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ALGEBRA TRADICIONALExpresiones Algebraicas. Polinomios

 A) Traduce a lenguaje algebraico:1. El triple de un número.2. La mitad del resultado de sumarles al triple de un número 4 unidades.. La di!erencia de los cuadrados de dos números de dos números consecuti"os.

4. #inco "eces el resultado de restarle al doble de un número $ unidades%oluci&n: $'2x($)

$. Expresa algebraicamente el rea * el per+metro de un cuadrado de lado x.x,) Asocia cada una de los enunciados con la expresi&n algebraica -ue le corresponde:

1) La suma de los cuadrados de dos números

2) El espacio recorrido por un m&"il es igual a su "elocidad por el tiempo -ue est en mo"imiento

) El rea del circulo de radio x'x *)2/ x2 *2 2x*

4) Los lados de un tringulo son proporcionales a 20 * $E / " .t$) El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de sus cuadrados ms el doble de su productox2 *2 '1)

) edia aritm3tica de tres números

Πx2Expresiones algebraicasna expresi&n algebraica es una combinaci&n de letras0 números * signos de operaciones. Las letras suelenrepresentar cantidades desconocidas * se denominan "ariables o inc&gnitas. Las expresiones algebraicas nospermiten traducir al lenguaje matemtico expresiones del lenguaje 5abitual.

T6P7% 8E E9PE%67; AL<E,A6#A =a* distintos tipos de expresiones algebraicas.> 8ependiendo del número de sumandos0 tenemos: monomios '1 sumando) * polinomios '"arios sumandos).> Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio '2 sumandos)0 trinomio ' sumandos)0 ...> 8os expresiones algebraicas separadas por un signo se llama ecuaci&n.> n caso particular de ecuaci&n es la identidad0 en la -ue los dos lados de la igualdad son e-ui"alentes.> Ejemplo: ?alor num3rico de una expresi&n algebraica> a) =alla el "alor num3rico del per+metro * del rea de un terreno rectangular cu*os lados miden $@ * @ m0respecti"amente.> b) =alla el "alor num3rico del polinomio paraa) %egún "imos en el ejemplo anterior: %i es el largo e el anc5o0 en metros0 tenemos -ue:> Perimetro

> Area

Expresiones Algebraicas. Polinomios

 A) Traduce a lenguaje algebraico:

1. El triple de un número.

2. La mitad del resultado de sumarles al triple de un número 4 unidades.

. La di!erencia de los cuadrados de dos números de dos números consecuti"os.

4. #inco "eces el resultado de restarle al doble de un número $ unidades

%oluci&n: $'2x($)

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$. Expresa algebraicamente el rea * el per+metro de un cuadrado de lado x.

x

,) Asocia cada una de los enunciados con la expresi&n algebraica -ue le corresponde:

1) La suma de los cuadrados de dos números

2) El espacio recorrido por un m&"il es igual a su "elocidad por el tiempo -ue est en mo"imiento

) El rea del circulo de radio x

'x *)2/ x2 *2 2x*

4) Los lados de un tringulo son proporcionales a 20 * $

E / " .t

$) El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de sus cuadrados ms el doble de su producto

x2 *2 '1)

) edia aritm3tica de tres números

Πx2

5ttp:carmesimatematic.Bebcindario.comexpresionesalgebraicas.5tm

. Expresiones algebraicas

Expresi&n algebraica es la !orma de las matemticas -ue escribimos con letras0 números0 potencias * signos.

#oe!iciente a2 <rado

Parte literal

 Al número le llamamos coe!iciente0 a la letra o letras les llamamos parte literal * al exponente le llamamos grado.

 ?alor número de una expresi&n algebraica. Para 5allar el "alor num3rico de una expresi&n algebraica sustituimoslas letras por el "alor dado * 5acemos las operaciones -ue se nos indi-uen.

#lases de expresiones algebraicas:

1C( %i una expresi&n algebraica est !ormada por un solo t3rmino se llama monomio. Ej: x2

2C( Toda expresi&n algebraica -ue est3 !ormada por dos t3rminos se llama binomio. Ej: 2x2 x* 

C( Toda expresi&n algebraica !ormada por tres t3rminos se llama trinomio.

