2. POLINOMIOS
1
2
3
4 Dados los polinomios p(x) y q(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) q(x) - p(x); c) p(x)·q(x).
!
Solución:
!
.13x3x3xq(x);17x3x5xp(x) 2323 +++=−+−=
1.x4x15x14x27x6x15p(x)·q(x)c)
2;x4x6x2p(x)q(x)b)
x;10x8q(x)p(x)a)
23456
23
3
−+++++=
−−−−=−
+=+
Realiza las siguientes divisiones:
a) "
b) "
Solución:
a) !
b) !
( ) ( )1xx:26x3xx 223 −+−+−
( ) ( )2xx:48xxx 234 +−++−
6x11r(x) 4xc(x) −=−=
8x6r(x) 2xc(x) 2 +=−=
Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) p(x) - q(x); c) p(x) + q(x) - r(x); d) p(x) - q(x) - r(x).
!
Solución:
!
.1x2xr(x);35xq(x);89x4xp(x) 2333 +−=+=+−=
4.x9xx3r(x)q(x)p(x)d)
10;x9xx7r(x)q(x)p(x)c)
5;x9xq(x)p(x)b)
11;x9x9q(x)p(x)a)
23
23
3
3
+−+−=−−
+−+=−+
+−−=−
+−=+
Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta?
!
Solución:
!
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).1x:1xc);5x:10591x19x7xb);3x:75xxa) 82323 −−−+−−++−
.exacta0r(x);1xxxxxxxc(x)c)
exacta;0r(x);21x14x7c(x)b)
65;r(x);24x8xc(x)a)
234567
2
2
⇒=+++++++=
⇒=−+=
−=+−=
5
6
7
8
Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta?
!
Solución:
!
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).2x:7xxc);13x:18251x18xxb);1x:1xxxx2xa) 25232345 +−+−++−++−+−+
35.r(x);14x7x4x2xc(x)c)
exacta;0r(x);14x5xc(x)b)
3;r(x);2xxx2c(x)a)
234
2
34
−=+−+−=
⇒=−−=
=−+−=
Dados los polinomios p(x) y q(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) p(x) - q(x); c) p(x)·q(x).
!
Solución:
!
2.xxq(x);12x3x4x5xp(x) 24234 −−=++++=
2.x4x7x10x12x2x2x4x5p(x)·q(x)c)
3;x2x4x4x4q(x)p(x)b)
1;x2x2x4x6q(x)p(x)a)
2345678
234
234
−−−−−−−+=
++++=−
−+++=+
Realiza las siguientes divisiones:
a) "
b) "
Solución:
a) !
b) !
( ) ( )12x:1x5xx 23 −−+−
( ) ( )1x:3xx 226 +−+
813
r(x) 85
4x9
2x
c(x)2
−=−−=
5r(x) 2xxc(x) 24 −=+−=
Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula: a) p(x) + q(x); b) p(x) - q(x); c) p(x) - q(x) + r(x); d) p(x) + q(x) - r(x).
!
Solución:
!
15.3xr(x);4x2xq(x);2x2xp(x) 42424 +=+−=−+=
13.x4x3r(x)q(x)p(x)d)
9;x2x3r(x)q(x)p(x)c)
6;x2q(x)p(x)b)
2;x4q(x)p(x)a)
24
24
2
2
−+−=−+
++=+−
−=−
+=+
1
2
3
4 Calcula el cuadrado del siguiente trinomio utilizando las identidades notables y con la definición de potencia y comprueba que se obtiene el mismo resultado:
!
Solución:
!
!
( )2zyx +−
( )( ) ( ) ( ) yz2xz2xy2zyxzyz2xz2yxy2xzzyx2yxzyx 222222222 −+−++=+−++−=+−+−=+−
( )( ) yz2xz2xy2zyxzzyzxyzyyxxzxyxzyxzyx 222222 −+−++=+−+−+−+−=+−+−
Calcula:
!
Solución:
!
( )( )( )( ).3m5h3m5hc)
;3z73z7b)
;y43
x21
y43
x21
a)
−−+−
+−
"#
$%&
'−"
#
$%&
'+
.m9h25c)
;z97b)
;y169
x41
a)
22
2
22
−
−
−
Calcula:
!
Solución:
!
( ) .2z5hc)
;y54
x73
b)
;5hm23
5hm23
a)
3
2
+
!"
#$%
&−
!!"
#$$%
&+!
!"
#$$%
&−
.z8hz60zh150h125c)
;y2516
xy3524
x499
b)
;h25m43
a)
3223
22
22
+++
+−
−
Calcula:
!
Solución:
!
