MÉTODOS ESTATÍSTICOSMÉTODOS ESTATÍSTICOS
E NUMÉRICOSE NUMÉRICOS
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
UNIDADE 10UNIDADE 10
ÍNDICEÍNDICE
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
CONTIDOSCONTIDOS
Tipos de estimación.Estimación puntual.Características dos estimadores puntuais.Estimadores puntuais: media mostral e proporción mostral.Intervalo de confianza.Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal
da que se coñece a varianza.Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal
da que non se coñece a varianza.Intervalo de confianza para a proporción.Intervalo de confianza para a diferenza de medias.Intervalo de confianza para a varianza dunha poboación
normal.Erro máximo admisible.Tamaño da mostra para a estimación da media e da
proporción.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
IntroduciónIntrodución
Observa estes tres problemas, correspondentes a situacións parecidas pero moi distintas:
XProblema 1: A media de idade das alumnas e alumnos que se presentan á
selectividade é de 18.1 anos; e unha desviación típica de 0.5 anos. Eliximos ao azar unha mostra de 80 alumnos/as, cal é a probabilidade de que a media de idade da mostra estea entre 17.9 e 18.3?
Sabemos:A media μ da poboación, que é
18.1
Queremos saber:A media dunha mostra. p(17.9< <18.3)?
Coñecemos a poboación e pretendemos deducir o comportamento das mostras. Isto viuse no tema anterior baseándonos no teorema central do límite.
X
X
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
IntroduciónIntrodución
X
Problema 2: A idade media dunha mostra de 80 alumnos/as que se presentan a
selectividade é de 18.1 anos. Cal é a probabilidade de que a media de todos os alumnos que se presentan á selectividade estea entre 17.9 e 18.3 anos?
Sabemos:A media dunha mostra:
=18.1
Queremos saber:A media μ da poboación.
p(17.9<μ<18.3)?
Coñecemos unha mostra, e pretendemos deducir aspectos da poboación. Pretendemos inferir ou estimar o valor da media poboacional a partir do valor da media mostral. Este é o tema da presente unidade.
XX
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
IntroduciónIntrodución
Problema 3:Está admitido como certo que a idade media dos alumnos/as que se
presentan á selectividade é de 18.1. Para comprobalo tomouse unha mostra de 80 alumnos/as que se presentan á selectividade e calculouse a súa media, obtendo 18.3. É razoable admitir como válida a hipótese inicial de que μ=18.1?
Sabemos:A media dunha mostra: =18.3
Queremos saber:É admisible a afirmación de que
a media da poboación é μ=18.1?
Temos unha afirmación ou hipótese, pero sen garantías de certeza. Para contrastalo, tomamos unha mostra, e a partir do resultado desta, decidimos se a hipótese é ou non é admisible.Este problema corresponde á chamada teoría da decisión ou
contraste de hipótese que veremos na seguinte unidade
X
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
IntroduciónIntrodución
Nota :Ao traballar con mostras, hai que diferenciar entre:Os parámetros observados na mostra, chamados parámetros estatísticos ou simplemente estatísticos.Os parámetros reais correspondentes á poboación, chamados parámetros poboacionais ou simplemente parámetros.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
IntroduciónIntrodución
Estimación de ParámetrosEstimación de Parámetros
Parámetros poboacionais e Estatísticos MostraisParámetros poboacionais e Estatísticos Mostrais
DatosDatos(Poboación de Interese)(Poboación de Interese)
MostrasMostras
-4 -2 0 2 40
20
40
60
80
100
120
140
160Histograma de la Poblacion
Clases
Fre
cuencia
-4 -2 0 2 40
2
4
6
8
10
12
14
16
Histograma de la Muestra
Clases
Fre
cuen
cia
ParámetrosParámetros::
Media (Media ())
Varianza(Varianza(22))
Desv. Est. (Desv. Est. ())
Etc.Etc.
EstatísticosEstatísticos::
Termo medio( )Termo medio( )
Varianza mostral(Varianza mostral(SS22))
Desv. Est. mostral(Desv. Est. mostral(SS))
Etc.Etc.
InferenciasInferencias
MostraxeXX
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Tipos de estimación1. Tipos de estimación
Tipos de estimación:
Puntual: Trátase de estimar un parámetro da
poboación a partir dun estatístico obtido dunha mostra dela, dando un único valor como aproximación do parámetro poboacional.
Por intervalos de confianza:A partir dunha mostra aleatoria de tamaño n
podemos estimar o valor dun parámetro da poboación dando un intervalo dentro do cal confiamos que estea o parámetro, intervalo de confianza, e calculando a probabilidade de que tal cousa ocorra; a dita probabilidade chamámoslle nivel de confianza.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Estimación puntual2. Estimación puntual
Estimación puntual:
Ao estimar un parámetro poboacional por estimación puntual poden considerarse, en principio, varios estatísticos.
Exemplo:Para estimar a media poboacional μ podemos utilizar a media mostral x, pero tamén outros estatísticos, como mediana, moda...
Debemos, polo tanto, facer un estudo para saber que estatístico proporciona unha estimación máis fiable do parámetro poboacional.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Estimación puntual2. Estimación puntual
Para controlar a fiabilidade da estimación proporcionada por un estatístico, definimos o concepto de estimador:
Chamamos estimador S dun parámetro poboacional λ a unha variable aleatoria que a cada unha das mostras dun certo tamaño n da poboación asócialle o valor dun estatístico dado con valores aproximados ao parámetro poboacional λ que desexamos estimar.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Estimación puntual2. Estimación puntual
Exemplo:Nun edificio viven 6 nenos de idades:
Nenos Celia Raquel María Alex Marta Xoán
Idades 5 7 8 6 1 8
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Estimación puntual2. Estimación puntual
Podemos polo tanto coñecer a idade media da poboación de nenos do edificio que sería:
μ =(5+7+8+6+1+8)/6=5.83
Pero un veciño do edificio non coñece as idades de todos os nenos así que decide estimar cal é a idade media dos nenos do edificio preguntándolle a idade a tres dos nenos e calculando a media de idade de dita mostra.
O parámetro media poboacional intenta estimarse mediante un estatístico dunha mostra de tres elementos que é a media mostral.
Pero, o valor obtido deste xeito, realmente se aproxima á media poboacional?
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Estimación puntual2. Estimación puntual
Para controlar a fiabilidade da estimación, recorremos ao estudo do seguinte estimador:Experimento aleatorio = obtención dunha mostra de tamaño 3.Definimos unha variable aleatoria que a cada mostra de tres nenos asígnalle a idade media da mostra. =idade media mostral dunha mostra de tamaño 3
Mostras
Celia Raquel e María
Celia Raquel e Alex
Celia Raquel e Marta
Celia Raquel e Xoán
Celia María e Alex
Celia María e Marta
Celia María e Xoán
Celia Alex e Marta
Celia Alex e Xoán
Celia Marta e Xoán
6.67 6 4.33 6.67 6.33 4.33 7 4.33 6.33 4.67
Mostras
Raquel María e Alex
Raquel María e Marta
Raquel María e Xoán
Raquel Alex e Marta
Raquel Alex e Xoán
Raquel Marta e Xoán
María Alex e Marta
María Alex e Xoán
María Marta e Xoán
Alex Marta e Xoán
7 5.33 7.67 4.67 7 5.33 5 7.33 5.67 5
X
x
x
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Estimación puntual2. Estimación puntual
Trátase dunha variable aleatoria discreta coa seguinte función masa de probabilidade
xi p( =xi)
4.334.6755.335.6766.336.6777.33
3/202/202/202/201/201/202/202/203/201/20
X
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Características dos estimadores puntuais3. Características dos estimadores puntuais
Nun estimador considéranse desexables as seguintes características:
Ausencia de nesgoEficiencia Consistencia
para considerar fiable a estimación correspondente.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Características dos estimadores puntuais3. Características dos estimadores puntuais
f(x)=8
f(x)=4
f(x)=0
Serie 1
Serie 2
λ
λ
λ
Ausencia de nesgoObserva as seguintes figuras onde se representa o valor real do parámetro poboacional a estimar λ e os valores que toman certos estimadores correspondentes a certos tamaños de mostra e a certos estatísticos que poderiamos empregar.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Características dos estimadores puntuais3. Características dos estimadores puntuais
No primeiro caso os valores do estimador están arredor de λ mentres no segundo caso a maior parte son maiores λ e no terceiro son maioritariamente menores ca λ.
