GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
124 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
SEMANA N 01
NGULOS.
Definicin: Es la figura geomtrica determinada por la reunin de dos rayos no alineados que tienen el mismo origen.
Notacin: * ngulo AOB: AOB,
* Medida del ngulo AOB: mAOB = a.
Regin Interior de un ngulo Regin Exterior de un ngulo
Clasificacin de los ngulos por su Medida:
O
A
B
Elementos 1. Vrtice : O
2. Lados : OA y OB
0 < < 90
* ngulo Agudo
= 90
* ngulo Recto
* ngulo Obtuso
90 < < 180
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
125
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
Bisectriz de un ngulo:
ngulos Adyacentes:
O
A
B
bisectriz
N
M L
bisectriz
a bc
d
+ + + = 180
Observaciones :
+ + + + = 360
ngulos Complementarios
a
b
a + b = 90
ngulos Suplementarios
+ = 180
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
126 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
ngulos Adyacentes Suplementarios:
ngulos Opuestos por el vrtice.
Observaciones:
Es necesario recordar los siguientes ngulos comprendidos entre rectas
paralelas.
A C
B
O
Los ngulos AOB y BOC tambin
se les denomina par lineal.
A C
B
O
Las bisectrices de todo par lineal
son perpendiculares.
= = + = 180
* Alternos Internos * Correspondientes * Conjugados
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
127
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
NIVEL I:
01. Si: es bisectriz del AOB.
Calcule: "x".
a) 10 b) 15 c) 25
d) 30 e) 35
02. Calcule: "x".
a) 10 b) 20 c) 30
c) 15 e) 18
03. Calcule: "x".
a) 10 b) 20 c) 30
d) 15 e) 50
04. Calcule: "x".
a) 15 b) 12 c) 18
d) 10 e) 16
L1
L2
a
b
c
* S i : L1 // L2
L1
L2
a
b
* S i : L1 // L2
x
+ + + = a + b + c x = a + b
7x-10
5x+ 40
A
M
B
O
1003x x
4x+ 20 3x+ 50
5x
4x
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
128 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
05. Calcule:(
2 ).
a) 15 b) 30 c) 18
d) 18 e) 24
06. Del grfico, calcule el mayor valor
entero de "x", si el tringulo ABC es
acutngulo.
a) 50 b) 44 c) 56
d) 57 e) 58
07. Si : y la medida del ngulo
ABC es agudo, calcule el menor
valor entero impar de "x".
a) 46 b) 47 c) 45
d) 43 e) 44
08. En el grfico : y se tienen "n"
ngulos de medidas "". Calcule:.
a) 180
n b)
90
n c)
60
n
d) 90(n+1)
n e)
270
n
09. En el grfico, calcule el mximo
valor entero de "y".
a) 50 b) 35 c) 41
d) 40 e) 52
10. El doble del complemento de un
ngulo sumado con el suplemento
de otro ngulo es igual al
suplemento del primer ngulo.
Calcule la suma de las medidas de
dichos ngulos.
a) 100 b) 45 c) 90
d) 180 e) F.D.
3
120 2
3
L1
L2
x
32
A
B
C
L // L1 2
L1
L2
x
E
DC
BA
L // L1 2
L1
L2
x- 2y 3y + x
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
129
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
NIVEL II:
1. Se tiene los ngulos consecutivos
AOB; BOC y COD, tal que:
mAOD = 148 y mBOC = 36.
Calcule la medida del ngulo
formado por las bisectrices de los
ngulos AOB y COD.
a) 108 b) 36 c) 92
d) 56 e) 74
2. Se tiene los ngulos consecutivos
POQ, QOR y ROS, de tal manera
que: mPOR = 32+ K y mQOS
= 88 - K.
Calcule la mQOR, si el ngulo
POS es recto.
a) 22 + b) 30 c) 68 - K
d) 40 e) 16+k
2
3. Se tiene los ngulos
consecutivos POQ, QOR y ROS,
de modo que el rayo es
bisectriz del ngulo POS.
Calcule la mQOR. Si:
mQOS-mPOQ = 140.
a) 70 b) 100 c) 35
d) 150 e) 110
4. En el grfico, AB = BC
Calcule x
a) 45
b) 120
c) 60
d) 70
e) 37
4. Determine x, Si: 21 LL son
mediatrices de BCyAB .
a) 30
b) 15
c) 20
d) 36
e) 45
5. Calcular x
a) 90
b) 100
c) 120
d) 130
e) N.A.
