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Page 1: Algebra Vectorial

Vector: Cantidad que está totalmente definida por su magnitud dirección y sentido.

Se representa geométricamente es un segmento dirigido.

O

P

A

Este segmento dirigido está delimitado por un punto inicial y uno final.

Page 2: Algebra Vectorial

La combinación lineal aA+bB, reproduce todos los vectores del plano que contiene a los vectores A y B, con una apropiada selección de los escalares a y b.

AB

C

A

B

C

aA

bB

aA

bB

Page 3: Algebra Vectorial

A

En particular, la combinación lineal de dos vectores unitarios aA+bB, reproduce todos los vectores del plano que los contiene.

B

C

A

B

C

aA

bB

aA

bB

Page 4: Algebra Vectorial

Un vector es unitario proporciona una dirección, esto es, la inclinación de una recta que pasa por el origen, medida desde la horizontal.

A

Page 5: Algebra Vectorial

B

Entonces, dos vectores unitario proporcionarán dos recta que, sin pérdida de generalidad, pueden pasar por el mismo punto , en particular, por el origen de los dos vectores.

A

Page 6: Algebra Vectorial

En particular, dos vectores unitario pueden ser perpendiculares.

Y también generan los vectores del plano que los contiene.

A

B

C

A

B

C

aA

bB

aA

bB

Page 7: Algebra Vectorial

Sin pérdida de generalidad, podemos seleccionar uno de los vectores unitarios horizontalmente

A

B

, por lo que el otro quedaría vertical.

Este par de vectores unitarios definen dos direcciones mutuamente perpendiculares.

Page 8: Algebra Vectorial

Esto nos permite asociar a los vectores con un sistema de referencia cartesiano. formado por dos rectas numéricas, una horizontal, llamada abscisa, y otra vertical, llamada ordenada, que se cruzan en su origen.

abscisa

ordenada

Page 9: Algebra Vectorial

Las coordenadas, en el plano, de un punto P dado, se representan por una y sólo una pareja ordenada (a ,b).

La a representa la distancia del origen al punto P a lo largo de la abscisa y la b la del origen al punto a lo largo de la ordenada.

x

y

a

bP

Page 10: Algebra Vectorial

De esta manera, el origen tiene coordenadas (0,0) y cualquier otro punto coordenadas (a ,b).

x

y

P( , )a b-aP( , )b

-a P( , )a -b-bP( , )

Un punto sobre la abscisa a la derecha del origen tiene coordenadas (a ,0), con a>0, mientras que a la izquierda tiene coordenadas (-a ,0), con a>0. Un punto sobre la ordenada hacia arriba del origen tiene coordenadas (0, b), con b>0, mientras que hacia abajo tiene coordenadas (0, -b), con b>0.

Page 11: Algebra Vectorial

x

y

x>0

y>0

(x,y)

x

y

y>0

x<0

(x,y)

x

y

x<0

(x,y)

y<0x

y

(x,y)

x>0

y<0

En el primer cuadrante ambas coordenadas tienen valores son positivos.

En el segundo cuadrante el valor en la abscisa es negativo y en la ordenada positivo.

En el cuarto cuadrante el valor en la abscisa es positivo y en la ordenada negativo.

En el tercer cuadrante el valor de ambas coordenadas es negativo.

Page 12: Algebra Vectorial

Un vector puede colocarse en un sistema de coordenadas cartesiano, de manera que su origen coincida con él del sistema de coordenadas y su punta con algún otro punto en el plano.

x

y

r

Si los ejes se definen con dos vectores unitarios perpendiculares, digamos, jyi

x

y

i

j

r

Entonces, la combinación lineal corresponde a la pareja ordenada (x,y) jyixr

x

y

i

j

ix

jyr

(x,y)

La pareja ordenada (x,y) se conoce como coordenadas rectangulares del vector

Page 13: Algebra Vectorial

Ahora tenemos diferentes formas de representar un vector:

Geométrica: Segmento dirigido.

r

Coordenadas polares: (magnitud, ángulo con la horizontal)=(r,)

r

Combinación lineal: jyixr

x

y

i

j

ix

jyr

Coordenadas rectangulares: (x,y)

x

y

r

(x,y)

,ry,xjyixr

x

y

i

j

ix

jyr

(x,y)

Page 14: Algebra Vectorial

Relación entre las representaciones vectoriales: ,ry,xjyixr

x

y

i

j

ix

jyr

(x,y)

y,xrjyixr

Combinación lineal y coordenadas rectangulares

Coordenadas rectangulares a coordenadas polares

,ry,x

22222 yxryxr

xy

arctanxy

tan

Coordenadas polares a coordenadas rectangulares

y,x,r

cosrxrx

cos

senryry

sen

Page 15: Algebra Vectorial

Ejemplo 1. Una fuerza de 800 N se ejerce sobre un perno A como se muestra en la figura. Determine las componentes horizontal y vertical de la fuerza

14518035

Respuesta: Del diagrama de fuerzas, mostrado en la firgura podemos observar que el ángulo correcto es el que parte del lado positivo de las x’s, que es suplementario del ángulo dado:

N655145cos800F800

F145cos x

x

N459145sen800F800

F145sen y

y x

y

35°

F

x

y

35°

F

Entonces, las coordenadas polares de la fuerza son (800 N, 145°), por lo tanto,

Page 16: Algebra Vectorial

Ejemplo 2. Un hombre jala una cuerda atada a un edificio con una fuerza de 300 N, como se muestra en la figura. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por la cuerda en el punto A?

m10m8m6AB 22

Respuesta:

Entonces,

N1805

3N300senFF

N2405

4N300cosFF

vertical

horizontal

5

4

m10

m8cos

5

3

m10

m6sen

vsenhcosAB

Page 17: Algebra Vectorial

Ejemplo 3. Dos fuerzas perpendiculares, una horizontal de 700 N y otra vertical de 1500 N, se aplican a un perno A. Escriba el vector en coordenadas rectangulares y como una combinación lineal de dos vectores unitarios perpendiculares que representen las direcciones horizontal y vertical. Determine la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que ésta forma con la horizontal.

Respuesta: La figura ilustra el problema.

N1655N1500N700

FFF

22

2y

2x

jN1500iN700jFiFF yx

N1500,N700F,F yx

657

15arctan

N700N1500

arctan

F

Farctan

x

y

Page 18: Algebra Vectorial

4. Se utiliza una garrocha para abrir una ventana como se muestra en la figura. Si la garrocha ejerce sobre la ventana una fuerza dirigida a lo largo de la garrocha, y la magnitud de la componente vertical de es de 125 N, determine (a) la magnitud de la fuerza y (b) su componente horizontal.

Page 19: Algebra Vectorial

y

x

P

110º

y

Py=125 N

º110,PP

N01.133º110sen

N125

º110sen

PP

º110senPP

y

y

N50.45º110tan

N125

º110tan

PP

P

Pº110tan

yx

x

y

Page 20: Algebra Vectorial

20ºPPv=125 N

Ph

N01.133º20cos

N125

º20cos

PP

º20cosPP

v

v

paredlahaciaN50.45º20tanPP

P

Pº20tan

vh

v

h