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8/8/2019 analisis fasorial

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La representacin fasorial de la potencia en circuitos AC monofsicos

G. Aguirre-Zamalloa1, N. Vidal-Lekue2

1Departamento de Ingeniera Elctrica

ETSIB, Universidad del Pas Vasco

2Departamento de Electricidad y Electrnica

Facultad de Ciencia y Tecnologa, Universidad del Pas Vasco

Crees que los que estn as han visto otra cosa [..] sino las sombrasproyectadas por el fuego sobre la pared de la caverna que est frente a

ellos? [] Entonces no hay duda -dije- de que tales hombres notendrn por real ninguna otra cosa ms que las sombras de los

objetos

Platn, Libro VII de La Repblica

Resumen

Se define la potencia reactiva instantnea q(t) para

circuitos AC monofsicos en rgimen permanente. Esto

permite obtener la potencia compleja instantnea s=p+jq,

la cual admite a su vez una interpretacin fasorialextremadamente til que se estudia con cierto detalle. A

continuacin proponemos una generalizacin de estas

magnitudes instantneas para el caso transitorio por

medio de los vectores espirales de Yamamura.

Palabras clave

Fasores, vectores espirales, potencia compleja,

transitorio, potencia reactiva instantnea (PRI).

1. Introduccin

Fue Steinmetz [1] a finales del S. XIX quien introdujo el

empleo de la potente notacin fasorial (compleja) para

analizar circuitos AC. Esta mejora del formalismomatemtico propici un notable avance debido a que

permiti aplicar directamente a los circuitos AC los

mtodos desarrollados para resolver circuitos DC. Otra

ventaja decisiva de los fasores reside en su interpretacin

geomtrica directa: los diagramas fasoriales que muestran

las relaciones entre corrientes y tensiones son

herramientas de representacin muy comunes y tiles. En

la actualidad estas representaciones grficas ya no se

emplean como herramientas de clculo sino como

recursos mnemnicos, cualitativos, que permiten captar

inmediatamente relaciones entre varias cantidades de

manera mucho ms directa que mediante una ecuacin

algebraica, por ejemplo.

Aunque la representacin fasorial de seales sinusoidales

puras (ondas de tensin, corriente, fuerzas

magnetomotrices, etc.) es trivial, hay otras magnitudeselctricas de gran importancia que aparentemente no la

admiten, como la potencia por ejemplo. Es

indudablemente cierto que la potencia instantnea

absorbida por un dipolo elctrico )()()( titutp por serel producto de dos seales monocromticas presenta

naturalmente la mezcla de frecuencias (funcin

heterodina):

tttt )cos()cos(sinsin2 212121 (1)

por lo que no puede ser representada por medio de un

fasor estndar. No obstante, en este trabajo nos

proponemos demostrar que para el caso 21 si

que puede obtenerse una representacin cuasi-fasorial pormedio de fasores excntricos. Creemos que esta

representacin es muy ilustrativa de modo que vamos a

definirla cuidadosamente y a estudiar sus propiedades.

En el ao 1984 Akagi y Nabae [2] introdujeron los

conceptos de potencia activa y reactiva instantneas para

el anlisis del problema de la transmisin de potencia en

sistemas trifsicos, emplendolo en concreto para

demostrar las posibilidades de mejora de rendimiento y

compensacin mediante elementos no almacenadores de

energa. A partir de ese momento varios otros grupos han

trabajado sobre el mismo tema, ampliando y


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generalizando los conceptos y herramientas, por lo que se

ha generado una abundante bibliografa [3-4].

Mencionemos brevemente que segn estos autores la

potencia activa instantnea (en adelante PAI) para

sistemas trifsicos AC se define como: )()()( titutp yel vector potencia reactiva instantnea se define como:

)()()( titutq , donde Ttutututu )(),(),()( 321 e

T

titititi )(),(),()( 321 . Con toda lgica se define lapotencia reactiva instantnea (PRI) como el mdulo del

vector PRI.

Estas definiciones, sin embargo, no son completamente

trasladables al caso monofsico. As, aunque la

definicin de PAI es la correcta: )()()( titutp , la PRI

resulta idnticamente nula 0)( tq , lo cual no puede sercierto en general. A nosotros no nos consta que ninguna

definicin satisfactoria de la PRI monofsica haya sido

publicada hasta la fecha. En el presente trabajo vamos a

proponer una definicin vlida de PRI para sistemas AC

monofsicos en rgimen permanente que es

independiente de la definicin previamente mencionada,

y que vamos a generalizar inmediatamente al rgimentransitorio.