6. Segn el grfico, calcular el
valor x
a) 110
b) 120
c) 130
d) 150
e) 95
1. La diferencia de las medidas de
dos ngulos es 40 y el triple del
suplemento del ngulo doble
del primero es igual al duplo del
complemento del suplemento
del ngulo triple del segundo.
Calcule la medida de dichos
ngulos.
x
2
A C
2
x
x
L1
B
L2 x
75
P A Q C
150
2
x
2
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
130 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
a) 60 y 60
b) 30 y 90
c) 45 y 75
d) 70 y 50
e) 40 y 80
2. Sean los ngulos: AOB, BOC,
COD, DOE y EOF consecutivos
tales que:
mAOF = 154 y
mAOD = mBOE = mCOF.
Calcule la mBOC, si la medida
del ngulo formado por la
bisectriz del ngulo COD y el
rayo es igual a 54.
a) 23 b) 28 c) 63
d) 36 e) 75
3. Del grfico, calcular el valor de
la razn aritmtica entre x e y,
cuando "x" toma su mnimo
valor entero.
a) 8 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
4. En el grfico mostrado, calcule
"" , de tal manera que "" sea
la medida de un ngulo
mximo.
a) 60 b) 58 c) 75
d) 62 e) 56
5. Calcule la razn aritmtica del
mximo y mnimo valor entero
que puede tomar "x, si es la
medida del ngulo agudo, en el
grfico 1 2
a) 90 b) 85 c) 87
d) 88 e) 86
6. En el grfico, calcule el mximo
valor entero de "y".
a) 50 b) 35 c) 41
d) 40 e) 52
07. Del grfico, calcule el valor de "y"
cuando "x" toma su mnimo valor
entero
.
a) 46 b) 88 c) 78
d) 68 e) 64
8.- En la figura, calcule x
x-y
2y+ x5x
)]4x(x116[
L1
L2
x
83
x - 2y3y + x
x + y
y -x2x -y
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
131
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
a) 10
b) 20
c) 65
d) 35
e) 45
9.- En la figura, calcule x
a) 35
b) 30
c) 15
d) 10
e) 20
10.- En la figura; calcular x
a) 108
b) 54
c) 72
d) 36
e) 44
Si no te importa lo que piense la gente, ya diste el primer paso del xito. Paulo Coelho
60 x
2
70
30
70
x
x
72
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
132 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
SEMANA N 02
TRINGULOS
Definicin:
Notacin: , , etc.
Propiedades Bsicas
1. 2.
3. 4.
AE
B
F
C H
Elementos
1. Vrtices : A, B, C
2. Lados : AB, BC y AC
3. ngulos Interiores :
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
133
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
5.
Lneas Notables en el Tringulo
1 .Mediana
2. Bisectriz
3. Altura
x
x = + +
A
B
CM
BM : mediana
b b
A
B
CI
BI : bisectriz interior
A
B
C
L
L : bisectriz exterior
A
B
C
BH : altura
H
A
BC
AF : altura
F
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
134 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
4. Mediatriz
* Ceviana
Relaciones Angulares
A
B
C
L
L : mediatriz de AC
b b
A
B
CF
BF : ceviana
A
B
CE
BE : es ceviana exterior
B
x
2
B90x
B
2
B90x
x
x
A
B
CA C
H I
2
CAx
BH : altura
BI : bisectriz del ngulo ABC
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
135
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
NIVEL I
01. En el grfico, calcule: x.
a) 20 b) 24 c) 26
d) 28 e) 30
02. En el grfico, calcule: x.
a) 30 b) 35 c) 40
d) 45 e) 50
03.En el grfico, calcule: a+b+c+d.
a) 210 b) 50 c) 400
d) 200 e) 360
04. En el grfico, mCQE=148.
Calcule la mAEQ.
a) 26 b) 27 c) 28
d) 29 e) 30
05. En el grfico, calcule: x.
a) 30 b) 40 c) 45
d) 47 e) 50
06. En el grfico, calcule:
.
a) 100 b) 120 c) 130
d) 126 e) 145
07. En el grfico, calcule: x.
a) 50 b) 40 c) 60
d) 70 e) 80
x
120
b
b
2x
2 x
35
140
c
d
a
b
A
C
B
E
Q
x
35
25
30
40
5x
2x 3x
x
130
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
136 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
08. En el grfico, AC=BC, calcule: x.
a) 30 b) 40 c) 50
d) 60 e) 70
09. En el grfico, BC=12u. Calcule: CD.
a) 9u b) 10u c) 11u
d) 12u e) 13u
10. En el grfico, el tringulo BCD es
equiltero. Calcule la mACD.
a) 40 b) 45 c) 50
d) 35 e) 38
11. En el grfico, AB=BC, AF=FE=EB.
Calcule la mBCA.