A nós interésanos que os valores do estimador se repartan ao redor de λ, coma no primeiro caso. Isto dáse cando a súa esperanza está próxima ao valor de λ e cando isto sucede dise que o estimador é non esguellado.
Dise que un estimador S dun parámetro λ é non esguellado se a súa esperanza μS coincide con λ.
Se μS< λ , dise que ten nesgo negativo (caso 3)
Se μS> λ , dise que ten nesgo positivo (caso 2)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Características dos estimadores puntuais3. Características dos estimadores puntuais
Exemplo: Lembrades o exemplo de estimador que puxemos ?Fixádevos no valor da idade media da poboación de
nenos do edificio e nos valores que toma o estimador que son as idades medias das mostras de tres elementos que podemos tomar nesta poboación. Pensades que é ou non esguellado?
f(x)=0
Serie 1
Serie 2
4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4 7.6 7.8λ
X
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Características dos estimadores puntuais3. Características dos estimadores puntuais
Se no noso exemplo calculamos a esperanza do estimador X obtemos:
edificiodonenosdosmediaidade5.83
201
7.67201
7.33203
7202
6.67202
6.33
201
6201
5.67202
5.33202
5202
4.67203
4.33
pxμi
iiX
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Características dos estimadores puntuais3. Características dos estimadores puntuais
Eficiencia dun estimadorPero observa agora os valores que toman estes dous estimadores non esguellados do mesmo parámetro poboacional λ.Cal cres ti que deberiamos empregar se queremos un resultado fiable?.
f(x)=8
f(x)=4
Serie 1
Serie 2
λ
λ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Características dos estimadores puntuais3. Características dos estimadores puntuais
Loxicamente nos quedariamos co segundo, pois os valores que toma o estatístico están máis concentrados arredor de λ.
Isto ocorre cando a desviación típica do estimador é menor; e dise que dito estimador é máis eficiente.
De entre dous estimadores, dicimos que é máis eficiente o que ten menor varianza ou desviación típica.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Características dos estimadores puntuais3. Características dos estimadores puntuais
Exemplo:Os 4 fillos dunha familia estudan 1,2,3,4 horas diarias respectivamente. Se desexásemos estimar o nº medio de horas de estudo diario dos nenos desta familia mediante unha mostra de tamaño 3, que estimador dos dous seguintes é máis eficiente?
=media mostral dunha mostra de tamaño3 Me=mediana dunha mostra de tamaño 3.
X
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Características dos estimadores puntuais3. Características dos estimadores puntuais
As posibles mostra de tamaño 3 daríannos os seguintes resultados:
Calculemos as esperanzas destas variables aleatorias (estimadores) para ver se teñen ou non nesgo
O nº medio de horas de estudo da poboación formada polos 4 nenos era:
Como ambos estimadores son non esguellados.
Mostras Me
(1,2,3) 2 2
(1,2,4) 2.33 2
(1,3,4) 2.67 3
(2,3,4) 3 3
x
2.53)/432(2μ
2.53)/42.672.33(2μ
Me
X
2.54)/432(1μ
MeXμμμ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Características dos estimadores puntuais3. Características dos estimadores puntuais
Cal é máis eficiente?
Pois aquel que teña menor varianza.Ao calculalas podemos ver que a media mostral ten unha
varianza máis baixa polo que é un estimador máis eficiente que a mediana.
0.252.521
321
2σ
0.132.541
341
2.6741
2.3341
2xpxσ
2222Me
22222
ii
2i
2
X
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Características dos estimadores puntuais3. Características dos estimadores puntuais
Consistencia dun estimadorIntuitivamente canto maior é a mostra elixida, máis próxima debería estar a estimación realizada dun parámetro ao valor real do parámetro.
Dicimos que un estimador é consistente se a probabilidade de que estean moi próximos a estimación e o parámetro poboacional aumenta e tende a 1 ao incrementarse o tamaño da mostra.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Características dos estimadores puntuais3. Características dos estimadores puntuais
Conclusión: Un estimador é bo se é non esguellado, o máis eficiente posible e consistente.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Estimadores puntuais: media mostral e 4. Estimadores puntuais: media mostral e proporción mostralproporción mostral
A elección do estimador máis axeitado en cada caso excede o nivel deste curso.
Abondará con saber:A media poboacional μ aproxímase pola media mostral . A
mediana tamén é un estimador non esguellado para a media poboacional pero menos eficiente que a media mostral.A varianza poboacional σ2 aproxímase pola cuasivarianza
mostral ŝ2 que se define como:
Parece que o estimador máis adecuado debería ser a varianza mostral, pero pode demostrarse que non é así.A proporción poboacional aproxímase por a proporción
mostral.A diferenza de medias de dúas poboaciones μ1-μ2 aproxímase
pola diferenza de medias mostráis21 xx
22 s1n
ns
ˆ
x
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Estimadores puntuais: media mostral e 4. Estimadores puntuais: media mostral e proporción mostralproporción mostral
Exemplo 1: Das 25 aulas dun centro educativo escolléronse 5
ao chou, e contouse o número de alumnos da clase, obténdose os seguintes resultados: 33, 27, 19, 34, 30. Estima o número total de alumnos do centro.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Estimadores puntuais: media mostral e 4. Estimadores puntuais: media mostral e proporción mostralproporción mostral
Solución:Estimaríamos o nº medio de alumnos por aula no centro escolar calculando o nº medio de alumnos nas 5 aulas que se tomaron como mostra.Como a media mostral da (33+27+19+34+30)/5= 28,6 consideramos que o nº medio de alumnos por aula no centro escolar é 28.6 e, polo tanto, estimariamos que o número total de alumnos no centro escolar é de 25·28,6=715 alumnos
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Estimadores puntuais: media mostral e 4. Estimadores puntuais: media mostral e proporción mostralproporción mostral
Exemplo 2:Entre os estudantes dunha cidade escolléronse 150 ao azar e preguntóuselles se estaban de acordo co actual sistema de acceso á universidade. 40 responderon que si. Estímese a proporción de alumnos de dita cidade que están de acordo co sistema de acceso á universidade.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Estimadores puntuais: media mostral e 4. Estimadores puntuais: media mostral e proporción mostralproporción mostral
Solución:A proporción mostral é un bo estimador da proporción poboacional, así que calculamos a proporción de alumnos da mostra que responderon afirmativamente e considerámola como proporción poboacional.
40 de 150 é un 26,67%Estimamos que un 26,67% da poboación está de acordo co sistema de acceso á universidade.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Intervalo de confianza5. Intervalo de confianza
A estimación puntual serve de pouco mentres descoñezamos cal é o grao de aproximación entre o estatístico mostral e o parámetro poboacional. A estimación puntual non nos indica o erro cometido en dita estimación.O razoable na práctica é incluír, xunto á estimación puntual do parámetro, un certo intervalo numérico que mida a marxe de erro que, de acordo coas observacións mostrais, poda ter dita estimación.A idea de intervalo de confianza é propór un rango de valores entre os que posiblemente se encontre o verdadeiro valor do parámetro.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Intervalo de confianza5. Intervalo de confianza
Por este motivo recórrese á estimación por intervalos.
A partir dunha mostra de tamaño n podemos estimar o valor dun parámetro da poboación do seguinte modo:
Dando un intervalo dentro do cal confiamos que estea o parámetro, chamado intervalo de confianza.
