Download - ALGEBRA LINEAL.rtf

Transcript
  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    1/26

    INTRODUCCION

    En el presente trabajo se detalla un resumen general de la materia lgebra Lineal ,en el cual se tratara de enlazarlasrelacionesde todoslostemasvistosen ltranscurso del ciclo.

    Porejemplo, dimensin y espacio vectorial, combinacin lineal y matricesn x m,y otrostemasestn ampliamente relacionadosigual ue otrostemasueveremosen el transcurso de este trabajo.

    !ratarde enlazarlostemasde la presente asignatura "ue satis"actorio ya ue as# nosdamoscuenta de ue tanto necesitamosaprenderlostemasanteriorespara poderresolverlosnuevosproblemas, sin teneruna buena base de lostemasestudiadosen eltranscurso del trabajo no podr#amosrealizarlosproblemasde otrostemas no presentesen este trabajo ejemplo losvaloresy vectorespropiosen este se necesita ue sedomine casi todo este trabajo para poderentendery poderanalizareste tema ya ueestn grandemente relacionados.

    !ambin tratamosde sacarla esencia de cada tema y darlesuna vista relativamenterapida pero completa, ya ue este trabajo esta propuesto para ense$arbrevementepero ampliamente lostemasen este..

    ESTRUCTURASALGEBRAICAS

    %na estructura algebraica esun conjunto de operacionesbinarias, esta se representan&', operacin(, &)a, b, c*, operacin(, as# se representan lasestructurasalgebraicassencillas, lasdoblesse representan &conjunto, +o. operacin, o. operacin(.

    %na operacion binaria escuando dosconjuntosse operan entre si y el resultado deesta operacin da un tercerconjunto.

    !abla de -ayley esuna tabla ue contiene "ilasy columnas, para podertrabajarconestastablasse necesitan dosconjuntos"initosejemplo

    ')+,,/* y 0)1,2,3*

    - 4 'x 0 5- donde x esuna multiplicacin ordinaria.

    x 1 2 3

    + 1 2 3 6 +7 +

    / + +2 +6

    8onde c 4)1,2,3,6,+7,+,+2,+6*

    ESTRUCTURA ALGEBRAICA:

    Estosse pueden clasi"icarseg9n la cantidad de operacionesue tengan.

    :eg9n lasleyesue cumplan Lasestructurasalgebraicasde una operacin asi tienen

    un nombre en particularas#

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    2/26

    :i cumple la ley de cierre se le denomina como estructura algebraica monoide.

    :i cumple la de cierre y la asociativa esun semigrupo.

    +

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    3/26

    :i cumple la de cierre, la asociativa y la ley de identidad esun semi grupo conidentidad.

    :i cumple la de cierre, la asociativa, la de identidad e la inversa esun grupo.

    :i cumple sergrupo masla ley conmutativa esun grupo abeliano.

    ;ientrasue lasestructurasalgebraicasde dosoperaciones, pueden ser

    'nillos, divisorcero, dominio entero o cuerpo o campo.

    Para ue una estructura algebraica de dosoperacionessea anillo esta debe analizarseseparadamente y as# se clasi"ica

    < para ue sea anillo la primera operacin debe de sergrupo abeliano como lo vimosanteriormente.< Luego debemosde versi lasdosoperacionesson compatiblesy esto se =ace

    =aciendo ue la segunda operacin de distribuya en la primera operacin.< :i losdosprimerospasosse cumplen entoncesempezaremosa operarla segunda

    operacin tomando en cuenta ue:i la primera operacin esgrupo abeliano y la segunda operacin esgrupo entonceseste ser un anillo.

    :i la segunda operacin esun semigrupo este ser anillo conmutativo o abeliano.

    :i la segunda operacin esun semigrupo con identidad esun anillo con identidad.

    's# se clasi"ica un anillo.

    Para ue una estructura algebraica sea divisorcero este debe de cumplirue >y?uepertenecen un conjunto 0 entonces>y?tienen ue serdistintosal elemento neutrode la primera operacin y al seroperadoscon la segunda operacin este tiene ue darde resultado el elemento neutro de la primera operacin porejemplo

    Para la operacin &', @, x( donde >y?pertenecen al conjunto 'y ue @ esla sumaordinaria y x la multiplicacin ordinaria entoncesdeber#amostenerue >A?B7 yaue cero esel elemento neutro de la primera operacin y >y?deben de serdistintosde cero y al multiplicar>y?esta operacin debe de darel elemento neutro de laprimera operacin. Porlo tanto esta estructura algebraica no esun divisorcero.

