1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пензенский государственный университет» (ПГУ) Средневолжское математическое общество

Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных

и социальных проблем

Сборник статей X Международной научно-технической конференции

г. Пенза, Россия, 28−30 октября 2015 г.

П о д р е д а к ц и е й доктора физико-математических наук,

профессора И. В. Бойкова

Analytical and Numerical Methods of Modelling of Natural Science and Social Problems

(ANM-2015)

Proceedings of the Tenth International Conference ANM-2015

Penza, Russian Federation, 28−30 October, 2015

E d i t e d b y Ilya V. Boikov

Пенза Издательство ПГУ

2015

2

УДК 51 ББК 22.1 А64

А64

Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : сб. ст. X Междунар. науч.-техн. конф. (г. Пенза, Россия, 28−30 октяб-ря 2015 г.) / под ред. д-ра физ.-мат. наук, проф. И. В. Бойкова. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2015. – 164 с.

ISBN 978-5-906831-40-8

Отражены основные результаты работы X Международной научно-технической конференции, охватывающие следующие направления науч-ных исследований: уравнения математической физики; теория приближе-ния и кубатурные формулы; численные методы; математические модели экономики, экологии, демографии, социальных наук; математические мо-дели в физике, нанотехнике и нанобиологии; нейроматематика и нейро-компьютеры; информационные технологии в образовании.

УДК 51 ББК 21.1

ISBN 978-5-906831-40-8 © Пензенский государственный

университет, 2015

3

1. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКО ФИЗИКИ

INVESTIGATION OF A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR AN EQUATION OF MOTION OF A HOMOGENEOUS

BAR WITH PERIODIC CONDITIONS

E. I. Azizbayov, Y. T. Mehraliyev

Baku State University, Baku, Azerbaijan

E-mail: eazizbayov@mail.ru, yashar_aze@mail.ru

Introduction

The non-local problems are the problems wherein instead of giving the values of the solution or its derivatives on the fixed part of the boundary, the relation of these values with the values of the same functions on another inner or boundary manifolds is given. Theory of non-local boundary value prob-lems is important in itself as a section of general theory of boundary value problems for partial equations and it is important as a section of mathematics that has numerous applications in mechanics, physics, biology and other natu-ral science disciplines.

The more general time non-local conditions were considered were con-sidered on the papers of A.A.Kerefov, J.Chabrowsky [1], A.I.Kozhanov [2], E.I.Azizbayov, Y.T.Mehraliyev [3] and others.

D.V.Kostin [4], Yu.A.Mitropolsky and B.I.Moiseenkov [5] and others have situated oscillation and wave motions of an elastic bar on an elastic foundation.

The simplest non-linear model of motion of a homogeneous bar is de-scribed by the equation

2 4 23

2 4 20

w w wk w w

t x x

∂ ∂ ∂+ + + α + =∂ ∂ ∂

,

where w is bar’s deflection (after displacement of the middle line points of an elastic bar along the axis x ). Note that the similar equation arises in the theo-ry of crystals.

Problem statement and its reduction to an integral equation.

For the equation [4]

3( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0tt xxxx xxu x t u x t u x t u x t u x t+ +β + α + = (1)

4

in the domain ( , ) :0 1,0 TD x t x t T= ≤ ≤ ≤ ≤ we consider a problem under ordinary periodic boundary conditions

(0, ) (1, )u t u t= , (0, ) (1, )x xu t u t= ,

(0, ) (1, )xx xxu t u t= , (0, ) (1, )xxx xxxu t u t= (0 )t T≤ ≤ (2)

and non-local boundary conditions

( ,0) ( , ) ( )u x u x T x+ δ = ϕ , ( ,0) ( , ) ( )t tu x u x T x+ δ = ψ (0 1)x≤ ≤ (3)

where 0β > , 0α > , δ are the given numbers, moreover 4β < α , ( )xϕ , ( )xψ are the given functions, ( , )u x t is a desired function.

Definition. Under the classic solution of problem (1)-(3) we understand the function ( , )u x t , continuous in the closed domain TD together with all its derivatives contained in equation (1), and satisfying all the conditions (1)-(3) in the ordinary sense.

It is known [6] that the system

1, 1cos xλ , 1sin xλ , ... , cos k xλ , sin k xλ ,...

is a basis in 2 (0,1)L , where 2k kλ = π ( 1,2, )k = . Then it is obvious that each classical solution ( , )u x t of problem (1)-(3)

has the form:

1 20 1

( , ) ( )cos ( )sin ( 2 )k k k k kk k

u x t u t x u t x k∞ ∞

= == λ + λ λ = π , (4)

where 1

100

( ) ( , ) ,u t u x t dx= 1

10

( ) 2 ( , )cos ,k ku t u x t x dx= λ1

20

( ) 2 ( , )sink ku t u x t x dx= λ

( 1,2, ).k =

Then, applying the formal scheme of the Fourier method, from (1) и (3) we have:

10 10 10( ) ( ) ( ; )u t u t F t u′′ + α = (0 )t T≤ ≤ , (5)

4 2( ) ( ) ( ) ( ; )ik k k ik iku t u t F t u′′ + λ −βλ + α = (0 ; 1,2; 1,2, )t T i k≤ ≤ = = (6)

10 10 10(0) ( )u u T+ δ = ϕ , 10 10 10(0) ( )u u T′ ′+ δ = ψ , (7)

(0) ( )ik ik iku u T+ δ = ϕ , (0) ( )ik ik iku u T′ ′+ δ = ψ , ( 1,2; 1,2, )i k= = (8)

where 1

310

0

( ; ) ( , )F t u u x t dx= − , 1

100

( )x dxϕ = ϕ , 1

100

( )x dxψ = ψ ,

5

13

10

( ; ) 2 ( , )cosk kF t u u x t x dx= − λ ,

1

10

2 ( )cosk kx x dxϕ = ϕ λ , 1

10

2 ( )cosk kx x dxψ = ψ λ ,

13

20

( ; ) 2 ( , )sink kF t u u x t x dx= − λ ,

1

20

2 ( )sink kx x dxϕ = ϕ λ , 1

20

2 ( )sink kx x dxψ = ψ λ .

It is obvious that 2 2

4 2 2

2 4k k kβ β λ −βλ + α = λ − + α−

. Let assume

2 4β < α . Then, by solving problem (5)-(8) we find:

10 0 0 0 100 0

1( ) (cos cos ( ))

( )u t t T t

T= β β + δ β − ϕ +β ρ

0 0 10(sin sin ( ))t T t+ β − δ β − ψ −

10 0 00

( ; )(sin ( ) sin ( ))T

F u T t t d−δ τ β + − τ + δ β − τ τ +

10 00 0

1( ; )sin ( ) ,

t

F u t d+ τ β − τ τβ (9)

1( ) (cos cos ( ))

( )ik k k k ikk k

u t t T tT

= β β + δ β − γ +β ρ

(sin sin ( ))k k ikt T t+ β − δ β − ψ −

0

( ; )(sin ( ) sin ( ))T

ik k kF u T t t d−δ τ β + − τ + δ β − τ τ +

0

1( ; )sin ( ) ( 1,2; 1,2, )

t

ik kk

F u t d i k+ τ β − τ τ = =β , (10)

where

4 2k k kβ = λ −βλ + α , 2( ) 1 2 cosk kT Tρ = + δ β + δ , 0,1,2,k = .

6

After substituting the expressions 1 ( )ku t ( 0,1,2, )k = and 2 ( )ku t ( 1,2, )k = into (4), we get:

0 0 0 100 0

1( , ) (cos cos ( ))

( )u x t t T t

T= β β + δ β − ϕ +β ρ

0 0 10(sin sin ( ))t T t+ β − δ β − ψ −

10 0 00

( ; )(sin ( ) sin ( ))T

F u T t t d−δ τ β + − τ + δ β − τ τ +

10 00 0

1( ; )sin ( )

t

F u t d+ τ β − τ τ +β

[ 11

1(cos cos ( ))

( ) k k k kk kk

t T tT

∞

=

+ β β + δ β − ϕ +β ρ

1(sin sin ( ))k k kt T t+ β + δ β − ψ −

10

( ; )(sin ( ) sin ( ))T

k k kF u T t t d

−δ τ β + − τ + δ β − τ τ +

10

1( ; )sin ( ) cos

t

k k kk

F u t d x+ τ β − τ τ λ +β

[ 21

1(cos cos ( ))

( ) k k k kk kk

t T tT

∞

=

+ β β + δ β − ϕ +β ρ

2(sin sin ( ))k k kt T t+ β + δ β − ψ −

20

( ; )(sin ( ) sin ( ))T

k k kF u T t t d

−δ τ β + − τ + δ β − τ τ +

20

1( ; )sin ( ) sin

t

k k kk

F u t d x+ τ β − τ τ λβ

. (11)

Thus, the solution of problems (1)-(3) is reduced to the solution of inte-gral equation (11) with respect to the unknown function ( , )u x t .

Similarly to [3], it is possible to prove the following lemma. Lemma. If ( , )u x t is any classical solution of problem (1)-(3), the func-

tions

7

1

100

( ) ( , )u t u x t dx= ,

1

10

( ) 2 ( , )cosk ku t u x t x dx= λ , 1

20

( ) 2 ( , )sink ku t u x t x dx= λ ( 1,2, )k = .

satisfy the systems (9), (10) in [0, ]T . From the lemma indicated above it follows that if

1

100

( ) ( , ) ,u t u x t dx= 1

10

( ) 2 ( , )cos ,k ku t u x t xdx= λ1

20

( ) 2 ( , )sink ku t u x t xdx= λ

( 1,2, )k =

is the solution of systems (9) , (10) then the function

1 20 1

( , ) ( )cos ( )sin ( 2 )k k k k kk k

u x t u t x u t x k∞ ∞

= == λ + λ λ = π

is the solution of (11). The following corollary follows from this lemma Remark. Suppose that equation (11) has a unique solution. Then prob-

lem (1)-(3) may have at most one solution, i.e. of the solution of problem (1)-(3) exists it is unique.

Now, assume that the data of problem (1)-(3) satisfy the following con-ditions:

a) 4( ) [0,1]x Cϕ ∈ , (5)2( ) (0,1)x Lϕ ∈ , (0) (1)ϕ =ϕ , (0) (1)′ ′ϕ = ϕ ,

(0) (1)′′ ′′ϕ = ϕ , (3) (3)(0) (1)ϕ = ϕ , (4) (4)(0) (1);ϕ = ϕ

b) 2( ) [0,1],x Cψ ∈ 2( ) (0,1)x L′′′ψ ∈ , (0) (1)ψ = ψ , (0) (1)′ ′ψ =ψ , (0) (1)′′ ′′ψ =ψ .

Then due to [3], it is possible to prove the following Theorem. Let conditions a), b) and 1δ ≠ ± , 4β < α be fulfilled. Then

for rather small values of T , problem (1)-(3) has a unique classical solution.

References

1. Kerefov, A. A. Non-local boundary value problems for parabolic equa-tions / A. A. Kerefov // Different. Uravneniya. – 1979. – Vol. 5, 1. – P. 78–78 (in Russian).

2. Kozhanov, A. I. A time non-local boundary value problem for linear para-bolic equations // Sibirskiy Zhurnal Industrialnoy Matematiki. – 2004. – Vol. VII, 1 (17). – P. 51–60 (in Russian).

3. Azizbayov, E. I. A time-nonlocal boundary value problem for the equation of motion of a homogeneous bar / E. I. Azizbayov, Y. T. Mehraliyev // Bulletin of

8

the Kyiv National University, Series: mathematics and mechanics. – Kiev, 2012. – Issue 27. – P. 114–121.

4. Kostin, D. V. On one scheme of analysis of two-mode deflections of weakly inhomogeneous elastic bar / D. V. Kostin // Doklady Akademii Nauk. – 2008. – Vol. 418, 3. – P. 295–299 (in Russian).

5. Mitropolsky, Yu. O. Дослiдження коливань в синстемах з розподiле-ними параметрами (асимптотичнi методи) / Yu. O. Mitropolsky, B. I. Mo- seenkov. – Кuiв : Видавництво Киiв. ун-ту, 1961. – 123 п. (in Ukraine).

6. Budak, B. M. A Collection of Problems in Mathematical Physics / B. M. Budak, A. A. Samarskii, A. N. Tikhonov. – M. : Nauka, 1972 (in Russian).

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ

И. В. Бойков, А. И. Бойкова, М. А. Сёмов

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

E-mail: i.v.boykov@gmail.com

1. Введение

Композитные матрицы и, в частности, многослойные пластины находят широкое применение в современной технике, особенно в авиастроении, кораблестроении, космической технике, благодаря соче-танию легкости, высокой жесткости и высокой прочности.

Математические модели, описывающие поведение многослойных пластин под нагрузкой, предложены в [1]–[6]. Эти модели представлены системами уравнений в частных производных. Аналитические методы решения этих систем в общем виде неизвестны и поэтому построение численных методов является актуальной задачей. Среди этих методов наибольшей популярностью пользуется метод граничных интегральных уравнений благодаря эффективной технике вычислений, а также тому обстоятельству , что при решении граничных задач математической фи-зики он позволяет снизить размерность исходной задачи.

Для применения метода граничных элементов требуется распола-гать фундаментальным решением исходной системы уравнений в част-ных производных.

Нахождению фундаментальных решений посвящено большое чис-ло работ. Ganowicz [1] ищет фундаментальное решение для трехслойной изотропной пластины методом Фурье–преобразования. Ventsel [6, 7] ищет фундаментальное решение для тонкой изотропной трехслойной пласти-

9

ны, сведя исходную систему уравнений в частных производных к бигар-моническому уравнению и уравнению Гордона–Клейна. Wang and Huang [8] и Wang [9] для нахождения фундаментального решения используют метод Хермандера [10] и метод волновой декомпозиции на плоскости [11]. Для нахождения фундаментальных решений Boykov et al [12] ввели новый класс гиперсингулярных интегралов определенных в 2.R

Для приближенного вычисления введенных гиперсингулярных ин-тегралов в работах [12–14] предложены кубатурные формулы, реализа-ция которых требует существенных предварительных преобразований.

В данной работе фундаментальные решения уравнений в частных производных, определенных в 3,R ищутся в виде гиперсингулярных ин-тегралов.

Частным случаем этих результатов являются приближенные мето-ды нахождения фундаментальных решений для систем уравнений, опи-сывающих статику многослойных пластин.

2. Фундаментальное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим следующую систему обыкновенных дифференциаль-ных уравнений

=1

( ) = ( ), = 1,2, , ,n

ij j ij

da u t f t i n

dt

(2.1)

где 1

1 1 01

= ,m m

m mij ij ij ij ijm m

d d d da a a a a

dt dtdt dt

−−

− + + ⋅+ +

1= ( ( ), , ( ))TnU u t u t −

вектор искомых решений, 1= ( ( ), , ( ))TnF f t f t − вектор правых частей.

Введем матрицу

= , , = 1,2, , ,ijd d

A a i j ndt dt

и представим систему (2.1) в следующем виде

= ,d

A U Fdt

(2.2)

где 1= ( ( ), , ( )) ,TnU u t u t 1= ( ( ), , ( )) .T

nF f t f t Поставим в соответствие системе дифференциальных уравнений

(2.1) систему алгебраических уравнений

( ) = ,A x Z G (2.3)

где

10

( ) = ( ) ,ijA x a x , = 1,2, , ,i j n

1 1 0( ) = ,m m m m iij ij ij ij ija x a x a x a x a− −+ + + + , = 1,2, , ,i j n

1= ( ( ), , ( )) ,TnZ z x z x 1= ( ( ), , ( )) .T

nG g x g x

Дальнейшее изложение основано на изоморфизме между алгеб-раическими полиномами ( )ija x и дифференциальными операторами

.ijd

adt

Обозначим через ( )xΔ определитель матрицы ( ),A x а через

( )B x ее алгебраическое дополнение. Очевидно, ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ,B x A x A x B x x EΔ E − единичная матрица. Из соответствия между алгебраическими полиномами и дифферен-

циальными операторами следует, что

= = .d d d d d

B A A B Edx dx dx dx dx

Δ

Если функции ( ),iv t = 1,2, , ,i n являются решениями уравнений

( ) = ( ), = 1,2, , ,i id

v t f t i ndx

Δ

то функции ( ),iu t = 1,2, , ,i n

= ,d

U B Vdx

где 1= ( ( ), , ( )) ,TnU B u t u t 1= ( , , ) ,T

nV v v являются решениями урав-нения (2.2).

В самом деле,

1

1

2= = = ... .

n

n

dv

dtf

d d d d dA U A B V EV v

dt dt dt dt dtf

dv

dt

Δ Δ Δ = Δ

Таким образом, для нахождения частного решения системы урав-нений (2.1) достаточно решить систему уравнений

= , = 1,2, , ,i id

v f i ndt

Δ

(2.4)

11

в которой уравнения линейно независимы. Для этого найдем фундаментальное решение уравнения

*( ) = ( ),d

v t tdt

Δ δ

(2.5)

где ( )tδ − дельта–функция. Применяя к (2.5) преобразование Фурье, приходим к уравнению

*( ) ( ) = 1.VΔ ω ω

Отсюда

*( ) = 1/ ( )V ω Δ ω

и, применяя обратное преобразование Фурье, имеем

* 1( ) = .

