Zenón de Elea y El Movimiento
-
Upload
sharon-allen -
Category
Documents
-
view
10 -
download
0
description
Transcript of Zenón de Elea y El Movimiento
-
La actualidad de las Aporas de Zenn de
Elea (II)
Lisardo Garca R.
Zenn de Elea (siglo V a.C.), filsofo presocrtico, discpulo de Parmnides, adopt
para la Filosofa un nuevo mtodo de conocimiento: la Dialctica, mediante la
postulacin de las denominadas aporas o mal llamadas paradojas.
A) LAS APORAS DEL MOVIMIENTO Los argumentos contra el movimiento, segn nos indica Aristteles en su Fsica, y
amplan los comentaristas griegos, son cuatro, y constituyen el entramado bsico de sus
aporas que resumimos a continuacin:
1) La dicotoma.- El movimiento es imposible porque un mvil entre dos puntos
cualesquiera A y B tendra siempre que cubrir la mitad de la distancia (C) antes de
llegar al final. Pero antes de cubrir la mitad de la distancia (C), tendra que cubrir la
mitad de la mitad, y as ad infinitum. De este modo para recorrer completamente
cualquier distancia tendra que cubrir un nmero infinito de puntos, lo cual es imposible
en un tiempo finito.
2) Aquiles y la tortuga.- Aquiles el de los pies ligeros, smbolo de la rapidez, tiene que
alcanzar a la tortuga, smbolo de morosidad. Aquiles corre diez veces ms rpido que la
tortuga y le otorga diez metros de ventaja. Aquiles corre esos diez metros, la tortuga
corre uno; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un decmetro; Aquiles corre ese
decmetro, la tortuga corre un centmetro; Aquiles corre ese centmetro, la tortuga un
milmetro; Aquiles el milmetro, la tortuga una dcima de milmetro, y as
infinitamente, de modo que Aquiles puede correr para siempre sin alcanzarla. Tal es la
paradoja inmortal. Como en el caso de la dicotoma, Aquiles tendr que recorrer un
nmero infinito de puntos para alcanzar a la tortuga, lo que resulta imposible.
3) La flecha voladora.- Las dos aporas anteriores partan del supuesto de que una
dimensin espacial no poda reducirse a unidades mnimas, sino que era infinitamente
divisible. Ahora bien, el que abordamos ahora slo tiene sentido partiendo de la premisa
de que el tiempo se compone de instantes mnimos indivisibles. El texto que presenta
-
Aristteles es oscuro en el detalle pero es posible recomponerlo con las exposiciones
ms completas de los comentaristas griegos.
Zenn parece haber argumentado que, si bien una flecha poda dar la impresin de que
se alejaba volando, est realmente inmvil, porque todo lo que ocupa un espacio igual a
s mismo tiene que estar en reposo en ese espacio, y, en cualquier instante dado de su
vuelo, una flecha slo puede ocupar un espacio igual a s mismo. Consecuentemente,
estar inmvil en cada instante de su vuelo.
4) El estadio.- En el estadio hay tres filas, en cada una de las cuales hay un nmero de
cuerpos u objetos de igual tamao, dispuestos inicialmente como sigue: Los cuerpos A
no se mueven, estn en reposo, y los B y C comienzan a moverse en direcciones
opuestas, al mismo tiempo y con igual velocidad, hasta que las tres filas coincidan entre
s:
AAAA
BBBB
CCCC
El B de cabeza ha pasado ahora a dos de los A, mientras que el primer C ha pasado a
cuatro cuerpos B. Ahora bien, dice Zenn, los objetos que se mueven con igual
velocidad tienen que emplear el mismo tiempo en sobrepasar a un nmero igual de
objetos del mismo tamao. En consecuencia (dado que los cuatro cuerpos A, B y C son
completamente iguales), 4A = 2A. Dicho de otra forma, la mitad de un tiempo dado es
igual al doble del mismo, es decir, al todo. La conclusin, como la de los otros
argumentos, es una reiteracin de la tesis parmendea de la no existencia o irrealidad del
movimiento.
B) LA APORA DEL ESPACIO Zenn se desembaraza, asimismo, de la nocin de lugar o espacio, adems de las de
pluralidad y movimiento, a travs de la siguiente apora. Todo lo que existe est en un
lugar y ocupa un espacio. En consecuencia, el propio lugar, si existe, estar tambin en
un lugar, y as ad infinitum. Esto es absurdo, luego el espacio no existe.
C) LA APORA DE LA PERCEPCIN SENSIBLE Aunque existen dudas sobre la forma exacta en que Zenn plante este argumento, su
autora est atestiguada por Aristteles. Parece ser una ampliacin, a otro campo
diferente, de su ataque contra los infinitesimales, que sirve aqu al propsito adicional
parmendeo de desacreditar la percepcin sensorial. Segn l, una cosa, o tiene
magnitud, o no la tiene. De un modo semejante, o produce un sonido, o no lo produce.
Ante la cuestin que plantea Zenn respecto a si produce algn sonido un solo grano de
mijo al caer, su interlocutor responde afirmativamente. Zenn contina preguntando Y
medio grano, produce algn sonido? hasta que al fin la respuesta es negativa. No hay
entonces una relacin entre medio grano de mijo y un grano? Si es as, y si un grano de
mijo produce un sonido, tambin lo producir medio, y la milsima parte de un grano.
De este modo sostiene la argumentacin de Parmnides la desconfianza en torno a la
percepcin de nuestros sentidos.
