÍNEZ, R. (2000): Una aproximación epistemológica a la enseñanza y el

aprendizaje de la demostración matemática. Córdova: Servicio de publicaciones de la

Universidad de Córdova.

- MELVILLA, V. (1985): La geometría como soporte de diversas cuestiones matemáticas.

Madrid: MEC.

- NCTM (2000): Principios y Estándares para la Educación Matemática. Traducción al

español. Sevilla: SAEM-“Thales”.

- NELSON, R. (1993): Proofs with out words I. Washington DC: MAA.

- SOCAS, M. (1989). “Iniciación al álgebra”. España, Editorial Síntesis.

- VEGA, L. (1990): La Trama de la Demostración. Madrid: Alianza Editorial.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Salimos al medio natural: Matemáticas y Educación Física, aprendizaje interdisciplinar

David Ríos Martín

Diplomado en Magisterio en Educación Física Esta comunicación trata de la interdisciplariedad que podemos encontrar entre la

Geometría y la Educación Física como ayuda en los aprendizajes globales en la

Educación Primaria. Es una reflexión, de cómo dos materias en principio sin nada en

común pueden trabajar conjuntamente y de manera interdisciplinar y colaborativa. No

conforme con ello, esta experiencia se puede llevar de manera interdisciplinar con otras

áreas de conocimiento, como puede ser Conocimiento del medio. A través de esta

actividad podemos lograr un aprendizaje lúdico y sobretodo significativo para el

alumnado, trabajando de forma cooperativa y llegando a los objetivos de manera grupal.

Justificación

Esta comunicación tiene como objeto de estudio ver algunas conexiones entre la

Geometría y la Educación Física a través de la interdisciplinariedad del currículum, ya

que es una de las formas de ofrecerles a los niños de manera integral el conocimiento de

las distintas áreas que estudian en el centro educativo. No me adentraré mucho en

explicar desde el punto de vista de la Educación Física, ya que no me parece oportuno

dilatar la comunicación en demasía.

De esta manera, los alumnos ven la realidad tal y como es y no de forma parcelada

como los docentes nos empeñamos en ofrecer la educación. El actual sistema educativo

nos propone una educación integral del alumnado, y es a través de esta

interdisciplinariedad cuando el alumno puede observar que un mismo hecho se puede

estudiar desde distintas materias y que, al fin y al cabo, es el mismo hecho, no son

hechos distintos. Un ejemplo de lo dicho se puede observar en el estudio del agua. Nos

podemos acercar a su estudio desde la Química, la Biología, la Física, la Geología…

pero siempre va a ser agua.

Lograr una adecuada relación entre las diferentes asignaturas que conforman un

Plan de Estudios influye en el consecuente incremento de la efectividad de la enseñanza,

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

tanto en términos cuantitativos como cualitativos. Lo que significa una óptima

preparación de los estudiantes, a la vez que exige una mayor preparación del

profesorado. Esto constituye además, una condición didáctica y la exigencia para el

cumplimiento del carácter científico de la enseñanza. Los conocimientos sin vinculación

entre sí rompen la asimilación consciente de los conocimientos y habilidades.

La palabra interdisciplinaridad ha atravesado las fronteras y ha dado la vuelta al

planeta. Se utiliza tanto en la francofonía como en los países germano-escandinavos, en

los países anglosajones y en los de lengua española y portuguesa. De Nueva Zelanda a

Brasil, de Portugal a Noruega, de Chile a Canadá, la palabra es hoy en día de uso común

(Lenoir y Hasni, 2004). Podríamos pensar a primera vista, y sin duda de forma un poco

ingenua, que la palabra está cargada de un significado socialmente compartido por la

totalidad de sus usuarios, y que se caracteriza por algunas perspectivas comunes en el

plano de la investigación en educación, así como en el de la formación.

Por tanto, hacer hincapié en este tema me parece interesante, ya que en la revisión

bibliográfica que he realizado me he encontrado con pocos enlaces entre la Geometría y

la Educación Física, por este motivo veo necesario el interés por el tema en cuestión.

Según el diccionario de Psicopedagogía (2005) nos define interdisciplinariedad como:

“Filosofía y marco metodológico que puede caracterizar la práctica

científica. Consiste en la búsqueda sistemática de integración de las

teorías, métodos, instrumentos, y, en general, fórmulas de acción

científica de diferentes disciplinas, a partir de una concepción

multidimensional de los fenómenos, y del reconocimiento del carácter

relativo de los enfoques científicos por separado. Es una apuesta por la

pluralidad de perspectivas en la base de la investigación.”

Por tanto podemos observar que es una metodología muy apropiada para la etapa

de primaria, por sus aprendizajes integrales, para un desarrollo del aprendiz global.

La Geometría y las salidas al medio natural

En este artículo me gustaría ofrecer una actividad muy rica en aprendizajes pero

muy complicada de organizar, esta actividad es la salida al medio natural.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

La salida al medio natural puede ser utilizada como una situación de pleno

desarrollo de nuestros alumnos ya que se puede enfocar relacionándola con el currículo

de las diferentes áreas de conocimiento Además, no debemos olvidar el carácter global

que caracteriza a la educación primaria, y por tanto la importancia de trabajar de manera

interdisciplinar en dicha etapa (Contreras y otros, 2005).

Por otro lado, esta actividad nos brinda la oportunidad de abordar algunos de los

objetivos generales que se establecen en Andalucía para primaria, trabajándolos antes,

durante y después de la salida, como por ejemplo: "Comprender y establecer relaciones

entre hechos y fenómenos del entorno natural y social y contribuir activamente a la

defensa, conservación y mejora del medio ambiente" (Decreto 105/92, 9 Junio), además

de temas transversales de educación primaria como son la educación ambiental o la

salud.

La salida al campo la podemos diseñar como un juego, pero como por todo el

mundo es sabido, este no tiene que quedarse sólo ahí, sino que anterior y posteriormente

a la salida debe de tener una reflexión en donde los alumnos/as sepan de qué reglas

disponemos y qué deben realizar en la salida e indispensablemente tienen que

interesarle a los alumnos y debemos como maestros ofrecerles un para qué lo

realizamos.

Martinez Recio, A y Rivaya F.J.. (1989) nos ofrece una metodología a seguir en

actividades lúdicas en el aprendizaje de la Geometría, esta se lleva en tres fases, estas

serían:

1ª Fase: se va tomando contacto con el espacio exterior, con los objetivos y

personas que lo conforman, de una forma desinhibida, espontánea y creativa

2ª Fase: se introducen otros materiales complementarios que ayudan al

establecimiento de relaciones espaciales específicas de acuerdo con el tema geométrico

elegido como objeto del aprendizaje y que motivan la reflexión sobre aspectos

determinados de dicho tema.

3ª fase Propuesta adecuada de actividades complementarias de problemas

suscitados a partir del uso de esos materiales a realizar en otros momentos escolares,

cerrando el desarrollo del tema.

Entrándonos ya en materia, en esta actividad desarrollaremos y utilizaremos

nociones de situación como delante-detrás, a la izquierda a la derecha, nociones de

orientación, el espacio que ocupamos, asociaciones, nociones de proximidad…. Todas

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

estas nociones matemáticas, el alumno tiene que llegar a manejar con soltura. Por tanto,

una actividad muy rica y totalmente interdisciplinar sería: Juegos de orientación

El juego de orientación consistirá en lo siguiente:

El grupo de docentes esconderán elementos para que los discentes realicen un mapa

de la zona una vez haya acabado la salida y en el aula. La finalidad sería alcanzar los

elementos (lápices, papel, reglas…) para que cada grupo de alumnos en clase puedan

realizar un mapa del lugar lo más acertadamente posible, totalmente rústico y creado por

ellos.

Colocaremos al alumnado de tercer ciclo de Primaria o a alumnos de primer ciclo

de Secundaria en grupos de cuatro o cinco.

Una vez colocados y en el campo, les daremos instrucciones concisas y precisas de

cómo tienen que alcanzar cada uno de los elementos escondidos que nos servirán para

construir el mapa de la zona.

Cada grupo a través de la orientación de una brújula y un “mapa oficial” de la zona,

tendrán que descubrir dónde se encuentran esos materiales escondidos. Y resolver unos

problemas que se les planteen, como pueden ser traducciones, operaciones matemáticas,

preguntas históricas… Una vez hallados tendrán que guardarlos.

Una vez acabado el tiempo definido, cada grupo volverá al punto de donde partió.

En la siguiente sesión de clase, cada grupo se reunirá para poner en el papel todos

las referencias que se acuerden (ríos, acequias, casas abandonadas, montes, arboledas ..)

para poder dibujar lo más exactamente posible al lugar donde estuvieron días antes. De

esta manera desarrollarán nociones de situación, orientación, distintas perspectivas de

cómo lo veían y como lo ven en el plano, nociones de colaboración y cooperación en

grupo, etc…

Esta sería a grosso modo la actividad en sí, ahora comenzaré a explicar las tres fases

que nos comunica Martínez en su obra.

Antes de la salida le comunicaríamos al alumnado lo que realizaremos, para que así

ellos sepan lo que tienen que observar de forma lúdica y libre, de tal forma que la

autonomía del alumnado juegue el máximo partido posible.

En el aula realizaremos las siguientes reflexiones:

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

¿Qué es lo que tenemos que realizar en la salida?

Explicaremos qué es lo que vamos a realizar, aunque el día de la salida se lo

entreguemos por escrito junto con la brújula y el mapa. Aquí también tendremos que

explicarles como se orienta uno con una brújula y un mapa.

¿Qué es a lo que tenemos que prestar atención?

Tendremos que prestar atención a todos los elementos naturales y artificiales que

nos hayan servido de guía para encontrar los lugares indicados en donde se encuentran

las herramientas para realizar el mapa final.

¿Dónde vamos a realizar la salida?

Deberemos definir la zona, explicando qué peligros nos podemos encontrar y cómo

podemos solucionarlos, en caso de desorientación, cómo calcular el tiempo para no

llegar muy atrasados al punto de encuentro, etc…

¿Por qué vamos a realizar la salida?

Les explicaremos al alumnado que vamos a realizar la salida porque es importante

desarrollar habilidades que en el aula no es imposible desarrollar, como puede ser la

orientación, la situación en un medio exterior ….

Durante la salida, como ya he comentado anteriormente, los alumnos comenzarán a

tomar parte de las nociones matemáticas, para así más tarde elaborar el mapa con las

herramientas adquiridas durante la salida en donde entren todas estas referencias,

asentando la noción de espacio de manera interdisciplinar y sobretodo lúdica.

Los alumnos realizarán una serie de pruebas durante la jornada de orientación, estas

pruebas pueden ser lo que sea, desde operaciones matemáticas a acertijos, pasando por

traducciones a otro idioma…. De esta manera obtendrán pistas para poder alcanzar los

elementos necesarios (que estarán escondidos) para elaborar el “mapa” de la zona

(lápices, papel, gomas …).

Después de la salida, además de realizar las reflexiones de otras materias, las

reflexiones matemáticas que nos interesarían serían del tipo realizar el mapa de la zona,

debatiendo en grupo dónde y cómo estaban situados los elementos que utilizamos de

guía en el juego de orientación, de esta manera la especialidad jugará un papel muy

importante, (¿el riachuelo estaba delante o detrás de la roca? la casa abandonada dónde

estaba?...).

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Así de manera colaborativa y cooperativa, podemos alcanzar unos aprendizajes

lúdicos, en donde el alumnado sea partícipe de éste, es decir un aprendizaje significativo

y provechoso, ya que a parte de las nociones matemáticas, aprenderán otros mucho

conocimientos de otras materias, como puede ser la Educación Física, a través del

senderismo, Conocimiento del Medio, Biología, Ecología, aspectos de respeto al medio

ambiente, salud (trasversales del currículum).

Con todas estas reflexiones se observa que esta actividad favorece y mejora los

siguientes objetivos generales del área de matemáticas:

- Reconocer formas geométricas y relaciones espaciales.

- Aprovechar los recursos tecnológicos para el descubrimiento, la exposición, la

profundización y la ampliación de los contenidos matemáticos, y para relacionar

estos contenidos con otros de las distintas áreas del currículo.

- Representar e interpretar la información de datos procedentes de diferentes

fuentes, de forma clara, precisa y ordenada.

Algunos de los objetivos de educación primaria del REAL DECRETO 830/2003, de

27 de junio que atendemos son:

1.Desarrollar el interés y el esfuerzo por el aprendizaje de las Matemáticas.

3. Reconocer formas geométricas y relaciones espaciales.

7. Aprovechar los recursos tecnológicos para el descubrimiento, la exposición, la

profundización y la ampliación de los contenidos matemáticos, y para relacionar

estos contenidos con otros de las distintas áreas del currículo.

8. Representar e interpretar la información de datos procedentes de diferentes

fuentes, de forma clara, precisa y ordenada.

9. Comprender la necesidad de la argumentación mediante razonamientos lógicos en

el estudio de las Matemáticas.

Uno de los contenidos de tercer ciclo de primaria que podemos abordar sería:

o Identificación precisa de conceptos y relaciones en el plano.

Se podrían reforzar contenidos de los otros dos ciclos, como son:

- Primer ciclo:

o Localización elemental de objetos en el espacio.

o Aproximación intuitiva al concepto de espacio, plano, recta y punto.

- Segundo ciclo:

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

o Localización precisa de elementos en el espacio. Interpretación de

croquis y planos sencillos.

Conclusión

Como podemos observar, las actividades en la naturaleza, aparte de ser aspectos

lúdicos, pretenden llegar a crear aprendizaje significativo, con grandísimas dosis de

interdisciplinariedad y por supuesto de educación integral del individuo. Además de

todos los aspectos matemáticos que mejora, hay muchos aspectos de otras áreas en los

que no he entrado y que son igualmente importantes a la hora de la educación integral;

podemos resaltar que el Conocimiento del Medio, es un área de la que se puede sacar

mucho rendimiento y provecho en actividades de este tipo.

Quiero recalcar que esta es una actividad puntual, no podemos estar todos los días

realizando salidas al medio natural, ya que es un enorme trabajo tanto por parte del

profesorado, como por parte del alumnado. Aparte, son actividades peligrosas que si no

se llevan un estricto control de ellas pueden salir mal paradas.

De todas formas, animo a todo docente a que realice actividades de este tipo, ya que

como he dicho varias veces son riquísimas en aprendizajes significativos y en educación

integral del alumnado.

Bibliografía.

Contreras, J; Contreras y A. Román, C. Las actividades en el medio natural.

Una propuesta interdisciplinar para educación primaria. www.efdeportes.com

http://www.definicion.org/interdisciplinariedad (2005)

http://www.psicopedagogía.com diccionario de psicopedagogía (2005)

Lenoir, Y. y Hasni, A. (2004) La interdisciplinaridad: por un matrimonio abierto de la

razón, de la mano y del corazón. Revista iberoamericana de Educación 35.

Martinez Recio, A y Rivaya F.J (1989) Una metodología activa y lúdica para la

enseñanza de la Geometría. Ed. Síntesis. Madrid.

REAL DECRETO 830/2003, de 27 de junio por el que se regula la Educación en

España. (LOCE).

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Granada, 2005, Thales XI Vega, M y Cardeñoso, JM 1

¿POR QUÉ A ÉCIJA SE LE CONOCE COMO “CIUDAD DE LAS TORRES”?

María Vega Quirós, [email protected] Escuelas Profesionales de la Sagrada Familia de Écija, Sevilla.

José María Cardeñoso, [email protected] Grupo Desarrollo Profesional del Docente, DPD (Hum 462), Univ. Granada.

La respuesta a la pregunta propuesta es obvia para cualquiera que haya visto alguna vez

Écija. En esta comunicación, presentamos un proyecto innovador de matemáticas que utilice

este saber socio-natural que poseen los alumnos, de 3º de Eso de mi centro, como origen de

un proyecto para trabajar la geometría desde sus conocimientos cotidianos, construyendo las

Torres que tantas veces han visto, aprendiendo a mirar su ciudad con ojos matemáticos.

CONTEXTUALIZACIÓN

Tras tres años de dar clase en Secundaria, he ido observando que uno de los factores del

fracaso escolar hoy día es la falta de motivación por parte de los alumnos, lo cual me

planteaba un reto profesional que afrontar en mi trabajo de aula. Aunque ya estaba preparada

para que esto sucediera con alguna de las unidades didácticas que impartía, no dejaba de

sorprenderme que sucediera con otras que, a mi entender, eran mucho más atractivas. Aunque

he intentado llevar las matemáticas al entorno de mis alumnos como fuente de estimulación,

no siempre lo he conseguido. Es posible que sea porque para cada caso particular pretendía un

ejemplo concreto, en el que ellos siempre sabían que era para aplicar un determinado tipo de

conocimiento asociado a ciertas tipologías de problemas.

A pesar de que saber cuál era el número de fontaneros necesarios o el precio de un

videojuego tras una rebaja no era la panacea, más complicaciones me encontraba, aún, cuando

llegaba a la parte de Geometría. Aquí surgían dos nuevos problemas, el primero era que la

Geometría era el patito feo de la Eso (junto a la Estadística y Probabilidad, quizás) y siempre

se daba rápidamente y al final de curso, con lo cual los alumnos no promocionaban, en la

mayoría de los casos, con los objetivos mínimos y, debía casi empezar desde el principio.

A este obstáculo, “particular” de la Geometría, hay que sumarle el que ocasionan los

alumnos que llegan al curso con grandes deficiencias en la materia y ya fuera porque seguían

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


sin motivación para intentar subirse al carro o bien porque el carro iba muy rápido para ellos

no podían seguir el curso de las clases. Así, tarde o temprano se desanimaban y dejaban de

interesarse por todo lo relacionado con la materia, perdiendo la posibilidad de aprender algo,

de superarse a sí mismos y de conseguir cumplir cualquier objetivo que yo les propusiera,

resaltando que también era parte del problema. Pero, ¿cómo conseguir que en el aula se

llevaran distintos niveles de conocimientos y ritmos de aprendizaje?, ¿cómo negociar las

tareas para que les resultaran interesantes y demandasen conocimientos?

PRESENTACIÓN DE LA EXPERIENCIA

Gracias a la generalidad con la que están expuestos los contenidos geométricos en el

Diseño Curricular Base podemos plantearnos presentar dicho bloque no en Unidades

Didácticas, como hasta ahora me había propuesto, sino como un proyecto de investigación

por parte de los alumnos, de manera que ellos guíen su aprendizaje, se formulen preguntas

que necesiten de las matemáticas para responderse y no se sientan distanciados unos con otros

por la desigualdad de conocimientos previos. Se puede considerar un proyecto como un

conjunto de actividades interrelacionadas que tienen un objetivo común, alcanzable

autónomamente como unidad de acción en un perıodo de tiempo determinado, a los que están

asignados un determinad grupo de personas y medios. Permite al sujeto elaborar un

conocimiento matemático integrado y comprensible, lo cual otorga sentido y significado a su

aprendizaje (Barron, B.J.S. y otros, 1998).

Dicho proyecto de investigación tendrá varias partes. La primera consistirá en un

microproyecto (Oliveras, 1996), denominado “Mi Torre”, que consistirá en la construcción

por parte de los alumnos, distribuidos por grupos, de maquetas a escala de algunas torres de

Écija, así como de un plano del centro de la ciudad. Además, tendrán que cumplimentar

individualmente un portafolio de aprendizaje en el que expondrán tanto sus logros y

dificultades como sus expectativas a lo largo del desarrollo del proyecto.

Presentamos una visión más sintética en la siguiente tabla:

¿Por qué a Écija se le conoce

como “Ciudad de las Torres”?

Realización del microproyecto: MI TORRE.

Realización del portafolio de aprendizaje (reflexiones relativas al conocto. Geométrico)

Preparación de la Gymkhana Matemática.

Organización del grupo de clase.

Grupos de 4 ó 5 alumnos.

Individualmente. - Grupos de 4 ó 5 alumnos - Gran grupo.

Organz del Primeras sesiones (1- Durante todo el Últimas sesiones (10-13).

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


tiempo 9). proceso. Determinación de tareas.

Informes para seguir el micro-proyecto

Actividades a incluir en la carpeta de presentación

Actividades a incluir en la propuesta de grupo

Una tercera ocupación en los mismos grupos de trabajo, será la de concebir actividades de

orientación, comprensión y ubicación de objetos geométricos en el plano de Écija que ha

formado todo el grupo de clase, con la idea de que guíen una Gymkhana para sus compañeros

de 1º y 2º de la Eso, utilizando sus propias actividades, el día de las matemáticas.

PLANIFICACIÓN DE UN ANÁLISIS DETALLADO DE LA EXPERIENCIA

Muestra

El curso con el que se va a realizar la experiencia está compuesto por 30 alumnos (16

chicas y 14 chicos) que conforman el grupo de 3º de Eso B de las Escuelas Profesionales de la

Sagrada Familia de Écija (SAFA).

Metodología

De acuerdo con la concepción constructivista del aprendizaje y de la enseñanza, durante

esta práctica pretendo pasar a un tercer nivel de protagonismo, ya que el alumno debe intentar

por sí mismo responder a sus propias inquietudes y, al trabajar en grupo, se espera que la

comunicación entre iguales sea más fluida que con los roles de la enseñanza tradicional. De

esta forma, mi función en al aula será guiarlos en momento en los que se encuentren perdidos

e intentar que no se conformen con una reflexión superficial del asunto, problematizando los

logros y complicando los interrogantes que se cuestionen, ambicionando superar el propio

trabajo.

Trataremos que el alumno conozca, seleccione y utilice otras fuentes de información,

como puede ser la información turística, los organismos oficiales, internet o su familia,

estableciéndome como enlace para solventar las dificultades de gestión o matemáticas que

pudieran encontrarse. Con esto, pretendemos un aprendizaje contextualizado por parte del

alumno y bajo este principio estructuraremos los contenidos de manera que el proceso de

enseñanza-aprendizaje conecte con las necesidades, intereses, capacidades y experiencias de

la vida cotidiana de los alumnos y las alumnas. En este sentido, intentaremos sea lógica,

comprensible y útil la información que reciba el alumno. De esta forma pretenderemos que

los estudiantes estén motivados, más si cabe por el carácter etnomatemático del proyecto, para

trabajar y relacionar los contenidos nuevos con aquellos que han adquirido previamente.

Objetivos.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


Reconocemos ¿Por qué a Écija se le conoce como “La Ciudad de las Torres”? como un

núcleo de interés para el alumnado en el que se abordan los contenidos en contextos de

colaboración y desde ópticas con marcado carácter interdisciplinar.

El objetivo general que da sentido a nuestra propuesta lo encontramos en el currículo

oficial: “Aplicar los conocimientos geométricos para comprender y explicar formas y

relaciones espaciales que se presentan en la realidad del espacio físico que nos rodea, en el

campo de la tecnología y en las distintas formas de expresión artísticas.”

Del cuál podemos señalar para este proyecto global los siguientes objetivos específicos:

Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la realidad,

analizando las propiedades y relaciones geométricas implicadas.

Desarrollar técnicas y métodos relacionados con los hábitos de trabajo, la curiosidad y

el interés para investigar y resolver problemas, la responsabilidad y la colaboración en

el trabajo en equipo con la versatilidad suficiente como para cambiar el enfoque en la

búsqueda de soluciones.

Establecer una relación interdisciplinar entre los conocimientos matemáticos y el

conjunto de saberes que el alumnado debe adquirir a lo largo de la ESO.

Contenidos.

A lo largo del microproyecto se espera que los alumnos adquieran y estructuren los

siguientes Contenidos Conceptuales:

Descripción y propiedades elementales de las figuras planas y los cuerpos elementales.

Cálculo de áreas y volúmenes.

Poliedros regulares. La esfera. El globo terráqueo. Coordenadas geográficas.

Traslaciones, giros y simetrías en el plano.

Teorema de Thales y Pitágoras. Aplicaciones.

Planos y mapas. Coordenadas Cartográficas. Escalas.

Posiciones relativas de objetos planos y en tres dimensiones.

No es posible especificar más sobre el tipo de conocimiento que espero que los alumnos

adquieran ya que el microproyecto debe estar suficientemente abierto (Oliveras, 1996) para

ajustarse al nivel de comprensión que tenga cada estudiante. Así mismo, es evidente que no

todos los estudiantes trabajarán los conceptos con la misma intensidad ya que estos quedan

supeditados a la torre que el equipo haya decidido construir y, aunque todas tienen elementos

comunes en su estructura, en cada una hay elementos específicos.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


Asimismo, debemos precisar que las técnicas y destrezas que los alumnos pongan en

marcha, así como los razonamientos y estrategias no estarán todos al mismo nivel de

profundidad. Así que nos resulta complicado determinar con claridad cuáles serán los

Contenidos procedimentales que abarcarán todos los estudiantes. Aún así, encontramos los

siguientes comunes a todos los microproyectos realizables:

Resolución de problemas mediante la traducción del enunciado a una ecuación.

Utilización de la terminología y de la nomenclatura geométrica.

Cálculo de longitudes, ángulos, áreas y volúmenes, utilizando fórmulas, relaciones o

propiedades geométricas.

Observación, búsqueda y reconocimiento de las relaciones entre los elementos de las

figuras geométricas del plano o del espacio y comprobación de sus propiedades.

En relación a los Contenidos Actitudinales encontramos que trabajaremos algunas

normas, actitudes y valores que no serían posibles tratar con la misma profundidad con una

enseñanza tradicional, ya que los alumnos deberán aprender nuevas formas de trabajo en el

aula de matemáticas al no estar acostumbrados a trabajar en pequeños grupos. Además, nos

ocuparemos en:

Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara del proceso seguido

(expresando lo que se hace y por qué se hace) y de los resultados.

Curiosidad por conocer las relaciones existentes entre las formas geométricas y su

utilidad práctica.

Claridad y sencillez en la descripción de procesos y en la expresión de resultados.

Confianza en las propias capacidades para comprender las relaciones espaciales y

resolver problemas geométricos.

En lo que refiere a los Contenidos Transversales los entendemos no como un anexo o

complemento, sino como algo inherente e intrínseco al propio proyecto.

Actividades.

Tendremos actividades específicas para cada una de las grandes tareas que han de realizar

los alumnos en este bloque:

Actividades previas y de motivación. Tratarán de averiguar las ideas, los intereses,

las necesidades, etc., de los alumnos y las alumnas sobre los contenidos que se vamos

a trabajar. Con ellas, se suscita la curiosidad intelectual y la participación de todos en

estas tareas educativas.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


Entre ellas encontramos las relacionadas con la primera “entrega” del portafolio de

aprendizaje, que estaría compuesta por las siguientes preguntas, entre otras:

1. ¿Por qué a Écija se le conoce como “La ciudad de las Torres”?

2. ¿Cuántas torres hay en Écija? ¿Cómo se llaman? ¿En qué se parecen? Di algo

que todas tengan en común.

3. Encuentra algo característico en cada una de ellas. ¿Qué torre te gusta más?

¿Por qué? ¿Qué sabes de ella?

4. ¿Qué forma tiene su base? ¿Cuánto crees que mide de alto? ¿Y de ancho? ¿Por

qué crees eso?

5. ¿Qué torre está más cerca de tu casa? ¿Y más lejos?

En esta primera sesión, realizaremos una lluvia de ideas, una vez los alumnos hayan

trabajado su portafolio, determinando qué es lo que vamos a hacer durante las próximas

sesiones, terminando esta clase con una nueva página del portafolio en la que los alumnos

deberán explicar a sus padres o tutores la necesidad de una salida y pedir su autorización

para realizarla, en la próxima sesión, para visitar, observar y tomar los primeros datos de

las torres ecijanas.

Actividades de desarrollo. Serán aquellas encaminadas al diseño, toma de datos y

construcción de las torres, así como a la realización de las que serán las pruebas de la

gymkhana matemática.

Todas ellas deberán ir reflejadas a lo largo del portafolio de aprendizaje, donde

algunas actividades estarán determinadas como obligatorias (como puede ser dibujar las

vistas de la torre a construir o determinar la escala) y otras estarán incluidas como anexos

negociados desde los que ellos propongan.

Actividades de refuerzo y ampliación. Debido a la estructura del proyecto global se

espera que cada alumno alcance su nivel óptimo de trabajo y profundización, así para

aquellos alumnos y alumnas cuyos ritmos de aprendizaje sean más lentos, se

realizarán comentarios más básicos que de acuerdo con sus características, faciliten el

desarrollo de sus capacidades. Así mismo, para los estudiantes con ritmos de

aprendizajes más “rápidos” se tratarán de hacer sugerencias que permitan a los

alumnos y a las alumnas seguir avanzando en sus procesos de aprendizaje una vez que

han realizado satisfactoriamente las tareas propuestas en el portafolio de aprendizaje.

Actividades de evaluación. Estarán dispuestas junto a las demás actividades sin que

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


puedan ser percibidas por los alumnos y las alumnas como diferenciadas, para

reajustar permanentemente el proceso de diseño y construcción de la maqueta

requerida. Las actividades que se proponen para la evaluación no perderán su carácter

de actividades de aprendizaje, tanto si se llevan a cabo individualmente como en

grupo, y habrá que trabajarlas en clase el tiempo y las veces que sea necesario (Carbó,

Galera y Ruiz, 2002).

Las pruebas que los alumnos determinen en el diseño de la gymkhana matemática serán

una buena fuente de información para la evaluación del funcionamiento del proyecto y de los

conocimientos adquiridos por los estudiantes.

Evaluación.

En los criterios de evaluación que nos ofrece el currículo encontramos referidos al bloque

de geometría como tales:

Reconocer y describir los elementos y propiedades características de las figuras

planas, los cuerpos elementales y sus configuraciones geométricas y utilizar el

Teorema de Pitágoras y las fórmulas usuales para obtener las medidas de longitudes,

áreas y volúmenes a través de ilustraciones, de ejemplos tomados de la vida real o en

un contexto de resolución de problemas geométricos.

Aplicar traslaciones, giros y simetrías a figuras planas utilizando los instrumentos de

dibujo habituales, reconocer el tipo de movimiento que liga a dos figuras iguales del

plano que ocupan posiciones diferentes y determinar los elementos invariantes y los

centros y ejes de simetría en formas y configuraciones geométricas sencillas.