Calculando a probabilidade de que tal cousa ocorra. A dita probabilidade chámaselle nivel de confianza que se nomea como p=1-α sendo α o nivel de significación.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Intervalo de confianza5. Intervalo de confianza
Supoñamos que para estimar unha media poboacional μ tomamos unha mostra de tamaño n e a partir dela construímos un intervalo de confianza ao 90% para μ. É dicir, o nivel de confianza é 0,9 e o nivel de significación 0,1.
No intervalo calculado pode ou non estar realmente μ.
Nin sequera podemos dicir que μ está no intervalo calculado cunha probabilidade do 90%.
Só podemos falar de que o intervalo contén a μ cunha confianza do 90%. Que significa entón nivel de confianza do 90%?
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Intervalo de confianza5. Intervalo de confianza
Se construímos moitos intervalos de confianza para μ cun nivel de confianza do 90%
μ
O 90% de ditos intervalos de confianza conterán a media poboacional.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Intervalo de confianza5. Intervalo de confianza
Nota:Como polo xeral só vamos a dispór dunha mostra, temos que contar (por exemplo cun 90% de confianza) que a mostra que temos pertence ao grupo das mostras boas (as que nos dan unha estimación do intervalo que contén o verdadeiro valor do parámetro).
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Intervalo de confianza5. Intervalo de confianza
Para o cálculo de intervalos de confianza é importante coñecer que é un intervalo característico e como calculalo
Intervalos característicos :Se unha variable aleatoria X ten unha distribución de esperanza ou media μ, chámase intervalo característico correspondente a unha probabilidade p a un intervalo centrado na media (μ-k, μ+k) tal que a probabilidade de que X pertenza a dito intervalo é p
p(μ-k < X < μ+k)=p
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Intervalo de confianza5. Intervalo de confianza
Intervalos característicos en distribucións N(0,1)Exemplo: Calcula o intervalo característico dunha variable aleatoria Z que segue unha distribución normal N(0,1) correspondente á probabilidade p=0.9.
Trátase de atopar un intervalo centrado na media μ=0 e polo tanto da forma (-k, k) que conteña unha probabilidade de 0.9.
Fóra do intervalo haberá unha probabilidade de 1-p=1-0.9=0.1. Como o intervalo é simétrico , a área ou probabilidade de cada “cola” é de 0.1/2=0.05
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Intervalo de confianza.5. Intervalo de confianza.
f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^-(x^2/2)
Relleno 2
Relleno 3
Relleno 4
x(t)=-1.65 , y(t)=t
x(t)=1.65 , y(t)=t
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.004
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
x
y
N(0,1)
-k k
p(-k<z<k)=p=1-α=0,9
p(z>k)=(1-p)/2=α/2=0.05p(z<-k)=(1-p)/2=α/2=0.05
p(z≤k)=p+(1-p)/2=1-α+α/2=0.95
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Intervalo de confianza5. Intervalo de confianza
Vemos , entón, que p(Z≤k)=0.95
E recorremos á táboa da distribución N(0,1) para atopar o valor de k correspondente á probabilidade 0.95
K é un valor entre 1.64 e 1.65; polo que tomamos o punto medio 1.645
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Intervalo de confianza5. Intervalo de confianza
O intervalo característico para unha variable aleatoria Z que segue unha distribución normal N(0,1) correspondente a unha probabilidade p= 0.9 sería:
(-1.645, 1.645)
Diremos que k=1.645 é o valor crítico correspondente a p=0.9.Habitualmente desígnase a probabilidade p mediante 1-α. O valor crítico correspondente denomínase zα/2 téndose as desigualdades:
p(Z> zα/2 )=α/2 p(-zα/2 <Z< zα/2 )=1-α
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Intervalo de confianza5. Intervalo de confianza
Intervalos característicos en distribucións N(μ,σ)Sexa X unha variable aleatoria que segue unha distribución N(μ,σ). Desexamos encontrar un intervalo centrado na media μ, (μ-k, μ+k) tal que p(μ-k<X<μ+k)=p=1-α. É dicir, un intervalo no que estea o (1-α).100% dos individuos da poboación.
Se X é N(μ,σ) entón Z=(X-μ)/σ é N(0,1).Calculariamos o intervalo característico para Z correspondente a p=1-α que sería (-zα/2 , zα/2 ) .Polo tanto:
p(-zα/2 <Z< zα/2 )=p (-zα/2 < (X-μ)/σ < zα/2 )=p=1-α
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Intervalo de confianza5. Intervalo de confianza
Multiplicando toda a desigualdade pola desviación típica σ e sumando a toda a desigualdade a esperanza ou media μ temos:
p(μ- zα/2 ·σ < X < μ+ zα/2 ·σ )=p=1-α
O intervalo característico será : (μ- zα/2 ·σ , μ+ zα/2 ·σ )
Exemplo:Calcula o intervalo característico para unha distribución N(3,2) correspondente a unha probabilidade p=1-α=0.9.
Calculariamos o valor crítico para a N(0,1) correspondente a unha probabilidade 0.9 . zα/2 =1.645O intervalo característico sería (3-1.645·2, 3+1.645·2) = (-0.29 , 6.29)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Intervalo de confianza5. Intervalo de confianza
O método pivotal para o cálculo de intervalos de confianzaFixado un nivel de confianza p=1-α (0 < p < 1), o procedemento xeral para a construción dun intervalo de confianza ao nivel p=1-α para un parámetro de interese λ desenvólvese de acordo co seguinte mecanismo:
1 Elección do estatístico pivotal:Elíxese un estatístico que dependa só do parámetro que se desexa estimar e cuxa distribución sexa coñecida T.
2 Formulación do enunciado probabilístico: Preséntase un enunciado probabilístico tendo en conta a distribución de probabilidade do estatístico elixido na etapa anterior e o valor p=1-α fixado como nivel de confianza, é dicir, determínanse constantes a e b tales que:
P (a < T < b) = p=1-αou dito doutro xeito, calcúlase un intervalo característico de T para unha probabilidade p.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Intervalo de confianza5. Intervalo de confianza
3 Transformación do enunciado probabilístico:
Se é posible despexar da expresión anterior, transfórmase o enunciado probabilístico noutros equivalentes, mediante operacións aritméticas, ata chegar a unha expresión na que o parámetro de interese figure só no centro da desigualdade. Dependendo das operacións aritméticas a realizar podemos obter:
P (T-1(a)< λ < T-1(b))= p=1-α P (T-1(b)< λ < T-1(a))= p=1-α
Calculando o valor do estimador T nun caso concreto e sustituíndo este dato no intervalo probabilístico construído anteriormente obtense o intervalo de confianza para λ con un nivel de confianza p=1-α.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
Método pivotal aplicado ao cálculo dun intervalo de confianza para a media dunha poboación normal con varianza coñecida
Caso xeral.X variable aleatoria que segue unha N(μ,σ), μ descoñecida.Para estimar μ tomamos unha mostra de tamaño n, n≥30 e calculamos a media mostral Como calcular un intervalo de confianza para μ ó p·100%= (1-α)·100%?
