27

Технологии сейсморазведки, № 3, 2012, с. 27–30 http://ts.ipgg.nsc.ru

УДК 550.834

АНАЛИЗ НЕЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ОПЕРАТОРА ПОВЕРХНОСТНО-СОГЛАСОВАННОЙ ДЕКОНВОЛЮЦИИ

А.П. СысоевНациональный минерально-сырьевой университет “Горный”, кафедра геофизических и геохимических методов разведки,

199106, Санкт-Петербург, 21-я линия, 2, Россия, e-mail: sysoev-50@mail.ru

Проблема неединственности решения задачи разделения поверхностных и глубинных факторов поля отраженых волн порождает неединственность решения задачи поверхностно-согласованной деконволюции. Рассматриваются дополнительные условия и комбинации параметров модели, для которых расчет оператора деконволюции выполняется единственным образом.

Поверхностно-согласованная деконволюция, цифровая обработка данных МОГТ, неединственность решения задачи разделения поверхностных и глубинных факторов

ANALYSIS OF NONUNIQUENESS OF SOLUTIONFOR SURFACE CONSISTENT DECONVOLUTION PROBLEM

А.P. SysoevNational University of Mineral Resources, Chair of Geophysical and Geological Methods of Exploration Activity,

2, Line 21, Saint-Petersburg, 199106, Russia, e-mail: sysoev-50@mail.ru

The problem of separation of surface and depth factors of a reflected field and the nonuniqueness of its solution result in nonuniqueness of the solution for the surface-consistent deconvolution problem. In the article one considers additional conditions and combinations of the model parameters that result in the deconvolution operator has been calculated in a unique way.

Surface consistent deconvolution, digital processing of CMP data, conditions of uniqueness in determining corrective filters

Стандартный граф цифровой обработки назем-ных сейсмических наблюдений МОГТ в настоящее время включает две обязательные процедуры коррек-ции динамики отраженных волн, предназначенные для устранения влияния латеральной неоднородности верхней части разреза и применяемые, как правило, в указанной последовательности:

1. Поверхностно-согласованная деконволюция (ПС-деконволюция);

2. Поверхностно-согласованная коррекция амп-литуд сейсмических сигналов.

Теоретической основой для модели факторной (поверхностно-согласованной) деконволюции, реали-зованной, в частности, в программе DECSC пакета Геокластер (CGG), является сверточная модель сейс-мической трассы, включающая факторы источников, приемников, общей глубинной точки (ОГТ) и удале-ния приемник–источник [Yilmaz, 1987]. Соответ-ственно, амплитудный спектр трассы представляется в виде

F w

S w A w B w G w P w E wij

i j i j j i ij

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ++ − . (1)

Здесь i = 1, …, I, j = 1, …, J – номера пунктов взрыва (ПВ) и приема (ПП); Fij(w) – амплитудный спектр трассы; S (w) – постоянная для всего массива данных составляющая амплитудного спектра сигнала; Ai (w), Bi (w) – амплитудные спектры источников и приемни-ков; G(i + j)(w) – спектр импульсной характеристики

среды (ИХС); P(j – i)(w) – фильтр удаления ПП–ПВ; Ei,j(w) – случайная помеха.

Необходимо отметить, что задача учета поверх-ностных неоднородностей (1) в полном спектраль-ном представлении, включая линеаризацию и анализ неединственности решения, впервые рассмотрена С.В. Голь диным и Г.М. Митрофановым [1975]. Спус-тя десятилетие эта задача была сведена к коррекции только амплитудного спект ра источников и прием-ников.

Структура модели коррекции динамики (1) подоб-на уравнению, описывающему задачу совместной кор-рекции статических и кинематических параметров. Обе модели включают в себя параметры источников, приемников, ОГТ и фактор удаления. Анализу един-ственности и устойчивости решения системы урав-нений задачи коррекции статических поправок по-священы многочисленные исследования, но, вместе с тем, эти результаты не учтены в постановке задачи коррекции динамики. В этой статье будут кратко по-вторены известные специалистам результаты анализа [Гольдин, 1979; Сысоев, 2011], но с учетом особен-ностей конкретной задачи.