a) 30 b) 40 c) 45
d) 60 e) 50
12. En el grfico, calcule: x.
a) 30 b) 40 c) 45
d) 60 e) 70
13. En el grfico, m+n=100.
Calcule:
a) 80 b) 100 c) 140
d) 150 e) 170
14. En el grfico, calcule: x.
a) 20 b) 30 c) 40
d) 50 e) 60
x
100
A
B
C
B
A C
D
A
B
C
D45
B
A CE
F 60
x
120
m
m
m
n
20
x
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
137
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
15. Si: a+b+c+d=165.
Calcule: m+n.
a) 130 b) 165 c) 180
d) 200 e) 220
NIVEL II
1. En el grfico: PA = 2 y BR - RC = 3.
Calcule PQ.
a) 6 b) 5 c) 4
d) 3 e) 7
2. En un tringulo ABC equiltero, se
ubica el punto D exterior al
tringulo, tal que el segmento BD
intersecta al lado AC .
Si mADC > 90, AD = 8u y CD =
15u. Calcule el menor permetro
entero de la regin del tringulo.
a) 52 b) 24 c) 22
d) 46 e) 48
3. En el grfico, las medidas de los
ngulos interiores del tringulo ABC
estn dadas en grados
sexagesimales. Calcule el valor
entero ms pequeo (en grados
sexagesimales) que puede tomar
"b".
a) 45 b) 46 c) 40
d) 35 e) 36
4. Segn el grfico, el tringulo ABC es
equiltero. Calcule: "x".
a) 10 b) 45 c) 36
d) 72 e) 30
5. En el grfico, calcule "x".
a) 60 b) 45 c) 36
d) 72 e) 30
a
nm
b d
c
A
B
R
C
P
Q
2
3
B
A C
2b-a
a -ba + b
x
70
B
AC
x
3 3
x
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
138 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
6. Del grfico: AB = BC y MN = AC.
Calcule: "x".
a) 15 b) 30 c) 5
d) 20 e) 40
7. Calcule "x", s ; AM = NC.
a) 40 b) 60 c) 80
d) 90 e) 70
8. Calcule "x". (AP=PQ)
a) 10 b) 20 c) 25
d) 30 e) 35
9. Los catetos de un tringulo
rectngulo ABC, mide AB = 8; BC =
15, se traza la altura BH y las
bisectrices BP y BQ de los ngulos
ABH y HBC, respectivamente.
Calcule: PQ.
a) 2 u b) 4 u c) 5 u
d) 6 u e) 3 u
10. En un tringulo ABC se traza la
Ceviana BP , si: AB = PC; mBAC =
10, mBCA = 2 y mCBP =.
Calcule "".
a) 5 b) 8 c) 9
d) 10 e) 12
1. En un tringulo ABC, la medida
del ngulo formado por la bisectriz
interior del ngulo A, y la bisectriz
exterior del ngulo C es siete veces
la medida del ngulo B. Calcule la
medida del ngulo B.
a) 12 b) 18 c) 24
d) 36 e) No existe
2. En el grfico, NM = NC y BC es
bisectriz del ngulo ACN. Calcule la
mBAC.
a) 65 b) 45 c) 55
d) 75 e) 60
3. Los lados de un tringulo
issceles miden 5 y 13. Calcular el
permetro de su regin.
a) 23 b) 31 c) 18
d) 26 y 31 e) 28
x
x
B
N
M
A C
B
M
CAN
60
20x
80
x10
30
10
A
P
B
Q
C
B
A C
40
N
M
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
139
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
4. En el grfico mostrado, cul de
los segmentos es el de menor
medida?
a)AC b) AB c) FD
d) FE e) DE
5. Segn el grfico, calcule "x".
a) 135 b) 95 c) 150
d) 100 e) 110
6. En el grfico, los tringulos ABC y
DEF son equilteros, AM = MB.
Calcule "x".
a) 55 b) 40 c) 30
d) 60 e) 50
7. En un tringulo acutngulo las
longitudes de dos de sus lados
suman 30. Calcule el mayor valor
entero que puede tomar la altura
relativa al tercer lado.
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
8. En un tringulo ABC, se traza la
ceviana BT, si : AB = AT, BC = AC.
Calcule el mximo valor entero de la
medida del ngulo CBT.
a) 36 b) 35 c) 30
d) 45 e) 44
9. En un tringulo ABC, sobre AB y
BC se ubican los puntos "P" y "Q"
respectivamente, donde: mPAQ =
mPQA = 16, mAQC = 97,
mQAC = 30.
