Zuzena planoan
-
Upload
gorka-camara-hierro -
Category
Documents
-
view
834 -
download
12
description
Transcript of Zuzena planoan
ZUZENA
PLANOAN
Arrasate B. H. I. (Arrasate)
Batxilergo Zientifiko-Teknikoa
1. maila
Zuzenaren ekuazioak
Zuzen bat determinatzeko, bi puntu behar dira, edo bestela, puntu bat eta norabidea. Norabide bektoreari bektore zuzentzailea esaten zaio.
Demagun zuzena A=(a1 , a2) puntutik pasatzen dela eta bektore zuzentzailea = (v1 , v2) dela.
v
A
P
O
Y
X
va
v
Ekuazio bektoriala (x , y) = (2 , -1) + k . (-3 , 4) (x , y) = (a1 , a2) + k . (v1 , v2)
x = a1 + k . v1
y = a2 + k . v2
Ekuazio parametrikoak
x = 2 − 3ky =−1 4k¿ }¿
¿ ¿
O P = O A A P edo p = a k . vGoiko irudian honako hau dugu:
Zuzen hori era askotan adieraz daiteke. Adibide baten bidez azalduko ditugu era guztiak. Har ditzagun A = (2 , -1) puntua eta bektore zuzentzailea.v = −3 , 4
x − 2−3
=y 1
4Ekuazio jarraitua x − a1
v1=
y −a 2
v2
4x-8 = -3y-3 ; 4x+3y-5=0
v = v 1 , v 2 =−3 , 4
4x + 3y – 5 =0
Ekuazio orokorra edo ekuazio inplizitua
Ax + By + C =0Era horretan adierazita, bektore zuzentzailea (-B , A) da, zeren A = v2 eta B = -v1 baitira. Gure adibidean (-3, 4) bektorea.
Puntu-malda ekuazioa
Ekuazio jarraitutik, ondokoa ateratzen da: y1 = −43 x−2
zatidura da. Zatidura horri zuzenaren malda deritzo eta m letraz adierazten da.
−43
v 2
v1
y – a2 = m (x – a1)
Ekuazio esplizitua
y =−43
x 53
Ekuazio orokorrean y bananduta, ondokoa lortzen da:
y = m.x + b malda = x−ren koefizientea =−43
Zuzenaren malda
y2 – y1
Bi puntu emanda, P1=(x1,y1) eta P2=(x2,y2), puntu horietatik pasatzen den
zuzenaren malda hau da:
m=v2
v1=tg α =
y 2 − y1
x2 − x1=y-ren hazkundea
x-ren hazkundea
Adibidea. Zein da A=(1,-3) eta B=(3,2) puntuetatik pasatzen den zuzenaren malda?
m =2 − −3
3 − 1= 5
2
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
r
x2 – x1
α
Malda (m), zatidura, eta zuzenak abzisa-ardatzarekin
eraturiko angeluaren tangentea elkarren berdinak dira.
v 2
v1α
Bi puntutatik pasatzen den zuzenaDemagun zuzenaren bi puntu ezagutzen ditugula: A=(1 , -3) eta B=(4 , 2). Zein da beraren ekuazioa?
1 2 3 4 50X
-4
-2
2
0Y
ABᆴ
A
Bv =AB = 4 − 1 , 2 − −3 = 3 , 5
Beraz, zuzenaren ekuazioa hauxe da:
I) Puntutzat bata zein bestea har daiteke, adibidez A = (1 , -3)
Bektore zuzentzailea
Egin dezagun bi eratan:
1 ( 3) 5 3 14 0
3 5
x yx y
II) Puntutzat bata zein bestea har daiteke, adibidez A = (1 , -3) . Eta
2 1
2 1
2 ( 3) 5malda =
4 1 3
y ym
x x
Zuzenaren ekuazioa: y-a2 = m (x- a1) ; hau da,5
( 3) ( 1) 5 3 14 03
y x x y
(3,0)
(0,2)
Ekuazio kanonikoa edo segmentarioa
xa
yb
= 1Ezagutzen ditugun bi puntuak zuzenaren eta ardatzen arteko ebaki-puntuak badira,
(a , 0) eta (0 , b) hain zuzen, era honetan idatzi ahal dugu zuzenaren ekuazioa:
1 2 3 6 03 2
x yx y
Demagun zuzena (3,0) eta (0,2) puntuetatik pasatzen dela. Beraren ekuazioa:
a = 3 eta b = 2
1.- Idatz ezazu (0 , -3) puntutik pasatu eta bektore zuzentzailea duen zuzenaren ekuazioaren formak.