Ej: $x2 4*$ ( x2* 

4C( %i la expresi&n algebraica tiene "arios t3rminos se llama polinomio.

Polinomio es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente:

1D( %i est ordenado. Para ordenar un polinomio0 colocamos los monomios de ma*or a menor0 según su grado.

2D( %i est completo. #ompletar un polinomio es aadir los t3rminos -ue !alten poniendo de coe!iciente @.

D( #ul es su grado. El grado de un polinomio es el ma*or exponente de sus t3rminos.Expresiones algebraicas e-ui"alentes: 8os o ms expresiones algebraicas son e-ui"alentes cuando tienen el mism

 "alor númerico.

2. Ejercicios operatorios con los monomios * polinomios

%uma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario -ue sean semejantes. onomios

semejantes son a-uellos -ue tienen la misma parte literal * el mismo grado. Ej: 2x $x ( x.

Para 5acer la operaci&n sumamos los coe!icientes * dejamos la misma parte literal. Ej: 2x $x ( x / x.

ultiplicaci&n de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario -ue sean semejantes. Para ello se

multiplican los coe!icientes0 se deja la misma parte literal * se suman los grados. Ej: x*.4x2*/ 12x*4

8i"isi&n de monomios: Para di"idir dos monomios0 se di"iden los coe!icientes0 se deja la misma parte literal * se

restan los grados. Ej: 4x$*:2x2*/ 2x*2

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%uma de polinomios: Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los -ue son semejantes *

sumaremos sus coe!icientes.

Ej: Fx$@x4x4x2(2x

$x$@x4@x (x2 (x

12x$@x4xx2(x

ultiplicaci&n de polinomios: Para multiplicar polinomios 5aremos lo mismo -ue para multiplicar monomios0

multiplicamos los coe!icientes * sumamos los grados de las letras -ue son iguales.

%i son "arios los polinomios -ue tenemos -ue multiplicar 5aremos lo mismo pero pondremos los -ue son

semejantes debajo unos de otros * los sumaremos al !inal.Ej: P'x)/ 2x$x4(2x(x22x

G'x)/ 2x

P'x).G'x)/ 4xHxF(4x(2x$4x4

8i"isi&n de polinomios: Para di"idir un polinomio * un monomio0 ordenamos * completamos los polinomios0

di"idimos el primer monomio del di"idendo por los monomios del di"isor0 multiplicamos el cociente por el di"iso

 * se lo restamos del di"idendo. As+ sucesi"amente.

Para di"idir dos polinomios 5aremos lo mismo -ue para di"idir monomios * polinomios0 teniendo en cuenta -ue

en el di"isor nos encontraremos con 2 t3rminos.

Ej: 4x4(2xx2(Hx(4 2x

(4x4 2x(x2x(4

@(2x2x

@x2

(x2

@(Hx

Hx

@(4

Las ecuaciones

> Ecuaci&n * !unci&n

Ecuaci&n es toda !unci&n algebraica igualada a @ & a otra igualdad algebraica. A la primera parte de la igualdad se

la llama 1er t3rmino * a la segunda se la llama 2D t3rmino. 8os ecuaciones son e-ui"alentes cuando tienen el

mismo resultado.

=a* distintos tipos de igualdades:

na igualdad num3rica: 2$/4

na igualdad algebraica: 2xx/x

na !unci&n: x2/* 

na !unci&n es una expresi&n algebraica igualada a *.

2. esoluci&n de ecuaciones

Para resol"er una ecuaci&n0 5allaremos el "alor de la inc&gnita0 siendo la inc&gnita el número desconocido0

expresado normalmente por x.

Pasos para resol"er una ecuaci&n:

1D( %e -uitan los par3ntesis si los 5ubiere.2D( %e -uitan los denominadores si los 5ubiere.

D( %e pasan todas las inc&gnitas al 1er miembro de la igualdad.