Calcule la mPCA.
a) 18 b) 20 c) 30
d) 25 e) 23
10. En un tringulo ABC, se traza la
Ceviana BT , si : BC = AT y mBAC =
60 - 2x;
mCBT = x, mBCA = 2x.
Calcule la mCBT.
a) 5 b) 8 c) 10
d) 12 e) 15
Aprecia lo que te da la vida, porque no te lo dar dos veces.
60 6159
63
B
C
D
EFA60
60
61 61
50
x
45
40
x
AM E
B
D
C
F
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
140 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
SEMANA N 03
CONGRUENCIA DE
TRINGULOS I
Definicin: Dos segmentos, dos
ngulos o dos figuras geomtricas en
general, sern congruentes si tienen la
misma forma y el mismo tamao. Para
la congruencia de dos tringulos se
postulan los siguientes casos:
Postulado (LAL)
Postulado (ALA)
Postulado (LLL)
Postulado (LLA)
Teorema de la bisectriz de un ngulo
Teorema de la recta mediatriz de un
segmento
PA = PB
El APB es issceles.
Teorema de los puntos medios
O
F
E
H
OHOF
EHEF
A
P
Bb b
B
A C
NM
MN : base media
MN // AC
2
ACMN
c
ca
a
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
141
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
Teorema de la Menor Mediana en el
Tringulo Rectngulo
En el Tringulo Issceles
*
*
TRINGULOS RECTANGULOS
NOTABLES
* De 30 y 60
* De 45 y 45
* De 37 y 53
* De
* De
B
A CM
2
ACBM
b
b b
B
A CE
G
HF
Si : AB = BC
AH = EF + EG
B
A
S
C P
H
Q
Si : AB = BC
CH = PQ - PS
60
30
2aa
3a
b2b
45
45
b
53
37
3k
5k
4k
53 /2
n
2n
37 /2
l
l3
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
142 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
* De 15 y 75
* De 30 y 75
1. Sea ABC un tringulo escaleno. La
mediatriz de corta a en "F" y
se cumple que: AB = AF = FC.
Calcule la m
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
143
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
= 60 y mBAC = 20. Calcule la
mBCA.
a) 15 b) 30 c) 25
d) 22 30' e) 20
7. Calcule: "x". (AB = BC)
a) 22 30' b) 20 30' c) 18 20'
d) 18 30' e) 20 18'
8. En el grfico, AB = BC. Calcule:
QC,
si : AQ = 8; PC = 2.
a) 4 b) 8 c) 3
d) 6 e) 12
9. En el grfico mostrado.
Calcule: "x", si: BC = MC.
10. Si: AP = BC y AM = MB. Calcule:
"x".
a) 14 b) 27 30' c) 18 30'
d) 37 e) 45
01. En el grfico, calcule: "x". 2BP =
PC.
a) 15 b) 30 c) 5
d) 60 e) 75
02. Calcule: "x".
a) 106 b) 120 c) 53
d) 37 e) 74
2x
x
90+ 2x
B
A C
A
B QC
P
x
M
B
A C
2
x
14
B
CA
P
M
B
A C
P
x
x
5
6
5
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
144 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
03. Del grfico, calcule: QN, si: AC = 10
y MQ = 4, AM = MB, BN = NC.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
04. Si: AM y CN son bisectrices
exteriores de los ngulos A y C,
AB=6, BC=12, AC = 16. Calcule: MN.
a) 5 u b) 9 u c) 10 u
d) 11 u e) 17 u
05. En el grfico: AH = 2 y HC = 8.
Calcule: AB.
a) 10 b) 8 c) 6
d) 4 e) 3
06. Del grfico, calcule: PQ, si:
AB = 6 y AC = 8, BQ = QC.
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3
07. Calcule "x".
Si: BP = PC y AM = MP
a) 8 b) 19 c) 12
d) 18 e) 9
08. En el grfico, calcule: BC, si: HM =
6.
a) 9 b) 12 c) 15
d) 18 e) 24
B
A C
M N
Q
A C
M N
B
2 A
B
HC
B
A C
Q
P
B
A C
P
xQ
M
18
A
B
H
CM
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
145
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
SEMANA N 04
CONGRUENCIA DE TRINGULOS
II
NIVEL I
1. En el grfico BC=32(AB). Calcule la
mACB.
