UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA CIVILCentro Peruano-Japonés de Investigaciones Sísmicas y Mitigación de Desastres
Curso SAP2000Ing. Víctor P. Rojas Yupanqui
CISMID
Enero - 2001
CURSO SAP2000 CURSO SAP2000 -- Clase TeóricaClase Teórica
•• Conceptos Básicos: Conceptos Básicos: Introducción al Análisis Introducción al Análisis Estructural mediante el Técnicas Matriciales y el Estructural mediante el Técnicas Matriciales y el Método de los Elementos Finitos.Método de los Elementos Finitos.
•• Norma de Diseño Sismorresistente:Norma de Diseño Sismorresistente:Reglamento Nacional de Construcciones NTE E.030.Reglamento Nacional de Construcciones NTE E.030.
•• Programa SAP2000: Programa SAP2000: Estructura del programa. Estructura del programa. Descripción de los elementos para el Descripción de los elementos para el modelamiento modelamiento de estructuras. Uso de las facilidades del programa. de estructuras. Uso de las facilidades del programa. Ejemplo de orientación.Ejemplo de orientación.
Técnicas Matriciales de AnálisisTécnicas Matriciales de Análisis
P1P2
w
Principio de EquilibrioPrincipio de Equilibrio::Toda las estructuras o cualquier parte de ella debe Toda las estructuras o cualquier parte de ella debe estar en equilibrio bajo la acciestar en equilibrio bajo la accióón de cargas externas y n de cargas externas y fuerzas internas.fuerzas internas.
Técnicas Matriciales de AnálisisTécnicas Matriciales de Análisis
Principio de EquilibrioPrincipio de Equilibrio::
P1
P2w
P1
P2
P1
P2
Técnicas Matriciales de AnálisisTécnicas Matriciales de Análisis
Principio de CompatibilidadPrincipio de Compatibilidad::Los desplazamientosLos desplazamientos nodalesnodales deben ser consistentes.deben ser consistentes.
ii’
jj’
θθ
Técnicas Matriciales de AnálisisTécnicas Matriciales de Análisis
Relación FuerzaRelación Fuerza--DeformaciónDeformación::Ley constitutiva del material.Ley constitutiva del material.
L
∆
A, E, k
P
P = k ∆
P AEL
=
∆
Técnicas Matriciales de AnálisisTécnicas Matriciales de Análisis
Condiciones de BordeCondiciones de Borde::Caso particular de los principios de compatibilidad y Caso particular de los principios de compatibilidad y equilibrio. equilibrio.
→→ Por compatibilidad:Por compatibilidad:Condiciones de borde geomCondiciones de borde geoméétricas o cintricas o cinééticas.ticas.
→→ Por equilibrio:Por equilibrio:Condiciones de borde naturales o fCondiciones de borde naturales o fíísicas.sicas.
Técnicas Matriciales de AnálisisTécnicas Matriciales de Análisis
Comportamiento Elástico e Inelástico de los materialesU
P
Ur Uf
UfUr
P
inelástica
cargadescarga
inelástico
elástico
elástic
a
Técnicas Matriciales de AnálisisTécnicas Matriciales de Análisis
K
P Uo UfP
P
U
U
K2
K1
Comportamiento Lineal y piezo-lineal de los materiales
Técnicas Matriciales de AnálisisTécnicas Matriciales de Análisis
P2
P1 Pf P1 P2
Pf
Uf U1 U2
P1 P2= +
Técnicas Matriciales de AnálisisTécnicas Matriciales de Análisis
Indeterminación Estática:Indeterminación Estática:Se refiere al nSe refiere al núúmero de acciones (fuerza axial, mero de acciones (fuerza axial,
cortante o momento) externos y/o internos que cortante o momento) externos y/o internos que deber ser liberados a fin de transformar la deber ser liberados a fin de transformar la estructura sea estructura estable y determinada.estructura sea estructura estable y determinada.
G.I.E. = 6 - 3 = 3º
Técnicas Matriciales de AnálisisTécnicas Matriciales de Análisis
Indeterminación Cinemática:Indeterminación Cinemática:Se refiere al nSe refiere al núúmero de componentes de mero de componentes de
desplazamiento de nudo (traslacidesplazamiento de nudo (traslacióón, rotacin, rotacióón) n) requeridos para describir la respuesta del sistema. requeridos para describir la respuesta del sistema. Define la configuraciDefine la configuracióón deformada del sistema.n deformada del sistema.
