7/25/2019 5.5 Integrales Triples en Cartesianas
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Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLES
Tema 5.5 : Integrales Triples en Coordenadas Cartesianas
(Estudiar la Sección 15.7 en el Stewart 5ª Edición,; Hacer la Tarea No. 22)
Definición de Integral Triple en una caja rectangular:
( ) ( )
{( )∑∑∑
∫ ∫ ∫∫∫∫
= = =∞→
∆=
==
l
i
m
j
n
k
k ji
nml
s
r
d
c
b
a
V z y x f
dxdydz z y x f dV z y x f
1 1 1,,
,,lim
,,,,
Integrales Triples en Regiones Generales:
En la Tabla de la página 91 se muestran las seis diferentes regiones generales
que tomaremos en consideración, para el cálculo de integrales triples. Cadauna de estas regiones corresponde a uno de los seis diferentes ordenesposibles en que pueden integrarse las variables x, y y z.
Ejemplo 1:
Evalúe la integral triple ∫∫∫ E
dV z , en donde la región E es el tetraedro sólido
limitado por los cuatro planos 1,0,0,0 =++=== z y x z y x utilizando elorden de integración : dxdydz
Solución:
( ) ( )
( )1111
3
1
2
11
2
1
2
1411
3
1
0
1
0
31
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
21
0
1
0
1
0
=
−−−=−−=
==
∫∫
∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫−
=
=
−=
=
=
=
−=
=
−−=
=
=
=
−=
=
−−=
=
x
dx y x
dxdy y x
dxdy z
dxdydz zdV z
x x
x
x y
y
x
x
x y
y
y x z
z
x
x
x y
y
y x z
z
E
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Ejemplo 2
Evalúe la integral triple
∫∫∫ E
dV z , en donde la región E es el tetraedro sólido
limitado por los cuatro planos 1,0,0,0 =++=== z y x z y x ; utilizando un orden
de integración diferente al ejemplo anterior
Solución:
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( )
24
1
12
1
8
1
3
1
4
1
12
10
6
10
4
1
3
2
2
1
2
10
4
1
3
1
43
2
22
1
3
1
2
1
13
11
2
11
2
1
322
1
0
44323
1
0
322
1
0
1
0
3221
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
=+−+−
=
+−
−−
+
+−−=
=
−+
+−−
−−=
=
−−−−−=
=
−−=−−=
===
∫
∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫−
=
=
−=
=
=
=
−=
=
−−=
=
−=
=
−−=
=
x x x x x
dx x x x x
dx z z
x z
dxdz z xz z
dxdz zydxdzdy zdV z
x x
x
x z
z
x
x
x z
z
z x x
x
x z
z
z x y
y E
Ejemplo 3: Cambiar el orden de integración a dzdxdy para la integral:
( )∫ ∫ ∫− −−6
0
3
24
0
4
3
23
0
,,
x y x
dxdydz z y x f
Solución: Se nos da como dato que la variable z varía desde 0= z hasta
4
3
23
y x z −−= . Esta última ecuación la podemos rescribir como la ecuación del
plano: 12432 =++ z y x : La traza de este plano con el plano 0= z tiene la
ecuación 1232 =+ y x . O sea3
24
x y −= , que define el valor máximo de y. Por lo
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Ejemplo 4: Utilice una integral triple para hallar el volumen del sólido limitado por
los paraboloides
2222
18; y x z y x z −−=+=
. Solución: La curva de intersección de los dos paraboloides obtenida igualando
21 z z = , es el círculo . 922
=+ y x . El volumen del sólido está dado por :
[ ]∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫ +
−
−+
−−
+
−
−+
−−
−−
+
−−===
3
3
9
9
223
3
9
9
18 2
2
2
2
22
22
92 dxdy y xdxdydzdV V x
x
x
x
y x
y x E
y conviene simplificar esta integral doble integrando en coordenadas polares:
[ ]
( ) π π
θ θ θ
π π π
8124
812
4
81
2
812
42
9292
2
0
2
0
3
0
422
0
3
0
2
=
=
−=
−=−= ∫∫∫ ∫
V
d d r r
d dr r r V
Para la próxima clase estudiar las secciones15.7 Integrales Triples en Coordenadas Cartesianas15.8 Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
Tarea para entregar la próxima claseTarea No. 22 Integrales Triples en Coordenadas Cartesianas
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Ejemplo: Cambiar el orden deintegración en la integral triple dada,sobre la región mostrada:
( )∫ ∫ ∫ −1
0
1 1
0
,, x
y
dxdydz z y x f
Con el orden: dydxdz tenemos.
( )∫ ∫ ∫ −1
0 0
1
0
2
,, y y
dydxdz z y x f
Con el orden: dzdydx tenemos.
( )∫ ∫ ∫−1
0
1
0 0
2
,, z y
dzdydx z y x f
Con el orden: dydzdx tenemos.
( )∫ ∫ ∫−1
0
1
0 0
2
,, y y
dydzdx z y x f
Con el orden: dxdzdy tenemos.
( )∫ ∫ ∫− −1
0
1
0
1
,, x z
x
dxdzdy z y x f
Con el orden: dzdxdy tenemos.
( )( )
∫ ∫ ∫− −1
0
1
0
12
,, z z
x
dzdxdy z y x f
2 y x =
y z −= 1
1= y
2 y x =
y z −= 1
2 y x = y z −= 1
1= y
2 y x = y z −= 1
1= y
2 y x = y z −= 1
1= y
2 y x =
y z −= 1
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Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA
Tarea No 22 : Integrales Triples en Coordenadas Cartesianas
(Sección 15.7 del Stewart 5ª Edición)
En los problemas 1 al 4 evalúe la integral triple:
∫∫∫ E
dV xyP 6:1 en donde E está bajo el plano y x z ++= 1 , y
arriba de la región del plano xy limitado por las curvas
1,0, === x y x y
28
65:1 R
∫∫∫ E
dV xyP :2 en donde E es el tetraedro sólido con vértices
( ) ( ) ( ) ( )3,0,0,0,2,0,0,0,1,0,0,0 10
1:2
R
∫∫∫ E
dV zP :3 , en donde E está limitado por los planos
1,1,0,0,0 =+=+=== z x z y z y x 12
1:3 R
∫∫∫ E
dV xP :4 , en donde E está limitado por el paraboloide
2244 z y x += y el plano 4= x
3
16:4
π R
En los problemas 5 y 6 utilice una integral triple para hallar el volumen del sólidodado:
P5 : El tetraedro limitado por los planos de coordenadas y el plano12632 =++ zyx
8:5 R
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