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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades

Adjunta de una representación linealEjemplos. Propiedades

Jana Rodriguez HertzGAL2

IMERL

12 de octubre de 2010


definición

definición: adjunta

definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto interno

T : V →W transformación linealcualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si

〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W


definición


definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación lineal

cualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si

〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W


definición


definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealcualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si

〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W


existencia y unicidad de la adjunta

teorema de existencia y unicidad

teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V ,W e.v. sobre K de dimensión finita

toda T : V →W tranformación linealtiene una única T ∗ : W → V transformación lineal adjunta




teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V ,W e.v. sobre K de dimensión finitatoda T : V →W tranformación lineal

tiene una única T ∗ : W → V transformación lineal adjunta




teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V ,W e.v. sobre K de dimensión finitatoda T : V →W tranformación linealtiene una única T ∗ : W → V transformación lineal adjunta


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramos

T (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)

calculemos T ∗ : R3 → R3,

alcanza con base canónica

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1

en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)


alcanza con base canónica

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1


calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1


calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 =

〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1


calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉

=x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1


calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z

= 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1


calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1


calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)

〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 =

〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉

= 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z

=〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 =

〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉

=x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z

= 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)

=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1



⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)

⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)

∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1) =(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)


ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)

T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗

〈A,T ∗(B)〉 =

〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A

⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2


T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)

calculemos T ∗

〈A,T ∗(B)〉 =


⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 =


⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 =

〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉

= 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉

= tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A))

=tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A)

= tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA)

= 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A

⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 2

ejemplo 2



〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B


ejemplo 3

transformación sin adjunta

ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =

∫ 10 p(x)q(x) dx

consideramos D : V → V tal que Dp = p′

si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 =

〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes

⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta


ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx


si D tuviera adjunta, entonces

〈p,D∗q〉 =

〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes

⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)



ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx


si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 =

〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)



ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx


si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉

= p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)



ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx


si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉

porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)



ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx


si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes

⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)



ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx


si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)

⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)



ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx



⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRiesz

la clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta


ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx



⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)

⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene

⇒ D no tiene adjunta


ejemplo 3



∫ 10 p(x)q(x) dx



⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)



proposición 1

proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto interno

T1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces

1 (T1 + T2)∗ = T ∗

1 + T ∗2

2 (α.T )∗ = α.T ∗

3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗

4 Id∗ = Id


proposición 1

proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → U

entonces

1 (T1 + T2)∗ = T ∗

1 + T ∗2

2 (α.T )∗ = α.T ∗

3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗

4 Id∗ = Id


proposición 1

proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces

1 (T1 + T2)∗ = T ∗

1 + T ∗2

2 (α.T )∗ = α.T ∗

3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗

4 Id∗ = Id


demostración

ejercicio


proposición 2

proposición 2V ,W e.v. de dimensión finita

T : V →W transformación lineal⇒

(T ∗)∗ = T


proposición 2

proposición 2V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación lineal

⇒(T ∗)∗ = T


proposición 2

proposición 2V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación lineal⇒

(T ∗)∗ = T


demostración

Para todo x ∈W , y ∈ V

〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉

= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉

⇒ (T ∗)∗ = T


demostración


〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉

= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉

⇒ (T ∗)∗ = T


demostración


〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉

= 〈x ,Ty〉

⇒ (T ∗)∗ = T


demostración


〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉

⇒ (T ∗)∗ = T


proposición 3


sea T : V →W transformación linealentonces T invertible⇔ T ∗ invertibley

(T ∗)−1 = (T−1)∗


proposición 3

proposición 3V ,W e.v. de dimensión finitasea T : V →W transformación lineal

entonces T invertible⇔ T ∗ invertibley

(T ∗)−1 = (T−1)∗


proposición 3

proposición 3V ,W e.v. de dimensión finitasea T : V →W transformación linealentonces T invertible⇔ T ∗ invertible

y(T ∗)−1 = (T−1)∗


proposición 3

proposición 3V ,W e.v. de dimensión finitasea T : V →W transformación linealentonces T invertible⇔ T ∗ invertibley

(T ∗)−1 = (T−1)∗


demostración

Supongamos que T es invertible

〈v1, v2〉 =

〈T−1Tv1, v2〉= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉

⇒ T ∗ invertible


demostración


〈v1, v2〉 = 〈T−1Tv1, v2〉

= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉



demostración


〈v1, v2〉 = 〈T−1Tv1, v2〉= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉



proposición 4


T : V →W transformación linealentonces

λ valor propio de T ⇐⇒ λ valor propio de T ∗


proposición 4

proposición 4V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación lineal

entonces



proposición 4

proposición 4V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación linealentonces



demostración

λ valor propio de T

⇔ T − λI no invertible⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible⇔ λ valor propio de T ∗


demostración

λ valor propio de T⇔ T − λI no invertible

⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible⇔ λ valor propio de T ∗


demostración

λ valor propio de T⇔ T − λI no invertible⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible

⇔ λ valor propio de T ∗


demostración

λ valor propio de T⇔ T − λI no invertible⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible⇔ λ valor propio de T ∗