4D( %e reducen los t3rminos semejantes.

$D( =allamos el "alor de la inc&gnita.

Ej: $x(F/2H4x I $x(4x/2HF I x/$

Los exponentes, los radicales y la notación científica

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Una Potencia

na

 de base un numero real a, y exponente un numero natural n, es un producto de n factores

igualas a la base factores. .... ..... (n 1)n n

a a a a= ≥

Signo de Potencia

• Si la base es positiva, la potencia es siempre positiva

• Si la base es negativa:

o Exponente par, la potencia es positivao Exponente impar, la potencia es negativa

Multiplicación de potencias con la misma base

Si multiplicamos potencias con la misma base, nos da como resultado una potencia con la misma base cuy

exponente es la suma de los exponentes

.b c b ca a a

  +=

División de potencias con la misma base

Si dividimos potencias de la misma base, nos da como resultado una potencia con la misma base cuyo exponente

la diferencia de los exponentes.b

b c

c

aa

a

=

Potencia de una Potencia

Para calcular la potencia de una potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes.( )m n m n

a a=

Producto de potencias con el mismo exponente

Si multiplicamos dos potencias con distinta base y exponentes iguales, nos da como resultado una potencia cuy

 base es el producto de las bases y cuyo exponente es el mismo exponente.

. ( . )m m m

a b a b=

Cociente de potencias con el mismo exponente

Si dividimos dos potencias con distinta base y exponentes iguales, nos da como resultado una potencia cuya ba

es el cociente de las bases y cuyo exponente es el mismo exponente.

: ( : )m m m

a b a b=

Cuadrado de una suma:

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, mas el doble del primero por el segundo, mas e

cuadrado del segundo. ( ).( )a b a b a ab ba b= + + = + + + =2 2 2(a + b) a + 2ab + b

Cuadrado de una Diferencia:

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, mas

cuadrado del segundo. ( ).( )a b a b a ab ba b= − − = − − + =

2 2 2(a - b) a - 2ab + b

Suma por diferencia:

El producto de suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados

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a ab ba b= − + − =

  2 2(a + b).(a - b) a - b

1-Potencias de exponente entero

Potencia de exponente 0: !oda potencia de exponente " es igual a la #nidad." 1a   =

Potencia de exponente : !oda potencia de exponente 1 es igual a la base.1

a a=

Potencia de exponente negativo:

!oda potencia de exponente negativo es igual a la unidad dividida por la misma potencia con exponente positivo

1n

na

a

−=

2-Potencias de exponente fraccionario :

#na potencia de exponente fraccionario es e$uivalente a un radical en el $ue el denominador de la fracci%n es &ndice del radical y el numerador de la fracci%n es el exponente del radicando:

1   m

mnnn na a a a= = 

3-Potencias de exponente irracional:

'omo se calculaπ  

a siguiente tabla indica el proceso valido para cual$uier potencia:

!ntervalos deπ   !ntervalos de

Potencias!ntervalos num"ricos

* +π  < < * + π  

< < 1-π  

< <

*1 *π  < < *1 * π  

< < /0 1π  

< <

*1+ *1/π  < < *1+ *1/

π  

< < 1/ 0-π  

< <

*1+1 *1+π  < < *1+1 *1+ π  

< < 1* 0+π  

< <

... ...π  < < ... ...π  

< < ... ...π  

< <

El error viene determinado por la diferencia entre el valor por exceso y el valor por defecto. En el cuarto paso 2aydos decimales correctos

3l aumentar el numero de cifras deπ  

, el error $ue se comete es cada ve4 mas pe$ue5o y se aproxima a ".

Por lo tanto el n6mero realπ  

 viene determinado por la sucesi%n de los intervalos siguientes los cuales unos vanincluidos dentro de otros, es decir intervalos encajados:

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(,1-),(/0,1),(1/,0-),(1*,0+),....