(2 ) ( )

i tev t d

∞ ω

−∞

ωπ Δ ω (2.6)

Так как функция ( )Δ ω может обращаться в нуль выше первого порядка на числовой оси, то последний интеграл следует рассматривать как гиперсингулярный.

Покажем, что функция *( ),v t определяемая формулой (2.6), является фундаментальным решением уравнения (2.5).

Применяя к выражению (2.6) оператор ,d

dt Δ

имеем

* 1 1 ( )= ( ) = =

2 ( ) 2 ( )

i t i td d e ev d d

dt dt

∞ ∞ω ω

−∞ −∞

Δ Δ ω ω π Δ ω π Δ ω

1 ( )

= = = ( ).2 ( )

i ti te

d e d t∞ ∞ω

ω

−∞ −∞

Δ ω ω ω δπ Δ ω (2.7)

Эта формула справедлива в предположении, что оператор ( )/d dtΔ коммутирует с оператором интегрирования.

Покажем, что формула (2.7) справедлива, если функция ( )Δ ω обращается в нуль целого порядка в конечном числе изолированных точек.

Для определенности предположим, что в точке = 0ω функция ( )Δ ω имеет нуль порядка p и этот нуль единственный.

Функцию ( )Δ ω можно представить в виде 1( ) = ( ),pΔ ω ω Δ ω где

1( ) 0Δ ω ≠ на ( , ).−∞ ∞

12

Известны следующие утверждения.

Лемма 1 [15]. Пусть ( ) (1),nWφ∈ ,a b − действительные числа ( < )a b и пусть 0 < ,m n≤ ( 1).n ≥

Тогда

( ) ( )1

1=0

( ) ( 1)! ( ) ( )=

!( ) ( ) ( )

b k km

n n k n kka

n k a bd

nt a t a t

−

+ − −

φ τ − − φ φτ − + τ − − −

( )

1

( )! ( ), < < .

! ( )

b m

n ma

n md a t b

n t − +− φ τ+ τ

τ − (2/8)

Следствие. Пусть функция φ вместе с производными до n-1-го порядка ограничена на числовой оси.

Тогда

1

( )=

( )nd

t

∞

+−∞

φ τ ττ −

( )1 ( ), < < .

!

nd t

n t

−∞

−∞

φ τ τ −∞ ∞τ − (2/9)

Лемма 2 [16]. Если ( )φ τ − непрерывная дифференцируемая функция и точка t не совпадает с концами гладкого контура L (a и b ), то справедлива следующая формула интегрирования по частям:

( )= ( ) ( ) ln( ) ( ) ln( ) ( )( ) .

L

d i t b b t a a t t dt

φ τ ′τ πφ + φ − − φ − − φ τ τ − ττ −

Так как ( )Δ ω является полиномом, то из представления

1

1( , )\[ 1,1] 1

=( ) ( ) ( )

i t i t i t

p

e d e d e d∞ ω ω ω

−∞ −∞ ∞ − −

ω ω ω+Δ ω Δ ω ω Δ ω

и лемм 1 и 2 следует коммутативность оператора ( )/d dtΔ и оператора

интегрирования. Следовательно, формула (2.7) справедлива. Найдем регуляризации гиперсингулярного интеграла

( ) = ,( )

i tev t d

∞ ω

−∞

ωΔ ω не нарушающие свойства фундаментальности

решения.

Располагая фундаментальным решением *( )v t системы уравнений (2.1), получаем частные решения этой системы по формуле

( )1( ) = ( ) =

2 ( )

i t

j je

u t f d∞ ∞ ω −τ

−∞ −∞

τ τ π Δ ω

13

1= ( ) =

2 ( )

i ti

je

e f d d∞ ∞ω

− ωτ

−∞ −∞

τ τ ω π Δ ω

1

( ) .2 ( )

i t

je

F d∞ ω

−∞

ω ωπ Δ ω

Возникают следующие задачи, связанные с реализацией гиперсин-гулярных интегралов: 1) построить эффективные методы вычисления гиперсингулярных интегралов вида

1 ( )

2 ( )

i tF ed

∞ ω

−∞

ω ωπ Δ ω , (2/9)

2) построить равносильную регуляризацию гиперсингулярных интегралов вида (2.9).

Выше показано, что функции

( )1

( ) = , = 1,2,..., ,2 ( )

i tj

jF e

u t d j nω∞

−∞

ωω

π Δ ω (2/10)

являются решением системы уравнений (2.1). Однако, для вычисления приведенных интегралов, нужно провести регуляризацию гиперсингу-лярных интегралов. Известно [11], что различные методы регуляризации отличаются друг от друга на константы. Таким образом, непосредствен-ное применение различных методов вычисления гиперсингулярных ин-тегралов может привести к различным результатам, разнящимся друг от друга на константу. Кроме того, может быть получена функция, не яв-ляющаяся фундаментальным решением.

Под равносильной регуляризацией понимается следующее. Пусть интегралы (2.10) вычисляются по алгоритму регуляризации,

который обозначим через

( , )

( )1, = 1,2,...,

2 ( )

i tjF e

d j nω

−∞ ∞

ωω

π Δ ω

Будем говорить, что этот алгоритм осуществляет равносильную регуляризацию, если

( , )

( )1 1= ( ) .

2 ( ) 2

i tj i t

jF ed

d F e ddt

ω ∞ω

−∞ ∞ −∞

ω Δ ω ω ω π Δ ω π

Тогда погрешность решения системы уравнений (2.1) определяет-ся только вычислителньой погрешностью.

Приведем один пример равносильной регуляризации.

Пусть ( ) = .pΔ ω ω Обозначим через ( )pT f отрезок ряда Тейлора

14

( 1)1(0) (0)

( ) = (0) .1! ( 1)!

pp

pf f

T f f t tp

−−′

+ + +−

Тогда

( )( ( ))1=

2 ( )

i t i tj pF e T ed

ddt

ω ω∞

−∞

ω − Δ ω π Δ ω

( )1= ( ).

2

i tj

jF e

d f tω∞

−∞

ωω

π Δω

Таким образом, вычисление интеграла

( )1

2

i tjF e

dω∞

−∞

ωω

π Δω

по формуле

( )( ( ))1

2 ( )

i t i tj pF e T e

dω ω∞

−∞

ω −ω

π Δ ω

является алгоритмом равносильной регуляризации. Вопрос о построении алгоритмов равносильной регуляризации в

общем случае остается открытым.

3. Фундаментальное решение системы уравнений в частных производных

Рассмотрим следующую систему уравнений в частных производных

3

1 2 3 1 2 31 2 3=1

, , ( , , ) = ( , , ), = 1,2,3,ij j ij

a u x x x f x x x ix x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(3.1)

где 1 2 3= ( , , )TU u u u − вектор искомых решений, 1 2 2= ( , , )TF f f f − вектор правых частей,

2 2200 110

21 2 3 1 21

, , =ij ij ija a ax x x x xx

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

2 2011 002

22 3 3

ij ija ax x x

∂ ∂+ + + +∂ ∂ ∂

100 001 000

1 3.ij ij ija a a

x x

∂ ∂+ + +∂ ∂

Введем матрицу

1 2 3 1 2 3, , = , , , , = 1,2,3,ijA a i j

x x x x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

и представим систему (3.1) в следующем виде

15

1 2 3

, , = ,A U Fx x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(3.3)

где 1 2 3= ( , , ) ,TU u u u 1 2 3= ( , , ) .TF f f f Поставим в соответствие системе дифференциальных уравнений

(3.2) систему алгебраических уравнений

1 2 3( , , ) = ,A x x x Z G (3.3)

где

1 2 3 1 2 3( , , ) = ( , , ),ijA x x x a x x x , = 1,2,3,i j и

200 2 110 011 002 21 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) =ij ij ij ij ija x x x a x a x x a x x a x+ + + + +

100 001 001 3 , , = 1,2,3,ij ij ija x a x a i j+ + + +

1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3= ( ( , , )), ( , , ), ( , , )) ,TZ z x x x z x x x z x x x

1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3= ( ( , , ), ( , , ) ( , , )) .TG g x x x g x x x g x x x

Дальнейшее изложение основано на изоморфизме между алгеб-раическими полиномами 1 2 3( , , )ija x x x и дифференциальными операто-

рами 1 2 3

, , .ijax x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Обозначим через 1 2 3( , , )x x xΔ определитель

матрицы 1 2 3( , , ),A x x x а через 1 2 3( , , )B x x x ее алгебраическое дополнение.

Очевидно, 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) = ( , , ) ,B x x x A x x x x x x EΔ где E − единичная матрица.

Из соответствия между полиномами и дифференциальными операторами следует, что

1 2 3 1 2 3, , , , =B A

x x x x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , = , , .A B E

x x x x x x x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= Δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Если функции 1 2 3( , , ),iv x x x = 1,2,3,i являются решениями уравнений

1 2 3 1 2 31 2 3

, , ( , , ) = ( , , ), = 1,2,3,i iv x x x f x x x ix x x

∂ ∂ ∂Δ ∂ ∂ ∂

то функции 1 2 3( , , ),iu x x x = 1,2,3,i

16

1 2 3= , , ,U B V

x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

где

1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3= ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) ,TU B u x x x u x x x u x x x

1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3= ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) ,TV v x x x v x x x v x x x

являются решением уравнения (3.2). В самом деле,

1 2 3 1 2 3 1 2 3, , = , , , , =A U A B V

x x x x x x x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 2 3= , , =EV

x x x

∂ ∂ ∂Δ ∂ ∂ ∂

1 2 31

21 2 3

3

1 2 3

, , 00

0 , , 0 =

00 , ,

x x xv

vx x x

v

x x x

∂ ∂ ∂Δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Δ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ Δ ∂ ∂ ∂

11 2 3

21 2 3

31 2 3

, ,

= , , =

, ,

vx x x

vx x x

vx x x

∂ ∂ ∂Δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Δ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ Δ ∂ ∂ ∂

1

2

3

.

f

f

f

Таким образом, для нахождения частного решения системы (3.1) достаточно решить уравнение

1 2 3

, , = .v fx x x

∂ ∂ ∂Δ ∂ ∂ ∂ (3.4)

Для этого найдем фундаментальное решение следующего уравнения

*1 2 3 1 2 3

1 2 3, , ( , , ) = ( , , ),v x x x x x x

x x x

∂ ∂ ∂Δ δ ∂ ∂ ∂ (3.5)

где 1 2 3( , , )x x xδ − дельта–функция.

17

Применяя к (3.5) преобразование Фурье, получаем уравнение

*1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) = 1.VΔ ω ω ω ω ω ω

Отсюда

*1 2 3 1 2 3( , , ) = 1/ ( , , )V ω ω ω Δ ω ω ω

и, применяя обратное преобразование Фурье имеем

( 1 1 2 2 3 3

*1 2 3 1 2 33

1 2 3

)1

( , , ) = .( , , )(2 )

i x x xe

v x x x d d d∞ ∞ ∞ ω

−∞−∞−∞

+ω +ωω ω ω

Δ ω ω ωπ (3.6)

Так как функция 1 2 3( , , )Δ ω ω ω в области 3E может иметь особен-ности выше третьего порядка, то последний интеграл следует рас-сматривать как гиперсингулярный.

Приведем, следуя [12], определения трехмерных гиперсингуляр-ных интегралов.

Пусть функция 1 2 3( , , ),γ ω ω ω определяемая уравнением

1 2 3( , , ) = 0,Δ ω ω ω имеет нули в области 3.R Рассмотрим различные случаи, которые могут возникнуть при

этом и для которых ниже будет дано определение гиперсингулярных интегралов:

1) функция 1 2 3( , , )γ ω ω ω обращается в нуль в конечном или

счетном множестве изолированных точек 1 1 11 2 3 1 2 3( , , ), , ( , , ), ;n n nω ω ω ω ω ω

2) функция 1 2 3( , , )γ ω ω ω обращается в нуль в конечном или счетном множестве ограниченных кусочно-гладких кривых;

3) функция 1 2 3( , , )γ ω ω ω обращается в нуль в конечном или счетном множестве областей, ограниченных поверхностями Ляпунова.

Отметим, что случаи, когда кривые или поверхности имеют бесконечную протяженность, ниже не рассматриваются.

Пусть кривая 1 2 3( , , )γ ω ω ω имеет конечное число нулей

1 2 3( , , ),k k kω ω ω = 1,2, ,k n порядка не ниже третьего.

Обозначим через kΩ шар радиуса ε с центром в точке

1 2 3( , , ),k k kω ω ω = 1,2, , .k n Обозначим через Ω объединение шаров ,kΩ = 1,2, , .k n

Определение 1. Пусть 1 2 3( , , )φ ω ω ω − функция, имеющая в

пространстве 3R ограниченные производные до p − го порядка, где p −

наибольший порядок нулей в точках 1 2 3( , , ).k k kω ω ω Гиперсингулярный интеграл

18

1 2 31 2 3

1 2 33

( , , )

( , , )R

d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ω

определяется формулой

1 2 31 2 3

1 2 33

( , , )=

( , , )R

d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ω

1 2 31 2 3 1

0 1 2 33

( , , ) ( )= ,lim

( , , )\p

R

Bd d d −ε→

φ ω ω ω ε ω ω ω − Δ ω ω ω εΩ

где ( )B ε − функция, удовлетворяющая следующим условиям: 1) ( )B ε имеет непрерывные производные до 1p − порядка, 2) предел существует. Замечание. Определение гиперсингулярного интеграла основано

на следующем подходе: вычисляется по частям интеграл

1 2 31 2 3

1 2 33

( , , )

( , , )\R

d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ωΩ

и «отбрасываются» слагаемые

стремящиеся к бесконечности при 0.ε→ Пусть функция 1 2 3( , , )γ ω ω ω имеет счетное число нулей

1 2 3( , , ),k k kω ω ω = 1,2, , ...,k n целого порядка не ниже третьего, причем наивысший порядок нуля равен .p

Обозначим через kΩ шар радиуса / 2kε с центром в точке

1 2 3( , , ),k k kω ω ω = 1,2, , .k n Пусть =1= .k kU∞Ω Ω Определение 2. Гиперсингулярный интеграл

1 2 31 2 3

1 2 33

( , , )

( , , )R

d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ω

определяется формулой

1 2 31 2 3

1 2 33

( , , )=

( , , )R

d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ω

1 2 31 2 3 1

0 1 2 33

( , , ) ( )= ,lim

( , , )\p

R

Bd d d −ε→

φ ω ω ω ε ω ω ω − Δ ω ω ω εΩ

где =1

( ) = ( )kk

B B∞

ε ω функция, удовлетворяющая следующим условиям:

19

1) ( )B ε имеет непрерывные производные до 1p − порядка, 2) предел существует. Пусть функция 1 2 3( , , )γ ω ω ω обращается в нуль p -го порядка на

конечном числе кусочно-непрерывных кривых ,kl = 1,2, , .k n Будем считать, что кривые ,kl = 1,2, ,k n ограниченные.

Обозначим через 3k RΩ ∈ область, внутри которой расположена кривая ,kl расстояние от которой до границы области kΩ не превосходит ,ε = 1,2,k

Пусть =1= .nk kUΩ Ω

Определение 3. Гиперсингулярный интеграл

1 2 31 2 3

1 2 33

( , , )

( , , )R

d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ω

определяется формулой

1 2 31 2 3

1 2 33

( , , )=

( , , )R

d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ω

1 2 31 2 3 1

0 1 2 33

( , , ) ( )= ,lim

( , , )\p

R

Bd d d −ε→

φ ω ω ω ε ω ω ω − Δ ω ω ω εΩ

где ( )B ε − функция, удовлетворяющая следующим условиям: 1) ( )B ε имеет непрерывные производные до 1p − порядка, 2) предел существует. Пусть функция 1 2 3( , , )γ ω ω ω обращается в нуль p –го порядка на

конечном числе поверхностей Ляпунова ,kG = 1,2, , .k n Обозначим через kΩ область в 3R внутри которой расположена

поверхность ,kG и такую, что расстояние от границы области kΩ до поверхности kG не превосходит ε для всех = 1,2, , .k n

Пусть =1= .nk kUΩ Ω

Определение 4. Гиперсингулярный интеграл

1 2 31 2 3

1 2 33

( , , )

( , , )R

d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ω

определяется формулой

1 2 31 2 3

1 2 33

( , , )=

( , , )R

d d dφ ω ω ω ω ω ωΔ ω ω ω

20

1 2 31 2 3 1

0 1 2 33

( , , ) ( )= ,lim

( , , )\p

R

Bd d d −ε→

φ ω ω ω ε ω ω ω − Δ ω ω ω εΩ

где ( )B ε − функция, удовлетворяющая следующим условиям: 1) ( )B ε имеет непрерывные производные до 1p − порядка в

окрестности нуля; 2) предел существует. Замечание. Аналогичным образом определяются гиперсингуляр-

ные интегралы с нецелыми особенностями. Как и в одномерном случае возникает вопрос доказательства спра-

ведливости представления фундаментального решения в виде интеграла (3.6) и вычисления интеграла (3.6). В случае нецелых особенностей возможность коммутации операторов дифференцирования и вычисления гиперсингулярных интегралов доказана в [14]. Следовательно, в этом случае интеграл (3.6) является фундаментальным решением. В случае целых особенностей необходимо дополнительное исследование. Алго-ритм равносильной регуляризации построен в случае существования единственной особой точки 1 2 3( , , ).ω ω ω В остальных случаях вопрос остается открытым.