    Para ue una estructura algebraica de dosoperacionessea 8ominio Entero se dice

    ue primero debe de seranillo abeliano con identidad y cumplirue >y?deben depertenecera un conjunto 0 y ue si al operarla segunda operacin debe de darelelemento neutro de la primera operacin y ue >o?tiene ue serigual al elementoneutro de la primera operacin ejemplo

    &', @, x( donde >y?pertenecen al conjunto 'entonces>x?4 7 si >o?4 7.

    Para ue una estructura algebraica de dosoperacionessean cuerpo o campo estetiene ue serprimero un dominio entero como lo vimosanteriormente y ue todoelemento de la segunda operacin tiene un inverso menosel elemento neutro de laprimera operacin.

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    4/26

    Propiedadesde la operaciones

    Ley de cierre esta dice ue al operardoselementosel resultado debe perteneceralconjunto asignado en la operacin.

    ,

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    5/26

    Elemento inverso o Cdentidad este dice ue un elemento operado con el neutro de laoperacin esta debe de darde resultado el elemento ejemplo el elemento neutro dela suma esel 7 entoncesa @ 7 4 a y 7 @ a 4 7.

    Elemento inverso este esauel ue al seroperado con cualuierelemento estedebe de darde resultado el elemento neutro de la operacin ejemplo el elementoinverso de la suma esla resta entoncesa @ DaF4 7 y DaF@ a 4 7.

    Ley asociativa este dice ue loselementosse pueden asociarsin alterarel resultadoejemplo Da @ bF@ c 4 a @ Db @ cF4d.

    Ley conmutativa este dice ue el orden de loselementosno altera el productoejemplo

    a @ b 4 b @ a 4 c.

    ESPACIOSVECTORIALES

    Espacio euclidiano o Espacio vectorial:

    %n espacio euclidiano esel conjunto de nadasordenadas, tambien conocido porespacio ndimencional y de denota porGn este esuna sucesin de n n9merosrealesejemplo Da+,a,...,anFdonde losvectoresGn se clasi"ican as#

    G+ 4 espacio unidimensional, l#nea recta real.

    G 4 espacio bidimensional, paresordenados.

    G/ 4 espacio tridimensional, terna ordenadas.

    .......

    Gn 4 espacio ndimencional, nadasordenadas.

    OperacionesBasicasconVectoresenR2:

    Sumadevectoresmultiplicaci!nporunescalar:

    :iendo >y?dosvectoresy Hun escalarse dice ue

    >@?4 Dx+ , xF@ Dy+ , yF4 Dy+ , yF@ Dx+ , xFy la multiplicacin porunescalarse de"ine HDx+ , xF4DHx+ , HxF.

    Laspropiedadesue cumple la suma de vectoresson lasmisma ue cumpl#an lasestructurasalgebraica de una operacin ue son la de cierre, la conmutativa, laasociativa, elemento neutro e identidad y la distributiva.

    Lasleyesue cumple la multiplicacin porun escalarson

    La de cierre bajo la multiplicacin Hx,

    La distributiva DH@CFx 4 Hx @ Cx I HDx @ yF4 Hx @ Hy,

    La asociativa DHCFx 4 HDCxF,

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    6/26

    /

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    7/26

    y el elemento neutro de la multiplicacin +x 4 x.

    OperacionesB"sicasconVectoresenRn:

    Lasoperacionesbsicascon vectoresen Gn son lasmismasue lasoperacionesbsicasue vimosanteriormente, o sea, la suma de vectoresy la multiplicacin porun escalarla di"erencia seria ue en estosserian nesimoselementosy nesimosvectoresejemplo

    Para suma de vectores

    >@?4 Dx+ , x, ... , xnF@ Dy+ , y, ... , ynF.

    Para multiplicacin de un vectorporun escalar

    HDx+ , x, ... , xnF4 DHx+ , Hx, ... , HxnF.

    Laspropiedadesue cumplen son lasmismasue vimosen operacionesbsicasconvectoresen G.

    El vectorcero 7 esel vectorneutro o identidad de la suma de vectoresen Gn

    7 4 D7, 7, 7, ..., 7nF, este vectortiene como propiedad de ue es9nico, esdecir, %@ 74 7,

    7%4 7, a7 4 7, a%4 7 si a 4 7 o %4 7, donde %esun vectory a un escalar.