4-Notación CientíficaPotencias de base 0

#n n6mero entero o decimal se puede escribir con ayuda de las potencias de base 1". Ejemplos:Enteros:

1"" 1"=

*1""" 1"=

1-" -.1"=

0"" 0.1"=

7ecimales1"1 1"−

=

" "1 1"−=

" * *." "1 *.1"−

= =

#xpresión Polinómica: !odo numero entero o decimal se puede escribir como suma de los productos de sus cifra

 por potencias de 1". Ejemplo1 " 1 *

- 0*/ " - " 0 " "* " ""/ .1" -.1" 0.1" *.1" /.1"− − −= + + + + = + + + +

$otación Cient%fica

a notaci%n cient&fica, en la $ue se usan las potencias de 1", se utili4a para expresar n6meros muy grandes y muy

 pe$ue5os.

&a expresión de un n'mero en notación cient%fica es un producto de la forma.1"

k a

, siendo a un n'mero

mayor o igual (ue y menor (ue 0 y ) un n'mero entero .

Ejemplo: 1."".0"-.""".""".""".""".""" vamos a expresarlo en 8otaci%n 'ient&fica:

1."".0"-.""".""".""".""".""" 9

1-1".0"- 1"•

32ora 2ay $ue conseguir $ue la parte entera sea de una sola cifra mayor o igual a 1 y menor $ue 1":-1."".0"- 9 1""0"- 1"•

 por lo tanto $uedara de la siguiente manera:

1."".0"-."""."""."""."""."""9

- 1/ -1/ 1 1""0"- 1" 1" 1"0"- 1" 1"0"- 1"• • = • = •

#l numero total de cifras de

11"0"- 1"•

 es igual al exponente de la potencia de 0 mas , luego el numerotendr; 119 cifras.

Ejemplos de notaci%n cient&fica:+

+ <*

""""1 1.1" *-*9*-*.1"

*" *".1" """9.1"

=

=

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5-Operaciones con Notación Científica

Suma y *esta

Si el =rden de >agnitud es el mismo en los dos sumandos, se suman los n6meros $ue preceden a la potencia de

1": /0.1" 1 *-.1" (/ 0 1 *-).1" 0 11-.1"′ ′+ = + =

Si el =rden de >agnitud es distinto, se reducir; al mayor de los %rdenes. Ejemplo: 0 + 1.1" * 1.1" + 1.1" " "*1.1" (+ 1 ""*1).1" + +1.1"′ ′ ′ ′+ = + = + =

a resta en notaci%n cient&fica sigue las mismas normas $ue la suma.

Multiplicación y División

Para multiplicar dos n6meros en notaci%n cient&fica multiplicamos los n6meros $ue preceden a las potencias de 1

y tambi?n dic2as potencias. 8o 2ace falta reducir a orden com6n. 0 0 1- 10+ 1.1" * 1.1" (+ 1.*1).1" 1* *0.1" 1 **0.1"+

′ ′ ′ ′ ′• = = =

Para 7ividir, el proceso consiste en dividir los n6meros y las potencias de 1" 0 0 + 1.1" : * 1.1" (+ 1: *1).1" 1 **+.1"−

′ ′ ′ ′= =

6-Radicales*adicación es la operaci%n inversa a la potenciaci%n.lamamos ra&4 n+"sima de un n6mero dado al n6mero $ue al elevarlo a n nos da el primero.

a expresi%n

na

 es un radical de &ndice n: el n6mero n es el %ndice del radical y el n6mero a es el radicando.

 e$uivale a nna b b a= =

Potencias de exponente fraccionario:

#na potencia de exponente fraccionario es e$uivalente a un radical en el $ue el denominador de la fracci%n es

&ndice del radical y el numerador de la fracci%n es el exponente del radicando:1   m

mnnn na a a a= = 

peraciones con radicales:

Multiplicar: para multiplicar radicales del mismo &ndice se deja el mismo &ndice y se multiplican los radicandos.

. .n n na b a b=

Dividir: Para dividir radicales del mismo &ndice se deja el mismo &ndice y se dividen los radicandos.n

n

n

a a

bb=

Potencia de un *adical:

Para elevar un radical a una potencia, se eleva el radicando a dic2a potencia.