Estos criterios, aunque sean generales, esperamos poder aplicarlos teniendo en cuenta que

la evaluación de un proyecto de este tipo requerirá un planteamiento cualitativo e

interpretativo, ya que está íntimamente ligada a su contexto y el interés está puesto en el

desarrollo de procesos (Rodríguez, 2005).

Para cada una de las actividades de evaluación utilizaremos unos criterios que seguirán

las pautas expuestas en la siguiente tabla para la actividad de realización de un plano a escala

de la torre asignada para cada grupo:

Planifico Mi Torre

Objetivos mínimos Objetivos medios Objetivos ampliatorios

Lenguaje. Coloquial. Coloquial, incluyendo términos matemáticos.

Matemático introducido con coloquial.

Coherencia. Mantener la misma · De escalas en los · Respeto por las

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


escala en una misma vista.

polígonos encontrados. · Adaptaciones realizadas.

adaptaciones sugeridas. · Adaptaciones consistentes, adecuadas.

Profundidad. · Utilizar una escala adecuada. · Indicar un número razonable de polígonos básicos presentes.

· Descomposición de las caras en polígonos y curvas. · Establecer los frisos y mosaicos de la torre.

· Ampliación de motivos indicando la escala. · Determinación de motivos mínimos en frisos y mosaicos.

Adecuación. Explicar el porqué se ha elegido dicha escala.

Explicitar el porqué del cambio de escalas para las descomposiciones.

Relación de todas las partes descompuestas y del todo del desarrollo plano.

Expresión. Respecto a las consignas, plan detallado y claro.

Claridad, precisión, pormenores.

Organización, claridad de ideas, pertinencia.

Representaciones Plana de cada una de las vistas de la torre.

Plana, indicando cada una de las partes en las que se descompone.

Pana, indicando los motivos y decoraciones de cada parte.

En las carpetas entregadas por los alumnos esperamos encontrar “sorpresas agradables”

que no podemos cuantificar a priori. Las denominaremos Objetivos excepcionales. En el

ejemplo indicado podrían tratarse de representaciones de la torre en tres dimensiones o

realización de un esquema indicando los pasos realizados para la determinación de los planos.

EXPECTATIVAS

Pretendemos con el proyecto permitir a los estudiantes de la SAFA de Écija acercarse a

las matemáticas de un modo diferente, intentando de ésta manera cambiar la concepción que

muchos de ellos tienen de ser una materia árida y difícil.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BELAIR, L.M. (2000) La evaluación en la acción. El dossier progresivo de los alumnos. Sevilla: Díada Editora, S.L.

BARRON, B.J.S. y clbs., (1998) Doing with understanding: Lessons from research on proble-and-projectbased learning. The Journal of the Learning Sciences, 7(3 & 4):271–311.

CARBÓ, C., GALERA, P. y RUIZ, J. (2002) El espacio en forma. En La geometría: de las ideas del espacio al espacio de las ideas en el aula, p.115-125. Barcelona: GRAÓ, S.L.

COLERA, J.; CARCÍA, R.; GAZTELU, I. y OLIVEIRA, M.J. (2002) Matemáticas 3. Andalucía. Madrid: Grupo Anaya, S.A.

DISEÑO CURRICULAR BASE DE EDUCACIÓN SECUNDARIA (1992). Decreto 106/1992 de 9 de junio. (BOJA de 20 de junio).

OLIVERAS, M.L. (1996) Etnomatemáticas. Formación de profesores e innovación curricular. Granada: Editorial COMARES S.L.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


RODRÍGUEZ, A. (2005) Las concepciones del profesorado novel de Matemáticas de Educación Secundaria en torno a unos contenidos de Geometría en Eso. Estudio de caso. Sevilla: Memoria del Periodo de Investigación inédita, Univ. de Sevilla.

SERRADÓ, A., CARDEÑOSO, J.M. y AZCÁRATE, P. (2003) La evaluación de capacidades en educación matemática: el Portafolio en Cardeñoso y otros (Eds) Investigación en el aula de matemáticas. La evaluación en matemáticas. Granada: SAEM “THALES” y Departamento de Didáctica de la Matemática (Universidad de Granada).

VEGA, M. (2005) Proyectos para geometría. Comunicación de la XII JAEM, Albacete.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

EXPERIENCIA EN EL AULA DE SECUNDARIA CON FRACTALES

Grupo PI

Sandra Gallardo, Manuel J. Martínez-Santaolalla, Marta Molina, María Peñas, Mª Consuelo Cañadas, Edson Crisóstomo

[email protected]

Resumen Presentamos una experiencia docente en un aula de 2 ESO en la que trabajamos los fractales mediante el uso de material de carácter manipulativo. La metodología seguida se basa en la construcción de casos particulares con el fin de llegar al concepto de fractal. INTRODUCCIÓN A pesar de la breve historia matemática de los fractales, éstos están teniendo gran importancia en multitud de aplicaciones (meteorología, medicina, geología, economía, ...) si bien el aspecto estético es el que prima en muchos trabajos sobre los mismos. Esto es debido a la complejidad de este concepto que requiere matemáticas superiores. Los fractales como tales no forman parte del currículo de secundaria explícitamente pero muchas de las características de los mismos son tratadas ampliamente en el aula de matemáticas. Al trabajar fractales estamos trabajando semejanza de figuras, recursividad, inducción geométrica y la idea intuitiva de infinito; además se potencian actitudes como el rigor, el gusto por el trabajo y la percepción de la belleza implícita en las matemáticas. También es importante destacar que la construcción de fractales en dos dimensiones y tres dimensiones permite trabajar con los alumnos la percepción espacial y el complejo paso del plano al espacio. En la siguiente comunicación vamos a desarrollar una experiencia de trabajo en el aula de secundaria con fractales, para lo cual haremos uso de materiales de carácter manipulativo (papel, regla, compás, tijeras,…) y daremos indicaciones para completar esta experiencia mediante el uso de soporte informático (Workshop 1.1. y 3DCard). EXPERIENCIA.- Es evidente que el concepto de fractal es difícil de comprender, por eso el trabajo con fractales en secundaria no puede reducirse a la definición matemática ni a complicadas fórmulas que permitan generar fractales, sino que debe basarse principalmente en la gran potencialidad visual de los mismos y la búsqueda de propiedades geométricas (patrones, unidad generadora, semejanza, ...). La experiencia se realiza con alumnos de 2º ESO durante 4 sesiones en las cuales construirán fractales de dos y tres dimensiones utilizando diversos materiales. Los alumnos trabajarán en parejas con el objetivo final de realizar un mural en cartulina sobre los fractales. Para realizar dicho mural deberán percibir visualmente la idea de

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

fractal, construir fractales y extraer propiedades de los mismos, concluyendo con una aproximación al concepto de fractal. En la primera sesión se hace entrega a los alumnos de un dossier en el que incluyen las actividades a realizar y se explica qué es un fractal, la historia de los fractales y su utilidad. De este modo pretendemos que el alumno se familiarice con la idea de fractal mediante la observación y manipulación de los mismos. El primer fractal que van a construir es el copo de nieve, descrito por primera vez por el matemático sueco Helge von Koch en 1904. Para dicha construcción entregamos a los alumnos una malla triangular con la intención de facilitarles la construcción. Las instrucciones dadas son las siguientes:

El siguiente fractal que realizan en esta sesión es el triangulo de Sierpinski para ello volvemos a utilizar la malla triangular y volvemos a construir el triangulo equilátero.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

En la segunda sesión los alumnos realizan otros tres fractales. El primero de ellos es el espacio de Peano en el que trabajaremos con cuadrados de manera similar a los anteriores. En el segundo, partiendo de un espacio acotado para trabajar, el alumno debe construir un fractal mediante el trazado de circunferencias tangentes al espacio de partida. En el último se pide al alumno la libre composición de un fractal a partir de un espacio circular. En todos ellos se sugiere el uso de colores para mejorar visualmente sus producciones.

Figura 1: Actividades segunda sesión. En la tercera sesión los alumnos construyen fractales en tres dimensiones partiendo de plantillas pop-up, termino anglosajón utilizado para las tarjetas que al abrir muestran figuras en 3D (Uribe, 1998). Mediante cortes y dobleces adecuados marcados en las plantillas se obtienen llamativas construcciones que permiten visualizar de manera finita un fractal (Glassner, 1998).

Figura 2: Plantillas Pop-up para la sesión tercera. Ver anexos. Esta sesión se podría completar con el uso de software para la construcción de pop-up aunque en este caso no pudo llevarse a cabo por problemas informáticos. Recomendamos dos software al respecto Workshop 1.1. y 3DCard ambos gratuitos (ver imágenes al margen). Para saber más sobre estos programas y sus aplicaciones en el aula se puede consultar Hendrix (2004, 2005). La utilización de estos programas nos permitirán también trabajar con los alumnos el complicado paso del plano al espacio y viceversa. Por último la sesión cuarta consiste en realizar el mural sobre fractales. Se les pide que expliquen con sus palabras qué es un

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

fractal, qué expliquen brevemente de donde surgen y para qué sirven (para ello pueden utilizar el dossier entregado en la sesión inicial) y por último que añadan los fractales construidos durante el taller. RESULTADOS En la construcción del copo de nieve en la primera sesión se observan dificultades por parte de los alumnos para construir un triángulo equilátero utilizando la malla y dificultades para dividir los lados del triángulo en tres partes iguales. Algunos alumnos cuentan puntos y dividen entre tres en vez de contar espacios entre puntos y dividir después entre tres. El segundo paso de la construcción lo realizan con aparente facilidad una vez que logran dividir el segmento en tres partes. En los siguientes niveles se percibe la dificultad de los alumnos por considerar todos los segmentos existentes y volver a realizar los pasos. Se observan también dificultades para construir figuras semejantes pero de distinto tamaño.

Figura 3: Construcciones de los alumnos del Copo de Nieve de Koch.

En el triángulo de Sierspinski los alumnos encuentran la dificultad de percibir que los triángulos centrales deben recortarse y que son los adyacentes donde se realiza la siguiente división. Aún así esta cosntrucción resulta más sencilla por tener que dividir los lados por dos en vez de por tres, las dificultades están en conseguir triángulos iguales equiláteros y en saber cuáles son los triángulos que deben recortar.

Figura 4: Construcción del triángulo de Sierspinski por una alumno.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Durante la segunda sesión al realizar el espacio de Peano vuelven a tener problemas para repetir la figura en todos los segmentos posibles y en percibir que a partir del primer paso los cuadrados comienzan a tocarse en sus vértices. Vuelven a tener dificultades para percibir que la figura que se repite debe ser un rectángulo formado por dos cuadrados y que este debe construirse siempre en el centro del segmento. Los fractales que surgen son muy diversos y ninguna pareja de alumnos logra completarlo correctamente.

Figura 5: Ejemplos de las construcciones de los alumnos del espacio de Peano. El siguiente fractal basado en la construcción de circunferencias tangentes en un espacio acotado pretende que los alumnos empiecen a realizar el fractal con menos instrucciones y hagan uso del color para crear fractales “bellos”. Aún así en esta actividad los alumnos muestran dificultades para encontrar el centro de la figura y realizar circunferencias tangentes. Realizan circunferencias de distintos tamaños y dispuestas aleatoriamente y en ningún momento se percibe la regularidad propia de un fractal.

Figura 6: Construcción del fractal de circunferencias tangentes por un alumno.

En la última actividad de este bloque de fractales en dos dimensiones se les pide que se inventen un fractal a partir de una circunferencia. Es aquí donde observamos que algunos alumnos no han percibido las características principales de un fractal y crean figuras que no son fractales porque no se realizan repeticiones de figuras semejantes (dividen el circulo aleatoriamente) o se realizan repeticiones de figuras aparentemente similares pero que no lo son (caso de los arcos de circunferencias). La mayoría acaban realizando círculos concéntricos (es decir, aparece la misma figura, repetida, de distinto tamaño cada vez más pequeña,…).

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Figura 7: Ejemplos de fractales libres construidos por los alumnos en un espacio circular. Las construcción de fractales en tres dimensiones a partir de las plantillas pop-up con las indicaciones para doblarlas resultan muy atractivas para los alumnos si bien muestran dificultades en la realización de los dobleces no distinguiendo cuando el doblez es en forma de valle y cuando en forma de monte. En los murales finales aparecen las siguientes definiciones de fractal dadas por los alumnos:

- “Es un objeto matemático compuesto de elementos geométricos de tamaño y orientación variable. Es una nueva rama de las matemáticas llamada geometría fractal”

- “Es un término acuñado por Mandelbrot en los años 70 a partir del adjetivo latino fractus que significa interrumpido o irregular”

- “Forman una familia de objetos matemáticos, además, tienen en común, que la estructura del principio se repite sucesivamente. Esto da lugar a una figura que parece muy complicada, pero al realizarlo resulta ser todo lo contrario. Los fractales han llegado a ser tan importantes que han sacado una nueva rama para saber más de ellos”

- “Un fractal es repetir el mismo proceso muchas veces hasta que ya no se puede más”.

Al intentar explicarnos para qué sirven los fractales éstas son sus respuestas:

- “Conforme más completo está el objeto mayor es su longitud. Un fractal siempre tiene una misma medida lo representes como cualquier escala. Si no tenemos ningún objeto que nos sirva de referencia no podemos saber el tamaño real del fractal”

- “Para que si un objeto fractal lo aumentamos, los elementos que aparecen vuelven a tener el mismo aspecto independiente de cual sea la escala que utilizamos y forma parte como un mosaico de los elementos mayores”

- “Aquello que desechamos en la medición, porque al ir contando cada vez con mas precisión debemos añadir el contorno de bahías, rocas, granos de arena y así hasta niveles subatómicos. Se puede abordar sedes dos puntos de vista se acepta comúnmente que un fractal es un objeto geométrico compuesto de elementos también geométricos de tamaño y orientación variable pero de aspecto similar.

- “Para contar con más precisión todo aquello que desechamos en la medición” Con estas definiciones observamos la dificultad de los alumnos por percibir el concepto de fractal y su utilidad más allá del aspecto estético. Los alumnos buscan en el dossier definiciones alternativas aunque éstas sean evidentemente imposibles de comprender para ellos.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

CONCLUSIONES El trabajo con fractales en el aula de secundaria puede ser muy útil para trabajar con los alumnos conceptos geométricos y actitudes adecuadas de trabajo en el aula de matemáticas. Además con el uso de fractales en 3D podemos trabajar el importante paso de las 2D a las 3D. En la construcción de fractales también está implícita una cierta idea de infinito que puede ir calando en los alumnos. Si bien esta idea que aparece esta ligada a una imposibilidad física, podemos realizar fractales hasta donde nos permita el papel. La principal dificultad que han encontrado los alumnos es percibir que el concepto de fractal implica la recursividad de un patrón previo. Ellos perciben la aleatoriedad final de la figura lo que les lleva a diseñar fractales sin un patrón pero visualmente aleatorios. En esta comunicación pretendíamos mostrar como trabajar con fractales con materiales muy asequibles y con alumnos de primer ciclo de secundaria. La idea es ir acercándolos a conceptos matemáticos que trabajaran en cursos posteriores. BIBLIOGRAFIA Glassner, A. (1998). Interactive Pop-up card Design. Redmond: Ed. Microsoft Corporation. Hendrix, S. (2004). Supporting and Observing. Children’s Pop-up Design. Ph.D. Dissertation Proposal Hendrix, S. (2005). Popup Workshop Version 1.1 Documentation . Disponible en http://www.cs.colorado.edu/~ctg/ Junta de Andalucia (1992). Decreto 148/1992, de 14 de Mayo, por el que se modifica el decreto 106/1992, de 9 de Junio, por el que se establece las enseñanzas correspondientes a la E.S.O en Andalucia (B.O.J.A. número 75, de 27 de Junio de 2002). Uribe, D. (1998). Fractal Cuts. England: Tarquin Publications.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

ANEXOS (Uribe, 1998)

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

RECURSOS PARA UNA EXPERIENCIA EN EL AULA CON FRACTALES

Edson Crisóstomo, Sandra Gallardo, Manuel J. Martínez-Santaolallla, Marta Molina,

María Peñas, Mª Consuelo Cañadas

Grupo Pi ([email protected])

Resumen

En esta comunicación se describe y analiza una experiencia en un aula TIC con alumnos

de tercero de ESO en la que se utiliza Internet como fuente de información para

profundizar en una construcción matemática de gran atractivo visual y de gran

aplicabilidad en la modelización de la naturaleza, los fractales.

Introducción

Las matemáticas aparecen estrechamente vinculadas a los avances que la civilización ha

alcanzado a lo largo de la historia. En los últimos años, se ha producido un vertiginoso

desarrollo tecnológico, que se ve reflejado en aulas, los centros TIC son cada vez más

numerosos. Además, cada vez son más los alumnos que disponen de recursos

informáticos en sus casas. El ordenador se está convirtiendo en un material habitual del

que disponen los alumnos de educación secundaria. En ocasiones éste se convierte para

el profesor en el sustituto de la pizarra y los alumnos lo utilizan para la parte práctica.

En este trabajo nos planteamos la utilización de las nuevas tecnologías, concretamente

Internet, para que los alumnos se introduzcan en un concepto matemático desconocido

para ellos, cuestionándonos si los alumnos están capacitados para usar esta herramienta

de una manera eficaz. Queremos comprobar si los alumnos son capaces de buscar

material e información que les permita ampliar o clarificar los conocimientos adquiridos

en el aula. A su vez presentamos una propuesta de trabajo que persigue uno de los

objetivos generales que se plantean dentro del área de matemáticas de este nivel

educativo: aplicar conocimientos geométricos para comprender y analizar el mundo

físico que les rodea (B.O.E. núm. 35). Además el objetivo que también aparece en el

currículo “Desarrollar técnicas y métodos relacionados con los hábitos de trabajo, la

curiosidad y el interés para investigar y resolver problemas, la responsabilidad y

colaboración en el trabajo en equipo con la flexibilidad suficiente para cambiar el

propio punto de vista en la búsqueda de soluciones”, es el que rige nuestra experiencia

de aula puesto que la búsqueda de información en Internet, el uso de las TIC y el

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

posterior trabajo en equipo para redactar definiciones propias de lo que es un fractal

constituirán las técnicas y métodos a las que se refiere dicho objetivo.

En este trabajo nos centramos en los fractales como concepto matemático porque,

aunque no aparece en el currículo de educación secundaria y rara vez los alumnos de

este nivel educativo han oído hablar de ellos, se trata de un modelo matemático de gran

utilidad para comprender las complicadas formas de la naturaleza. Los fractales

muestran que hay formas de usar las matemáticas de formas no convencionales,

distintas de las trabajadas diariamente en el aula, y suscitan interés por las matemáticas

(Martínez Aroza, 2002). Nos centramos aquí en los aspectos visuales de los fractales sin

considerar la fórmula matemática de la que son expresión, al no estar al alcance de los

de alumnos de secundaria. En otros niveles los fractales pueden trabajarse en relación

con el concepto de limite, funciones exponenciales y el cálculo de áreas y perímetros de

figuras infinitamente complejas, entre otros contenidos (Taylor, 1999).

Un concepto matemático desconocido en secundaria: los fractales

El término fractal es un adjetivo que tienen todos los elementos que poseen forma. Se

trata de un concepto matemático que fue acuñado por el matemático francés Benoit

Mandelbrot en la década de los 70, derivándola del adjetivo latín “fractus”. El

correspondiente verbo latino “frangere”, significa romper, crear fragmentos irregulares.

Así, los fractales son objetos matemáticos cuya creación o forma no encuentra sus

reglas más que en la irregularidad o fragmentación. Sin embargo, bajo esta

irregularidad, existe una estructura básica que se repite en diferentes escalas. Los

fractales son generados por un proceso recursivo o iterativo capaz de producir

estructuras auto-similares independientemente de la escala específica. En otras palabras,

si enfocamos una porción cualquiera de un objeto fractal, notaremos que tal sección

resulta ser una réplica a menor escala de la figura principal. Por tanto, los fractales son

estructuras geométricas que combinan irregularidad y estructura.

Desde la perspectiva geométrica, los objetos que nos son familiares suelen tener una,

dos o tres dimensiones. El aspecto que caracteriza a todos los fractales es que su

dimensión raramente puede ser expresada con un número entero. Esto es, precisamente,

lo que les ha dado su nombre.

Los fractales se aplican no solamente en las matemáticas, sino en un gran número de

áreas de conocimiento, entre ellas la medicina, la música, la pintura, la biología, la física

o la ingeniería. En el área de la telecomunicación se utilizan para la compresión de

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

imágenes o el análisis de redes de tráfico de datos. Los fractales también son utilizados

para la modelización de superficies naturales, tales como costas o montañas, u otros

elementos de la naturaleza como las nubes y los rayos u efectos luminosos (Peitgen, y

Saupe, 1988; Lornell y Westerberg, 1999; Sanpedro, 2005).

Desarrollo de la experiencia

Trabajamos con un grupo de 25 alumnos de 3º ESO en un aula TIC, donde disponen de

un ordenador para cada dos alumnos. La experiencia se va a dividir en dos sesiones de

una hora de duración cada una.

Primera sesión

En primer lugar se les ha preguntado a los alumnos si conocían el término fractal o si lo

habían oído alguna vez. Para todos era totalmente desconocido. Se propone a los

alumnos la búsqueda en Internet de información sobre los términos: ‘fractal’ o

‘fractales’. Para ello el profesor les pide que nombren algunos buscadores. Los alumnos

proporcionan los tres siguientes, www.google.es, www.wanadoo.es, www.arrakis.es,

www.elrincondelvago.com, que son apuntados en pizarra junto con www.altavista.com,

www.terra.es. Deberán trabajar en parejas y escribir en papel la información que vayan

encontrando y que conteste a las siguientes preguntas: ¿qué es un fractal?, ¿qué relación

tiene con las matemáticas?, ¿qué utilidad tienen los fractales? Se les pide que no copien

por copiar. Sólo deben tomar nota de aquellos aspectos que sean capaces de entender.

Además anotarán las direcciones en las que vayan encontrando información y

seleccionando alguna imagen fractal.

Segunda sesión

Una vez recogidas las respuestas de los alumnos de la primera sesión, se recoge toda la

información obtenida en un único documento, de manera que sólo se omite la

información repetida. Además, se seleccionan dos imágenes de entre las elegidas por los

alumnos. Una de ellas es la construcción de las curvas poligonales de Koch, que

pensamos, puede ayudar a los alumnos a entender un poco mejor la idea de fractal y su

construcción. Otra es una imagen elegida por la belleza y la creatividad de la misma.

Las curvas poligonales de Koch son formadas a través de un proceso recursivo, a partir

de un segmento (nivel 1), y por las sucesivas sustituciones de la tercera parte central de

cada segmento por dos otros de misma longitud y que forman un ángulo de 60º, como

se puede apreciar en la continuación.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Nivel 1

Nivel 2

Nivel 3

Nivel 4

Nivel 5

Nivel 6 Figura 1. Curvas poligonales de Koch.

La segunda imagen que hemos elegido es el fractal

"Anglaria Quartetta", por considerar que puede despertar

el interés de los estudiantes en lo que se refiere a los

aspectos estéticos y de belleza de algunas construcciones

matemáticas. Debemos explicar que estos fractales se

constituyen con complejas fórmulas matemáticas y algoritmos de color.

Con la información por escrito, los alumnos, de manera individual deben leer el

documento que se les entrega y volver a contestar a las mismas tres preguntas

planteadas en la primera sesión: ¿qué es un fractal?, ¿qué relación tiene con las

matemáticas?, ¿qué utilidad tienen los fractales? Pero ahora se les pide que no copien

literalmente sino que interpreten con sus propias palabras.

Resultados

Primera sesión

Han copiado literalmente lo que aparecía en pantalla, de manera que utilizan

expresiones y términos complicados para su nivel académico, como por ejemplo: “Un

fractal es un objeto que exhibe recursividad o autosimilitud, a cualquier escala.”, “Es

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

un concepto matemático acuñado”, ó “K. Weierstrass definió una curva continua no

diferenciable”.

La mayoría de los alumnos ha utilizado el buscador google. Además, sólo toman nota

de la información que encuentran en la primera página que les ha ofrecido un único

buscador, aunque se les insiste que busquen en otras páginas diferentes.

Segunda sesión

Durante la lectura del documento que se les entregado, los alumnos comienzan a

preguntar por el significado de numerosos términos. Se les recuerda que esos términos

los han elegido ellos y que en la primera sesión nadie se planteó su significado. Es

importante que tengan claro que buscar información no es copiar por copiar, sino ir

entendiendo lo que se lee.

Después de analizar sus respuestas, hemos observado que son numerosos los que siguen

copiando literalmente, aunque los términos no queden claros y no sepan de qué se está

hablando. Los restantes parecen haber captado la idea y dan una interpretación bastante

aceptable de lo que se les pedía.

Veamos a continuación las respuestas que han dado a las cuestiones planteadas:

- ¿Qué entiendes por fractal?

Algo que les ha quedado claro a la gran mayoría es que un fractal es algo geométrico.

Añaden a este carácter geométrico que: es una figura que se repite en diferentes

escalas, que se van formando por pasos o que es muy complicada o extraña, y que hay

que hacerlo con ordenador y se necesita mucha paciencia.

- ¿Qué relación tiene con las matemáticas?

Todos los alumnos ven claramente su relación con la geometría. Unos pocos añaden una

relación con las matemáticas porque “para todo se calcula”.

- ¿Qué utilidad tiene?

Las utilidades que han encontrado son las siguientes: se puede utilizar para

meteorología, medicina, economía; sirve para trabajar con modelos de la realidad más

pequeños, por ejemplo, la talla de un pantalón; trayectorias de satélites; modelos

simplificados de la realidad. Cabe destacar la respuesta totalmente original de una

alumna que ve una relación entre los fractales y “el icono que se suele utilizar en la

nieve”.

Resulta extraño que ningún alumno destace la utilidad visual de los fractales, pues lo

que más gustó en la primera sesión fueron los dibujos fractales que encontraron en la

red.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Conclusiones

Esta experiencia ha posibilitado reflexiona sobre cómo se comportan los estudiantes al

desarrollar una actividad que requiere afrontar un "nuevo problema". Este tipo de

información resulta bastante útil para los docentes a la hora de planificar sus clases de

manera que éstas se adecuen a las necesidades específicas de aprendizaje de cada grupo

y que tengan en cuenta las competencias que se pretende desarrollar en cada caso. Nos

parece pertinente que las actividades docentes se puedan adecuar, en la medida de lo

posible, a los cuatro pilares de la educación: aprender a conocer, aprender a hacer,

aprender a vivir y aprender a ser (Delors, 1996).

La actitud demostrada por los estudiantes cuando realizaban las actividades que les

proponíamos en las dos sesiones, pone de manifiesto las dificultades para desarrollar su

autonomía en un proceso de estudio o de búsqueda de informaciones específicas sobre

un determinado tema. En este sentido, consideramos que es necesario elaborar

actividades que contribuyan con el desarrollo de dicha competencia y permitan a los

estudiantes enfrentarse a nuevas situaciones con motivación e interés de aprendizaje.

Analizar las respuestas desde una perspectiva teórica de investigación en geometría,

posibilitaría el análisis de los resultados observados y, consecuentemente, identificar

alternativas para algunos de los problemas que se han identificado en esta experiencia,

tales como:

• Saber interpretar lo que leen.

• Seleccionar los contenidos en función de si los entienden o no, puesto que ha

quedado manifiesto que a veces utilizan un vocabulario ininteligible para ellos.

• Cuestiones técnicas relacionadas con el “copiar” y “pegar” debido a que en

cuanto encuentran la primera Web que trata sobre el tema buscado, empiezan a

copiar, sin plantearse la posible búsqueda de otras páginas que resulten más

adaptadas a su nivel cultural/curricular.

Bibliografía

Delors, J. (1996). La educación : encierra un tesoro. Madrid: Santillana. UNESCO.

Junta de Andalucía. (1992). Decreto 148/1992, de 14 de mayo, por el que se modifica

del Decreto 106/1992, de 9 de junio, por el que se establecen las enseñanzas

correspondientes a la E.S.O. en Andalucía (B.O.J.A. nº 75 de 27 de junio de 2002).

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Lornell, R.y Westerberg, J. (1999). Fractals in High School: Exploring a New

Geometry. Mathematics Teacher, Vol. 92 (3), 261-265.

Martínez Aroza, J. (2002). Arte fractal. En Cardeñoso, J.M., Castro E., Moreno, A. J. y

Peñas M. (Eds), Investigación en el aula de matemáticas. Resolución de Problemas.

Granada: Dpto de Didáctica de la Matemáticas y Sociedad Andaluza de Educación

Matematica “Thales”.

Peitgen, H.O., y Saupe, D. (Eds) (1988). The Science of Fractal Images. New York:

Springer-Verlag.

Sampedro, J. (2005). Un grupo español prueba con éxito una nueva terapia en un

paciente de cáncer. Periódico El País, 31-5-2005.

Taylor, M. (1999). Exploring fractals in the classroom. Mathematics Teacher 92 (4),

360-366.

Páginas Web utilizadas por los alumnos

• www.quanta.net.p4/zfractal/intro.htm

• www.arrakis.es/~sysifus/histfr.html

• www.google.es

• www.astrocosmo.cl/glosario/glosar-f.htm

• www.wikipedia.es.org

• www.diccionariadigitales.com

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

XI JORNADAS DE INVESTIGACIÓN EN EL AULA DE

MATEMÁTICAS. LA GEOMETRÍA.

Granada, 17, 18 y 19 de Noviembre, 15, 16 y 17 de Diciembre de 2005

Comunicación:

“LA GEOMETRÍA A LOS 18”. EL PUNTO DE PARTIDA EN LA FORMACIÓN

INICIAL DE MAESTROS.

Autores:

Lina María Cecilia Gámiz. Profesora de la Escuela Universitaria de Magisterio

“Sagrada Familia” de Úbeda (adscrita a la Universidad de Jaén)

Pablo Flores Martínez. Profesor de la Facultad de Educación de la Universidad de

Granada.

