Ya salio el 23
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Y sali´ o el 23... y es una mamada, ja ja ja Lema 1. Sean a, b y c tres n´ umeros. Entonces mid{a, b, c} = m´ ın{m´ ax{a, b}, m´ ax{a, c}, m´ ax{b, c}} = m´ ax{m´ ın{a, b}, m´ ın{a, c}, m´ ın{b, c}}. Observamos adem´as que mid{a, b, a} = m´ ın{a, b}. Demostraci´on. Solo haremos el caso a ≤ b ≤ c. Tenemos m´ ın{m´ ax{a, b}, m´ ax{a, c}, m´ ax{b, c}} = m´ ın{b, c, c} = b = mid{a, b, c}, m´ ax{m´ ın{a, b}, m´ ın{a, c}, m´ ın{b, c}} = m´ ax{a, a, b} = b = mid{a, b, c}. Los dem´ as casos son an´ alogos. Lema 2. Sean a, b y c tres n´ umeros. Entonces -mid{a, b, c} = mid{-a, -b, -c}. Demostraci´on. Por el lema anterior, -mid{a, b, c} = - m´ ın{m´ ax{a, b}, m´ ax{a, c}, m´ ax{b, c}} = m´ ax{- m´ ax{a, b}, - m´ ax{a, c}, - m´ ax{b, c}} = m´ ax{m´ ın{-a, -b}, m´ ın{-a, -c}, m´ ın{-b, -c}} = mid{-a, -b, -c} Lema 3. Sean f , g y h funciones. Entonces mid{f,g,h} es medible si y s´olo si mid{-f, -g, -h} es medible. Demostraci´on. Inmediato del lema anterior. Supongamos que g es una funci´ on tal que para todo par de funciones medibles f y h, la funci´ on mid{f,g,h} es medible. En particular, si f es cualquier funci´ on medible, entonces las funciones mid{f,g,f } = m´ ın{f,g} y - mid{-f, -g, -h} = m´ ax{f,g}, son medibles, y por lo tanto g = m´ ın{f,g} + m´ ax{f,g}- f es medible.... o sea otra mamada... ja ja ja 1
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Ejercicio 23 del libro de "Teoría de la medida" de G. G.
Transcript of Ya salio el 23
Y salio el 23... y es una mamada, ja ja ja
Lema 1. Sean a, b y c tres numeros. Entonces
mid{a, b, c} = mın{max{a, b},max{a, c},max{b, c}}= max{mın{a, b},mın{a, c},mın{b, c}}.
Observamos ademas que mid{a, b, a} = mın{a, b}.
Demostracion. Solo haremos el caso a ≤ b ≤ c. Tenemos
mın{max{a, b},max{a, c},max{b, c}} = mın{b, c, c} = b = mid{a, b, c},
max{mın{a, b},mın{a, c},mın{b, c}} = max{a, a, b} = b = mid{a, b, c}.
Los demas casos son analogos.
Lema 2. Sean a, b y c tres numeros. Entonces
−mid{a, b, c} = mid{−a,−b,−c}.
Demostracion. Por el lema anterior,
−mid{a, b, c} = −mın{max{a, b},max{a, c},max{b, c}}= max{−max{a, b},−max{a, c},−max{b, c}}= max{mın{−a,−b},mın{−a,−c},mın{−b,−c}}= mid{−a,−b,−c}
Lema 3. Sean f , g y h funciones. Entonces mid{f, g, h} es medible si y solo si mid{−f,−g,−h} es medible.
Demostracion. Inmediato del lema anterior.
Supongamos que g es una funcion tal que para todo par de funciones medibles f y h, la funcion mid{f, g, h}es medible. En particular, si f es cualquier funcion medible, entonces las funciones
mid{f, g, f} = mın{f, g} y −mid{−f,−g,−h} = max{f, g},
son medibles, y por lo tantog = mın{f, g}+ max{f, g} − f
es medible.... o sea otra mamada... ja ja ja
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