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PROBLEMA I-2
Para la viga que se muestra, calcular la deformacin angular en A y la deflexin en C. las
caractersticas son: 32 10E x= 2/T cm , I = 4 cm4 .
!e tra"an los diagramas y de momentos flectores y de momentos reducidos
res#ectivamente. Por la simetra fsica y de cargas, las deformaciones angulares A y B son
iguales entre si. $enemos10
DAA
d = siendo seg%n el &' $eorema de (o)r, DAd igual al
momento, res#ecto de *, del +rea del diagrama de momentos reducidos com#rendido entre Ay *:
1 6 3 1 6 150(3.00)( )(8.00) (4.00)( )(5.00) (3.00)( )(2.00)
2 2DA
dEI EI EI EI
= + + =
uego15
AEI
= -en unidades $ y m
/n la figura: (300)C D CDd =
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*onde, D A = , y seg%n el mismo &' $eorema de (o)r cdd es igual al momento, res#ecto deC, del +rea del diagrama de momentos reducidos com#rendido entre * y C:
1 6 9(3.00)( )(1.00)
2cd
dEI EI
= =
Por consiguiente,15 9
3( )C
EI EI
= 36
CEI
=
!eg%n los datos del #ro0lema:
3 2 4 6 2(2 10 / )(4000 ) 8 10 .EI x T cm cm x T cm= =
/ntonces:15
.01875
200
A = =
0.0187 .
4.5
A
C
rad
cm
=
=360.045
800C
m = =
PROBLEMA I-3 (UNI, 21-octu-1968)
A#licando el m1todo del +rea de momentos, determinar la deflexin en 2. Para toda laestructura /I es constante.
/n #rimer lugar, el #ar a#licado en A tiene un efecto so0re el extremo 2 del tramo 2C, la
fuer"a de 2 / 2.00 1 .Tm m Tt= los momentos en el em#otramiento C son:
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3. #or la carga re#artida
21' (4. / )(2.00) 82
CM T m Tm= =
&. Por la fuer"a encontrada en 2.
'' (1 )(3.00) 3TC
M Tm= + =
Con estos valores se tra"an los diagramas de momentos reducidos. *e acuerdo con el &'$eorema de (o)r, la distancia del #unto 2 del e5e deformado a la tangente tra"ada en el
extremo C del mismo e5e -2 es decir, la distancia 22, o est+n B , es igual al momento
res#ecto del extremo 2 del +rea de momentos reducidos, com#rendidos entre 2 y C.
as +reas y centros de gravedad corres#ondientes son:
3. #ara la carga re#artida:1
1 8 16( )(2.00)
3 3EI EI
= =
2.00(3.00) 2.50
4X m= =
&. #ara la fuer"a encontrada:
2
1 3 4.5( )(3.00)
2 EI EI = + = +
2(3.00) 2.00
3
X m= =
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uego:16 4.5 13
( )(2.50) ( )(2.00)3 3B
EI EI EI = + + = 13
3B
EI = 6em#la"ando /I = 4& $m& .
130.0103
3 420B
x = = m 10.33B mm =
*e acuerdo en las reglas de signos, el signo menos del resultado B significa que la distancia
de 2 o 2 es de a0a5o )acia arri0a. uego.
PROBLEMA I-4 (UNI, 24-jun-1968
A#licando el m1todo del +rea de momentos, solucionar la viga mostrada en la figura sometida
a la accin del sistema de cargas indicado $omar: 42400I cm= , y 68 10E x= 2/kgr cm .
A#licando el &' $eorema de ()or entre los #untos 3 y &, y entre 3 y 7, se tiene las &
ecuaciones necesarias #ara resolver las incgnitas 1M y 2M .
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*iagrama de momentos reducido -se su#one 1M y 2M negativos
3. *istancia entre el #unto*el e5e deformados y la tangente geom1trica en 3 del e5e = momento del +rea de
momentos reducidos com#rendidos entre los #untos & y 3, res#ecto de &.
1 21 2 1 1 2 8 1
( )(4) ( 4) ( )(4) 4 ( )(4) ( 4)2 3 2 3 3 2
M Mx x x
EI EI EI
= + +
1 22 16M M+ = -3
&. *istancia entre el #unto 7 del e5e deformado y la tangente en 3 del e5e = momentores#eto de 7 del +rea de momentos reducidos com#rendido entre 7 y 3:
1 2 21 1 2 8 1 2 1 48
( )(4) ( )(4) ( )(4) (7) ( )(7) 7 ( )(3) (5)2 2 3 2 3 2 7
1 48 2(4) ( 4)
2 7 3
M M Mx
EI EI EI EI EI
xEI
= + + + + +
+
1 2
2
42 91 712
5.36
M M
M Tm
+ =
=1 2
42 91 712M M+ =
6esolviendo entre -3 y -& se o0tiene
15.32M Tm=
2 5.36M Tm=
6esultado #ositivos, lo que significa que los momentos son del signo o#uestos, es decir,
momentos negativos.