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( )m mnna a=

*adical de un *adical:

Para 2allar el radical de otro radical se multiplican los &ndices de ambos.

.n   m n ma a=

Para *educir a com'n %ndice:

Si se multiplica o divide el indice del radical y el exponente del radicando por un n6mero natural, se obtiene uradical igual:

1 + . + ....   nna a a a a= = = = =

7-Radicales e!i"alentes# Racionali$ación

-mplificación y simplificación de radicales

Sin se multiplican (amplifican) o dividen (simplifican) el &ndice y el exponente de un radical por un mismo n6mer

no nulo, el radical $ue se obtiene es e$uivalente al primero.. +

* *. -* -

+ + + +a   = = = =

os radicales

* - ++ , +

son e$uivalentes por$ue los exponentes de las potencias asociadas son fraccion

e$uivalentes.

*educción a %ndice com'n.

@educir a &ndice com6n varios radicales consiste en reducir a com6n denominador las fracciones exponentes de s

expresi%n como potencia. Ejemplo:1 1.* 1. * 1

* .* *. -* *- - - -* -/ . / . / ./. / . / . /""= == = = =

*acionali/acion:

@acionali4ar una expresi%n con radicales en el denominador, por ejemplo

1

/, consiste en encontrar una expresi%

e$uivalente $ue no tenga ra&ces en el denominador. Pare ello se multiplica el numerador y denominador por un

expresi%n adecuada, en este caso multiplicamos y dividimos por

/

:

1 1. / / /// /. / /

= = =

Expresiones algebraicas, clasificación y operaciones

De acuerdo al número de términos, las expresiones algebraicas se pueden clasificar generalmente en

monomios y polinomios.

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MONOMIO:

Es una expresin algebraica !ue consta de un solo término, por e"emplo, #$m ⁴, % a& b ,

'O(INOMIO:

)on expresiones algebraicas !ue constan de dos o m*s términos.

E"emplo:

a. x+y+

b. -m& % #n⁴

c. $x⁴ + /x⁵ % /0x 1 #2/

(os polinomios de dos términos reciben el nombre especial de 3INOMIO).

E"emplos de binomios:

a. x& % y&

b. a⁴ b⁵ + 2 a& b& c⁷

(os polinomios de tres términos reciben el nombre de 45INOMIO).

)on e"emplos de trinomios:

a. x& % #6x + $/b. ab7 + /a& b⁷ m 1 2/ abx⁵

89(8589ION IM'O548N4E:

En algunos modernos libros de *lgebra, el concepto de polinomio ar;a muc<o del concepto tradicional !u

acabamos de mencionar.

=eamos este concepto moderno:

>(a condicin para !ue una expresin sea polinomio es !ue todos los exponentes de la ariable sean

enteros y positios?

En cambio, la expresin $x⁵ es un polinomio de acuerdo a la expresin dada, pues su exponente es entero

y positio.

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8s; también, la cantidad / es un polinomio, pues este número lo podemos expresar como /x 6 donde emo

!ue el exponente es entero y no es negatio.

3.1.1- Expresiones algebraicas en contextoSe llama expresión algebraica a toda constante, variable o bien a toda combinación de constantes y potencias de variables

que estén ligadas por alguno de los símbolos +, -, x, ÷ en un número finito

!n la solución de un e"ercicio, problema de una teoría, un símbolo #generalmente una letra$ que se usa para representar un

número real arbitrario se llama variable real.

%entro del proceso de solución de un e"ercicio o problema, un simbolo que se usa para representar un número real fi"o se

llama constante real.