Nivel al que va dirigido:

Universidad

Contenido:

Evaluación inicial de conceptos geométricos básicos en el primer curso de Magisterio.

Resumen:

A través de una prueba inicial de conocimientos elementales de matemáticas planteada a

estudiantes de primer curso de Magisterio, se pretenden observar algunos aspectos

acerca de la preparación que éstos poseen en esta materia, como punto de partida para

iniciar su formación como maestros. Se exponen en este trabajo los resultados obtenidos

en algunas de las cuestiones relacionadas con la geometría y se abre una reflexión sobre

las posibles causas e implicaciones que conllevan dichos resultados.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

“LA GEOMETRÍA A LOS 18”

EL PUNTO DE PARTIDA EN LA FORMACIÓN INICIAL DE MAESTROS.

Introducción

¿Cómo es la Geometría a los 18 años? Dicho de otro modo, ¿cuál es realmente el

patrimonio geométrico que los jóvenes acumulan una vez terminada la Educación

Secundaria? Esto es una preocupación general en tanto que los conocimientos

geométricos básicos forman parte del bagaje cultural que ha de tener cualquier

ciudadano para desenvolverse en su entorno, pero en nuestro caso cobra especial

relevancia al referirnos a los jóvenes (o adultos de mayor edad) que inician sus estudios

universitarios en la carrera de Magisterio. Los que van a ser maestros, ¿están realmente

preparados para aprender a enseñar geometría desde la perspectiva que deriva de las

actuales teorías del aprendizaje matemático? ¿O, por el contrario, es posible que

arrastren las carencias de una enseñanza tradicional poco intuitiva y más centrada en la

medida que en la comprensión y manejo de los conceptos espaciales? Creemos que la

búsqueda de respuesta a estas preguntas constituye una referencia necesaria para

planificar la formación inicial de maestros en el área de Didáctica de la Matemática, en

lo que respecta al bloque de contenidos de Geometría, ya que la enseñanza puede ser

más efectiva si se parte de las ideas previas que los estudiantes realmente poseen.

El presente trabajo pretende constatar, en concordancia con otros estudios

(Flores, 1999), la especial dificultad que presenta el aprendizaje de la Geometría en

relación con el resto de contenidos matemáticos, al menos en las poblaciones

estudiadas. En una investigación posterior, habría que comprobar si esta especial

dificultad se debe exclusivamente a la propia naturaleza del conocimiento geométrico o

si, además, podría ser un factor influyente el planteamiento metodológico que

tradicionalmente ha relegado a esta parte de las matemáticas al olvido o, como mucho, a

un mecanicismo casi puramente métrico.

Contextualización y descripción de la experiencia

Presentamos algunos de los resultados obtenidos en una prueba inicial de

conocimientos matemáticos elementales que se planteó a los estudiantes de primer curso

de Magisterio en la Escuela Universitaria “Sagrada Familia” de Úbeda, adscrita a la

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Universidad de Jaén, al comienzo del presente curso académico. Se evaluó a los

alumnos de todas las especialidades impartidas en esta Escuela Universitaria, a saber,

Educación Infantil, Educación Primaria, Educación Física, Lengua Extranjera,

Educación Musical, y las dobles titulaciones (Educación Primaria junto con cada una de

las otras especialidades). En el Plan de Estudios de la carrera de Magisterio elaborado

por este centro, todas las especialidades poseen una asignatura en primer curso

perteneciente al Área de Didáctica de la Matemática que comienza a impartirse en el

primer cuatrimestre, lo cual hizo posible la simultaneidad de la prueba en todos los

cursos de primero.

El objetivo fundamental era poner de manifiesto las ideas previas de los

estudiantes en Matemáticas para encauzar la enseñanza y para favorecer la

autoevaluación, con objeto de que los menos preparados tomaran las medidas

oportunas para adaptarse al nivel requerido en la clase. Hay que decir que la prueba

realizada se limita a valorar si los alumnos han incorporado de forma permanente

conceptos y destrezas básicas, sin demasiadas pretensiones en cuanto a

razonamiento y resolución de problemas (sólo algunas de las cuestiones incluyen

estos elementos de forma muy somera, y no pertenecen al bloque de geometría). Las

capacidades de razonamiento y de resolución de problemas se evalúan a través de

otras actividades individuales y colectivas que se plantean en las primeras sesiones

del curso, y que también forman parte de la evaluación inicial de los estudiantes. Por

tanto, hay que tener en cuenta que los datos de la prueba sólo aportan una

información parcial acerca de sus conocimientos geométricos, en el sentido de que

sólo se pretende comprobar lo que los alumnos “recuerdan” sobre los conceptos

geométricos.

Las cuestiones planteadas en la prueba inicial pretenden abarcar sobre todo los

contenidos básicos que ellos deberán enseñar cuando desempeñen su tarea

profesional (en este sentido, la prueba está más enfocada a Primaria que a Infantil).

Es por ello que para el bloque Geometría se seleccionaron cuatro preguntas que

hacían referencia a las formas planas, formas espaciales, sistemas de coordenadas

cartesianas, posiciones relativas de rectas en el plano y simetría, con objeto de

abarcar los principales puntos del currículo establecido para la etapa de Educación

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Primaria en esta materia. También aparecen algunas cuestiones sobre medida que se

consideran dentro del bloque de Magnitudes y Medida.

Consideramos conveniente hacer algunas observaciones que pueden ser

relevantes a la hora de interpretar los datos:

- Que una parte considerable de nuestros alumnos procede de Ciclos Formativos

de Grado Superior, sobre todo de Educación Infantil y algunos de Actividades

Físicas y Deportivas. No obstante, la mayoría proviene de Bachillerato. También

hay algunos, los menos, que vienen de otras carreras, o que realizan una segunda

especialidad de Magisterio. La procedencia de nuestros alumnos respecto a

estudios anteriores debería ser tenida en cuenta en un análisis más profundo de

los datos.

- Que en el momento de realizar la prueba aún no se habían incorporado los

estudiantes que entraron en el último plazo de matriculación, por lo que la

prueba no se realiza a la totalidad de la población estudiada. El número de

alumnos evaluados fue de 76, de un total de 115 matriculados actualmente en las

asignaturas de primer curso correspondientes al área de Didáctica de la

Matemática. Por otro lado, es evidente que los datos aquí obtenidos no tienen

por qué ser extrapolables a todos los alumnos que estudian Magisterio, ya que

cada contexto es diferente, pero probablemente no difieran mucho de la realidad

de otras Escuelas de Magisterio. En cualquier caso, sólo se pretende describir

una experiencia particular y aportar elementos para la comparación y la

reflexión.

Análisis de resultados

Los resultados fueron bastante parecidos en todas las especialidades, aunque la

media más baja de respuestas correctas correspondía a la clase de Infantil. Las

cuestiones de geometría obtuvieron los resultados más bajos, en comparación con el

resto de bloques de contenidos que se consideraron para diseñar la prueba: Aritmética y

Álgebra (se incluyeron en la prueba la resolución de una ecuación y la simplificación de

una expresión algebraica, aunque no fueran estos contenidos a trabajar en Primaria),

Magnitudes y Medida, Geometría y Estadística y Probabilidad.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

De entre las cuestiones relacionadas con geometría, nos limitaremos a analizar

tres de ellas en las que únicamente se requiere una identificación de términos o, como

mucho, una aplicación de un concepto a un caso particular (caso del triángulo

rectángulo isósceles, del pentágono regular y de los ejes de simetría de un rectángulo).

Coincide que estas cuestiones son precisamente las que peor han respondido los

alumnos, tal como están planteadas.

Comentaremos brevemente las diferentes respuestas dadas por los alumnos para

cada una de las tres cuestiones, referidas a formas planas, formas espaciales y simetría,

respectivamente:

Formas planas

La mayor parte de las respuestas incorrectas se refieren al trapezoide y al triángulo

rectángulo isósceles.

• Paralelogramo: la mayoría lo dibujan bien, en general hacen un rectángulo o un

romboide.

• Pentágono regular: algunos dibujan un pentágono “casita”, otros un polígono de

más de 5 lados.

• Trapezoide: casi todos dibujan un trapecio, en muchos casos un trapecio

rectángulo.

• Triángulo rectángulo isósceles: muchos tienden a dibujar un triángulo isósceles

alargado y apoyado sobre el lado desigual, intentando que el ángulo recto sea

uno de los de la base. Otros dibujan un triángulo rectángulo en la posición

habitual y lo alargan en horizontal para asemejarlo a un isósceles “tumbado”.

a) Dibuja un triángulo rectángulo isósceles, un trapezoide, un pentágono regular y un paralelogramo.

b) Pon un ejemplo de poliedro y otro de cuerpo de revolución y dibújalos.

c) ¿Cuántos ejes de simetría tiene un rectángulo? Dibújalos.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Formas espaciales

La inmensa mayoría de los alumnos no recuerda o no conoce lo que representan

los términos “poliedro” y “cuerpo de revolución”, siendo esta cuestión no contestada

por una gran parte de ellos. Algunos dibujan formas planas, como polígonos de un

número considerable de lados. Los pocos que responden correctamente suelen dibujar

un cubo o un prisma como ejemplo de poliedro y un cono o un cilindro como ejemplo

de cuerpo de revolución.

Simetría

Se constata que gran parte de los alumnos no sabe lo que es un eje de simetría, lo

confunden con eje de coordenadas o bien adoptan una definición parcial del concepto

(dividiendo a la figura en dos mitades no simétricas mediante las diagonales). Apenas

un 20% dibujan los ejes correctamente. Algunos de ellos refuerzan la idea de simetría

incluyendo medidas iguales a ambos lados del eje, o bien flechas giratorias sobre los

ejes para indicar el doblez que haría coincidir las dos partes simétricas de la figura.

Todos dibujan el rectángulo en la posición habitual, apoyado sobre uno de los

lados mayores.

Casi todos los alumnos contestan a esta pregunta, con diversas respuestas (aparte de la

correcta):

• Dibuja una diagonal

• Dibuja las dos diagonales

• Dibuja un triángulo con una altura y dice que los ejes son los lados distintos de

la base

• Dibuja dos diagonales y el eje horizontal y dice que hay cuatro

• Dibuja cuatro ejes, los correctos y las dos diagonales.

• Identifica como ejes los lados del rectángulo

• Identifica como ejes cada una de los cuatro vértices, prolongando los lados

Cada una de las respuestas podría ser analizada con detalle para intentar descubrir

las concepciones que manejan los alumnos y las posibles causas de los errores

cometidos. En esta comunicación nos limitaremos a hacer una reflexión general que

podría justificar en parte las actuaciones de los estudiantes.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Siguiendo a Gutiérrez (1996), consideramos la división propuesta por Vinner

respecto al aprendizaje de conceptos geométricos, que distingue dos componentes: la

definición del concepto y la imagen del concepto. La primera consiste en la definición

memorizada por un estudiante para dicho concepto, que puede o no coincidir con la

correcta. La segunda componente es el conjunto de experiencias, actividades, figuras,

etc. que el estudiante ha percibido, tanto en clase como fuera de ella. Generalmente la

definición y la imagen de un concepto creadas por los estudiantes están disociadas, lo

que puede ser una causa de algunos de los errores que encontramos. Por otro lado, la

imagen del concepto se forma a partir de una colección de ejemplos que en ocasiones es

demasiado reducida, lo que hace que el individuo incorpore al concepto propiedades

que son irrelevantes, como la posición. Esto parece deberse fundamentalmente a una

enseñanza inadecuada, en la que los alumnos concentran su atención sobre criterios

erróneos y desarrollan en consecuencia conceptos falsos o limitados (Dickson y otros,

1991). Es bastante frecuente que los profesores dibujen un triángulo rectángulo, por

ejemplo, siempre apoyado sobre uno de sus catetos, lo que puede provocar que los

alumnos hayan creado una imagen de ese concepto que les haga resistirse a ver esa

figura en una posición diferente.

Conclusiones

Si bien es cierto que, con los datos obtenidos, no podemos hacer afirmaciones

generales sobre los resultados del sistema educativo en cuanto al saber matemático que

acumulan los individuos al final de la enseñanza no universitaria, sí podemos aportar

elementos para describir la situación que se da en la carrera de Magisterio, teniendo en

cuenta que este es un estudio local, referido a un centro concreto. En cualquier caso, es

importante reconocer la importancia de una buena formación de los futuros maestros en

Geometría, ya que éstos se constituyen en motor de cambio para nuevas generaciones.

De su preparación depende en gran medida que los resultados del sistema sean cada vez

mejores para todos los ciudadanos, no sólo para los que tienen cierta facilidad para las

matemáticas. Por eso es tan importante un cambio de concepciones que promueva un

conocimiento espacial más intuitivo y más funcional, asentado en representaciones

mentales sólidas y con posibilidades de razonamiento que eviten reproducciones sin

sentido, en muchas ocasiones erróneas, de los conceptos estudiados.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Desde nuestra posición como docentes del primer curso de Magisterio, y a la

vista de la situación real que se da en las aulas, pensamos que es necesario hacer que los

futuros maestros reconstruyan la geometría en el modo en que han de enseñarla después

a sus alumnos, puesto que no se puede aprender cómo enseñar algo que no se conoce o

no se ha experimentado. Siendo esta nuestra prioridad, se ve reducido el espacio para

desarrollar el conocimiento didáctico de esta materia. De acuerdo con Flores (1999), nos

centraríamos en trabajo del conocimiento matemático disciplinar, como parte del

conocimiento profesional del maestro de Educación Primaria.

Consideramos que una adecuada formación de los futuros maestros no es algo

que se pueda abordar únicamente desde las aulas universitarias, pues resulta bastante

difícil en el tiempo que dura una asignatura reorientar el pensamiento matemático en

una dirección cuando se ha estado yendo en otra durante 18 años o más (esto, por

supuesto, no ocurre en todos los casos, hay alumnos que vienen muy bien preparados).

Si no rompemos este círculo vicioso, la geometría seguirá siendo siempre “un

problema” en la educación matemática de todos los niveles, cuando precisamente podría

convertirse en uno de los contenidos más cercanos y motivadores para los alumnos/as.

La clave puede estar en la forma de trabajarla. Los propios estudiantes de Magisterio,

que en general suelen encontrar bastantes dificultades, al mismo tiempo están

motivados en las clases por las posibilidades manipulativas y lúdicas que ofrece el

trabajo de los contenidos geométricos.

Por todo lo dicho, creemos que la información que se aporta en este trabajo

puede ser interesante para incitar a la reflexión a los profesores de matemáticas de todos

los niveles, ya que cada uno jugamos nuestro papel en el proceso educativo y somos

“autores” o “culpables” de una parte de la vida geométrica (y matemática) de nuestros

estudiantes, en definitiva, ciudadanos que van tomando el relevo en la sociedad en que

vivimos y que marcarán con sus conocimientos el sendero por el que van a caminar las

futuras generaciones.

Bibliografía

Flores, P. (1999) Conocimiento profesional en el área de Didáctica de la Matemática

en el primer curso de la formación de maestros de Educación Primaria. En Carrillo, J.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

y Climent, N. (eds.). Modelos de formación de maestros en matemáticas. Huelva,

Publicaciones de la Universidad de Huelva. (119-132).

Dickson, L., Brown, M., Gibson, O. (1991) El aprendizaje de las matemáticas. Madrid.

M.E.C.-Labor

Gutiérrez, A. (1996).Visualization in 3-dimensional geometry: In search of a

framework. Proceedings of the 20th PME Conference. 1, 3-19.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA EN UNA MESA REDONDA…

Margarita García Schiaffino

Profesora de Matemáticas - Sindicato UGT

Cuando vamos a disponernos en esta mesa redonda, nos damos cuenta de que la mesa que hay en el aula es alargada… ¡rectangular! Sin embargo, socialmente está admitido y conocido por todos que se está celebrando una mesa redonda, esto es, una serie de personas que comunican cuestiones y reflexiones, en este caso sobre el aprendizaje de la geometría. Después se debe abrir un debate.

Nos reunimos un buen equipo docente (qué dos palabras tan bonitas): Varios profesores trabajando juntos, ayudándose para que la palabra interdisciplinar aparezca. El trabajo en equipo siempre es productivo, pero requiere un pequeño esfuerzo, pero merece la pena hacerlo: nuestros niños merecen que encendamos ese fuego que llevan dentro. En este caso nos reuniremos una profesora de Ciencias de la Naturaleza, un profesor de Educación Física, un profesor de Dibujo y un profesor de Maestros… Esto tiene muy buena pinta, y varias pregunta flota en mi cabeza:

¿Cómo en nuestra vida diaria, en la vida diaria de nuestros niños y con respecto a la asignatura que impartimos asumimos la geometría sin darnos cuenta?

Yo soy profesora de matemáticas y la geometría me invade. La verdad es que en el derbi Madrid-Barça (0-3 por cierto…) solo me fijaba la portería: qué calidad de imagen, qué bonitos los hexágonos que formaba la red, qué lanzamientos de faltas… También impresionante la clase del lunes siguiente después de recordar que había perdido la porra. Comentamos todas las formas geométricas que observamos y quedaron asombrados de la cantidad de elementos. Y así empezamos a saltar a otros deportes… La clase no solo fue comentar y charlar, también usamos el cuaderno, estábamos con fracciones y empezamos a dibujar formas, además del habitual círculo salieron muchas otras. Dividíamos esas formas de varias maneras y hacíamos comparaciones, operaciones y los niños pensaban que no dábamos clase, que “la profe de mates hoy no quería enseñar nada” (eran comentarios de los “empollones”, y los demás andaban encantados…). Eso sí, mandé deberes como pedían y cumplieron la mayoría.

¿Cómo usamos la geometría para explicar un fenómeno de la vida cotidiana, para comunicar a otros con precisión la descripción de algún objeto que hemos visto, comprado o usado? ¿Cómo la visualización de algo nos referimos a algo geométrico?

Supongamos la súper-excursión que todo el mundo planea alguna vez para ir a Ikea a comprar ese mueble que tiene esa forma tan especial y que es tan barato. Tienes varios amigos que lo han visto y te lo describen al máximo detalle (quieren impresionarte y que vayas, por supuesto). Del mueble sabes la altura, el ancho, el fondo, el número de baldas que tiene, esa forma tan peculiar del acabado, en forma de trapecio (¡uf! decir esa palabra les cuesta, pero es que es lo que lo describe mejor). Terminas por ir a Ikea… a por ese maravilloso mueble perfectamente imaginado.

¿Cómo usamos la geometría para interpretar un mapa o para orientarnos en el espacio?

Al entrar a Ikea te dan un lápiz y un mapa del comercio. Una gran espiral recorre todo el recinto, y todo queda reflejado en el mapa. Localizas y señalas tu estupendo mueble… ya lo habías visto antes, en tu imaginación, pero ahora compruebas que tus amigos usaron las palabras correctas y la geometría en su justa medida.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

En este sentido, ¿cómo mejoraría la geometría nuestros hechos y nuestras vivencias? ¿Quizás deberíamos educar en la visualización geométrica? Esto claramente llega a nuestras necesidades reales y a las de nuestros niños, les sitúa en el espacio y les hace adquirir cierta independencia.

¿Hace la geometría que adquiramos habilidades y destrezas geométricas que en ámbitos no escolares aplicamos sin “darnos cuenta”? ¿Esto nos puede dar una idea de la utilidad de la geometría?

“Si me lo enseñas, recordaré poco; involúcrame y aprenderé” intentemos presentar a nuestros niños la geometría como una herramienta necesaria, pero sin imponérselo. La vida cotidiana nos lo demuestra.

Según Plutarco “La mente no es un vaso que es preciso llenar, sino un fuego que es preciso encender”. Hablémosles de ese cilindrín que no deben fumar.

Aprovechemos esa visita que tenemos programada al circuito de Educación Vial para que identifiquen formas con su significado, las circulares prohibición u obligación según el color, las triangulares peligro o ceda al paso según la disposición y rectangulares de información variada.

Ánimos a todas y todos en el apasionante mundo de ser docente, pues así lo pienso. La geometría es la parte más bonita de las matemáticas, la que más se presta a ejemplos reales y que le van a ser necesarios para su desarrollo como personas. Enganchemos por tanto a nuestros niños y niñas en las matemáticas mediante la geometría.

En esta mesa redonda, la profesora de Ciencias de la Naturaleza, el profesor de Educación Física, el profesor de Dibujo y el profesor de Maestros seguramente plantearán muchos más interrogantes, y también espero que nos acerquemos a dar respuesta a algunas de las que he presentado aquí…

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

UN MUNDO DE FORMAS

Ana Bejarano

Todos hemos visto imágenes de nuestra galaxia: un disco espiral de 100.000 años luz de

diámetro.

Desde nuestra posición, en el brazo de Orión, todas las noches, observamos infinidad de

estrellas. Nuestra imaginación y la de nuestros antepasados nos llevan a recorrer las

constelaciones, el triángulo del verano presidiendo el cielo nocturno, formado por tres

estrellas: Vega, Deneb y Altaír (que aunque están a distinta distancia de nosotros,

parecen encontrarse en el mismo plano), el cuadrado de Pegaso, el pequeño rombo de

Lira, y una multitud de líneas poligonales abiertas y cerradas con las que nuestros

antepasados trazaron numerosas figuras y formas diferentes.

Más cerca de nosotros, se encuentran los planetas, estos días, se puede ver Venus al

atardecer en la puesta de Sol; hacia el este, Marte y, a lo largo de la noche, van

apareciendo Júpiter y Saturno, a los que podemos jugar a unir, trazando con el dedo una

línea imaginaria contenida en el plano de la órbita de los mismos, una órbita elíptica

casi circular.

En la Tierra, un planeta rocoso de 6371 km de radio, la materia que antes había formado

parte de estrellas se fue enfriando lentamente y, mientras ha ido girando, se han

desarrollado en ella y se siguen desarrollando formas bellísimas. Las formas

geométricas casi perfectas de los cristales que se encuentran entre las rocas; los cubos

de pirita o de galena; los prismas de berilo; la bipirámide hexagonal del cristal de

cuarzo o el octaedro de fluorita. Pero la materia cristalina no es exclusiva de la mayoría

de minerales y rocas, sino que también podemos encontrar formas geométricas en los

copos de nieve, en el azúcar, en la vitamina C y en las partes duras de muchos seres

vivos: conchas, caparazones, esqueletos…..

No sabemos con seguridad cómo ni dónde surgió la vida en la Tierra. Sí sabemos que lo

hizo a partir de la misma materia que había formado el Sol y los planetas del Sistema

Solar. Desconocemos qué tiempo transcurrió hasta aparecer las primeras moléculas

orgánicas con capacidad de duplicarse y si este fue un proceso lento o por el contrario

una explosión de vida.

De estos compuestos orgánicos, debió aflorar la primera célula, una minúscula esfera

de pocas micras de diámetro, rodeada de una membrana y en cuyo interior se

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

encontraba ya la doble hélice que guarda el código genético y dicta las órdenes para la

fabricación de proteínas.

Surgió así la vida unicelular, diminutos seres vivos capaces de realizar las funciones

vitales. Precisamente por esto, las células necesitan intercambiar a través de la

membrana los materiales de su metabolismo; en las células más pequeñas la relación

superficie a volumen es mayor que en las células de mayor tamaño, por lo que el

crecimiento celular está limitado y, en consecuencia, se evoluciona hacia una

organización pluricelular, en el que grupos de células llevan a cabo funciones diferentes.

En estos organismos la proximidad entre las células y la función que realizan les hace

perder la forma esférica de las células libres para pasar a formas poliédricas o

prismáticas, como las células epiteliales o las células vegetales rodeadas de una pared

celular.

Estas historias escogidas más o menos al azar forman parte de mi vida diaria como

profesora de Ciencias Naturales y en ellas se pone de manifiesto la utilidad de la

geometría, para determinar el tamaño de algo, definir una forma, situar en el espacio un

cuerpo, describir la órbita de un planeta o la función de unas células, e incluso poder

demostrar por qué el crecimiento de las células está limitado.

De otro lado, desde esta área se refuerza la enseñanza de la geometría proporcionando a

los alumnos diferentes situaciones de aprendizaje.

Los profesores de Ciencias Naturales estamos acostumbrados a hablar a nuestros

alumnos del lenguaje de la química, un lenguaje que utiliza símbolos y fórmulas para

representar las distintas sustancias y que tanta información nos proporciona de ellas.

¿Podríamos hablar también del lenguaje de la geometría?

Un lenguaje que utiliza un conjunto de elementos (puntos, rectas, ángulos,

planos……..) para informar, construir, representar, etc. y que necesita para su

aprendizaje tener referencias inmediatas con la realidad, la adquisición de un

vocabulario y el desarrollo de unas técnicas de dibujo, fundamentalmente.

Cada vez que emprendo la tarea de enseñar a mis alumnos geometría, encuentro

dificultades derivadas de no haber conseguido los objetivos citados anteriormente y me

pregunto:

¿En la escuela actual se exige el dominio y correcto manejo de este vocabulario?

¿Está en desuso la memorización en el aprendizaje de esta área?

¿Cómo desarrollamos las técnicas de dibujo?

Ana Bejarano

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Profesora de Ciencias Naturales y Matemáticas del Colegio Caja de Ahorros de Granada

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA Armando Salas Cánovas

Dicen que los niños que aprenden demasiados conceptos antes de

experimentarlos con los sentidos suelen tener problemas de aprendizaje. Que los niños

que estudian música de pequeños, entienden mejor, después, las matemáticas. Que los

niños aprenden su lengua materna antes que la gramática. Los niños, aprenden jugando,

es decir: viendo, tocando, experimentando con las cosas. Lo que está claro es que la

información que debe procesar nuestro intelecto entra por los sentidos.

La geometría es además de una ciencia y entre otras muchas cosas, una

experiencia visual cotidiana. Podemos observar formas geométricas en las perolas de la

cocina, en el coche, en las rotondas de la calle, en infinidad de objetos y desde luego en

la propia naturaleza. A veces se nos muestra de forma muy evidente como en las flores,

los caracoles o las estrellas de mar; otras veces aparece semioculta por su propia

complejidad, como es el caso de los organismos superiores.

En el ámbito de la enseñanza, uno de los objetivos del área de dibujo y

educación plástica es precisamente el saber descubrir las formas, estructuras y leyes

geométricas en las cosas que nos rodean, sean naturales o artificiales. Y no hay, a mi

entender, mejor manera de comprender estas formas que tratar de representarlas, pues

para ello hay que observarlas y analizarlas previamente. Las construcciones geométricas

en el plano, o la geometría proyectiva y descriptiva, deben ser aderezadas en mayor o

menor medida – según curso y edad- con aplicaciones a otros temas como dibujo

científico, diseño decorativo, gráfico, industrial, artesanal, etc. Con esto se hacen más

atractivos los temas, a la vez que los contenidos son más completos.

El aspecto visual de la geometría, debe ser considerado como una ventaja para el

educador. En un mundo más que saturado de mensajes icónicos, la experiencia visual

previa del alumno, puede y debe ser aprovechada convenientemente para, a partir de

ella, llevarlo al terreno que nos interesa, que es el de procesar intelectualmente toda esa

experiencia sensorial. Este proceso debe llevar al alumno finalmente a entender

conceptos más abstractos, como los matemáticos.

Cuando empecé a dar clase, trataba de explicar la geometría descriptiva,

siguiendo el orden que viene en todos los libros, es decir partiendo del punto, la línea, el

plano... hasta llegar a las formas tridimensionales. Con el tiempo me he ido dando

cuenta de que se entiende mejor exponiéndolo al revés, es decir, empezando por objetos

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

tridimensionales de los que se tiene una experiencia visual previa, para ir después

analizando sus componentes: planos, vértices, aristas, ejes, centros, etc. Se entienden

mejor, por poner un ejemplo las posiciones relativas de la recta sobre las aristas de una

pirámide que de forma aislada.

Otra ventaja de la vertiente visual de la geometría, a la que hay que sacarle

partido desde el punto de vista metodológico, es la propia belleza de algunas formas

geométricas. Con los polígonos, por ejemplo, los alumnos se vuelven locos haciendo, a

veces de forma voluntaria, complicadas estrellas y lacerias.

En resumen, tres cuestiones para un debate:

1 - La geometría es interdisciplinar y por tanto muy importante. Habría que

estudiarla a fondo desde diferentes enfoques: el del dibujante, el del matemático, el del

naturalista, el del físico, el del artista, el del técnico, etc. , cada uno en su momento

oportuno en función de la edad y periodo educativo.

2 - Lo que se percibe con los sentidos se entiende mejor. Por eso

metodológicamente es mejor partir de lo concreto para llegar a lo abstracto. Esto

convierte al área de dibujo en responsable de la primera fase de la enseñanza de la

geometría. Una gran responsabilidad, que debería de traducirse en una mejor

consideración y en un horario apropiado, pero no es así. Considerada como una maría,

se ha reducido su horario en pos de una cultura tecnocrática. Con la LOGSE

paradójicamente, al tiempo de reducir las horas, se ampliaban los contenidos

(incluyendo: fotografía, publicidad, infografía, análisis de obras de arte, etc.)

3 - Todo está relacionado, la cultura y el conocimiento están compuestos de

distintas áreas que se complementan. La observación de la naturaleza, el arte, la

ciencia y la técnica, siempre han ido de la mano manteniendo un equilibrio, que hoy se

ha roto. La tecnología y la informática se han incorporado de forma desmedida, se abre

hueco a la religión, alternativa y tutorías; para paliar fracasos se prima a las

“instrumentales” y todo a costa de las mismas: las marías. Para colmo, la observación

de la naturaleza, se ha convertido en observación de la televisión. Yo pienso que lo que

necesitan los chavales de 15 años para entender las matemáticas no es tener más horas

de matemáticas, sino estudiar más música, educación artística, o practicar determinados

juegos a edades más tempranas. Así que puede que para quitarle a las matemáticas el

sambenito de asignatura maldita, haya previamente que quitárselo a las marías. El

dibujo no solo desarrolla la capacidad de observación, es además una forma de

pensamiento, ya que es capaz de generar ideas.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

FRANCISCO ARMANDO SALAS CÁNOVAS: En la actualidad es profesor de dibujo en el IES Los Neveros de Huetor Vega, Granada. Comparte la actividad docente con la artística, dedicándose a la pintura, al grabado y últimamente también a la cerámica y la escultura. Nacido en 1958, inicia su formación académica en la Escuela de Artes y oficios de Granada y posteriormente en la Facultad de Bellas Artes de Sevilla, licenciándose en 1985 con la especialidad de Grabado y Diseño, En 1988 obtiene por oposición la plaza como Funcionario de carrera del cuerpo de Profesores Agregados de Bachillerato.