En este trabajo no nos volveremos a ocupar de las

potencias trifsicas. Sin embargo, con respecto a esta

cuestin no queremos dejar pasar la ocasin de comentar

un prometedor desarrollo del formalismo matemtico que

en el futuro podra muy bien ser la va para la unificacin

y generalizacin de estos conceptos. Nos estamos

refiriendo al lgebra geomtrica (AG) que es un

formalismo que abarca, generaliza y simplifica el clculo

de matrices, de nmeros complejos, de cuaterniones y de

espinores por ejemplo y que tuvo su origen en los

trabajos de los matemticos Grassman y Clifford [5].

Como ilustracin sealemos que en AG se define unnuevo producto de vectores, el producto geomtrico:

bajbabababa (2)

donde "" indica el producto exterior y "" j es el

pseudoescalar del lgebra, que es tal que 12 j . Lasuma de escalares y vectores (multivectores) no

solamente es posible, sino que es inmensamente

beneficiosa; as, por ejemplo, el producto geomtrico de

los vectores tensin y corriente trifsicos nos da

automticamente el (multivector) potencia. Entre las

bondades del producto geomtrico destacaremos que es

generalizable a cualquier dimensin e invertible, por lo

que se nos va a permitir dividir entre vectores! Aunque aprimera vista la expresin (2) parezca incorrecta la

realidad es que, y esto puede ser una autntica sorpresa

para algunos, la estamos empleando continuamente al

manejar nmeros complejos (dimensin 2); as,

211222112121*

babajbabajbbjaaba (3)

es esencialmente equivalente a (2).

Este artculo est estructurado de la manera siguiente:

despus de esta introduccin definimos la PRI

monofsica )(tq en el rgimen permanente en la seccin

2. Este es el resultado central del trabajo por lo que

dedicamos el resto de la seccin a su justificacin y a

demostrar sus principales propiedades. En la seccin 3

presentamos con cierto detalle el diagrama fasorial de las

potencias y damos algn ejemplo, siempre en rgimen

permanente. La seccin 4 introduce brevemente el

formalismo de los vectores espirales AC de Yamamura.

En la seccin 5 elaboramos una redefinicin de las PAI y

PRI en trminos de vectores espirales para poder

generalizar estos resultados al rgimen transitorio, y sepresentan algunos ejemplos ms. En la seccin 6 se

elaboran las ms importantes conclusiones.

2. Definiciones en rgimen AC permanente

En ese apartado analizamos el rgimen permanente de

circuitos alternos sinusoidales monofsicos.

Establezcamos en primer lugar la notacin con toda

claridad. Las letras minsculas, con o sin dependencia

temporal explcita denotan valores instantneos mientras

que las maysculas indican valores constantes. Los

smbolos subrayados son complejos y si no lo estn son

reales. Las variables complejas instantneas las

escribimos normalmente en notacin exponencial. As,

por ejemplo, )(tii , )(tuu son funciones peridicas

de periodo

2T . Tambin tjeItii 2)( ,

iii Re e 222 iII . Finalmente resulta muyconveniente introducir las siguientes abreviaturas:

)4

()(T

tftf

y )4

()(T

tftf

.

Recordemos que por definicin la potencia compleja

consumida por un dipolo es jQPIUS * , donde Pes la potencia promedio (potencia activa) absorbida que

vale*

Re)()()( IUtutitpP . Esta ltimaexpresin naturalmente nos invita a examinar la funcin

de correlacin cruzada entre corriente y tensin:

sincos)(

))((4

1)()()(

QP

cceiccutituj

(4)

donde cc denota conjugacin compleja. En trminos

generales una funcin de correlacin cruzada nos da una

medida del grado de semejanza de las funciones. En el

presente caso se trata una funcin sinusoidal de periodo T

que verifica P)0( obviamente y tambin QT)

4( .

De este modo se justifica la introduccin de la funcin

auxiliar )4

()()(T

tituiut

cuyas propiedades

vamos a estudiar a continuacin para comprobar si se

trata de un buen candidato para identificarlo como q(t) o

potencia reactiva instantnea. En cualquier caso,

debemos tener presente que por muy incierto que sea su

sentido fsico, su definicin matemtica, dada ms arriba,

es clara y distinta.

Esta funcin )(t tiene las siguientes propiedades:

1. Es dimensionalmente homognea a una potencia.


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2. Tal y como se ha demostrado Qt )( , donde Qdenota la potencia reactiva absorbida por el circuito.