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
α.-1p adeprobabilid esta para z crítico valor o calculamos isto Para
α.-1p adeprobabilid unha para N(0,1) normal da ticocaracterís intervalo o Calculamos
α1p
nσ
μc
nσ
μX
nσ
μcp
1).normalN(0, unha a pasar para sTipificamo
α1p)cXp(c
α.-1p
adeprobabilid con óndistribuci nesta ticocaracterís intervalo un calcular Intentemos
. 30n é mostras das tamaño o se ou normal é X partida
poboación a se n
σμ,N óndistribuci unha segue n tamaño de mostra
dunha mostral mediaX que límite do central teorema polo Sabemos
2α
21
21
:ticoprobabilís enunciado do nFormulació 2
:pivotal oestatístic do Elección 1
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
n
σzx,
n
σzx
:será μ para 100%α-1100%p ao confianza de intervalo o
que temos e mostra da obtido concreto valor polo X osSubstituím
α1pn
σzXμ
n
σzXp
:a chegamos , 1 por rmultiplica e
X restarμ, restar:dedesigualda na operacións seguintes as facendo E
α1pμn
σzXμ
n
σzp α1pcXcp
tanto polo e
μn
σzc e μ
n
σzc
z
nσ
μc e z
nσ
μc
entón Temos
2α
2α
2α
2α
2α
2α21
2α2
2α1
2α
2
2α
1
:ticoprobabilís enunciado do ación Transform3
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
Conclusión:Deséxase estimar a media, μ, dunha poboación con desviación típica, σ, coñecida.Para isto recórrese a unha mostra de tamaño n na que se obtén unha media mostral,Se a poboación de partida é normal ou se o tamaño da mostra é n≥30, entón o intervalo de confianza de μ cun nivel de confianza de p·100%= (1-α)·100% é:
sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α
.x
n
σzx,
n
σzx
2α
2α
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
Vexamos o feito nun exemplo concreto:
Os estudantes de bacharelato de Galicia dormen un número de horas diarias que se distribúe segundo unha lei normal de media μ descoñecida e de desviación típica 3. A partir dunha mostra de tamaño 30 obtívose unha media mostral igual a 7 horas.
Obtén un intervalo de confianza ao 90% para a media de horas de sono, μ.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
Partimos da seguinte situación:Poboación: Alumnos de bacharelato de Galicia.Variable aleatoria:X=nº de horas diarias de sono dun alumno de bacharelato de Galicia, que segue unha distribución normal de media μ descoñecida e desviación típica 3; N(μ,3).
Desexamos estimar a media poboacional μ para o que tomamos unha mostra de tamaño 30 e calculamos o estatístico media mostral, que sabemos é un estimador non esguellado da media poboacional, obtendo =7.
Pero non desexamos facer unha estimación puntual senón dar un intervalo de confianza ao 90% para a media poboacional μ.
x
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
Empregaremos o método pivotal
Polo Teorema Central do Límite:Como X segue unha distribución normal N(μ,3), a variable aleatoria que a cada unha desas mostras asígnalle a súa media mostral
mi-------›segue unha distribución normal de media μ e desviación típica 3/√30=0,55. N(μ,0´55).
Primeiro trataremos de atopar un intervalo carácterístico (c1,c2) desta distribución normal N(μ,0,55) tal que
p(c1< <c2)=0.9.
X
ix
X
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
Para poder atopar dito intervalo temos que tipificar para poder traballar ca N(0,1) que é a única tabulada. Se segue unha distribución N(μ,0.55), a variable aleatoria Z=( -μ)/0.55 segue unha distribución N(0,1):
0.90.55
μc0.55
μX0.55
μcp 21
XX
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
f(x)=(1/sqr(2*pi))*e^-(x^2/2)
Relleno 2
Relleno 3
Relleno 4
x(t)=-1.65 , y(t)=t
x(t)=1.65 , y(t)=t
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8
-0.004
-0.002
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
0.03
0.032
0.034
x
y
N(0,1)
-k k
p(-k<z<k)=p=1-α=0,9
p(z>k)=(1-p)/2=α/2=0.05p(z<-k)=(1-p)/2=α/2=0.05
p(z≤k)=p+(1-p)/2=1-α+α/2=0.95
Lembremos como se calcula un intervalo característico da N(0,1) para unha probabilidade p=1-α=0.9.Trátase de atopar un intervalo de forma (-k,k) tal que p(-k<z<k)=p==1-α=0.9
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
Empregamos as táboas da N(0,1) para calcular o valor de k tamén nomeado como zα/2 tal que p(Z≤k)=p(Z< zα/2 )=0.95.
Atopamos que é un valor intermedio entre 1.64 e 1.65 polo que tomamos 1.645.
K= zα/2=1.645 chámase valor crítico correspondente á probabilidade p=1-α=0.9.
Polo tanto o intervalo característico sería :
(-1.645,1.645)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
consigo? o Como
μ". estimar para intervalo un interésame" min a pero
0.90.55)1.645μX0.551.645p(μ
0.9)cXp(c
:comoE
μ0.551.645c1.6450.55
μc
μ0.551.645c1.6450.55
μc
0.90.55
μc0.55
μX0.55
μcp
orixinal problema ao Volvendo
21
22
11
21
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
90%. do confianza de nivel cun
:que concluír Poderiamos
0.97.90475)μp(6.09525
0.90.55)1.6457μ0.551.645-p(7
:obtendo
ossubstituím7 x mostral media da resultado cun mostra unha temos Como
0.90.55)1.645Xμ0.551.645-Xp(
0.9)X0.551.645μX0.55p(1.645
:1- por dedesigualda a ndoMultiplica
0.9)X-0.551.645-μX-0.55p(-1.645
:dedesigualda á X Restando
0.90.55)1.645μ-X0.55p(-1.645
:dedesigualda á μ Restando
7.90475)(6.09525, intervalo no está Galicia de obacharelat de
estudantes dos sono de horas de medio nº O
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
Outra maneira de enfocalo:X variable aleatoria que segue unha N(μ,σ), μ descoñecida.Para estimar μ tomamos unha mostra de tamaño n, n≥30 e calculamos a media mostral Como calcular un intervalo de confianza para μ ao p·100%=(1-α)·100%?.
100%.α)(1
100%p ó μ para confianza de intervalo o econsidéras intervalo Dito
n
σzx,
n
σzx
:sería intervalo Dito
α.1p adeprobabilid unha a entecorrespond
óndistribuci esta para ticocaracterís intervalo un entón, ,Calculamos
)n
σ,xN( normal óndistribuci unha segue X Entón
μ. de puntual estimación unha como x en Pensemos
2α
2α
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
Exemplo 2:Co fin de investigar o cociente de intelixencia medio dunha poboación estudiantil , pasouse unha proba a 200 estudantes. A media mostral foi de 64 puntos. Por outra banda, sábese por estudos anteriores que o cociente intelectual na poboación distribúese normalmente cunha desviación típica poboacional de 9.3 puntos.Acha un intervalo de confianza para a media poboacional do cociente deintelixencia ao nivel de confianza do 92%.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
0.92)cXp(c
0.92 adeprobabilid
con óndistribuci esta para ticocaracterís intervalo un Calculemos
0.66) N(64,)200
9.3 N(64, óndistribuci unha segue
200 tamaño de mostra dunha mediaX
iaconsecuenc como E
9.3) N(64, óndistribuci unha segue X
μ de puntual estimación como x Tomamos
μ,9.3N normal óndistribuci unha segue
estudante dun lintelectua cocienteX
SOLUCIÓN
21
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
65.2 62.8, é buscado confianza de intervalo O
65.20.661.7564c
62.80.661.7564c
1.750.66
64c e 1.75
0.6664c
:tanto Polo
z obtendo táboa na Buscamos
0.96)zp(Z
:tanto polo 0.04; cola"" cada ene,0.08,α
hai fóra 0.92, adeprobabilid unha hai
ticocaracterís intervalo do dentro Se
0.92α1p para z crítico valor o Buscamos
N(0,1) cunha straballamo E
0.920.66
64c0.66
64X0.66
64cp
sTipificamo
2
1
21
2α
2α
2α
21
75.1
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
Tamén o podes resolver simplemente empregando a fórmula, unha vez sabes de onde se obtén.
Exemplo 3:Un nadador obtén os seguintes tempos, en minutos, en 10 probas cronometradas polo seu adestrador:
Obter un intervalo de confianza para a marca media desta proba cun 95% de confianza, supoñendo que se coñece por outras probas que ditas marcas deste nadador seguen unhadistribución normal con desviación típica de0.3 minutos.
41.48 42.34 41.95 41.86 41.60 42.04 41.81 42.18 41.72 42.26
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
Solución:Neste caso pídese un intervalo de confianza para a marca media desta proba para dito nadador (μ) sabendo que as súas marcas seguen unha normal con desviación típica σ=0.3 minutos.A mostra coa que contamos é de tamaño n=10. O intervalo de confianza será:
sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α=0.95
n
σzx,
n
σzx
2α
2α
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
Calculamos zα/2 , o valor crítico para unha distribución N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α = 0.95
Fóra do intervalo característico queda α=0.05 e en cada cola α/2=0.025.