    Espacios Vectoriales:

    %n espacio vectorial esauel conjunto de vectoresue cumple laspropiedadeso

    axiomasde la suma de vectoresy la multiplicacin porun escalardic=aspropiedadesvistasen espaciosndimensinalesGn o G. %n espacio vectorial esun espacio novac#o.

    Podr#amosdecirue un espacio vectorial esla abstraccin de laspropiedadesde unespacio ndimencional , debe tomarse en cuenta ue en el espacio vectorial no seespeci"ica operacionesni vectoresentoncesse puede usarcualuiervectory cualuieroperacin se puede sustituirla suma de vectoresy la multiplicacinporun escalar,pero siempre cumpliendo todoslaspropiedades, siempre seria un espacio vectorial.

    %n espacio vectorial cumple con cuatro partesue son un conjunto de vectores, unconjunto de escalares, y dosoperaciones. Estos"orman un cuerpo ue esigual a lasestructurasalgebraicasde dosoperaciones&conjunto, operacin ,operacin( DuncuerpoF. Para comprobarue determinado conjunto esun espacio vectorial esprecisode"iniro especi"icarlaspropiedadesde suma multiplicacin porun escalarcomovimosanteriormente tenemosue de"inirel elemento ue act9a como cero D7Fy elnegado de cada elemento.

    Cuerpo:

    Esel conjunto de n9merosy operacionescualuiera ue deben obedecerlasdiezpropiedadesalgebraicasue mencionamosen operacionesbsicasde espaciosvectoriales.

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    8/26

    Su#cuerpo:

    :i se operan escalaresen "orma de sub cuerpo - y se operan bajo la suma y lamultiplicacin porun escalarestosescalaresno deben salirse del sub espaciodeterminado y lasoperacionesde prueba son lasmismasue se =an mencionado conanterioridad.

    1

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    9/26

    Su# espacio vectorial:

    Esto dice ue si J esun sub conjunto del espacio vectorial Kentonceseste esun subespacio de K. :i J esun espacio vectorial bajo lasoperacionesde suma ymultiplicacin porun escalarde"inidasen K.

    Para ue J sea un sub espacio de Kdebe cumplirlaspropiedadesde cierre de la sumay la multiplicacin porun escalartambin debe cumplirla ley del elemento neutro bajo

    la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacin porun escalar.

    Com#inaci!nLineal:

    :e denomina combinacin lineal a u vectorKen un espacio vectorial %u un cuerpo =.

    :i losvectoresv+, v, v/, ..., vn en u si Kpuede expresarse como

    K4 c+v+ @ cv @ c/v/ @... @ cnvn donde c son escalaresdel cuerpo =.

    EnvolventeLineal:

    Este esel conjunto de todaslascombinacioneslinealessemejantesdenotado porLinDv+, v, ..., vnFy se denomina envolvente lineal de u+, u, ...,un.

    :iendo :un sub conjunto de un espacio vectorial KentoncesLin :esun sub conjuntode un espacio vectorial Ky si J esun subconjunto de Kue contiene a :,necesariamente Lin :escomplemento de J.

    Con$untos Generadores:

    :i todo vectoresun espacio vectorial puede serexpresado como combinacin lineal

    como lo vimosanteriormente entoncesse dice ue la combinacin lineal esunconjunto generadorde un espacio vectorial..

    En otraspalabrassi u+, u, ..., un generan u entoncesu pertenecen a Ksi existenescalaresc tal ue

    K4 c+u+ @ cv @ ... @ cnun entoncesKesuna combinacin lineal de u+, u, ..., u/ .

    Espacio%laEspacioColumnadeuna&atri':

    :i 'esuna matriz m x n en un cuerpo Lcualuiera, las"ilasde 'pueden servistascomo vectoresde Ln llamado espacio "ila de %denotado por" Lin '.

    's# =aciendo la matriz transpuesta esto uiere decirue si lascolumnaslas=acemosvectoresde Lm estosgeneran un sub espacio de Lm llamado espacio columna de 'denotado cLin '.

    :i =acemosoperacioneselementalesentre "ila a 'y obtenemosuna matriz 0podemosdecirue 0 esue cada "ila de 0 esuna combinacin lineal de cada "ila de'porlo ue el espacio "ila de 0 esta contenido al espacio "ila de 'y as# viceversa, osea, si e"ectuamosoperacionesentre "ila a 0 obtenemos'y esto seria convencinlineal de cada "ila de 0, esto cumple ciertosteoremasy propiedades

    < Lasmatriceseuivalentespor"ilastienen el mismo espacio "ila.