&na expresión algebr'ica es una cadena de símbolos matem'ticos que indican una cantidad finita de operaciones b'sicas

entre funciones elementales, como raíces, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y también composiciones d

dic(as funciones Suena muy revuelto pero como e"emplo veamos las siguientes tres expresiones)

!n estas expresiones vemos involucrados) números y letras sumados, multiplicados, divididos, con exponentes de varios

tipos, con raíces cuadradas y (asta logaritmos* así de comple"as pueden ser las expresiones algebr'icas

necesitaremos conocer los elementos de las expresiones algebr'icas, y establecer un orden para las operaciones)

Son cantidades expresadas con letra que pueden tomar valores dentro de un subcon"unto de números reales asi siempre

se utilian las últimas letras del abecedario #x, y, , etc$ para denotar variables

Son cantidades fi"as expresadas con letra, casi siempre se utilian las primeras letras del abecedario para denotar

constantes #a, b, c, etc$

Son los números que aparecen multiplicando a las variables

Son los superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones

Son ciertas partes que componen una expresión algebr'ica que en los polinomios se identifican muy f'cilmente

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3.1.2- El lenguaje algebraico en contextoSe le llama lengua"e algebraico al utiliado para la representacion de valores numericos, cuando estos son desconocidos e

magnitud, este lengua"e es el metodo que permite simplificar teoremas o problemas matematicos mostrando generalidades

arapoder solucionar los problemass de la vida cotidiana, solemos transcribir a un lengua"e matem'tico quees el lengua"e

algebraico, este lengua"e utilia letras, números y símbolos matem'ticos

!ntonces el lengua"e algebraico es aquel que en el que en su estructura siempre figuran cantidades deconocidas para estose utilian frases como* .un numero . .se sabe que una cantidad es el doble de otra. y estas expresiones se unen con los

nombres de operaciones basicas para darles un sentido o una relacion entre las variables del problema e"emplo)

un numero mas cinco es tres veces menor que otro

Siempre que encontremos la palabra es* este se transformara matematicamente a un signo igual

!"emplos)

/uan gasto 012 en dos sombreros, si uno le costo la mitad del otro cuanto le costó cada uno

esto se representaria como

x+x34512

4 Si a un numero se le resta dos se obtendria la mitad de dic(o numero

x-45x34

6 la suma de 7 numeros es 8

x+y+9+58

7 la rai cuadrada de la suma de los cuadrados de dos numeros es die

 ::::::: 

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;x<4+y<4 51=

8 la rai cuadrada de la suma de dos numeros elevados al cuadrado es 1=

 :::::::::: 

;# x + y $ <4 51=

se cancelaria el cuadrado y la epresion equivalente seria

x+y51=

>?@A SB @! %AS &!>@A ?C !D !/ 7 E 8 !> !D D!>F&A/! ADF!GCAB? !D ?C%!> !> H&! S! %B!> DAS

?SAS AI!@A ?J? S! !SCBGBCA I&@&CAJ!>@! DA !KC!SB?>, ?C !S? LAE H&! @?JAC !> &!>@A

DA/!CACH&BA %! ?!CAB?>!S &A>%? S! @CASDA%A> A I?CJA ADF!GCABA

%or&a "er'al %or&a escrita %or&a "er'al %or&a escrita

Suma + El triple de un

número

3x

Diferencia - El cuádruplo

de un número

4x

Producto ( ) ( ), # , ab El quntuplo deun número

!x

"ociente #, ÷ El doble de la

$uma de do$

número$

%(a+b)

&a' cuadrada El triple de la

diferencia de

do$ número$

3(x-)

Potencia ( )n dnde n ,

e$ cualquier

número

*a mitad de un

número

#%

n número

cualquiera

*a mitad de la

diferencia de

do$ número$

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*a $uma de do$

número$

+ b *a cuarta

parte de un

número

#4

*a re$ta o

diferencia de do$

número$

. El cuadrado de

un número

%

El producto de

do$ número$

b El cuadrado de

la $uma de do$

número$

(x + 4 ) %

El cociente de do$

número$

# El triple del

cuadrado de la

$uma de do$

número$/

3(x+4)%

*a ra' cuadrada

de un número

*a $uma de 3

número$

+b+c

El cociente de la

$uma de do$

número$, $obre la

diferencia

*a $emi $uma

de do$

número$/

El doble de un

número

%x El cubo de la

$emi

diferencia de

do$ número$

3.1.3- valor numerico de expresiones algebraicas en contexto!s un número que obtenemos al sustituir las letras de una expresión algebraica por números