Polo tanto p(Z≤ zα/2)=0.975
E zα/2=1.96
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
42.11 41.738,10
0.31.9641.924 ,
10
0.31.9641.924
n
σzx ,
n
σzx
:quedaría 95% ao confianza de intervalo o e
41.92410
419.2410
42.2641.7242.1841.8142.0441.6041.8641.9542.3441.48x
x Calculamos
2α
2α
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Intervalo de confianza para a media dunha 6. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que se coñece a varianzapoboación normal da que se coñece a varianza
Na seguinte páxina de internet tes unha aplicación onde se calculan este tipo de intervalos de confianza. http://www.catedu.es/matematicas_blecua/bacmat/temario/bac2/mas2_estima1.htm
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que “non” se coñece a varianza.
Hai que ter en conta:Na maioría das ocasións nas que se realiza unha investigación estatística a varianza poboacional σ é un parámetro tan descoñecido como a media poboacional µ
A cuasivarianza mostralé un bo estimador de σ2 .Estimaremos a desviación típica poboacional mediante ŝ=√ŝ2.
1n
fxxs
1nn
s ii
2
i22
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
Distinguiremos dous casos:Se a mostra é pequena n < 30Se a mostra é grande n ≥ 30
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
Se a mostra é pequena n < 30:
Empregando o método do pivote
1 Elección do estatístico pivotal:
Fariamos unha estimación puntual da varianza poboacional mediante a cuasivarianza mostral.Pero a distribución correspondente a non é unha N(μ,ŝ/√n) polo que ao tipificala non obtemos unha N(0,1).
Gosset estudou esta variable aleatoria como estimador para calcular intervalos de confianza para a media poboacional µ dunha poboación normal con σ2 descoñecida :
E segue unha distribución chamada t de student con n-1 graos de liberdade.
ns
μXt 1n ˆ
X
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
A distribución t de Student con n-1 graos de liberdade ten unha función de densidade cunha forma “parecida” a unha N(0,1) sendo centrada no 0 e tendo simetría par.Esta distribución está
tabulada.Calcular un intervalo
característico desta distribución faise de xeito similar a como se fai na N(0,1).
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
2 Formulación do enunciado probabilístico: Calculariamos o intervalo característico dunha t de student con n-1 graos de liberdade correspondente a unha probabilidade p=1-α. Buscariamos na táboa o valor c tal que:
α1pc
ns
μXcpctcp
:cumpre que liberdade de graos 1-n con
student de t da c)c,( ticocaracterís intervalo un Temos2α
α12
p1pctp
1n
1n
ˆ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
3 Transformación do enunciado probabilístico:
n
scX,n
scX
:será 100%α1100%p ao μ para confianza de intervalo O
α1pn
scXμn
scXp
1) por rmultiplica ,X restar ,n
s por ar(multiplic
dedesigualda na operacións Facendo
ˆˆ
ˆˆ
ˆ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
Se a mostra é grande n ≥ 30Entón a t de student con n-1 graos de liberdade, tn-
1 , aseméllase cada vez máis a unha N(0,1) . Polo que se traballa directamente coa N(0,1) para obter o intervalo característico con probabilidade p=1-α. A partir de aquí o problema resólvese igual chegando ao intervalo:
n
szx,
n
szx
2α
2α
ˆˆ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
Conclusión:Deséxase estimar a media, μ, dunha poboación normal con desviación típica, σ, descoñecida.Para isto recórrese a unha mostra de tamaño n na que se obtén unha media mostral,Primeiro estímase puntualmente a desviación típica empregando ŝ=√ŝ2 sendo ŝ2 a cuasivarianza mostral.
Se o tamaño da mostra é n<30, entón o intervalo de confianza de μ cun nivel de confianza de p·100%= (1-α)·100% é:
sendo c o valor crítico nunha t de student con n-1 graos de liberdade correspondente a unha probabilidade p=1-α
.x
n
scx,
n
scx
ˆˆ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
Se o tamaño da mostra é n≥30, entón o intervalo de confianza de μ cun nivel de confianza de p·100% = (1-α)·100% é:
sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α
n
szx,
n
szx
2α
2α
ˆˆ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
Exemplo1: Nunha multinacional de servicios modifícase a aplicación informática de xestión. Os tempos (en horas) que tardaron 15 traballadores elixidos ao azar en adaptarse ao novo sistema foron os seguintes:3.3, 2.9, 4.3, 2.6, 3.2, 4.1, 4.9, 2.8, 5.5, 5.3, 3.6, 3, 3.5, 2.9, 4.7Determina un intervalo de confianza ao 95% para o tempo medio de adaptación de todos os empregados da empresa.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
Solución:Neste caso pídese un intervalo de confianza para o tempo medio de adaptación de todos os empregados(μ) sendo a desviación típica σ descoñecida, que estimaremos puntualmente por ŝ.A mostra coa que contamos é de tamaño n=15<30; polo tanto, o intervalo de confianza será:
sendo c o valor crítico para unha distribución t de student con n-1=14 graos de liberdade correspondente a unha probabilidade p=1-α=0.95
15
scx,
15
scx
n
scx,
n
scx
ˆˆˆˆ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
horas 0.960.92s
0.9214
12.9295s
1n
fxxs
1nn
s
:s Calculamos
horas3.77 15
56.615
4.7...2.93.3x
:x Calculamos
2
ii
2
i22
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
xi
3.3 0.22092.9 0.75694.3 0.28092.6 1.36893.2 0.32494.1 0.10894.9 1.27692.8 0.94095.5 2.99295.3 2.34093.6 0.02893 0.59293.5 0.07292.9 0.75694.7 0.8649
12.9295
2i )x(x
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
Calculamos c, o valor crítico para unha distribución t de student con n-1=14 graos de liberdade correspondente a unha probabilidade p=1-α = 0.95
Buscamos os graos de liberdade en vertical (14) e a probabilidade p en horizontal 0.95.
C=1.761
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
O intervalo de confianza será:
O tempo medio de adaptaciónestá entre 3.33 horas e 4.21 horascun nivel de confianza dun 95%
4.21 3.33,15
0.961.7613.77 ,
15
0.961.7613.77
15
scx,
15
scx
n
scx,
n
scx
ˆˆˆˆ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
Exemplo 2:Para analizar o peso duns botes de conserva, tómase unha mostra de tamaño 32. Os pesos en quilogramos obtidos son:
Calcula o intervalo de confianza ao 95% para o peso medio dos botes.
0.97 0.99 1.01 0.98 0.99 1.00 0.98 0.98
1.00 1.02 0.97 0.97 0.99 0.99 0.99 0.96
0.98 1.00 0.99 1.01 1.00 1.00 0.98 0.99
0.99 0.98 0.97 0.97 1.01 0.96 1.03 0.92
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
Solución:Neste caso pídese un intervalo de confianza para o peso medio en quilogramos duns botes de conserva(μ) sendo a desviación típica σ descoñecida, que estimaremos puntualmente por ŝ.A mostra coa que contamos é de tamaño n=32>30; polo tanto, o intervalo de confianza será:
sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α=0.95
n
szx,
n
szx
2α
2α
ˆˆ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
Kg 0.2060.00042s
0.0004231
0.013128s
1n
fxxs
1nn
s
:s Calculamos
Kg0.987 32
31.57N
fxx
:x Calculamos
2
ii
2
i22
iii
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
xi fi xi ·fi
0.92 1 0.92 0.004489 0.004489
0.96 2 1.92 0.000729 0.001458
0.97 5 4.85 0.000289 0.001445
0.98 6 5.88 0.000049 0.000294
0.99 8 7.92 0.000009 0.000072
1 5 5 0.000169 0.000845
1.01 3 3.03 0.000529 0.001587
1.02 1 1.02 0.001089 0.001089
1.03 1 1.03 0.001849 0.001849
32
31.57 0.013128
if·2i )x(x 2
i )x(x
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
Calculamos zα/2 , o valor crítico para unha distribución N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α = 0.95
Fóra do intervalo característico queda α=0.05 e en cada cola α/2=0.025.