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    10/26

    < 8osmatricesen "orma cannica por"ila tienen el mismo espacio "ila si estostienen lasmismas"ilasno nulas.

    < !oda matriz eseuivalente por"ila a una matriz 9nica en "orma cannica por"ilas.

    2

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    11/26

    Con$untosGeneradoreseIndependenciaLineal:

    :i todo vectorpuede expresarse como combinacin lineal de vectoresen un conjunto :entoncesel conjunto :esun conjunto de un espacio vectorial.

    (ependenciaeIndependenciaLineal:

    Para ue un vectortenga dependencia lineal este debe teneruna solucin no trivial

    esto uiere decirue la combinacinlineal denotado as# c+v+ @ cv @ c/v/ 4 7 ,sea ue tiene una solucin 9nica.

    Para comprobarla independencia Lineal.

    :ea :4 )v+, v, ..., vn * un conjunto de vectoresen un espacio vectorial Kentoncespartiremosde la ecuacin vectorial c+v+ @ cv @ c/v/ 4 7 Due esla misma uecombinacin lineal don de c son escalaresFse escribe un sistema =omogneo deecuacioneslinealesen variable c+, c, ..., cM . despusse =ace NaussOordn a lamatriz aumentada para diagonal izarla si la solucin de la diagonalizacion tienesolamente solucin trivial c+, c, c/ entonces:eslinealmente independiente.

    :i un conjunto :4)v+, v, ..., v/*, M(4 eslinealmente dependiente si solo siporlo menosuno de losvectoresvj puede expresarse como una combinacinlineal de losdemsvectores:.

    Base (imension:

    En un conjunto :4)v+ ,v, ..., vM* esun espacio vectorial Keste se denomina 0ase sicumple ue si esespacio vectorial tiene una base con un numero "inito de vectoresentoncesKesde dimensin "inita y en caso contrario esde dimensin in"inita.

    Base(ependenciaLineal:

    :i un conjunto "inito :4) v+ , v, ..., vn * esuna base de un espacio vectorial Ksi todoconjunto ue contiene masde n vectoresde Keslinealmente dependiente.

    )umerodeVectoresdeunaBase:

    :i un espacio vectorial Ktiene una base con n vectoresentoncestoda base Ktiene nvectores.

    (imensi!ndeunEspacioVectorial:

    :i un espacio vectorial Ktiene una base con n vectoresentoncesesa n esla dimensinde esa base y se denota dimDKF4 n.

    !ericamente la dimensin se determina al =allarel conjunto de vectoreslinealmenteindependientesue genera el sub espacio, este conjunto esuna base delsubespacio y la dimensin del mismo esel numero de vectoresue =ay en la base.

    Para verue una base en un espacio ndimensional

    :iendo Ksu espacio vectorial y n 4 n entonces:4 ) v+, v,... ,vn * en un conjuntode vectoreslinealmente independientesen K, entonces:esuna base de K.

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    12/26

    Ejemplo si :4 ) v+, v, ..., vn * genera a K, entonces:esuna base de K

    3

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    13/26

    Ran*o de una matri' sistema de ecuaciones lineales:

    :ea una matriz 'm x n 4 entoncessusnadascorresponden a las

    ilasde la matriz, ejemplo Da++, a+, ..., a+nF, Da+, a, ..., anF, ..., Dam+,am, ...,amnFestasseriesson losvectores"ila de 'y losvectorescolumnasde 'correspondena lascolumnasde la matriz ejemplo Da++, a+, ..., am+F, Da+, a, ..., amF, ..., Da+n,an, ..., amnF.

    El espacio "ila y el espacio columna son subespaciosde Gn generado porlosvectores"ila y espacio columna de '.

    Keremosa continuacin ue losespacios"ila y espacio columna comparten muc=aspropiedadesveremosprimero el espacio "ila, considerando ue dosmatricessoneuivalentespor"ila si la segunda matriz se obtiene poroperacioneselementalesentre "ila esta tienen el mismo espacio "ila, tambin =ay ue considerarue la matrizno se modi"ica suscolumnasporlasoperacioneselementalesentre "ilas, pero sipueden modi"icarsus"ilas.

    :i la matriz euivalente 0 esta en "orma escalonada entoncesesta constituye unconjunto independiente.

    ?la base para el espacio "ila de una matriz si la matriz 'esigual en "ila a la matriz 0entoncesen esta ultima losvectores"ila 0 son di"erentesde cero esta "orma una basepara el espacio "ila.