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
2. Si: AP = BC y AM = MB. Calcule: "x".
a) 14 b) 27 30' c) 18 30'
d) 37 e) 45
3. En el grfico, calcule: "x", si: AD =
BC.
a) 5 b) 6 c) 9
d) 10 e) 12
4. En el grfico, calcule "x", si: AB =
DC.
a) 10 b) 12 c) 15
d) 18 e) 20
5. En un tringulo ABC, la mediatriz de
interseca a AC en D, si AD=CB y
mBCA=80. Calcule la mABC.
a) 40 b) 50 c) 60
d) 70 e) 80
6. Calcule "x".
Si: BP = PC y AM = MP
a) 8 b) 19 c) 12
d) 18 e) 9
NIVEL II
1. En el grfico, si BM=MC y AB=12u.
Calcule: FL.
a) 4u b) 5u c) 8u
d) 9u e) 10u
2. En el grfico el tringulo ABC es
equiltero, BF=AE. Calcule la
m
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
146 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
a) 20 b) 35 c) 40
d) 45 e) 50
3. En el grfico L es mediatriz de AB .
Calcule: x.
a) 10 b) 20 c) 25
d) 30 e) 36
4. En el grfico AB=40u. Calcule: CD.
a) 3u b) 4u c) 5u
d) 10u e) 15u
5. En el grfico CE=15u, EB=9u.
Calcule: x.
a) 20 b) 30 c) 63
d) 127
2 e)
143
2
6. En un tringulo ABC, se traza la
Ceviana interior CE tal que la
mBAC=45, mABC=75,
mACE=30 y BC=10u. Calcule: AC.
a) 5u b) (5+2)u c) 6u
d) (5+53)u e) 10u
7. En el grfico AM=MB y
2(BC)=5(LM). Calcule la mACB.
a) 100 b) 110 c) 112
d) 127 e) 130
8. En el grfico, AN=NB, AM=MC y
MG=3u y NF MG . Calcule: NF.
a) 1,5u b) 3u c) 4u
d) 4,5u e) 6u
9. En el grfico, CD AB , AE=CD=2u y
AB=5u. Calcule: EC.
B
A CE
F
20
80
150
x2
3
BEA
L
B
EA
D
30
45
53
C
A
C
E
B
x
M
CA
B
L
B
A C
N
F
G
M
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
147
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
a) 5u b) 1u c) 2u
d) 3u e) 4u
1. En el grfico, PC=AP+6, AM=MB
y BC=10u. Calcule: PM.
a) 3u b) 4u c) 5u
d) 6u e) 7u
2. En el grfico, AB=8u y AM=AN.
Calcule: AC.
a) 10u b) 12u c) 8u
d) 6u e) 14u
3. En el grfico, AB=BC y AD=EC.
Calcule la mACB.
a) 40 b) 60 c) 50
d) 70 e) 30
4. En el grfico, AB=2(BC).
Calcule: x.
a) 10 b) 20 c) 30
d) 45 e) 60
5. En el grfico, L1 y L2 son
mediatrices de AB y BC ,
respectivamente. Calcule: x.
a) 125 b) 115 c) 155
d) 145 e) 160
6. En un tringulo rectngulo ABC
(recto en B). Se ubica M en AC tal
que: mMBC=60, mBAC=50 y
BM=4u. Calcule: AC.
a) 4u b) 6u c) 8u
d) 12u e) 16u
A
D C
B
E
A
B
CP
M
B
M
N
A C
A
B
D C
E
50
A
B
CD
E
x
40
L1
L
Cx
A B
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
148 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
7. En el grfico, AM=MC y AB=8u.
Calcule: PM.
a) 1u b) 2u c) 3u
d) 4u e) 5u
8. En un tringulo ABC, la mediatriz de
interseca a AC en D, si AD=CB y
mBCA=80. Calcule la mABC.
a) 40 b) 50 c) 60
d) 70 e) 80
9. En el grfico, calcule:CD
AB .
a) 2
2 b)
3
5 c)
2
5
d) 3
5 e)
2
5
SEMANA N 05
POLGONOS.
Definicin: Sean, P1,, P2, P3,.... Pn, una
sucesin de "n" puntos distintos de un
plano con n 3. Los segmentos P1P2 ,
P2P3 , P3P4 , .... , Pn1Pn ; PnP1 son tales
que ningn par de segmentos con un
extremo comn sean colineales y no
exista un par de segmentos que se
intersecten en puntos distintos de sus
extremos. Entonces, la reunin de los
"n" segmentos se denomina Polgono.
Elementos:
1. Vrtices : 1, : 2, : 3, ....
2. Lados : P1P2 , , P2P3 , .....
3. ngulos:
* Internos : P1 , P2 , ....
* Externos: , , ......