Для вычисления интегралов вида (3.6) авторами получены эффективные кубатурные формулы, которые, в большинстве своем, не осуществляют равносильную регуляризацию.

Список литературы

1. Ganowicz, R. Singular solutions in the general theory of three-layer plates / R. Ganowicz // Mech. Teoret. Stos. – 1967. – V. 3, 5. – P. 293–307.

2. Allen, H. G. Analysis and Design of Structural Sandwich Panels / H. G. Allen. – London : Pergamon Press, 1969.

3. Лукасевич, С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках / С. Лу-касевич. – М. : Мир, 1982.

4. Raddy, J. N. Mechanics of laminated composite plates: theory and analysis / J. N. Raddy. – Boca Raton. FL : CRC Press, 1997.

5. Vilson, J. R. The Behavior of Sandwich Structures of Isotropic and Com-posite Materials, Technomic Publishing Company / J. R. Vilson. – Inc., Lankaster, Basel, 1999.

6. Ventsel, E. S. Thin Plates and Shells / E. S. Ventsel, T. Krauthammer. – N. Y. : Marsel Dekker, 2001.

7. Ventsel, E. S. A boundary element method applied to sandwich plates of arbitrary plan form / E. S. Ventsel // Eng. Anal. Bound. Elem. – 2003. – V. 27. – P. 597–601.

8. Wang, J. Boundary element method for orthotropic thick plates / J. Wang, M. Huang // Acta Mech. Sin. – 1991. – V. 7. – P. 258–266.

9. Wang, J. The fundamental solution of orthotropic shallw shells / J. Wang // Acta Mech. – 1992. – V. 94. – P. 113–121.

21

10. Hormander, L. Linear partial differential operators / L. Hormander. – Berlin : Springer, 1976.

11 Гельфанд, И. М. Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. – Вып. 1. – М. : ГИФМЛ, 1956. – 439 с.

12. Boykov, I. V. Fundamental Solutions for Thick Sandwich Plate / I. V. Boykov, A. I. Boykova, E. S. Ventsel // Engineering Analisis and Boundary Elements. – 2004. – V. 28. – P. 1437–1444.

13. Boykov, I. V. An approximation methods for evaluating hypersingular integrals / I. V. Boykov, A. I. Boykova, E. S. Ventsel // Engineering analysis with Boundary elements. – 2006. – V. 30. – P. 799–807.

14. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления нового класса ги-персингулярных интегралов и их приложения / И. В. Бойков, М. А. Семов // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и соци-альных проблем : сб. ст. VI Междунар. науч.-техн. конф. (21–25 мая 2012 г.). – Пенза : Приволжский Дом знаний, 2012. – С. 4–12.

15. Mandal, B. N. Applied Singular Integral Equations / B. N. Mandal, A. Chalrabarti. – CRC Press. Science Publishers. Enfield. New Hampshire. USA, 2011. – 264 p.

16. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М. : ГИФМЛ, 1963. – 639 с.

17. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными про-изводными гиперболического типа / Ж. Адамар. – М. : Наука, 1978. – 351 с.

КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК

В. И. Корзюк, И. С. Козловская

Белорусский государственный университет, Минск, Беларусь

E-mail: korzyuk@bsu.by, Kozlovskaja@.bsu.by Решение задач методом характеристик имеет ряд преимуществ в

сравнении с другими методами исследования. Для гиперболических уравнений он позволяет находить решения в аналитическом виде [1-11].

Под классическим решением понимается функция, которая опре-делена во всех точках замыкания заданной области, и которая имеет все классические производные, входящие в уравнение и условия задачи, определяемые через предельные значения разностных соотношений функции или ее соответствующих производных и приращения аргумента.

Численные методы в виде разностных схем, конечных элементов при решении граничных и других задач для дифференциальных уравне-

22

ний, как правило, базируются на предположениях существования клас-сических решений этих задач. Без правильного выбора функций в усло-виях и уравнении, удовлетворяющих так называемым необходимым и достаточным условиям согласования, не будет классического решения рассматриваемой задачи, какие не были бы гладкими заданные функции.

Авторами получены классические решения для задач, которые можно условно разделить на следующие классы:

– задачи Коши с гладкими заданными функциями; – задачи Коши с негладкими заданными функциями; – смешанные задачи для уравнений второго порядка; – смешанные задачи для биволнового уравнения; – задачи сопряжения для гиперболических уравнений; – смешанные задачи со смешанными условиями; – смешанные задачи для уравнений третьего порядка; – задачи с производными высокого порядка в граничных условиях; – задачи управления; – задачи для уравнения Клейна-Гордона-Фока; – задачи с интегральными условиями; – задачи с интегральными граничными условиями, содержащими

дробные производные; – задачи для уравнений с нагруженным оператором. В данной работе рассмотрено применение метода характеристик

для решения первой смешанной задачи в полуполосе для волнового уравнения. Показывается, что решение или его производные терпят раз-рыв на определенном множестве внутри области задания уравнения, ес-ли отсутствуют полностью или частично условия согласования на за-данные функции в граничных условиях и правую часть уравнения.

Постановка задачи

В замыкании [ ) [ ]0, 0,Q l= ∞ × области ( ) ( )0, 0,Q l= ∞ × двух неза-

висимых переменных ( ) 20 1,x x Q= ∈ ⊂x рассмотрим волновое урав-

нение

( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1

2 x x , x ,x x x xLu a u f Q= ∂ − ∂ = ∈ (1)

где 2 ,a l – положительные действительные числа, 0 0

2 20x x x∂ = ∂ ∂ ,

1 1

2 21x x x∂ = ∂ ∂ – частные производные по 0x и 1x второго порядка.

К уравнению (1) на границе Q∂ области Q присоединяются условия ти-па Коши и граничные условия на боковых ее частях

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]01 1 1 1 10, , 0, , 0, ,xu x x x x x l= ϕ ∂ = ψ ∈ (2)

23

( ) ( ) ( ) ( ) [ )(1) (2)0 0 0 0 0,0 , , , 0, .u x x u x l x x= μ = μ ∈ ∞ (3)

Здесь ( ): x xf Q f∋ → – заданная функция на Q ,

[ ] ( )1 1: 0, l x xϕ ∋ →ϕ ∈ , [ ] ( )1 1: 0, l x xψ ∋ →ψ ∈ – функции на [ ]0, l ,

( ) [ ) ( ) ( )0 0: 0,j jx xμ ∞ ∋ →μ ∈ – заданные функции на [ )0,∞ , 1,2j = .

Функции ( ), , , , 1,2jf jϕ ψ μ = удовлетворяет следующим неодно-родным условиям согласования:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2(1) (1) 10 0 , 0 0 , ′ϕ −μ = δ μ −ψ = δ α

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 322

10 0 0,0 ,a f

a′′′′ϕ −μ + = δ (4)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 210 , 0 ,l l

a ′μ −ϕ = σ μ −ψ = σ

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 322

10 0, ,a l f l

a′′ ′′μ − ϕ − = σ (5)

где ( )j ′μ и ( )j ′′μ – производные функции ( )jμ первого и второго поряд-ков, 1,2j = , ′′ϕ – производная второго порядка функции ϕ .

Если в условиях согласования (4) – (5) все числа ( ) ( ) 0j jσ = δ = , 1,2,3j = , то условия (4) – (5) в этом случае будем называть однородны-

ми условиями согласования относительно заданных функций задачи (1)–(3).

Отметим, что для достаточно гладких заданных функций уравне-ния (1) на множестве Q и условий (2), (3) на отрезке [ ]0, l и полупрямой

[ )0,∞ существует единственное классическое решение этой задачи тогда

и только тогда, когда условия согласования (4), (5) на эти функции яв-ляются однородными. В противном случае на определенных характери-стиках в области Q решение u задачи (1) – (3) вместе с производными терпят разрывы. Эти разрывы можно записать в виде условий сопряже-ния, что и сделано в работе.

Таким образом, в общем случае задачу (1) – (3) можно заменить на задачу (1) – (5) с условиями сопряжения на характеристиках, где скачки функций и ее производных выражаются через заданные действительные

числа ( )jδ и ( )jσ , 1,2,3j = . Решение задачи (1) – (5) выписано в анали-

тическом виде через функции (1), , ,f ϕ ψ μ и (2)μ с помощью соответ-ствующих формул.

24

Теорема 1. Если функции [ ]2 0,C lϕ∈ , [ ]1 0,C lψ∈ , ( )0,1f C Q∈ ,

( ) [ )2 0,j Cμ ∈ ∞ , 1,2j = , то функция из класса ( )2C Q является един-

ственным классическим решением задачи (1) – (3) тогда и только то-гда, когда выполняются однородные условия согласования (4), (5).

Утверждение 1. Если для заданных функций ( ) ( ), , , 1,2jf jϕ ψ μ =

не выполняются однородные условия согласования (4), (5), то какими бы гладкими эти функции не были, задача (1) – (3) не имеет классического решения, определенного на [ ) [ ]0, 0,Q l= ∞ × .

Обозначим через Q объединение некоторых подобластей между

характеристиками уравнения. Очевидно, что Q Q⊂ . Тогда справедливы следующие теоремы.

Теорема 2. Пусть функции [ ]2 0,C lϕ∈ , [ ]1 0,C lψ∈ , ( )0,1f C Q∈ ,

( ) [ )2 0,j Cμ ∈ ∞ , 1,2j = и

( )( ) ( )( )3 2 2

1

0p p

p=

δ + σ ≠

.

Тогда существует решение задачи (1) – (3) из класса ( )2C Q , и оно

является единственным тогда и только тогда, когда выполняются условия согласования (4), (5).

Теорема 3. Пусть функции [ ]3 0,C lϕ∈ , [ ]1 0,C lψ∈ , ( )0,1f C Q∈ ,

( ) [ )2 0,j Cμ ∈ ∞ , 1,2j = , ( ) ( )1 1 0δ = σ = . Тогда существует решение зада-

чи (1) – (3) из класса ( ) ( )2C Q C Q∩ и оно является единственным тогда

и только тогда, когда выполняются условия согласования (4), (5). Теорема 4. Пусть выполняются условия теорем 2, 3 и, кроме то-

го, ( ) ( )2 2 0δ = σ = . Тогда существует решение задачи (1) – (3) из класса

( ) ( )1 2C Q C Q∩ и оно является единственным тогда и только тогда,

когда выполняются условия согласования (4), (5). Замечание 1. Если заданные функции задачи (1) – (3) удовлетво-

ряют неоднородным условиям согласования (4), (5), то решение задачи (1) – (5) сводится к решению соответствующей задачи сопряжения, где условия сопряжения задаются на характеристиках ( )1 0x ax k l− = − − и

1 0x ax kl+ = , 1,2,k = . Заметим, что формулировка рассмотренной задачи с условиями

сопряжения более приемлема для ее численной реализации.

25

Список литературы

1. Корзюк, В. И. Решение первой смешанной задачи для волнового уравнения методом характеристик / В. И. Корзюк, Е. С. Чеб, М. С. Ширма // Труды Ин-та математики НАН Беларуси. – 2009. – Т. 17, 2. – С. 23–34.

2. Корзюк, В. И. Двухточечная граничная задача для уравнения колеба-ния струны с заданной скоростью в заданный момент времени / В. И. Корзюк, И. С. Козловская // I Труды Института математики НАН Беларуси. – 2010. – Т. 18, 2. – С. 22–35.

3. Корзюк, В. И. Двухточечная граничная задача для уравнения колеба-ния струны с заданной скоростью в заданный момент времени / В. И. Корзюк, И. С. Козловская // II Труды Института математики НАН Беларуси. – 2011. – Т. 19, 1. – С. 62–70.

4. Korzyuk, V. I. Classical solution for initial boundary-value problem for wave equation with integral boundary condition / V. I. Korzyuk, V. T. Erofeenko, J. V. Sheyka // Mathematical Modeling and Analysis. – 2012. – V. 17, 3. – P. 309–329.

5. Korzyuk, V. I. Classical solution of problem of control boundary condi-tions in case of the first mixed problem for one-dimensional wave equation / V. I. Korzyuk, I. S. Kozlovskaya, O. A. Kovnatskaya // Computer Algebra Systems in Teaching and Research. Differential Equations, Dynamical Systems and Celestial Mechanics / eds.: L. Gadomski [and others]. – Siedlce, Wydawnictwo Collegium Mazovia, 2011. – P. 68–78.

6. Корзюк, В. И. Решение начально-краевой задачи для волнового урав-нения с дробными производными в граничных условиях / В. И. Корзюк, И. С. Козловская, Ю. В. Шейко // Аналитические методы анализа и диффе-ренциальных уравнений : материалы 6-й Междунар. конф. (AMADE-2011), посвящ. памяти проф. А. А. Килбаса. – Минск, 2011. – С. 97–108.

7. Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи в по-луполосе для линейного гиперболического уравнения второго порядка / В. И. Корзюк, Е. С. Чеб, А. А. Карпечина // Труды Института математики НАН Беларуси. – 2012. – Т. 20, 2. – С. 64–74.

8. Корзюк, В. И. Гиперболическое уравнение второго порядка в случае двух независимых переменных / В. И. Корзюк, Е. С. Чеб, А. А. Карпечина // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2013. – 1.– С. 71–80.

9. Корзюк, В. И. Граничная задача в полуполосе для гиперболического уравнения второго порядка / В. И. Корзюк, Е. С. Чеб, А. А. Карпечина // Ма-тематическое моделирование и дифференциальные уравнения : тр. Третьей Междунар. науч. конф. (Брест, 17–22 сентября 2012 г.). – Минск : Издатель-ский центр БГУ, 2012. – С. 177–185.

10.Korzyuk, V. I. On the influence of fitting conditions of functions in the boundary conditions on the classical solutions of problems for hyperbolic equations / V. I. Korzyuk, I. S. Kozlovskaya // Computer Algebra Systems in Teaching and Re-search. – Siedlce, 2013. – Vol. IV, 1. – P. 53–65.

11. Корзюк, В. И. Об условиях согласования в граничных задачах для гиперболических уравнений / В. И. Корзюк, И. С. Козловская // Доклады НАН Беларуси. – 2013. – Т. 57, 5. – С. 37–42.

26

ЗАДАЧИ КОНВЕКТИВНОГО ПЕРЕНОСА В ОБЛАСТЯХ С ФРАКТАЛЬНОЙ ГРАНИЦЕЙ

И. В. Бойков, Т. В. Елисеева

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

E-mail: i.v.boykov@gmail.com, eliseevat@mail.ru В современной фундаментальной и экспериментальной физике,

радиофизике и радиолокации теория фракталов находит все большее применение. Поэтому построение математических методов и вычисли-тельных алгоритмов для моделирования нелокальных процессов и явле-ний в областях, ограниченных фрактальными поверхностями, является актуальным направлением исследований. В предлагаемой работе рас-сматривается решение первой краевой задачи для уравнений теплопро-водности с конвекцией в «снежинке Коха».

Задачи конвективного переноса представляют большой теоретиче-ский и практический интерес. Примером такого явления может служить движение неравномерно нагретой жидкости под действием выталкива-ющей силы (свободноконвективные движения). Процессы теплоперено-са в этом случае обусловлены не только теплопроводностью, но и дви-жением среды. В свою очередь в таких процессах тепло – и массообмен обуславливает самодвижение среды. Учет конвективного переноса тепла проводится в рамках уравнения теплопроводности с конвективным слага-емым. Задачи для уравнений теплопроводности с учетом конвективного переноса обладают определенной спецификой. Она проявляется в том, что операторы конвективного переноса являются несамосопряженными.

Для задач подобного типа широко используются разностные мето-ды. Моделирование задач свободной конвекции в переменных «функция тока, вихрь скорости, температура» наиболее широко представлено в вычислительной практике. Схемы коррекции по граничному условию предложены П. Н. Вабищевичем (1983 г.).

В данной работе для численного решения задачи конвективного переноса предлагается метод коллокации на специально построенной сетке узлов.

Рассмотрим процесс теплопереноса, обусловленный теплопровод-ностью и движением самой среды в двумерной ограниченной области

2RΩ⊂ . Считая среду однородной, запишем уравнение теплопроводно-сти в виде [1]

2 2

1 2 2 2( ( , ) ( , ) ) ( ) ( , );

u u u uc v x y v x y f x y

x y x y

∂ ∂ ∂ ∂+ − κ + =∂ ∂ ∂ ∂

(1)

27

где ( , ), 1,2i x y iν = – компоненты скорости 1 2( ( , ))ν = ν ν , которые мы считаем заданными.

