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2.3 MECANISMO DE CUATRO BARRAS
El eslabonamiento de cuatro barras es uno de los mecanismos ms utilizados y ms sencillos,ejemplos:
Mquina de pruebas de solidez del color en telas: Se observa las curvas de acopladorsuperpuestasfigura 2.9
figura 2.9 Mquina de pruebas de solidez del color en telas
Mecanismo de Watt de cuatro barras en la suspensin trasera de un auto figura 2.10
figura 2.10 Mecanismo de Watt
Eslabonamiento de cuatro barras para controlar la oscilacin de la pala de una cargadorafrontal
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figura 2.11 Pala mecnica
2.3.1 ANA LISIS DE MOVIMIENTO
figura 2.12 Diagrama de cuerpo libre para mecanismo de 4 barras
ESQUEMA CINEMATICO DEL MECANISMO DE CUATRO BARRAS
La ecuacin del cierre del circuito de un mecanismo de cuatro barras es:
1 4 3 2r r r r
Transformando a la forma compleja:
34 20
1 4 3 2
ii i ir e r e r e r e
Utilizando la equivalencia de Euler obtenemos:
1 4 4 3 3 2 2
1 4 4 3 3 2 2
) ) )
) )
(0) ( (
)
(
(0) ( ( (
r cos r cos r cos r cos
r sin r sin r sin r sin
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En este caso tenemos una ecuacin no lineal donde las variables dependientes o incgnitas son:
3 y 4, la variable independiente es 2y las constantes son: r1, r2, r3, y r4.
3 3 1 4 4 2 2
3 3 4 4 2 2
( ( (
( (
)
) )(
) )
)
r cos r r cos r cos
r sin r sin r sin
Si elevamos al cuadrado y sumamos obtenemos:
2 2 2 2
3 1 2 4 1 2 2 1 4 4 2 4 4 2 2 4 2 ( 2 () ) (2 ) ) ) )( ( )( (r r r r r r cos r r cos r r cos cos sin sin
2 2 2 2
1 2 4 3 1 14 2 2 4
2 4 4 2
cos( ) cos( ) cos( )2
r r r r r r
r r r r
Utilizando las nuevas constantes:
2 2 2 2
1 2 4 3
3
2 42
r r r r k
r r
12
4
11
2
rk
r
rk
r
Obtenemos la ecuacin de Freudenstein que se utilizara en sntesis de mecanismos:
4 2 3 2 2 1 4( ) ) )( (cos k k cos k cos
4 2 2 4 3 2 2 1 4( ( ( () () ) ) ) )(cos cos sen sen k k cos k cos
Para resolver est ecuacin utilizamos las siguientes equivalencias conocidas:
4
4
2 4
2(
1
2)
2
tansen
tan
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34
2 4
4
2 4
12
2
1
tan
cos
tan
4
2tan x
Para simplificar el desarrollo usamos:
4 2
2
4 2
21
1cos
1
xsenx
x
x
Reemplazando se obtiene una ecuacin de segundo grado.
2 2 22 2 3 2 2 1) ) ( ))( 1 ( 2 ( 1 1cos x sen x k k cos x k x
2 0A x B x C
Donde:
La solucin para x o tan (4/ 2) es:
42 2 atan B2 B2 2 4 A 2 C2
2 A 2
Donde el signodel radical se utiliza para la configuracin abierta y el signo + para la configuracincruzada.