3. El teorema Tellegen [6] garantiza que

R

k

k t1

0)( ,

dondeR indica el nmero total de ramas del circuito.

De la combinacin de las propiedades 2 y 3 resulta una

prueba de la parte imaginaria del teorema de Boucherot

[6]. Adems, al verificarse las relaciones siguientes:

*4 ImReRe iijeiiT

j

(5a)

y tambin

*ImReReRe iijdt

idi

dt

d

dt

di

(5b)

se puede probar que:

4. diudtdtdi

uT

dttT

QTT

2

11)(

1

00

(6)

Esta ltima propiedad revela el significado fsico del rea

limitada por la elipse inclinada descrita por el punto

ui, , tal y como se podra medir mediante unosciloscopio. Podemos ahondar algo ms en la

interpretacin de este resultado tomando la siguiente

analoga mecnica: un mvil de masa unidad 1m quese desplazase por el plano yuxi , siguiendo lasoscilaciones de tensin y corriente en una impedancia

ZZ estara localizado en el punto:

ytUxtItr cos2)cos(2)(

animado de velocidad:

ytUxtIt sin2)sin(2)(v

Por lo que su momento angular se conservara:

QUIprMzz

2sin2

5. Mediante un razonamiento dual al del apartado 4,

podemos llegar a la conclusin de que el rea

limitada por la curva cerrada descrita en el plano

ui , (y medida con un osciloscopio digital) es P, lapotencia activa:

udidt

dt

udi

T

dtiu

T

iuPTT

2

111

00

(7)

La expresin de las funciones auxiliares )(t para los

diferentes elementos ideales es muy convincente:

6. Resistencia: 22

1iR

dt

diiRR

y 0R (8)

Una resistencia no impone ningn criterio de

continuidad.

7. Inductancia: LL wiLdt

diiLt

2

2

12)(

2

y por lo tanto: LLL wQ 2 (9)

La continuidad de la funcin Li conlleva la de Lw (y

por consiguiente la de Lw

) lo que implica que L es

tambin continua; sin embargo Lu (y por tanto Lp )

pueden presentar discontinuidades finitas.

8. Capacidad:

CC wuCuuCdt

uduCt 2)( 2

CCC wQ 2 (10)

(hemos aplicado que derivacin temporal y retraso

conmutan) La continuidad de la funcin Cu conlleva

la de Cw lo que implica que C es tambin

continua; sin embargo Ci (y por tanto Cp ) pueden

presentar discontinuidades finitas.

Llegados a este punto del anlisis consideramos que

disponemos de argumentos suficientes como para afirmar

que la funcin auxiliar iu puede identificarse

razonablemente con la potencia reactiva instantnea q.Como consecuencia inmediata del anlisis realizado se

desprende la siguiente definicin de la potencia compleja

instantnea vlida para circuitos monofsicos en rgimen

AC permanente:

ijuuiqjps

*ImRe iujius *ius (11)

Esta expresin que generaliza lindamente la ecuacin*

IUS es tambin algo sorprendente por su falta desimetra, pero tngase en cuenta que la aparentemente

ms intuitiva definicin (?)*

ius no es en absolutocorrecta (es una constante compleja!). La ecuacin (11)

indica que la potencia compleja instantnea s es un

autntico fasor cuya extremidad describe una

circunferencia en el sentido de las agujas del reloj (la

corriente est conjugada) en el plano qp, con centro en

QjPqjpsS , radio S y periodo2

T. Al

ser la distancia del origen al centro igual al radio, la

circunferencia pasa por el origen o pivota en el origen y

las llamaremos CPO para abreviar. Este es el primer

resultado bsico del trabajo. A partir de este punto

debemos interpretarlo e ilustrarlo antes de poder

generalizarlo al rgimen transitorio. Para fijar las ideas

vamos a concentrarnos en el anlisis de circuitossencillos. En la Figura 1 puede apreciarse claramente

cmo esta construccin generaliza y enriquece el

tringulo de potencias clsico.

3. Diagrama fasorial de la potencia:propiedades y ejemplos.

La primera propiedad que queremos destacar es la

superposicin: puede fcilmente demostrarse a partir de(11) que dados dos subcircuitos 1 y 2 conectados en serie


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o en paralelo, la potencia instantnea total se calcula

como 21 sssT .