Polo tanto p(Z≤ zα/2)=0.975
E zα/2=1.96
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Intervalo de confianza para a media dunha 7. Intervalo de confianza para a media dunha poboación normal da que non se coñece a varianzapoboación normal da que non se coñece a varianza
O intervalo de confianza será:
O peso medio dos botes de conserva está entre0.916 Kg e 1.058 Kg cun nivel de confianza do 95%
80.916,1.0532
0.2061.96,0.987
32
0.2061.960.987
n
szx,
n
szx
2α
2α
ˆˆ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Intervalo de confianza para a proporción8. Intervalo de confianza para a proporción
Intervalo de confianza para a proporción.Desexamos atopar un intervalo de confianza cun nivel de confianza do p’·100%=(1-α)·100% para a proporción p poboacional de certa característica C.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Intervalo de confianza para a proporción8. Intervalo de confianza para a proporción
O método pivotal 1 Elección do estatístico pivotal:
Para iso recórrese a unha mostra de tamaño n, na que se obtén unha proporción mostral pr.Se x é o número de éxitos nas n probas, entón o estimador é:
Pr=X/nX=nº de éxitos, en principio, corresponde a unha distribución binomial B(n,p) p=probabilidade de éxito , μ=np e σ=√npq.
Pero se np>5 e nq>5 dita binomial aproxímase por unha normal N(np,√npq) .
E neste caso Pr=x/n segue unha distribución normal N(np/n, √npq/n)=N(p,√(pq/n))=N(p,√(p(1-p)/n)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Intervalo de confianza para a proporción8. Intervalo de confianza para a proporción
2 Formulación do enunciado probabilístico:Trataremos de atopar un intervalo característico do estimador que conteña unha probabilidade p’=1-α e p(c1<Pr<c2)=p’=1-α, Tipificamos a normal, para traballar cunha N(0,1)
α1p'
np-1p
zpPrn
p-1pzpp)cPrp(c
np-1p
zpc e n
p-1pzpc
z
np-1p
pc e z
np-1p
pc
2α
α1)zp(Z
α1p'
np-1p
pc
np-1p
pPr
np-1p
pcp
α/2α/221
α/22α/21
α/22
α/21
α/2
21
:tanto Polo
:Entón
α1p' para crítico valor o N(0,1) da táboa na Buscamos
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Intervalo de confianza para a proporción8. Intervalo de confianza para a proporción
3 Transformación do enunciado probabilístico:Facendo as operacións seguintes na desigualdade conseguimos que p quede no medio:
npr-1pr
zpr,n
pr-1prz-pr
:100%α1100%p' dun confianza de nivel ao confianza de intervalo como obtemos
coñecido é non quep, que mesmo o mostra, da obtido concreto valor polo Pr oSustituind
α1p'n
p-1pzPrp
np-1p
z-Prp
α1p'Prn
p-1pzpPr
np-1p
zp
:1 por rMultiplica
α1p'Prn
p-1pz-pPr
np-1p
zp
:Pr Restar
α1p'n
p-1pzp-Pr
np-1p
zp
:p Restar
α/2α/2
α/2α/2
α/2α/2
α/2α/2
α/2α/2
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Intervalo de confianza para a proporción8. Intervalo de confianza para a proporción
Conclusión:Deséxase estimar a proporción p , de individuos cunha certa característica que hai nunha poboación. Para iso recórrese a unha mostra de tamaño n, na que se obtén unha proporción mostral pr.O intervalo de confianza de p cun nivel de confianza p’·100%=(1-α)·100% é:
sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p’=1-α
npr-1pr
zpr,n
pr-1prz-pr α/2α/2
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Intervalo de confianza para a proporción8. Intervalo de confianza para a proporción
Exemplo:
Para estudar a proporción de estudantes que practicaban football, tómase unha mostra de tamaño 300. O resultado obtido é que o practican 210. Calcula o intervalo de confianza para a proporción p cun nivel de confianza do 98%.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Intervalo de confianza para a proporción8. Intervalo de confianza para a proporción
Queremos estimar a proporción de estudantes que practican football, polo que tomamos unha mostra de tamaño n=300, obtendo unha proporción mostral pr=210/300=0.7 (70%).Sabemos que o intervalo de confianza para unha proporción p cun nivel de confianza do 98% é:
sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade 0.98
npr-1pr
zpr,n
pr-1prz-pr α/2α/2
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Intervalo de confianza para a proporción8. Intervalo de confianza para a proporción
Calculamos zα/2 , o valor crítico para unha distribución N(0,1) correspondente a unha probabilidade p’=1-α = 0.98
Fóra do intervalo característico queda α=0.02 e en cada cola α/2=0.01
Polo tanto p(Z≤ zα/2)=0.99
zα/2 está entre 2.32 e 2.33, tomaremos 2.325
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Intervalo de confianza para a proporción8. Intervalo de confianza para a proporción
O intervalo de confianza para a proporción de estudantes que xogan ao fútbol cun nivel de confianza dun 98% será:
O intervalo está entre un 64% e un 76%
0.76 0.64,
3000.710.7
2.3250.7 ,300
0.710.72.3250.7
npr-1pr
zpr ,n
pr-1prz-pr α/2α/2
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. Intervalo de confianza para a diferenza de 9. Intervalo de confianza para a diferenza de medias medias
Intervalo de confianza para a diferenza de medias.Desexamos atopar un intervalo de confianza cun nivel de confianza do p·100% = (1-α)·100% para a diferenza de medias μ1-μ2 de dúas poboacións sendo as desviacións típicas de ditas poboacións coñecidas σ1 e σ2. O método pivotal 1 Elección do estatístico pivotal:
Para iso recórrese a dúas mostras de tamaños n1 e n2, nas que se obteñen dúas medias mostrais e .Empregaremos como estimador :
A distribución desta variable viuse que correspondía a unha normal N(μ1-μ2, √(σ1
2/ n1 + σ22/ n2 )) se as poboacións iniciais
eran normais ou se o tamaño das mostras é maior de 30
21 XX
1x 2x
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. Intervalo de confianza para a diferenza de 9. Intervalo de confianza para a diferenza de mediasmedias
2 Formulación do enunciado probabilístico:Trataremos de atopar un intervalo característico do estimador que conteña unha probabilidade p=1-α
α1pnσ
nσ
zμμXXnσ
nσ
zμμp)cXXp(c
nσ
nσ
zμμc e nσ
nσ
zμμc
z
nσ
nσ
μμc e z
nσ
nσ
μμc
2α
α1)zp(Z
α1p'
nσ
nσ
μμc
nσ
nσ
μμ)XX(
nσ
nσ
μμcp
N(0,1) coa traballar para sTipificamo
α1pcXXcp
2
22
1
21
α/221212
22
1
21
α/2212211
2
22
1
21
α/22122
22
1
21
α/2211
α/2
2
22
1
21
212α/2
2
22
1
21
211
α/2
2
22
1
21
212
2
22
1
21
2121
2
22
1
21
211
2211
:tanto Polo
:Entón
α;1p para crítico valor o N(0,1) da táboa na Buscamos
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. Intervalo de confianza para a diferenza de 9. Intervalo de confianza para a diferenza de mediasmedias
3 Transformación do enunciado probabilístico
2
22
1
21
α/2212
22
1
21
α/221
21
2
22
1
21
α/221212
22
1
21
α/221
212
22
1
21
α/221212
22
1
21
α/2
212
22
1
21
α/221212
22
1
21
α/2
21
2
22
1
21
α/221212
22
1
21
α/2
21
21
nσ
nσ
z)xx( ,nσ
nσ
z)xx(
:100%α1100%p dun confianza de nivel ao confianza de intervalo como obtemos
mostra, da obtido concreto valor polo XX doSubstituín
α1pnσ
nσ
z)XX(μμnσ
nσ
z)XX(p
α1p)XX(nσ
nσ
zμ(μ)XX(nσ
nσ
zp
:1 por rMultiplica
α1p)XX(nσ
nσ
z)μ(μ)XX(nσ
nσ
zp
: XX Restar
α1pnσ
nσ
z)μ(μ)XX(nσ
nσ
zp
:μμ Restar
medio no quedeμμ que sconseguimo dedesigualda na operacións Facendo
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. Intervalo de confianza para a diferenza de 9. Intervalo de confianza para a diferenza de mediasmedias
Conclusión:Deséxase estimar a diferenza de medias μ1-μ2 de dúas poboacións con desviacións típicas, σ1 e σ2, , coñecidas .Para isto recórrese a dúas mostras de tamaños n1 e n2 nas que se obteñen dúas medias mostrais.