4. Diagonal : P1P5, P2P6 , , .....
Los Polgonos se clasifican en:
A
B C
P
M
A
B
C
D45
37
30
P1
P2
P3
P4
P5
P6
Pn
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
149
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
1. Por el nmero de lados:
* Tringulo 3 lados
* Cuadriltero 4 "
* Pentgono 5 "
* Hexgono 6 "
* Heptgono 7 "
* Octgono 8 "
* Nongono 9 "
* Decgono 10 "
* Endecgono 11 "
* Dodecgono 12 "
* Pentadecgono 15 "
* Icosgono 20 "
2. Por sus lados y ngulos
* Polgono Convexo
* Polgono no Convexo
* Polgono Equiltero
* Polgono Equingulo
* Polgono Regular
* Polgono Irregular
PROPIEDADES
I. Mximo nmero de diagonales
trazadas desde 1 vrtice.
II. Nmero total de diagonales.
B C
A D
OO
G H
F I
E J
(n-3) diagona les
2
)3n(nND
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
150 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
III. En los polgonos convexos, la suma
de las medidas de los ngulos internos
es de:
IV. En todo polgono convexo, la suma
de las medidas de los ngulos externos
es de 360.
V. En el polgono equingulo.
VI. En el polgono regular.
: valor del ngulo central.
Se =
NIVEL I
1. En el grfico, ABCDE es un polgono
regular. Calcule: "x".
a) 108 b) 144 c) 72
d) 36 e) 120
2. En el grfico es un polgono regular.
Calcule: x - y.
a) 108 b) 36 c) 72
)2n(180Si
e
e
e
e
i
i
i i
i
n
360Exterior)m
n
)2n(180Interior)m
e
i
i
e
e
i
i
360S
n
360e
n
)2n(180i
x
A
E D
C
B
x
y
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
151
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
d) 54 e) 120
3. En un polgono, la diferencia de la
suma de los ngulos internos y la
suma de ngulos externos es igual a
720. Calcule el nmero de
diagonales de dicho polgono.
a) 24 b) 20 c) 54
d) 18 e) 36
4. Si el nmero de lados de un
polgono regular aumenta en 10, su
ngulo interior aumenta en 3.
Calcule su nmero de lados original.
a) 20 b) 30 c) 35
d) 40 e) 10
5.- Si el ngulo interior es el triple del
ngulo exterior de un polgono
regular. Cuntos lados tiene el
polgono?
a) 7 b) 9 c) 6
d) 8 e) 10
6.- La suma de ngulos interiores y
exteriores de un polgono es 1800.
Cuntos lados tiene?
a) 10 b) 12 c) 14
d) 8 e) 6
7. En el octgono regular, calcule :
a) 30 b) 37,5 c) 39,5
d) 45 e) 45,7
8. Calcule la suma de las medidas de
los ngulos interiores en el grfico.
a) 2520 b) 1440 c) 2880
d) 900 e) 2440
9. En un polgono, la suma de las
medidas de sus ngulos internos es
540, el nmero de lados de dicho
polgono es:
a) 3 b) 4 c) 9
d) 5 e) 6
10. Calcule el nmero de lados de un
polgono convexo, si desde cuatro
vrtices consecutivos se puede
trazar 45 diagonales.
a) 18 b) 17 c) 12
d) 14 e) 15
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
152 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
NIVEL II
1. En un hexgono convexo ABCDEF:
m
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
153
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
2. Se tiene un octgono equingulo
ABCDEFGH en el cual: AB =2 m;
BC = 2m; CD = 3m.
Calcule: AD.
a) 3m b) 5 m c) 4 m
d) 5 m e) 32 m
3. Si la medida de cada ngulo interior
de un polgono regular de "n" lados
se disminuye en 5, su nmero de
diagonales disminuye en (5n-3).
Calcule: "n".
a) 18 b) 24 c) 30
d) 36 e) 42
4. ABCDE es un pentgono regular y
BCPQ es un cuadrado interior al
pentgono.
Calcule la m
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
154 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
2. Segmento que une los puntos
medios de las diagonales
3. Cualquier Trapecio
4. Trapecio Issceles
a
a + b
2AH = MN =
bA DH
b - a
2HD = PQ =
M NP Q
a
b - a
2PQ =P Q
b
a
M N MP = QN = a
2P Q
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
155
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
1. En un paralelogramo ABCD se
construyen exterior-mente los
tringulos equilteros ABM y BCN.
Por M
se traza la perpendicular MH a .
Si: m
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
156 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
9. En la figura, ABCD es un rombo y
ABE es un tringulo equiltero.
Calcular x.
A. 30 B. 45 C. 53
D. 60 E. 90
10. Las mediatrices de AD y CD de un
paralelogramo
ABCD se intersectan en "M" que
pertenece a BC.