Figura 1: Tringulo de potencias, fasor potencia y potencia

activa instantnea

Tabla 1: Puntos singulares del diagrama fasorial RL

0,0o QPC ,

0,2P 0,P

Q2,0 Q,0

2

2

2

2 2,

2

S

QP

S

PQ

2

2

2

2 4,

4

S

QP

S

PQ

2

2

2

2 2,

2

S

QP

S

PQ

2

2

2

2 2,

2

S

QP

S

PQ

Esta situacin queda ilustrada por la Figura 2 en la que se

han representado las circunferencias dextrgiras y

sncronas descritas por las potencias Rs consumida por

R, Ls consumida por L y la total LRRL sss para un

circuito RL serie simple.

En cada instante la proyeccin sobre el eje p nos indica la

potencia instantnea absorbida por cada elemento.

Adems, la superficie coloreada corresponde al intervalo

durante el cual el circuito devuelve potencia a la fuente.

En este ejemplo hemos puesto 0RLs en 0t

Para obtener el mximo partido de la representacin

conviene familiarizarse con la estructura geomtrica del

diagrama. En la Tabla 1 hemos indicado las coordenadas

de los puntos singulares, es decir de los puntos de

interseccin de las circunferencias y en la Figura 3 los

hemos representado (se trata del mismo caso sencillo de

un circuito RL). Hay que advertir sin demora que

interseccin no quiere necesariamente decir coincidencia

o encuentro simultneo; las condiciones de coincidencia

las vamos a estudiar ms adelante. Dos puntos opuestos

por un dimetro en cualquiera de los CPO estn

separados en el tiempo por

4

Tsegundos.

Figura 2: Fasores de potencia y potencias instantneas en uncircuito RL serie en el rgimen permanente AC.

Sobre la Figura 3 puede apreciarse cmo las rectas y

C son perpendiculares, como lo son las rectas C y

(esta ltima es tangente al CPO RLs en el punto o )

La construccin geomtrica pone de manifiesto las

ligaduras con toda claridad. Si inicialmente el circuito

fuese resistivo puro, la RRL ss describe una

circunferencia tumbada, con su centro sobre el eje p. Al ir

incrementando el valor de L suceden varias cosas

simultneamente. El circulo vara su radio pero sobre

todo pivota en torno al origen de modo que al abandonar

su centro el eje horizontal la circunferencia va a penetrar

en la zona 0p y va a ganar un Q (q promedio) no nulo.


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Y estos efectos se hacen ms importantes cuanto mayor

es L. De hecho el intervalo de tiempo durante el cual se

cede potencia a la fuente es el que tarda en recorrer el

arco Co de valor 2 :

2

2

2

T.

Todava queda por examinar en qu condiciones la

superposicin (suma) de dos CPO da origen a otra CPO:

vamos a comprobar que en realidad hay restricciones de

fase bien definidas.

Figura 3: Puntos singulares y relaciones geomtricas del

diagrama fasorial RL

Sean los CPO kk tj

k

j

kk eCeCts 2)( con 2,1k ,

donde los C son los centros de las circunferencias, C

son sus radios y los fijan un origen de fases. Para que

la suma 21 ss sea un CPO el radio debe ser igual a ladistancia del centro al origen. Esto solo ocurrir si

21212121 coscos (12)

Veamos unos ejemplos. Ejemplo 1: Conexin de bobina

21

y condensador

22

. Adems si quiero que

en 0t Ls est en el origen pondr2

1

y de (12)

obtengo2

2

como una nica solucin y

tjCLLC eQQjts 21)( , esto es la compensacin

de energa reactiva. Ejemplo 2: conexin de resistencia

01 , 1 con inductancia2

2

. En este caso

dos son los valores de 2 que satisfacen (12):2

2

y

22

. Vamos a ver que corresponden a las

conexiones serie y paralelo respectivamente.

Circuito RL serie

En un circuito serie los elementos ven la misma corriente

y diferentes tensiones por lo que los *ies kk tienen la

misma fase y por lo tanto estn alineados sobre rectas que

pasan por el origen. Esta situacin queda ilustrada por la

Figura 4 y puede comprobarse mediante los datos

recogidos en la Tabla 2, la cual indica las posiciones de

los fasores sR, sL y sRL para instantes de tiempo

seleccionados.

Tabla 2: Posiciones instantneas de los fasores sR, sL y sRL en un

circuito RL serie.

tR

sL

sRL

s Descripcin

0 00 eqp

00 pi

i retrasa respecto e

4

T C' ' ' e min/max 0e

2

4

T

i min/max 0i

es

decir 0q

Mediante la notacin yx' nos referimos al punto opuesto

a x en la circunferencia con centro en y ; as, por

ejemplo C'' .