Если в уравнении (1) убрать аргумент w и при-нять, что Fij – среднеквадратичная амплитуда сейсми-ческой трассы, то получим уравнение, описывающее задачу поверхностно-согласованной коррекции амп-литуды сейсмических сигналов.

© А.П. Сысоев, 2012

28

Пусть �S w( ),

�A wi( ),

�B wj ( ) – оценки спектраль-

ных характеристик сигнала, источников и прием-ников, полученные в результате решения системы уравнений (1). Тогда, цитируя [Yilmaz, 1987]: “Опера-тор поверхностно-согласованной деконволюции есть минимально-фазовая инверсия оператора � � �S w A w B wi j( ) ( ) ( )⋅ ⋅ ”. Такая же структура корректиру-ющего оператора, включающая только оценки пара-метров источников и приемников, рекомендована инструкцией к программе DECSC.

Предположим, что решение системы уравнений (1) получено, для каждой трассы рассчитаны обратные операторы и выполнена корректирующая фильт рация, в результате которой выровнены амплитудные спект-ры всех источников и приемников. Естественно, что если выровнены амплитудные спектры, то выровнены и амплитуды сигналов. Тогда возникает вопрос о функ-ции процедуры факторной коррекции амплитуд.

Рационального ответа на этот вопрос автор пред-ложить не может, но трудно поверить, что коррекция амплитуд после коррекции амплитудного спектра сиг-налов является результатом массового заблуждения. Также можно сослаться на мнение авторитетного спе-циалиста цифровой обработки А.А. Евдокимова (ав-тора пакета “BONUS” ОАО “СибНГФ”) о том, что ПС-коррекция амплитуд является полезной проце-дурой. Будем считать, что это мнение, основанное на фак тических результатах обработки, верно. Тогда нуж-но понять, почему после факторной коррекции амп-литуд гармонических составляющих сигнала сами амплитуды сигналов (среднеквадратичных значений амплитудных спектров) требуют дополнительной кор-рекции. Существует риск того, что коррекция ампли-туд устраняет недостатки частотной коррекции с точ-ки зрения визуального восприятия сейсмической за-

писи. На рисунке приведен фрагмент сечения куба, при обработке которого выполнены обе процедуры ПС-коррекции. Но изображение разреза, полученное в диапазоне частот 50–80 Гц, демонстрирует явные дефекты решения задачи коррекции динамики.

Анализ задачи и способ решения системы урав-нений (1) упрощаются при переходе к логарифмам комп лексных спектров. Как отмечено в работе [Yil-maz, 1987], для того чтобы перейти к линейному урав-нению, требуется предположить, что помеха Ei,j(w) в уравнении (1) равна нулю:

f w F w

s w a w b w g w p wij ij

i j i j j i

( ) ln ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

= ( ) =

= + + + ++ − . (2)

Сумма факторов ai (w) + bj (w) в уравнении (2) описывает для каждой трассы влияние поверхностных условий. Следовательно, если

�s w( ),

�a wi( ) и

�b wj ( ) яв-

ляются оценками параметров системы линейных урав-нений (2), то функция − + +( )� � �

s w a w b wi j( ) ( ) ( ) пред-ставляет собой поправку, выравнивающую амплитуд-ный спектр по частоте и устраняющую нестабильность источников и приемников. После экспонирования оценок параметров линейной модели для каждой трассы определяется универсальный корректирующий фильтр:

Q w s w a w b w

S w A w B w

ij i j

i j

( ) exp ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).

= − + +( )( ) =

=⋅ ⋅

� � �

� � �1 (3)

Уравнение (2) с небольшими вариациями повто-ряет уравнение совместной коррекции статических и кинематических параметров. Для того чтобы подчерк-нуть их сходство и различие, перепишем уравнение в ко ординатах “поля времен”: x – координата ОГТ и l – удаления ПП–ПВ. Для краткости опустим пере-

Фрагмент сечения куба 3D после поверхностно-согласованной деконволюции и нормировки амплитуд (а), отфиль-трованный в полосе частот 45–50…65–70 Гц (б).

