7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
1/25
Matemtica Bsica(Ing.) 1
Sesin 6.3
Modelos Exponenciales
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
2/25
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
3/25
Matemtica Bsica(Ing.) 3
&a'ilidades
#. (esuel)e pro'lemas donde los modelos se
descri'en por medio de funcionesexponenciales* + anali,a las posi'les soluciones
dentro del contexto del pro'lema presentado.
- Modelo de enfriamiento de e/ton.- Modelo de Inter0s Simple + !ompuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.
- Modelo de 1esintegracin (adiacti)a.
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
4/25
Matemtica Bsica(Ing.) 4
kt
m
mte
TT
TT =
2
e+ del enfriamiento de e/tona le+ de enfriamiento de e/ton esta'lece 4ue el
cociente de diferencias de temperaturas real +m5xima decrece en forma exponencial
T0 = Temperatura inicial de un o'eto*
Tm = Temperatura del am'iente o medio circundante*
k = Constante positi)a 4ue depende del tipo de o'eto.
de donde:kt
mm eTTTtT
+= %%2
- Modelo de enfriamiento de Newton.- Modelos de !recimiento po'lacional.- Modelo de desintegracin radiacti)a.- Modelo de Inter0s simple + compuesto.
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
5/25
Matemtica Bsica(Ing.) 5
7na tasa de caf0 tiene una temperatura de $2289 + se
coloca en una ha'itacin 4ue tiene una temperaturade 289. 1espu0s de #2 minutos la temperatura delcaf0 es de #;289.
a% 1etermine una funcin 4ue modele la
temperatura del caf0 en un tiempo t.'% !alcule la temperatura del caf0 despu0s de #;min.c%
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
6/25
Matemtica Bsica(Ing.) 6
Eemplo $
7n hue)o cocido a temperatura de >68! se coloca
en agua de #68! para enfriarlo. !uatro minutosdespu0s la temperatura del hue)o es ?;8!.
1etermine el momento en 4ue el hue)o estar5 a
$28!.
- Modelo de enfriamiento de Newton.- Modelos de !recimiento po'lacional.- Modelo de desintegracin radiacti)a.- Modelo de Inter0s simple + compuesto.
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
7/25
Matemtica Bsica(Ing.) 7
1iferentes tipos de intereses.
)1( rPA +=
nr
n
rPA
+= #
rtPeA=
nrPA )1( +=
Inter0s simple por un a@o
Inter0s compuesto capitali,a'le k
perodos por a@os.
Inter0s compuesto anualmente
Inter0s compuesto continuamente.
- Modelo de enfriamiento de e/ton.- Modelo de Inters simple y compuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.- Modelo de desintegracin radiacti)a.
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
8/25
Matemtica Bsica(Ing.) 8
$.
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
9/25
Matemtica Bsica(Ing.) 9
?. Dud+ tiene ;22 para in)ertir al >C de inter0s
anual compuesto cada mes.
;. Stephen tiene ;22 para in)ertir.
tasa de inter0s anual* compuesta trimestralmente*4ue se necesita para duplicar su dinero en #2a@os=
3. Suponga 4ue Fuan i in)ierte ;22 al C de inter0s
compuesto cada a@o. 1etermine el )alor de suin)ersin despu0s de #2 a@os.
- Modelo de enfriamiento de e/ton.- Modelo de Inters simple y compuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.- Modelo de desintegracin radiacti)a.
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
10/25
Matemtica Bsica(Ing.) 10
6. Suponga 4ue aura in)ierte #22 al BC de inter0s
anual capitali,a'le deforma continua. 1etermine el)alor de su in)ersin al final de cada uno de los a@os#* $* G* .
- Modelo de enfriamiento de e/ton.-Modelo de Inters simple y compuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.-Modelo de desintegracin radiacti)a.
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
11/25
Matemtica Bsica(Ing.) 11
a disciplina 4ue estudia la po'lacin se conoce comodemografa + anali,a el tama@o* composicin + distri'ucin
de la po'lacin* sus patrones de cam'io a lo largo de losa@os en funcin de nacimientos* defunciones + migracin* +los determinantes + consecuencias de estos cam'ios. Elestudio de la po'lacin proporciona una informacin deinter0s para las tareas de planificacin especialmente
administrati)as% en sectores como sanidad* educacin*)i)ienda* seguridad social* empleo + conser)acin del medioam'iente. Estos estudios tam'i0n proporcionan los datosnecesarios para formular polticas gu'ernamentales depo'lacin* para modificar tendencias demogr5ficas +
conseguir o'eti)os econmicos + sociales.Enciclopedia MicrosoftH EncartaH $223. #>>3"$22$ Microsoft !orporation.(eser)ados todos los derechos.
