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Unidad 1: Funciones, Límite y Continuidad
Límites al infinitoLímites infinitos
tiempo(años)
clientes
f
¿Cuál es el máximo número esperado de clientes al cual se tiende en
el largo plazo?
Analicemos …
¿ ?
¿ ?
50
t
Entonces: 50)(lim
tft
Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se aproxima la función cuando t crece indefinidamente.
2
3
Límites al infinito
Si los valores de la función f (x) tienden al número L cuando x aumenta indefinidamente, se escribe:
lim ( )x
f x L
De manera similar, valores de la función f (x) tienden al número M cuando x disminuye indefinidamente, se escribe:
lim ( )x
f x M
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y = f (x)y
y = L
y = M M
Llim ( )x
f x L
lim ( )x
f x M
x
Por ejemplo….
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límite al infinito para funciones polinómicas1
1 1 0( ) n nn nf x a x a x a x a
lim ( ) lim nn
x xf x a x
Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el infinito, se halla el límite del término de mayor grado (término dominante).
Ejemplos:
a) 32 59lim
3 6xx x
b) )5( 24
lim
xxxx
Sabemos que para n > 0, , ¿cuál es el valorde los siguientes límites?
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n
xxlim
nx x
1lim
nx x
1lim
Interrogante . . . . .
11 1 0
11 1 0
( )n n
n nm m
m m
a x a x a x af x
b x b x b x b
11 1 0
11 1 0
lim ( ) lim
n nn n
m
m mx xm m
m
a x a x a x a
xf xb x b x b x b
x
Divida el numerador y denominador entre el x elevado al mayor grado del denominador y calcule el límite de la nueva expresión:
Resolución:
límite al infinito para funciones racionales
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8
Para funciones racionales: 1
1 1 01
1 1 0
( )n n
n nm m
m m
a x a x a x af x
b x b x b x b
Resolución simplificada:
Calcular el límite, tomando en cuenta el término dominante del numerador y del denominador:
m
m
n
n
x xb
xalim
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Ejercicios:
32
542
2
lim
x
xx
x
xxx 21
34
lim
x
xxx 21
34
lim
3
72lim
x
x
x
1.
2.
3.
4.
Calcule los siguientes límites
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Problema
Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es N, entonces el volumen de la cosecha Y puede modelarse con la función de Michaelis – Menten:
( ) 0AN
Y N NB N
donde A y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a la cosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementa indefinidamente?
Se dice que es un límite infinito si f (x)aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a.Técnicamente, este límite no existe, pero se puede dar más información acerca del comportamiento de la función escribiendo:
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Límites infinitos
lim ( )x a
f x
lim ( )x a
f x
lim ( )x a
f x
si f (x) crece sin límite cuando x→a.
si f (x) decrece sin límite cuando x→a.
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¡Interrogante!
A partir de la gráfica . . . , ¿en qué valor de a, se cumple:
)(lim xfax
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a. Estime 2 2
1 1
1 1lim , lim
1 1x xx x
Ejemplo 1:
2 2
2 2lim , lim
2 2x xx x b. Estime .
¿A dónde tiende ?2
2lim
2x x
¿A dónde tiende cuando x tiende a −1? 2
1( )
1f x
x
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De la gráfica de la función f, halle en caso exista, los siguientes límites:
Ejemplo 2:
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Esboce el gráfico de una función f con dominio R que cumpla con las siguientes condiciones:
Ejemplo 3:
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