Tabla 3: Posiciones instantneas de los fasores sR, sL y sRL enun circuito RL paralelo

t Rs Ls RLs Descripcin

0 00 eqp

' 00 pi

i retrasa respecto e

4

T C' e min/max 0e

2 ver

CG

ver

CG

4

T

' i min/max 0i

es

decir 0q

Circuito RL paralelo

En un circuito RL paralelo equivalente a un circuito RL

serie tendremos exactamente la misma construccin

geomtrica (circunferencias, intersecciones), pero los

CPOs sL y sR son recorridos de modo distinto (distintas

relaciones de fase y distintas coincidencias). Esta es la

caracterstica que vamos a explorar ahora y cuyos


6/7

resultados se ilustran en la Figura 4 y se recogen en las

Tablas 2 y 3.

R

eeies

RR

** y

RLLs

L

Rjies

* son claramente

perpendiculares. Definiendo ahora PssR

aux

R2 y

PssRL

aux

RL2 vamos a ver que aux

RLs ,

aux

Rs y

Ls son

paralelos entre si. Como Laux

R

aux

RL sss bastarcomprobar que

aux

Rs y Ls son paralelos. Retomando

ahora la ecuacin (2) ponemos 0// Laux

RL

aux

Rssss

02Im * LR

sPs . El lector puede fcilmente

comprobar que esta igualdad se verifica. Estas relaciones

tienen una interpretacin grfica muy sencilla: los

extremos de los fasoresRL

s yR

s se encuentran sobre

una recta que pasa por el punto al tiempo que el fasor

Ls es paralelo a esta recta (vale decir tambin que el

segmentoLRL

ss es perpendicular a dicha recta). Estas

relaciones se muestran en la Figura 4.

Figura 4: Construccin Grfica de potencias instantneas paracircuitos RL serie y paralelo

Por no aumentar la complejidad del esquema no todos los

puntos recogidos en la Tabla 3 aparecen en la Figura 3.

Sin embargo todos pueden obtenerse fcilmente mediante

la mencionada construccin grfica (CG). Adems de las

indicadas existen otras relaciones importantes que el

lector interesado puede fcilmente encontrar; sealemospor ejemplo que ' (resp. ' ) corresponde tambin a la

interseccin del CPO sL (resp. sR) con la recta tangente al

CPO sRL por (resp. ).

4. Vectores espirales AC

Un vector espiral [7] es un nombre evocador para

designar a un fasor con exponente complejo el cual

permite tratar el clculo del rgimen transitorio de

circuitos AC exactamente del mismo modo que el clculo

del rgimen permanente. Aunque esta teora es

completamente general, aqu vamos a presentar

solamente el clculo para sistemas de 1 y 2 orden. La

idea encerrada por este mtodo queda bellamente captada

por el pasaje del mito de la caverna platnico citado al

principio: las cosas en este mundo (la realidad) parecen

complicadas porque son sombras, es decir, proyecciones

de objetos de otro mundo, ms simples.

Queremos integrar la siguiente ecuacin diferencial real

de segundo orden:

tFxxx oo cos222

(13)

con condiciones iniciales ox y ox , donde 0 .Podemos complexificar el problema definiendo: (1) la

variable compleja yjxz , tal que zx Re , dondey es una variable real de la que no vamos a ocuparnos y

(2) la constante compleja21 oo j .

Entonces puede fcilmente demostrarse que (13)

corresponde a la proyeccin real de la ecuacin

diferencial lineal (compleja) de primer orden:

tjeFzz 2 (14)

donde FF y cuya solucin general viene dada porla superposicin de la solucin de la ecuacin homognea

y de una solucin particular de la ecuacin completa:

tjt eBeAz conoo j

FB

2

222

(15)

en la que A es una constante compleja a determinar a

partir de las condiciones iniciales, es decir:

BAxo Re y BjAxo Re , donde tenemosen cuenta que los operadores proyeccin real y derivada

respecto del tiempo conmutan. La ecuacin (15) admite

una representacin grfica muy clara: el primer trminoes un fasor amortiguado, aperidico, que gira a la

velocidad angular21 od cayendo en espiral

hacia el origen. El segundo trmino es un fasor de

mdulo constante que gira con velocidad angular . En

caso de sobreamortiguamiento ( 1 ) d devieneimaginario puro y el vector espiral no girara.

Para resolver la ecuacin de primer orden:

tGxx cos21

(16)

podemos servirnos de las expresiones anteriores

poniendo 1 ,

1o y GjF

1 . Adems,

al ser en este caso real, la parte imaginaria de A que ha

quedado indeterminada, no influye en absoluto sobre z.