EXPERIENCIA DOCENTE Y PROFESIONAL:

Desde 1987 ejerce como profesor de instituto con diversos destinos. Ha participado en la “Experiencia de la Reforma de las Enseñanzas Medias “ durante 2 cursos. (1991/1993), y en la “Anticipación del nuevo sistema educativo L.O.G.S.E. Durante 5 cursos: (1993/1998). Ha prestado servicios como Coordinador del Area Artística, durante 2 cursos, y 18 como Jefe de Departamento.

PARTICIPACIÓN COMO PONENTE o COORDINADOR EN ACTIVIDADES DE FORMACIÓN DEL PROFESORADO:

Ponente del curso: "Aprender a dibujar" de 30 h. Destinado a profesores de Enseñanza Primaria y Media en 1990.

Coordinador en el proyecto de innovación educativa, titulado "Taller de teatro de Sombras" aprobado tras la convocatoria sobre Innovación y Experimentación Educativa, establecida por el Instituto Andaluz de Formación y Perfeccionamiento del Profesorado. 1991.Duración: Un curso académico, el 1990/1991 Coordinador del proyecto de “Intercambios Europeos” subvencionado por la Agencia Nacional Sócrates, durante 2 cursos: 1996/1998, con el I.E.S. Luis Barahona de Soto de Archidona, Málaga. Ponente del curso:” Introducción a la cerámica”, de 30 horas, destinado a profesores de enseñanza primaria y média. CEP de Granada en 2004. Ponente del curso: “La cerámica como recurso didáctico”, de 30 horas, destinado a profesores de enseñanza media y primaria. CEP de Granada en 2005.

PARTICIPACIÓN COMO COMO ASISTENTE EN DISTINTAS ACTIVIDADES DE FORMACIÓN COMO: Curso de actualización en Ingles, de 22 horas en1989 Curso taller de máscaras y maquillaje teatral de 40 horas, en1989. Curso de informática, de 30 horas, en1990. Grupo de Trabajo: Sida Saber Ayuda, de 30 horas.1995. Actualización del P.C.C. en el segundo ciclo de la E.S.O. de 30 horas, en 1997. Actividad: Evaluación y Promoción en la Educación Secundaria Obligatoria. De

15 horas, en 1997.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Cursos de doctorado con la Universidad de Granada. Curso de Escultura en Bronce organizado por la Fundación Capa, en colaboración con la Universidad Miguel Hernández de Alicante, año 2000, de 180 horas. (9créditos).

Curso de Técnicas de la cal, estuco, fresco y pintura a la cal. (30 horas) Fundación Santa Teresa, de Ávila y Casa de los oficios de León: ACTIVIDAD ARTÍSTICA: PREMIOS Y ADQUISICIONES REALIZADAS POR ORGANISMOS OFICIALES Y ENTIDADES BANCARIAS. 1987- Ier Premio de Pintura del Exmo. Ayuntamiento de Alcalá de Guadaira (Sevilla). 1990- Ier Premio Caja de Ahorros de Antequera (Málaga). 1991 - Aduana-91: Premio-adquisición de una obra para la Exma. Diputación de Cádiz. - Caja de Ahorros La General de Granada, adquisición de una obra para su colección de Arte. 1996 - Adquisición de una obra por la Asamblea de la Ciudad Autónoma de Melilla. 1997 - Obra adquirida por el Museo de la Ciudad Autónoma de Melilla 2003 - Adquisición de una escultura en bronce por el Ilustre Ayuntamiento de Santa Fe (Granada) para su instalación en el parque Ciudad de Briviesca en cuyo diseño participa. EXPOSICIONES INDIVIDUALES: 1984 - Casa Morisca de Yanguas (Granada),"Pinturas, estampas y grabados". 1985 -La Carbonería (Sevilla), "Pinturas y obra gráfica". 1986 -Galería Laguada (Granada), "Pinturas". -Sala Oriente, Caja de Ahorros de San Fernando (Sevilla), "Pinturas". 1987 Galería Fuera de Comercio (Sevilla), "Mapas". 1989-90- Sala de Exposiciones del Ilustre Ayuntamiento de Archidona (Málaga),

"Pinturas". 1991 - Sala Dos de la Caja General de Ahorros de Granada, "Impresiones sobre el

mundo" (pinturas). 1994 -Galería Sureste (Granada), "La tierra vista desde la tierra" (fotomontajes). 1996-97- Sala Manchón. Centro Cultural García Lorca de Melilla, "Variaciones

sobre el agua" (pinturas y obra gráfica). 2003 Sala El Pósito (Santa Fe) “La cámara del tiempo: historia de una

fuente”(pinturas, obra gráfica y esculturas) EXPOSICIONES COLECTIVAS: 1980 - Galería Avellano (Granada). 1984-Facultad de Bellas Artes (Sevilla)

-Galería Laguada IV Edición de obra gráfica (Granada) -1er Concurso Nacional de Grabado Ciudad de Burgos, Monasterio de San Juan (Burgos).

1985 II Premio de Grabado Máximo Ramos, Museo municipal Bello Piñeiro (El Ferrol). -Arco 85: Feria de Arte Contemporáneo de Madrid, Galería Laguada.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

-I Bienal de Pintura de Murcia. Consejería de Cultura y Educación de la Región de Murcia. -III Bienal de Pintura de Cuenca. Casa de la Cultura del Exmo. Ayuntamiento y Exma. Diputación de Cuenca. -VI Edición del Premio Villa de Rota (Cádiz). Fundación Zoilo Ruiz-Mateos. -Universiada Kobe'85. International Art Exhibition in Kobe (Japón). -Caja de Ahorros de San Fernando (Sevilla): Certamen Nacional de Pintura y Escultura.

1986 I Bienal Iberoamericana de Arte Seriado. Museo de Arte Contemporáneo

(Sevilla). -Dias de aire: Exposición de cometas decoradas por 15 pintores granadinos. Palacio de los Condes de Gabia. Exma. Diputación de Granada. -XVIII Exposición de Bellas Artes. Real Academia de Bellas Artes. Exma. Diputación de Cádiz.

1987 II Muestra de Arte Contemporáneo. Certamen Vázquez Díaz (Cádiz). 1988 - Arco 88: Feria de Arte Contemporáneo de Madrid. Galería Laguada.

-Pintores para el 92: Caja de Ahorros de Sevilla. 1991- III Encuentro de Pintura Joven. Caja de Ahorros de Antequera (Málaga). 1995 - Arte + Sur: I Feria de Arte Contemporáneo de Granada.

-Exposición Internacional de Arte Erótico, Sala de Arte Lecrín (Marina del Este, Almuñecar).

1996 - Arte + Sur: II Feria de Arte Contemporáneo de Granada. 1997 - Sala de Exposiciones Hydra en colaboración con Galería Laguada, "Obra Mayor",pinturas. 2005 – 20 años del taller de Grabado Realejo, Centro Cultural Caja Granada.

TRABAJOS DE DISEÑO E ILUSTRACIÓN 1993 – Juan Fernández Sierra, Orientación profesional y currículum de secundaria.

Editorial ALJIBE. Diseño de la cubierta

1994 – VV AA, Educación física en la enseñanza primaria. Editorial ALJIBE. Diseño de la cubierta

1998 – VV AA, Encuentros. Nueva poesía española. Editorial ALJIBE. Diseño de la cubierta

1999 – Pedro Antonio de Alarcón, El amigo de la muerte y otros relatos. Ed. ALJIBE. Ilustraciones.

2000 – Guy de Maupassant, El miedo y otros relatos. Editorial ALJIBE Ilustraciones.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

LA EDUCACIÓN FÍSICA Y SU RELACIÓN CON EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA

Cipriano Romero Cerezo

Facultad de Ciencias de la Educación (Universidad de Granada)

Nos gustaría comenzar nuestros argumentos a partir del concepto de realidad para llegar a emplear

aquellos otros que nos introducirían en el uso de la Geometría por parte de la Educación Física.

Consideramos la realidad como un todo globalizado de los distintos elementos que la componen y que se

relacionan entre sí. Cada una de las disciplinas no nos dicen como es la realidad, sino que ofrecen

diferentes medios, instrumentos, métodos y modelos para conocer e interpretar la realidad única y global.

Cada área curricular ofrece la realidad desde su punto de vista y dándole el matiz pertinente de su objeto

de estudio. Ahora bien, determinados contenidos específicos son tratados desde distintas áreas de manera

explícita o implícita y, que podrían complementarse para dar significado a las tareas educativas.

En este sentido, la Educación Física, que tiene como objeto la educación del cuerpo a través del

movimiento, podría establecer relaciones con otras áreas, planteándose tareas más significativas para que

los alumnos y alumnas lleguen a conocer, sentir y vivenciar su realidad y la del medio que le rodea a

través de la actividades motoras. De igual manera, determinados aspectos relacionados con esta área

curricular, están presentes en las experiencias de la persona y pueden ser abordadas por otras áreas. Desde

un enfoque interdisciplinar, la coordinación y el trabajo del equipo docente, se podrían abordar

determinados contenidos en las distintas áreas de manera integradora, progresiva y complementaria. Por

tanto, estos contenidos de otras áreas podrían integrarse en las actividades físicas, dándole significado y

utilidad práctica a los mismos y, en otros casos, el contenido de esta área es el que podría servir de

soporte para las otras áreas.

¿Cómo podríamos asumir la Geometría desde la Educación Física? Si consideramos que el

mundo físico está compuesto por objetos materiales que ocupan una posición en el espacio, que tienen

volumen, además de la capacidad de moverse (según las leyes del movimiento), nos permite establecer las

dimensiones, las formas, las relaciones espaciales con el resto de los objetos materiales, introduciéndonos

en la geometría.

Si el espacio es el lugar que ocupa una cosa o la extensión donde se sitúan los cuerpos físicos,

cuando hacemos alusión a las personas, todas sus acciones corporales se despliegan en un espacio y en un

tiempo dado, siendo indisociables. Así el cuerpo de la persona ocupa un lugar en el que se sitúa y el que

puede llegar a ocupar mediante el desplazamiento. Igualmente, se puede realizar distintas acciones

motoras (correr, saltar, lanzar, atrapar…), estableciendo relaciones con los objetos y con los demás,

atendiendo al espacio disponible y la posibilidad de ocuparlo de distintas maneras y en distintas

posiciones.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

La percepción y la organización espacial será uno de los contenidos importantes que proporcionan la

adquisición de aprendizajes relacionados con las habilidades y destrezas motoras. No necesariamente

debe buscarse su transferencia a los aprendizajes deportivos, aunque los tiene; en las primeras edades es

fundamental para facilitar aprendizajes instrumentales básicos (lectura, escritura...) y su adaptación al

medio, para aquellas tareas cotidianas y habituales de la persona. La acción y el movimiento posibilitan

que el niño o la niña pueda llegar a percibir los estímulos existentes en el entorno mediante los receptores

sensoriales (exteroceptivos - visuales, auditivos, táctiles- y propioceptivos), lo que le permitirá localizar

objetos, a otros niños y niñas, a orientarse, a establecer relaciones entre los datos que obtiene y de su

propia experiencia, logrando un conocimiento, un control y dominio espacial (de manera progresiva en

cuanto al grado de complejidad). Además, debe ser capaz de analizar situaciones espaciales y de

representarlas (conocimiento). No sólo tenemos un espacio de acción, además tenemos un espacio de

representación que el individuo humano posee en su marco de pensamiento en el que se insertan las

aportaciones de la experiencia, es el espacio conceptual que permite interpretar y prever ciertas acciones.

¿Cómo podríamos usar la Geometría desde las actividades que se desarrollan en las clases de

Educación Física? El niño y la niña llega a la percepción y a la representación mediante la acción, el

espacio se descubre y se conoce mediante el movimiento y el despliegue de la acción corporal

(manipulaciones, desplazamientos, saltos...). Las actividades motoras proporcionan las posibilidades de

exploración del espacio, la adquisición de nociones espaciales de relación referidas a: orientación,

apreciación de distancias, establecimiento de direcciones, la realización trayectorias y de recorridos, la

formación de figuras geométricas, etc.

Mediante la acción corporal el escolar se sitúa y se orienta en el espacio tomando puntos de referencia, el

primero de ellos va a ser su propio cuerpo, a partir de él establece relaciones con los objetos y los demás

escolares, adquiriendo nociones de derecha-izquierda, delante-detrás y arriba-abajo, cerca-lejos, dentro-

fuera, juntos-separados; que conforman los tres ejes de un mismo plano y dos dimensiones (relaciones

topológicas). Igualmente, se pueden plantear actividades para la apreciación de distancias e intervalos,

estableciendo una relación entre el espacio próximo y el espacio lejano o remoto. La distancia en relación

con los objetos y los demás en situaciones estáticas y dinámicas posibilitan un conocimiento y un

dominio motor sobre la cercanía-lejanía, lo que implica una serie de acciones y esfuerzos ajustados al

objetivo de la distancia, lo mismo que con la altura (arriba-abajo). Igualmente, aprenderá a utilizar y

conocer las nociones de dirección (hacia delante-hacia atrás, hacia la derecha-hacia la izquierda).

En un siguiente paso sería establecer relaciones proyectivas, que se apoyan en la anterior y que se dan en

tres dimensiones, necesitando de procesos mentales para adquirir las nociones de profundidad, forma y

tamaño (supone una coordinación y relación entre objetos espaciales distintos), para lo cual podríamos

plantear actividades de ocupaciones espaciales mediante agrupaciones y dispersiones, apreciación de

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

trayectorias, direcciones… Un ejemplo de este tipo de relaciones espaciales sería el lanzamiento de una

pelota para alcanzar una diana.

Por último, las relaciones euclidianas suponen un uso y conocimiento del espacio con respecto a

los tres planos del espacio, implicando la longitud, la superficie y el volumen, lo que llevaría al niño o a la

niña a actuar en el espacio con diversas referencias y estableciendo una cierta lógica motriz. Por ejemplo,

en un juego como “el balón quema”, el niño que tiene el balón y se encuentra próximo a la línea divisoria

del terrero de juego, podría optar por: a) lanzar para quemar a un jugador del otro del equipo, siempre que

su situación con respecto a él, la distancia, la trayectoria que pueda imprimir al balón y la velocidad que

lleva el jugador, él percibe que puede realizar esta acción para conseguir su objetivo; o por b) pasa el

balón a la línea de fondo donde se encuentra un compañero y le permite a su equipo mantener la iniciativa

en el juego. Estas dos opciones son un claro ejemplo donde se tiene en cuenta el conocimiento que un

escolar puede tener sobre el uso del espacio a partir de un hecho perceptivo, los datos que obtiene del

entorno referidos a su situación corporal y su relación con otros elementos externos respecto: al plano

horizontal (desplazamiento), el plano vertical (lanzamiento), el plano sagital o anteroposterior (situación).

En consecuencia: la Educación Física mediante sus actividades de aprendizaje relacionadas con

el espacio busca que los escolares sean capaces de:

- Estructurar su espacio de acción mediante la orientación del cuerpo en el espacio, ocupando distintas

posiciones espaciales respecto a los objetos y los otros.

- Localizar objetos y personas en el espacio con ciertas referencias como sus ubicaciones fijas o móviles.

- Apreciar, reproducir y elaborar trayectorias con respecto a sí mismo, los objetos y los demás.

- Interpretar y ejecutar distancias, direcciones y sentidos.

- Ser capaces de descifrar y orientarse en el espacio mediante ciertas referencias como puede ser el plano.

- Desarrollar la capacidad de resolver situaciones motoras como respuestas a las exigencias perceptivas

del entorno y de su grado de adaptabilidad.

-Y, por último, desarrollar la autonomía y la confianza para desenvolverse en el espacio en el cual se

pueda llegar a establecer relaciones sociales constructivas y equilibradas con los demás.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

- BERRUEZO, P.P. (1990). La pelota en el desarrollo psicomotriz. Madrid, Cepe - CONDE, J.L. y VICIANA, V. (1997). Fundamentos para el desarrollo de la motricidad en edades

tempranas. Archidona, Aljibe. - LE BOULCH, J. (1990). La educación por el movimiento en la edad escolar. Barcelona, Paidos - RIVADENEYRA, Mª L. (2004). La percepción espacio-temporal y la iniciación a los deportes de

equipo en primaria. Barcelona, Inde - ROMERO CEREZO, C. (2000). Las capacidades perceptivo-motoras y su desarrollo. En Mª del Mª

ORTIZ CAMACHO (2000). Comunicación y Lenguaje Corporal. Bases y fundamentos aplicados al ámbito educativo. Granada, Proyecto Sur, cap. 4, pp. 115-169.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

LA GEOMETRÍA EN LA FORMACIÓN DE MAESTROS

Luis Serrano Romero

Aunque consideramos la Geometría como la Matemática del espacio y las relaciones que en él existan,

esta consideración por estudiar el espacio no es exclusiva de los matemáticos, sino que también la

abordan otras disciplinas y profesionales de diferentes áreas, entre las que merece la pena destacar las

artísticas y las técnicas por su notoria aplicabilidad, llegando en algunas ocasiones a establecer ciertas

relaciones de las connotaciones artísticas con las matemáticas, evidenciándolas el artista gracias a su

innata facilidad.

Por ello conviene, en este mundo cambiante que vivimos hoy, donde surgen nuevos conocimientos,

nuevas tecnologías y nuevos medios de comunicación, facilitar que la capacidad de aprendizaje del ser

humano permanezca inalterable y abierta a potenciar el desarrollo integro del individuo, sobre todo en

uno de los aspectos educativos que en determinadas ocasiones el sistema educativo no ha desarrollado

adecuadamente en sus programas, en el aprendizaje de la Geometría.

El estudio y la capacitación del individuo para la comprensión del espacio, de los elementos, formas,

propiedades, transformaciones y relaciones geométricas es fundamental para su formación y

conocimiento espacial de su entorno. El individuo construye en su mente las relaciones espaciales que

previamente ha realizado física y experimentalmente, interactuando con el medio e interiorizando en un

esquema mental geométrico de acuerdo también con sus aptitudes genéticas.

Estas consideraciones psicogenéticas de Piaget conviven con el modelo de aprendizaje de Van Hiele

como modo de estratificar el desarrollo del conocimiento geométrico en distintos grados de

comprensión y representación del espacio.

Este planteamiento sobre el aprendizaje de la Geometría no han sido siempre así. Tradicionalmente se

ha asociado la enseñanza de la Geometría con aspectos métricos como el cálculo de áreas y volúmenes

y la resolución de problemas en este ámbito, dando en esos momentos bastante importancia a la

memorización de fórmulas y procesos de cálculo que permitía la resolución de situaciones

problemáticas. De esta consideración de la Geometría en el currículo como herramienta para otras

partes de las matemáticas e incluso de la física, se pasó a su ausencia absoluta con la llegada de las

Matemáticas Modernas. En esos momentos y siguiendo las consignas bourbakianas la Geometría

euclidiana desaparece totalmente de los programas educativos de primaria y aparece levemente en

secundaria, esto hace que una generación carezca de los conocimientos espaciales desde edades

primarias.

Estas posturas han cambiado y de estas consideraciones curriculares de la Geometría se ha pasado a

analizar las distintas componentes que influyen en la adquisición de los conceptos geométricos, cómo

se pude mejorar su aprendizaje y cómo incluirla en el currículo, sobre todo en los niveles de educación

primaria, dando así lugar a consideraciones psicológicas y didácticas que han mejorado la organización

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

curricular de esta parte de la matemática con el fin de enseñar aquello que sea útil en la actualidad y en

el futuro.

En esta tendencia y para la buena comprensión de los concepto geométricos hay en el proceso de su

enseñanza – aprendizaje diferentes elementos a considerar, entre los que resalto los siguientes:

• Observación, comprensión y análisis del entorno y de las actividades espaciales que en él se

realizan, a fin de conceptualizar este espacio.

• Representación y visualización de lo observado.

• Deducción de propiedades generales a partir de las observaciones y conclusiones anteriores.

Estos elementos del proceso los debe de conocer el futuro docente a fin de poder aplicarlos en su

desarrollo profesional posterior Por ello en los currículos de la formación del profesorado de educación

primaria se incluyen varios capítulos dedicados a la Geometría y a su Didáctica, donde se tratarán de

desarrollar, además de contenidos relacionados con aspectos puramente matemáticos, contenidos

didácticos en los que se reseñen los diferentes componentes que van a influir en el buen aprendizaje de

la Geometría y cómo lo debe de percibir el futuro docente para su enseñanza.

Llega el momento de analizar la carga discente que sobre Geometría tiene el alumno de la titulación de

Educación Primaria y qué conocimientos científicos previos tiene este alumno al llegar a esta titulación,

a fin de comprender cómo termina un egresado en la titulación de maestro de cualquiera de las

especialidades hoy en vigor.

A la titulación de maestro se puede acceder por cualquiera de las especialidades de bachiller,

independientemente de que en ellas se haya recibido formación matemática, dándose el caso que hay

alumnos que llegan sin haber recibido ninguna clase de matemáticas a lo largo de todo su bachiller y

por tanto nada de Geometría, teniendo solo los conocimientos de esta materia que recibieron en

educación primaria, si es que el programa pudo desarrollarse con éxito. Respecto a la formación en la

diplomatura, el contenido de Geometría se imparte en un tema de la asignatura de Matemáticas y su

Didáctica que generalmente tiene una carga lectiva de nueve créditos, independientemente de que el

alumno haya percibido la importancia de la formación didáctico matemática que ha de recibir a lo largo

de su carrera y se matricule de alguna optativa que implemente esa básica formación que recibe con

una sola asignatura de nueve créditos. Todo este análisis lo estamos haciendo de la especialidad de

Educación Primaria, pero sabemos que el Título de Maestro capacita para la docencia en primaria,

independientemente de la especialidad, esto hace que alumnos de otras especialidades, donde la

asignatura de Matemáticas y su Didáctica tiene una carga de 4,5 créditos accedan a desempeñar un

puesto docente en centros de primaria e incluso de secundaria, pese a la escasa capacitación profesional

que tienen para desempeñar su ejercicio profesional en enseñanza de la Geometría. Por ello cabe

esperar que en los futuros planes de estudios se tenga presente esta deficiencia en la formación inicial

del docente y se diseñen unos planes adecuados a la futura labor a desarrollar como docente generalista.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

TALLER: MATERIALES PARA LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

************

Mº JOSÉ JIMÉNEZ; ROSANA MARTÍN; LUIS BERENGUER RESUMEN

Este taller se centra en el uso de materiales en el aula de matemáticas que por su carácter manipulativo fomenta la motivación del alumno y lo lleva a explorar y descubrir relaciones entre figuras geométricas, compararlas, clasificarlas, plantear preguntas y, en general, abordar cuestiones que ayuden a construir su conocimiento geométrico. En concreto trabajaremos el círculo de ángulos; tangram, pentominós y hexamantes con actividades encaminadas a comparar perímetros, áreas, razón de semejanza…del mismo modo presentamos los pentominós sólidos. Hacemos uso de puzzles pitagóricos para demostrar el Teorema de Pitágoras, ésta actividad resulta atractiva debido al sorprendente uso de los trapecios. Clasificaremos polígonos y con ellos construiremos mosaicos regulares y semirregulares. Utilizaremos las varillas para adentrarnos en el espacio formando poliedros, construiremos el cubo truncado, y por último, abriremos el libro de espejos para buscar simetrías y disfrutar de la belleza de las imágenes que se generen. INTRODUCCIÓN Los materiales en el aula de matemáticas pueden ser el punto de partida de nuestro quehacer diario en geometría.

De este modo aplicamos la construcción y utilización de los puzzles pitagóricos, para la demostración del Teorema de Pitágoras; los pentominós o los hexamantes con los que introducir al alumno el concepto de semejanza, las varillas para la construcción de poliedros ya que nos proporcionan un material que por su carácter manipulativo fomenta la motivación del alumno e incide favorablemente en la asimilación de conceptos.

Por otro lado, todo ello nos aporta una herramienta útil al docente para abordar dos de los objetivos del decreto de mínimos de la ESO:

7. Identificación de formas y relaciones espaciales que se presentan en la

realidad, analizando las propiedades y relaciones geométricas implicadas, y siendo sensibles a la belleza que generan.

10. Conocer y valorar las propias habilidades matemáticas para afrontar

situaciones que requieran su empleo o que permitan disfrutar con aspectos creativos, manipulativos, estéticos o utilitarios.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

0360º

10º20º

30º40º

50º60º70º80º90º100º110º120º130º

140º

150º

160º

170º

180º

1 90º

200º

210º

220º

230º 240º 250º 260º 270º 280º 290º 300º 310º 320º 330º 340º

3 50º

OBJETIVOS DEL TALLER 1. Proporcionar a los docentes información sobre distintos materiales para trabajar

en geometría. 2. Animar a los profesores para que lleven estos materiales a la clase. 3. Distinguir entre la componente lúdica y la didáctica. 4. Intercambiar ideas y sugerencias con los participantes.

DESARROLLO DEL TALLER Las actividades que se desarrollan en el taller son las siguientes:

1. Círculo de ángulos: Se entregan dos formatos en cartulina, en los

cuales aparecen dibujados dos círculos. En uno de ellos están marcados los ángulos en el sistema sexagesimal. Se recortan y se unen.

Con este material se pretende: • Asignar grados. • Trabajar algunos conceptos relacionados

con los ángulos (ángulos complementarios, suplementarios) 2. Tangram:

Se reparte a cada uno de los participantes un tangram fabricado en caucho EVA y se empieza a manipular, intentando rehacer nuevamente el puzzle.

Con este material se pretende: • Trabajar los conceptos de igualdad,

utilizando cuatro de las figuras ( dos triángulos pequeños, un cuadrado y un romboide).

• Construir polígonos convexos: - A partir del tangram

construido, girando los dos triángulos grandes, obtener el rectángulo, triángulo, trapecio y romboide.

- Intentar construir los restantes polígonos convexos (trece en total)

Posteriormente volveremos a recurrir a este material para demostrar el

teorema de Pitágoras. 3. Hexamantes:

Se reparte a cada uno de los participantes un folio en el que aparece impresa una trama iso y se pide que dibujen todas las figuras posibles en las que aparecen seis triángulos equiláteros unidos al menos por un lado. Con esta actividad se llega a los doce hexamantes.

Con este material se pretende: • Construir los doce

hexamantes. • Trabajar los conceptos

de perímetro y superficie con actividades del tipo siguiente:

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

- ¿Tienen todas las figuras la misma superficie? ¿ Y el mismo perímetro?

- ¿Cuál es la figura de superficie mínima? ¿Y de perímetro mínimo? (de modo análogo con perímetro máximo).

• Utilizar el concepto de razón de semejanza de áreas y de

perímetros, para ello se duplicarán algunas figuras y se calculará la razón de semejanza de sus áreas y de sus perímetros. De manera análoga se pueden triplicar figuras.

Finalmente se entregarán los doce hexamantes fabricados en caucho EVA.

4. Pentominós: La actividad se empieza de forma similar a la que hemos hecho con los

hexamantes, pero ahora vamos a utilizar una trama orto. Se trata de dibujar todas las figuras posibles con cinco cuadrados unidos al menos por un lado. Con esta actividad se llega a los doce pentominós.

Con este material se pretende: • Construir los doce pentominós. • Trabajar los conceptos de perímetro y superficie (perímetro

mínimo, máximo). Este material también se puede utilizar para actividades lúdicas, con

diferentes niveles de dificultad (puzzles). Finalmente se reparte a cada uno de los participantes los doce

pentominós. 5. Pentacubos:

Se entregan los pentacubos (cinco cubos unidos al menos por una cara). Los pentacubos están fabricados en caucho EVA.

Con este material se pretende formar paralepípedos de volumen sesenta unidades cuadradas.

6. Teorema de Pitágoras: La actividad la empezamos viendo las

diferentes figuras con las cuales se demuestra el teorema de Pitágoras en internet.

Se entrega un folio con un triángulo rectángulo dibujado y trapecios fabricados en caucho EVA. Volvemos a utilizar en esta parte del taller el tangram.

Con este material se pretende: • Demostrar el teorema de Pitágoras

utilizando diferentes figuras: hexágonos, trapecios y cuadrados. Para demostrarlo con hexágonos y trapecios

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

utilizaremos el triángulo del folio y los trapecios pequeños. Para demostrarlo con cuadrados se utilizará el tangram tradicional.

7. Mosaicos: Para desarrollar esta actividad los asistentes se dividen en grupos. A cada

uno de los grupos se le dan distintos tipos de polígonos regulares de diferentes colores. Estos polígonos están hechos a partir de unas planchas planas de 400 micras.

Con este material se pretende: • Clasificar los polígonos. (Cada grupo puede clasificarlos según

un criterio diferente: número de lados,

colores...) • Construir los mosaicos regulares. Para ello se propone la

actividad siguiente: - Utilizando un solo tipo de polígonos, ¿con cuales

de ellos se puede teselar el plano? (cuadrados, hexágonos y triángulos).

• Trabajar con los ángulos interiores de un polígono. • Construir los mosaicos semirregulares:

- Utilizando polígonos regulares (pueden ser algunos diferentes) ¿con cuales de ellos se puede teselar el plano?

8. Espejos: Empezamos la actividad repartiendo a

cada asistente un libro de espejos fabricado en P.V.C – espejo plata. Y los primeros minutos se dejan para que se manipule el espejo.