Hallar m
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
157
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
3. En un trapecio rectngulo ABCD (
= = 90) se trazan las
bisectrices exteriores de los
ngulos C y
D las cuales se intersectan en P.
Hallar la distancia desde P hacia
, si: BC=3cm; AD=6cm y CD=5
cm
A. 6 cm B. 9 C. 7
D. 8 E. 12
4. Del grfico, hallar FD, si: DE = 8 y
FG = 12
A. 16 B. 18 C. 24
D. 20 E. 32
5. Hallar x, si ABCD es un cuadrado.
A. 45 B. 37 C. 60
D. 53 E. 75
6. Hallar: m
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
158 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
SEMANA N 07
CIRCUNFERENCIA I. Definicin:
___________________________________
___________________________________
PROPIEDADES FUNDAMENTALES
1.
Si: AB = CD
2.
Si:
3.
4.
NC
DMA
ORR
RB
TL1
L2
"O" ....................... Centro
CD
....................... Cuerda
"R" ....................... Radio
AB = 2R ............... Dimetro
L ....................... Secante
L ....................... Tangente
"T" ....................... Punto de Tangencia
mAC = ............. Arco
MN ....................... Flecha o Sagita
1
2
A
B
C
D
mAB = mCD
A B
C D
CD//AB mAC = mBD
O
R
L1
Recta tangente
O centro
R radio
R L1
A
B
O
P
O centro y B son puntos
de tangencia
A
PA = PB
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
159
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
5.
Si: OP AB
6.
Si: Dimetro
TEOREMA DE PONCELET
(Slo rectngulo)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
TEOREMA DE PITOT
(Solo cuadrilteros circunscritos)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
A
O
M
PB
AM = MB
PM Flecha
AO
B
C D
E
AB
C = D = E = 90
A
B
C
r
r inradio
AB + BC = AC + 2r
A
CB
D
AB + CD = BC + AD
A
C
B
r
I
I Incentro (Punto de corte de bisectrices interiores)
r Inradio
R
R
O
O
Acutngulo
Rectngulo
R
O
Obtusngulo
O Circuncentro (Punto de corte de Mediatrices)
R Circunradio
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
160 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
CIRCUNFERENCIA EX - INSCRITA EN
UN TRINGULO:
POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS
CIRCUNFERENCIAS
1. Circunferencias exteriores:
2. Circunferencias Interiores:
3. Tangentes Exteriores:
4. Tangentes Interiores:
5. Secantes:
r
E
E Excentro (Punto de corte de dos bisectrices externas y una bisectriz interna)
r ex - radio relativa al lado AB.
A
B
C
R
O
r
O1
OO > R + r1
RO
OO < R - r1
O1
r
RO O1
OO = R + r1
r
R
O
OO = R - r1
O1r
O O1
OO < R + r1
M
N
MN Cuerda comn
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
161
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
6. Concntricas:
7. Ortogonales:
NIVEL I
1. Calcular el inradio ms el circunradio
de un tringulo rectngulo cuyos
catetos miden 7 m y 11 m.
A. 8 m B. 9 C. 10
D. 7 E. 8,5
2. De la figura, calcular R.
A. 3 B. 4 C. 5
D. 6 E. 8
3. Hallar BR, siendo: r = 4 m
A. 4 m B. 8 C.
D. E.
4. Del grfico, calcular AB, si: EF = 3
m y DE = 1 m.
A. 3 B. 4 C. 5
D. 6 E. 8
5. Calcular x en la figura.
A. 10 B. 20 C. 30
D. 36 E. 40
R
O O1
r
O O1
R r
37
R
6
5
15
A
P
B
r
R
2 2
4 2 8 2
B
C
E
O A
F
D
A
B
Cx
40
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
162 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
6. En el grfico, AB = 3 m y BC = 13
m, hallar AD.
A. 16 m B. 21 C. 18
D. 19 E. 22
7. Hallar , si: OC = AP
A. 2 B. 6 C. 3
D. 7 E. 4
8. Hallar: m
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
163
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
A. 2 m B. 4 C. 12
D. 16 E. 18
4. Se tiene un punto A exterior a
una circunferencia, se trazan las
tangentes y ; luego se
trazan las cuerdas BD y CD, tal
que . Calcular la m
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
164 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
A. 30 B. 36 C. 37
D. 53 E. 2630'
1. En la figura, calcular el permetro
del trapecio ABCD.
A. 18 m B. 24 C. 32
D. 36 E. 28
2. En la figura, AB = 12 m; BC = 8 m
y AC =10 m.
Hallar:
A. 4/3 B. 2/3 C. 5/3
D. 4/7 E. 3/5
3. En un tringulo rectngulo ABC,
el Semipermetro es igual a 16 m
y su inradio mide 4 m. Hallar la
longitud de la hipotenusa.