29

менную частоты, поскольку оценивание параметров выполняется независимо на каждой частоте w :

f x l s a x l b x l g x p l( , ) / / ( ) ( )= + −( ) + +( ) + +2 2 . (4)

В приведенном уравнении функция удаления p (l) описывает постоянное для всей выборки сейсмограмм ОГТ изменение спектра трасс от удаления ПП–ПВ. В задаче совместной коррекции статических и кине-матических поправок зависимость от удаления опре-деляется как остаточная кривизна годографа, являю-щаяся функцией координаты ОГТ вида p (x) l 2.

АНАЛИЗ НЕЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ

Система уравнений (4) не имеет единственного решения, если существуют отличные от нуля значе-ния параметров модели: s, a (x), b (x), g (x), p (l), кото-рые удовлетворяют системе однородных уравнений

a x l b x l g x p l−( ) + +( ) + + =/ / ( ) ( )2 2 0 (5)

при любых значениях переменных x, l. Постоянная составляющая решения. Очевидно,

что значение f (x, l) не изменится, если к слагаемым в уравнении (4) прибавить произвольные константы, в сумме равные нулю:

f x l s d a x l d

b x l d g x d p l

( , ) /

/ ( ) ( )

= +( ) + −( ) +( ) ++ +( ) +( ) + +( ) + +

1 2

3 4

2

2 dd5( ) ,

где dii

==∑ 0

1

5

.

Этот результат определяет неединственность опре-деления постоянной составляющей факторов модели.

Линейная составляющая решения. Пусть парамет-ры ПВ и ПП описываются линейной функцией про-фильной координаты x : c (x) = c1x. Покажем, что сум-ма факторов ПВ и ПП в этом случае может быть представлена линейной составляющей фактора ОГТ:

c x l c x l

c x l c x l c x

−( ) + +( ) == −( ) + +( ) =

/ /

/ /

2 2

2 2 21 1 1 . (6)

Отсюда следует, что при любых значениях c1 вы-полняется равенство (5):

c x l c x l g x

c x l c x l c x

−( ) + +( ) + == −( ) + +( ) − =

/ / ( )

/ / .

2 2

2 2 2 01 1 1

При ограниченной апертуре наблюдения из кате-гории неединственности решения задачи разделения линейных составляющих поверхностных и глубинных факторов проблема трансформируется в категорию неустойчивости разделения компонент решения, опи-сываемых линейными функциями на интервале базы наблюдения. Для систем наблюдения с кратным от-ношением шага дискретизации по источникам и при-емникам проблема дополняется эффектом “зигза га” – отображением системы наблюдения в динамике отра-женных волн [Сысоев, 2004].

Нетрудно также показать, что линейная состав-ляющая функции удаления ПП–ПВ p (l) может быть описана линейными функциями источника и прием-ника: c l c x l c x l1 1 12 2= +( ) − −( )/ / . (7)

При выполнении условия симметрии динамичес-ких характеристик волнового поля относительно зна-чения l = 0, неединственность определения составля-ющих решения, описываемых уравнением (7), устра-няется, если в качестве переменной динамического

годографа рассматривать абсолютное значение удале-ния p (|l |).

Полиномиальная составляющая решения. Пусть функция c (x) определяется полиномом второй степе-ни c (x) = c0 + c1x + c2x2 с произвольными коэффи-циентами. Запишем уравнение, представляющее сум-му факторов ПВ и ПП для трассы с координатами (x, l):

c x l c x l

c x l c x lii

ii

i

i

−( ) + +( ) =

= −( ) + +( ) == =∑ ∑

/ /

/ /

2 2

2 20

2

0

2 (8)

= + +⎡⎣ ⎤⎦ + ⋅⎡⎣ ⎤⎦ = +2 20 1 22

22c c x c x c l g x p l( ) ( ).

Здесь после приведения подобных членов сумма поли-номов второй степени, описывающих поверхностные факторы, представляется полиномом второй степени фактора ОГТ и параболой динамического годографа.