Con este material se pretende: • Ver en el libro de espejos

diferentes tipos de polígonos (regulares, estrellados…). Para ello se proponen actividades del tipo siguiente:

- Trazar una recta horizontal y media circunferencia tangente en un punto a la línea. En el centro de la circunferencia se coloca el libro de espejos. Abriendo y cerrando el libro de espejos se pueden ver diferentes tipos de polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

- Trazar media circunferencia secante a la recta anterior y repitiendo el proceso anterior se obtienen los polígonos regulares circunscritos a la circunferencia.

• Buscar simetrías en la trama de pentominós. • Utilizar la componente lúdica.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Argüello, A y Cardeñoso, JM

1

TALLER GEOMETRÍA EN LA E.S.O.: DESDE LA REFLEXIÓN HISTÓRICA AL

AULA DE GEOMETRÍA

ANA ARGÜELLO PASTOR I.E.S. de Tordesillas (Valladolid)

[email protected]

JOSÉ Mª CARDEÑOSO Grupo investigación DpD (Hum462)

Didáctica de la Matemática, Univ. Granada [email protected]

RESUMEN

El presente escrito, afronta la enseñanza de la Geometría en la ESO como una propuesta de

reflexión curricular necesaria para la mejora de su enseñanza. Esta reinterpretación del

currículo oficial (D.C.B., 1992) desde el conocimiento profesional de cada profesor. Se trata

por tanto de una estrategia que a través de cuestionar el currículo vigente, problematizar su

concreción y desarrollo de una propuesta con sentido profesional de la geometría. Será la

información sobre los Planes de Estudios antiguos, tanto en su perspectiva como su

concreción curricular, solo accesibles a través de los Manuales escolares que desarrollaron

las propuestas legales. Se ilustra esta problematización en tres tópicos Geométricos donde se

presenta también el uso que estos textos curriculares de carácter histórico pueden tener,

siguiendo el caso de la autora. Por la dificultad de acceso a dichas fuentes curriculares

históricas, nos permitimos trascribirlos, entendiendo que sus desarrollos adoptando una

perspectiva constructiva de la geometría con la regla y el compás. Estos textos pueden

constituirse en una buena fuente de información para el conocimiento curricular del profesor

de matemáticas, pudiendo originar diversas innovaciones en el tratamiento del conocimiento

geométrico escolar, como propuestas de desarrollo profesional.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

2

CARACTERÍSTICAS DE LA ENSEÑANZA ACTUAL DE LA GEOMETRÍA

Es un sobreentendido entre los profesores de matemáticas, que el campo geométrico es el que

en las últimas reformas más se ha ido constriñendo, tanto por el aminoramiento de la carga

docente de las matemáticas, como área de conocimiento; como por beneficiar otros aspectos

curriculares más aritméticos o algebraicos. Este detrimento, sin embargo, no ha facilitado el

logro de unos resultados de los estudiantes españoles a la altura de las circunstancias. La

realidad de las aulas de matemáticas en los niveles de secundaria, está lejos de reflejar una

enseñanza centrada en el desarrollo de competencias, sigue atada al conocimiento y

organización del saber matemático de referencia, y va dirigido al conocimiento de conceptos

y destrezas, fundamentalmente de todo tipo calculístico. Podemos pensar que, como ya se ha

comentado desde diferentes medios de comunicación, el problema de la evaluación de Pisa es

que evalúa algo que en nuestro sistema educativo no se trabaja especialmente, las

competencias matemáticas (ni siquiera las relativas a la Resolución de Problemas, aunque en

las aulas, los alumnos se pasen gran parte del día haciendo actividades prácticas y problemas).

El discurso de las competencias está muy lejos de ser una realidad en las aulas.

Presentar la necesidad de afrontar de nuevo la enseñanza de la geometría en secundaria es

algo obvio y a la vez complicado, aunque solo sea porque ya muchos de los profesores de

secundaria poseen serios problemas de formación, si nos referimos al razonamiento espacial y

visual que pueden utilizar. Estos docentes han sido educados en un conocimiento matemático

alejado de la formación geométrica desde los niveles inferiores y además, tampoco han sido

formados para ser profesionales autónomos de la educación matemática. Quizás ese sea uno

de los grandes problemas, el profesorado en general mantiene una significativa distancia entre

el discurso educativo y la realidad de su docencia, lo cual muestra fundamentalmente el gran

desfase que hay entre las propuestas oficiales y las ideas del profesorado, sin que nadie ponga

medios para remediarlo, permitiéndose que las propuestas de cambio se siguen haciéndose al

margen del profesorado y de su nivel de profesionalización.

Seguramente a nadie se le ocurre que un docente puede ser un profesional sin ser competente

para entender y aplicar la legislación, sobre todo si se trata de funcionarios, por tanto ha de ser

capaz de Analizar la organización curricular y planificar los contenidos matemáticos para su

enseñanza. Pero sabemos que se carece de la misma, que la organización curricular se deja en

manos de las editoriales (donde cada vez hay en el mercado, diversificando la oferta, al menos

en apariencia). Debemos por tanto asumir que el modelo de docente dominante es de corte

tradicional, reflejado por el uso de una única fuente de información básica, el libro de texto

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


3

que les facilita la selección y secuenciación de los contenidos. También constatar que la

mayoría de las innovaciones educativas están referidas al uso de algún material didáctico en el

aula de matemáticas, entendiendo como tales también las TIC, lo cual no permite

prácticamente ninguna evolución en la visión educativa del profesor de matemáticas, al no

cuestionarse los grandes problemas de su profesión.

Por otro lado, parece que estamos de acuerdo en la potencia educativa del conocimiento

geométrico, sobre todo en estos días en los que los medios pueden minimizar la falta de

habilidades y destrezas de los alumnos. Que no se trabaje es un contrasentido con lo que se

supone las mejoras que ahora estos alumnos poseen para este campo (es cierto que cada vez

son mas ambidiestros, los juegos, videoconsolas, comecocos y maquinitas adiestran esas

habilidades), también están acostumbrados a muchas mas sistemas y representaciones (cines,

pantallas de móvil, videoclub, compra en Internet, fotos, etc.) con lo que se puede pensar que

tienen una mejor construcción del espacio. En muchos de sus juegos, tienen que tomar

decisiones que conlleva rapidez de coordinación derecha o izquierda, arriba o abajo, hacia el

fondo o hacia fuera; o de orientación ya que requiere de ellos construir una imagen total del

juego, sus etapas, el “pasar pantalla”,…, aunque esto no es demasiado cierto, o al menos no se

pone al servicio de la educación matemática escolar.

Más al contrario, vemos como los autores de cine o de las series televisivas sin ir mas lejos,

parecen compartir nuestro pesimismo, pues para lograr el efecto deseado en la mayoría de los

espectadores, cada vez nos presenta de forma evidente lo que antes quedaba a la imaginación

del espectador, ahora se trasforma la realidad, se agrandan cabezas, colorea o distorsiona

cualquier cosa, en aras al logro de carcajadas por entender que le ocurre al personaje. Es que

acaso nuestros jóvenes, sin esas visiones y esos contrastes, entre lo posible en la realidad y la

pantalla, no se les logran arrancar ni una sonrisa. Ciertamente nosotros también veíamos sin

problemas las irrealidades que los dibujos animados presentaban, pero no era esta más que

una de las circunstancias, como muchas otras, que como mucho permitía mayores niveles de

acción. Pero no por ello nuestros mayores aceptaban esperar cada vez menos del “novato” del

“infante” y del “aprendiz”. Da la sensación de que el es le hemos legitimado como un receptor

cada vez mas pasivo, que solamente responde a lo evidentísimo, sin capacidad de anticiparse

o aunque la ejerza, no por ello no vuelve a “llorar de risa”, por enésima vez ante lo obvio.

Esto nos pretende más que indicar que en secundaria se requiere educar la visión espacial y

que, no por mucha actividad mecánica que desarrollen nuestros alumnos, no por ello podemos

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

4

suponer que mejoran sus representaciones del espacio, en general y no solamente en su

maquinita de turno. Tampoco podemos afirmar que no nos encontremos entre los alumnos, a

alguien que se siente incapaz de discernir, oralmente, entre derecha e izquierda y prefiere,

indicarnos el giro que hemos de dar con sus brazos. Debemos reconocer que en contadas

excepciones, cuando andamos de viaje por parajes desconocidos, y solicitamos orientación,

nos sorprende un joven aportando una respuesta relevante para desplazarnos por ese espacio.

Pero, volviendo a los profesores, que han de educar el pensamiento espacial en las nuevas

generaciones, nos encontramos en la necesidad de buscar nuevas fuentes de información para

un adecuado desarrollo profesional que implique al mejor en la enseñanza de la geometría.

Esta cuestión la afrontaremos presentado el caso de la coautora del texto, lo cual nos sirve de

excusa para acompañar a los lectores en la reflexión sobre el ámbito de investigación

profesional (PORLÁN y RIVERO, 1998), que a partir de ahora quedara referido como A.I.P.,

ámbitos que focalizan los problemas profesionales del profesor. En este caso, el problema

planteado está inmerso en el ámbito global de la Planificación de la enseñanza, y más en

particular en el problema de Analizar y valorar críticamente las diferentes propuestas

curriculares y documentos de referencia del área de matemáticas y adaptar sus principios,

objetivos y contenidos a las necesidades concretas del alumnado bajo su responsabilidad.

Cuestión que permite con más fundamento su diseño de intervención: Elaborar y/o

seleccionar, secuenciar y organizar las actividades, materiales, recursos,… así como tomar

decisiones sobre la organización y gestión del aula, de una forma más adecuada para el

aprendizaje del conocimiento matemático, de carácter geométrico.

En suma, mantenemos la opinión de la respuesta de los profesores deben recurrir a los

Manuales Escolares Históricos como fuente de información para dar una respuesta orientada a

elaborar ciertas planificaciones de la enseñanza de la geometría. Recuperar la intuición y los

métodos constructivos para que se parta de lo que saben los alumnos y se pueda convocar y

recoger las habilidades motrices automatizadas, visualizaciones y lenguajes de representación

múltiple, que los adolescentes poseen, pese a que solo estén desarrolladas en ciertos contextos

de carácter lúdico. Estos sistemas de tareas tienen que ser tales que convoquen los saberes

extraescolares para afrontar los problemas en el aula, y así les permitan el contraste entre lo

sabido y lo por conocer, potenciando que el alumno construya una red de relaciones, dando

sentido a sus múltiples usos y significados. Tal vez de esta forma, habremos logrado poner el

progreso tecnológico al servicio de unos ciudadanos del siglo XXI, posibilitándole reinvertir

su conocimiento cotidiano para ser competentes en el campo geométrico y espacial.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


5

CONTEXTUALIZACIÓN DEL PROBLEMA PROFESIONAL PLANTEADO

Es el interés en el campo geométrico de la autora, la experiencia de mas de veinte años de

profesión de autora, como de docente en tres niveles educativos, en grupos en formación

permanente, en sociedades, llevando innovaciones europeas, lo que le anima a aproximarse a

la reflexión investigadora,.., lo que le lleva a cuestionarse su capacitación profesional en

educación matemática.

El trabajo que presentamos tiene su origen en la solicitud y logro de año un Sabático o

Licencia por estudios, acogiéndose a una convocatoria y centrando su interés en la

catalogación de los fondos bibliográficos del Instituto Zorrilla de Valladolid. Ante semejante

situación, sería de extrañar que no se hubiera suscitado la consulta de muchos de esos

manuales. Fruto de esto es la selección de textos, su estudio y reflexión sobre la utilidad en el

currículo actual de la ESO.

Es por tanto, el interés de la indagación y la reflexión histórica, fruto de la cual obtener la

información necesaria para mejorar el aula de matemáticas, lo que ahora intentamos presentar,

para concluir con la implementación de la instrucción consecuente, modificada con ciertas

innovaciones didácticas en la docencia del campo geométrico (AZCÁRATE, SERRADÓ y

CARDEÑOSO, 2004).

Para lo cual se puede comenzar preguntándonos ¿Es interesante replantearnos la Geometría en

los Currículos Obligatorios? ¿Qué razones nos animan a ello? ¿Qué finalidad tendríamos con

ello? ¿Qué sabemos de sus concreciones curriculares?, entendiendo que se contesta y se

encuentra razones personales de cada profesor para avanzar en esta dirección, podemos

indagar y profundizar más en los cuestionamientos preguntándonos ¿Cuál es la organización

del conocimiento que tenemos planificada? ¿Planteamiento gráfico? ¿Planteamiento

memorístico? ¿Planteamiento deductivo? ¿Desarrollo algebraico? ¿Relacionamos con la vida

cotidiana y con otras partes del currículo de Matemáticas o de otras materias? ¿Como

profesores, conocemos todas las posibilidades sobre el desarrollo de la geometría en nuestras

aulas de secundaria? Como no podía ser menos, es potente el indagar en uno mismo y

responder a lo ¿qué encontramos si removemos nuestra memoria experiencial?. Muy

sintéticamente la respuesta puede ser:

• Desde nuestra experiencia, la enseñanza de la Geometría en secundaria se reduce, en

la mayoría de los casos a: Visualización de elementos y figuras geométricas.

• Definición de las figuras, cuerpos geométricos y elementos característicos de ambos.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

6

• Descripción de los movimientos en el plano.

• Presentación de fórmulas que les sirven para: Resolver ejercicios de aplicación directa

o para Repetir procedimientos expuestos en clase.

• Deducción de determinadas fórmulas a partir de otras mediante desarrollo algebraico.

Como es natural, no lo sabemos todo, y tal vez de los campos geométricos y estocásticos sea

de lo que menos conocen los profesores de secundaria de una cierta edad. Por ello, nunca está

de más cuestionarse ¿Qué sabemos de la geometría que trabajamos en la ESO? ¿Es suficiente

nuestro saber para reorganizar el campo e intentar resolver los problemas de su enseñanza?

En el caso que nos ocupa, llegamos a compartir la rotunda conclusión de que necesitamos un

nuevo enfoque de la geometría, que al menos recoja los aspectos siguientes:

Originando un enfoque más constructivo que el actual.

Relacionando sus conceptos con el resto de las matemáticas.

Conexionándolo con la realidad, apoyándonos en el dibujo, el arte o el diseño gráfico,...

Facilitando su enseñanza desde un “mejor” entramado conceptual.

Presentando los nexos necesarios y no evidentes entre nociones

Organizando su enseñanza afrontando diseñar su concreción curricular

Afrontando su aprendizaje desde un mayor protagonismo al alumno en su aprendizaje.

Esta reflexión, como muestra de insatisfacción de la realidad del aula, surge de la observación

de los alumnos y las dudas que al profesor le genera, en un determinado momento como es

este caso, dirige al profesor a investigar cómo ha sido, en los planes de estudio anteriores al

actual, el tratamiento dado a la geometría en la enseñanza secundaria.

LA GEOMETRÍA EN LOS DIFERENTES PLANES OFICIALES DE ESTUDIO EN

EL SIGLO XX EN ESPAÑA.

Es necesario para conocer el sentido de un plan de estudios, consultar las orientaciones y

recomendaciones que éste presenta, por tanto, pasaremos a sonsacar los aspectos que nos

parecen de más interés para l reflexión profesional planteada.

Sabemos que durante el siglo XX, ha habido varias reformas del Sistema Educativo en

España. A continuación se va a hacer una breve exposición de los contenidos de Geometría en

cada uno de ellos, y de las indicaciones metodológicas correspondientes. Presentamos a

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


7

continuación los datos más relevantes para contextualizar los documentos históricos que

posteriormente utilizaremos (aparecen trascritos en los anexos)

Plan de 1.934 (Gaceta de Madrid 21 – Octubre – 1.934)

Este plan de estudios está organizado en siete cursos, con un “examen de conjunto” al

terminar el tercer año, “certificado de estudios elementales” al terminar el quinto año y

examen de “reválida” al finalizar el séptimo año.

Los contenidos específicos de Geometría aparecen en cada uno de los siete cursos, desde la

intuitiva, sintética trigonométrica (métrica) o analítica. Está organizado desde la introducción

intuitiva de los objetos, posiciones y procedimientos constructivos en el plano, para avanzar

hacia el espacio tridimensional, para caracterizarlo como métrico y representarlo como

analítico. De las indicaciones metodológicas que, en la Gaceta de Madrid, se dan para esta

asignatura, se puede extraer lo siguiente:

“... Los cuestionarios de los dos primeros años constituyen, en su conjunto un curso análogo al que se desarrollaba en el primer año del plan de 1.903, con el nombre de Nociones y Ejercicios de Aritmética y Geometría, debiéndose acentuar aún más el carácter intuitivo y práctico que tradicionalmente se daba a la enseñanza en este curso. ... ... En el tercer año se inicia el estudio racional de la Aritmética y de la Geometría, sin que esto quiera decir que se explique Aritmética y Geometría de carácter abstracto. Por el contrario, se procurará en todos los cursos limitar el grado de abstracción de las materias enseñadas, adaptándolo a la edad mental de los alumnos. En cambio los cursos intuitivos no deben reducirse a una mera exposición de recetas para resolver ejercicios prácticos, sino que se hará razonar al alumno en todo momento, siempre dentro de los límites que imponga su desarrollo mental. ... ... Se recomienda a los Profesores procuren evitar que los alumnos lleguen a considerar la Matemática como una ciencia desligada de la realidad. Para este objeto, los ejercicios, que han de ser tan numerosos como sea posible, deberán apoyarse en casos prácticos de la vida real o en cuestiones suscitadas por las disciplinas que se estudien al mismo tiempo, especialmente por la Física.” Parece que los comentarios no tienen desperdicio, sobre todo seguimos reconociendo

recomendaciones y orientaciones de fuerte vigencia en la actualidad

Plan de 1.938 (B.O.E. 8 – Mayo – 1.939)

Este plan de estudios también consta de siete cursos, pero se detectan variaciones con relación

al anterior, como son que desaparecen el “examen de conjunto” al terminar el tercer año y el

“certificado de estudios elementales” al terminar el quinto año y se cambia la “reválida” por el

“Examen de Estado”, el cual es ante un tribunal especial organizado por las Universidades.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

8

Los contenidos específicos de Geometría se encuentran en cada uno de los seis primeros

cursos de los siete que consta el Plan. No altera en nada la visión del anterior, simplemente se

asigna solo un curso a la introducción intuitiva, mientras que en el Plan 1934 ocupaba los dos

primeros cursos. La organización es idéntica en su orden y progresión. Como puede

observarse en el relato de conocimientos, en el último curso el tratamiento de la geometría es

ya un tratamiento analítico. De las indicaciones metodológicas que, en el B.O.E., se dan para

esta asignatura, se puede extraer lo siguiente:

“Las materias que componen el cuestionario de este primer curso se expondrá en forma intuitiva, sin demostraciones y con el único objeto de que el alumno se habitúe a la nomenclatura y notación propia de la Aritmética y la Geometría… …Durante el segundo y tercer curso podrán iniciarse ya los alumnos en las demostraciones y razonamientos elementales que justifiquen los enunciados y teoremas de la Aritmética y la Geometría que vayan aprendiendo. De manera que comiencen a adquirir nociones del rigor y exactitud lógicos, así como del proceso sistemático que exige la ciencia...... Por otra parte, se imprimirá resueltamente a estos tres primeros cursos un carácter eminentemente práctico. ... ... Durante el cuarto y quinto cursos podrán exigirse ya de los alumnos la precisión, el rigor lógico y el espíritu sistemático propios de las Ciencias Exactas;…... Las demostraciones y razonamientos no sobrepasarán, sin embargo, el nivel elemental. ... ... Durante el sexto y séptimo curso se tratará de hacer vislumbrar a los alumnos el magnífico y amplísimo campo que a la inteligencia de los estudiosos ofrece la Matemática. ...... Durante estos dos años, pues, el cuestionario no es sino un guión en el que se indican aquellos capítulos de la Matemática superior que han de ser, por decirlo así, vislumbrados por los alumnos de modo científico y preciso, desde luego, pero reduciéndolos a sus términos más sencillos y elementales...” Vemos que estas orientaciones no varían sustancialmente, parten de la introducción intuitiva

avanzando hacia potenciar el razonamiento elemental, para ir avanzando en la precisión de

más propia de las ciencias matemáticas, acabando con la recomendación de darle una

orientación hacia el propio conocimiento matemático formal y su estudio superior.

Plan de 1.953 (B.O.E. 6 – Febrero – 1.954) En este plan de estudios, el bachillerato consta de seis cursos, un curso preuniversitario para

los Bachilleres de Grado Superior que aspiren al ingreso en las Facultades Universitarias, en

Escuelas Especiales de Ingenieros o Arquitectos o en otros Centros superiores.

Los contenidos específicos de Geometría en cada uno de los cursos se puede observar que en

quinto y sexto curso se empieza con el tratamiento de la geometría analítica, deja por lo tanto

de ser tan descriptiva como en los cursos anteriores. De las indicaciones metodológicas que,

en el B.O.E., se dan para esta asignatura, se puede extraer lo siguiente:

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


9

“ ... En el primer curso inicial de Matemáticas, se omitirá todo razonamiento abstracto. Las propiedades numéricas esenciales se harán notar con la repetición de ejercicios. Lo mismo cabe decir de las propiedades geométricas. Conviene hacer notar a los alumnos que las figuras que ellos dibujan son sólo aproximadas, así, por ejemplo las rectas que trazan son toscas imágenes de las concebidas en Geometría....... En las figuras geométricas sencillas que los alumnos han de dibujar es de aconsejar la mayor pulcritud y ordenación. Cuando se trate de comprobar propiedades de una figura de tipo general, por ejemplo de un triángulo, húyase de casos particulares a los que instintivamente se incline el alumno; es decir, que el triángulo que se dibuje debe ser escaleno, pero no equilátero ni isósceles. ... ... La Geometría queda circunscrita en este curso segundo a una parte de la Geometría plana y con ella han de iniciar a los alumnos el razonamiento lógico, que es una de las finalidades de la enseñanza de la Matemática en el Bachillerato. Sin embargo no se estima lo anterior como un desiderátum, pues es imposible que niños de once a doce años puedan realizar un razonamiento lógico perfecto. Con las nociones de Geometría desarrolladas, el niño puede llegar sin dificultad a la comprensión del sistema cartesiano de representación y dibujar gráficas de funciones sencillas tabuladas. ... ... (Tercero) Domina en la Geometría la teoría de la semejanza y sus derivaciones en las que se destaca el teorema de Pitágoras, fundamento de muchas relaciones métricas de las que se hace uso constante....... La teoría de los polígonos regulares se reduce, no pasándose del lado del hexágono, para no recargar el trabajo del alumno. La inscripción y circunscripción de polígonos regulares sirve para que el alumno intuya la idea de límite, llegándose de manera elemental a la introducción del númeroπ: dada la importancia de este número π creemos que se debe exponer a los alumnos una breve noticia histórica del mismo, haciendo mención de la imposibilidad de resolver el problema de la cuadratura del círculo....... Finalmente se expondrán unas ligeras nociones de Trigonometría, limitadas a lo indispensable para llegar a la resolución de triángulos rectángulos... ...Parte muy importante del cuestionario del cuarto curso es la referente al estudio de la Geometría del espacio, disciplina de positivo valor educativo y que merece gran atención. Es indispensable insistir sobre los conceptos primarios de perpendicularidad y paralelismo en el espacio multiplicando el uso de modelos corporales con los que el alumno se vaya acostumbrando a ver en el espacio...... Necesario es el estudio de las simetrías, no sólo en sí mismas sino como aplicación a la Física. El estudio de poliedros y de los cuerpos redondos no puede omitirse como tampoco el cálculo de sus áreas y volúmenes. Es estudio de la Geografía esférica se ha reducido al mínimo indispensable para que los adolescentes puedan tener ideas claras de las cuestiones de Geografía astronómica a veces mal comprendida por falta de conocimientos geométricos... …(Quinto) En los complementos de Geometría se han incluido aquellas cuestiones elementales que completan el cuadro de los cuatro primeros cursos. Análogamente, la Trigonometría plana que se exige es la necesaria para utilizar esta poderosa herramienta matemática en sus múltiples aplicaciones... “ Se parte de la representación, concreciones y comprobación de propiedades, para aconsejar

ciertos valores en la actitud del alumno. Se avanza hacia el desarrollo de razonamientos

incompletos y de carácter métrico posteriormente.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

10

LA REFLEXIÓN HISTÓRICA COMO FUENTE DE INFORMACIÓN PARA EL

PROFESOR: LA REORGANIZAR DEL CONOCIMIENTO GEOMETRICO

Cuando consideramos el papel de la información en general y de los aspectos históricos en

particular, habría que diferenciar dos tipos de información histórica, la de la evolución del

propio aspecto geométrico por un lado y la del su tratamiento en el ámbito escolar es este

último en el que fijamos nuestra atención y focalizamos en su contraste como proceso de

mejora profesional. Esta se va a presentar las elaboraciones de unas propuestas de integración

en el aula de los aspectos indicados como interesantes.

Esta fuente de información nos parece necesaria para problematizar las creencias e ideas de

los profesores realmente tienen y que, partir de su reformulación, surjan propuestas educativas

que pretendan ser transformadora de la realidad del aula. La constatación de que estas ideas

existen, son peculiares y afectan al aprendizaje y a la actuación profesional no es nueva y las

que presentaremos posteriormente, pueden favorecer la transición de una enseñanza centrada

en el profesor a una centrada en los alumnos, como un elemento imprescindible a tener en

cuenta en el diseño de cualquier propuesta curricular (Watters & Ginns, 2000).

No es objeto de este escrito entrar en que las planificaciones, del entramado referido al

conocimiento geométrico escolar, han de ser puesto en práctica desde una propuesta

constructivista se concreta en usar didácticamente las ideas de los estudiantes en el proceso de

enseñanza-aprendizaje, otorgándoles un protagonismo flexible en el proceso de construcción

de conocimientos, reconociendo tanto la dimensión individual como social de ese proceso y

fomentando en los alumnos actitudes autónomas, como le posibilita lograr procedimientos

intuitivos o constructivos para trabajar la geometría.

En los procesos de enseñanza-aprendizaje existe un elemento mediador entre el profesor y los

alumnos: el currículo. Desde la Teoría del Currículo se han propuesto tres grandes enfoques

(racional-tecnológico, práctico y crítico) (Carr y Kemmis, 1986; Gimeno, 1988) que pueden

ayudar a los profesores a comprender y a conceptualizar su propia práctica, así como a

enjuiciar, crítica y autónomamente, los modelos curriculares que están presentes en la

tradición educativa, en la legislación y en los materiales curriculares. Al mismo tiempo, los

problemas prácticos de los profesores pueden organizarse atendiendo a los grandes elementos

del currículo (finalidades, contenidos, metodología, organización, evaluación, etc.), de ahí la

enorme importancia que tiene esta fuente disciplinar.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


11

Existen muy diversas visiones del currículo y de las Matemáticas: como resultado de la

actividad de grupos de profesionales concretos, como producto social y cultural, como

resultado de las interacciones entre currículo y proceso de enculturación, desde una

perspectiva intercultural. Es Bishop (1988) quien considera que los aspectos sociales del

currículo han de considerarse desde perspectivas individuales, grupales, institucionales y

estatales y estudia los principios y componentes que han de considerarse para que un currículo

de Matemáticas sea sensible a los procesos de enculturación.

De las diferentes perspectivas curriculares, destacamos aquellas aportaciones que conciben el

currículo como un producto cultural, resaltando su carácter relativo y tentativo, y que

proponen la emergencia de hipótesis curriculares fundamentadas que aborden los problemas

que se detectan en la práctica como fruto de la negociación entre el conocimiento del profesor

y el contexto educativo concreto (Grupo Investigación en la Escuela, 1991). Por tanto, frente

a la visión externa del currículo que está presente en muchos profesores, una concepción del

currículo como hipótesis fundamentada les reconoce la capacidad de ser protagonistas de su

propio conocimiento, de abrir nuevas formas de abordar los problemas en educación, de

generar prácticas alternativas y de definir de manera más adecuada los focos de investigación.

Por último, hemos de mencionar que juegan un papel, muy diferente según los casos, en los

contenidos escolares que forman parte realmente de los procesos de enseñanza-aprendizaje.

Nos referimos a las diferentes formas que tienen de interpretar la normativa en torno a la

educación geométrica en el currículo oficial y en consecuencia, la Programación del propio

Departamento, que pueden ser a la vez referentes y fuentes de información para el diseño de

propuestas de enseñanza. Incluimos también el (los) libro(s) de texto que, para algunos

profesores, son determinantes.

PROBLEMATICEMOS LA REORGANIZACIÓN DE LAS NOCIONES ESCOLARES

Los contenidos geométricos que corresponden a la enseñanza secundaria (de los 10 a los 16

años) en los diferentes planes de estudio desde 1.934, no han variado sustancialmente; lo que

realmente marca la diferencia es el enfoque y el tratamiento didáctico de dichos contenidos;

desde una enseñanza de la geometría que consistía fundamentalmente en construcciones

gráficas y estudio de sus propiedades hasta llegar a una formalización algebraica del estudio

de la geometría; y en la mayoría de los casos, a medida que se formaliza algebraicamente un

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

12

concepto geométrico, éste se desconecta de la realidad, pues sólo queda la formalización y

poco de su representación.

El aprendizaje de la geometría en la actualizad ha sido habitualmente memorístico; se

aprenden las fórmulas del perímetro, el área o el volumen de polígonos y cuerpos geométricos

y las características general de éstos, pero sin ninguna referencia histórica o deductiva de su

origen, ni tan poco de su proyección en la vida cotidiana. En la enseñanza de la Geometría es

necesario que el alumno vea la relación entre una disciplina escolar manipulativa y

deductivamente en contextos de su vida cotidiana (arquitectura, pintura, logotipos,...), para

que tenga alguna incidencia formativa en el Siglo XXI.