Считаем среду несжимаемой, и поэтому компоненты скорости связаны соотношением

1 2 0, .xx y

∂ν ∂ν+ = ∈Ω∂ ∂

.

На границе области Ω выполняется условие

( ), .u g x y∂Ω = (2)

В качестве области Ω рассмотрим снежинку Коха с размерно-стью Хаусдорфа ln 4 ln 3HD = , полученную из равностороннего тре-угольника [2].

Равносторонний треугольник можно рассматривать как предфрак-тал 0-го поколения 0K . Поместим его на сетку с шагом 0h по оси Ox и

шагом 0 3h по оси Oy таким образом, чтобы вершины 0K совпали с уз-лами сетки (рис.1). Для построения предфрактала 1-го поколения 1K

строится сетка с шагом 1h по оси Ox и шагом 1 3h по оси Oy, где

1 0 3h h= . На рис.2 изображен предфрактал 2-го поколения 2K , имею-

щий по каждому направлению шаг 2h и 2 3h , соответственно; 2

2 0 3h h= . При описанном способе построения сетки вершины предф-

рактала NK совпадают с узлами сетки; шаг Nh по оси Ox и 3Nh по

оси Oy, 0 3NNh h= ; длина звена предфрактала равна 2 Nh . Число вер-

шин (число звеньев) NK равно 3 4N⋅ .

Рис. 1 Рис. 2

Решение задачи (1) - (2) будем искать в виде разложения по поли-

номам Лежандра 21( ) ( 1)

2 !

nn

n n n

dL x x

n dx= − ,

28

( ) ( )0 0

( , )l m

N ij i ji j

u x y L x L y= =

= α ,

где произведение ( )( )1 1l m+ + равно сумме s числа узлов сетки, лежа-

щих внутри области NK , и числа вершин предфрактала NK . Если

( ) ( )1 1l m s+ + > , то берем несколько дополнительных узлов на границе

области (на горизонтальных звеньях). Предфракталы NK располагаем таким образом, чтобы центр лежат в начале координат и NK содержался

в квадрате [ ] [ ]1,1 1,1− × − . Неизвестные коэффициенты , 0, , 0, ,ij i l j mα = =

найдем методом коллокации. Система метода коллокации имеет вид:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 20 0

0 0

, ,

, , , , 1, ,

, , , , 1, ,

l m

ij k k i k j k k k i k j ki j

i k j k i k j k k k k k N

l m

ij i q j q q q q q Ni j

c v x y L x L y v x y L x L y

k L x L y L x L y f x y x y K k v

L x L y g x y x y K q w

= =

= =

′ ′α + − ″ ″ − + = ∈ =

α = ∈∂ =

где ( ),r rx y – узлы сетки, v w s+ = .

В табл. 1 приведены нормы разности N точноеu u− для модельной задачи.

Таблица 1

Поколение предфрактала, N C − норма 2L −норма 2 31,646 10−⋅ 43,73 10−⋅

3 121,609 10−⋅ 146,336 10−⋅

Полученные результаты показывают, что с ростом поколения

предфрактала Nu u→ . Вопросы асимптотики решений при стремлении порядка предфрактала к бесконечности рассмотрены в [3].

Ранее в работе [4] предложенным методом было получено числен-ное решение первой краевой задачи для уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца и для уравнения эллиптического типа с экспоненциальной нелинейностью в «снежинке Коха». Вычисления показали, что введение конвективного слагаемого в уравнение Пуассона незначительно влияет на точность решения при росте поколения предфрактала.

Полученные результаты позволяют сделать вывод об эффективно-сти предложенного подхода.

29

Список литературы

1. Самарский, А. А. Вычислительная теплопередача / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. – М. : Едиториал УРСС, 2003.

2. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. – М. : Институт компьютерных исследований, 2002. – 656 с.

3. Falconer, K. Techniques in Fractal Geometry / K. Falconer. – New York : John Wiley & Sons, 1997. – 256 p.

4. Бойков, И. В. Численное решение краевых задач для линейных и ква-зилинейных уравнений эллиптического типа в области с фрактальной грани-цей / И. В. Бойков, Т. В. Елисеева // Известия вузов. Поволжский регион. Фи-зико-математические науки. – 2011. – 3 (19). – С. 14–21.

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ДАРБУ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА – ДАРБУ В БЕСКОНЕЧНОЙ ОБЛАСТИ

Г. Н. Шевченко

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, Самара, Россия

E-mail: blatow@mail.ru Рассмотрим уравнение Эйлера-Дарбу

( ) 0, 0, 0, 1,L u u u uξη ξ ηβ α≡ + − = α > β > α +β <

ξ− η ξ− η (1)

в бесконечной области ( , ) :H = ξ η η> ξ .

Задача Дарбу. Найти решение уравнения (1) в области H , удо-влетворяющее краевым условиям

1lim ( , ) ( ), ,u−βη→+∞

η ξ η = φ ξ −∞ < ξ < +∞ (2)

( , ) ( ), ,u ξ ξ = τ ξ −∞ < ξ < +∞ (3)

где ( )φ ξ и ( )τ ξ – заданные функции. Для решения задачи Дарбу будем использовать решение задачи

Гурса для уравнения (1) в области H с данными

lim ( , ) ( ), ,uη→+∞

ξ η = φ ξ −∞ < ξ < +∞ (4)

lim ( ) ( , ) ( ), ,u−αξ→−∞

−ξ ξ η = ψ η −∞ < η< +∞ (5)

которое записывается в следующем виде [1]

30

( , ) '( )( ) ( , ,1, )t

u t t F dtt

ξβ

−∞

ξ−ξ η = φ η− ⋅ −α −βη−

'( )( ) ( , ,1, )t

t t F dtt

+∞α

η

− η− ψ − ξ ⋅ −α −β− ξ , (6)

где заданные функции 1( ), ( ) ( , )t t Cφ ψ ∈ −∞ +∞ , ( ) ( ) 0,ψ +∞ = φ −∞ = 1

0'( ) ( ) ( )t t t−δφ = − ⋅φ , 20'( ) ( ) ( )t t t−δψ = − ⋅ψ , 0 0( ), ( )t tφ ψ - непрерывные и

ограниченные функции в ( , )−∞ +∞ ,

1 1δ > +β −α , 2 1δ > + α−β .

Формулу (6) удовлетворим краевому условию (3)

( )'( )( ) '( )( ) ,t t dt t t dt

ξ +∞β α

−∞ ξ

τ ξ = φ ξ− − ψ − ξγ

где (1 ) ( )

( , ,1,1)(1 ) (1 ) ( ) ( )

FΓ + α+β α +β Γ α+βγ = −α −β = = ⋅

Γ + α ⋅Γ +β α⋅β Γ α ⋅Γ β.

Полученное интегральное уравнение разрешим относительно функции '( )tψ . Для этого запишем его в виде

( )'( ) ( ) '( ) ( ) .t t dt t t dt

ξ+∞α β

ξ −∞

τ ξψ ⋅ − ξ = φ ⋅ ξ − −γ

Дифференцируя по ξ обе части этого уравнения, получаем

1 1

'( ) '( ) '( ).

( ) ( )

t tdt dt

t t

ξ+∞

−α −βξ −∞

ψ β φ τ ξ= − +α α⋅ γ− ξ ξ − ,

Применяя оператор дробного дифференцирования

..., ,

( )x

d dx

dx x

+∞

αξ −∞ < < +∞

ξ−

будем иметь

1

'( )

( ) ( )x

d d t dt

dx x t

+∞ +∞

α −αξ

ξ ψ =ξ− ξ− 1

'( )

( ) ( )x

d d t dt

dx x t

ξ+∞

α −β−∞

β ξ φ− +α ξ− ξ−

1 '( )

,( )x

d dx

dx x

+∞

ατ ξ ξ −∞ < < +∞

α⋅ γ ξ − . (7)

31

Учитывая, что

1

'( )

( ) ( )x

d d t dt

dx x t

+∞ +∞

α −αξ

ξ ψ =ξ− ξ− 1

'( )( ) ( )

t

x x

d dt dt

dx x t

+∞

α −αξψ =

ξ− − ξ

( ) (1 ) '( )x

dt dt

dx

+∞= Γ α ⋅Γ −α ⋅ ψ ( ) (1 ) '( ),x= Γ α ⋅Γ −α ⋅ψ

из уравнения (7) находим '( ) :xψ

1

'( )'( )

( ) (1 ) ( ) ( )x

d d t dtx

dx x t

ξ+∞

α −β−∞

β ξ φψ = −αΓ α Γ −α ξ− ξ−

1 '( ).

( ) (1 ) ( )x

d d

dx x

+∞

ατ ξ ξ

α⋅ γΓ α Γ −α ξ−

Преобразуем правую часть полученного равенства, упростим сна-чала двукратный интеграл

1 1

'( )

( ) ( )x

d d t dtJ

dx x t

ξ+∞

α −β−∞

ξ φ= =ξ− ξ− 1

'( )( ) ( )x x

d dt dt

dx x t

+∞ +∞

α −βξφ +

ξ− − ξ

1'( ) .

( ) ( )x t

d dt dt

dx x t

+∞ +∞

α −βξ+ φ

ξ− − ξ

Вычислим

11 1.

( ) ( )x

dJ

x t

+∞

α −βξ=

ξ− ξ−

Заменим переменную интегрирования по формуле xξ =λ

.

1 1

11 10

(1 ).

1

dJ x

t

x

α−β− −αβ−α

−βλ ⋅ − λ λ=

− λ

В дальнейшем будем считать α >β . Используя интегральное представление гипергеометрической

функции Гаусса [2], получим

11( ) (1 )

1 , ,1 ,(1 )

tJ x F

xβ−α Γ α−β Γ −α = ⋅ −β α −β −β = Γ −β

32

(1 ) ( )( ) .

(1 )t x β−αΓ −α ⋅Γ α −β= −

Γ −β

Аналогично находим

12 1

( ) ( )( ) .

( )( ) ( )t

dJ t x

x t

+∞β−α

α −βξ Γ β Γ α−β= = −

Γ αξ− ξ−

Тогда

1(1 ) ( )

'( ) ( )(1 )

xd

J t x t dtdx

β−α

−∞

Γ −α Γ α−β= φ ⋅ − +Γ −β

( ) ( )'( ) ( ) .

( )x

dt t x dt

dx

+∞β−αΓ β Γ α−β φ ⋅ −

Γ α

Используя формулу интегрирования по частям, получим

11

(1 ) ( )''( ) ( )

(1 )

xd

J t x t dtdx

+β−α

−∞

Γ −α Γ α−β= φ ⋅ − −Γ −β

1( ) ( )''( ) ( ) ,

( )x

dt t x dt

dx

+∞+β−αΓ β Γ α−β φ ⋅ −

Γ α

где предполагается, что 10'( ) (1 ) ( )t t t−δφ = + ⋅φ , 1 1δ > +β −α , 0( )tφ не-

прерывна и ограничена в ( , )−∞ +∞ . Выполним операцию дифференци-рования

1(1 ) ( ) ''( )

(1 ) ( )

xt

J dtx t α−β

−∞

Γ −α Γ α−β φ= +Γ −β −

( ) ( ) ''( ).

( ) ( )x

tdt

x t

+∞

α−βΓ β Γ α−β φ

Γ α −

Аналогично находим

2'( )

( )x

d dJ

dx x

+∞

ατ ξ ξ= =ξ− 11

'( ) ( )1

x

dd x

dx

+∞−ατ ξ ξ− =

−α

11''( )( )

1x

dx d

dx

+∞−α− τ ξ ξ− ξ =

−α ''( )

,( )x

d

x

+∞

ατ ξ ξ−ξ−

где предполагается, что 30 3'( ) ( ), 1 ,t t t−δτ = ⋅ τ δ > − α 0( )tτ – непрерывна

и ограничена в ( , )−∞ +∞ . Принимая во внимание Полученные выраже-ния для 1J и 2J , функцию '( )xψ запишем следующим образом

33

( ) ''( )'( )

( ) (1 ) ( )

xt

x dtx t α−β

−∞

βΓ α−β φψ = +αΓ α Γ −β − 2

( ) ( ) ''( )

( ) (1 ) ( )x

tdt

x t

+∞

α−ββΓ β Γ α−β φ +αΓ α Γ −α −

1 ''( )

.( ) (1 ) ( )x

d

x

+∞

ατ ξ ξ+

α⋅ γ ⋅Γ α ⋅Γ − α ξ− (8)

Подставляя формулу (8) в (6), получим решение задачи Дарбу. Та-ким образом имеет место следующая теорема.

Теорема. Если заданные функции

2( ), ( ) ( , )t t Cφ τ ∈ −∞ +∞ и ( ) ( ) ( ) ( ) 0φ −∞ = φ ∞ = τ −∞ = τ +∞ = ,

1 30 0 1 3'( ) ( ), '( ) ( ), 1 , 1t t t t t t−δ −δφ = ⋅φ τ = ⋅ τ δ > +β −α δ > − α ,

где 0 0( ), ( )t tφ τ – непрерывные и ограниченные функции в ( , )−∞ +∞ , то функция ( , )u ξ η , определенная равенствами (6) и (8) является решением задачи Дарбу.

Список литературы

1. Шевченко, Г. Н. Задача Гурса в неограниченной области для одного дифференциального уравнения с частными производными гиперболического типа / Г. Н. Шевченко // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем : сб. ст. VI Междунар. науч.-техн. конф. – Пенза, 2011. – С. 64–66.

2. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. Гипергеометри-ческие функции. Функции Лежандра / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. – М. : Наука, 1966.

34

2. ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ

ОБ ОДНОЙ ПОЛНОЙ СИСТЕМЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

О. Г. Никитина, Н. Д. Никитин

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия E-mail: nikitina1005@mail.ru, nikitinnd1951@mail.ru

Работа посвящена рассмотрению вопроса о полноте системы вида

( ) 1 2,n kf z zη μ в пространстве функций двух комплексных переменных,

аналитических в неограниченной полной кратно-круговой области, где

1 2( , )f t t - целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая определенным условиям. Найдены условия полноты системы в рассмат-риваемом пространстве.

Отметим, что вопрос о полноте многомерной системы экспонент в пространстве целых функций с определенными ограничениями на рост, был рассмотрен в работе В. П. Громова [1].

Пусть 2G C⊂ неограниченная полная кратно-круговая область го-ломорфности с центром в точке (0, 0). Обозначим через ( )H G простран-ство функций, аналитических в области G с топологией равномерной сходимости на компактах.

Пусть 1 2( , )f t t целая функция двух переменных, 2D C⊂ произ-вольная ограниченная полная кратно-круговая область с центром в начале координат,

1 2

, 1 2( , )

( ) sup ( , )R

f Dt t D

M R f t t∈

= (точка 1 2( , ) Rt t D∈ , если

1 2,t t

DR R

∈

).

Числа Dρ = ρ и Dσ , вычисленные по формулам [4]:

, ,ln ln ( ) ln ( )lim ; lim

ln D

f D f DD D

R R

M R M R

R Rρ→∞ →∞ρ = σ = ,

называются соответственно порядком и D-типом функции 1 2( , )f t t . Причем величина Dρ не зависит от выбора области D [5]. Говорят, что целая функция 1 2( , )f t t является функцией экспонен-

циального типа, если ее порядок меньше единицы или она имеет конеч-ный тип при порядке 1ρ = .

35

Обозначим через 1 2( , )B ρ ρ множество точек 1 2( , )a a пространства

R2, для которых выполняется асимптотически оценка

1 21 2ln ( ) a a

fM R R R< + (2)

( ,( ) ( )f f DM R M R= , где 21 2 1 1 2 2( , ) , D t t С t R t R= ∈ < < ,

1 2( , )R R R= ). Очевидно, что если точка

1 21 2 ( , )( , )a a B ρ ρ′ ′ ∈ , то и весь октант

21 2 1 1 2 2( , ) , a a R a a a a′ ′∈ ≥ ≥ содержится во множестве

1 2( , )B ρ ρ . Наобо-

рот, если точка 1 21 2 ( , )( , )a a B ρ ρ′ ′ ∉ , то и все точки области

21 2 1 1 2 2( , ) , a a R a a a a′ ′∈ < < не принадлежат множеству

1 2( , )B ρ ρ . Гра-

ница этого множества 1 2 1 2( , ) ( , )B Sρ ρ ρ ρ∂ = разделяет все пространство R2

на две части: в одной из них неравенство (2) выполняется, в другой нет. Эта граница

1 2( , )S ρ ρ множества 1 2( , )B ρ ρ называется гиперповерхностью

сопряженных порядков функции 1 2( , )f t t . Система чисел 1 2( , )ρ ρ назы-вается системой сопряженных порядков функции 1 2( , )f t t , если точка

1 21 2 ( , )( , ) S ρ ρρ ρ ∈ . Показано [5], что положительные числа 1 2( , )ρ ρ обра-

зуют систему сопряженных порядков функции 1 2( , )f t t тогда и только тогда, когда

1 21 2 1 2

ln ln ( )lim 1

ln( )

f

R R

M R

R Rρ ρ+ →∞=

+.