A 2 cos 2 k1 k2 cos 2 k
B2 2 sin2
C2 k1 k2 1( ) cos 2 k
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Procediendo de igual manera pero eliminando 4 obtenemos la ecuacin para 3
32 2 atanE2 E2
24 D2 F2
2 D2
Donde:
k5
r4
2r1
2r2
2r3
2
..2 r2r
3 k4= r1/r3
Donde el signodel radical se utiliza para la configuracin abierta y el signo + para la configuracincruzada:
2.3.2 ANALISIS DE LA TRAYECTORIA DE UN PUNTO DEL ACOPLADOR
La ecuacin vectorial del acoplador se puede escribir como:
32
5
)(
2i iRp r e r e
Siendo las componentes en x y y
Con dos ejercicios de aplicacin vamos a ejemplificar la importancia de la curva de acoplador
1. Ejercicio de Aplicacin:Disear un mecanismo transportador de viga viajera con las siguientesmedidas
En primer lugar necesitamos un mecanismo manivela oscilador de Grashof
. r2+ r1< r3 + r4; 233+100 < 222+206 ; 333 < 408
D2 cos 2 k1 k4 cos 2 k
E2 2 sin 2
F2 k1 k4 1( ) cos 2 k
Rpx2 r2 cos 2 r5 cos 32 3
180
Rpy 2 r2 sin 2 r5 sin 32 3
180
r1 222 r2 100 r3 20 r4 233
k1r1
r2 k2
r1
r4 k3
r12
r22
r42
r32
2 r2 r4 k5
r42
r12
r22
r32
2 r2 r3 k4
r1
r3
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2 0 0.1 2
42 2 atanB2 B2
24 A 2 C2
2 A 2
32 2 atanE2 E2
24 D2 F 2
2 D2
Para trazar la curva de acoplador escogeremos las siguientes medidas del vector r5y del ngulo dediseo
0 100 200 300 400 500 60020
40
60
80
100
120
140
160Angulo theta 4 y Angulo theta3
theta 2
theta
3,theta4
A 2 cos 2 k1 k2 cos 2 k
B2 2 sin2
C2 k1 k2 1( ) cos 2 k
D2 cos 2 k1 k4 cos 2 k
E2 2 sin 2
F2 k1 k4 1( ) cos 2 k
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Es importante orientar el mecanismo en la forma adecuada por lo que debemos determinar elngulo de la porcin recta del acoplador con la horizontal, esto se lo puede hacer tomando datosdel grfico.
Este ngulo sirve para orientar adecuadamente el dibujo que se realiza en AutoCAD
100 75 50 25 0 25 50 75 100125150175200225250275300325350375400100
80
60
40
20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300Curva de Acoplador
255.16
100
Rpy 2( )
r2 s in 2( )
357.74100 Rpx 2( ) r2 cos 2( )
3 31 r5 30
Rpx2 r2 cos 2 r5 cos 32 3
180
Rpy 2 r2 sin 2 r5 sin 32 3
180
atan160 100
350 225 180
25.641
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En base de este diagrama se efecta la simetra y se rota 25.641o
Necesitamos un movimiento paralelo para mover la viga viajera, lo cual se lo puede hacer de dosformas, duplicando el mecanismo o utilizando mecanismos cognados, la forma ms sencilla esduplicando el mecanismo.
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Suprimiendo las barras no necesarias, y aadimos la viga viajera y un eslabn impulsor, obteniendoel mecanismo resultante que puede ser simulado en Working Model 2D.
Los pasos para exportar del AutoCAD al WM2D son los siguientes:
1.- Los eslabones deben ser polilneas cerradas2.- El eslabn de entrada Circunferencia debe estar en el cero absoluto 3.- Se graba con la extensin .dxf AutoCADR123.- Se cierra el AutoCAD4. En WM2D se selecciona importar y se busca el archivoSimulacin en Working Model 2D con la curva de acoplador superpuesta
figura 2.13 Simulacin en Working Model
2. Ejercicio de Aplicacin:Analizar un mecanismo de suspensin de Watt
Los datos son los siguientes:
r1 400 r2 200 r3 50 r4 200
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Y la curva de acoplador es:
El correspondiente dibujo en AutoCAD y simulacin en WM es la siguiente:
figura 2.14 Dibujo en Autocad
200 100 0 100 200 300
200
100
0
100
200Curva de Acoplador
160.128
160.128
Rpy 2( )
r2 sin2( )
207.895200 Rpx2( ) r2 cos 2( )
3 0 r5 25
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figura 2.15 Simulacin en working model
Claramente apreciamos que el Mecanismo de Watt sujeta mejor la carrocera, por lo que es muyutilizado en competencias.
2.3.3. ANA LISIS DE VELOCIDAD
Efectuamos la derivacin de la ecuacin de cierre del circuito
2 3 4
2 3 1 4
i iir e r e r r e
2 3 4
2 2 3 3 4 4
i iii r e i r e i r e
Igualando la parte real e imaginaria obtenemos:
3 3 3 4 4 4 2 2 2
3 3 3 4 4 4 2 2 2
( ( (
( (
) ) )
cos ) cos ) c (os )
r sen r sen r sen
r r r
Resolviendo las dos ecuaciones lineales simultneas obtenemos:
2 2 4 2
3 2 2
3 4 2 3 2
2 3 2 2
4 2 2
4 3 2 4 2
r sen
r sen
r sen
r sen
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Grfica de las velocidades angulares del mecanismo propuesto para una velocidad del impulsor de200 RPM.