G.I.C. = 3º
METODO DE LAS FUERZAS O FLEXIBILIDADESMETODO DE LAS FUERZAS O FLEXIBILIDADES
MMAA
PP11 PP22
RRBB
AACCBB
PP11 PP22
AA CCBB
δδB(0)B(0)θθA(0)A(0)
δδB(1)B(1)θθA(1)A(1)
δδB(2)B(2)θθA(2)A(2)
1.01.0
1.01.0
×× MMAA
×× RRBBSoluciónSoluciónComplementaria (2)Complementaria (2)
SoluciónSoluciónComplementaria (1)Complementaria (1)
Estructura primariaEstructura primaria(estática y estable)(estática y estable)
Estructura realEstructura realG.I.E. = 5G.I.E. = 5--3 =23 =2
Método de las Fuerzas o FlexibilidadesMétodo de las Fuerzas o Flexibilidades
0
0
=
=
+
×
θδ
θδ
θ θδ δ
A
BA
B
A A
B B
MA
RB
o
o
(1) (2)
(1) (2)
θ θδ δ
θδ
A A
B B
MA
RBA
B
(1) (2)
(1) (2)
o
o
×
= −
B ×× R = U
METODO DE DESPLAZAMIENTOS O RIGIDECESMETODO DE DESPLAZAMIENTOS O RIGIDECESPP11 PP22
AA CCBB
θθ11 θθ22
PP11 PP22
SSB(0)B(0)
SSC(0)C(0)
SSB(1)B(1)
SSC(1)C(1)
SSB(2)B(2)
SSC(2)C(2)
1.01.0
1.01.0
×× θθ11
×× θθ22SoluciónSoluciónComplementaria (2)Complementaria (2)
SoluciónSoluciónComplementaria (1)Complementaria (1)
Estructura primariaEstructura primaria(se bloquea desplaz.)(se bloquea desplaz.)
Estructura realEstructura realG.I.C. = 2G.I.C. = 2
Método de Desplazamientos o Método de Desplazamientos o RigidecesRigideces
0
0
=
+
×
SB
SC
SB SB
SC SC
o
o
(1) (2)
(1) (2)
12θθ
SB SB
SC SC
SB
SC
(1) (2)
(1) (2)
o
o
12
×
= −
θθ
K ×× U = P
Método Matricial de Estructuras
Método de Pendiente y Deflexión, para el caso de vigas 2D:
MiEIL i j r= + −
2 2 3( )θ θ
M jEIL i j r= + −
2 2 3( )θ θ
rv j viL
=−
Vi V jMi M j
L= =
+
Hi H jEALu j ui= − = −( )
θi
ui
vi θjuj
vj
Mi
Hi
Vi Mj
Hj
Vj
L
EAL
EAL
EI
L
EI
L
EI
L
EI
LEI
L
EIL
EI
L
EIL
EAL
EAL
EI
L
EI
L
EI
L
EI
LEI
L
EIL
EI
L
EIL
uivi
iu jv j
j
HiViMiH jV jM j
0 0 0 0
0 12 3 6 2 0 12 3 6 2
0 6 2 4 0 6 2 2
0 0 0 0
0 12 3 6 2 0 12 3 6 2
0 6 2 2 0 6 2 4
−
−
−
−
− − −
−
=
θ
θ
Determinación del Sistema de Ecuaciones
Determinación del Sistema de Ecuaciones
Para el caso de una viga continua:
Para el tramo k:
Mi Mj
4 2
2 4
EIkLk
EIkLk
EIkLk
EIkLk
i
j
MiM j
=
θ
θ
θi θj
1 2 3 4
θ1 θ2 θ3 θ4
L1 L2 L3
4 11
2 11
2 11
4 11
1
2
12
21
EIL
EIL
EIL
EIL
M
M
=
θ
θ
4 22
2 22
2 22
4 22
2
3
23
32
EIL
EIL
EIL
EIL
M
M
=
θ
θ
4 33
2 33
2 33
4 33
3
4
34
43
EIL
EIL
EIL
EIL
M
M
=
θ
θ
tramo 1:
tramo 3:
tramo 2:
1 2 3 4
θ1 θ2 θ3 θ4
L1 L2 L3
4 11
2 11
0 0
2 11
4 11
4 22
2 22
0
0 2 22
4 22
4 33
2 33
0 0 2 33
4 33
1
2
3
4
1
2
3
4
EIL
EIL
EIL
EIL
EIL
EIL
EIL
EIL
EIL
EIL
EIL
EIL
F
F
F
F
+
+
=
θ
θ
θ
θ
SistemadeEcuaciones:
1 2 3 4
θ1 θ2 θ3 θ4
L1 L2 L3
Método Matricial de Estructuras
Método de los Elementos FinitosMétodo de los Elementos Finitos
El desarrollo del método como una herramienta de análisis fue iniciada
esencialmente con el advenimiento de las computadoras electrónicas digitales.
Bathe, K. y Wilson, E., 1976
Método de los Elementos FinitosMétodo de los Elementos Finitos
•• El continuo elástico se divide, mediante El continuo elástico se divide, mediante líneas o superficies imaginarias, líneas o superficies imaginarias, elementos.elementos.
•• Se supone conexión de los elementos Se supone conexión de los elementos mediante puntos discretos, denominados mediante puntos discretos, denominados nudosnudos, situados en sus contornos. Los , situados en sus contornos. Los desplazamientos de estos nudos serán las desplazamientos de estos nudos serán las incógnitas del problema.incógnitas del problema.