v = −2 , 4
Ariketak
2.- Zuzen baten ekuazio orokorra 2x + y –1 = 0 izanda, idatz itzazu zuzen horren ekuazio bektoriala, parametrikoak eta ekuazio jarraitua,. Zein da bektore zuzentzailea?
v = 1 , −3
r :x2
= y1
3.- Aurkitu A(2 , 0) puntutik pasatu eta bektore zuzentzailea duen zuzenaren ekuazio orokorra.
4.- ekuazioko zuzena emanik, zein da bektore zuzentzailea? Eta malda?. Eman zuzeneko puntu bat. Ondoren, adierazi zuzena era esplizituan.
5.- r: 3x – 2y +1 = 0 ekuazioko zuzena emanda, zein da bektore zuzentzailea? Eta malda?. Eman zuzeneko puntu bat. Ondoren, adierazi zuzena era parametrikoan.
6.- Aurkitu P=(2 , 1) puntutik pasatu eta malda –3 duen zuzenaren ekuazioa.
7.- Zein dira bi ardatz cartesiarren (OX eta OY) ekuazioak?
8.- A eta B puntuak emanda, lor itzazu bi puntu horietatik pasatzen den zuzenaren ekuazioa ondoko bi kasuetan:a) A=(2 , 1) eta B=(3 , -1)b) A=(2 , 0) eta B=(0 , -1)
Planoko bi zuzenak ebakitzaileak, paraleloak edo kointzidenteak izan daitezke. Zein diren jakiteko, nahikoa da beraren ekuazioez osaturiko ekuazio-sistema ebaztea.
AriketaEsan zein diren r eta s zuzenen arteko posizio erlatiboak.a) r: 5x – 3y + 2 = 0 ; s: -5x+3y – 2 = 0b) r: 2x – 3y + 1 = 0 ; s: -3x + 2y – 2 = 0c) r: -3x + 5y – 4 = 0 ; s: 6x – 10y + 7 = 0
Adibidea
Ekuazio-sistemaren soluzioa
Ebakitzaileak
-x + y + 1= 02x + 3y + 3 = 0
Soluzio bakarra: x = 0 ; y = -1
Puntu komun bat dute: P(0 , -1)
Paraleloak
x + 2y –2 = 02x + 4y –1 =0 Ez du soluziorik
Ez dute puntu komunik
Kointzidenteak
-x + y –1 = 02x – 2y +2 = 0 Infinitu soluzio
Puntu guztiak komunak dira
12
=24
≠−2−1
−12
≠13
−12
=1
−2=
−12
Bi zuzenen posizio erlatiboak
Paralelotasun baldintza
Ebazpena: Paraleloa bada x eta y-ren koefizienteak proportzionalak izan behar dira (berdinak ere izan daitezke), eta gai independientea , C, ez-proportzionala. Beraz, bilatzen ari garen zuzenaren ekuazioa honelakoa izango da: x – 2y + k = 0
Zuzena (-1,3) puntutik pasatzen denez, ondokoa bete behar du:-1 – 2.3 + k = 0 ; -7 + k = 0 ; k = 7
Bilaturiko zuzenaren ekuazioa hau da: x – 2y + 7 = 0
Bi zuzen paralelok malda (m) bera dute, edo – beste era batean esanda– bektore zuzentzaileen osagaiak elkarren proportzionalak dira.