Отсюда следует, что при любых значениях коэффи-циентов ci (i = 0, 1, 2) и переменных x, l для уравнения факторной коррекции (2) выполняется условие (5):

c x l c x l

c x c l

ii

ii

i

i

ii

i

= =

=

∑ ∑

∑

−( ) + +( ) −

− − ⋅ ≡

0

2

0

2

0

2

22

2 2

2 2 0

/ /

,

что, как отмечено выше, является признаком неедин-ственности решения системы уравнений.

ФУНКЦИИ, ДОПУСКАЮЩИЕ ЕДИНСТВЕННОЕ ОЦЕНИВАНИЕ

Для системы уравнений типа (4) С.В. Гольдиным [1979] введено определение функции, допускающей единственное решение. Из анализа, представленного выше, следует, что для задачи разделения поверхност-ных и глубинных факторов такой функцией является только оценка исходного сигнала

�f x l( , ) :

� � � � � �f x l s a x l b x l g x p l( , ) / / ( ) ( )= + −( ) + +( ) + +2 2 .

Если, как отмечено выше, в модели волнового по ля учитывается симметрия функции p (l) = p (| l |), то система уравнений (4) допускает единственное оце-нивание двух функций параметров:

q x l s a x l b x l g x1 2 2( , ) / / ( ),= + −( ) + +( ) +� � � �

q l p l2 ( ) = ( )�.

Соответственно корректирующие фильтры, опре-деляемые единственным образом, обязательно долж-ны включать оценки следующих факторов модели:

Q wS w A w B w G wij

i j i j

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

= ⋅ ⋅ ⋅+

1 1 1 1. (9)

В приведенном выражении присутствует обрат-ный оператор к средней форме сейсмического сигна-ла, корректирующие фильтры источника и приемни-ка, а также оператор, корректирующий изменение по профилю спектр импульсной характеристики среды. Поскольку функция q2(| l |), описывающая влияние удаления, определяется единственным образом, то оператор 1/P | j – i |(w), корректирующий изменение спектра волнового поля от абсолютного значения уда-ления ПП–ПВ, может включаться опционно.

Для исключения дефектов решения задачи кор-рекции динамики волнового поля, связанных с не-единственностью разделения поверхностных и глу-

30

бинных факторов, мы вынуждены включить фактор ОГТ g (x), которому соответствует фильтр 1 G wi j( )( )+ в структуру корректирующего фильтра. Очевидным яв-ляется тот факт, что этот фильтр устраняет все возмож-ные вариации волнового поля, обусловленные глу бин-ными факторами, что противоречит цели обработки.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИПС-ДЕКОНВОЛЮЦИИ

На нескольких этапах цифровой обработки ис-пользуется предположение о том, что импульсная ха-рактеристика среды характеризуется постоянным зна-чением амплитудного спектра:

G(i + j)(w) = const.

На этом предположении основаны алгоритмы: потрассной деконволюции; нуль-фазовой деконволю-ции по разрезу ОГТ, выполняемой на завершающих этапах обработки; оценки формы нуль-фазового сиг-нала при одномерном моделировании. Если принять эту гипотезу в качестве дополнительного условия рас-сматриваемой задачи, исключив параметр g (x) = const, то уравнение (4) представляется в виде

f x l s a x l b x l p l( , ) / /= + −( ) + +( ) + ( )2 2 . (10)

Для системы уравнений (10) определены две функции, допускающие единственное оценивание:

q x l s a x l b x l1 2 2( , ) / / ,= + −( ) + +( )� � �

q l p l2 ( ) = ( )�.

Таким образом, рекомендуемая модель поверх-ностно-согласованной деконволюции сводится к виду

F w S w A w B w P w E wij i j j i ij( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ ⋅ +− . (11)

В уравнениях (10, 11) кроме исключения фактора ОГТ g (x) динамический годограф описан как сим-метричная функция удаления p (|l |). Выполненные из-менения модели имеют следующие следствия.