A. 10 B. 12 C. 16
D. 13 E. 15
4. Los dimetros de dos
circunferencias miden 10 m y
6 m. Si la distancia entre sus
centros es 10 m, entonces las
circunferencias son:
A. exteriores B. interiores
C. tangentes D. secantes
E. concntricas
5. El punto de tangencia de la
circunferencia inscrita en un
trapecio rectngulo divide al
mayor de los lados no paralelos en
segmentos que miden 1 y 9 m.
Calcular la mediana del trapecio.
A. 6 m B. 8 C. 10
D. 12 E. 13
6. En una circunferencia se toman los
puntos consecutivos P, Q, R,
S, T y V de modo que
m
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
165
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
SEMANA N 08
CIRCUNFERENCIA II. NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1. NGULO CENTRAL
2. NGULO INSCRITO
3. NGULO SEMINSCRITO
4. NGULO INTERIOR
5. NGULO EXTERIOR
CUADRILTEROS INSCRITOS ___________________________________
___________________________________
___________________________________
O x
x =
x
2x
x
2x
x
2x
x x
2x
x
x + = 180
+ = 180 =
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
166 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
1. Hallar x, si P, A y B son
puntos de tangencia.
A. 32 B. 36 C. 34
D. 39 E. 42
2. Calcular x, si O y O1 son
centros de las circunferencias
congruentes.
A. 120 B. 150
C. 145 D.135
E. 105
3. Hallar x, si O es centro, P, Q
y T son puntos de tangencia.
A. 100 B. 160
C. 110 D. 115
E. 135
4. En la figura, calcular m
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
167
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
A. 100 B. 110
C. 160 D. 115
E. 135
7. Si O y O' son centros, P y Q
son puntos de tangencia m =
84, calcular m .
A. 124 B. 142
C. 132 D. 126
E. 136
8. Hallar x; si: m = 20, m BAE
= 10, // .
Adems O es centro.
A. 20 B. 30 C. 40
D. 45 E. 55
9. Si A, B, y C son puntos de
tangencia, hallar .
A. 20 B. 24 C. 34
D. 22 E. 32
10. Hallar , si O y O' son centros,
m AOP = 50.
A. 20 B. 15 C. 18
D. 25 E. 30
11. Las circunferencias mostradas son
tangentes exteriores, hallar x.
A. 40 B. 50 C. 60
D. 30 E. 80
12. Si C y E son puntos de
tangencia y m = 100,
hallar x.
80
PQ
A T C
x
B
O
BN
PM
M
N
A BOP
O'
Q
CD
CD AE
A B
E
DC
O
68
A
B
C
A BOO'
P
x
80
AB
GEOMETRA COLEGIO AI APAEC
168 I BIMESTRE / 3 AO Sin Lmites!
A. 50 B. 60 C. 70
D. 45 E. 55
1. Hallar m RQM, si: m PQR =
50, R y Q son pun-tos de
tangencia.
A. 120 B. 130
C. 140 D. 150
E. 160
2. En el grfico = , T es
punto de tangencia. Calcular .
A. 10 B. 15 C. 20
D. 30 E. 40
3. Calcular x, si O es centro.
A. 40 B. 50 C. 60
D. 70 E. 80
4. Si ABC es un tringulo equiltero,
calcular .
A. 45 B. 20 C. 36
D. 30 E. 40
5. Calcular .
A. 30 B. 27 C. 20
D. 37 E. 47
6. Hallar x, si P es punto de
tangencia ("O" y "O1" son centros)
A. 150 B. 120
C. 135 D. 145
E. 160
A
B
E
C
D
x
R PM
Q
mAM mBM
A
20
M
B P
T
A 50 O
x
20
C
B
A C
B
80
A
M
N
2
3
R
OB
O O1
xP
COLEGIO AI APAEC GEOMETRA
169
Sin Lmites! I BIMESTRE / 3 AO
7. Hallar CD, si O es centro y
CH = 9 m.
A. 15 B. 18 C. 16.
D. 17 E. 14
8. Si ABCD es un romboide, hallar x;
adems B y D son puntos de
tangencia.
A. 10 B. 20 C. 30
D. 40 E. 50
9. Si "O" y " O1 " son centros, Q y
T son puntos de tangencia; hallar
.
A. 44 B. 88
C. 112 D. 68
E. 124
No se trata de ser mejor que los
dems, sino mejor de lo que t ya eres
A
H
OB
C
D
Ax 15
B C
D
mPQ
P
O T O14444
Q