2.3.4 VENTAJA MECANICA
La ventaja mecnica es la relacin que existe entre la Fuerza de salida y la Fuerza de entrada enun mecanismo y es un ndice de mrito del mecanismo. Para obtener la ventaja mecnica se igualanlas potencias de entrada y salida y puesto que los sistemas de eslabonamientos pueden ser muyeficientes las prdidas son a menudo menores que 10% y por lo tanto podemos suponer que las
mismas son cero, por lo cual podemos decir que:
POTENCIA DE ENTRADA POTENCIA DE SALIDA
Potencia es igual a Torque x velocidad angular o Fuerza x velocidad lineal
4 2 2 4T x T x
La ventaja mecnica se define como:
. .
Fuerza de salidaVentaja Mecnica V M
Fuerza de entrada
salida
salida salida salida entrada
entradaentrada entrada salida
entrada
T
Fuerza r T rVentajaMecanica
TFuerza T r
r
0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450200170
140
110
80
50
20
10
40
70
100 FRECUENCIAS de la barra 3 y 499.05
179.102
0
4 2( )
3 2( )
449.99502
180
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4 3 2 4 22
4 2 3 2 2
entrada entrada entrada entrada
salida salida salida salida
r senr r rVM
r r rr sen
Determinada la VM se puede hallar la Fuerza de entrada si se conoce la Fsalida
Como podemos observar la V. M. mxima se obtiene cuando 2= 3siendo en este caso igual a ,o cuando el impulsor se alinea con el acoplador, esta posicin se denomina volquete. En estaposicin funcionan todos los mecanismos que multiplican las fuerzas como:
PrensasTrituradoras de piedras (figura 2.17)Mecanismos de cierre de moldes en inyectorasPlayos de presin (figura 2.16)Mordazas de Jics de soldadura
figura 2.16 Playo de presin
figura 2.17 Triturador de roca
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figura 2.18 Cortador de varillas
La ventaja mecnica se reduce a cero cuando 4= 3o cuando el acoplador y el seguidor estnalineados. En este punto el mecanismo simplemente no funciona. El ngulo entre el acoplador y el
seguidor se llama ngulo de transmisin y para que un mecanismo tenga buenas caractersticas
de funcionamiento este ngulo no debe ser menor a 300, ni mayor a 1500
Esto significa que el ngulo mximo de oscilacin del seguidor es de 120o
La ventaja mecnica puede ser obtenida en forma grfica o analtica :
A partir de las expresiones analticas analizadas anteriormente se puede buscar relacionesgeomtricas para determinar grficamente la ventaja mecnica
figura 2.19 Determinacin grfica de la ventaja mecnica
Entonces la 2 / 4 estara dada por la relacin entre los segmentos perpendiculares, trazadosdesde los polos fijos hasta la barra 3 o estableciendo tringulos semejantes por la relacin O4I / O2I
figura 2.20
Y la ventaja mecnica en un eslabonamiento de cuatro barras puede hallarse entonces a partir dela siguiente expresin:
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4
2
entrada
salida
rO IVM
O I r
3. Ejercicio de Aplicacin:La figura 2.21 muestra una mordaza de cuatro barras utilizada para
sostener una pieza de trabajo en su lugar, sujetndola en D. O2A = 70, O2C = 138, AB = 35,O4B = 34, O4D = 82, O2O4 = 48 mm. El eslabn 2 se encuentra a 104 0 en la posicinindicada. El eslabonamiento se agarrotara cuando el eslabn 2 alcance 900.
a. Calcule su ventaja mecnica en la posicin mostradab. Calcule y grafique su ventaja mecnica como una funcin del ngulo del eslabn AB
a medida que el eslabn 2 gira de 120 a 900
Debemos dibujar el mecanismo en AutoCAD para tomar las medidas correspondientes:
figura 2.21 Mordaza de cuatro barras
Aplicando la formula anterior tenemos:
VMO4I
O2I
rentrada
rsalida
71.71
23.71
138
81.05 5.1
Se puede posteriormente variar las medidas para tener una mejor V.M.
Para efectuar determinar la V.M. por el mtodo analtico orientamos el mecanismo en la formaconvencional que como vemos corresponde a la configuracin cruzada.