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*iagrama de momentos flectores
PROBLEMA I-5
Por el m1todo del +rea de momentos, determinar la deformacin angular en la seccin 2 y la
deflexin en C. la rigide" flectora es constante: /I = 8.3 2Tm .
Podemos facilitar el an+lisis siendo la viga en #osicin )ori"ontal. Calculando las reacciones
del a#oyo que se indican, se tra"a el diagrama de momentos reducidos 9en el que las reasde sus #artes o fisuras son:
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( )11 12 12 10
2 102
I
EI EI
= =
( )11 12 6 10
102
II
EI EI
= =
( )22 10 10 10
2 103 3EI EI
= + = +
os centros de gravedad de estos #untos quedan:
Para ( )12
: 2 103
mI
desde A
Para ( )1 1: 103mII desde 2
Para ( )11
: 2 102
mII
desde A
*e acuerdo con el &' teorema de (o)r.
2 6 10 2 4010 10
3 3
ii
ACBd
EI EI
= = = -!iendo negativa, )ay que medirla de C )acia arri0a.
a deflexin en C es:
40 4 10 40( 10) ( 10)
3
i
c A A BC CC C C
EI EI EI = + = + = +
160
3C
EI =
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!iendo /I = 83 2Tm
4 100.0052 .
3(810)B
rad = =160
0.0066 6.63(810)
B m cm = = =
PROBLEMA I-6
Por aplicacin del modo del !rea de momeno"# calc$lar %$e &alor deer! ener a para %$e
p$eda con"iderar"e como $n emporamieno pereco.
* + 2000 cm4, - + 100 cm2, + 2 106/cm2.
5 m.a
2 tn3tn/ml
AB C
*:
i la deormacin an$lar en # # e" cero deer! con"iderar"e como emporamieno pereco.
a 2.5m. 2.5m.
2T
A B
3T/ml
C
c"
-2a/EI
?B
+75/8EI
-
+
-
e ac$erdo con el 2 eorema de ;oada a la
"eccin deormado e" decir el "emeno cc? e" n$mricamene i$al al momeno re"peco de del
diarama de momeno" red$cido" comprendido" enre @ :
? + )52
1)(5)(
8
75(
3
2)5
3
2)(5)(
2(
2
1x
EIx
EI
a+
? + )1675(24
25A
EI
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+ 00.5
CC
+ EI
A
24
)1675(5
Aaciendo el + o, "e iene la ec$acin
75B16a + 016
75=a a+ 4.69m.
$eo c$ando el &oladi>o C ena $na loni$d de 75/16 mero"# en la "eccin no ado en
( e" decir el propio oriinal de la &ia) e" i$al al momeno de !rea" de momeno" red$cido"#
comprendido enre @ el !rea oal @ la parcial enrica "on:
A
w
l x
YC
C
B
x
A c B
x/4 3l /4- x 1l /4
?X
wx/2EI
?
wl/2EI
EI
wl
EI
wll
623
1 32
== , EI
wx
6
3=
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Domando el momeno de e"a" !rea" re"peco" de enemo"
CCE ==Y + )4
3( xl
)4
(x
)43(24
)4
(6
)43(
6434
33
xxllEIwx
EIwxxl
EIwl +=+=
l "ino F de e"e re"$lado e"a indicando el "enido G ada de G midiendo
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1.00 1.00 4.00 2.00
2T 6T
BA S C
4T 4TS
S"
B
6T
!-6
-2
B
+8
#IA$%AA #E &E'T&S
()ECT&%ES
C
eerminar la ec$acin de apo@o" ;I#+ 0
B Jc(6.00) K 6(4.00) + 0
T
cR 4=
Para $na "eccin enrica # para la %$e .62 mx ramo en la %$e "e con"idera e"ar! la m!imadelein
;+ 4 F 6( F 2)
xMB 212=
e ra>a el diarama de momeno" lecore"# para oda la &ia. a delein para la "eccin enrica e":
LSS= B LGSS (i)
n la %$e:
xdf
xSS BBa )00.6
(L +==
(ii)
Cplicando el 2 eorema de ;o
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$eo rempla>amo" e"o" &alore" en (ii)
)(6
/80/7L x
EIEISS
+=
)(2
29
L xEI
SS = (iii)
Cnali>ando el 2 eorema de ;o
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.6.6ma/ cm=
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