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INTRODUCCION.

El análisis dimensional es un método de análisis que parte de la premisa que debe

existir una relación dimensionalmente homogénea entre las variables involucradas en

ladescripción de un fenómeno físico. Es un proceso mediante el cual se examinan las

dimensiones de los fenómenos físicos y de las ecuaciones asociadas, para tener una

nueva visión de sus soluciones. A partir de este análisis surge la importancia que tiene

el uso de distintos parámetros Adimensionales. El método presenta ventajas y

desventajas: Ventajas:

•Reducir el número de variables

•Permite abordar problemas complejos

•Requiere de información mínima

•Simplifica la investigación, reduciendo la experimentación

•Dar una guía de cómo realizar experiencias sobre modelos a escala.

Desventajas:

•Entrega una solución incompleta del problema en estudio

•No se gana un conocimiento respecto al mecanismo del fenómeno estudiado Para

describir cualquier fenómeno físico, necesitamos referirnos a ciertos conceptos o

entidades físicas, tales como fuerza, masa, velocidad, aceleración, tiempo, temperatura,

etc. Para cada una de estas entidades físicas se ha aceptado una unidad de medida

La Mecánica de los Fluidos, como área de estudio, se ha desarrollado gracias al

entendimiento de las propiedades de los fluidos, a la aplicación de las leyes básicas de

la mecánica y la termodinámica y a una experimentación ordenada.

Debido al comportamiento que tienen algunos fluidos, se hace interesante su estudio,

sobre todo a nivel experimental, teniendo en cuenta que dicha sustancia posee ciertas

propiedades tales como viscosidad y densidad, las cuales las cuales juegan papeles

principales en flujos de canales abiertos y cerrados y en flujos alrededor de objetos

sumergidos

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UNIDAD 4. ANALISIS DIMENSIONAL Y

SEMEJANZA.

4.1. Definición de análisis dimensional, modelos hidráulicos.

El análisis dimensional es una herramienta que permite simplificar el estudio de

cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma

de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema de Vaschy-

Buckingham (más conocido por teorema de PI) permite cambiar el conjunto original

de parámetros de entrada adimensionales más reducido. Estos parámetros

adimensionales se obtienen mediantes combinaciones adecuadas de los parámetros

dimensionales y no son únicos, aunque si lo es el número mínimo necesario para

estudiar cada sistema. De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamaño

mínimo se consigue:

Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio.

Reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse para

averiguar el comportamiento o respuesta del sistema.

A partir de dichos ensayos se obtiene información sobre lo que ocurre en el fenómeno

a escala real cuando existes semejanza física entre el fenómeno real y el ensayo, gracias

a que los resultados obtenidos en una maqueta a escala son válidos para el modelo a

tamaño real si los números adimensionales que se toman como variables

independientes para la experimentación tienen el mismo valor en la maqueta y en el

modelo real. Así, para este tipo de cálculos, se utilizan ecuaciones dimensionales, que

son expresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades fundamentales y

derivadas, las cuales se usan para demostrar formulas, equivalencias o para dar

unidades a una respuesta.

Finalmente, el análisis dimensional también es una herramienta útil para detectar

errores en los cálculos científicos e ingenieriles. Con este fin se comprueba la

congruencia de las unidades empleadas en los cálculos, prestando especial atención a

las unidades de los resultados.

Para reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos parámetros se

siguen los siguientes pasos generales:

1. Contar el número de variables dimensionales n.

2. Contar el número de unidades básicas (longitud, tiempo, masa, temperatura,

etc.) m.

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3. Determinar el número de grupos adimensionales. El número de grupos o

números adimensionales (PI) es n-m.

4. Hacer que cada número PI depende de n-m variables fijas y que cada uno

dependa además de una de las n-m variables restantes (se recomiendas que las

variables fijas sean una del fluido o medio, una geométrica y otra cinemáticas;

ello para asegurar que los números adimensionales hallados tengan en cuenta

todos los datos del problema).

5. Cada PI se pone como un producto de las variables que lo determinan elevadas

cada una a una potencia desconocida. Para garantizar adimensionalidad deben

hallarse todos los valores de los exponentes tal que se cancelen todas las

dimensiones implicadas.