Se llama valor númerico de una expresión algebraica al número que se obtienes al sustituir cada una de sus variables por e

valor que se les (alla asignado de antemano, y de efectuar la operación indicada

Ejemplo: 

a$ %etermine el valor numérico de-x4+6x-7, si x 5 4

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b$ %etermine el valor numérico de -2ax6 y4 si a 5 8, x51, y54

Solución: 

a$ Sustituyendo por el valor asignado a -x4+6x -7, se obtiene que)

-#4$4 +6#4$ -7

5 -7 +2 -7

5 -4

or lo que si x 5 4, el valor numérico de , -x4 +6x M 7, es -4

b$ Sustituyendo las variables a, x, y por los valores asignados, en 2ax6 y4 se obtiene que)

-2#8$#1$4 #-4$4

 A#x$ + G #x$

5 - 14=

 

or lo que) si a58, x51, y54, el valor numérico de 2axy6 y4 es -14=

3.1.4- Operaciones algebraicas con monomios binomios ! trinomios?!CAB?>!S ADF!GCABAS ?> J?>?JB?S)

Suma

Si los monomios que se van a sumar son términos seme"antes entre sí, se suman los coeficientes y se mantienen idénticas

las literales y sus exponentes !n este caso el resultado de la suma es también un monomio Si no son términos seme"ante

no se puede realiar la operación de suma y solamente queda expresada la suma Da suma de monomios cumple con las

propiedades asociativa y conmutativa !l monomio neutro para la suma o monomio cero es el número 0  !l opuesto de un

monomio se obtiene cambiando el signo #+ por – y – por +, si no tiene signo entonces el signo implícito es +$ Si a un

monomio se le suma su opuesto se obtiene el número 0  #polinomio neutro$

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!"emplos)

1$Sumar los monomios – 2x 2  y + x 2 

como son términos seme"antes se reducen)

 M 4x4 + x 2  = – x 2 

 

4$Sumar los monomios x8 y 6x6

Como no son términos semejantes solo queda expresada la suma:

 x 5  + 3x 3

3Lallar el opuesto de – x 2 

ara obtener el opuesto de se cambia su signo !l opuesto es) 

+ x 2 , del cual no es necesario mostrar su signo, por lo tanto queda solo x4

"esta 

Da resta o diferencia de monomios se obtiene al sumar al primer monomio el opuesto del segundo monomio

!"emplo) Cestar al monomio 3x  el monomio – x 

Se obtiene el opuesto del segundo monomio cambiando el signo N por +, el cual en este caso no es necesario escribir el

signo)

 x 

Se suma el primer monomio al opuesto del segundo omo son términos seme"antes se reducen)

3x + x = !x 

#roducto 

Da multiplicación de monomios se obtiene al multiplicar los coeficientes y sumar los exponentes de las literales similares

!"emplo Jultiplicar los monomios 2x !" 2  y 3x 2 " 3

Se multiplican los coeficientes) #2#3 = $ , se suman los exponentes de x ) ! + 2 = $  y se suman los exponentes de " ) 2 + 3 =

5  quedando)

$x $ " 5  

!"emplo Jultiplicar los monomios x" 3%  y &5x" 

Se multiplican los coeficientes) #'#&5 = &5 , se suman los exponentes de x ) ' + ' = 2 , se suman los exponentes de " ) 3 + '

! y se suman los exponentes de % ) ' + 0 = ' quedando)

&5x 2 " !% 

$ivisión 

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Da división de monomios se obtiene al dividir los coeficientes y restar los exponentes de las literales similares

!"emplo dividir el monomio $x !" 2  entre el monomio 3x 2 " 

Se dividen los coeficientes) $(3 = 2 , se restan los exponentes de x ) ! & 2 = 2  y se restan los exponentes de " ) 2 & ' = ' 

quedando)

2x 2 "  

!"emplo %ividir el monomio &x" 3% 2  entre el monomio &5x 3" 3

Se dividen los coeficientes) #&'#&5 = '(5 , se restan los exponentes de x ) ' & 3 = &2 , se restan los exponentes de " ) 3 & 3 = 0

se restan los exponentes de % ) ' & 0 = ' quedando)