1. Отсутствует неединственность определения ли-нейной составляющей динамического годографа, опи-сываемой уравнением (7), и связанных с этой компо-нентой линейных составляющих факторов ПВ и ПП.

2. Отсутствует неединственность и неустойчи-вость оценивания линейных и параболических со-ставляющих поверхностных факторов, описываемых уравнениями (6), (8). В задаче разделения поверхност-ных и глубинных факторов определены так называе-мые “высокочастотные” пространственные составля-ющие факторы [Сысоев, 2011], которые определяются устойчиво и независимо от других параметров моде-ли. При отсутствии составляющей g (x) в структуре модели высокочастотные вариации параметров вол-нового поля будут сохранены при коррекции.

Для системы уравнений (10) функция, допускаю-щая единственное решение, определяется суммой трех факторов: s + a (x – l/2) + b (x + l/2). Соответ-ственно, оператор ПС-деконволюции (3), включаю-щий три фактора: сигнал, источник и приемник, оп-ределяется единственным образом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Между двумя приложениями (кинематическим и динамическим) задачи совместной коррекции по-верхностных и глубинных факторов волнового поля при общем подобии уравнений существуют принци-пиальные отличия:

– для задачи коррекции статических поправок ос-новой получения правильного решения является апри-орная информация, представляемая в виде априорных статических поправок. Важен сам факт возможности получения такой информации прямыми измерениями или путем интерпретации данных других методов;

– для задачи коррекции спектральных характе-ристик источников и приемников не существует воз-можности получения количественной априорной ин-формации, поскольку любые дополнительные измере-ния параметров источников будут включать в себя параметры регистраторов. Поэтому наиболее коррект-ной постановкой можно считать задачу совместного оценивания факторов источников и приемников в форме (11), позволяющей выполнить оценку коррек-тирующих фильтров единственным образом.

2. Применяемые в настоящее время программы поверхностно-согласованной деконволюции позволя-ют однозначно рассчитать определяемые корректиру-ющие фильтры. При условии, что удаления ПП–ПВ в сейсмограммах ОГТ определяются абсолютными зна-чениями, необходимо в структуру фильтров (кроме факторов сигнала, ПВ, ПП) включать составляющую, описывающую фактор ОГТ (9).

3. Сочетание процедур ПС-деконволюции и по-верхностно-согласованной коррекции амплитуд тре-бует дополнительного анализа. Очевидно, что коррек-ция амплитуд может выполняться только для постоян-ной формы сейсмического сигнала. Если в результате ПС-деконволюции это условие не выполнено, то кор-рекция амплитуд является источником ошибок, свя-занных с невыполнением модельных предположений.

В заключение выражаю глубокую благодарность специалистам партии цифровой обработки ОАО “Сиб-нефтегеофизика”. Творческое отношение моих коллег к производственному процессу является неисчерпае-мым источником методических задач.

Литература

Гольдин С.В. Интерпретация данных сейсмического мето-да отраженных волн. М.: Недра, 1979. 344 с.Гольдин С.В., Митрофанов Г.М. Спектрально-статисти-ческий метод учета поверхностных неоднородностей в системах многократного прослеживания отраженных волн // Геология и геофизика. 1975. № 2. С. 102–111.Сысоев А.П. К вопросу о моделях коррекции динамики сейсмических наблюдений МОГТ // Геофизика. 2004. № 4. С. 7–12.Сысоев А.П. Прикладные задачи компенсации неоднород-ности верхней части разреза при обработке и интерпрета-ции сейсмических данных. Новосибирск: ИНГГ СО РАН, 2011. 92 с.Yilmaz O. Seismic data processing // Society of Exploration Geophysicists. 1987. 526 p.

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ

СЫСОЕВ Анатолий Петрович – доктор технических наук. Закончил геолого-геофизический факультет НГУ, имеет 40 лет производственного стажа в ОАО “СибНГФ”. В настоящее время – профессор кафедры геофизи-ческих и геохимических методов разведки Национального минерально-сырьевого университета “Горный”, Санкт-Петербург.