( )( ).h5m17h5m17c)
;m21h
41b)
;b35a
53a)
2
3
+−
"#
$%&
'+−
"#
$%&
'+
.h5m17c)
;m41hm
41h
161b)
;b27125ab5ba
59a
12527a)
22
22
3223
−
+−
+++
5
6
7
8
Calcula y simplifica: "
Solución:
!
!
( ) ( )322 y3xtzy2x −+−+−
=−+−+−+−−+−+++ 32232222224 yxy9yx27x27zt2yt2yz2tx4zx4yx4tzyx43232222224 yxy9x27zt2yt2yz2tx4zx4yx31tzyx4 −++−+−−+−+++=
Calcula:
!
Solución:
!
.7hz712
7hz712
c)
;y311
x73
b)
;b32
3aa)
2
3
!"
#$%
&−−!
"
#$%
&−
!"
#$%
&+
!"
#$%
&−
.h49z49144
c)
;y9121
xy722
x499
b)
;b278
ab2ba18a27a)
22
22
3223
+−
++
−+−
Calcula:
!
Solución:
!
( )( )( )
.3yx37
c)
;8hz158hz15b)
;7h6za)
3
2
!"
#$%
&+
+−
+
.y27xy63yx7x27243
c)
;h64z15b)
;h49zh84z36a)
3223
22
22
+++
−
++
Calcula:
!
Solución:
!
( )( ).3h
31c)
;4z294z29b)
;b43a
92a)
3
2
!"
#$%
&−
+−
!"
#$%
&−
27.h9hh271c)
16;z29b)
;b169ab
31a
814a)
23
2
22
−+−
−
+−
1
2
3
4 Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
!
Solución:
!
Raíces: a) -5, ! , 3 b) -7, -3, 5 c) -8
8.7x7xxc)
105;29x5xxb)
15;28x5x2xa)
23
23
23
+−−
−−+
−−+
1).x8)(x(xc);3)5)(x7)(x(xb);5)3)(x1)(xx(2a) 2 +−++−++−+
21
−
Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
!
Solución:
!
Raíces: a) 4 b) -7, ! , 0, 2 c) -2, ! , 9
18.47x22x3xc)
14x;37x16x3xb)
28;11x5xxa)
23
234
23
+−−
−−+
−+−
2).9)(x1)(xx(3c);7)2)(x1)(xxx(3b);7)x4)(x(xa) 2 +−−+−++−−
31
−31
Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
!
Solución:
! Raíces: a) -7, -2, 13 b) -4, 4, 7 c) 2
10.9x4xxc)
112;16x7xxb)
182;103x4xxa)
23
23
23
−+−
+−−
−−−
5).x22)(x(xc);7)4)(x4)(x(xb);13)2)(x7)(x(xa) 2 +−−−+−−++
Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
!
Solución:
!
Raíces: a) -6, -2, 4 b) ! c) -7, 3, 10
210.61x6xxc)
8;58x15x7xb)
48;20x4xxa)
23
23
23
+−−
−+−
−−+
10).7)(x3)(x(xc);8)x21)(xx(7b);6)4)(x2)(x(xa) 2 −+−+−−+−+
71
5
6
7
8
Obtén un polinomio cuyas raíces sean: a) 0 (raíz doble), -1 (raíz triple) b) 0 (raíz simple), 1 (raíz triple), 2 (raíz doble)
Solución:
a) !
b) !
( ) 234532 xx3x3x1xx +++=+
( ) ( ) x4x16x25x19x7x2x1xx 2345623 −+−+−=−−
Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:
a) "
b) "
c) "
Solución:
! Raíces: a) 2 (doble) b) -1 (triple) c) -1 (doble), -2 (doble)
4x3xx 234 ++−
13x4x4x3xx 2345 +++++
412x17x18x14x6xx 23456 ++++++
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2223222 2x1x1x c) 1x1x b) 2x1xx a) +++++−++
Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces:
!
Solución:
!
Raíces: a) -4, 0, 2, 6 b) ! c) -11, -6, 12
792.138x5xxc)
2;18x17x8xb)
48x;20x4xxa)
23
23
234
−−+
+++
+−−
6)12)(x11)(x(xc);2)x21)(xx(8b);6)4)(x2)(xx(xa) 2 +−++++−+−
81
−
Obtén un polinomio cuyas raíces sean: a) 1 (raíz doble), -1 (raíz triple) b) -3 (raíz simple), 0 (raíz triple), 1 (raíz doble)
Solución:
a) !
b) !
( ) ( ) 1xx2x2xx1x1x 234532 ++−−+=+−
( )( ) 345623 x3x5xx1x3xx +−+=−+