Пусть 1 2( , )ρ ρ – некоторая система сопряженных порядков функ-ции 1 2( , )f t t . Для более точной характеристики роста целой функции двух переменных его сравнивают с ростом функции

1 21 2 1 21 2( , )g R R a R a Rρ ρ= + . Пусть

1 2( , )B σ σ - множество точек 1 2( , )a a про-

странства R2, для которых выполняется асимптотически оценка

1 21 21 2ln ( )fM R a R a Rρ ρ< + .

Граница 1 2( , )S σ σ множества

1 2( , )B σ σ называется гиперповерхно-

стью сопряженных типов порядка 1 2( , )ρ ρ функции 1 2( , )f t t . Система чисел 1 2( , )σ σ называется системой сопряженных типов порядка 1 2( , )ρ ρ функции 1 2( , )f t t , если точка

1 21 2 ( , )( , ) S σ σσ σ ∈ . Причем положительные

числа 1 2( , )σ σ составляют систему сопряженных типов порядка 1 2( , )ρ ρ функции 1 2( , )f t t тогда и только тогда, когда

36

1 21 2 1 21 2

ln ( )lim 1f

R R

M R

R Rρ ρ+ →∞=

σ + σ.

Пусть 1 2 1 2

1 2

1 2 1 21 2, 0

( , )! !n n n n

n n

f t t t tn n

∞

=

α= ⋅ ⋅

⋅ целая функция экспоненци-

ального типа, коэффициенты которой удовлетворяют условию:

1 21 2

1 21

2

1lim ,0

( )n n

n nn nn

n

K+

+ →∞

→λ

α = ≤ λ ≤ ∞λ

,

где

1 21 21 2 1 2

1 2 1 21 2

1 2( , )

/

( ) lim ( ),0 , ( ) sup .n nn nn n n n

n n z z Gn n

K d G а d G z z++ →∞ ∈

→λ

λ = ≤ λ ≤ ∞ = ⋅

Аналогичная функция ( )K λ в других терминах вводилась ранее в работе [4].

Функция ( )K λ непрерывна на некотором интервале ( , ) (0, )α β ⊂ ∞ , равна бесконечности, если область G неограниченна, на дополнении отрезка [ , ]α β до промежутка (0, )∞ и существуют пределы

lim ( ) ( )K Kλ→α+

λ = α ≤ ∞ и lim ( ) ( )K Kλ→β−

λ = β ≤ ∞ ,

а функция ( )( ) (1 ) lnq Kλ = + λ λ выпукла на интервале ( , )α β , если G –

область голоморфности. Причем справедливо и обратное утверждение: если некоторая функция обладает выше перечисленными свойствами, то существует область голоморфности, для которой эта функция ( )K λ яв-ляется характеристической функцией.

Например, для гиперконуса 21 2 1 2( , ) 1t t C t t∈ + < характери-

стическая функция

1( )

1K

λ+λλλ =+ λ

.

Функция ( )K λ оказалась полезной при изучении некоторых мно-гомерных задач, особенно в случае неограниченной области. В частно-сти, она удачно выступает в роли обобщенного «радиуса сходимости» кратного ряда.

Теорема. Пусть последовательности комплексных чисел ( ), ( )n kη μ с единственной предельной точкой в бесконечности удовле-творяют условиям

37

lim , lim .n kn k

n ke e

→∞ →∞≥ ≥

η μ

Тогда система ( ) 1 2,n kf z zη μ полна в пространстве ( )H G .

Предварительно докажем следующую лемму. ЛЕММА. Пусть 1 2( , )t tφ целая функция двух комплексных пере-

менных экспоненциального типа; ( )1 2,σ σ фиксированная система ее

сопряженных типов; ( ), ( )n kη μ последовательности комплексных чисел с единственной предельной точкой в бесконечности, удовлетворяющие условиям

1 2lim , lim .n kn k

n ke e

→∞ →∞> σ > σ

η μ

Тогда если ( , ) 0n kφ η μ = при , 1,2,...n k = , то ( )1 2, 0.t tφ ≡

Доказательство. Рассмотрим функцию ( ) ( )1 1,k kt tψ = φ μ одного

комплексного переменного 1t , где k любое, но фиксированное нату-

ральное число. Покажем, что ( )1k tψ - целая функция экспоненциально-

го типа 1σ . Действительно,

1 1 1 1 2( ) ( , ) exp ( ) ( )k k kt t C tψ = φ μ ≤ ⋅ σ + ε ⋅ + σ + ε ⋅ μ =

21 1 1 1

1

( )exp ( ) exp ( )kC t C t

t

σ + ε ⋅ μ = ⋅ ⋅ σ + ε + ≤ ⋅ σ + ε ⋅

при достаточно больших 1t . Причем ( ) ( , ) 0k n n kψ η = φ η μ = при

1, 2,...n = Отсюда, так как последовательность чисел ( )nη удовлетворя-

ет условию 1limn n

ne

→∞≥ σ

η, то по известной теореме единственности для

целых функций одной переменной [2] имеем 1 1( ) ( , ) 0k kt tψ = φ μ ≡ при 1, 2,...k = .

Пусть теперь 01t любое, но фиксированное комплексное число.

Рассмотрим функцию одного комплексного переменного 02 1 2( ) ( , )v t t t= φ .

Это целая функция экспоненциального типа 2σ , причем

01( ) ( , ) 0k kv tμ = φ μ = при 1, 2,...k = . Отсюда, так как 2lim

k k

ke

→∞≥ σ

μ, по

теореме единственности для целых функций одной переменной имеем 0 0 2

2 1 2 1 2( ) ( , ) 0 ( , ) ,v t t t t t C= φ = ∀ ∈ т.е. ( )1 2, 0.t tφ ≡

Лемма доказана.

38

Доказательство теоремы. Пусть S линейный непрерывный функ-ционал на пространстве ( )H G . В силу критерия полноты Банаха доста-точно доказать, что если 1 2( ( , )) 0n kS f z zη μ = для , 1, 2,...n k = , то 0S ≡ .

Обобщенной производной Гельфонда-Леонтьева порядка (m1, m2) функции

1 21 2

1 2

1 2 1 2, 0

( , ) n nn n

n n

F z z b z z∞

== ( 1 2( , ) ( )F z z H G∈ ),

порожденной целой функцией 1 21 2

1 2

1 2 1 2, 0

( , ) n nn n

n n

f t t a t t∞

== , называется

оператор

1 1 2 2 1 21 21 2

1 1 2 21 2

,( , )1 2 1 2

,, 0

( , )n m n m n nm m

n nn m n mn n

bD F z z a z z

a

∞ + +

+ +== .

Это линейный непрерывный оператор, обладающий следующим свойством:

1 21 2( , )1 1 2 2 1 1 2 21 2( , ) ( , )m mm mD f t z t z t t f t z t z= ⋅ .

Любой линейный непрерывный функционал на пространстве ( )H G может быть записан в виде:

1 2 1 2

1 2

( , )

1 2, 0

( ) (0, 0)! !m m m m

m m

S F D Fm m

∞

=

β= ⋅

⋅ ,

где 1 2( , ) (0, 0)m mD F – значение в нуле обобщенной производной Гель-фонда-Леонтьева, порожденной функцией 1 2( , )f t t , а

1 2( )m mβ - последо-

вательность комплексных чисел, удовлетворяющая определенным усло-виям [3]. Тогда

( )( ) ( )

1 2 1 2

1 21 2

,1 2 1 2

, 0,01 2, 0

( ( , )) ( , )! !m m m m

n k n kz zm m

S f z z D f z zm m

∞

==

βη μ = ⋅ η μ =

⋅

1 2 1 2

1 2 1 2, 0

( ) ( ) (0, 0)! !m m m m

n km m

fm m

∞

=

β= ⋅ η ⋅ μ ⋅ =

⋅

1 2 1 2

1 2 1 2, 0

(0, 0) ( ) ( ) .! !m m m m

n km m

fm m

∞

=

β= ⋅ ⋅ η ⋅ μ

⋅

Пусть 1 2( ( , )) 0n kS f z zη μ = для , 1, 2,...n k = . Рассмотрим вспомога-тельную функцию

39

1 2 1 2

1 2 1 2, 0

( , )! !m m m m

m m

Фm m

∞

=

βη μ = ⋅η ⋅μ

⋅ .

Это целая функция экспоненциального типа. Известно [5], что по-ложительные числа 1 2( , )σ σ составляют систему сопряженных типов при порядке (1, 1) целой функции ( , )Ф η μ тогда и только тогда, когда

1 21 2

1 21 2 1 2

lim 1m mm m

m mm m+

+ →∞

β=

σ ⋅σ. Но 1 2

1 21 2

lim 1m mm m

m m

++ →∞

β < [3]. Поэтому

найдется такая система сопряженных типов 0 01 2( , )σ σ , что 0

1 1σ < и 02 1σ < .

Но по предположению ( , ) 0 ( , 1, 2,...)n kФ n kη μ = = , а последовательно-сти ( ), ( )n kη μ удовлетворяют условиям

1 2lim , lim .n kn k

n ke e e e

→∞ →∞≥ > σ ≥ > σ

η μ

Поэтому, согласно лемме, имеем ( , ) 0Ф η μ ≡ . Следовательно,

1 2 1 20 ,m m m mβ = ∀ , то есть 0S ≡ . Тем самым теорема доказана.

Список литературы

1. Громов, В. П. Полнота многомерных систем в пространстве целых функций с ограничениями на рост / В. П. Громов // Избранные задачи ком-плексного анализа : сб. – М. : МОПИ, 1982. – С. 3–18.

2. Леонтьев, А. Ф. Ряды экспонент / А. Ф. Леонтьев. – М. : Наука, 1976. 3. Никитина, О. Г. Общий вид линейного непрерывного функционала в

пространстве функций, аналитических в неограниченной кратно-круговой об-ласти / О. Г. Никитина // Известия ПГПУ. – 2007. – 3 (7). – С. 335–339.

4. Окунь, С. Д. Общий вид линейного функционала в пространстве функций двух переменных, аналитических в двоякокруговой области / С. Д. Окунь // Труды Новочеркасского политехнического института. – 1959. – Т. 99. – С. 3–27.

5. Фукс, Б. А. Введение в теорию аналитических функций многих ком-плексных переменных / Б. А. Фукс. – М. : Физматгиз, 1962.

40

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ И УСТОЙЧИВОСТИ

АЭРОУПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ1

А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов

Ульяновский государственный технический университет, Ульяновск, Россия

E-mail: ankil@ulstu.ru, velmisov@ulstu.ru

Введение

При проектировании различных конструкций, устройств, устано-вок, приборов, аппаратов, систем и т.д., находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой (обтекаемых потоком жидкости или газа), необходимо решать задачи, связанные с исследованием устойчивости деформируемых элементов, требуемой для их функционирования и надежности эксплуатации.

С одной стороны воздействие потока может приводить к отрица-тельным эффектам, являющимся причиной нарушения необходимых функциональных свойств элементов, вплоть до их разрушения (напри-мер, приводить к состоянию неустойчивости вследствие увеличения ам-плитуды или частоты колебаний до критически допустимых значений). Такая проблема, когда неустойчивость является негативным явлением, возникает, например, при проектировании составных частей летатель-ных и подводных аппаратов: элерона, руля высоты, руля направления – составных частей крыла, стабилизатора, киля соответственно; панели – составной части фюзеляжа, крыла или какой-либо другой части лета-тельного аппарата.

В то же время для функционирования некоторых технических устройств явление возбуждения колебаний упругих элементов при аэро-гидродинамическом воздействии, указанное выше в качестве негативно-го, является необходимым. Примерами подобных устройств, относя-щихся к вибрационной технике, используемых для интенсификации технологических процессов, являются устройства для приготовления однородных смесей и эмульсий (например, гидродинамические излуча-

1 Работа выполнена в рамках государственного задания 2014/232 Минобр-

науки России и при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 15-41-02455-р-поволжье-а, 08-02-00055-а).

41

тели), в частности, устройства для подачи смазочно-охлаждающей жид-кости в зону обработки.

На деформации упругих элементов основано также действие неко-торых приборов, например, датчиков для измерения давления рабочей среды.

Принятые в работе определения устойчивости деформируемого (вязкоупругого, упругого) тела соответствуют концепции устойчивости динамических систем по Ляпунову. Задача об исследовании динамиче-ской устойчивости, а именно – устойчивости по начальным данным, или устойчивости по Ляпунову, может быть сформулирована так: при каких значениях параметров, характеризующих систему «газ-тело» (основны-ми параметрами являются скорость потока, прочностные и инерционные характеристики тела, силы трения и т.д.), малым отклонениям тела от положения равновесия в начальный момент времени = 0t будут соот-ветствовать малые отклонения и в любой момент времени > 0t . Такая постановка вопроса является существенной для многих задач механики и техники, описываемых дифференциальными уравнениями, в которых важно знать не только (а иногда не столько) конкретные значения реше-ния этих уравнений при данном конкретном значении аргумента, а ха-рактер поведения при изменении аргумента, в частности, при его не-ограниченном возрастании.

Изучается устойчивость элементов летательных аппаратов, трубо-проводных систем, вибрационных устройств, датчиков измерения пара-метров газожидкостных сред при различных способах закрепления эле-ментов при дозвуковом или сверхзвуковом режимах обтекания сжимае-мой или несжимаемой средой. Воздействие газа или жидкости (в модели идеальной среды) определяется из асимптотических уравнений аэрогид-ромеханики. Для описания динамики упругих элементов используется как линейная, так и нелинейная теории твердого деформируемого тела.

Для решения связанных задач аэрогидроупругости используется несколько подходов.

1) Один из подходов основан на построении решения аэрогидро-динамической части задачи методами теории функций комплексного пе-ременного (дозвуковой режим обтекания) или операционным методом (сверхзвуковой режим обтекания), при этом аэрогидродинамическая нагрузка (давление жидкости или газа) определяется через функции, описывающие неизвестные деформации элементов (стержней, пластин, оболочек). Тогда аэрогидродинамические функции исключаются, и ре-шение исходных задач сводится к исследованию систем связанных инте-гро-дифференциальных уравнений с частными производными для функ-ций деформаций элементов.

2) Другой подход, также предполагающий исключение аэрогидро-динамических функций, использует для построения решения аэрогидро-

42

динамической части задачи метод Фурье и представление искомых функций (потенциала скорости и деформаций элементов) в виде рядов. При этом аэрогидродинамическая нагрузка также определяется через функции, описывающие неизвестные деформации элементов, для кото-рых вновь возникает связанная система интегро-дифференциальных уравнений.

Исследование устойчивости проводится на основе прямого метода Ляпунова и численных методов. Построены положительно определен-ные функционалы типа Ляпунова, соответствующие полученным систе-мам интегро-дифференциальных уравнений с частными производными для деформаций. Проведено также исследование устойчивости на осно-ве численно-аналитических методов (основой которых служит метод Бубнова-Галеркина) с реализацией численного эксперимента. Проведен-ные численные эксперименты показали удовлетворительное согласова-ние необходимых и достаточных условий устойчивости, полученных численно, с достаточными условиями, полученными аналитически на основе исследования функционалов.

3) Третий подход исследования устойчивости аэроупругих систем основан на построении «смешанных» функционалов типа Ляпунова для исходной связанной системы уравнений, содержащей как уравнения движения газожидкостной среды, так и уравнения динамики деформи-руемых элементов.

Среди работ авторов по исследованию динамики и устойчивости упругих тел, взаимодействующих с потоком газа, отметим монографии [1–4].

В докладе приведены примеры постановок некоторых задач аэро-гидроупругости и примеры исследования динамики и устойчивости движения деформируемых элементов конструкций.

Динамическая устойчивость упругого элемента вибрационного устройства

Для примера рассмотрим плоское течение в вибрационном устройстве, которое моделируется прямолинейным каналом

2( , ) :G x y R= ∈ 00 ,x x< < 0 y H< < с расположенным внутри него упругим элементом. Скорость невозмущенного сжимаемого однородно-го потока равна V и направлена вдоль оси Ox . Действие устройства ос-новано на автоколебаниях упругого элемента (пластины)

20( , ) : (0, ), [ , ]J x y R y y H x b c= ∈ = ∈ ∈ (рис. 1).