    :i 'esuna matriz m x n entoncesel espacio rengln y el espacio columna son iguales.

    Para poderresolverla ecuacin lineal utilizaremosla notacin matricial 'x 4 0 ue seutiliza para representarecuacioneslineales.

    4

    la solucin de ste sistema nospermite verel conjunto solucin, esta solucin seescribe como nadasy se denomina vectoressolucin para un sistema =omogneo seutiliza la notacin matricial 'x 4 7 esun espacio Gn esta solucin se denomina espaciosolucin del sistema tambin se llama espacio nulo de a. La dimensin de este sistemase denomina nulidad de '.

    Para la dimensin de un sistema =omogneo D'x 4 7Fen una matriz 'm x n ysu rango rentoncesla dimensin seria nrDnulidad rangoF4 n.

    %n sistema =omogneo 'x 4 7 esun subespacio y un sistema no =omogneo 'x 4 7esun subespacio y un sistema no =omogneo 'x 4 0 donde 0 B7 este no essubespacio ya ue el vectorcero no essolucion.

    :i >p esuna solucin particulardel sistema =omogneo entoncestodo el sistema seexpresa como >4 >p @ >n donde >= seria la solucin del sistema =omogneo 'x 4 7.

    Para verel numero de solucionesde lasecuacioneslinealesse tomara en cuenta tresreglas

    < :i rango D'F4 rango Q'R0S4 n entoncesel sistema tiene solucin 9nica esto uiere

    decirsi el rango de la solucin de la matriz 'esigual al del rango de la matriz

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    14/26

    aumentada en 0 esigual a n entoncestiene una 9nica solucin.< :i el rango D'F4 rango Q'R0S&n tiene esta solucionesin"initas.< :i el rango D'F4 rango Q'R0Sentoncesel sistema no tiene soluciones.

    Para lasecuacioneslinealescon matricescuadradas :i 'esuna matriz n x n cumplelassiguientes

    T

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    15/26

    condiciones

    < 'esinvertible.< 'x 4 b si tiene una solucin 9nica para lamatriz bn x +. < 'x 4 7 tiene solucin trivial.< 'eseuivalente porrenglonesa +n. < Eldeterminante de 'DR'RFB7.< Gango D'F4 n< Losn vectores"ila de 'son linealmente independientes.< Losn vectorescolumna de 'son linealmente independientes.

    Coordenadas cam#io de #ase:

    :iendo 04) v+, v, ..., vn* una base de unespacio vectorial y x un vectoren Kuerepresentndose como combinacinlineal Dx 4 c+v+ @ cv @ ... @ cnvn Fsiendo losescalaresc. :e denomina como coordenadasx con respecto 0 en el vectorGndenotado as# x0 4 Dc+, c, ..., cn F.

    -ambio de base.

    Partiendo de una base 0 a una base 0Use tiene ue =aceruna multiplicacin poruna matriz p+ y esta la obtenemossacando la inversa de la base 0 esto seriaP+ y multiplicando P+ por0 obtenemos0Uyviserversa.

    Aplicaci!n de los espacios vectoriales:

    < Seccionesc!nicasrotaci!ndee$es:

    !oda cnica esta dada porax @ by @ cxy @ dx @ cy @ "4 7 donde c de xy 4 7cuando susejesson paralelosal plano. :i la ecuacin tiene c en xy B7 se necesita

    sacarxUy yU. El ngulo de rotacionesdebe sacarcon la "ormula -ot A 4 DacFVbrotando lospolosen sentido anti=orario en esta "orma la base standard ya vista entemasanterioresex=ortada "ormando un nueva base ue es0U4 ) D-osA, :en AF,D:en A, -osAF* esto para =allarcoordenadasen el plano PDx, yFrespecto en aUxU @bUyU @ cUxUyU@ dUxU@ cUyU@ "U4 7 rotando losejesen sentido anti=orario utilizando la"ormula anteriorde angulosrotadosy sabiendo ue x 4 xU-osA yU:en A y ue y 4xU:en A @ yU-osA.

    < Ecuacionesdi+erencialesLineales:

    %na ecuacin di"erencial de orden n se denota yn @ gn+ DxFyn+ @ ... @ g+ DxFyU@

    g7 DxFy 4 "DxFdonde g+, g, ..., gn dominioscomunes. :i "DxF4 7 esta "uncin se ledenomina como "uncin =omognea en caso contraria esuna "uncin no =omognea.:e denomina solucin de la ecuacin di"erencial lineal si la solucin satis"ace cuando yy susn primerasderivadasse sustituyen en la ecuacin.