6. El número PI que contenga la variable que se desea determinar se pone como

función de los demás números adimensionales.

7. En caso de trabajar con un modelo a escala, este debe tener todos sus números

adimensionales iguales a las del prototipo para asegurar similitud.

4.2 Semejanza geométrica, cinemática y dinámica.

La teoría de las semejanzas es aquella que se emplea para el trabajo con modelos a

escala en túneles aerodinámicos con el objetivo de que el comportamiento de los

mismos sea lo más cercano posible a como se comportaría en una situación real el

objeto en cuestión. Manifiesta que los criterios fundamentales para establecer la

semejanza de un modelo a escala con el objeto real son los del número de Reynolds y

el número de Mach. Los objetos de estudio pueden ser vehículos

espaciales, aviones, puentes y edificaciones.

Semejanzas entre el modelo y el objeto real. Para analizar mediante un modelo a escala

los fenómenos que podrían ocurrir en el objeto real es necesario que entre ambos

(modelo y objeto real) exista semejanza geométrica, cinemática y dinámica.

Semejanza geométrica. Según esta teoría, los casos más simples de las semejanzas de

fenómenos, es la semejanza geométrica. Dos fenómenos (cosas) son geométricamente

semejantes si todas las correspondientes dimensiones lineales que las caracterizan son

proporcionales. Los criterios de semejanza geométrica son relaciones entre cualesquier

correspondientes dimensiones lineales. En los fenómenos geométricamente

semejantes, todos los criterios homónimos de semejanza geométrica son iguales.

Semejanza cinemática. Dos fenómenos son cinemáticamente semejantes si con la

semejanza geométrica, tiene lugar al mismo tiempo, proporcionalidad y orientación

igual de los vectores de velocidad en todos los puntos adecuados. Los criterios

principales de semejanza cinemática son ángulos que determinan la posición de un

cuerpo respecto al vector velocidad de la corriente libre.

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Semejanza dinámica. Dos fenómenos son dinámicamente semejantes si con la

semejanza cinemática tiene lugar la proporcionalidad y orientación igual de los

vectores fuerzas en todos los puntos adecuados de dichos fenómenos hablando en rigor,

la semejanza dinámica se consigue solo si tiene lugar la semejanza completa de

fenómenos cuando todas las magnitudes físicas similares son iguales en todos los

puntos correspondientes. Para obtener en la práctica la similitud de fenómenos

aerodinámicos basta lograr la proporcionalidad de las fuerzas de rozamiento y presión

lo que simplifica mucho este problema.

4.3 Parámetros adimensionales.

Los parámetros adimensionales están íntimamente relacionados con el análisis

dimensional y semejanza.

Básicamente, el análisis dimensional está relacionado con la reducción del número de

variables utilizadas en la modelización de un fenómeno físico.

Numero de Reynolds

Parámetro adimensional en mecánica de fluidos que relaciona las fuerzas de inercia

con las fuerzas viscosas.

ρ Densidad del fluido

Viscosidad del fluido

L Longitud del canal

v Velocidad del fluido

Numero de Froude

Parámetro adimensional en mecánica de fluidos que relaciona las fuerzas de inercia

con las fuerzas gravitatorias.

v - Velocidad de referencia del fluido

g – gravedad

y - profundidad (calado) de referencia del fluido

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Numero de weber

Parámetro adimensional que relaciona las fuerzas de inercia con la tensión superficial

del fluido. Tiene especial importancia cuando la curvatura de la superficie del fluido es

comparable con la profundidad del fluido a estudio. Por eso es de consideración sólo

cuando toma valores inferiores o iguales a la unidad. En caso contrario se pueden

despreciar los efectos producidos por la tensión superficial.

Siendo,

ρ - Densidad del fluido

σ – Tensión superficial del fluido.

L – Profundidad de referencia del flujo.

v - Velocidad de referencia del fluido

4.4 Teorema de “PI” de Buckingham.

Teorema de Π de Buckingham “Existe un número de parámetros adimensionales

independientes fijo para un problema dado, y es igual a la diferencia entre número total

de variables menos el número de dimensiones fundamentales.”