Математическая постановка задачи имеет вид:

2 22 ( ),tt xt xx xx yyV V aφ + φ + φ = φ + φ ( , ) \x y G J∈ , 0t ≥ , (1)

0( , , ) ( , ) ( , ),y x y t w x t Vw x t′φ = + ( , ),x b c∈ 0t ≥ , (2)

43

( , , ) 0,y x H tφ = 0(0, ),x x∈ 0t ≥ , (3)

( ,0, ) 0,y x tφ = 0(0, ),x x∈ 0t ≥ , (4)

(0, , ) 0,y tφ = 0( , , ) 0,x y tφ = 0(0, ),y y∈ 0t ≥ , (5)

2 1 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )Dw x t Mw x t Nw x t w x t w x t w x t′′′′ ′′ ′′′′+ + +β +β +β =

0 0 0( ( , , ) ( , , )) ( ( , , )t t xx y t x y t V x y t+ − += ρ φ − φ +ρ φ −

0( , , )), ( , ), 0.x x y t x b c t−−φ ∈ ≥ (6)

Рис. 1. Канал, внутри которого содержится деформируемый элемент Здесь D , M – изгибная жесткость и погонная масса элемента;

N – сжимающая (растягивающая) элемент сила; 2 1,β β – коэффициенты внутреннего и внешнего демпфирования; 0β – коэффициент жесткости слоя обжатия; a – скорость звука в невозмущенном потоке (a V> ); ρ – плотность газа или жидкости;

00

0( , , ) lim ( , , )t t

y yx y t x y t±

→ ±φ = φ ;

00

0( , , ) lim ( , , )x x

y yx y t x y t±

→ ±φ = φ .

Предположим, что концы упругого элемента закреплены либо жестко, либо шарнирно, тогда при x b= и x c= выполняется одно из условий

1) 0w w′= = , 2) 0w w′′= = . (7)

Таким образом, получили связанную краевую задачу (1)–(7) для двух неизвестных функций – деформации упругого элемента ( , )w x t и потенциала скорости жидкости (газа) ( , , )x y tφ .

Исследуем устойчивость нулевого решения ( , , ) 0,x y tφ ≡ ( , ) 0w x t ≡ системы (1)–(7) по Ляпунову. Рассмотрим функционал

44

( )( )2 2 2 2 2 2 20

\

( ) 2 ( ( , , )c

t x yG J b

t a V a dxdy a V x y t+Φ = φ + − φ + φ + φ −

( )2

2 2 2 20 0( , , )) ( , ) .

c

b

ax y t w x t dx Mw Dw w Nw dx− ′ ′′ ′−φ + + +β −

ρ (8)

Для функций ( , , )x y tφ и ( , )w x t , удовлетворяющих уравнениям (1) и (7), оценка для производной от Φ по t при условиях

( ) 0N t ≥ , 2 0,β ≥ 1 0β ≥ (9)

примет вид

( ) 0tΦ ≤ ( ) (0).tΦ ≤ Φ (10)

Если выполняется условие

( )2 2 2 2 2 2

0 0 01 2 2 2

0 0

( ) ( ) 2,

2( ) ( )

V H a V H y y a xN D

a V y H y

ρ − π − +< λ −

− π − (11)

где 1λ – наименьшее собственное значение краевой задачи для уравне-ния ,′′′′ ′′ψ = −λψ ( , )x b c∈ с краевыми условиями (7), то неравенство (10) примет вид

( )(1)

2 2 2 2 2 2 220 0 0(1)

03 \

( )( , ) ( )t x y

G J

c bw x t a V a dxdy

y

Δ −≤ φ + − φ + φ +

Δ

2 20 0( ( , ,0) ( , ,0))

c

b

a x y x y dx+ −+ φ − φ +

22

2 200 0

1 1,

c

b

N VaMw D w dx +ρ β ′′ + + + + ρ λ μ (12)

где 1μ – наименьшее собственное значение краевой задачи для уравне-ния ,′′′′ψ = μψ ( , )x b c∈ с краевыми условиями (7);

2 2 2 2(1)11 2 2

0 0

( ) 2,

a V ad

x y

− π= + 2

(1) (1)22 12 2

0

2,

ad d

y= =

2(1)23

0,

a Vd

y=

( )( )

2 2 2 2 2 2 21 0 0 0(1)

33 2 2 2 2 20 0 0 0

( ) ( ) 2 ( ),

( ) ( ) 2

a D N a V y a x H yd

y a V H H y y a x H

λ − − π + −=

ρ − π − +

45

(1) (1) (1) (1)22 11 22 12d d dΔ = − , (1) (1) (1) (1) (1)2

3 33 2 23 11d d dΔ = Δ − ,

0 ( ,0),w w x= 0 ( ,0),w w x= 0 ( ,0),w w x′ ′= 0 ( ,0),w w x′′ ′′=

0 ( , ,0),t t x yφ = φ 0 ( , ,0),x x x yφ = φ 0 ( , ,0).y y x yφ = φ

Из неравенства (12) следует теорема Теорема 1. Пусть выполняются условия (9), (11). Тогда решение

( , )w x t задачи (1)–(7) устойчиво по отношению к возмущениям началь-

ных данных 0 0 0 0 0 0 0, , , ( , ,0), ( , ,0), , .t x y x y x y w w+ − ′′φ φ φ φ φ

При выполнении условия (11) из неравенства (10) получим также оценки

( )1

(1) (1) (1)22 2 2 2 2 2 222 33 23

0 0 0(1)3 \

( , , ) ( )t x yG G J

d d dx y t dxdy a V a dxdy

−φ ≤ φ + − φ + φ +Δ

2 20 0( ( , ,0) ( , ,0))

c

b

a x y x y dx+ −+ φ − φ +

222 200 0

1 1,

c

b

N VaMw D w dx

+ρ β ′′ + + + + ρ λ μ

2

(2) (2) (2)22 22 33 23

(1)3

( , , )G

d d dx y t dxdy

−φ ≤ ×

Δ

( )2 2 2 2 2 20 0 0

\

( )t x yG J

a V a dxdy× φ + − φ + φ +

2 20 0( ( , ,0) ( , ,0))

c

b

a x y x y dx+ −+ φ − φ +

222 200 0

1 1,

c

b

N VaMw D w dx

+ρ β ′′ + + + + ρ λ μ

где 2

1 ( , ) :G x y R= ∈ 00 ,x x< < 00 y y< < , 22 ( , ) :G x y R= ∈

00 ,x x< < 0 y y H< < ,

2 2 2 2(2)11 2 2

0 0

( ) 2,

( )

a V ad

x H y

− π= +−

2

(2) (2)22 12 2

0

2,

( )

ad d

H y= =

−

46

2(2)23

0,

a Vd

H y=

−

2 2 2 2 2 2 2(2) 1 0 0 0 033 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

( )( ) ( ) 2,

( ) ( ) ( ) 2

a D N a V y H y a x yd

H y a V H H y y a x H

λ − − π − +=ρ − − π − +

(2) (2) (2) (2)22 11 22 12d d dΔ = − , (2) (2) (2) (2) (2)2

3 33 2 23 11d d dΔ = Δ − .

Из этих неравенств следует теорема Теорема 2. Пусть выполняются условия (9), (11). Тогда решение

( , , )x y tφ системы уравнений (1)–(7) устойчиво в среднем (в интеграль-ном смысле) по отношению к возмущениям начальных данных

0 0 0 0, , , ( , ,0),t x y x y+φ φ φ φ 0 0 0( , ,0), , .x y w w− ′′φ

Список литературы

1. Анкилов, А. В. Устойчивость вязкоупругих элементов стенок про-точных каналов / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов. – Ульяновск : УлГТУ, 2000. – 115 с.

2. Анкилов, А. В. Математическое моделирование механической систе-мы «трубопровод – датчик давления» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, В. Д. Горбоконенко, Ю. В. Покладова. – Ульяновск : УлГТУ, 2008. – 188 с.

3. Анкилов, А. В. Динамика и устойчивость упругих пластин при аэро-гидродинамическом воздействии / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов. – Улья-новск : УлГТУ, 2009. – 220 с.

4. Анкилов, А. В. Математическое моделирование в задачах динамиче-ской устойчивости деформируемых элементов конструкций при аэрогидроди-намическом воздействии / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов. – Ульяновск : УлГТУ, 2013. – 322 с.

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ ШУМОМ

Т. А. Аверина, Д. Д. Смирнов

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН,

Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия

E-mail: ata@osmf.sscc.ru, smirnovdd@mail.ru

Введение

В настоящее время во многих областях знаний большой интерес вызывают задачи, связанные с понятием колебаний или осцилляций раз-личных динамических систем [1]. Эти задачи возникают при наблюде-

47

нии эволюции систем с течением времени. Например, эволюции про-стейших колебаний - колебания маятников, пружин с грузом, в радио-технике это колебательный электрический контур - связанные конденса-тор и катушка. Кроме того, поскольку временную эволюцию любой ве-личины с помощью преобразования Фурье можно представить в виде суммы периодических членов, поэтому в настоящее время большое внимание уделяется изучению периодических явлений. С их рассмотре-нием тесно связано понятие аттрактора (притягивающего предельного множества в фазовом пространстве траекторий), которому соответству-ют устойчивые периодические движения, и понятие устойчивого состо-яния равновесия – точки стабилизации фазовых траекторий. Известно, что и тому и другому сопутствует общее сжатие (когда некоторая об-ласть в фазовом пространстве переходит с течением времени внутрь се-бя) и локальная устойчивость фазовых траекторий решения систем ОДУ, описывающих поведение соответствующей динамической системы. Выйти из этих состояний равновесия система может только в результате некоторого толчка извне, например, появлением некоторого действую-щего шума достаточной интенсивности.

Появление неточности в измерениях сигналов различных прибо-ров, так же как и влияние различных шумов, неизбежно влечет за собой применение в исследованиях такого мощного аппарата как стохастиче-ские дифференциальные уравнения. А вместе с тем возникают как во-просы устойчивости решений, так и вопросы качественного исследова-ния влияния различных параметров системы на устойчивость решения СДУ.

Данная работа посвящена численному анализу распределения ре-шения линейного СДУ второго порядка в смысле Ито с мультиплика-тивным шумом для различных режимов устойчивости. Рассматриваемое СДУ, описывающее осциллятор с линейным трением и флуктуирующей частотой [1], возникает практически во всех областях физики. Также это СДУ является линеаризацией двухмерной нелинейной системы СДУ в общем случае.

Задача Коши для линейного осциллятора с мультипликативным шумом

Линейный осциллятор с мультипликативным шумом описывается стохастическим дифференциальным уравнением в смысле Ито второго порядка вида:

( )¨

2y y y yn t+ λ +ω = σ , (1)

где λ , ω , σ – вещественные параметры, ( )n t – процесс белого шума,

т. е. гауссовский процесс, для которого ( ) 0n t = , ( ) ( ) ( )' 'n t n t t t= δ − .

48

Если вести новые переменные 1x y= , 2x y= и добавить началь-

ные данные ( )1 00x y= , ( )2 10x y= , то получим следующую задачу Коши

для линейной системы СДУ в смысле Ито:

( ) ( )1 2dx t x t dt= ,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 1 2 1dx t x t x t dt x t dw t= −ω −λ + σ , (2)

( )1 00x y= , ( )2 10x y= ,

которую можно записать в виде

( ) ( ) ( ) ( )dX t AX t dt BX t dw t= + , ( ) 00X X= . (3)

В общем случае ( )X t – xn -мерный случайный процесс, A и B –

матрицы размера x xn n× .

Определение 1. [2]. Решение ( ) 0X t = системы уравнений (3)

называется устойчивым по вероятности (при 0t t≥ ), если для любых

0ε > , 0δ > найдется 0r > : ( ) 0 0, ,P X t t x > ε < δ при 0t t≥ , 0x r< .

Определение 2. [2]. Решение ( ) 0X t = системы уравнений (3)

устойчиво в среднем, если для любых 0ε > существует 0r > : ( )0 0, ,X t t x < ε при 0t t≥ , 0x r< .

Определение 3 [2]. Решение ( ) 0X t = системы уравнений (3)

устойчиво в среднем, если для любых 0ε > существует 0r > :

( ) 20 0, ,X t t x < ε при 0t t≥ , 0x r< .

В работе [3] доказано следующее Утверждение: Тривиальное решение системы (2): 1) устойчиво по вероятности и в среднем квадратическом при 2

22

σλ >ω

,

2) устойчиво в среднем при 0λ > .

Численный анализ устойчивости

Исследуем распределение численного решения осциллирующей системы (2) для различных режимов устойчивости.

Для численного анализа решения линейного колебательного СДУ использовался построенный ранее в работе [4] асимптотически несме-щенный обобщенный метод типа Розенброка (с параметром a = 1/2). Вычислялись «частотная интегральная кривая (ЧИК)» и «частотный фа-зовый портрет (ЧФП)», которые являются аналогами интегральной кри-вой и фазового портрета для решений систем СДУ. Отметим, что ЧИК в

49

фиксированный момент времени nt является аппроксимацией плотности распределения решения (после соответствующей нормировки), то есть даёт оценку решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. В отли-чие от гистограмм, в которых статистика собирается по ансамблю моде-лируемых траекторий СДУ для фиксированного момента времени, в ЧИК и ЧФП собирается полная информация по всему ансамблю на каж-дом шаге на всём интервале интегрирования [5].

Все тесты рассматривались на интервале [ ]0,50t∈ . Моделирова-

лось 610M = траекторий обобщенным методом типа Розенброка с ша-гом 0.05h = .

Начальные данные ( )0X задавались как гауссовский случайный

вектор с параметрами ( ) 00

1X

=

, ( ) 10

1DX

=

.

Вычисление пары нормальных случайных величин ξ и η с нуле-вым математическим ожиданием и единичной дисперсией осуществля-лось по формулам 1 22ln sin 2ξ = α πα , 1 22ln cos2η= α πα , где 1α ,

2α – равномерные случайные числа на [ ]0,1 [6].

Тест 1. Тривиальное решение задачи (2) устойчиво в среднем и не-устойчиво по вероятности и в среднем квадратическом. В этом случае дисперсия будет со временем неограниченно возрастать, в то время как математическое ожидание будет стремиться к нулю. Параметры прини-

мали значения: 0.1λ = , 0.5σ = , 2 1ω = . На рис. 1 и рис. 2 приведены графики ЧИК компоненты 1y и ЧФП

пары компонент ( )1 2,y y численного решения системы СДУ (2).

Рис. 1 Рис. 2 Тест 2. Тривиальное решение задачи (2) устойчиво в среднем, по

вероятности и в среднем квадратическом. В этом случае со временем дисперсия и математическое ожидание будут стремиться к нулю. Пара-

метры принимали значения: 0.1λ = , 0.1σ = , 2 1ω = . На рис. 3 и рис. 4 приведены графики ЧИК компоненты 1y и ЧФП

пары компонент ( )1 2,y y численного решения системы СДУ (2).

Тест 3. Тривиальное решение задачи (2) неустойчиво в среднем, по вероятности и в среднем квадратическом. В этом случае со временем

50

дисперсия и математическое ожидание будут неограниченно возрастать.

Параметры принимали значения: 0.1λ = − , 0.1σ = , 2 1ω = .

Рис. 3 Рис. 4 На рис. 5 и рис. 6 приведены графики ЧИК компоненты 1y и ЧФП

пары компонент ( )1 2,y y численного решения системы СДУ (2).

Рис. 5 Рис. 6

Тест 4. Тривиальное решение задачи (2) неустойчиво по вероятно-

сти и в среднем квадратическом. В этом случае со временем дисперсия будет неограниченно возрастать, а математическое ожидание характери-зуется установившимися периодическими колебаниями. Параметры

принимали значения: 0λ = , 0.1σ = , 2 1ω = . На рис. 7 и рис. 8 приведены графики ЧИК компоненты 1y и ЧФП

пары компонент ( )1 2,y y численного решения системы СДУ (2).

Рис. 7 Рис. 8

Результаты проведенных численных экспериментов полностью

совпадают с теоретическими результатами, а приведенные графики наглядно демонстрируют поведение траекторий и распределения реше-ния.

Список литературы

1. Кляцкин, В. И. Стохастические уравнения глазами физика / В. И. Кляцкин. – М. : Физматлит, 2001.

51

2. Хасьминский, Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравне-ний при случайных возмущениях их параметров / Р. З. Хасьминский. – М. : Наука, 1969.

3. Аверина, Т. А. Анализ устойчивости линейного осциллятора с муль-типликативным шумом / Т. А. Аверина, А. А. Алифиренко // Сиб. журн. вы-числ. математики / РАН. Сиб. отд-е. – Новосибирск, 2007. – Т. 10, 2. – С. 127–145.

4. Аверина, Т. А. Новое семейство численных методов решения стоха-стических дифференциальных уравнений / Т. А. Аверина, С. С. Артемьев // Доклады АН СССР. – 1986. – Т. 288, 4. – С. 777–780.

5. Артемьев, С. С. Новые частотные характеристики численного реше-ния стохастических дифференциальных уравнений / С. С. Артемьев, А. А. Иванов, Д. Д. Смирнов // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-е. – Новосибирск, 2015. – Т. 18, 1. – С. 15–26.