Ariketa ebatzia 1
Idatzi r: x – 2y + 3 = 0 zuzenarekiko paraleloa izanik (-1,3) puntutik pasatzen den zuzenaren ekuazioa.
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x- 2y+3=0
A=(-1,3)
x−2−2
=y3
3
Ariketa ebatzia 2Lortu (-1 , 2) puntutik pasatu eta ekuazioko zuzenaren paraleloa den zuzenaren ekuazioa.
A=−1,2 v =−2,3
¿ }¿
¿ ⇒ r :x1−2
= y−23
¿
Bektore zuzentzailea (-2,3) da. Zuzen horren edozein zuzen paraleloren bektore zuzentzaileak (-2,3) bektorearen proportzionalak dira. Bereziki, bektore hori har dezakegu.
Ariketa ebatzia 3Lortu (0,5) puntutik pasatu eta y = -2x +1 ekuazioko zuzenaren paraleloa den zuzenaren ekuazioa
Kasu honetan, agerian dago maldaren balioa: -2Bilatzen ari garen zuzenak malda berbera du. Beraz, ekuazioa honelakoa izango da: y = -2x + bB konstantearen balioa lortzeko, ordezkatu egingo dugu enuntziatuan emandako puntua, hots, (0,5):
5 = -2.0 + b ; b = 5Bilaturiko zuzenaren ekuazioa hauxe da: y = -2x + 5
-1.5 -1 -0.5
1
2,A=(-1,2)
x−2−2
=y3
3
Idatz itzazu (2 , 3) puntutik pasatu eta ondoko zuzenen paraleloak diren zuzenen ekuazioak:
a) y = -3x +2
b)
c) -3x + y = -5
−x21
=y−1−3
Ariketa:
OX ardatzaren ekuazioa: y = 0 da.Y
X
y = 2
y = 0
Ok ∈R den .
OX ardatzaren paraleloa den zuzen baten ekuazioa, berriz, y = k , non
OY ardatzaren ekuazioa: x = 0 da.
k ∈R den .
OY ardatzaren paraleloa den zuzen batena, berriz, x = k , non
X
Y
x = 3
O
x = 0
Bi bektoreren arteko biderketa eskalarra
α
u
v
Bai zenbakiak dira; beraz, zenbaki bat da. Hortik datorkio, hain zuzen, izena: eskalar hitza.
∣u ∣, ∣v ∣ eta bai cos α u . v
Era honetan definitzen dugu:
Adibidea.- Eman dezagun ∣u ∣= 3 , ∣v ∣= 4 eta α = 600 direla :u . v = 3 . 4 . cos 600 = 12 .
12
= 6
Bektoreen arteko eragiketa berezi bat da. Bi bektoreren biderkadura eskalarrari zenbaki erreal bat dagokio: V 2 . V 2 R
u . v =∣u ∣ . ∣v ∣ . cos α
u ⊥ v ⇒ u . v = 0
Izan ere, cos α = cos 900 =0 da .
Ondorio garrantzitsua: “Bi bektore perpendikularrak badira, haien biderkadura eskalarra zero da”.
Eta alderantziz: “Nuluak ez diren bi bektoreren biderkadura eskalarra zero bada, bektoreak perpendikularrak dira”.
u
v
1.- Bi bektoreren biderkadura eskalarra hauxe da: bektore baten moduluaren eta beste bektoreak lehenengoaren gainean sortzen duen proiekzioaren arteko biderkadura.
2.- Trukatze-propietatea: u . v =v . u
3.- Banatze-propietatea: u . v w = u . v u . w
4. Elkartze-propietatea:
λ u . v = λ u . v , λ edozein zenbaki erreal izanik .