    !oda ecuacin di"erencial lineal =omognea de orden n tienen solucion linealmenteindependiente si )y+, y, ..., yn * tienen solucion linealmente independiente entoncesla solucin seria y 4 c+y+ @ cy @ ... @ cnyn esta esla solucion general donde c esun numero real.

    :ea )y+, y, ..., yn * un conjunto de "uncionesestasposeen n+ derivadasen elintervalo C. El determinante Wesel llamado WrosMiano del conjunto de "uncionesdadas.

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    16/26

    Para probarel ue una ecuacin di"erencial eslinealmente independiente se puede=acerporWrosMiano. Este se =ace si el WrosMiano esdi"erente de cero DWB7F.

    6

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    17/26

    ESPACIOCONPRODUCTOINTERNO:

    La longitud DnormaFde un vectorde Gn esK4 Dv+, v, ..., vn Festa dada por

    AAAAAAAAAAAAAAAA

    RRKRR4Bv+ @ v @ ... @ vn esta no puede sernegativa si el vectorv 4 + este sellama vectorunitario dosvectores%y Ken Gn son paralelossi al vectorKesm9ltiplo

    del vector%, esdecir, si %4 cKsi c ( 7 losvectoresvan a la misma direccin y si c & 7van en direccin opuesta, la longitud de un m9ltiplo escalarse ve porla "ormula RRcKRR4 Rc RRRKRRdonde Rc Resel valorabsoluto de c y c esun escalar.

    El vectorunitario de Kessi KB7 entonces%4 KV RRKRResde longitud uno y tiene lamisma direccin de %@Kse llama vectorunitario en direccin de Keste proceso sellama normalizacin del vectorK.

    La distancia entre dospuntosse llama normalizacin del vectorK.

    AAAAAAAAAAAAAAAAAAA

    d 4BDu+ v+ F@ Du v F y la distancia entre dosvectoresen G se encuentra .

    AAAAAAAAAAAAAAAAAAA

    dD%,KF4 RR% KRR4BDu+ v+ F@ Du v F donde %4 Du+ u Fy K4 Dv+ v F.

    Laspropiedadesue cumple la distancia son

    < dD%, KFB7.< dD%, KF4 7 si solo si %4 K. < dD%, KF4 dDK, %F.

    Para encontrarel ngulo entre dosvectoresdistintosde cero usamosla "ormula

    -osA 4 Du+v+ @ uvFV RR%RRRRKRRdonde %4 Du+, u Fy K4 Dv+ , v Fy donde u+v+@ uv se denota como producto punto de dosvectores. El producto punto para Gn sedenota %XK4 u+v+ @ uv @ ... @ unvn laspropiedadesue cumple son

    < %XK4 KX%< %XDK@ JF4 %XK@ %XJ < c D%XKF4 c%XK

    4 %XcK< KXKBRRKRR< KXKB7 y KXK4 7 si solo si K4 7

    8onde c esun escalary ue %, K, J son vectorescualesuiera en Gn.

    (esi*ualdadde*auc,-sc,a.ar':

    La desigualdad de Nauc=y :c=Warz dice ue R%XKRBRR%RRRRKRRdon de R%XKResvalorabsoluto de %XKdonde %y Kson vectoresviendo esta desigualdad podemosde"inirel ngulo entre dosvectoresen Gn as# -osA 4 D%XKFV DRR%RRRRKRRFesta"ormula no de"ine ngulosentre dosvectores, si %XK4 7 se dice ue losngulosson

    ortogonales.

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    18/26

    Ladesi*ualdaddeltrian*ulo:

    Y

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    19/26

    8ice si %y Kson vectoresentoncesRR%@ KRRBRR%RR@ RRKRR.

    Elteoremade/it"*oras:

    Este dice si %y Kson vectoresentoncesRR%@ KRR 4 RR%RR @ RRKRR solo paravectoresortogonales.

    %n producto punto esun producto interno Euclidiano esto esun producto interno ue

    se puede de"iniren G. para poderdi"erenciarel producto interiorde otrosposiblesproductosinternoslo escribiremosesto ser el producto general para el espaciovectorial K.