Es decir:

Donde

I: número de parámetros adimensionales independientes

N: número de variables implicadas en el problema

R: número de dimensionales fundamentales (Ej: Masa, Longitud, Tiempo)

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El Teorema Pi El teorema Pi dice lo siguiente: 1. Sea la ley física f(q1,q2,... ,qn) = 0,

libre de unidades, en donde q1, q2, . . . , qn son magnitudes dimensionales.

2. Sea L1,L2,... ,Lm, m < n, dimensiones

básicas y

ENTONCES a) Existen n − r cantidades adimensionales Π1,Π2, ... , Πn−r

independientes que pueden formarse con las q1,q2,... ,qn.

b) La ley física f(q1,q2,... ,qn) = 0 es equivalente a F(Π1,Π2, ... , Πn−r) = 0.

En esencia, el teorema expresa que es posible describir un fenómeno con una cantidad

de parámetros adimensionales (Π1, Π2, ... , Πn−r) que es menor que la cantidad de

parámetros dimensionales involucrados (q1,q2,... ,qn).

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5.1 Flujos en tubos.

Flujos internos. Son los flujos que quedan completamente limitados por superficies

sólidas. Ej.: flujo interno en tuberías y en ductos.

Considerando un flujo incompresible a través de un tubo de sección transversal

circular, el flujo es uniforme a la entrada del tubo y su velocidad es igual a U0. En las

paredes la velocidad vale cero debido al rozamiento y se desarrolla una capa límite

sobre las paredes del tubo.

Flujo en la región de entrada de una tubería

La velocidad promedio en cualquier sección transversal viene expresada por

Flujo laminar y flujo turbulento en las tuberías. La naturaleza del flujo a través de un

tubo está determinada por el valor que tome el número de Reynolds siendo este un

número adimensional que depende de la densidad, viscosidad y velocidad del flujo y

el diámetro del tubo. Se define como

Si el Flujo es Laminar Re<2300

Si el Flujo es Turbulento Re>2300

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Flujo laminar completamente desarrollado en un tubo. Para un flujo laminar

completamente desarrollado en un tubo la velocidad viene dada por

Gasto volumétrico

Sustituyendo 3.39 en 3.40

Resolviendo

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En un flujo completamente desarrollado el gradiente de presión es constante

Sustituyendo

Velocidad promedio

Sustituyendo 3.42 en 3.45

Punto de velocidad máxima. Para determinar el punto donde la velocidad alcanza su

valor máximo, se deriva la ecuación 3.39 con respecto a r y se iguala a cero

Luego sustituyendo r=0 en la ecuación 3.39

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5.2 Pruebas en túneles de viento y de agua.

Un túnel de viento es una herramienta en las investigaciones para estudiar los efectos

del movimiento del aire y su relación con otros objetos sólidos. El túnel debe

permanecer y estacionarse mientras se propulsa aire o gas alrededor de él. En su

mayoría son artefactos accionados por un motor donde el aire fluye de forma constante.

Túnel de viento Aero acústico. Este túnel de viento tiene como propósito observar el

flujo de aire en el cuerpo pero también analiza las fuentes de ruido que se generan.

Túnel de viento térmico. En este tipo de túnel se realizan experimentos a objetos en

condiciones extremas, se reproducen condiciones climáticas como el viento, calor y

hielo, en algunos casos se combinan para su estudio más exhaustivo.