Adibidez, 3 u . v = 3 u . v
Propietateak
u . v =∣u ∣ . ∣v ∣ . cos α =∣u ∣ . v −ren proiekzioa u -ren gainean
=∣u ∣ . OM
Angelua zorrotza bada emaitzaren zeinua + izango da, eta kamutsa bada zeinua – izango da.
. cos
proiekzioa u gainean
v
v ren ren
��������������
O M
u
v
α
Demagun oinarria ortonormala dela eta oinarri horretan
Adierazpen analitikoa
u eta v bektoreen osagaiak u 1 , u 2 eta v 1 , v 2 direla, hurrenez hurren.
u . v = u1 . v 1 u 2 . v 2
v = v 1 , v 2
u = u1 , u 2
u = 1 , -2 eta v =3,4 bektoreak emanda, u . v = 1 . 3 −2 . 4 =−5
Esaterako:
Ondokoa betetzen da:
Oharra: bektore jakin baten ortogonala den bektore bat lortzeko, nahikoa da beraren osagaiak ordenaz aldatzea eta bietako baten zeinua aldatzea.
Adibidez, (2 , -3) eta (3 , 2) bektoreak perpendikularrak dira, zeren 2.3 + (-3).2 = 0 baita.
KONTUAN IZAN!
Biderketa eskalarraren hiru definizio:
I)
II)
III) (oinarria ortonormala den kasuan)
u . v =∣u ∣ . ∣v ∣ . cos α
u . v =∣u ∣ . OM
u . v = u1 . v 1 u 2 . v 2
Emaitza ZENBAKI ERREAL BAT da.
a u . v b v −ren proiekzioa u −ren gainean
c 2u . v d u v . v
u = 1 , -2 eta v =−2,2
Ariketak
1. Oinarri ortonormal batean
bektoreak emanda, kalkulatu:
a = 1 , 3 ; b = k , −2
2. Aurkitu k-ren balioa, ondoko bektoreak ortogonalak (perpendikularrak) izan daitezen:
Bektore baten modulua
Orokorrean, u = u1 , u 2 ∣u ∣= u 12 u 2
2bektore baten modulua hauxe da:
-1
X
Y
3
a = 3 , −1
-ren bidez adierazten da eta ondoko
balioa da:
a = 3 , −1
∣a ∣= 32 −1 2 = 10
Adibidea. bektorearen modulua (luzera)
∣a∣
Bektore unitarioa 1 balioko modulua duen bektoreei bektore unitarioa deitzen zaie. bektore bat emanda, zein da -ren norabide berbera eta noranzko berbera dituen bektore unitarioa? Ondoko bektorea da:
u
∣u ∣u
u
Adibidea. Demagun dela. u
u = 2 , −1 ∣u ∣= 22 −1 2 = 5Modulua:
-ren paraleloa den eta noranzko bera duen bektore unitarioa hauxe da: 2
5,−1
5
Bi punturen arteko distantzia
Planoko A eta B puntuen arteko distantzia puntu biek determinaturiko bektore finkoaren modulua da. Eta d(A , B) bidez adieraziko dugu.
AB = b1 − a1 , b2 − a2
d A , B = ∣AB∣= b 1 − a 1 2 b 2 − a 2
2
d A , B = 4 1 2 2 − 4 2 = 25 4 = 29
A=(a1,a2)
B=(b1,b2)
X
Y
A B
Esate baterako, A = (-1 , 4) eta B = (4 , 2) puntuak badira:
-1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4A
B
α
u
v Bi bektoreren arteko angelua
Izan bitez eta bektoreak oinarri ortonormal batean. Ondokoa betetzen da:
u = u1 , u 2 v = v 1 , v 2
1 1 2 2
2 2 2 21 2 1 21 1 2 2
. . . cos . . .cos
. .Bestalde, . . .
