Algoritmo Factorización LU
Para factorizar la matriz A en el producto de la mariz triangular inferior L y en la matriz triangular superior U , donde la diagonal principal de L o de U consta de unos
ENTRADA La dimensión n , los elementos a ij , 1≤i , j ,≤n , la diagonal lii=1 o la diagonal uii=1
SALIDA los elementos lij , 1≤ j≤i , 1≤i≤n y los elementos lij , i≤ j≤n , 1≤i≤n
Paso 1 Seleccione l11 y u11 satisfaciendo l11u11=a11
Si l11u11=0 entonces SALIDA (factorización imposible)PARAR
Paso 2 Para j=2 ,. .. , n tome u1 j=
a1 j
l11 (primer renglón de U )
l j1=a j 1u11 (primera columna de L )
Paso 3 Para i=2 , .. . , n−1 Haga los pasos 4 y 5
Paso 4 Seleccione lii y uii satisfaciendo liiuii=aii−∑
k=1
i−1
lik uki
Si liiuii=0 entonces SALIDA (Factorización imposible)PARAR
Paso 5 Para j=i+1, . .. , n
Tome uij=
1lii [aij−∑
k=1
i−1
likukj](i_ésimo reglón de U )
l ji=1uii [a ji−∑
k=1
i−1
l jkuki](i_ésima columna de L )
Paso 6 Seleccione lnn y unn tales que lnnunn=ann−∑
k=1
n−1
lnkukn
(nota: si lnnunn=0 , entonces A=LU pero A es singular)
Paso 7 SALIDA (lij , j=1, . .. , i ; i=1 , .. . , n )
SALIDA (uij , j=i , . .. , n ; i=1 ,. . ., nPARAR
Algoritmo de la factorización
Para factorizar la matriz definida positiva en la forma , donde es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y es una matriz diagonal con elementos positivos en la diagonal
ENTRADA La dimensión ; los elementos
SALIDA los elementos y
Paso 1 Para haga los pasos 2-4
Paso 2 Para , tome
Paso 3 Tome
Paso 4 Para tome
Paso 5 SALIDA ( )
SALIDA ( )PARAR
Algoritmo de Choleski
Para factorizar la matriz definida positiva en la forma
ENTRADA la dimensión y los elementos
SALIDA los elementos
Paso 1 tome
Paso 2 Para tome
Paso 3 Para haga los pasos 4-5
Paso 4 Tome
Paso 5 Para
Tome
Paso 6 Tome
Paso 7 SALIDA ( )PARAR
Algoritmo de Crout de sistemas tridiagonales
Para resolver el sistema lineal de nxn
E1 : a11 x1+a12 x2 =a1, n+1E2 : a21 x1+a22 x2+a23 x3 =a2, n+1⋮ ⋮En−1: an−1, n−2 xn−2+an−1 ,n−1 xn−1+an−1 , n xn=an−1, n+1
En : an,n−1xn−1+an,n x x =an ,n+1
Que se supone tiene una solución única:
ENTRADA la dimensión n ; los elementos de A
SALIDA la solución x1 , x2 , , . .. , xn
Use los pasos 1-3 y resuelva Lz=b
Paso 1 Tome l11=a11
u12=a12
l11
z1=a1, n+1
l11
Paso 2 Para i=2 , .. . , n−1 tome li , i−1=ai , i−1 (i_ésimo renglón de L )
lii=aii− li , i−1ui−1 ,i
ui ,i+1=ai , i+1
lii ((i+1)_ésima columna de U )
zi=a i , n+1−li ,i−1zi−1
lii
Paso 3 Tome ln ,n−1=an ,n−1 (n_ésimo renglón de L )
lnn=ann−ln , n−1un−1, n
zn=an ,n+1−ln ,n−1 zn−1
lnn
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