Y como dice en su memoria de investigación Rodríguez (2005:52) “El núcleo de Geometría

en la Educación Secundaria Obligatoria responde a una finalidad principal: el alumnado

debe adquirir, por sí mismo, la convicción de que con sus herramientas se hacen modelos que

representan parcialmente el espacio físico en el que transcurre la vida cotidiana y que, por

consiguiente, muchos problemas relacionados con él admiten una resolución geométrica. La

Geometría es una disciplina que necesita una reducida cantidad de requisitos previos y que

resulta accesible a todo el alumnado. Aunque un problema geométrico no sea fácil,

afrontándolo formalmente, es posible trabajar en él desde distintas perspectivas, visual o

manipulativamente, por ejemplo, e ir encontrando resultados parciales que nos permitan ir

organizándolo. La Geometría proporciona una gran fuente de problemas en contextos

diversos, que favorece el trabajo de cada estudiante, de acuerdo con sus posibilidades.” En

consecuencia parece pertinente que para atender semejante demanda, el profesional de la

educación matemática deba problematizar su enseñanza, cuestionando qué conoce él de dicho

conocimiento matemático hasta la diversidad de enfoques o metodologías posibles para su

enseñanza.

Los procesos de desarrollo profesional se originan en una reconstrucción global del

conocimiento profesional que el docente posee. Para ello mantenemos que se ha de encontrar

problemas docentes, de carácter práctico profesional que resolver. La experiencia nos lleva a

constatar como estos problemas suelen centrarse en un primer momento (Cuesta, 2003,

Azcárate y Cuesta, 2005) en los que conlleva la gestión del aula de matemáticas, para

posteriormente plantearse otros ámbitos de investigación profesional.

Estos suelen estar focalizada en la problematización de las tareas curriculares, un segundo

nivel de profesionalización, donde se suelen plantearse cuestiones relativas a ¿con que

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


13

materiales didácticos o metodología enseñarlos?, o ¿por qué y para qué enseñar un cierto

tópico escolar?, o ¿qué se conoce de dicha noción? en su sentido conceptual o en el de la

evolución de las ideas del aprendiz. Para el campo matemático, parece que esta llegando el

momento, tal vez al hilo de los resultados de informes internacionales tan de moda

últimamente, de que los docentes se cuestionen para enfrentar el ¿qué, cuándo, cómo y con

qué técnicas evaluar?, cuestión que requiere una explicitación de los criterios de valoración de

las respuestas escolares no quedaría completo.

Otra cuestión, que nos parece de un nivel más avanzado en el desarrollo del docente, está

focalizada en cuestionar su conocimiento profesional y plantearse ámbitos de investigación

profesional de carácter global, que le permita mediante una concreción, consolidar su

conocimiento, mediante una valoración de la planificación. Esto puede ejemplificarse cuando

se propone afrontar ¿cómo planificar una unidad didáctica innovadora para el aula de

matemáticas? Es este nivel el que lleva al profesor a volcar su particular manera de entender y

transformar el diseño curricular en unidades de aprendizaje escolar, cuestión para la que es

básico platearse las posibles trasposiciones didácticas referidas al conocimiento a enseñar.

También tendría un carácter global el cuestionarse el plano de la evaluación, como un

intermediario necesario y con sentido propio (CARDEÑOSO, en prensa), que mediatiza la

evolución de las estrategias formativas que el docente desempeña.

Una fuente de consulta para el profesor, muchas veces de difícil acceso, (justificación de tanta

trascripción de Manuales antiguos como vamos a presentar seguidamente), pero de gran

interés son los posibles y sucesivas propuestas curriculares concretas que estos han tenido a lo

largo de la historia del currículo de geometría en la educación matemática española. Estos

Planes de estudio dieron lugar a unos desarrollos que aparecen en los Manuales históricos,

que en muchas ocasiones se constituyen en las “nuevas” fuentes para el conocimiento del

profesor sobre el contenido a enseñar

Presentamos a continuación una especie de guión, mucho más pretencioso que el que

podemos afrontar en el Taller realizado en las XI Jornadas Investigación en el Aula de

Matemáticas: la Geometría, para cuestionar y comparar la orientación del campo geométrico

a lo largo de los distintos planes de estudios:

- ¿Se asemeja a la que nosotros aprendimos?

- ¿Qué diferencias encontramos entre los currículos de programas anteriores y el actual?

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

14

- ¿Crees que hay diferencia en los contenidos o en la perspectiva del conocimiento o en

la metodología?

- ¿Qué aspectos os han llamado la atención quizás por diferentes?

- ¿Qué cuestiones, tareas, demostraciones, procedimientos de los propuestos pensáis

que sería conveniente, o se os ocurre que se podían llevar al aula de secundaria?

- ¿Existen otras cuestiones que os ha llamado la atención, formas de presentación,

organización,…

- ¿Aparecen otros aspectos de interés?

Particularmente la diferencia fundamental está en la metodología más que en los contenidos.

Entendiendo metodología en el sentido clásico que se corresponde a la lógica interna de la

secuencia de contenidos. Podríamos decir que en este caso se trata de una perspectiva de la

geometría constructiva con regla y compás.

Analizamos desarrollos curriculares históricos desde las sencillas cuestiones que a

continuación que nos permitan ir respuestas interesantes para tomar decisiones:

A: ¿Se entiende el proceso llevado por el autor? ¿Es compresible la demostración?

B: ¿Está este proceso al alcance de la comprensión en algún nivel donde tú des clase?

C: ¿Encuentras en algo de lo presentado alguna utilidad para el desarrollo geométrico en

tu clase?

D: ¿Cuál es la novedad que percibes? ¿Potencialmente, donde tendría cabida-interés en

tus clases?

E: ¿Qué pegas y dificultades le encuentras a su utilización en el aula?

F: ¿Qué ventajas didácticas se pueden obtener si lo llegas a usar?

G: ¿Qué te ha parecido de manera global? ¿Te aporta alguna idea? ¿Te sugiere alguna

visión?

Pasamos a continuación a los afrontar la organización del contenido que hacen los diversos

manuales elegidos para ver cada plan de estudios desarrollado.

EL CASO DEL LOS ÁNGULOS Y EL ARCO CAPAZ

En este apartado se han seleccionado y se trascriben en el anexo, para que el lector pueda

hacer su propia interpretación y uso de esta fuente de información, del Plan 1.934: Jiménez

Soto, F. (2º Bachillerato) Plan 1.938: Cenzano, J. (2º Bachillerato) y de nuevo del Plan 1.934:

Cenzano, J. (6º Bachillerato) (Anexo I)

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


15

El proceso llevado por el autor se entiende perfectamente, pues consiste en la construcción del

arco capaz de dos segmentos bajo un determinado ángulo para encontrar el punto en el que se

cortan. Como es una aplicación de uno de los contenidos de 3º E.S.O. el primer planteamiento

y de 1º Bachillerato (Tecnológico y Ciencias de la Naturaleza) el segundo, pensamos que está

al alcance de la comprensión de los alumnos.

La utilidad que se puede encontrar en el desarrollo de la docencia de este apartado es la de

ejemplificar de forma práctica de un concepto teórico y que en los libros de texto de 3º (los

que hemos podido consultar) no se plantea ninguna aplicación ni utilidad de la noción

No es que presente alguna novedad didáctica, pero parece interesante el diferente enfoque,

según el nivel de enseñanza, de un mismo concepto. No encuentro ninguna dificultad en su

enseñanza, sencillamente sólo es posible ver los dos planteamientos contrastados en 1º de

bachillerato, pues en 3º solamente es posible un punto de vista.

Actualmente, el Arco Capaz se trabaja en 3º de la E.S.O., y en contraste con enfoques

encontrados en los Manuales históricos, de carácter curricular, se muestra interesante para que

los alumnos vean un ejemplo real, en el que se utiliza este concepto; pues en la mayoría de los

libros se les da la definición apoyada simplemente en la representación gráfica que

recogemos.

“Se llama arco capaz de un segmento al conjunto de todos los puntos desde los que se ve dicho segmento bajo un ángulo dado”. (Matemáticas 3º Secundaria. Oxford EDUCACIÓN)

Siendo las actividades tareas de mera ejercitación, como la propuesta

tipo del mismo texto:

“Dibuja el arco capaz de un segmento de 4 cm. Visto bajo un ángulo de 30º”

Uso en el currículo desarrollado se presenta una imagen de síntesis y relacional en la

representación en mapa que se adjunta

En esta representación, se indican tanto las nociones que se tratan, como los nexos que las

relacionan y también el orden didáctico para su tratamiento, entendiendo que éste no es único,

permitiendo ciertas combinaciones, anteponiendo o retomándolo desde donde se llegó, en

momentos posteriores.

Así, se indican con negrita y cursiva, respectivamente, tanto las nociones recuperadas e

incluidas en el planning, como las nuevas relaciones que las conecta con el resto los apartados

O

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

16

conceptuales que usualmente se desarrollan en el currículo actual de 3º de E.S.O., que

aparecen escritas normalmente.

La parte que requiere de la aplicación de la trigonometría, se dejaría para el curso siguiente,

teniendo la ventaja de afrontar una cuestión ya conocida por los alumnos, desde un nuevo

punto de vista. Se trata de una nueva versión de la relación en clase, ante las nuevas tareas,

cada alumno tiene la posibilidad de autoevaluarse, ya que conoce otro procedimiento por el

que comprobar la bondad de la solución trigonometricamente lograda.

La potencia de un mapa conceptual donde se realice la concreción de la temática curricular

particular, en este caso los Ángulos y el Arco Capaz, problematizada por el docente, que ya

nos muestra en el plano de la Planificación de la enseñanza, hacia donde y de qué forma ha

evolucionado en conocimiento del profesor sobre dicho tópico. Es decir, realiza una

reorganización del conocimiento, a través de reflexión sobre los desarrollos presentados en

los Manuales escolares que desarrollaban los planes históricos, realizando una transposición

didáctica de carácter global en este apartado geométrico y nivel curricular.

EL CASO DE POLÍGONOS EQUIVALENTES

En este particular los documentos que se seleccionan, trascriben y sobre los que se

reflexionan son varios, aunque de pequeñas proporciones cada uno. Así seguiremos el Plan de

1.934: Baratech Montes, B. (2º Bachillerato), Plan 1.938: Pérez Carranaza, E. (2º

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


17

Bachillerato) Plan 1.938: Rodríguez San Juan, A (3º Bachillerato) Plan 1.953: Rodríguez San

Juan, A (3º Bachillerato) Plan 1.938: Ruiz Bermúdez, F. (3º Bachillerato) (Anexo III)

Si nos planteamos derle respuesta a las cuestiones antes planteadas, tendremos:

a) El proceso llevado por el autor se entiende perfectamente, trata de demostrar que dado

cualquier polígono siempre hay un triángulo y un cuadrado equivalente a él.

b) Está al alcance de 3º y 4º de E.S.O.

c) Sí. Al demostrar que todo polígono tiene un triángulo y un cuadrado equivalente, una

vez que se ha definido la unidad de volumen y pueden los alumnos manipulativamente

calcular el volumen de un prisma cuadrangular, pueden comprender la razón por la

que el volumen de cualquier prisma es Vprisma=Abase·h. Así mismo, se demuestra que

el volumen de una pirámide triangular es la tercera parte del volumen de un prisma

triangular de igual base y altura; entonces, por la misma razón anterior, el volumen de

cualquier pirámide será Vpirámide=1/3(Abase·h).

d) La novedad didáctica consiste en no aprender de forma memorística, sino razonar, de

alguna manera las fórmulas. Se puede utilizar perfectamente en 3º de E.S.O.

e) La pega fundamental que encuentro es el tiempo que hay que emplear, pero no es algo

que me importe demasiado, siempre se puede dedicar menos en otros puntos del

programa que se vuelven a ver en cursos posteriores.

f) Creo que la ventaja fundamental ya la he expresado en el punto c) los alumnos

entenderán que las fórmulas no son caprichosas y salen por arte de magia.

Es por tanto posible plantear una concreción de las nociones y relaciones entre las mismas,

referidas a la particularización implementada que del currículo correspondiente se realiza. Los

Polígonos equivalentes lo utilizo en tercero de la E.S.O. después de haber trabajado con la

semejanza de figuras; trabajando con la relación que hay entre las razones de semejanza de

longitudes, áreas y volúmenes.

También para el cálculo de volúmenes tema en el que suelo empezar con lo que también te

mando y haciendo notar que el volumen de cualquier prisma o pirámide tiene la misma

fórmula por la equivalencia de polígonos.

En los libros de texto, el cálculo de áreas y volúmenes se suele enfocar de modo totalmente

memorístico, hay alguna referencia al área de un rectángulo para calcular el de un

paralelogramo y de un rombo.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

18

Este mapa representa el detalle del recorrido implementado sobre el conocimiento matemático

escolar. Así, se indican con negrita y cursiva, respectivamente, tanto las nociones recuperadas

e incluidas en el planning, como las nuevas relaciones que las conecta con el resto los

apartados conceptuales que usualmente se desarrollan en el currículo actual de 4º de E.S.O. ,

que aparecen escritas normalmente.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


19

Esta es una alternativa integradora y más interesante que el tratamiento usual del Área del

paralelogramo y del rombo que se suele hacer en los manuales actuales, como pasamos

ajemplificar

h h

b b

En las figuras al margen, un paralelogramo de base b y altura h se ha transformado en un

rectángulo de idénticas dimensiona. Por tanto, ambas figuras tiene la misma área.

El área de un paralelogramo de base b y altura h se obtiene mediante la siguiente

fórmula: Aparalelogramo = b·h (Matemáticas 3º Secundaria. Oxford EDUCACIÓN)

Este tipo de relación entre áreas de algunos polígonos, es lo que podemos encontrar en los

libros de texto. El trabajo con los alumnos de la parte que corresponde a los polígonos

equivalentes es realmente útil, pues no tienen que recordar muchos conceptos anteriores, son

capaces de construir polígonos, de menor número de lados, equivalentes a uno que se les de;

pueden entender una aproximación del área del círculo y fundamentalmente, les sirve para

entender, en el cálculo de volúmenes, la razón por la que en todos los prismas y el cilindro se

utiliza la misma fórmula, V = Abase · h. Análogamente se realiza que entre las pirámides y el

cono, obteniendo V =1/3 ·( Abase · h)

EL CASO DE LOS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS DE SEGUNDO GRADO

En este caso particular, solamente seguiremos el Plan de 1.938, mediante el desarrollo que

realiza Pérez Carranza, E. (4º Bachillerto) (Anexo II)

El proceso llevado por el autor se entiende y pensamos que está al alcance de los alumnos 3º y

4º de la E.S.O., preferiblemente su utilización sería en 4º

a) Es útil ver que un problema algebraico como es la resolución de la ecuación de

segundo grado, en particular la relación entre los coeficientes de la ecuación y las

soluciones de la misma, tiene una resolución geométrica.

b) Tendría que decir lo mismo que en el apartado anterior.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

20

c) La principal dificultad que encuentro es que las construcciones con regla y compás es

posible que, si no las han visto ya en plástica, resulten demasiado lentas; en caso

contrario no encuentro ninguna dificultad.

d) Que vean que en Matemáticas no hay departamentos estanco, sino que hay conceptos

que se pueden estudiar desde distintos puntos de vista.

La justificación que es que tratar Problemas geométricos de segundo grado, permite relacionar

las construcciones geométricas que ven en otras asignaturas con conceptos que estudian en

matemáticas como la ecuación de segundo grado.

Este punto, en algunos casos lo he trabajado de forma conjunta con los profesores de Plástica.

Las reacciones de los alumnos la mayoría de las veces son de sorpresa al percatarse de que un

mismo problema puede resolverse de forma geométrica y también de forma algebraica.

Así, se indican con negrita y cursiva, respectivamente, tanto las nociones recuperadas e

incluidas en el planning, como las nuevas relaciones que las conecta con el resto los apartados

conceptuales que usualmente se desarrollan en el currículo actual de 4º de E.S.O. , que

aparecen escritas normalmente.

En los tres casos antes presentados se pude recuperar, de la indagación histórica en los textos

escolares, ciertas técnicas, nociones, o construcciones, que cobran un espacio y dan un cierto

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


21

sentido en la visión global y detallada que del campo geométrico posee el profesor, cuestión

imprescindible para su planificación como profesional. Con ello se ha intentado dar

concreción a las máximas que nos solicitan para el aula de matemáticas desde la manipulación

del conocimiento, ir de lo concreto y particular hacia la solución general y abstracta o una

mostración antes que muchas demostraciones formales y sin más razón que su presencia en el

libro texto escolar (IBAÑES y ORTEGA DEL RINCÓN, 2.002).

Ahora pasamos a comentar brevemente y no incluimos los textos originales trascritos en

alguno de los anexos, porque pese a reconocer su belleza, interés y hasta gusto personal por

ciertas cuestiones, no se le ha encontrado un lugar significativo en el currículo de la E.S.O. en

la actualidad. Pese a lo cual, no nos resistimos a no incluirlo como de interés, más que nada

en la línea de solicitar una evolución de los marcos legales de referencia hacia otros que den

cabida a cuestiones como las que ahora presentamos: una primera de Cónicas y otra segunda

de Nociones de agrimensura y topografía.

El CASO DE LAS CÓNICAS (1º y 4º de Bachillerato, Plan de 1.934)

Es en el primer curso del Bachillerato, con alumnos de 9 y 10 años de edad, donde el Texto de

B. Baratech Montes, nos ilustra el Plan de 1934, y permite acercarnos en su capítulo

“Aplicación de dos Lugares Geométricos” (BARATECH, 1934:51) a la construcción de

ciertas cónicas.

Para ello, nos plantea en primer lugar la Construir una circunferencia de radio r, que pase

por el punto A y sea tangente a la recta BC. (Problema ilustrado según la figura adjunta)

M N

A r

B C

r

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

22

La cuestión la resuelve mediante la aplicación directa de la definición de circunferencia y del

concepto de recta tangente a una circunferencia, ”el centro de esa circunferencia se encuentra

a distancia r del punto A, y por consiguiente en la circunferencia de centro A y radio r que la

trazamos. Por ser la circunferencia pedida tangente a la recta BC, y, en una de las dos

paralelas a BC, trazadas a distancia r. Luego cualquiera de los puntos M y N, intersección de

la circunferencia de centro A con la paralela DE a BC, podrá servir de centro de la

circunferencia buscada.” Su resolución de forma constructiva tiene una gran potencia por la

simplicidad y la potencia del procedimiento.

Actualmente, la definición de circunferencia se da en primaria, y sus propiedades se estudian

tanto en el primero como en el segundo ciclo de secundaria; la construcción de una

circunferencia en la que se fija el centro, el radio y una recta tangente a ella es un ejercicio

práctico que perfectamente se puede realizar en 3ª de E.S.O. Su interés reside en que su

tratamiento afianza el concepto de posición relativa de una recta con respecto a una

circunferencia, cuestión que el los Textos usuales de Matemáticas 3º Secundaria se limita a

una situación esquemática con las posiciones estándar (interior, exterior y tangente) y sin

aportar ningún procedimiento constructivo.

Continuando con el mismo Plan del año 1934, y teniendo la oportunidad de consultar al

mismo autor, encontramos en el Texto dedicado al Cuarto Curso, que retoma la cuestión

anterior. En su capítulo “Curvas Usuales. La elipse, la parábola y la hipérbola”

(BARATECH, 1936: 132-162) donde nos presenta las diferentes cuestiones que son

pertinentes desde la perspectiva constructiva de la Geometría elemental. De forma similar al

siguiente, por estarnos refiriendo a elementos y nociones de la geometría que no tienen gran

cabida en el currículo actual aunque no deja de ser de nuestro interés. En consecuencia,

haremos un somero repaso de la cuestión relativa a la Elipse, como muestra de

representaciones potentes como ya hemos comentado.

El estudio de las cónicas en el currículo actual, exceptuando la circunferencia, se ve en el

segundo ciclo de secundaria, pero es totalmente analítico, la parábola se estudia como la

representación gráfica de una función polinómica de segundo grado; la hipérbola como la

representación gráfica de la función de proporcionalidad inversa; para el estudio de la

circunferencia, se define como lugar geométrico y se deduce su ecuación, al igual que para la

hipérbola (4º E.S.O.)

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


23

En suma, mantenemos que este enfoque gráfico, en el que se construyen cónicas mediante

diferentes métodos, ayuda a comprender la definición de éstas, siendo procedimientos de bajo

rango y gran potencia. También es cierto que no nos podemos detener en la reflexión

exhaustiva de todos los métodos por varias razones, que pasan porque hay muchos alumnos a

los que la excesiva información les hace perder el interés o porque el tiempo es limitado y el

programa de este curso, a nuestro parecer, es bastante largo. En suma, tiene un interés relativo

esta incursión en la construcción con regla y compás de las cónicas, desde la perspectiva de

caracterizar diversos lugares geométricos.

El Libro Manual para el Curso Cuarto de B. Baratech Montes, nos ilustra el Plan de 1934 en

lo relativo a la elipse (BARATECH, 1936:132 y siguientes) que pasamos a compartir.

Seleccionamos en primer término el trazado continuo y definición, que es como nombra el

autor al siguiente procedimiento “Sobre un papel, en tablero, clavemos dos alfileres, a cada

uno de los cuales ataremos uno de los extremos de un hilo flexible, de longitud mayor que la

distancia que separa a los alfileres. Si, con un lápiz de punta muy afilada, ponemos en

tensión el hilo y hacemos resbalar el lápiz sobre el papel trazaremos una curva cerrada,

denominada elipse. Observemos que, en el trazado de la curva, la longitud del hilo

permanece invariable e igual a la suma de las distancias de cualquier punto de la curva a las

puntas de los alfileres.”

. M B

r r’ A A’ F F’ F O F’ B’ Es decir, que cuando consideramos una colección con todos los puntos de la elipse,

constatamos que están respecto de los alfileres a distancias cuya suma es constante; esta

propiedad se utiliza, para dar, de la elipse, la siguiente definición: “La elipse es una curva

cerrada y plana, cada uno de cuyos puntos están, respecto de dos puntos fijos del plano, a

distancias de suma constante. Los puntos fijos reciben el nombre de focos de la elipse y se

representan, comúnmente por F y F’.” (Según se muestra en la 2ª de las figuras anteriores)

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

24

Continua nombrando “al segmento rectilíneo FF’ se denomina distancia focal y se indica por

2 c. A los segmentos FM y F’M que unen un punto M de la elipse con los focos se le llama

radios vectores y a su suma se la representa por 2 a.” Para terminar concluyendo con una

síntesis la propiedad existencial “para que haya elipse, es necesario que se pueda tomar el

triángulo MFF’; o sea, que 2 a > 2 c.” (Según se aprecia en la primera elipse)

El autor prosigue tratando los puntos interiores, exteriores, simetrías, centro, vértice y ejes,

hasta llegar a considerar la excentricidad de la elipse. Posteriormente continúa, con otra

cuestión que no podemos resistirnos y ahora pasamos a presentar: Trazado de la elipse por

puntos. Lo plantea como un problema de representación, donde supone conocida la distancia

focal 2 c y el eje mayor 2 a. esta cuestión la trata con dos procedimientos que pasamos a

presentar.

“PRIMER PROCEDIMIENTO.- Si tomando como centro los focos F y F’, trazamos dos circunferencias de radios r y 2 a – r, los puntos de intersección pertenecerían a la elipse. Examinemos entre qué límites puede variar r para que esos puntos se produzcan. La distancia de los centros de esas circunferencias es 2 c, siempre menor que 2 a: luego para que las circunferencias trazadas tengan algún punto común es necesario y suficiente que esa distancia de los centros 2 c sea igual o mayor que la diferencia de los radios. Pero esta diferencia es 2 a- 2 r , o será 2r – 2a , según que r sea el menor o el mayor de los radios, luego la condición es que se tenga 2 c ≥ 2 a – 2 r y 2 c ≥ 2 r – 2 a equivalente a r ≥ a – c y r ≤ a + c de donde a – c ≤ r ≤ a + c De aquí la siguiente construcción: Construyamos un segmento AA’ = 2 a, que servirá para eje mayor. M B P A A’ A F O F’ A’ F O F’

M’ B’

A partir de su punto medio O, marcamos a uno y otro lados dos puntos F y F’ distantes de O una longitud c, que serán los focos. Tomemos luego un punto P, entre O y F. Los dos pares de circunferencias descritas primero con F y F’ como centros y radios AP y A’P, y luego siendo F’ y F los centros de los radios respectivos AP y A’P, determinarán por sus intersecciones cuatro puntos de la elipse. Para obtener todos los puntos de la curva, es necesario hacer que P ocupe todas las posiciones entre F y O, porque de este modo el radio menor crece desde a – c hasta a, en

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


25

tanto que el mayor decrece de a + c hasta a. Cuando el punto P está en F, dos circunferencias son tangentes en A y las otras dos en A’. Al encontrarse P en O, los radios tomados son iguales y se obtienen los puntos B y B.” El autor salva la formalidad de la cuestión haciendo la advertencia de que “es evidente, que

en la práctica no se pueden hallar los infinitos puntos de la elipse. Determinados los que se

consideren suficientes, luego se unen por una línea continua, bien a pulso o con ayuda de

plantilla”. Inmediatamente pasa a presentar el

“SEGUNDO PROCEDIMIENTO.- Consiste en buscar los puntos de la elipse, situados sobre una recta que pasa por uno de los focos, en cada una de las posiciones que toma al girar sobre dicho foco, un ángulo de dos rectos. R E M F O F’ A’ A M’ E’ R’ Supongamos que F’R sea una posición de la recta dicha. Si M es un punto de la elipse y en la prolongación de F’M tomamos una distancia ME=MF, el segmento F’E será igual a 2 a. Procediendo de manera inversa, hallaremos la intersección M de la recta F’R, con la elipse. Bastará tomar F’E = 2 a, y luego trazar la mediatriz al segmento EF. La intersección de dicha mediatriz con la recta F’R, será el punto M de la curva. Como a partir de F’ se ha podido tomar F’E = F’E’ = 2 a en dos direcciones, dos serán los puntos M y M’ que hallaremos en cada posición de la recta F’R.” Estos procedimientos son inteligibles aunque un tanto ajenos en su terminología y es por tanto

que en algunas ocasiones se podrían emplear algunas construcciones en el 4º curso.

El autor continua con la caracterización de la Circunferencia directriz de una elipse como “la

circunferencia descrita tomando un foco para centro y con un radio igual al eje mayor”,

concluyendo que “la elipse tiene dos circunferencias directrices”. El Manual pasa a presentar

La elipse definida por una de sus circunferencias directrices. Donde implementa lo

anteriormente tratado:

“La circunferencia directriz de foco F’ es el lugar geométrico de los puntos E, considerados en el segundo de los procedimientos descritos para el trazado de la elipse por puntos. En cada diámetro EE’ de esta circunferencia, hay dos puntos M y M’ de la elipse, par los que hemos visto se verifica, que ME = MF y M’E’ = M’F

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

26

Es decir, que los puntos de la elipse equidistan de un foco F’ y de la circunferencia directriz correspondiente al otro. Recíprocamente: dada una posición de la recta RR’, si hubiéramos tomado un punto M tal que equidistara de F y E o sea del foco F y de la circunferencia directriz de F’, por ser MF = ME tendríamos: MF + MF’ = ME + MF’ = EF’ = 2 a lo que prueba que todo punto equidistante de un foco y de la circunferencia directriz correspondiente al otro, pertenece a la elipse. Como consecuencia, teniendo en cuenta que cada foco de la elipse es interior a la circunferencia directriz que tiene por centro el otro foco, diremos: El lugar geométrico de los puntos equidistantes de una circunferencia y de un punto interior a ella, es una elipse que tiene por focos el punto dado y el centro de la circunferencia y el radio de ésta para eje mayor de la elipse. Se puede encontrar utilidad para el desarrollo geométrico en clase, de la construcción gráfica

de las cónicas y no estudiarlas éstas sólo deduciendo su ecuación a partir de la definición

como lugar geométrico. Más que novedad didáctica, pues no lo es, parece muy interesante

que se vea la construcción gráfica de las cónicas, para que sean capaces de relacionar las

Matemáticas y la Plástica. Pero en la realidad cotidiana no es sencillo de solventar las

dificultades que se puede prever es la construcción gráfica, pues los alumnos actuales no

suelen tener demasiada soltura y además carecen de algunas habilidades propias del dibujo

técnico que no tienen adquiridas por ausentes del currículo actualmente en vigor.

Definitivamente mayor ventaja está en ofrecer distintos enfoques de un mismo concepto.

El CASO DE LA APLICACIÓN A LA TOPOGRAFÍA (5º Bachillerato, Plan de 1.938)

Es el encuentro del texto de J. Rey Pastor y P. Puig Adam, el que nos permite acceder a un

conocimiento particular del Plan 1938, tal vez de carácter complementario pero que suscito el

interés y que afrontaba en un capítulo que titula “Breves nociones de agrimensura y

topografía” (Rey Pastor, J y Puig Adam, P., 1943:220 y siguientes), que se desarrollan

afrontando la cuestión de Los planos topográficos y pormenorizando los Problemas diversos

en un plano topográfico.

Sabemos que la Representación de Terrenos, bien en situaciones de campo abierto o ciudad,

nos permite acceder a una pertinente información, para lo cual hay que poseer un cierto

conocimiento de los convenios y significados de los códigos que en ella aparecen. Este texto

de Rey y Puig, comienza con la iniciación y consolidación de la lectura de diversos planos.

Apartados que terminan afirmando “Ya hemos indicado cómo puede leerse fácilmente la

pendiente de una calle o camino en un plano. Recíprocamente, para trazar en él un camino

de cierta pendiente no tenemos más que ver qué recorrido horizontal corresponde al desnivel

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


27

existente entre dos curvas consecutivas, y llevar el segmento que lo represente a la escala del

plano entre cada dos curvas”.

Pasan posteriormente los autores a tratar los instrumentos necesarios para la elaboración de

planos topográficos. Cuestión que se focaliza por contraste con los métodos y aparatos

pertinentes, ya que estos son distintos, según la extensión a representar. Se argumenta así, el

nacimiento y constitución de diversas disciplinas a las que se han dado nombres distintos:

Agrimensura, para la medida de campos pequeños; Topografía, para la representación de

terrenos mayores; Geodesia, para extensiones muy considerables como regiones, países,

continentes.