El túnel de agua se utiliza para visualizar el flujo alrededor de un cuerpo. El primer

túnel de agua podría ser atribuido a Reynolds, el cual lo utilizó para el estudio de la

turbulencia en conductos, posteriormente en Francia, en la ONERA, se desarrolló

notablemente este dispositivo para el estudio de flujos. Dentro de sus cualidades cabe

mencionar que el flujo que se obtiene es uniforme y de baja turbulencia. Existen

diversas variantes de este dispositivo, el que contamos en el Laboratorio de

Aeronáutica es similar al de ONERA, esto es, es de flujo vertical, de circuito abierto y

opera bajo la acción de la gravedad. En la figura siguiente se puede observar un

esquema de la instalación con sus diferentes partes. Para visualizar el flujo se inyectan

colorantes por diversos orificios colocados sobre la superficie el cuerpo a estudiar, de

esta manera se puede visualizar el comportamiento del fluido sobre la superficie del

mismo. Se realizan fotografías y filmaciones desde todos los ángulos posibles registrar

el fenómeno y poder estudiarlo. Se utilizan colorantes mezclados con leche a fin de

retardar la difusión de los mismos en el agua, se supone que la grasa existente en la

leche produce este efecto. También se utilizan colorantes fluorescentes. Se pueden

simular condiciones de flujo estacionarias e inestacionarias. En las figuras siguientes

pueden observarse algunos resultados obtenidos en nuestro túnel y de otros institutos y

empresas.

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5.3 Perdidas primarias y secundarias en tuberías.

Las pérdidas de carga (o pérdidas de energía) en tuberías son de dos tipos; primarias y

secundarias:

Las pérdidas primarias son las “pérdidas de superficie” en el contacto del fluido con la

superficie (capa límite), rozamiento de unas capas de fluido con otras (régimen

laminar) o las partículas de fluido entre sí (régimen turbulento). Tienen lugar en flujo

uniforme y por lo tanto, principalmente se producen en tramos de tuberías de sección

constante.

Las pérdidas secundarias son las “pérdidas de forma” que tienen lugar en las

transiciones (estrechamiento o expansiones), en codos, válvulas y en toda clase de

accesorios de tuberías.

Pérdidas Primarias: Ecuación de Darcy

Si se supone una tubería horizontal de diámetro constate, D, por la que circula un fluido

cualquiera entre dos puntos 1 y 2, se cumple la ecuación de Bernoulli con pérdidas:

Al ser la tubería de sección constante y horizontal

A finales del siglo XIX, se demostró que la pérdida de carga era proporcional al

cuadrado de la velocidad media en la tubería y a la longitud de la misma, e inversamente

proporcional al diámetro de la tubería. La relación anterior se expresa según la ecuación

de Darcy.

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Esta fórmula es de uso universal para el cálculo de pérdidas de carga en conductos

rectos y largos, tanto para flujo laminar como turbulento. La diferencia entre ambos

tipos de flujo está en la definición y evaluación del factor de fricción. Existen multitud

de tablas, curvas, ecuaciones etc. para obtener el valor del factor de fricción (f). Sin

embargo, a partir de 1940, se ha venido usando cada vez más un ábaco denominado

“Diagrama de Moody”.

Perdidas secundarias: La ecuación fundamental de las pérdidas secundarias, análoga a

la ecuación de Darcy para pérdidas primarias, es la siguiente:

Diagrama de Moody

Normalmente, con el uso de las ecuaciones de Poiseville y la de Colebrook-White, se

puede realizar el cálculo del coeficiente de fricción (f). Sin embargo, este tipo de

ecuaciones requieren de una herramienta de cálculo donde se puedan programar, o de

complejos métodos de resolución, por lo que uno de los métodos más extendidos para

el cálculo rápido del coeficiente de fricción es el uso del Diagrama de Moody.

Dicho diagrama es la representación (en escala logarítmica), de las dos ecuaciones

anteriores, y permite determinar el valor de f en función del número de Reynolds y la

rugosidad relativa.

La utilización de este diagrama permite:

Determinar el valor del factor de fricción (f) para ser utilizado en la ecuación de Darcy.

Resolver todos los problemas de pérdidas de carga primarias en conductos de cualquier

diámetro, cualquier material, y para cualquier caudal.

Puede utilizarse en conductos de sección no circular, sustituyendo el diámetro (D) por

el radio hidráulico (Rh)

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5.4 Fuerzas de corte y de presión.