u v u v u v u v u v
u v u u v vu v u v u v
�������������������������������������������������������� ����������������������������
��������������������������������������������������������
2 2 2 2
0
. 2 . 5 ( 3) . 4cos
. 2 ( 3) . 5 4
20,0866 da,
13 . 41
eta cos ( 0,0866) 94 58 '
u v
u v
arc
����������������������������
����������������������������
Adibidea
u = 2 , −3 eta v = 5 , 4 badira,
2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
u®
v®
α
Ariketak
1. Oinarri ortonormal batean bektoreak emanik, kalkula itzazu:
u = 2 , 1 eta v = −3 , 2
u . v
∣u∣∣v ∣ cos u , v
2. Lortu bektorearen paraleloa izan eta 1 modulua duen bektorea.
v = −3 , 2
3. Kalkula ezazu zein den P = (-2 , 3) eta Q = (3 , -4) puntuen arteko distantzia.
Beraz, r-ren perpendikularra den zuzen batek (A, B) edo (-A,-B) moduko bektore zuzentzailea eduki behar du, biderkadura eskalarra zero izan dadin. Izan ere, : (-B).A + A.B = 0 da. Eta zuzen perpendikularraren malda da. m2=
v2'
v1' =
BA
2 2da.
5 5
Am
B
−52
Demagun r: 2x – 5y + 1 = 0 zuzena. Beraren malda
Zuzen horren perpendikularra den zuzen bat aurkitu nahi izanez gero, badakigu horren malda izan behar duela; hots, mota honetako zuzena dela: 5x + 2y + k = 0
m1=−AB
r: Ax + By + C = 0 eran adierazitako zuzenean bektore zuzentzailea (-B,A) da eta malda r: Ax + By + C = 0 eran adierazitako zuzenean bektore zuzentzailea (-B,A) da eta malda
Zuzen perpendikularrak
m alda = m
malda=−1m
Beraz, bi zuzen perpendikularren maldak elkarren alderantzizkoak eta aurkakoak dira; hots, m2=−
1m1
Ariketa ebatzia 1
Beraz, zuzen perpendikularra:
r-ren malda 3 da; beraz, zuzen perpendikularrarena izango da, alderantzizkoa eta aurkakoa hain zuzen.
−13
Zuzena motakoa izango da. y=−13
x b
A(2, 0) puntutik pasatu behar duenez, 0=−13
. 2 b ⇒ b=23
y=−13
x 23
⇒ x 3y −2 = 0 da .
Lor ezazu A=(2 , 0) puntutik pasatu eta r: y = 3x – 6 zuzenaren perpendikularra den zuzena.
-1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
A=(2,0)
y = 3x-6
Ariketa ebatzia 2
r-ren bektore zuzentzailea (4 , 1) da.
Beraz, zuzen perpendikularraren bektore zuzentzailea (-1 , 4) izango da.
Gainera, A(2,0) puntutik pasatu behar duenez , aurkitu nahi dugun zuzenaren ekuazioa hauxe izango da:
x−2−1
=y4
⇒ y =−4x 8
r :x1
4= y−2Lor ezazu A=(2 , 0) puntutik pasatu eta
zuzenaren perpendikularra den zuzena.
1 2
-1
1
2
3
A =(2,0)
r :x1
4= y−2
KONTUAN IZAN!
Demagun bi zuzen m eta m’ maldadunak:
Paraleloak badira: m = m’
Perpendikularrak badira: m=−1
m '
1. Lor ezazu, kasu bakoitzean, A = (1 , -1) puntutik pasatu eta s-ren perpendikularra den zuzena:
a) s: x – 4y + 1 = 0 ; b) s: y = -2x +5 ; c) s :
x=3−ty=22t
¿¿ {¿ ¿ ¿
1. P = (1, 2) puntua eta r: x + 3y = 0 zuzena emanda, aurkitu ondoko hauek:
a) P-tik pasatu eta r-ren paraleloa den zuzenaren ekuazioa.
b) P-tik pasatu eta r-ren perpendikularra den zuzenaren ekuazioa.