#'(5x &2 % = #'(5#%(x 2   

?!CAB?>!S ADF!GCABAS ?> GB>?JB?S)

Suma

ara sumar polinomios colocaremos cada monomio deba"o de los que son seme"antes y sumaremos sus coeficientes

!"emplo)

"esta

Da resta de dos operaciones algebraicas se realia de manera similar a como se (ace con la suma de operaciones

algebraicas, es decir se realian las restas entre dos términos seme"antes

!"emplo) Cestar x - y de 4x - 4y)

 

#x-y$ - #4x+4y$ 5 x-y-4x-4y 5 #x-4x$ + #-y -4y$ 5 -x -6y

%ultiplicación

ara multiplicar polinomios (aremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los

grados de las letras que son iguales

Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar (aremos lo mismo pero pondremos los que son seme"antes deba"

unos de otros y los sumaremos al final

!"emplos)

1-  #x4$#xy$ 5 x4+1y 5x6y

4- #6x4 y4$#8x6 y4$ 5 68 #x4+6 y4+4$ 5 18x8 y7

Page 17: Algebra Tradicional

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6- #OP4 b2$#a8b$ 5 Oa O bO

$ivisión

ara dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del

dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo Así

sucesivamente

ara dividir dos polinomios (aremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el diviso

nos encontraremos con 4 términos

!"emplos) %ividir 64xy4entre 4xy)

 

Productos notablesDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Productos notables es el nombre $ue reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas $ue cumplen ciertas

reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspecci%n, sin verificar la multiplicaci%n.

'ada producto notable corresponde a una f%rmula de factori4aci%n. Por ejemplo, la factori4aci%n de una diferenci

de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y rec&procamente.

Índice

 [ocultar

• ! "actor co#ún

• $ %uadrado de un bino#io

• & 'roducto de bino#ios con t(r#ino co#ún 

o &)! Dos bino#ios con un t(r#ino co#ún

o &)$  *res bino#ios con t(r#ino co#ún

o &)& +ino#ios con t(r#ino co#ún

•  'roducto de dos bino#ios con-ugados

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• . %uadrado de un polino#io

• / %ubo de un bino#io

• 0 1dentidad de 2rgand

• 3 1dentidades de 4auss

• 5 1dentidades de 6egendre

• !7 1dentidades de 6agrange

• !! 8tras identidades

• !$ 9(ase ta#bi(n

• !& e;erencias < anotaciones

• ! +ibliogra;=a

Factor común

9isuali>ación de la regla de factor común) "or#a un gnomon)

El resultado de multiplicar un binomio  por un t?rmino se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

En la figura adjunta se observa $ue ;rea del rect;ngulo es , es decir, el producto de la base por la

altura , y tambi?n puede obtenerse como la suma de las dos ;reas coloreadas: y

Cuadrado de un binomio

Page 19: Algebra Tradicional

7/23/2019 Algebra Tradicional

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1lustración gr?@ca del binomio al cuadrado)

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por s& mismo), se suman los cuadrados de cada t?rmino

con el doble del producto de ellos. 3s&:

[ABpandirDemostración

a expresi%n siguiente: se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

'uando el segundo t?rmino es negativo, la igualdad $ue se obtiene es:

[ABpandirDemostración

#emplo:

Simplificando:

Producto de binomios con término común

Dos binomios con un término común

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1lustración gr?@ca del producto de bino#ios con un t(r#ino co#ún)

Para efectuar un producto de dos binomios con t?rmino com6n se tiene $ue identificar el t?rmino com6n, en este

caso x, luego se aplica la f%rmula siguiente:

[ABpandirDemostración

#emplo:

Tres binomios con término común

A%rmula general:

Binomios con término común

A%rmula general:

xn  (suma de t?rminos no comunes agrupados de uno en uno)xn<1  (suma de t?rminos no comunes agrupados de

dos en dos)xn< B (producto del n6mero de t?rminos)