Afrontan, en último término, lo Rey y Adam denominan Las operaciones fundamentales en

Planimetría. Si nos planteamos que son dos elementos los que definen la posición de un punto

en el sistema de planos acotados: la proyección horizontal y la cota; dos son, en

consecuencia, los problemas fundamentales de la topografía:

• la planimetría resuelve el primero, es decir, determina las proyecciones

horizontales de los puntos del terreno en el dibujo;

• la nivelación resuelve el segundo, o sea, determina las cotas y curvas de nivel.

Los problemas de la Planimetría pueden reducirse por tanto, a las siguientes operaciones

fundamentales en el terreno: trazado de líneas rectas, trazado de perpendiculares, medición de

ángulos y medición de distancias. Es el levantamiento de planos su finalidad. Para lo cual

tiene como requisito saber medir ángulos y distancias horizontales en el terreno, y si

reproducimos los primeros en el papel y reducimos las segundas a una cierta escala, podremos

dibujar una figura semejante a la proyección horizontal buscada, lo que se llama levantar el

plano del terreno. Esto conlleva elegir un conjunto de ángulos y distancias que sean

suficientes para determinar los puntos más notables del terreno. Por tanto, como los propios

autores nos recomiendan “no conviene hacer la elección caprichosamente, sino

metódicamente, para evitar que falten datos”. El texto comentado, pasa a recorrer distintos

métodos que pueden emplearse: El de las Coordenadas, de la Radiación, de Poligonación o

el de Triangulación. Por último, afronta la Nivelación como la otra función necesaria para

trazar planos. Para acabar sintetizando que “Toda la nivelación se reduce a repeticiones de

este problema fundamental: hallar la diferencia de nivel o cota entre dos puntos”. Para

resolverlo los autores afirman que se pueden utilizar dos métodos: el geométrico o por alturas,

y el trigonométrico o por inclinaciones de los ángulos.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

28

Podríamos decir que esta parte tan interesante y curiosa no tiene cabida específica en el

currículo de geometría actual, siendo más una función relegada a las CC. Sociales su uso y

explicación, cuestión que se puede complementar en la elaboración práctica de Planos en las

materias Tecnológicas del currículo. Sin embargo, somos de la opinión que la construcción

del espacio (estructuración, organización, orientación y evolución de los sistemas de

referencia) es una de las nociones que los currículos de Geometría desatienden, aunque

podemos decir que los actualmente en vigor de Ed. Infantil y Primaria en la Comunidad

Andaluza si los diversifica, atendiendo a los Objetos, la Organización del Espacio y la

Representación, de forma específica.

La lástima es esta perdida del sentido global y de sus partes que se ocasiona en los decretos

del currículo de secundaria. Así, a la vez que profundiza y atiende a cada componente del

currículo de Geometría, se avanza y da sentido a los mismos la evolución en construcción del

espacio representado. Es por tanto en esta diversificación donde cabría desarrollar un apartado

curricular como el que acabamos de comentar, hasta con el sentido interesante con que

orientan el proceso los autores, desde el uso de útiles sociales hacia la resolución de los

problemas generados en su consulta, interpretación o elaboración. Por otra parte, su inclusión

curricular ocasionaría el poder recuperar una infinidad de problemas en el entorno cotidiano

del estudiante de secundaria, cuestión que permitiría un aprendizaje contextualizado, inmersos

en proyectos que le den sentido, justificando la necesidad de las herramientas y nociones

matemáticas. En definitiva, afrontar de una forma más creativa la tan mal llevada falta de

implicación y motivación del alumno para su educación matemática escolar.

COMENTARIOS GENERALES A LOS DOCUMENTOS Y CONCLUSIONES

Este Taller, ha pretendido acercar a los interesados en problematizar la reorganización

curricular de la Geometría en la E.S.O., unas fuentes de información de difícil acceso, como

son los desarrollos históricos de diferentes currículos geométricos, que siguiendo distintos

Planes de Estudios aprobados en el siglo XX en España, nos permiten informarnos, tanto de

las distintas variaciones que ha sufrido este campo a lo largo de los distintos Planes y

Reformas, como de ilustración de las diferentes concreciones curriculares, que se pueden

originar. Su lectura reflexiva busca dar respuesta a los problemas curriculares planteados y

permitir, una cierta reorganización del desarrollo curricular de ciertas nociones aquí

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


29

cuestionadas. Para ello se han presentado varios textos sobre tres temáticas: Ángulos y arco

capaz. Problemas geométricos de segundo grado. Polígonos equivalentes.

Los contenidos y el desarrollo de la exposición de estos en los distintos documentos, aunque

desconocida para muchos profesores, por su formación matemática pueden entenderlo

perfectamente; pero para nuestros alumnos de 3º o 4º de E.S.O., sería prácticamente imposible

su comprensión teniendo únicamente el libro de texto como herramienta, aunque solo por el

lenguaje que se utiliza . Sin embargo, con la ayuda de nuestra explicación y haciéndoles

construir a ellos los elementos necesarios, podrían solventarse muchas de estas dificultades,

pues algo inaccesible, se convierte en una cuestión de dibujar, construir y manipular los

elementos geométricos con los que se desarrolla la mostración.

Se constata en la temática Ángulos y arco capaz que para mostrar la igualdad entre los

ángulos que forma una recta que corta a dos paralelas con éstas, sólo se utiliza el giro

alrededor de un punto para hacer coincidir dos triángulos rectángulos, y a partir de ahí va

igualando ángulos. En ciertas ACI´s también podríamos construir y recortar los triángulos con

los alumnos de manera que se vieran los resultados superponiendo los triángulos así

construidos. En el texto de Rey y Adam (1943), se echa en falta la definición, aunque fuera

conocida previamente en otros niveles, de los que denomina “ángulos alternos” y “ángulos

correspondientes”. Este resultado, es el único que se utiliza para relacionar la amplitud de un

ángulo en la circunferencia y la del arco o los arcos que define en ésta.

La parte correspondiente al Arco capaz, sólo es un ejemplo de una situación real que se

resuelve gráficamente utilizando sólo la definición de arco capaz y su construcción o bien

utilizando otras herramientas, como la trigonometría, cuando disponemos de ellas. Este

ejemplo debe llevar a los alumnos a intentar visualizar otras situaciones que se resuelvan

mediante el mismo procedimiento.

Es el aparatado dedicado a los Problemas geométricos de segundo grado en principio

interesante por presentar un enfoque diferente de la ecuación de segundo grado. En esta,

relaciona sus soluciones y coeficientes mediante construcciones geométricas, con los

conocimientos y representaciones que realizan en otra asignatura como es “Educación

Plástica”, pues en 3º de la E.S.O., se tiene parte de dibujo lineal, y es también el curso en el

que se empieza a estudiar la ecuación de segundo grado.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

30

xb

ax=

Para empezar a analizar esta temática, es necesario presentar la cuadratura de un rectángulo,

lo que se hace mediante el teorema del cateto y el teorema de la altura en triángulos

rectángulos. Reflexionando sobre este punto llegamos a darnos cuenta de que, en general,

cuando buscamos un número que sea media proporcional de otros dos,

geométricamente estamos cuadrando un rectángulo, cuyo lado buscamos.

La temática centrada en los Polígonos equivalentes, resulta bastante interesante, ya que

partiendo de la unidad de superficie cuadrada, se trata de mostrar que para cualquier triángulo

se puede encontrar un cuadrado con igual superficie, y para cualquier polígono se puede

encontrar un triángulo con la misma superficie, por lo tanto la unidad de superficie tiene

sentido para cualquier polígono; en el documento anexado, incluso trata de generalizarse al

círculo por aproximación. Las mostraciones mediante la geometría constructiva son sencillas,

para un profesor, y también son comprensibles para los alumnos, es cuestión de ayudarles a

construir y ver las relaciones entre las figuras que van construyendo.

Esta equivalencia entre polígonos, nos lleva a su vez a intentar razonar con los alumnos cual

es el volumen de algunos cuerpos (prismas, cilindros, pirámides y conos), utilizando la unidad

de volumen, que pueden construir, y relacionando la forma de la base con un cuadrado

equivalente a ella.

Los otros dos documentos presentados, Cónicas y Nociones de agrimensura y topografía sólo

nos mostraron una forma de estudiar y construir elementos matemáticos diferentes a las

actuales, lo que les hace ser fuentes documentales interesantes pero que no tienen utilidad

directa en el sistema actual.

Para terminar esta síntesis, recordar las palabras de una asesora curricular en matemáticas,

cuando reclama que “en la Enseñanza Secundaria Obligatoria es necesario, por una parte,

que el alumnado reciba enseñanzas orientadas en el sentido de la Geometría sintética, de

coordenadas y de transformaciones. Es también necesario, por otra parte, que estas

enseñanzas ocurran en contextos útiles y funcionales en la vida cotidiana de los ciudadanos,

de manera que generen aprendizajes significativos” (Rodríguez, 2005:51). Ya que, aunque es

cierto que la E.S.O. como su nombre indica es enseñanza obligatoria, y que 4º tiene carácter

terminal, pero no es menos cierto que muchos de los alumnos que cursan 4º tienen pensado

continuar en Bachillerato y necesitan unas herramientas básicas para cursar el Bachillerato de

forma satisfactoria, cuestión de la que no podemos olvidarnos.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


31

En conclusión decir que concluimos que lo que en apariencia es distinto, más por las

presentaciones y las formas que cobran en los Manuales, que por los fondos y organizaciones

a las que atiendan. Apreciamos que didácticamente los textos, siguen en un modelo

tradicional o tecnológico, que no cuestiona la docencia de forma deductiva en todos los

niveles educativos, contraviniendo las conclusiones de las investigaciones cognitivas, sobre la

forma analógica-inductiva-deductiva-analógica que pueden representar mejor la elaboración

del conocimiento matemático escolar.

Por último, sugerir el estudio de los Libros de Textos antiguos, concreciones curriculares

diferenciadas del campo de referencia, como el origen de la recuperación de la enseñanza de

la Geometría en el Aula de Matemáticas, sobre todo en los casos en que el obstáculo sea el

desconocimiento del campo por el profesional. Consideramos a dicha indagación histórica

como un camino de gran interés en el desarrollo del conocimiento profesional del profesor de

matemáticas, siendo la problemática sobre ¿Cómo organizar la concreción curricular? el

Ámbito de Investigación Profesional (PORLÁN, 1999) que origina el cuestionamiento de su

saber curricular que como docentes requieren, y en el proceso de información consecuente,

descubrir esta “nueva fuente de información”, útil para su formación como para resolver

problemas prácticos, de carácter profesional, que se suscitan afrontando la recuperación de

una geometría formativa en las aulas de educación matemática en su etapa obligatoria.

BIBLIOGRAFÍA UTILIZADA AZCÁRATE, P. y CARDEÑOSO, JM. (1994) La naturaleza de la Matemática escolar:

problema fundamental de la didáctica de la Matemática. Investigación en la escuela y

ASTER: recherches en didactique des sciences expérimentales. 24, 79-88.

AZCÁRATE, P.; SERRADÓ, A.; CARDEÑOSO, J.M. (2004). Las Fuentes de Información

como recurso para la planificación. En Castro, E.; de la Torre, E. (Eds.): Investigación en

Educación Matemática. Coruña, Serv. de Publicaciones Universidad de A Coruña.

B.O.E. (18/4/1975). Cuestionarios oficiales del plan de estudios de 1.970, B.U.P.

B.O.E. (2/7/1957). Cuestionarios oficiales del plan de estudios de1.957

B.O.E. (30//1967). Cuestionarios oficiales del plan de estudios de1.967

B.O.E. (4/12/1982). Cuestionarios oficiales del plan de estudios de1.970. Ciclo Superior de

E.G.B.

B.O.E. (6/2/1954). Cuestionarios oficiales del plan de estudios de 1.953

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

32

B.O.E. (9/5/1939). Cuestionarios oficiales del plan de estudios de1938

B.O.J.A. (20/6/1992). Diseño Curricular Base de Educación Secundaria del plan de estudios

de 1992. Decreto 106/1992 de 9 de junio.

BISHOP, A. J. (1988) Mathematical Enculturation. Dordrecht: Kluwer. Traducción

castellana: Enculturación Matemática. Barcelona: Paidós, 1991.

BRIHUEGA NIETO, J.; PÉREZ SANZ, A. y SALVADOR ALCAIDE, A. (1.992).

Materiales Didácticos. Matemáticas I Bachillerato. Madrid: M.E.C.

CARDEÑOSO, J. M. (en prensa): La evaluación como elemento de instrucción y sus

peculiaridades en el área de Matemáticas. En J. M. Chamoso (ed.), Enfoques actuales en

la Didáctica de las Matemáticas. Madrid: MEC, Colección Aulas de Verano.

CARR, W. y KEMMIS, S. (1988) Teoría crítica de la enseñanza. La investigación acción en

la formación del profesorado. Barcelona: Martínez Roca.

CUESTA, J. (2003). La formación del profesorado novel de Secundaria de Ciencias y

Matemáticas. Estudio de un caso. Inédita. Universidad de Cádiz.

GACETA DE MADRID (21/10/1934). Cuestionarios oficiales del plan de estudios de 1.934

GASCÓN, J. (2003). Efectos del autismo temático sobre el estudio de la Geometría en

Secundaria. I. Desaparición escolar de la razón de ser de la Geometría. Suma 44, 25-34.

GIMENO, J. (1988). El currículum: una reflexión sobre la práctica. Madrid: Morata.

GORGORIÓ, N y BISHOP, A. (1998). La Geometría en el Currículum 12-16. Biaix, 12,

Mayo 98.

GRUPO INVESTIGACIÓN EN LA ESCUELA (1991). Proyecto Curricular IRES (Doc. I, II,

III, IV). Sevilla: Diada.

IBAÑES JALÓN, M. y ORTEGA DEL RINCÓN, T. (2.002). La demostración en el

currículo: una perspectiva histórica, SUMA 39, 26-32

MARTÍN CASALDERREY F. y FUENTES GIL, I (Eds.) (2005). Textos de Miguel de

Guzmán SUMA. Monografía 02, Febrero, 2.005.

MONTESINOS SIRERA, J. L. (2000) Historia de las matemáticas en la enseñanza

secundaria. Madrid: Ed. Síntesis.

PORLÁN, R. (1999). Formulación de los contenidos escolares. Cuadernos de Pedagogía 276,

65-70.

PORLÁN, R. y RIVERO, A. (1998). El conocimiento de los profesores. Sevilla, Diada Ed.

RODRÍGUEZ CHAMIZO, A (2005). El diseño de intervención en geometría enlos

profesores noveles de matemáticas en la ESO D.E.A. inédito, Universidad de Sevilla

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


33

SANTALÓ, L. A. (1.985). La Enseñanza de la Geometría en el Ciclo Secundario (Alumnos

de 12 a 16 años de edad) La Enseñanza de la Matemática a debate. Madrid: M.E.C.

(Subdirección General de Perfeccionamiento de Profesorado)

SERRADÓ, A., CARDEÑOSO, J. M. y AZCÁRATE, P. (2004): Los mapas conceptuales y

el desarrollo profesional del docente. Actas I Congreso Internacional sobre mapas

conceptuales. Pamplona: Universidad de Navarra.

WATTERS, J. y GINNS, I. (2000). Developing motivation to teach elementary science: effect

of collaborative and authentic learning practices in preservice education. Journal of

Science Teacher Education 11(4), 301-321.

MANUALES DE TEXTO SEGÚN PLANES Y CURSOS

BARATECH MONTES, B., (1934). Nociones de geometría (1º Bachillerato,Plan de 1.934)

Huesca: Ed. V. Campo y Cª

BARATECH MONTES, B., (1934). Matemáticas. (2º Bachillerato, Plan 1934) Huesca: Ed.

V. Campo y Cª

JIMÉNEZ SOTO, F. (1936). Matemáticas (2º B Bachillerato, Plan 1.934) segunda edición.

Murcia

BARATECH MONTES, B., (1936). Matemáticas. (4º Bachillerato, Plan 1934) Huesca: Ed.

V. Campo y Cª

CENZANO, J. (Ex Libris 1.941). Matemáticas (6º Bachillerato, Plan 1.934) Madrid: Ed.

Textos ELP

CENZANO, J. (1938). Matemáticas (2º Bachillerato, Plan 1.938) Madrid: Ed. Textos ELP

PÉREZ CARRANZA, E. (1.944). Elementos de Matemáticas Segundo Curso (2º Bachillerato,

Plan 1.938) Madrid: Ed. Summa

RUIZ BERMÚDEZ, F. (1.945). Elementos de Matemáticas (3º Bachillerato, Plan 1.938)

Barcelona: Alma Mater

RODRÍGUEZ SAN JUAN, A. (1950) Matemáticas (3º Bachillerato, Plan 1.938) Madrid:

Selecciones Gráficas

PÉREZ CARRANZA, E. (1.946). Elementos de Matemáticas Cuarto Curso (4º Bachillerato,

Plan 1.938). Madrid: Ed. Summa

REY PASTOR, J y PUIG ADAM, P. (1943). Matemáticas 5º Curso (5º Curso de

Bachillerato, Plan 1.938) Tercera edición, Madrid 1.943

RODRÍGUEZ SAN JUAN, A. (1.954). Matemáticas (3º Bachillerato, Plan 1.953) Madrid:

Selecciones Gráficas

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

34

ANEXO I: ÁNGULOS Y ARCO CAPAZ

Plan 1.934 Jiménez Soto, F. (2º Bachillerato)

DEMOSTRACIONES DE LA IGUALDAD DE ANGULOS QUE SE FORMAN CUANDO DOS PARALELAS SON CORTADAS POR OTRA RECTA (Pág.18 de geometría y siguientes)

Si dos rectas paralelas se cortan por una secante, los ángulos alternos son iguales; los correspondientes son iguales; y los internos de un mismo lado son suplementarios.

M A K P B O C Q L D

1° Sean las paralelas AB y CD que forman con la secante MN los ángulos alternos APQ y PQD. Trazando por O, punto medio de PQ la perpendicular a AB, también lo será a QD. Hagamos girar la figura OQL alrededor de O hasta que Q coincida con P; el ángulo QOL coincidirá con su opuesto, luego OL caerá sobre OK y QL perpendicular a OL caerá sobre PK, perpendicular a OK, luego los ángulos APQ y PQD coinciden.

2° APQ = MPB por ser opuestos, y APQ = PQD por alternos, luego MPB = PQD. Los ángulos correspondientes son iguales.

3° El suplemento de BPQ es APQ por ser adyacentes, y como APQ = PQD por alternos, PQD es suplementario de BPQ.”

MEDIDA DE LOS ANGULOS DEL CÍRCULO B E A O D C

“Ángulo inscrito es el formado por dos cuerdas, con vértice en la circunferencia. Su medida es la mitad del arco que abraza.

1° Sea el ángulo inscrito ABC formado por la cuerda AB y el diámetro BC. Trácese el diámetro DE paralelo a la cuerda. El ángulo ABC es igual, por correspondiente, al DOC, y este a BOE por opuesto. DC = BE porque corresponden a ángulos iguales; BE = AD por estar comprendidos entre paralelas, luego DC = AD. DOC tiene por medida DC = ½ AC, y como ABC = DOC, ABC tendrá por medida la mitad del arco AC, según queríamos demostrar.”

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


35

A

“En el caso de que uno de los lados del ángulo no sea un diámetro, el problema se reduce a realizar el proceso anterior y sumar los resultados. B A C D

C

D

O

B

E

O C D A E B

Estos dos ejemplos son ilustrativos de cómo un mismo concepto puede explicarse en distintos cursos, adaptándose a los conocimientos y herramientas de las que disponemos en cada uno de ellos.

Ángulo interior es el que tiene su vértice dentro del circulo, como AOB. La medida de un ángulo interior es igual a la mitad de la suma de los arcos comprendidos dentro de dicho ángulo y del opuesto.

Trazando DE paralela a OA vemos que CD = AE (por ser arcos comprendidos entre cuerdas paralelas).

AOB = EDB = ½ EB = ½ (AB + AE) Luego: AOB = ½ (AB +CD), según queríamos demostrar.

El ángulo ABC es igual a la suma de ABD + DBC, por el resultado anterior tenemos que ABD = ½ AD y DBC = ½ DC luego sumando los ángulos y sus arcos correspondientes tenemos que : ABC = ABD + DBC = ½ AD + ½ DC = ½ (AD + DC) = ½ AC Luego ABC tendrá por medida la mitad del arco AC, según queríamos demostrar.

Ángulo exterior es el que tiene su vértice fuera del círculo y sus lados tocan o cortan al circulo, como AOB

La medida de un ángulo exterior es igual a la mitad de la diferencia entre los arcos que comprende.

AOB = ½ (AB – DC)

Trazando DE paralela a OA, CD = AE, por ser arcos entre cuerdas paralelas

AOB = EDB por correspondientes, luego:

EDB = ½ EB = ½ (AB – AE) = ½ (AB – CD)

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

36

Plan 1.938 Cenzano, J. (2º Bachillerato.)

ARCO CAPAZ DE UN ÁNGULO “Se llama arco capaz de un ángulo construido sobre un segmento dado, al arco que

contiene por cuerda dicho segmento y es tal que todos sus ángulos inscritos en él son iguales a ángulo dado. Construcción del arco capaz.

P O A α B T

Una aplicación interesante del arco capaz se encuentra en el llamado problema de Potenot o de la carta.

Desde un navío se observan tres puntos notables de la costa. A, B, y C se miden los ángulos AXB y BXC que forman entre sí las tres visuales. Con estos dos sencillos datos se puede fijar en la posición X del navío. En efecto, X esta en el arco capaz del primer ángulo construido sobre el segmento AB del plano y en el arco capaz del segundo construido sobre BC, la intersección de los dos arcos dará la situación X buscada.

Este ejemplo es muy usado en topografía marina.”

Plan 1.934 Cenzano, J. (6º Bachillerato.)

PROBLEMA DE LA CARTA (pag. 231 y siguientes)

“ Dados tres puntos A, B y C e un plano, determinar la posición de un cuarto punto D, interior al ángulo convexo ABC, desde el cual se ven las distancias AB y BC bajo ángulos conocidos α y β.

Solución: Geométricamente, la solución de este problema se reduce a describir sobre AB y BC como cuerdas los arcos capaces de los ángulos α y β, los cuales se cortan en 2 puntos B y D; este último D es la solución del problema.

Sobre una semirrecta cualquiera se construye el

segmento AB = a y con vértice en A el ángulo TAB

=α trazando la mediatriz de AB y luego OA

perpendicular a TA en A, OA corta a OE en un

punto O que es el centro del arco capaz.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


37

Resolución trigonométrica Resolución gráfica

Para la resolución trigonométrica se tiene:

Datos: AB = a BC = b ángulo ADB = α ángulo ABC = λ

Incógnitas: ángulo BAD = x ángulo BCD = y

Los triángulos ABD y BDC dan: ysen

BDsen

bxsen

BDsen

a==

βα

Dividiendo miembro a miembro obtenemos: ysenxsen

senasenb

xsenysen

senbsena

=⋅⋅

⇒=⋅⋅

βα

αβ

Por otra parte en el cuadrilátero ABCD se verifica x + y = 360º- (α + β + λ) de donde resulta es siguiente sistema

⋅⋅

=

++−=+

βα

λβα

senasenb

ysenxsenyx )(º360

Resolviendo dicho sistema obtenemos x e y. Conocidos x e y se pueden calcular AD, AB y CD resolviendo los triángulos ABD y BDC.

El problema es indeterminado si x + y = 180º, pues entonces el cuadrilátero ABCD sería inscriptible, los arcos ADB y BDC coincidirían y cualquier punto del arco ADC sería solución del problema.

El problema de la carta, conocido también con los nombres de “Problema de Pothenot” o de “Snellius”, tiene mucha aplicación en el dibujo de planos y en navegación, cuando se quiera hallar la situación de una nave vista desde tres puntos conocidos de la costa.”

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

38

x

m

n

h

b

a

ANEXO II: PROBLEMAS GEOMÉTRICOS DE SEGUNDO GRADO

Plan 1.938 Pérez Carranza, E.(4º Bachillerato)

PROBLEMAS GEOMÉTRICOS DE SEGUNDO GRADO

“NOTA: Estas construcciones se basan en conceptos que se han tratado anteriormente en el libro de texto, en lo que denomina el autor “Cuadratura del rectángulo” y el “la potencia de un punto respecto de una circunferencia”. Estos dos conceptos los expondré antes de entrar el los problemas geométricos de segundo grado.

Cuadratura del rectángulo

Dado un rectángulo cuya superficie es a · b, se trata de encontrar el lado de un cuadrado cuya superficie sea igual a la del rectángulo.

Analíticamente, es muy sencillo:

A = a · b = x2 . Luego bax ⋅=

Gráficamente tiene dos demostraciones en este texto, lo que no implica el hecho de que puedan existir más. En el texto, las demostraciones son sólo gráficas, pero se ha añadido la demostración analítica utilizando el teorema de Pitágoras.

Sobre el lado a, con centro en uno de sus vértices, se lleva la longitud del lado b, desde ese punto se traza la perpendicular al lado a hasta cortar con la circunferencia de diámetro a, unimos dicho punto de corte con el vértice del rectángulo; la longitud del segmento así obtenido es la del lado del cuadrado que estamos buscando.

( )

( )( ) baxbbbaxbbbax

bbahbhx

bbabaabaahbaah

bhxynmhPitágorasdeteoremaelPorbanam

··

222222

22

2222222

222

222

2

222222

=⇒+−=⇒+⋅−=⇒

⋅−=

+=

⋅−=

−−⋅

−+=⇒

−−

=

+=−=−==

a x

b

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


39

Sobre la prolongación del lado a, con centro en uno de sus vértices, se lleva la longitud del lado b, se traza una circunferencia que tiene por diámetro a+b, se prolonga el vértice del rectángulo hasta cortar a la circunferencia, la longitud del segmento formado de esta forma, es el lado del cuadrado buscado.

baxbabababax

babaxmhxPitágorasdeteoremaelPor

babbabbambahbarbad

·2222

22

222

222

22

222222

=⇒

−

−+

⋅

−

++

=⇒

⇒

−

−

+

=⇒−=

−=

−+=−

+=

+=⇒

+=+=

Relación entre secantes de una circunferencia Si por un punto del plano de la circunferencia trazamos diferentes secantes a ella, el producto de

los segmentos determinados por dicho punto y los dos de intersección de cada secante con la circunferencia es constante.

A M E D M C A F C B B

D

M puede ser interior o exterior a la circunferencia

Considerados AMB, CMD, EMF,..., secantes a la circunferencia. Trabajamos con AB y CD, y consideramos las cuerdas AD y BC.

Se forman dos triángulos AMD y CMB, que son triángulos semejantes pues M = M por ser ángulos opuestos por el vértice, y D = B por se ángulos inscritos que interceptan el mismo arco. Los

lados homólogos son proporcionales. MDMCMBMAMBMD

MCMA

⋅=⋅⇒=

m

h

a

b

x

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

40

Si M pertenece a la circunferencia, entonces MA · MB = 0.

Relación entre secantes y tangentes de una circunferencia

El segmento de tangente trazada a una circunferencia desde un punto exterior, es media proporcional entre los dos segmentos determinados por dicho punto y una secante que pase por él.

Los triángulos MAT y MTB son semejantes, pues el ángulo M es igual en los dos triángulos y los ángulo T y B son iguales por corresponderles el mismo arco AT. Luego:

M

A

T 2MTMBMAMBMT

MTMA

TBAT

=×⇒==

B

Construir dos segmentos conocida la suma y el producto 1.- s

m m < s/2 AB = s con AC = BD = m

C D

A B

X X’ .

Circunferencia de diámetro s. AX + XB = s AX · AX’ = AC2 = m2

AX’ = XB por ser simétricos respecto del diámetro. Luego: AX + XB = s y AX · XB = m2

Los segmentos buscados son AX y XB 2.- s

C D

m m = s/2

AX = XB = s/2

AX + XB = s AX · XB = m2

A X = X’ B

Los segmentos buscados son AX y XB

C

D

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


41

3.- s C D

m m > s/2

Se ve gráficamente que no puede existir solución.

A B

NOTA: Dada la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, cuyas soluciones son x1 y x2, la relación entre las soluciones de la ecuación y sus coeficientes sabemos que es:

Tomando: a = 1

s ≡ suma de las longitudes de los segmentos

m ≡ producto de las longitudes de los segmentos

Intentamos resolver la ecuación: x2 – sx + m2 = 0

Como se trata de longitudes, serán sólo valores positivos los de las soluciones de la ecuación de segundo grado.

2

4)(0

2222

221

21 mssxslucionesmsxx

mxxsxx −−±

==+−→

=⋅

=+

- La ecuación tiene dos soluciones:

( ) ( ) msmsmsms >⇒>⇒>−⇒>−−2

2404 2222

Primer caso en el que se construyen dos segmentos de diferentes longitudes. - La ecuación tiene solución única:

( ) ( ) msmsmsms =⇒=⇒=−⇒=−−2

2404 2222

Segundo caso en el que se construyen dos segmentos de igual longitud.

- La ecuación no tiene soluciones reales:

( ) ( ) msmsmsms <⇒<⇒<−⇒<−−2

2404 2222

Tercer caso en el que no se pueden construir los segmentos.

Construir dos segmentos conocida la diferencia y el producto

C

X’

X A B

=

−=+

acxx

abxx

21

21

·

Si se conocen la diferencia d y el producto m2 se pueden determinar estos segmentos mediante la siguiente sencilla construcción.

En el extremo B del segmento AB = m, se traza el segmento BC perpendicular a AB tal que BC = d. Se construye una circunferencia de diámetro BC y se corta con la recta AO, esta recta corta a la circunferencia en los puntos X y X’ y se tiene:

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

42

Estas construcciones están relacionadas con las soluciones de una ecuación de segundo grado.

Consideremos la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, donde consideramos: a = 1

s ≡ suma de las longitudes de los segmentos .

d ≡ diferencia de las longitudes de los segmentos.

m ≡ producto de las longitudes de los segmentos.