Ariketak:
Puntu baten eta zuzen baten arteko distantziaKalkula dezagun A(3 , 6) puntutik r: x – 2y – 1 = 0 zuzenera dagoen distantzia.
I) Emandako r zuzenaren malda ½ da; beraz, perpendikularrarena –2 izango da. Gainera, A(3,6) puntutik pasatzen denez, r-ren perpendikularra den zuzenaren ekuazioa ondoko hau da: y – 6 = -2(x – 3) edo 2x + y –12 = 0
Orain kalkula dezagun bi zuzen perpendikularren arteko ebaki-puntua (P), ondoko ekuazio sistema ebatzita:
x – 2y –1 = 02x + y –12 = 0 ; Soluzioa x = 5 eta y = 2 ; P(5 , 2)
A puntutik r zuzenera arteko distantzia eta A-tik P puntura artekoa bat dira; hau da:
d A ,r = d A , P = 2 − 6 2 5 − 3 2 = 20
d A , r =∣A . a1 B . a2 C∣
A 2 B 2
II) Formula erabilita:
r: Ax + By + C = 0 zuzena eta A (a1 , a2) puntua emanda:
Gure adibidean, r: x – 2y –1 = 0 eta A(3 , 6) direnez gero,
d A , r =∣1 . 3 −2 . 6 −1 ∣
12 −2 2=
∣−10∣5
= 105
= 10 . 55
= 2.5 = 20
Bi eratan egingo dugu: arrazoituz eta formula bat erabiliz
2 4 6
2
4
6
d
P
A=(3,6)
x-2y-1=0
Kalkulatu P(-3 , 1) puntutik x – y + 2 = 0 zuzenera dagoen distantzia. Egizu bi eratan.
Ariketa
Bi zuzen paraleloren arteko distantzia
r eta s zuzen paraleloren arteko distantzia zuzen bateko edozein puntutatik (A) beste zuzenera dagoen distantzia da
Ariketa. Kalkulatu r: x – 2y –1 = 0 eta s: x – 2y + 4 = 0 zuzen paraleloen arteko distantzia.
Oh.: Aukera ezazu r-ren puntu bat –esaterako (1 , 0)- eta kalkulatu puntu horretatik s zuzenera dagoen distantzia, metodo bata zein bestea erabilita.
Sol . : 55
A
r
s
Puntu baten simetrikoa zuzenarekikoKalkula dezagun P = (4 , 3) puntuaren simetrikoa r: 2x – y + 3 = 0 zuzenarekiko
I. r-ren bektore zuzentzailea (1,2) da; beraz, s zuzen perpendikularraren zuzentzailetzat (-2,1) har daiteke
Hau da:
v = −2,1P=4,3
¿ }¿
¿ ⇒ s :x−4−2
= y−31
⇒ s : x2y−10=0 ¿
II. r eta s zuzenen ebaki- puntua kalkulatzeko ondoko ekuazio-sistema ebatziko dugu:2x−y3=0x2y−10=0
¿ }¿
¿ ⇒ Q= 45
,235
¿
I. Demagun P’-ren koordenatuak (x , y) direla. Q puntua, erdiko puntua denez:
45
=x 4
2eta
235
=y 3
2⇒ x=−
125
eta y =315
⇒ P ' = −12
5,
315
P’ puntua aurkitu behar da, eta hori ondoko hiru pausuak emanda lor daiteke:
I) P-tik pasatu eta r-ren perpendikularra den s zuzena bilatu. II) r eta s zuzenen arteko Q ebaki-puntua aurkitu. III) Q puntua P eta P’-n erdiko puntutzat hartu.