Entón, o intervalo de confianza de μ1-μ2 cun nivel de confianza de p·100%= (1-α)·100% é:
sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α
Se as desviacións típicas, σ1 e σ2, , non fosen coñecidas, pero o tamaño das dúas mostras fose maior de 30 tomariamos no lugar das varianzas poboacionais, as cuasivarianzas mostrais, ŝ1 e ŝ2 .
2
22
1
21
α/2212
22
1
21
α/221 nσ
nσ
z)xx( ,nσ
nσ
z)xx(
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. Intervalo de confianza para a diferenza de 9. Intervalo de confianza para a diferenza de mediasmedias
Exemplo:O tempo en minutos que tardan en reparar certo tipo de avaría nun taller A segue unha distribución normal con desviación típica de 25 minutos; mentres nun taller B a desviación típica é de 30 minutos. Nunha mostra de 10 reparacións dese tipo de avaría no taller A o tempo medio foi de 80 minutos, mentres que nunha mostra de 15 reparacións en B a media foi de 75 minutos.
Calcula o intervalo de confianza para a diferenza de tempos medios, cun nivel de significación α do 1%.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. Intervalo de confianza para a diferenza de 9. Intervalo de confianza para a diferenza de mediasmedias
Solución:Neste caso pídese un intervalo de confianza para a diferenza de tempos medios de reparación dun tipo de avaría entre dous talleres A e B (μ1-μ2 ) sabendo que o tempo de reparación deste tipo de avaría segue nos dous talleres unha distribución normal con desviacións típicas σ1=25 minutos e σ2=30 minutos respectivamente.As mostra coas que contamos son de tamaños n1=10 e n2=15; obténdose nelas tempos medios mostrais de 80 minutos e 75 minutos respectivamente.Polo tanto, o intervalo de confianza será:
sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α=1-0.1=0.99
2
22
1
21
α/2212
22
1
21
α/221 nσ
nσ
z)xx( ,nσ
nσ
z)xx(
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. Intervalo de confianza para a diferenza 9. Intervalo de confianza para a diferenza de mediasde medias
Calculamos zα/2 , o valor crítico para unha distribución N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α = 0.99
Fóra do intervalo característico queda α=0.01 e en cada cola α/2=0.005
Polo tanto p(Z≤ zα/2)=0.995
zα/2 está entre 2.57 e 2.58, tomaremos 2.575
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
9. Intervalo de confianza para a diferenza de 9. Intervalo de confianza para a diferenza de mediasmedias
33.5 23.5,
15
30
10
252.57575)(80,
15
30
10
252.57575)(80
nσ
nσ
z)xx( ,nσ
nσ
z)xx(
:quedaría medias de diferenza a para confianza de intervalo O
2222
2
22
1
21
α/2212
22
1
21
α/221
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
10. Intervalo de confianza para a varianza10. Intervalo de confianza para a varianza
Intervalo de confianza para a varianza dunha distribución normal .Desexamos atopar un intervalo de confianza cun nivel de confianza do p·100%=(1-α)·100% para a varianza σ2 dunha poboación normal. O método pivotal 1 Elección do estatístico pivotal:
Para iso recórrese a unha mostra de tamaño n, na que se obtén a cuasivarianza mostral ŝ .Empregaremos como estimador
Polo Teorema de Fisher sabemos que dita variable aleatoria segue unha distribución chi-cadrado con n-1 graos de liberdade No seguinte enlace podes observar a forma que ten a función de densidade de dita distribución.
2
2
σS1n ˆ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
10. Intervalo de confianza para a varianza10. Intervalo de confianza para a varianza
2 Formulación do enunciado probabilístico:Trataremos de atopar un intervalo do estimador que conteña unha probabilidade p=1-α e que deixe a cada lado (dúas colas) unha probabilidade (1-p)/2=α/2
mente.respectiva
2α
12
p1p e
2α
2p1
de
adesprobabilid esquerda súa á deixan que 2
c e 1
c
valores os liberdade de graos 1-n con cadrado-chi da táboa na Buscamos
α-1pcσ
S1ncp 22
2
1
ˆ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
10. Intervalo de confianza para a varianza10. Intervalo de confianza para a varianza
3 Transformación do enunciado probabilísticoFacendo as operacións seguintes na desigualdade conseguimos que σ2 quede no medio:
1
2
2
2
2
1
22
2
2
2
22
1
2
22
2212
22
21
22
2
1
cS1)-(n
,c
S1)-(n
:100%α1100%p dun confianza de nivel ao confianza de intervalo como obtemos
mostra, da obtido concreto valor polo S doSubstituín
α1pc
S1)-(nσ
cS1)-(n
p ; α1pc
S1)-(nσ
cS1)-(n
p
:volta a dan desdesigualda as fraccións as inverter Ao
α1pS1)-(n
cσ1
S1)-(n
cp : S por Dividir
α1p1-n
cσS
1-nc
p :1-n por Dividir
α-1pcσ
S1ncp
ˆˆ
ˆ
ˆˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆ
ˆ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
10. Intervalo de confianza para a varianza10. Intervalo de confianza para a varianza
Conclusión:Deséxase estimar a varianza σ2 dunha poboación normal.Para isto recórrese a unha mostra de tamaño n na que se obtén a cuasivarianza mostral ŝ2.
Entón, o intervalo de confianza de σ2 cun nivel de confianza de p·100%= (1-α)·100% é:
sendo c1 e c2 os valores que deixan á esquerda probabilidades
respectivamente nunha distribución chi-
cadrado con n-1 graos de liberdade.
1
2
2
2
cS1)-(n
,c
S1)-(n ˆˆ
2α
α12p1
p e 2α
2p1
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
10. Intervalo de confianza para a varianza10. Intervalo de confianza para a varianza
Exemplo:Un fabricante de baterías de coche asegura que duran catro anos cunha desviación típica de 1 ano. Tense unha mostra de cinco baterías que duraron 3, 5, 5.8, 6.4, e 8 anos respectivamente. Determínese un intervalo de confianza ao 99% para a varianza poboacional σ2 e indíquese se é valida a afirmación do fabricante.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
10. Intervalo de confianza para a varianza10. Intervalo de confianza para a varianza
Solución:A variable “duración dunha batería de coche de dita marca” segue unha distribución normal N(4,1) segundo o fabricante.Tomamos unha mostra de 5 baterías obtendo unha media mostral e unha cuasivarianza mostral de
anos 1.843.39s
3.394
13.5524
2.360.760.160.642.64
45.6485.646.45.645.85.6455.64-3
s
1n
fxxs
1nn
s
anos 5.645
28.25
86.45.853N
fxx
22222
222222
ii
2
i22
iii
ˆ
ˆ
ˆ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
10. Intervalo de confianza para a varianza10. Intervalo de confianza para a varianza
O intervalo de confianza para a varianza poboacional a un nivel do 99% (p=1-α=0.99) sería:
Sendo c1 e c2 dous valores que para unha distribución chi-cadrada con n-1 =4 graos de liberdade deixan á súa esquerda unha probabilidade de 0.005 e 0.995 respectivamente.