6. Ермаков, С. М. Курс статистического моделирования / С. М. Ерма-ков, Г. А. Михайлов. – М. : Наука, 1976.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О НАЗНАЧЕНИЯХ ЦЕЛЕЙ

В. С. Безяев, П. П. Макарычев

ОАО «НПП «Рубин», Пенза, Россия Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

Задача о назначениях, как правило, формулируются следующим

образом:

1 1

,

min;

1, 1,..., ; 1, 1,..., ;

0,1 , 1,..., , 1,..., .

n nij iji j

n nij ijj i

i j

c x

x i n x j n

x i n j n

= = →

= = = =

∈ = =

(1)

где ijx - переменная, принимающая значение 1 в случае, когда j -му

средству поражения назначается i -ая цель; ijc - элемент матрицы, ха-

рактеризующий величину остаточной угрозы от цели. Наиболее распространенными алгоритмами решения задачи о

назначениях являются: «метод исчерпывающего поиска», «венгерский метод», «метод динамического программирования» [1]. В данной работе рассматривается алгоритм, разработанный с использованием концепций:

52

«пространство состояний», «снижение размерности пространства», «тензорная модель пространства», «стратегия поиска в пространстве со-стояний».

Предположим, что 7n = , 7m = и матрица C имеет вид:

10.67 11.63 9.32 10.32 8.51 8.22

3.7 10.05 9.35 11.98 14.83 9.44

8.87 7.58 6.75 14.11 10.96 9.38

C 6.41 5.56 4.46 9.96 6.01 1.73

6.54 4.27 6.79 4.98 8.03 3.76

8.27 8.91 6.51 9.57 3.63 9.05

4.55 8.69 9.36 1.65 1.1

=

2.26

7.39

3.78

3.32

0.05

7.34

0.39 7 1.18

. (2)

Жирным шрифтом в C выделены значения остаточных угроз, удо-влетворяющие минимуму целевой функции в выражении (1).

Для решения задачи воспользуемся представлением отношений «цель-средство поражения» в пространства состояний. Из всех возмож-ных представлений наиболее узкое пространство состояний можно сформировать в виде тензора второго ранга посредством задания суммы неупорядоченной последовательности диад:

1m

i iia b== ⊗T ,

где i ia b⊗ - диада, характеризующая величины остаточных угроз от це-лей при назначении выделенному средству поражения.

Для пространства состояний можно ввести наглядную интерпре-тацию в виде ориентированного графа, в котором вершинам соответ-ствуют диады предметного пространства, а ребрам – отношения между диадами, заданные тензором T . При этом процесс поиска оптимального назначения работ для исполнителей состоит в упорядочивании диад. Начальное расположение диад в последовательности определяет от-правную точку процесса, а конечное расположение диад должно удовле-творять терминальному критерию или цели решения задачи:

1( ) min

ni ii

tr a b= ⊗ → .

Процедура поиска реализует переходы на графе от состояния к состоянию предметного пространства. Одной из фундаментальных стра-тегий поиска упорядоченной последовательности диад является поиск «сначала в ширину». В соответствие с данной стратегией на первом эта-пе последовательно анализируются отношения между диадой 1 1a b⊗ и диадами 2 2a b⊗ , 3 3a b⊗ , …, 1 1m ma b− −⊗ и m ma b⊗ (рис. 1). На втором этапе последовательно анализируются отношения между диадой 2 2a b⊗

53

и диадами 3 3a b⊗ , 4 4a b⊗ ,…, 1 1m ma b− −⊗ , 1 1m ma b− −⊗ . Затем реализу-ются этапы три и четыре и т.д.

В процессе анализа определяются и устраняются все несоответ-

ствия в назначении целей с использованием функции:

, , , ,,

1, ;, 1,..., ; 1,..., .

0, .

i i j j i j j ii j

если T T T Tf i m j m

иначе

+ > += = =

(3)

Нулевое значение ,i jf является индикатором несоответствия в

назначении двух целей. При невыполнении терминального критерия (3) осуществляется перестановка диад и откат на один шаг в процедуре по-иска. В результате реализации процедуры могут быть определены и устранены все несоответствия, которые имеются в начальном состоянии:

1 2 3 3 4 4H =

3 4 4 5 5 6

. (4)

Из (4) следует, что в начальном состоянии назначение работ имеет 6 несоответствий: 1–3, 2-4, …, 3–6. После выполнения процедуры обна-ружения и устранения несоответствий тензор (матрица) назначения при-обретает вид:

10.67 10.32 8.22 8.51 9.32 11.63

3.7 11.98 9.44 14.83 9.35 10.05

8.87 7.58 9.38 10.96 14.11 6.75

Q 6.41 5.56 6.01 1.73 9.96 4.46

6.54 4.27 8.03 3.76 4.98 6.79

8.27 8.91 9.57 9.05 3.63 6.51

4.55 8.69 1.65 1.18 1.17 9.3

=

2.26

7.39

3.78

3.32

0.05

7.34

6

0.39

(5)

Матрица Q характеризует назначения, приведенные ниже в табл. 1.

mm54m 4

1

2 3 m-1 m

Рис. 1 – Поиск «сначала вширь»

3

54

Таблица 1 Распределение целей по устройствам поражения

Цель 1 2 3 4 5 6 Средство поражения 2 3 5 7 6 3

В матрице Q все назначения, отвечающие требованию минимума

целевой функции, расположены на главной диагонали. При этом H = 0 . Алгоритм позволяет оценить эффект от выполнения процедуры. Для начального состояния след матрица (C) 39.2tr = , для конечного состояния – (Q) 24.53tr = . Таким образом, эффект от применения алго-ритма назначения целей следующий: ( ) ( ) ( )K tr C tr Q tr C= − =

(39.2 24.53) 39.2 0.42= − = . В докладе обсуждаются возможные модификации алгоритма, при-

водится пример практического применения алгоритма. Список литературы

1. Волков, И. К. Исследование операций / И. К. Волков, Е. А. Загоруй- ко. – М. : Изд-во МГТУ им. Н. З. Баумана, 2000. – 435 с.

ОБ ОЦЕНКАХ НОРМ ГАЛЕРКИНСКИХ ПРОЕКТОРОВ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ГАЛЕРКИНА ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ НА СЕТКАХ ШИШКИНА

И. А. Блатов, Е. В. Китаева

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, Самара, Россия

E-mail: blatow@mail.ru В работе [3] рассматривался метод конечных элементов для сингу-

лярно возмущенных краевых задач на сетках Н.С. Бахвалова. Здесь мы рассматриваем сетки Шишкина [2] и задачи с регулярной частью.

I. Краевая задача. Рассмотрим на отрезке [ 1,1]− задачу

( ) ( ) ( )

,( ) ( ) ( )

x x A t x D t y d tLz L

y y E t x F t y f t

ε − − = ≡ = − −

(1)

1 1( 1) ... ( 1) (1) ... (1) 0k k nx x x x+− = = − = = = = , 1( 1) ... ( 1) 0ly y− = = − = . (2)

Здесь 1( , ) , ( ,..., ) ,T n Tz x y x x x= = 1( ,..., ) ,l Ty y y= ε - малый поло-жительный параметр, ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )A t D t E t F t d t f t - гладкие матрицы и

вектор-функции класса 3[ 1,1]C − .

55

Предположим, что собственные числа ( ),i tλ 1,...,i n= матрицы ( )A t таковы, что 1 2 1( ) ( ) ... ( ) 0 ( ) ... ( )k k nt t t t t+λ < λ < < λ < < λ < λ . Тогда для

некоторого положительного 0λ будем иметь 0( )i tλ ≥ λ , ( 1,..., ).i n= Ес-

ли через ( )ib t обозначить собственные векторы матрицы ( )A t , отвечаю-щие собственным значениям ( ),i tλ а через ( )B t матрицу со столбцами

1( ),..., ( )nb t b t , то матрица ( )B t приводит матрицу ( )A t к диагональному

виду. Представим ( )B t в блочном виде 11 12

21 22

B BB

B B

=

, где 11 22,B B -

квадратные матрицы k -го и ( )n k− -го порядка соответственно. Предпо-ложим, что 11 11 22 22det ( 1)det (1)det ( 1)det (1) 0B B B B− − ≠ . Тогда краевая задача (1)-(2) при всех достаточно малых 0ε > имеет единственное ре-

шение ( ) ( ( ), ( ))Tz t x t y tε ε ε= , удовлетворяющее оценкам

( ) 0 0( 1) ( 1)( ) 1 (exp exp )

n mi i

R

t tz t C+

−ε

λ − λ − − ≤ + ε + ε ε , 0,1,2.i =

Данное решение имеет экспоненциальные пограничные слои в окрестности концов отрезка [-1,1].

II. Разбиение отрезка [-1,1] и аппроксимационные пространства.

Пусть m - натуральное число, 0

31 lna m= − ε

λ. Положим ,i

ait

m=

0,...,i m= , 1

( ), 1,...,2ia

t a i m i m mm

−= + − = + . Для 0i < положим ,i it t−= −

2 ,..., 1i m= − − . Данное разбиение есть кусочно-равномерная сетка Шиш-кина [3].

Пусть ( ,2,1)S Δ - пространство параболических сплайнов дефекта 1 на разбиении Δ . Приближенное решение задачи (1) будем искать в ко-нечномерном пространстве ( , )E E m= ε непрерывных вектор-функций

1 2( ) ( ( ), ( ),..., ( ))n m Tu t u t u t u t+= , координаты которых ( ) ( ,2,1)iu t S∈ Δ и удовлетворяют краевым условиям задачи (1)-(2).

III. Метод Галеркина и основной результат. Метод Галеркина отыскания приближенного решения задачи (1) состоит в отыскании та-кой функции ( , )u E E m∈ = ε , что для любой ( , )v F LE m∈ = ε

( , ) ,d

Lu v vf

=

, (2)

Теорема 1. Найдутся такие числа 0 0 10, 0, 0,h Cε > > > что для лю-бых 0 0(0, ],1 / (0, ]m hε∈ ε ∈ таких, что 1 / ( )m Cε ≤ , задача (2) имеет един-ственное решение ( )u t , причем справедлива оценка

56

3

1[ 1,1] 3

lnC

mu z C

mε −− ≤ .

Доказательство теоремы основано на оценке С-норм галеркинских проекторов. Пусть

1 ( , ) ( [ 1,1]) :T n lD z x y C += = ∈ −

1 1 1( 1) ( 1) (1) (1) (1) ... (1) 0k k n lx x x x y y+− = = − = = = = = = = -

область определения оператора L задачи (1). Пусть ,z D H Lz∈ = .Тогда

x есть решение соответствующей задачи (1) при ( , )Td f H= . Пусть mP -

ортогональный в ( )2[ 1,1] n lL +− проектор на пространство ( , )F LE m= ε .

Легко видеть, что галеркинская задача (3) при ( , )d f H= эквивалентна операторному уравнению m mP Lu P H= или mLu P H= . Отсюда

m mu G P H G P Lzε ε= = , где 1

1

( , ) ( )G H G t H dε ε−

= ξ ξ ξ , ( , )G tε ξ − функция

Грина задачи (1). Оператор :m mQ G P L D Eε= → называется [3] галер-

кинским проектором. Очевидно, что 2m mQ Q= .

Лемма 1. Справедливы оценки

( ) [ 1,1][ 1,1]1m m CC C C

z Q z Q z z −− →− ≤ + − ,

где z− наилучшее в смысле [ 1,1]C − приближение z в E . Доказательство. Учитывая, что mQ z z= , имеем

( ) [ 1,1][ 1,1] [ 1,1]( ) 1 ,m m m CC C C C

z Q z z z Q z z Q z z −− − →− = − + − ≤ + −

и лемма доказана. Лемма 2. Найдется такой элемент ( )x t E∈ и константы

20, 0C C> > , не зависящие от ,mε таких, что m Cε ≤ , что будут спра-ведливы оценки

3

2[ 1,1] 3

ln.

Cm

x x Cm

ε −− ≤

Доказательство. В [3] аналогичная оценка была получена из ап-проксимационных свойств кубических сплайнов дефекта 1, оценок (2) и свойств сетки Н.С. Бахвалова. В нашем случае вместо сетки Бахвалова используется сетка Шишкина и доказательство совершенно аналогично.

Из лемм 1 и 2 вытекает, что для доказательства теоремы 1 доста-

точно доказать равномерную ограниченность в ( [ 1,1])n lC +− семейства проекторов mQ , т.е. равномерные по ε и m оценки

57

m C CQ C→ ≤ . (4)

Доказательство оценок (4) проводится по схеме [3], где аналогич-ные оценки были доказаны для сеток Н. С. Бахвалова.

Численная реализация метода сводится к решению СЛАУ с разре-женной матрицей, являющейся матрицей Грама образов B-сплайнов при действии на них оператора L . Вопросы решения таких СЛАУ рассмат-ривались в [1].

Численная реализация метода сводится к решению СЛАУ с разре-женной симметричной положительно определенной матрицей. Вопросы решения таких СЛАУ рассматривались в [1].

Список литературы

1. Блатов, И. А. Об оценках элементов LU-разложений разреженных матриц и их приложениях к методам неполной факторизации / И. А. Блатов // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. – 1997. – Т. 37, 3. – С. 259–276.

2. Шишкин, Г. И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений / Г. И. Шишкин. – Екатеринбург : Изд-во УРО РАН, 1992.

3. Blatov, I. A. On best possible order of convergence estimates in the collo-cation method and Galerkin's method for singularly perturbed boundary value prob-lems for systems of first order ordinary differential equations / I. A. Blatov, V. V. Strygin // Math. Comput. – 1999. – 68. – Р. 683–715.

О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА ОПОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДИФФУЗИОННОГО ТИПА

С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ1

Р. В. Жалнин, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин

Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева, Саранск, Россия

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Москва, Россия

E-mail: zhrv@mrsu.ru, vmasyagin@gmail.com, v.f.tishkin@mail.ru

Введение

В настоящей статье рассматривается решение уравнений диффу-зионного типа с разрывными коэффициентами на неструктурированных разнесенных сетках с помощью метода Галеркина с разрывными базис-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 14-01-31260

мол_а).

58

ными функциями (РМГ), или Discontinuous Galerkin Method (DGM) [1], который характеризуется высоким порядком точности получаемого ре-шения [2-5]. Для осреднения коэффициентов матрицы тензора на ячей-ках двойственной сетки используется метод опорных операторов [6-8]. Численный алгоритм рассматривается на примере решения начально-краевой задачи для двумерного уравнения диффузионного типа с тен-зорными коэффициентами. Для нахождения потоков на границе ячеек используются стабилизирующие добавки. Для верификации предложен-ного алгоритма решалась двумерная тестовая задача.

Формулировка разрывного метода Галеркина для уравнения диффузионного типа

Рассматривается задача

( )div , , , 0 ,u

W F x y G t Tt

∂ + = ∈ < ≤∂

,n Gu W f∂α +β = (1)

где G – область двумерного пространства с границей G∂ , u - определя-емая величина, W - тензор. Предполагается стандартная, определяемая экспериментально установленными законами (Фика, Фурье и т.д.) связь функции и потока

, ,

.i ij ji j x y

W k u=

= − ∇

Для применения разрывного метода Галеркина покроем область G , на которой ищется решение, треугольной сеткой hT . Также примем в рассмотрение двойственную сетку, построенную из медианных кон-трольных объемов вокруг вершин исходной треугольной сетки. На рис. 1 представлен медианный контрольный объем вокруг вершины I .

Для решения уравнения (1) с помощью разрывного метода Галер-кина [2, 6] необходимо преобразовать его к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Для этого вводятся в рассмотрение дополнительные переменные [5]:

,x xx xyu u

k kx y

∂ ∂ω = +∂ ∂

.y yx yyu u

k kx y

∂ ∂ω = +∂ ∂

Исходное уравнение (1) перепишется в виде системы

,

,

.

x y

x xx xy

y yx yy

uF

t x y

u uk k

x y

u uk k

x y

∂ ∂ ∂= ω + ω + ∂ ∂ ∂∂ ∂ω = + ∂ ∂

∂ ∂ω = + ∂ ∂

(2)

59

Рис. 1. Медианный контрольный объем

На каждом элементе jT приближенное решение первого уравне-

ния из (2) будем искать в виде полиномов ( ),P x y степени p с завися-

щими от времени коэффициентами:

( ) ( ) ( )0

, , , ,st

i ihi

u x y t u t x y=

= φ

где st – размерность пространства полиномов, а ( ),i x yφ - соответству-

ющая базисная функция. В данной работе в качестве пробных (базис-

ных) функций используется базис Тейлора: 0 1φ = , 1cx x

x

−φ =Δ

,

2 ,cy y

y

−φ =Δ

где ( ),c cx y - координаты центра масс соответствующего

треугольника, ,x yΔ Δ - проекции треугольника на соответствующие ко-ординатные оси.