"Un fluido se puede definir como una sustancia que no resiste permanentemente a la

distorsión". Al intentar variar la forma de una masa de fluido se produce un

deslizamiento de unas capas sobre otras hasta que se alcanza una nueva forma. Para

producir ese deslizamiento es necesario aplicar una "Fuerza de Corte o Fuerza de

cizalla", la cual, referida a la unidad de superficie, recibe el nombre de "Tensión de

Corte o Esfuerzo cortante", . Cuando se alcanza la forma final desaparecen

los esfuerzos cortantes. La fuerza de corte, o la tensión de corte, necesaria para producir

el deslizamiento, depende de la mayor o menor atracción entre las capas fluidas y de la

velocidad de deslizamiento.

En nuestro estudio distinguiremos dos tipos de fluidos en función de la variación de su

densidad con la temperatura y presión. Si la densidad varía poco para cambios

moderados de temperatura y presión, el fluido se denomina incompresible, y si la

densidad varia apreciablemente respecto a estas variables, el fluido recibe el nombre

de compresible.

Se considera que los líquidos son incompresibles, y los gases y vapores, compresibles,

aunque éstos son términos relativos, y podemos encontrarnos con grandes variaciones

en la densidad de los líquidos, o con pequeñas para los gases, en cuyo caso, éstos

pueden tratarse como aquéllos, sin cometer errores apreciables

Una fuerza externa aplicada a una pared móvil de un recipiente que contiene un fluido

crea una presión que lo comprime. La fuerza repartida sobre la superficie de la pared

móvil da el valor de la presión (P = F/S). El volumen que ocupa el fluido disminuye al

aumentar la presión. La compresibilidad es casi nula en los líquidos. Aún sin fuerza

externa, el peso del líquido ejercerá una presión hidrostática sobre sus capas inferiores.

Esta presión engendra una fuerza que actúa desde el interior del líquido hacia fuera y

perpendicularmente a todas las paredes del recipiente.

F = PS

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5.5 Concepto de capa limite, ecuación de cantidad de movimiento aplicada a la capa

limite.

La capa límite o capa fronteriza de un fluido es la zona donde el movimiento de éste es

perturbado por la presencia de un sólido con el que está en contacto. La capa límite se

entiende como aquella en la que la velocidad del fluido respecto al sólido en

movimiento varía desde cero hasta el 99% de la velocidad de la corriente no perturbada.

La capa límite puede ser laminar o turbulenta; aunque también pueden coexistir en ella

zonas de flujo laminar y de flujo turbulento. En ocasiones es de utilidad que la capa

límite sea turbulenta. En aeronáutica aplicada a la aviación comercial, se suele optar

por perfiles alares que generan una capa límite turbulenta, ya que ésta permanece

adherida al perfil a mayor es ángulos de ataque que la capa límite laminar, evitando así

que el perfil entre en pérdida, es decir, deje de generar sustentación aerodinámica de

manera brusca por el desprendimiento de la capa límite.

El espesor de la capa límite en la zona del borde de ataque o de llegada es pequeño,

pero aumenta a lo largo de la superficie. Todas estas características varían en función

de la forma del objeto (menor espesor de capa límite cuanta menor resistencia

aerodinámica presente la superficie

Las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía para el movimiento

estacionario bidimensional y compresible de una capa límite son las dadas a

continuación,

En la ecuación de la cantidad de movimiento se ha sustituido el gradiente de presiones

por su equivalente

Si integramos transversalmente la ecuación (1) tenemos,

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y dado que v = 0 en y = 0 , la ecuación anterior toma la forma,

que representa la masa de fluido que está entrando en la capa límite. Haciendo lo mismo

con la ecuación (2) de la cantidad de movimiento se tiene,

Teniendo en cuenta que el espesor de desplazamiento d * y el de cantidad de movimiento α

están dados por,

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BIBLIOGRAFIA.

http://www1.caminos.upm.es/sic/files/04_seminarios/01/01_FichaSeminario_modelo

s_hidraulicos.pdf

http://tesis.uson.mx/digital/tesis/docs/2565/Capitulo3.pdf

www.ing.unlp.edu.ar/catedras/

http://ocwus.us.es/arquitectura-e-ingenieria/operaciones-

basicas/contenidos1/tema3/pagina_02.htm