Método de los Elementos FinitosMétodo de los Elementos Finitos
elementos del continuoelementos del continuo
Generación de Generación de malla basada en malla basada en
el Método de el Método de Generación Generación
Frontal (AFM)Frontal (AFM)
Método de los Elementos FinitosMétodo de los Elementos Finitos
•• Se toma un conjunto de funciones que Se toma un conjunto de funciones que definan de manera única los definan de manera única los desplazamientosdesplazamientosen cada elemento en función de los en cada elemento en función de los desplazamientos desplazamientos nodalesnodales..
•• Las funciones de desplazamientos definen el Las funciones de desplazamientos definen el estado de estado de deformacióndeformación. Las deformaciones y . Las deformaciones y las relaciones esfuerzolas relaciones esfuerzo--deformación del deformación del material, definen el estado de material, definen el estado de esfuerzosesfuerzos..
Método de los Elementos FinitosMétodo de los Elementos Finitos
•• Haciendo Haciendo equilibrioequilibrio entre las fuerzas entre las fuerzas concentradas en los nudos y los esfuerzos concentradas en los nudos y los esfuerzos en el contorno de los elementos se plantea en el contorno de los elementos se plantea las relaciones las relaciones fuerzafuerza--desplazamientodesplazamiento..
•• Establecido el equilibrio en cada nudo, se Establecido el equilibrio en cada nudo, se plantea de forma global el plantea de forma global el sistema de sistema de ecuaciones de equilibrio.ecuaciones de equilibrio.
Método de los Elementos FinitosMétodo de los Elementos Finitos
•• Se introducen las Se introducen las condiciones de contornocondiciones de contornopara luego resolver el sistema de ecuaciones para luego resolver el sistema de ecuaciones lineales.lineales.
•• Encontradas las incógnitas (desplazamientos Encontradas las incógnitas (desplazamientos nodalesnodales), se introducen en las relaciones ), se introducen en las relaciones deformacióndeformación--esfuerzoesfuerzo, obteniendo los , obteniendo los esfuerzos a que se encuentra sometido en esfuerzos a que se encuentra sometido en continuo elástico.continuo elástico.
Método de los Elementos FinitosMétodo de los Elementos Finitos
Expresión general de energía potencial:Expresión general de energía potencial:
( ) ( )( )( )Π = − − −∫ ∑∫∫
12
ε σT TB
TS
SiTi
iVV
dV dV dSU F U F U F~
Aproximación de los desplazamientos en los Aproximación de los desplazamientos en los elementos:elementos:
U H d( , , ) ( , , )x y z x y z e=
Método de los Elementos FinitosMétodo de los Elementos Finitos
Deformaciones elásticas:Deformaciones elásticas:
ε ε( , , ) ( , , ) ( , , )x y z x y z x y z= −D U 0
ε ε ε= − = −DH d B de e0 0
Método de los Elementos FinitosMétodo de los Elementos Finitos
Relaciones esfuerzoRelaciones esfuerzo--deformación:deformación:
σ ε( , , ) ( , , ) ( , , )x y z x y z x y z= C
σ ε= −C B d( )e 0
Método de los Elementos FinitosMétodo de los Elementos Finitos
En la ecuación de energía total:En la ecuación de energía total:
Π =( )
12 0 0( ) ( )d B C B de
T T Te
V
dV− −∫ ε ε
( ) ( ) ( )− − −∫ ∫ ∑d H d H d H fe
T T
VeT T
SeT
iTi
ip dV q dS~
Método de los Elementos FinitosMétodo de los Elementos Finitos
Por condición del mínimo de la energía Por condición del mínimo de la energía potencial:potencial:
∂∂Πd= 0
∂∂Πde
e e e= → =0 K d f
Método de los Elementos FinitosMétodo de los Elementos Finitos
K d fe e e=
Matriz de rigidez del elemento:Matriz de rigidez del elemento:
( )K B C Be
T
V
dV= ∫
Método de los Elementos FinitosMétodo de los Elementos Finitos
( )f Hp
T
V
p dV= ∫
f f f f fe p q k= + + +0( )
f B C0 0= ∫ T
V
dVε
( )f Hq
T
S
q dS= ∫~
Método de los Elementos FinitosMétodo de los Elementos Finitos
Planteando las ecuaciones de equilibrio:Planteando las ecuaciones de equilibrio:
K K= ∑ e
K d f= d d= ∑ e
f f= ∑ e
Método de los Elementos FinitosMétodo de los Elementos Finitos
Matriz de rigidez del elemento viga 2D:Matriz de rigidez del elemento viga 2D:
f
Fx
Fy
Mz
Fx
Fy
Mz
EIl
AlI
AlI
l l
l l l lAlI
AlI
l l
l l l l
u
v
u
v
e
i
i
i
j
j
j
z
z z
z z
i
i
i
j
j
j
=
=
−
−
−
−
− − −
−
3
2 2
2 22 2
2 2
0 0 0 0
0 12 6 0 12 6
0 6 4 0 6 2
0 0 0 0
0 12 6 0 12 6
0 6 2 0 6 4
θ
θ