    Para solucionarun producto interno se procede igual ue al de"inirun espacio vectorialen el ac=o de ue debe cumplircon variosaxiomaspara podercali"icarcomo productointerno estosaxiomasson

    :iendo %, K, J vectoresen Ky c cualuierescalar

    < 4

    < 4 @ o 4@ < c 4< B7 y 4 7 si solo si v4 7 < 4 4 7

    Para de"inirla norma, distancia, ngulo de dosvectoresue tenga producto interno

    siendo %, Kvectoresen K

    AAAAAA

    norma 4 RR%RR4 B

    distancia entre %, K4 d4 RR% KRR

    ngulo entre vectores%, Kdi"erentesde 7cosA 4 V DRR%RRRRKRRFdonde 7 BA BA.

    8osvectorescon producto interno son ortogonalessi 4 7. El vectorunitario de unvectorcon producto interno RR%RR4 + el vectorunitario en direccin de Kdonde %4 KVRRKRRdonde KB7. Para versi %y Kson vectoresen el espacio con producto internodeben cumplircon laspropiedadesde norma

    < RR%RRB7.

    < RR%RR4 7 si solo si %4 7. < RRc%RR4 Rc RRR%RR.

    ?laspropiedadesde la distancia antesya mencionadas.

    'demscumplen con la desigualdad de Nauc=y :c=aWarz, desigualdad deltriangulo y el teorema de Pitgorasantesyya explicadas.

    /roeccionesorto*onalesenespaciosconproductointerno:

    :i %y Kson vectoresen el plano y Kesdi"erente de 7 entonceseste se puedeproyectarortogonalmente a %y se denota como

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    20/26

    ProyK%4 QD%XKFV DKXKFSK

    +7

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    21/26

    proy%K4 QD%XKFV D%X%FS%donde %XKy KXKson el producto punto o productointerno Euclidiano.

    Para en el espacio la proyeccin se denota como proyv %4 QV SK, proyv %4 QV S%.

    Laproecci!norto*onaldistancia:

    :iendo %y Kdosvectoresen el espacio Kcon producto interno y KB7. Entoncesla

    distancia d D%, proyv F& d D%, cKFdonde c BV .

    (e%nici!ndecon$untosortonormalescon$untosorto*onales:

    En un conjunto de vectores:de el espacio vectorial Kesproducto interno esortogonal si cada vectorde y seria espacioortonormal si cada vector:esunitario.

    Esortonormal si & vi, vj ( 4 7 i Bj y RRvj RR4 + donde i 4 +, , /, ..., n y esortonormal si & vi, vj ( 4 7i Bj donde vi, vj pertenecen al conjunto s4 ) v+, v, ...,vn *

    %n conjunto ortogonal eslinealmente independiente si sesun conjunto de vectoresdi"erentesde cero y ue pertenecen al espacio v con producto interno.

    /rocesoparaortonormali'ardeGram-Sc,midt:

    < Kersi la base tiene producto interno Dcomoya lo vimosF. < -onvertirla base a una baseortogonal.

    :ea 0 4 ) v+, v, ..., vn *

    W+ 4 v+

    W 4 v proyW+ v

    Wn 4 vn proyW+ v/ proyWDn+Fvn

    0U4 ) W+, W, ..., Wn *

    < y para ortonormalizarui 4 Wi V RRWiRRdonde C4 +, , ..., n.

    8onde 0UU4 ) u+, u, ..., un * esun abase ortonormal.

    Aplicaci!ndelosespaciosconproductointerno:

    Producto cruz de dosvectoresen el espacio

    8onde %4 Du+, u, ..., un F

    K4 Dv+, v, ..., vn F

    %x K4

    porel mtodo de co"actores4 i @ j @ M .

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    22/26

    laspropiedadesdel producto cruz

    ++

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    23/26

    %x K4 Kx %

    c D%x KF4 c %x K4 %x c K

    %x %4 7

    %x DK@ J F4 D%x KF@ D%x J F

    %x 7 4 7 x %

    %DKx J F4 D%x KFJ

    %x Kson paralelossi %x K4 7.

    'proximacin porm#nimoscuadrados

    :iendo "y g dos"uncionesen x y "uncionescontinuasen un intervalo "inito Qa, b Sentonces.

    C4 dx siendo C4 7 si D" g F57 esto se puede representarcomo

    4 dx siendo C4 dx 4 4 RR" g RR esto signi"ica ue eseuivalente minimizarRR"g RR y RR" g RR.

    La aproximacin de minimoscuadradosesta dada por

    g 4 W+ @W @ ... @ Wn siendo W+ 4 W+ donde b 4 )W+, W, W/,*

    TRANSFORMACIONESLINEALES:

    Zotacin standard de la trans"ormada lineal es Kse denomina de !. :i v pertenece a Ky Westa en J, !DvF4 Wdonde Wser la imagen de v bajo !, el conjunto de todaslasimgenesse llama contradominio de ! y el conjunto de v de Ktalesue !DvF4 Wsellama preimagen de W.