- Modelo de enfriamiento de e/ton.-Modelo de Inter0s simple + compuesto.-Modelos de Crecimiento poblacional.-Modelo de desintegracin radiacti)a.
Modelos de crecimiento
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
12/25
Matemtica Bsica(Ing.) 12
7na po'lacin 4ue experimenta crecimientoexponencial crece segJn el modelo.
nt% K n2ert
donde:
nt% K Lo'lacin en un tiempo tn2 K Tama@o inicial de la po'lacin
r =Tasa relati)a de crecimiento expresadacomo una proporcin de la po'lacin%
t =Time
Modelos de crecimiento
- Modelo de enfriamiento de e/ton.-Modelo de Inter0s simple + compuesto.-Modelos de Crecimiento poblacional.-Modelo de desintegracin radiacti)a.
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
13/25
Matemtica Bsica(Ing.) 13
a po'lacin de una cierta especie de pe, )iene dada
por:
1onde t: a@os + nen millones.
Eemplo #
-Modelo de enfriamiento de e/ton.-Modelo de Inter0s simple + compuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.
-Modelo de desintegracin radiactiva.
a%
po'lacin de peces='%
d% Trace la gr5fica de la funcin nt%
( )t
etn 2#$.2#$=
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
14/25
Matemtica Bsica(Ing.) 14
7n culti)o de 'acterias tiene inicialmente ;22
'acterias. M5s tarde un 'ilogo reali,a un conteomuestral en el culti)o + encuentra 4ue la tasa
relati)a de crecimiento es ?2C por hora.
a% Encuentre una funcin 4ue modele el nJmero de'acterias despu0s de thoras.
'%
horas=
c% Trace la gr5fica de la funcin nt%.
Eemplo $
- Modelo de enfriamiento de e/ton.-Modelo de Inter0s simple + compuesto.-Modelos de Crecimiento poblacional.-Modelo de desintegracin radiacti)a.
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
15/25
Matemtica Bsica(Ing.) 15
!ierta ra,a de coneos se introduo en una pe4ue@a
isla hace B a@os atr5s. a po'lacin actual deconeos en la isla se estima en ?222* con una tasa
de crecimiento relati)a de ;;C.
a% Encuentre una funcin 4ue modele el nJmero de'acterias despu0s de thoras.
'%
Eemplo 3
- Modelo de enfriamiento de e/ton.-Modelo de Inter0s simple + compuesto.-Modelos de Crecimiento poblacional.-Modelo de desintegracin radiacti)a.
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
16/25
Matemtica Bsica(Ing.) 16
7n culti)o de 'acterias tiene inicialmente #2 222
'acterias + el nJmero se duplica cada ?2 minutos.
a% Encuentre una funcin 4ue modele el nJmero
de 'acterias en el tiempo t.
'% Encuentre el nJmero de 'acterias despu0s deuna hora.
c% 1espu0s de cuantos minutos ha'r5 ;2*222
'acterias=
d% os4uee una gr5fica 4ue ilustre el crecimiento
de las 'acterias en funcin del tiempo t.
Eemplo ?
- Modelo de enfriamiento de e/ton.-Modelo de Inter0s simple + compuesto.-Modelos de Crecimiento poblacional.-Modelo de desintegracin radiacti)a.
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
17/25
Matemtica Bsica(Ing.) 17
1esintegracin radiacti)a
Todos los organismos )i)osa'sor'en car'ono radiacti)o* forma
inesta'le de car'ono 4ue tiene una)ida media de unos ;.32 [email protected] su )ida* un organismorenue)a de forma continua supro)isin de radiocar'ono al respirar+ al comer. Tras su muerte* elorganismo se con)ierte en un fsil +
el car'ono #? decae sin serreempla,ado. Lara medir la cantidadde car'ono #? restante en un fsil*los cientficos incineran unfragmento pe4ue@o para con)ertirloen gas de dixido de car'ono. Seutili,an contadores de radiacin paradetectar los electrones emitidos por
el decaimiento de car'ono #? ennitrgeno. a cantidad de car'ono#? se compara con la de car'ono#$* forma esta'le del car'ono* paradeterminar la cantidad deradiocar'ono 4ue se hadesintegrado + as datar el fsil.Enciclopedia MicrosoftH EncartaH $223. #>>3"$22$
Microsoft !orporation. (eser)ados todos los derechos.