3.- LA PERMANENTE ACTUALIDAD DE LA CONTROVERSIA Ya desde Aristteles se han intentado refutar las aporas de Zenn, en especial las
relacionadas con el movimiento y en particular la de Aquiles y la tortuga. Aristteles
-
critica la apora de Zenn, advirtiendo que el vocablo infinito tiene dos sentidos: ser
infinito en divisibilidad no es lo mismo que ser infinito en extensin. Todo continuum
es infinitamente divisible, y esto se aplica tambin al tiempo y al espacio. Es
perfectamen- te posible, por ello, recorrer en un tiempo finito un espacio que es
infinitamente divisible, aunque no de extensin infinita. En su Fsica retoma la cuestin
y admite que, aunque es suficiente este argumento contra Zenn, no explica los hechos
de un modo pleno y satisfactorio.
Si se deja a un lado la distancia y la cuestin de si es posible recorrer un nmero
infinito de distancias en un tiempo finito, y se plantean las mismas cuestiones sobre el
tiempo en s (ya que el tiempo contiene un nmero infinito de divisiones), esta solucin
ya no sera la adecuada.
Siguiendo estas refutaciones aristotlicas, asumidas tambin por Thomas Hobbes, Stuart
Mill, en su sistema de lgica, sintetiza ambas indicando que las paradojas de Zenn son
slo un ejemplo de la falacia de la confusin. En la conclusin del sofisma -dice Mill-
Aquiles estar corriendo infinitamente y para siempre; esto quiere decir en cualquier
imaginable lapso de tiempo y significa que podemos dividir diez unidades por diez, y el
cociente otra vez por diez, cuantas veces queramos, y no encontrarn fin las
subdivisiones del recorrido, ni por consiguiente las del tiempo en que se realiza, pero un
ilimitado nmero de subdivisiones puede efectuarse con lo que es limitado.
El argumento no prueba otra infinitud de duracin que la contenible en cinco minutos.
Mientras los cinco minutos no hayan pasado, lo que falta puede ser dividido por diez, y
otra vez por diez, cuantas veces se nos antoje, lo cual es compatible con el hecho de que
la duracin total sea de cinco minutos. Prueba, en resumen, que atravesar ese espacio
finito requiere un tiempo infinitamente divisible, pero no infinito.
Estas refutaciones de Mill, en palabras de Borges, no son otra cosa que una nueva
exposicin de la paradoja. Basta fijar la velocidad de Aquiles a un segundo por metro
para establecer el tiempo que necesita, teniendo en cuenta que Aquiles corre diez veces
ms rpido que la tortuga:
10 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10.000... El lmite de la suma de esta infinita progresin
geomtrica es doce (ms exactamente, once y un quinto, o ms exactamente an, once
con tres veinticincoavos), pero no es alcanzado nunca. Es decir, el trayecto del hroe
ser infinito y ste correr para siempre y su eternidad no ser la terminacin de doce
segundos.
Otra refutacin relevante fue la planteada en 1.910 por Henry Bergson, en el notorio
Ensayo sobre los datos inmediatos de la conciencia. En resumen, Bergson plantea que
es infinitamente divisible el espacio, pero niega que lo sea el acto del movimiento, es
decir, el tiempo.
Finalmente, para no hacer ms extenso el amplio espectro de refutaciones a la apora
Zenoniana (seal por otra parte inequvoca de su actualidad), nos detendremos en la
formulada por Russell, segn la cual la operacin de contar consiste en equiparar dos
series. Por ejemplo, si los primognitos de todas las casas de Egipto fueron muertos por
el ngel, salvo los que habitaban en las casas donde tenan en la puerta una seal roja,
es evidente que tantos se salvaron como seales rojas haba, sin que importe enumerar
-
cuntos fueron. Aqu es indefinida la cantidad pero hay otras operaciones en que es
infinita tambin. Por ejemplo, la serie natural de los nmeros es infinita, pero podemos
demostrar que son tantos los impares como los pares, lo que nos llevara a indicar que la
parte, en esas elevadas latitudes de la numeracin, no es menos copiosa que el todo: la
cantidad precisa de puntos que hay en el Universo es la que hay en un metro del
Universo, o en un decmetro, o en la ms honda trayectoria estelar. Por ello, cada sitio
ocupado por la tortuga guarda proporcin con otro de Aquiles; no quedara ningn
remanente peridico de la ventaja inicial dada a la tortuga: el punto final en su trayecto,
el ltimo en el trayecto de Aquiles y el ltimo en el tiempo de la carrera, son trminos
que matemticamente coinciden.
Filsofos, matemticos, literatos e incluso poetas han tenido la tentacin de resolver
esta eterna maratn que parece ubicarse en la misma esencia de la dicotoma
parmendea de Nous y Doxa. As, Paul Valery, tras muchas refutaciones a la apora,
escribe:
Zenn, cruel Zenn, Zenn de Elea! Me has traspasado con la flecha alada. Que,
cuando vibra volando, no vuela. Me crea el son y la flecha me mata. Oh sol, oh sol!
Qu sombra de tortuga Para el alma: si en marcha Aquiles, quieto! La lista de
pensadores que se han acercado a las aporas de Zenn es extensa, prueba de su
relevancia y actualidad para el pensamiento contemporneo. Con independencia de los
citados cabe mencionar a Toms de Aquino, Leibnitz, Tannery, Guthrie, Brochard,
Noel, Taylor, Ross, Corn-ford y Frnkel entre otros.