    La de"inicin de trans"ormacin lineal esue todo espacio vectorial en Ky J se puede=acertrans"ormacin lineal si cumplen con losaxiomasde la distribucin bajo la sumaD!D%@ KF4 !D%F@ ! Dv FFy la multiplicacin porun escalarD!Dc%F4 c!DuFF.-umpliendo con lo anteriorla trans"ormada lineal tiene suspropiedadesue son

    < !D7F4 7< !DvF4 !DvF< !DvuF4 !DvF!DuF< :# v 4 c+v+ @ cv @ ... @ cnvn entoncesv 4 c+ !Dv+F@ c !DvF@ ... @ cn !DvnF.

    Para de"iniruna trans"ormacion lineal poruna matriz esta se notara as# siendo a lamatriz m x n la "uncion ! se de"inir !DvF4 'v ue suna trans"ormacin lineal de Gn enGm .

    El n9cleo se puede encontrarde"iniendo la trans"ormada as#. !DvF4 7 esto tambin sedenomina como Lernel de ! y se denota LerD!Fpara ue sea n9cleo esta debe cumplirue 'x 4 7.

    La dimensin del n9cleo se llama nulidad y la dimensin del contradominio de ! se

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    24/26

    llama rango Dsi '4 matriz entoncesel rango de ! va ser4 rango de 'F.

    8imensin del dominio 4 dimensin del rango @ dimensin del n9cleo.

    +,

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    25/26

    Lastrans"ormacioneslinealespuede seruno a uno ue son auellasue la preimagende J consta de un solo vector, o sea, ser uno a uno para toda u yv en K, !DuF4 !DvF,tambin =ay ue tomaren cuenta ue MerD!F4 7. !ambin lastrans"ormadaslinealespuede sersobre si y solo si el rango de ! esigual a la dimensin de J.?untrans"ormacin lineal esbiyectiba si esuno a uno y sobre.

    E0istenciadeunatrans+ormaci!ninversa:

    :ea ! Gn 5Gn una trans"ormada de una matriz standard. 8ebe cumplirlassiguientescondiciones

    ! esinvertible

    ! esun isomor"ismo

    'esinvertible

    :i ! esinvertible con matriz standard ', entoncesla matriz standard de !+ es'+.

    %n caso especial seria cuando K7 J y 0 4 0U, don de la matriz 'ue se denominamatriz de ! con respecto a la base 0. En este caso la matriz de la trans"ormacinidentidad essimplemente Cn.

    La matriz de transicin de un trans"ormada lineal depende del espacio K.

    Lasmatriz de transicin ! con respecto a la base 0 esdi"erente a la matriz ! conrespecto a otra base 0U.

    'UQDKFS0U5Q!DKFS0Uesla "orma directa a travsde la matriz 'U.

    P+'PQKS0U4 !QDKFS0U"orma indirecta.

    'U4 P+'P

    8onde a esla matriz de ! con respecto a 0, 'Uesla matriz ! con respecto a 0U, Peslamatriz de transicin de 0Ua 0, P+ esla matriz de transicin 0 a 0U

    Concluciones

    8espusde =aberrealizado a plenitud este trabajo se =an relacionado todoslostemasue se =an visto en el transcurso del ciclo de la materia de lgebra Lineal

    :e =an visto masdetallado y con masexactitud losteoremasy propiedadesue=ilan todoslostemaspropuestosporeste trabajo y se =a se =a llegado a laconclusin de todoslostemasestn relacionadosen cierta "orma ya ue en variosde estosse necesita recurrira laspropiedadesue se =an visto en temasanteriores.

    -on esto podr#amosdecirue nos=a ense$ado a tenerun amplio criterio de lautilidad de temasya vistosen nuestra carrera, ya ue no podemosomitirlasense$anzaspasadasya ue estasnos"orman lasbasespara comprendery analizarypoderponeren practica lostemas"uturos.

    Este trabajo se =a =ec=o con el "in de comprenderde ue no =ay ue dejartirado lo ye

  • 7/23/2019 ALGEBRA LINEAL.rtf

    26/26

    =emosaprendido antesya ue eso nosva a ayudara solucionarproblemasen nuestro"uturo, citando el dic=o popularsi no aprendemosde nuestroserroresdel pasado losmismo nosestarn esperando en un "uturo.

    +

    /