1
2
2
2
cS1)-(n
,c
S1)-(n ˆˆ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
10. Intervalo de confianza para a varianza10. Intervalo de confianza para a varianza
Calculamos na táboa da chi-cadrada de Pearson ditos valores.
Obtendo c1=0.207 e c2=14.9
O intervalo de confianza para a varianza poboacional ao 99% obtido sería:
65.5 0.91,
0.2073.394
,14.93.394
cS1)-(n
,c
S1)-(n
1
2
2
2
ˆˆ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
10. Intervalo de confianza para a varianza10. Intervalo de confianza para a varianza
Polo tanto, o intervalo de confianza para a desviación típica poboacional obteríase calculando as raíces cadradas dos extremos deste; obtendo que a desviación típica da duración das baterías estaría entre 0.95 e 8.09 anos cun nivel de confianza do 99%:
(0.95, 8.09)Tendo en conta que 1 está no intervalo, a afirmación de que a desviación típica da duración das baterias é 1 ano pode darse por válida.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
X
ns
μXt 1n ˆ
Caso estimador Distribución na mostraxe Intervalo de confianza
Intervalo de confianza para a media μ dunha poboación normal con varianza σ2 coñecida
N(μ,σ/√n)
Intervalo de confianza para a media
dunha
Si n<30 t de student con n-1 graos
de liberdade
poboación normal da que “non” se
coñece a varianza.
Si n≥30 Se aproxima a unha
N(0,1)
Intervalo de confianza para a proporción
Pr=X/n N(p,√(p(1-p)/n))
Intervalo de confianza para a diferenza de medias
N(μ1-μ2, √(σ12/ n1 + σ2
2/ n2 ))
Intervalo de confianza para a varianza
Chi-cuadrada con n-1 graos de liberdade
n
szx,
n
szx
n
scx,
n
scx
n
σzx,
n
σzx
2α
2α
2α
2α
ˆˆ
ˆˆ
1c
2S1)-(n,2
c2S1)-(n
2
22
1
21
α/2212
22
1
21
α/221 nσ
nσ
z)xx( ,nσ
nσ
z)xx(
npr-1pr
α/2zpr,
npr-1pr
α/2z-pr
ˆˆ
2
2
21
σS1n
XX
ˆ
ns
μXt
X
1n ˆ
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
11. Erro máximo admisible11. Erro máximo admisible
Erro máximo admisible:O erro máximo admisible nunha estimación, empregando un intervalo de confianza con un nivel de confianza p=1-α, é o radio de dito intervalo de confianza.O erro depende do tamaño da mostra n e do nivel de confianza p=1-α.Canto maior é a mostra, menor é o erro
cometido.Canto maior é o nivel de confianza, maior
é zα/2 ou similar e, polo tanto, tamén o erro.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
11. Erro máximo admisible11. Erro máximo admisible
Caso Erro máximo admisible
Intervalo de confianza para a media μ dunha poboación normal con varianza σ2 coñecida
Intervalo de confianza para a media dunha
Si n<30
poboación normal da que “non” se coñece a varianza.
Si n≥30
Intervalo de confianza para a proporción
Intervalo de confianza para a diferenza de medias
n
σz
2α
n
sc
ˆ
n
sz
2α
ˆ
n
pr-1przα/2
2
22
1
21
α/2 nσ
nσ
z
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
12. Tamaño da mostra para a estimación da 12. Tamaño da mostra para a estimación da media e da proporciónmedia e da proporción
Tamaño da mostra :
Nalgúns casos, podemos fixar o erro máximo admisible e o nivel de confianza p=1-α para o noso intervalo de confianza, e calcular a partir deles o tamaño mínimo de mostra que necesitamos para que se cumpran ditas condicións despexando n na fórmula do erro máximo admisible.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
12. Tamaño da mostra para a estimación da 12. Tamaño da mostra para a estimación da media e da proporciónmedia e da proporción
Caso Erro máximo admisible
Tamaño da mostra
Intervalo de confianza para a media μ dunha poboación normal con varianza σ2 coñecida
Intervalo de confianza para a proporción
n
σzE
2α
n
pr-1przE α/2
2
2α
2α
E
σzn
E
σzn
2
2
2α
2α
E
pr1przn
E
pr1przn
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
12. Tamaño da mostra para a estimación da 12. Tamaño da mostra para a estimación da media e da proporciónmedia e da proporción
Exemplo 1:Tomouse unha mostra aleatoria de 100 individuos aos que se lles preguntou pola cantidade de cartos que tiñan na súa carteira, obténdose unha media mostral de 110€. Sábese que a desviación típica da poboación é de 20 €.
a) Obtén o intervalo de confianza ao 90 % para a cantidade media de cartos que leva na carteira a poboación.
b) Cal é o erro máximo cometido na estimación anterior?
c) Se desexamos que o erro cometido, co mesmo nivel de confianza, sexa a décima parte do erro calculado no apartado anterior, cal debe de ser o tamaño da mostra?.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
12. Tamaño da mostra para a estimación da 12. Tamaño da mostra para a estimación da media e da proporciónmedia e da proporción
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
12. Tamaño da mostra para a estimación da 12. Tamaño da mostra para a estimación da media e da proporciónmedia e da proporción
Solución apartado a):Neste caso pídese un intervalo de confianza para a cantidade media de cartos que leva na carteira un individuo dunha poboación (μ) sabendo que dita cantidade ten unha desviación típica σ=20€.A mostra coa que contamos é de tamaño n=100. O intervalo de confianza será:
sendo zα/2 o valor crítico nunha N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α=0.9
n
σzx,
n
σzx
2α
2α
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
12. Tamaño da mostra para a estimación da 12. Tamaño da mostra para a estimación da media e da proporciónmedia e da proporción
Calculamos zα/2 , o valor crítico para unha distribución N(0,1) correspondente a unha probabilidade p=1-α = 0.9
Fóra do intervalo característico queda α=0.1 e en cada cola α/2=0.05.
Polo tanto, p(Z≤ zα/2)=0.95
E zα/2=1.645
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
12. Tamaño da mostra para a estimación da 12. Tamaño da mostra para a estimación da media e da proporciónmedia e da proporción
persoas. 10000 de mínimo como ser debe mostra A
100000.329
201.645E
σzn
0.32910
3.29 de sexa máximo erro o que Desexamos
3) apartado ao Solución
3.29n
σzE
2) apartado ao Solución
.29106.71,1133.29110 3.29,-110100
201.645110 ,
100
201.645110
n
σzx ,
n
σzx
:quedaría 90% ao confianza de intervalo o
110€x Como
22
2α
2α
2α
2α
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
12. Tamaño da mostra para a estimación da 12. Tamaño da mostra para a estimación da media e da proporciónmedia e da proporción
Exemplo 2:Deséxase facer unha enquisa nos fogares da Galicia interior co fin de determinar o consumo de sal iodado nunha campaña para a erradicación do bocio. Existe o convencemento, baseado nos resultados de certas investigacións de mercado, de que a porcentaxe de fogares que consomen tal tipo de sal non chega ao 30%. Cun nivel de confianza do 99% e un erro na estimación de 0.05, cal debe ser o tamaño da mostra?
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
12. Tamaño da mostra para a estimación da 12. Tamaño da mostra para a estimación da media e da proporciónmedia e da proporción
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
12. Tamaño da mostra para a estimación da 12. Tamaño da mostra para a estimación da media e da proporciónmedia e da proporción
fogares. 560 menos polo de mostra unha tomar que teriamos tanto, Polo
0.99α1p a entecorrespond crítico valor o z sendo
559.13760.05
0.310.32.58E
pr1przn
:é iodado sal consome que poboación da proporción a para
30% do previa estimación a conta en tendo , 99% do confianza de
nivel un e 0.05, de máximo erro un para mostra da mínimo tamaño O
:Solución
2α
2
2
2
2
2α
Top Related