Interpretamos las soluciones de las siguientes ecuaciones:

x2 – sx + m2 = 0 x2 + sx + m2 = 0

x2 – dx + m2 = 0 x2 + dx + m2 = 0

1.- x2 – sx + m2 = 0

sx – x2 = m2 ⇒ x·(s – x) = m2 ⇒ x + (s – x) = s y x·(s – x) = m2

Las longitudes de los segmentos x y s – x ,son las raíces buscadas.

2.- x2 + sx + m2 = 0

- sx – x2 = m2 ⇒ -x·(s + x) = m2 supongamos - x = y ⇒ y·(s – y) = m2

Las longitudes de los segmentos y y s – y ,son los opuestos de las raíces buscadas.

3.- x2 – dx – m2 = 0

x2 – dx = m2 ⇒ x·(x - d) = m2 ⇒ x - (x – d) = d y x·(x – d) = m2

La solución se reduce a construir los segmentos de longitudes x y x – d, conocidos su diferencia y su producto.

4.- x2 + dx + m2 = 0

x2 + dx = m2 ⇒ x·(x + d) = m2 ⇒ (x + d) – x = d y x·(x + d) = m2

La resolución exige construir los segmentos de longitudes x + d y x conocida su diferencia y su producto, siendo x el menor y la otra solución – (x + d).

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


43

ANEXO III: POLÍGONOS EQUIVALENTES

Plan 1.934 Baratech Montes, B. (2º Bachillerato) CÁLCULO DEL ÁREA DE UN TRIÁNGULO Y TRIÁNGULOS EQUIVALENTES. (Pag. 9 y siguientes).

Área del triángulo

“El paralelogramo ABCD es doble que el triángulo ABC y tiene la misma base BC, e igual altura AE; luego el área del paralelogramo será doble que la del triángulo.

D C A B E

De aquí la siguiente regla: El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de los números que expresan las medidas de su base y su altura”.

.......................

“Es interesante ver como puede ser cortado un triángulo en trozos que, reunidos, forman un rectángulo equivalente de igual base y con mitad altura que el triángulo.

A este efecto, recortaremos un triángulo ABC, en el que trazaremos la altura AH A A M D N B H C B H C

Hagamos luego que A caiga sobre H, marcando el pliegue MN, por donde damos un corte, al igual que por AD, con lo que separamos los triángulos ADN y ADM, que colocamos como se indica en la figura, obteniendo, así el objeto deseado.

Triángulos equivalentes

Como consecuencia de la regla dada anteriormente, serán equivalentes dos triángulos que tengan iguales las bases y las alturas correspondientes también iguales.

D C E

A B

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

44

En particular, serán equivalentes todos los triángulos como el ABC, ABD, ABE, teniendo el lado común AB, si los vértices que se ponen están situados en una paralela a dicho lado.

Son, en efecto, triángulos que tienen la misma base y alturas iguales, porque los puntos C, D, E, ... de una recta DE equidistan de la AB paralela a ella.”

Plan 1.938 Pérez Carranza, E.(2º Bachillerato)

TRANSFORMACIÓN DE UN TRIÁNGULO EN OTRO EQUIVALENTE. (pag. 266 y siguientes)

“DOS TRIÁNGULOS SON EQUIVALENTES CUANDO TIENEN EL MISMO ÁREA.

Dado el triángulo ABC, vamos a transformarlo en otro equivalente de base AD.

Se traza DC y desde B la paralela a DC hasta cortar en E con AC. Se une E con D y se forma el triángulo ADE buscado.

C

h1

E A B D

h2

Demostración:

CEB y DEB son dos triángulos equivalentes pues tiene igual base EB, e igual altura h1 = h2 (distancia en los dos casos entre dos rectas paralelas CD y EB).”

Plan 1.953 Rodríguez San Juan, A.(2º Bachillerato)

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO. (pag. 183 y siguientes)

“Dado un polígono ABCDE queremos obtener un triángulo equivalente a él, es decir que tenga igual área. Para ello se traza la diagonal BD, por ejemplo, y la paralela CF a ella por el vértice C (F está en la recta AB). Al unir D con F resulta el triángulo DBF que es equivalente al BCD, por tener la misma base BD e iguales alturas (las rectas BD y CF son paralelas). Por tanto el polígono AFDE es equivalente al dado, pues resulta de restar y sumar dos triángulos equivalentes.

Ahora dado el polígono AFDE, se traza la diagonal AD, por ejemplo, y la paralela EG a ella por el vértice E (G está en la recta AF). Al unir D con G resulta el triángulo DGA que es equivalente al DEA, por tener la misma base AD e iguales alturas (las rectas AD y EG son paralelas). Por tanto el triángulo DGF es equivalente al anterior, pues resulta de restar y sumar dos triángulos equivalentes.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


45

D D

E E A1 A3 A1 A3

C C

A2 A2 h1

A B A B F

h2

Triángulo BCD →base BD; altura h1 Triángulo BFD → base BD; altura h2. Y las dos alturas iguales, luego los dos triángulos tienen la misma superficie que es A3.

D Triángulo ADE→ base AD; altura h1 Triángulo GAD → base AD; altura h2.

Las dos alturas iguales, luego los dos triángulos tienen la misma superficie que es A1

h1 C

A1 A3

A2

G h2 A B F

D

El triángulo GFD tiene igual superficie que el pentágono ABCDE.” E

C

G A B F

Plan 1.953 Rodríguez San Juan, A. .(3º Bachillerato)

CUADRATURA GRÁFICA DE UN POLÍGONO

“Definición.- Cuadrar gráficamente un polígono, es obtener mediante construcciones gráficas, un cuadrado que sea equivalente.

E

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

46

Como se ha visto que dado un polígono siempre podemos encontrar un triángulo equivalente, se suficiente con saber cuadrar un triángulo.

Sean AB = b base y CD = h altura de un triángulo x lado del cuadrado buscado

½ b ·h = x2 x2 = b · (h/2)

El lado del cuadrado equivalente a un triángulo es media proporcional entre la base y la mitad de la altura.

Para esta demostración se está utilizando la construcción de un medio proporcional entre dos segmentos dados.

1.- 2.- P x L N M

Plan 1.938 Rodríguez San Juan, A. (3º Bachillerato)

RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA. (pag. 192 y 193)

“Dibujada la circunferencia, se trata de construir, con la regla y el compás un segmento cuya longitud sea igual a la de dicha circunferencia. Se ha demostrado que la construcción exacta de tal segmento es imposible realizarla con el solo uso de estos instrumentos. Esta es la causa de que existan

Sobre a + b como diámetro se traza la semicircunferencia. En dicho diámetro se levanta la perpendicular sobre M, tal que LM = a, LNP triángulo rectángulo en N, por el teorema de la altura x2 = a · b

LN =a LM = b Sobre a como diámetro se traza la semicircunferencia. En dicho diámetro se levanta la perpendicular sobre N. LPM triángulo rectángulo en P, por el teorema del cateto x2 = a · b”

M

a b

P

N

x

L

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


47

multitud de procedimientos aproximados para hallar la circunferencia rectificada. A continuación damos tres de los métodos más sencillos.

PRIMER MÉTODO

Tomando 722

como valor de π, la longitud de la circunferencia de diámetro d, es:

7

3·713·

722 dddddc +=

+==⋅= π

Luego basta con añadir a tres diámetros la séptima parte de éste.

SEGUNDO MÉTODO (De Kochanski)

Se traza una cuerda AB igual al radio y el diámetro CD perpendicular a ella, así como la tangente en D a la circunferencia; a partir del punto E, donde la prolongación del radio OA corta a dicha tangente, se toma un segmento EF igual a tres veces el radio.

El segmento CF es, aproximadamente, igual a la semicircunferencia. Vamos a calcular dicho segmento para

conocer la aproximación obtenida.

Como AB es el lado del hexágono regular inscrito, el ángulo AOD es de 30º. Por el triángulo EDO es la mitad de un triángulo equilátero de altura OD = r luego EO=2ED. Suponiendo, para simplificar, que el radio es la unidad, la aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo EDO conduce a

EO2 = ED2 + OD2, es decir (2ED)2 =

= ED2 + 1, o sea 4ED2 = ED2 + 1 de donde 3ED2=1 luego 3

1=ED .

Como EF = 3, resulta 3

13 −=DF por tanto en el triángulo rectángulo CDF, tendremos:

(22/7) · d = (3 + 1/7) · d ≈ π · d

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

48

...14153'3...86923173'9...86923173'93

3640

31

33613

31

3613

316

3194

3132;

222222

===−

=

=+−=+−=−++=

−+=+=

CFLuego

CFDFCDCFY

siendo π = 3’14159..., resulta que el segmento CF mide aproximadamente π, que es precisamente la longitud de la semicircunferencia de radio 1”

(En este texto no aparece tercer método, pero sí en otro)

Plan 1.938 Ruiz Bermúdez, F. (3º Bachillerato)

TERCER MÉTODO (Pp. 186)

“Tracemos un diámetro AD y la tangente T en uno de sus extremos, A por ejemplo. Dividimos AD en cinco segmentos iguales, tomemos sobre la tangente seis de estos segmentos a partir de A, tracemos el segmento BC, cuyos extremos, son la tercera división C y la sexta B. El perímetro del triángulo BAC es la longitud aproximada de la circunferencia.

D 4 3 C 2 1 T B A 1 2 3 4 5 6

Para comprobarlo, tomemos el diámetro por unidad, en cuyo caso es:

57082'6

2545

2536

259

56

53 22 ≈=+=+=== ABACBCABAC y por tanto

π≈=++=++ 1416'35

7082'656

53BCABAC ”

Plan 1.938 Rodríguez San Juan, A. (3º Bachillerato)

CUADRATURA DEL CÍRCULO (pag. 198 y siguientes)

“Definición: Cuadrar un círculo es hallar el cuadrado equivalente.

I CUACRATURA NUMÉRICA

Si L es el lado del cuadrado equivalente a un círculo de radio r, deberá verificarse:

πππ ⋅=⋅=⋅= rldeciresrlluegorl ,,, 222

fórmula que permite cuadrar numéricamente un círculo.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


49

II CUADRATURA GRÁFICA

Como el área del círculo puede escribirse así: S = π · r2 = π · r · r, el rectángulo de base π · r (es decir, la longitud de la semicircunferencia) y altura r, tiene igual área que dicho círculo, luego: el círculo es equivalente al rectángulo de base la semicircunferencia rectificada y altura el radio.

Habiendo demostrado que la longitud de una circunferencia no puede construirse exactamente con el solo uso de la regla y el compás, es claro que la cuadratura gráfica del círculo con estos instrumentos sólo podrá realizarse aproximadamente

He aquí una forma de efectuar dicha cuadratura aproximada: se empieza por hallar la semicircunferencia rectificada según se explicó, y se construye el rectángulo ABCD de base AB y altura AD = OA (radio de la circunferencia). Por tanto dicho rectángulo es equivalente al círculo dado. Para transformar este rectángulo en un cuadrado equivalente, basta recordar una conocida propiedad del triángulo, (Teorema del cateto) y proceder así:

Sobre la prolongación de BC se lleva BE = BA y se traza una semicircunferencia de diámetro BE, la cual corta en F a la prolongación de DC. El segmento BF es el lado del cuadrado equivalente al círculo.

En efecto: en el triángulo rectángulo BFE, la hipotenusa BE es igual a uno de los lados AB del rectángulo, y el cateto BF tiene una proyección BC sobre la hipotenusa que es igual al otro lado del rectángulo. Conocido el lado BF, la construcción del cuadrado no tiene dificultad”.

Nota 1: El problema de la cuadratura del círculo con regla y compás, que fue atacado por los más grandes matemáticos de todos los tiempos, quedó resuelto en sentido negativo, a fines del siglo pasado, al demostrarse con todo rigor que la circunferencia rectificada no puede construirse exactamente mediante un número finito de operaciones con la regla y el compás. Conviene advertir que esta inexactitud de la construcción no se refiere a las imperfecciones que toda construcción gráfica lleva consigo pro los defectos que puedan tener la regla, el compás y el lápiz utilizados y por los errores que cometa el dibujante. Con estos instrumentos y con idealmente perfectos, el segmento obtenido no sería exactamente igual a la circunferencia rectificada.

Nota 2: Teorema del cateto.- El cuadrado construido sobre un cateto de un triángulo rectángulo es equivalente al rectángulo cuyos lados contiguos son la hipotenusa y la proyección de dichos cateto sobre ella.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

50

Plan 1.938 Rodríguez San Juan, A.(3º Bachillerato) VOLÚMENES (pag. 318 y siguientes)

Volumen de un ortoedro

“Para medir la extensión o capacidad de un ortoedro se halla cuantas veces contiene a otro ortoedro que se toma como unidad, o a algún divisor de éste. El número que resulta se llama volumen del ortoedro.

V = a · b · c = B · h Volumen de un cuerpo cualquiera

Para medir la extensión o capacidad de un cuerpo se halla cuantas veces contiene a otro cuerpo que se toma como unidad, o a algún divisor de éste. El número que resulta se llama volumen del cuerpo”.

Principio de Cavalieri

“Si en dos cuerpos son equivalentes las secciones producidas por todas las distintas posiciones de un plano que se mueve paralelamente a sí mismo, ambos cuerpos tienen volúmenes iguales, es decir, son equivalentes.

Volumen de prismas y cilindros

Sean un prisma y un cilindro de la misma altura y bases equivalentes (con igual superficie). Sean rectos u oblicuos V = Ab × h

h h Base del prisma = Base del cilindro

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


51

Volumen de pirámide y cono

Sean una pirámide y un cono de la misma altura y bases equivalentes (con igual superficie). Su volumen será igual. h h

Base de la pirámide = Base del cono

Volumen de la pirámide triangular

Sea el prisma triangular ABCDEF de altura h y cuya base ABC tiene área Ab. Su volumen es por tanto V = Ab · h.

El plano diagonal ADC divide al prisma en dos pirámides, la triangular ABCD de base ABC y vértice D, y la cuadrangular ACEFD de base ACEF y vértice D. Si en ésta se traza el plano diagonal FDC queda descompuesta en las dos pirámides triangulares AFCD y FECD cuyas bases AFC y FCE son equivalentes por ser FC diagonal del paralelogramo ACEF. Como ambas tienen igual altura por coincidir sus vértices en D, resulta que son equivalentes, es decir Vol AFCD = Vol FECD

F E F E E D D D A C C A C A C B B

Pero esta pirámide FDEC es equivalente a la ABCD por tener bases iguales (las del prisma ABC = FDE) e idénticas alturas, la del prisma.

Se ha descompuesto el prisma inicial en tres pirámides equivalentes en las que la base y la

altura coinciden con los del prisma, luego el volumen de la pirámide será 31

del volumen del prisma.

DEDUCCIÓN DE LA SUPERFICIE DE LA ESFERA (pag. 308 y siguientes)

Área de la superficie engendrada por la rotación de una línea poligonal regular

Línea poligonal regular es aquella que siendo plana tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

52

Si ABCDE es una poligonal regular y trazamos las mediatrices de sus lados, todas ellas concurrirán en un punto O a consecuencia de la igualdad de los triángulos isósceles dibujados que tienen bases iguales e iguales también los ángulos en la base. El punto O se llama “centro” de la poligonal regular. “Apotema” es cualquiera de las mediatrices OL = a.

De la igualdad de los mencionados triángulos resulta OA=OB=OC=OD=OE, luego: “A toda poligonal regular se le puede circunscribir una circunferencia de centro O”

De la misma forma se prueba la existencia de una circunferencia inscrita en la poligonal, es decir, tangente a sus lados y con centro en O.

Sea ahora la poligonal regular ABCDE de apotema a, y sea e un eje de su plano que no la atraviesa. Al girar la poligonal alrededor de e resulta:

Área engendrada por AB = 2π · a · p1

Área engendrada por BC = 2π · a · p2

Área engendrada por CD = 2π · a · p3

Área engendrada por DE = 2π · a · p4

Sumando estas igualdades y sacando factor común 2π · a se obtiene que

Área engendrada por ABCDE = 2π · a ·(p1 + p2 + p3 + p4 )

o sea Área engendrada por ABCDE = 2π · a · p

Siendo p la proyección de la poligonal sobre el eje.

Área de la superficie esférica

Sea la superficie esférica de radio r engendrada por la rotación de la semicircunferencia ABCDE alrededor del diámetro AE. Inscrita en esa semicircunferencia una poligonal regular ABCDE de apotema a, el área que genera al girar alrededor del diámetro AE es: S = 2π · a · 2 · r = 4π · a · r pues

2r es la longitud de su proyección sobre el eje.

Si inscribimos una sucesión de poligonales cuyo número de lados aumente indefinidamente, sabemos que dichas poligonales tienden a una semicircunferencia y la apotema hacia el radio. Por tanto, cuando el número de lados aumenta indefinidamente las áreas engendradas por esas poligonales se aproximan indefinidamente a 4π · r · r = 4π · r2. Por tanto diremos que este es el área de la superficie esférica. S = 4π · r2 ”

Nota: En la página 306 de éste texto, el autor demuestra cual es la superficie engendrada por un segmento al girar alrededor de un eje dependiendo de que dicho segmento tenga un extremo en el eje, sea paralelo al eje, o sea oblicuo al eje pero no lo corte.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Gymkhana Matemática: Un recurso para la enseñanza de la Geometría Es reconocido que la Geometría es importante para el estudio de la naturaleza, como componente esencial del arte, para orientarse en el espacio, para hacer estimaciones; que desarrolla diferentes capacidades: lógica, numérica, espacial... Entre sus objetivos: identificar formas, relaciones espaciales..., en definitiva ayudar a comprender el mundo, actuando sobre situaciones cotidianas con modos propios de la actividad matemática. Todo esto se encuentra presente en la Gymkhana Matemática por Córdoba, que año tras año, además de revalidar su éxito, se va consolidado como un eficaz recurso en la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría. En este taller pretendemos mostrar algunas propuestas de actividades incluidas en la Gymkhana Matemática por Córdoba, analizando la Geometría que ponen en juego, e invitaremos a los asistentes a dar propuestas de actividades similares sobre elementos de su ciudad y de su entorno más cercano. La idea es compartir nuestra experiencia, mostrar lo sencillo que resulta trasladarla a cualquier lugar, y dar a conocer su potencial como vehículo para transmitir gusto y aprecio por la Geometría.

Desarrollo

Introducción Son muchas y reconocidas las voces que avalan el uso del entorno como recurso en la enseñanza y aprendizaje de la Geometría, y realizar actividades fuera del ámbito de la clase es quizás la alternativa más eficaz, ya que supone un uso más directo y más abierto del entorno, en definitiva más natural. Se presta a una metodología más activa y permite al alumnado ser consciente de que las Matemáticas, a pesar de su nivel de abstracción, responden a necesidades del mundo real. Aportaciones de la Gymkhana Matemática, como actividad fuera del aula, • Elemento motivador • Actividad interdisciplinar • Trabajo cooperativo • Desarrolla capacidades matemáticas

…y más concretamente en Geometría • Muestra su potencial práctico y estético • Potencia el trabajo tridimensional • Necesidad de medir • Manejo de planos • Reconocimiento de figuras, elementos y transformaciones geométricas

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

GYMKHANA MATEMÁTICA: DE CÓRDOBA A GRANADA La Gymkhana Matemática por Córdoba es una prueba por equipos, en la que se trata de identificar y encontrar algunos lugares de la ciudad, dados en clave matemática, a los que llamamos puntos base. En ellos se proponen una serie de problemas en los que para completar el enunciado o bien para su resolución es imprescindible tomar algún dato o referencia en torno a dichos lugares (problemas in situ).

PUNTOS BASE El proceso de localización de los puntos base ofrece la oportunidad para trabajar:

• Orientación • Ubicación. Sistemas de referencia • Manejo de planos. Escalas • Otros tópicos matemáticos: simetrías, Teorema de Pitágoras, Teorema de

Thales… Ejemplo en Córdoba: Si subierais (¡¡ni se os ocurra!!) los 267 escalones del minarete de la Mezquita os encontraríais a unos 40 metros de altura. Mirando aproximadamente hacia el noreste podríais ver perfectamente la placita donde se encuentra el punto base que, desde allí arriba, estaría a unos 155 metros.

Se trata de hallar la medida del cateto de un triángulo rectángulo conocidos el otro cateto y la hipotenusa. Calculada esta medida habrá que hallar la correspondiente en el plano, y la dirección indicada, nos conducirá al PB: la Plaza de Jerónimo Páez.

Drag

oDSM: D

istrib

uidora

San

Mart

ín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Ejemplo en Granada: Trazad una recta sobre Santa Bárbara y Fuente Nueva y un vector perpendicular hacia el sureste, con origen en el cruce con la calle Mariano del Amo, de 787 metros de módulo. En el extremo de este vector encontrareis el PB, en una bella plaza cuyo nombre recuerda a uno de los primeros números primos.

Trazadas la recta y la semirrecta que contiene al vector, habrá que hallar la medida que en plano corresponde a los 787 metros para saber que su extremo llega a la Plaza de la Trinidad.

PROBLEMAS “IN SITU” Es fácil transmitir a los participantes de la Gymkhana la presencia de las Matemáticas en el entorno, son muchas las posibilidades que el entorno ofrece para plantear problemas de Geometría: logotipos y anagramas, mobiliario urbano, pavimentos, rejas, monumentos y conjuntos arquitectónicos, fuentes, mosaicos… Ejemplo en Córdoba: Observad los cubos de la fuente del Bulevar. Suponed que se pintan de blanco todas las caras visibles de los cubos. ¿Cuántos cubos habrá con cuatro caras blancas?, ¿y con tres?, ¿y con dos?, ¿y con una?, ¿y con ninguna?

787 metros

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

Ejemplo en Granada: En la Huerta de San Vicente se puede ver una gran fuente. No se puede acceder a ella con facilidad y no queremos transgredir las normas ni que “peligre vuestra vida”. Pero en estas situaciones es cuando podemos aprovechar la forma geométrica que tiene y poner en juego las estrategias matemáticas aprendidas para poder decir cuánto mide (dadas las circunstancias se admitirá un cierto margen de error) la diagonal de esta fuente.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

El truco está en la geometría Grupo LaX.

El truco está en la geometría Introducción A veces las matemáticas resultan sorprendentes. Algunos de los más geniales matemáticos nos fascinaron con sus ideas innovadoras, la elegancia de sus demostraciones y la perfección de sus razonamientos. Por desgracia, para el público en general, no es accesible este derroche de creatividad y estas notas de genialidad solamente son herencia para unos pocos. Pero, por suerte, la sorpresa matemática se manifiesta en ocasiones en los detalles más simples y resulta cercana para todos. Generalmente no es exclusiva de los matemáticos, y viene acompañada de ilusiones ópticas, paradojas lógicas, principios físicos, creaciones artísticas o de cualquier golpe de fantasía e imaginación. El efecto que producen puede ser similar al de la audiencia de un mago que acaba de presentar su número final. Pero aquí es donde los matemáticos somos muy diferentes, pues somos incapaces de dejar sin respuesta la ansiada pregunta: ¿dónde está el truco? Así, por inexperto que sea nuestro aprendiz, nos esforzamos en explicarle hasta el más mínimo detalle, encumbrando las matemáticas hacia el lugar que se merecen, aunque a veces las veamos donde ni siquiera están. Pero lo importante es que nos hemos ganado su atención y su curiosidad puede ayudarnos para que nuestro mensaje matemático sea escuchado como nunca, e incluso haya originado la necesidad de ser comprendido y absorbido para que nuestro aprendiz pueda repetirlo. En este taller presentamos algunas de estas sorpresas matemáticas, centrándonos en aquellas en las que la geometría tiene la última palabra. Uno de los principales objetivos del taller es ilusionar a nuestros aprendices, generando en ellos la curiosidad y las ganas de aprender. No solamente desvelaremos los trucos y discutiremos las matemáticas que aparezcan en ellos, sino que intentaremos crear algunos nuevos. El otro de los objetivos que perseguimos es debatir y analizar las posibilidades que estos materiales nos pueden aportar en el aula de matemáticas, concretamente en las unidades didácticas de geometría. Hablaremos de giros, simetrías, escalas, visión espacial, representaciones planas y otros términos que aparecen en el lenguaje geométrico de los distintos niveles educativos. En el taller trabajaremos principalmente en grupos, a los que se irán presentando las distintas actividades. De cada una de ellas se completará una ficha de trabajo que incluye: Actividad: 1. Breve descripción 2. ¿Dónde está el truco? 3. Construcción.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


4. Explicación/esquema 5. Otras construcciones similares. 6. Posibilidades en el aula. Transcurrido el tiempo necesario tras la presentación de la actividad, abriremos un debate entre los grupos para valorar tanto su capacidad de asombro como sus posibilidades educativas. Presentamos brevemente algunas de las actividades que conformarán el taller: Sorpresas matemáticas -DRAGÓN MÁGICO Es una criatura mágica capaz de ir girando su cabeza para seguirte con la mirada. Está inspirado en el trabajo de Jerry Andrus para celebrar el “Gathering for Gardner 3” en 1998. Con tijeras y pegamento intercambiaremos la visión plana y la tridimensional a nuestro antojo, permitiéndonos conseguir el mismo efecto con las imágenes que queramos. - EL ENANO QUE SE DESVANECE. Delante de nuestras propias narices, y solamente intercambiando dos trozos de papel, veremos como desaparece uno de los enanos de una singular colección. Es la obra de Pat Lyons titulada The Vanishing Leprechaun (1968) Presentaremos otras obras similares basadas en el mismo truco geométrico y, con un poco de imaginación, podremos construir nuestra propia figura invisible. - PIEZAS QUE DESAPARECEN Presentamos tres puzzles un tanto peculiares de formar, pues al terminarlos nos quedamos con alguna pieza de más. Son tres paradojas presentadas por Martin Gardner. Quizá la más conocida sea The Vanishing Area Paradox de 1961, en la que un cuadrado aparece sorprendentemente ante nosotros al descomponer las piezas de un triángulo rectángulo. Recortando y componiendo, intentaremos resolver estas paradojas e incluso reproducir nuestros propios puzzles. - APUESTAS A PRIMERA VISTA Presentamos distintas actividades en las que la intuición parece que no se corresponde con la realidad. A simple vista y a modo de apuesta rápida, tendremos que encontrar el secreto.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


Nos enfrentaremos a diablillos equidistantes, a puntos alejados de los vértices de un triángulo, a jinetes que cabalgan sobre misteriosos caballos y a estimaciones sobre la altura de un vaso. Cuando la vista engaña, las matemáticas no fallan. - SIMETRÍAS Y OTRAS CURIOSIDADES En algunas composiciones, basta un giro de 90 ó 180 grados para cambiarlo todo. A veces la sorpresa se esconde tras una simetría par o impar y podemos descubrirla doblando o girando un trozo de papel. Entre otros, descubriremos alguno de los ingeniosos cuentos de GustaveVerbeek publicados in The Sunday New York Herald a principio del siglo 20. La primera parte del cómic es normal, pero al girarla 180 grados, la historia continúa. Direcciones útiles para completar el taller Dragón mágico http://www.grand-illusions.com/dragon.htm Aquí encontrarás un video explicando la ilusión del dragón y podrás conseguir en formato pdf las instrucciones y el recortable para construirlo. http://www.sandlotscience.com/EyeonIllusions/Andrus.htm Conocerás algunos detalles de la obra del creador del dragón, así como una interesante nueva ilusión con dos tuercas y un lápiz. http://jclahr.com/science/Illusions/3d/ En esta página podrás conseguir dos nuevas ilusiones como las del dragón, con una lata de tomate y un paquete de cereales. http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Necker.shtml En este enlace encontrarás una explicativa visión del cubo de Necker. El enano que se desvanece http://www.planetperplex.com/en/sliding_puzzles.html Interesante y completa página de curiosidades matemáticas clasificadas según sus distintas temáticas. Podrás conseguir puzzles deslizantes como Get off the Earth y The Lost Jap de Sam Lloyd, The Vanishing Leprechaun de Pat Lyons y las paradojas de áreas que desaparecen de Gardner. http://www.johnrausch.com/PuzzleWorld/toc.asp?t=_cat/va001.htm&m=cat/va000.htm En esta página aparecen nuevos puzzles deslizantes como el de Vladimir Krasnoukhov del huevo que desaparece o el de Robin Debreuil, “Who turned to Doggie Doo”? http://www.archimedes-lab.org/atelier.html?http://www.archimedes-lab.org/workshopvanishbird.html Más puzzles deslizantes con figuras de palomas o de las piezas del tangram. http://www.aimsedu.org/Puzzle/LostInSpace/space.html

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar


Un nuevo puzzle deslizante de astronautas “Perdidos en el espacio”. http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbtroll.htm Otro puzzle deslizante sobre simpáticos trolls. Apuestas a primera vista http://www.ilusionesopticas.ws/ Es un completo catálogo de ilusiones ópticas y trampas para la vista. Aquí podemos encontrar la ilusión de los tres diablillos equidistantes o del punto en el triángulo equilátero. http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbfunpatt2.htm#TOPIC18C Interesante catálogo de curiosidades matemáticas. Entre otros materiales del taller, encontrarás el original puzzle de las mulas de Lloyd y algunas de sus variantes. Simetrías y otras curiosidades http://members.lycos.nl/amazingart/E/93.html Encontrarás historias de doblado de papel de Al Jaffee, historietas que confunden el arriba y el abajo de Gustave Verbeek, simetrías de Peter Newell Bibliografía - FLORES P. (1999): “Paradojas matemáticas para la formación de profesores”. Suma, 31, 27-35 - GARDNER, M (1983): Paradojas, Labor, Barcelona.

DragoD

SM: Dist

ribuid

ora S

an M

artín

http:/

/www.dr

agod

sm.co

m.ar

dragodsm.com.ardragodsm.com.ar/pdf/dragodsm-xi-jornadas-investigacion-aula-la... · XI JORNADAS DE...

Documents

Transcript of dragodsm.com.ardragodsm.com.ar/pdf/dragodsm-xi-jornadas-investigacion-aula-la... · XI JORNADAS DE...