- Modelo de enfriamiento de e/ton.-Modelo de Inter0s simple + compuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.-Modelo de desintegracin radiactiva.
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
18/25
Matemtica Bsica(Ing.) 18
1esintegracin radiacti)a
Se puede demostrar 4ue la masa mt% 4ue
permanece en el tiempo t se modela mediante lafuncin
mt% K m2ert
donde:
r = es la tasa de desintegracin expresadacomo una proporcin de la masa 4ue 4ueda%.
m2K es la masa inicial.
- Modelo de enfriamiento de e/ton.-Modelo de Inter0s simple + compuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.-Modelo de desintegracin radiactiva.
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
19/25
Matemtica Bsica(Ing.) 19
a masa mt% 4ue 4ueda deNpu0s de t das de una
muestra de ?2 gramos de torio $3? est5 dada por
Eemplo #
- Modelo de enfriamiento de e/ton.-Modelo de Inter0s simple + compuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.-Modelo de desintegracin radiactiva.
( ) tetm 2$.2?2 =
a%
das='%
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
20/25
Matemtica Bsica(Ing.) 20
El plutonio $#2 $#2Lo% tiene una )ida media de #?2
das. Suponga 4ue una muestra de sustancia tieneuna masa de 322 mg.
a% Encuentre una funcin 4ue modele la cantidad de
la muestra 4ue 4ueda en un tiempot.
'% !alcule la masa 4ue 4ueda despu0s de un a@o.
c%
a una masa de $22 mg=d% Es'oce una gr5fica 4ue represente la cantidad de
masa en funcin del tiempo.
Eemplo $
- Modelo de enfriamiento de e/ton.-Modelo de Inter0s simple + compuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.-Modelo de desintegracin radiactiva.
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
21/25
Matemtica Bsica(Ing.) 21
Eemplo 3
Se anali, un hueso fsificado + se encontr 4ue
contena la mil0sima parte de la cantidad originalde !"#?. 1etermine la edad del fsil.
- Modelo de enfriamiento de e/ton.- Modelo de Inter0s simple + compuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.- Modelo de desintegracin radiactiva.
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
22/25
Matemtica Bsica(Ing.) 22
7n reactor de reproduccin con)ierte el uranio $3B*
relati)amente esta'le* en plutonio $3>* un istoporadiacti)o. Al ca'o de #; a@os* se tiene 4ue se ha
desintegrado 2.2?3C de la cantidad inicialAo* de una
muestra de plutonio. !alcule la )ida media de ese
istopo* si la rapide, de desintegracin esproporcional a la cantidad restante.
Eemplo ?
- Modelo de enfriamiento de e/ton.-Modelo de Inter0s simple + compuesto.- Modelos de !recimiento po'lacional.-Modelo de desintegracin radiactiva.
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
23/25
Matemtica Bsica(Ing.) 23
Otros modelosa longitud* en centmetros de las truchas de
tmeses de edad se pueden aproximar mediante
una funcin de crecimiento de la forma
P Estime la longitud de la trucha al momento denacer.
P En el mercado internacional la trucha se compracuando tiene una longitud mnima de ?$*cm*estime cuanto tiempo de'e pasar para poderofertar un lote en el mercado internacional.
P Qrafi4uen f+ estime la longitud m5xima 4uepuede alcan,ar la trucha.
%>;6*2#B2% #B*2 texf =
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
24/25
Matemtica Bsica(Ing.) 24
os alumnos de'en re)isar los eercicios del li'ro
texto gua.
Eercicios de la seccin 3.;
L5g. 3$2 " 333
Sobre la tarea,
est publicada en el ! Moodle.
Importante
7/21/2019 19_sesion 6.3 Modelacin Con Exponenciales y Logaritmos (2)
25/25
Matemtica Bsica(Ing.) 25
Suponga 4ue un culti)o de #22 'acterias se coloca
en una caa de Letri + el culti)o se duplica cadahora. Lrediga cu5ndo el nJmero de 'acterias ser5
de 3;2 222.
Suponga 4ue la )ida media de cierta sustancia
radiacti)a es $2 das + 4ue al inicio ha+ ; gramos.
1etermine el momento en 4ue 4uedar5 # gramo dela sustancia.
Eercicios adicionales
Top Related