-3 -2 -1 1 2 3 4
2
4
6
8
s
P=(4,3)
P´
Q
2x-y+3=0
Hiru puntu ez-alineatuk determinatzen duten triangeluaren azalera
Kalkula ezazu A=( 2 , 1), B=(6,2) eta C=(3,5) erpinak dituen triangeluaren azalera
Azalera =12
oinarria . altuera
Oinarri A eta B puntuen arteko distantzia hartuta, altuera C puntutik AB zuzenera arteko distantzia da.
¿ O inarria = d A , B = 6 − 2 2 2 − 1 2 = 17
• Altuera (h) = d(C , rAB)
Lehenik A eta B tik pasatzen den zuzena kalkulatuko dugu:
v =AB = 4 , 1 A = 2 , 1
¿ }¿
¿ ⇒ x − 24
= y − 11
⇒ x − 4y 2 = 0 ¿
Ondoren, d(C , r): d C , r =∣3 − 4 . 5 2∣
12 −4 2=
∣−15∣17
= 15
17
• Azkenik, azalera: Azalera =12
oinarria . altuera =12
. 17 .15
17=
152
unitate karratu
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
A=(2,1)
B=(6,2)
C=(3,5)
O
1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
A
B
C
D
A(2,-3), B(5,2),eta C(4,4) puntuak emanda:a) Aurkitu D puntua ABCD paralelogramo
bat izan dadin.b) Egiaztatu beraren diagonalen erdiguneek
bat egiten dutela.
) da; beraz:a AB DC����������������������������
AB = 5 , 2−2 , −3 =3 , 5 DC = 4 , 4 −x , y = 4−x , 4− y ¿ }¿
4−x=3 x=14− y=5 y=−1
¿ ⇒ ¿ ¿ }¿¿ D = 1 , −1 ¿
b AC− ren erdigunea: 24
2,−34
2 = 3 ,
12
BD− ren erdigunea: 51
2,
2−1 2
= 3 ,12
¿ }¿¿ ⇒ Puntu bera lortzen dugu ¿
Ariketa ebatzia 1
-10 -8 -6 -4 -2 2
-2
2
4
6
8 P
Q
R
h
Ariketa ebatzia 2
a) Aldeen luzerak hauek dira:
d P ,Q = −11−3 2 3−8 2 = 221
d P , R =−8−3 2 −2−8 2 = 221
d Q , R =−811 2 −2−3 2 = 34
d(P,Q) = d(P,R) delako, triangelua isoszelea da .
b) Oinarri QR hartuta, altuera (h) P-tik QR zuzenera dagoen distantzia da.
Altuera = d P , QR =∣5 . 3 3 . 8 46∣
52 32= 85
34
Azalera = 12
34 .8534
= 852
unitate karratu
QR-ren ekuazioa: m=−2−3−811
=−53
y−3=−53 x11 5x3y46=0
Triangelua isoszelea denez, altuera P puntutik QR-ren erdigunera dagoen distantziaren bidez ere kalkula daiteke.
P(3,8), Q(-11,3) eta R(-8,-2) puntuak triangelu baten erpinak dira.a) Egiaztatu triangelu hori isoszelea dela.b) Aurkitu triangeluaren azalera.
Ariketa ebatzia 3
Aurkitu A(2,1) eta B(1,-3) puntuetatik distantzia berera dagoen 4x-8y+7=0 zuzeneko puntua.
Hau da:
I d P , A = d P , B ⇒ 2− x 2 1− y 2 = 1− x 2 − 3− y 2 2x 8y5 =0
II) P puntuak emandako zuzenekoa izan behar duenez, 4x-8y+7=0 ekuazioa bete behar du.
P=−2 , −18
2x8y5=04x−8y7=0¿ }¿
¿¿
sistema ebatzita lortzen dugu P puntua:
Bila gabiltzan puntua P(x,y) da, eta bi baldintza bete behar ditu:I) d(P,A) = d(P,B)II) P puntua 4x-8y+7=0 zuzenean egotea.
-3 -2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
24x-8y+7=0
A(2,1)
B(1,-3)
P