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figura 2.22 Diagrama de cuerpo libre
42 2 atanB2 B2
24 A 2 C2
2 A 2
32 2 atanE2 E2
24 D2 F2
2 D2
Se usa el signo +
VM2 r4
r2
sin 32 42
sin 32 2
rentrada
rsalida
36 37.4 38.8 40.2 41.6 43 44.4 45.8 47.2 48.6 500
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50VM analtica
50
4.978
5.15
0
VM 2( )
50362
180
r1 4 r2 7 r3 35 r4 3 rentrada 13 rsalida 81.0
k1r1
r2 k2
r1
r4 k3
r12
r22
r42
r32
2 r2 r4 k5
r42
r12
r22
r32
2 r2 r3 k4
r1
r3
2 36
180 36.01
180
4
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Como se observa la ventaja tender al infinito aproximadamente a unos 44.4oy coincide tambin elvalor que obtuvimos grficamente de 5.15
2.3.5. INDICE DE MERITO: ANGULO DE TRANSMISIN
El principal ndice de mrito de un mecanismo es el ngulo de transmisin, ngulo que se forma
entre la barra 4 y la barra 3 y que se lo puede cuantificar como:
2 42 32
Y el correspondiente grfico para el caso del mecanismo de viga viajera es:
Como indicamos anteriormente, el ngulo de transmisin adecuado debe estar entre 30 y 150 0
2.3.6 ANALISIS DE ACELERACION
Derivando la expresin de la velocidad obtenemos:
32 42 2 3 3 4 4
ii ii r e i r e i r e
32 42 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4( ) ( ) ( ) 0ii ii r i r e i r i r e i r i r e
Igualando las partes reales e imaginarias:
Parte real:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4( ( (( ) )) ( ) ))( ( (( ) )) 0r cos r sin r cos r sin r cos r sin
Parte imaginaria:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4( ( (( ) )) ( ) ))( ( (( ) ))r sin r cos r sin r cos r sin r cos
Resolviendo el sistema de ecuaciones para 3y 4 obtenemos:
0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 4500
1020
30
40
50
60
70
80
90
100Angulo de Transmisin
94.157
31.51
30
150
2( )180
449.94402
180
32 I2 J 2 G2 M 2
G2 K2 H2 J 2 42
I2 K2 H2 M 2
G2 K2 H2 J 2
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Donde:
Elsiguiente es el grfico de la aceleracin para el mecanismo propuesto:
2.3.7 ANALISIS DE ACELERACIONES ABSOLUTAS DE CENTROS DE GRAVEDAD
Como un ejemplo calcularemos la aceleracin del centro de masas del acoplador suponiendo quese halle en el centro de la barra
El vector de posicin al centro de masas es:
2 3
2 30.5i ir e r e
3Rg
La velocidad lineal del centro de masas es:
32
2 2 3 3 0.5i ii r e i r e
3Vg
La aceleracin del centro de masas es:
322 2 2 2
2 2 2 2 3 3 3 3( ) 0.5 ( )i ii r i r e i r i r e 3Ag
Suponiendo velocidad angular constante en el impulsor 2= 0
322 2
2 2 3 3 3 3( ) ( )0.5
i ir e r i r e
3
Ag
0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 4501 10
5
8.5 104
7 104
5.5 104
4 104
2.5 104
1 104
5000
2 104
3.5 104
5 104
Aceleraciones angulares de 3 y 4
4.921 104
5.76 104
0
3 2( )
4 2( )
449.94402
180
G2 r4 sin 42
H2 r3sin 32 I2 2
2r2 cos2 2 r2 sin 2 32
2r3 cos 32 42
2r4 cos 42
J2 r4 cos 42 K2 r3 cos 32
M 2 22
r2 sin 2 2 r2 cos2 32
2
r3 sin 32 42
2
r4 sin 42
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Graficamosla
aceleracin lineal absoluta del centro de gravedad del acoplador en gravedades y obtenemos:
Para la barra 4 obtenemos:
800 680 560 440 320 200 80 40 160 280 400800
680
560
440
320
200
80
40
160
280
400Aceleracin absoluta de la barra3
280.752
657.955
0
Ag3y2( )
1000 9.81
303.432742.975
0
Ag3x 2( )
1000 9.81
Ag3x2 22
r2 cos2 0.5 32 2
r3 cos32 32 r3 sin 32
Ag3y 2 22
r2 sin 2 0.5 32 2
r3 sin 32 32 r3 sin 32
Ag4x2 0.5 42 2
r4 cos42 42 r4 sin 42
Ag4y 2 0.5 42 2
r4 sin 42 42 r4 sin 42
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50
800 680 560 440 320 200 80 40 160 280 400600
480
360
240
120
0
120
240
360
480
600Aceleracin absoluta de la barra4
519.276
441.679
0Ag4y2( )
1000 9.81
303.432742.975
0
Ag3x 2( )1000 9.81
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