5. Propuesta de generalizacin para elrgimen transitorio. Ejemplos.

En esta seccin vamos a proponer y examinar

sumariamente una nueva definicin de )(tq (y por lo

tanto de )(ts ) vlida para el rgimen transitorio AC. Por


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un lado est claro que mientras el rgimen permanente

peridico no se instale la definicin que manejbamos

previamente: )4

()()(T

titutq no tiene sentido. Por

otro lado es evidente que la nueva definicin debe

reducirse a la primera en el rgimen peridico, el cual

todos los circuitos estables, amortiguados, acaban por

alcanzar tarde o temprano. Lo que nosotros proponemos

es escribir todava*

iuqjps peroreinterpretando ahora las cantidades complejas como

vectores espirales en el sentido de Yamamura. La parte

real de dicha ecuacin coincide naturalmente con el valor

del PAI, mientras que la parte imaginaria define el PRI.

Adems, en el rgimen peridico, permanente

recuperamos la definicin original.

Tomemos el ejemplo del circuito RL serie para el que

podemos escribir el vector espiral:

LjR

eEeAi

tjt

2

conR

L (17)

Adems disponemos de la condicin inicial

Z

EAio

2Re donde LjRZ , que

impone la continuidad de la corriente o dicho de forma

equivalente, la continuidad de )(tp . Queda claro

entonces que para sistemas de primer orden todava

disponemos de un grado de libertad (A2) para poder

garantizar la continuidad de )(tq . Si por ejemplo el

sistema parte del reposo en 0t podemos poner:

Z

EA

2

t

tj eeZ

Ei

2(18)

Por lo que acabamos de sealar debe quedar clarotambin que para sistemas de 2 orden no vamos a poder

garantizar en general la continuidad de )(tq . Este es un

aspecto que debe ser tratado con el mayor detalle y que

se presentar en otra publicacin. En la Figura 5

mostramos los vectores espirales de potencia transitorios

de la conexin del mismo circuito RL serie que se ha

estudiado en el rgimen permanente. Cabe destacar que

en 0t el sistema se encontraba desenergizado, por loque no puede cruzar el eje q inmediatamente. Para

cualquier combinacin de valores de los parmetros se

verifica que la rbita parte del origen del plano qp, esdecir hay continuidad de p y q.

6. Conclusiones

Se ha escrito y justificado una expresin para la potencia

reactiva instantnea en el rgimen AC permanente. Se ha

introducido la representacin fasorial de la potencia. Se

ha analizado la estructura de los diagramas de circuitos

de primer orden. Hemos recordado lo que son los

vectores espirales de Yamamura y por fin en base al

anlisis anterior hemos propuesto una expresin para la

potencia instantnea transitoria que resulta ser

extremadamente satisfactoria para circuitos de primer

orden. Su extensin a circuitos de orden superior debe ser

analizada con ms profundidad. Hemos introducido

herramientas grficas y analticas nuevas que creemos

pueden resultar tiles para el anlisis de circuitos en la

academia. Invitamos a todos los investigadores e

investigadoras a aplicarlas y a compartir sus experiencias.

Figura 5: Ejemplo de vectores espirales de potencia en el

rgimen transitorio AC de un circuito RL serie.

Referencias

[1] Charles Proteus Steinmetz, Lectures on Electrical

Engineering, Vol. I-III (Dover Phoenix Editions), Dover

Publications (2003)

[2] H. Akagi et al., Instantaneous reactive power

compensators comprising switching devices without

energy storage components, IEEE Trans. Ind. Appl., 20,625-630 (1984)

[3] J.L. Willems, A new interpretation of the Akagi-

Nabae power components of nonsinusoidal three-phasesituations, IEEE Trans. Instrum. Meas., 41, 523-527

(1992)

[4] Fang Zheng Peng et al, Generalized instantaneous

reactive power theory for three phase power systems,

IEEE Trans. Instrum. Meas., 45, 293-297 (1996)

[5] David Hestenes, New Foundations for Classical

Mechanics, Reidel Publishing Co, (1986)

[6] Jesus Fraile Mora, Electromagnetismo y circuitos

elctricos (3 ed.), Universidad Politcnica de Madrid(1995)

[7] Sakae Yamamura, Spiral Vector Theory of AC

Circuits and Machines (Monographs in Electrical andElectronic Engineering, No 26), Clarendon Pr (1992)