На каждом элементе jD приближенное решение второго и третье-

го уравнений из (2) будем искать в виде полиномов ( ),P x y степени p с

зависящими от времени коэффициентами:

( ) ( ) ( )0

, , , ,st

x xi ihi

x y t t x y=

ω = ω ψ

( ) ( ) ( )0

, , , ,st

y yi ihi

x y t t x y=

ω = ω ψ

60

где st - размерность пространства полиномов, а ( ),i x yψ - соответству-

ющая базисная функция. В качестве пробных (базисных) функций ис-

пользуется базиc: 0 1ψ = , 1cx x

x

′−ψ =′Δ

, 2 ,cy y

y

′−ψ =′Δ

где ( ),c cx y′ ′ - коор-

динаты центра масс соответствующей ячейки двойственной сетки, ,x y′ ′Δ Δ - проекции ячейки на соответствующие координатные оси. Приближенное решение системы (2) в разрывном методе Галерки-

на ищется как решение следующих систем [1]:

2

0 j j j j

i ki k x x k y y k x

i T T T T

UdS n dl n dl dS

t x= ∂ ∂

∂ ∂φφ φ = ω φ + ω φ − ω −∂ ∂

( )F , , , 0.. ,

j j

ky j k k

T T

dS dS x y k sty

∂φ− ω + φ ∀φ =∂ (3)

2

0

ˆ ˆ

j j j

xi i k x xx k y xy ki D D D

dS n k p dl n k p dl= ∂ ∂

Ω ψ ψ = ψ + ψ −

( ) ( ) ( )

ˆ ˆ, , , 0.. ,

j j

xx k xy kk

D D

k kp dS p dS x y k st

x y

∂ ψ ∂ ψ− − ∀ψ =

∂ ∂ (4)

2

0

ˆ ˆ

j j j

yi i k x yx k y yy ki D D D

dS n k p dl n k p dl= ∂ ∂

Ω ψ ψ = ψ + ψ −

( ) ( ) ( )

ˆ ˆ, , , 0.. ,

j j

yx k yy kk k k

D D

k kp dS p dS x y k st

x y

∂ ψ ∂ ψ− − ∀ψ =

∂ ∂ (5)

где ( ),x yn n n= – вектор внешней единичной нормали по границе соот-

ветствующего элемента, ,x yω ω - потоковые величины, вычисленные на

границе элемента jT∂ , p - потоковая величина, вычисленная на границе

элемента jD∂ , ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,xx xy yx yyk k k k - осредненные компоненты тензора, ко-

торые будут определены ниже. Потоковые значения величин на границе элементов предлагается

вычислять аналогично тому, как это сделано для уравнения теплопро-водности [9], используя стабилизирующие добавки. Величину p берем из соответствующего треугольника, на границе p берем из граничного условия. Величины ,x yω ω определяем следующим образом:

61

( ) ( )( )11, , , ,p p n С p p n+ − + −ω = ω+ −

где p− вычисляется на границе jT∂ элемента jT по значению внутри

элемента, в то время как величина p+ вычисляется на границе jT∂ по

значению в соседней к данному элементу ячейке. На граничных ребрах

значение p+ берём из граничного условия.

Метод опорных операторов

Предполагается, что координатные линии сетки совпадают с ли-ниями разрывов компонентов тензора K , а компоненты тензора

, , ,ijk i j x y= суть постоянные величины в ячейках. В том случае, если

компоненты тензора являются переменными величинами в ячейке, бу-дем брать среднее значение в центре масс треугольника. Осредненный тензор K будем определять из соотношения, приводимого в работе [8], потребовав выполнения этого равенства для элементов линейной обо-лочки базисных функций , 0,2i iψ = :

ˆ , , , ,

k

abij i j a b

D

k p dS g p i j x y∇ ∇ ψ = Δ Δ ψ =

где

, ,ab a i b jijg S k l lη

η= .

Суммирование ведется по всем ребрам ячейки двойственной сет-

ки, , ,a i b jijk l l есть евклидово скалярное произведение векторов ,a i

ijk l и ,b jl , где ,a bl l – векторы, сопряженные векторам ,a bl l (векторы, выхо-

дящие из вершины η двойственной ячейки и равные по длине ребрам), Sη – некоторые площади, присоединенные к узлу η и сумма которых

равна площади kDS ячейки kD , ijk – компоненты матрицы тензора K ,

взятые из соответствующего треугольника, ( ) ( )a p p B p AΔ = − . Поло-

жительное направление вдоль ребра a определено от точки A к точке B . Аналогично вводится определение bΔ ψ для ребра b .

Результаты расчетов

Была рассмотрена первая краевая задача:

div 0u

W , r G,t

∂ + = ∈∂

62

,W K u= − ∇

( ) ( )0 sin sin , 0,t Gu x y u= ∂= π π =

где область G представляет собой единичный квадрат на плоскости OXY с координатами вершин ( )0;0 , ( )0;1 , ( )1;0 , ( )1;1 . Расчеты прове-

дены для следующих коэффициентов:

11 0.5

0.5 1K

=

, если 0.5x <

и 21 0.5

0.5 1K

− = − , если 0.5x > .

Для решения задачи использовалась явная схема Эйлера.

Рис. 2. Начальное условие

Выводы

Результаты расчетов показали возможность применения описанно-го в данной работе способа осреднения коэффициентов матрицы тензора на ячейках двойственной сетки для решения уравнений диффузионного типа с разрывными коэффициентами с помощью метода Галеркина с разрывными базисными функциями.

63

Рис. 3. Распределение искомой величины в момент времени T 0.32= . Количество треугольников: 8661

Список литературы

1. Cockburn, B. An Introduction to the Discontinuous Galerkin Method for Convection / B. Cockburn // Dominated Problems, Advanced Numerical Approxi-mation of Nonlinear Hyperbolic Equations Lecture Notes in Mathematics. – 1998. – Vol. 1697. – P. 151–268.

2. Ладонкина, М. Е. Исследование влияния лимитера на порядок точно-сти решения разрывным методом Галеркина / М. Е. Ладонкина, О. А. Неклю-дова, В. Ф. Тишкин // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. – 2012. – 34. – С. 31. – URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2012-34

3. Ладонкина, М. Е. Исследование влияния лимитера на порядок точно-сти решения разрывным методом Галеркина / М. Е. Ладонкина, О. А. Неклю-дова, В. Ф. Тишкин // Математическое моделирование. – 2012. – Т. 24, 12.

4. Жалнин, Р. В. Об одном способе решения уравнений диффузионного типа с помощью разрывного метода Галеркина на неструктурированной сетке / Р. В. Жалнин, М. Е. Ладонкина, В. Ф. Масягин, В. Ф. Тишкин // Журнал Средневолжского математического общества. – 2014. – Т. 16, 2. – С. 7–13.

5. Bassi, F. A High-Order Accurate Discontinuous Finite Element Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier-Stokes Equations / F. Bassi, S. Rebay // Journal of Computational Physics. – 1997. – 131. – P. 267–279.

6. Разностные схемы на нерегулярных сетках / А. А. Самарский, А. В. Колдоба, Ю. А. Повещенко, В. Ф. Тишкин, А. П. Фаворский. – Минск, 1996.

64

7. Самарский, А. А. Использование метода опорных операторов для по-строения разностных аналогов операций тензорного анализа / А. А. Самар-ский, В. Ф. Тишкин, А. П. Фаворский, М. Ю. Шашков // Дифференциальные уравнения. – 1982. – Т. 18, 7. – С. 1251–1256.

8. Пергамент, А. Х. Метод опорных операторов для эллиптических и параболических краевых задач с разрывными коэффициентами в анизотроп-ных средах / А. Х. Пергамент, В. А. Семилетов // Математическое моделиро-вание. – 2007. – Т. 19, 5. – С. 105–116.

9. Arnold, D. N. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for el-liptic problems / D. N. Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn, L. D. Marini // SIAM Jour-nal on Numerical Analysis. – 2002. – 29. – P. 1749–1779.

ПРИМЕНЕНИЕ НЕКОНФОРМНЫХ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ МЕТОДОВ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРОСАЧИВАНИЯ

Н. Б. Иткина, С. И. Марков

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, Россия E-mail: itkina.nat@yandex.ru, www.sim91@list.ru

Математическая модель процесса просачивания жидкости в пори-

стую среду представляет собой систему нестационарных уравнений, описывающих процессы массопереноса влаги (первичный процесс) и движение тепловой энергии (вторичный процесс). Кроме того, уравне-ния следует рассматривать, как нелинейные по правой части, поскольку из физических соображений увеличение концентрации влаги влечёт из-менение температурного фона. Аналогично изменение температурного фона влияет на скорость процесса просачивания.

При выборе математической модели процесса адсорбции учтены следующие допущения:

• влияние влажности на динамическую активность адсорбента не учитывается;

• перепад давления по длине образца отсутствует; • скорость массопереноса по оси Oz значительно превышает ско-

рость переноса вдоль осей Ox и Oy ; • газовые смеси обладают свойством идеального газа. С учётом принятых допущений процесс массо- и теплопереноса,

который соответствует движению теплового фронта, может быть описан нестационарным уравнением теплопроводности с объёмным источни-ком, зависящим от концентрации влаги

65

( ) C

Tc v T div gradT C

t

∂ ρ + ⋅∇ = λ + δ ∂

, (1)

где λ , ( )Вт/ м K⋅ - коэффициент теплопроводности; [ ]T K - темпера-

тура; Дж

,кг

cK

⋅

- удельная теплоёмкость; 3

кг,м

ρ - плотность вещества;

3,[кг/м ]C - концентрация влаги, Cδ - функция управления объёмным

источником; [ ], м/сv

- локальная скорость среды.

Боковые поверхности образцов изолированы, нижним торцом об-разец касается поверхности воды с постоянной температурой 26,5° , сверху образец касается воздуха с постоянной концентрацией влаги 30% и температурой 26,5° .

Вариационная постановка для задачи (1) имеет вид [1-2]:

( )h h hu vd v vd uvdΩ Ω Ω

λ∇ ⋅∇ Ω+ ⋅σ Ω + γ Ω +

[ ] ( )[ ]h hu u v v dSΓ

+ λ − ⋅ ∇ − σ ⋅ +

[ ] ( )0

[ ] h hu u v v dS fvdΩΓ

+ λ − ∇ − σ = Ω

. (2)

«Численные потоки» в вариационной постановке (2) определим в форме "внутреннего штрафа" или IP - постановки1 [1]

0 , на ,

g , на Г ,

, на Г ,

h

D D

h N

uu

u

Γ=

(3)

0 ([ ])на ,

([ ])на Г ,

, на Г ,

h j h

h j h D

N N

u u

u u

g n

∇ −α Γ

σ = ∇ −α

(4)

где

( )[ ] [ ].j h hu uα = μ (5)

Выпишем дискретный аналог постановки (2) с учётом внутреннего штрафа (5) и представления решения в виде разложения по базису (6)

1 Постановка "Internal Penalty" не только является адаптируемой для решения целого класса сингулярно - возмущенных задач, но и устойчивой вычислительной схемой при использовании линейных базисных функций на носителе.

66

( ) ( )j j jK K Kmi i

i K

q grad grad dKλ ψ ⋅ ψ +

( )j j j jj j

j j

K K K KK Km mi i i i

i iK K

q v grad dK q dK+ ⋅ ψ ψ + γψ ψ −

( ) ( ) ( )

grad grad [ ]j j j jj j

j D N

K K K KK Km mi i i i

i K

q q dS∂ ∩ Γ ∪Γ

− λ ψ ψ + ψ ψ −

( )j j

j N j N

K KN m D m

K K

g dS g n grad dS∂ ∩Γ ∂ ∩Γ

− ψ + λ ⋅ ψ +

0

[ ][ ] ,j

j

Km

l l K

u v f d∈Γ

+ λμ = ψ Ω (6)

1

( , , ) ( , , ) j jp

K Kji i

i

u x y z q x y z K=

= ψ ∀ , (7)

где jKmψ – пробная функция, ассоциированная с m-ым узлом элемента

jK ; inj

K

iψ – базисные функции рассматриваемого элемента; exj

K

iψ – ба-

зисные функции соседнего элемента через границу элемента; inn –

внешняя нормаль к рассматриваемому элементу; exn – внешняя нормаль

к соседнему элементу через границу элементу; jK

mψ – пробная функция. Таким образом, дискретный аналог задачи, представляющий собой

систему линейных алгебраических уравнений относительно вектора ко-

эффициентов линейной комбинации jK

iQ q

=

, имеет вид:

AQ R= ,

где

0 0 Din exГ Г Г

A B E E E= + + + ,

D NR F F F= + + ,

( ) ( )j j

j

K Kmi mi

K

B grad grad dK= λ ψ ⋅ ψ +

67

( )j jj j

j j

K KK Km mi i

K K

v grad dK dK+ ⋅ ψ ψ + γψ ψ

,

( ) ( )0

0 2

inj j

j

K Kin inmimi

K

E n grad dSΓ∂ ∩Γ

λ= −ψ ⋅ ψ −

0 0

,2

in inj jj j

j j

K KK Km mi i

iK K

grad n dS n n dS

∂ ∩Γ ∂ ∩Γ

λ − ψ ⋅ ψ +μ λ ψ ⋅ ψ

( ) ( )0

0 2

exj j

j

K Kex exmimi

K

E n grad dSΓ∂ ∩Γ

λ= −ψ ⋅ ψ −

0 0

,2

ex exj jj j

j j

K KK Km mi i

iK K

grad n dS n n dS

∂ ∩Γ ∂ ∩Γ

λ − ψ ⋅ ψ +μ λ ψ ⋅ ψ

( ) ( )inj j

D

j D

K Kj inmi

miK

E n grad dSΓ

∂ ∩Γ

= − λψ ⋅ ψ −

,inj j

j D

K Kmi

K

qgrad n dS∂ ∩Γ

− λ ψ ⋅ ψ

,jKm mF f d

Ω

= ψ Ω

( ) ( ) ,j

j D

KjD mD m

K

F g n grad dS∂ ∩Γ

= λ ⋅ ψ

( ) .j

j D

KjN mN m

K

F g dS∂ ∩Γ

= − λ ψ

Глобальная матрица СЛАУ для двух соседних конечных элемента K и M имеет блочную структуру

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 0

0 0

D

D

K K K M KK in ex

K M M M Mex M in

B E E Ex

E B E E

→ →

Γ Γ Γ→ →

Γ Γ Γ

+ + =

+ +

68

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

KKK jm D N

MMM jm D N

F F F

F F F

+ + = + +

.

Физические эксперименты проводились при постоянной темпера-туре и влажности окружающего воздуха (

026.5

tT = = ° ,

воздуха0.3C = ).

Начальная температура образца и воды была равна 0 26.5tT = = ° . Из га-

зобетона были изготовлены образцы размерами 10 100 100× × мм. Согласно данным эксперимента, пористость образца составляла

приблизительно 80% всего объема. Поэтому исходная модель образца была разбита на одинаковые параллелепипеды размерами 10 10 10× × мм, которые были равномерно заполнены порами радиуса не более 1 мм (со-гласно данным интегрального распределения пор для бетона с плотно-

стью 3600кг/мρ = ). Затем простым тиражированием из этих параллеле-пипедов был сконструирован образец. Строение фрагмента представле-но на рис. 1.

Рис. 1. Фрагмент образца На рис. 2 показан температурный фронт спустя 1 минуту после

начала эксперимента. Толщина температурного фронта меньше 5 мм, что подтверждают данные практического эксперимента.

Вычислительная схема позволяет точно определить местоположе-ние температурного фронта на ранних временных слоях. Погрешность определения положения теплового фронта на поздних временнах со-ставляет примерно 10%.

69

Рис. 2. Температурный фронт через одну минуту, временной шаг 1c.th =

Список литературы

1. Arnold, D. N. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for el-liptic problems / D. N. Arnold, F. Brezzi, B. Cocburn, D. Marini // SIAM J. Numer. Anal. – 2002. – V. 39.

2. Cocburn, B. Discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems / B. Cocburn // In High – Order Methods for Computational Physics. – 2005. – V. 9, Springer. – P. 69–224.

СМЕШАННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПОСТАНОВКИ РАЗРЫВНОГО МЕТОДА ГАЛЕРКИНА ДЛЯ ЗАДАЧИ ДАРСИ

С. А. Трофимова

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, Россия

E-mail: svetik-missy@mail.ru Математическое моделирование процессов просачивания жидко-

сти (газа) в пористую среду это актуальная задача для нефтедобываю-щей отрасли, т.к. большая часть мировых запасов нефти и газа в насто-ящее время располагается в месторождениях слоисто-пористой структу-ры. Одной из моделей, описывающих процесс фильтрации жидкости под действием давления, является модель Дарси.

Одним из современных подходов для численного решения задачи Дарси является смешанный метод конечных элементов, основанный на

70

формулировке разрывного метода Галеркина. Основная идея смешанного метода – это поиск решения на сумме пространств, что дает возможность отразить определенные аспекты задачи, однако порождает необходимость в детальном анализе смешанных постановок, выборе специального базиса из соответствующего конечно-элементного подпространства, а также по-строении специального решателя для дискретного аналога.

Классическим выбором функциональных пространств для сме-шанных постановок являются пространство Лебега ( )2L Ω интегрируе-

мых с квадратом функций, определенных в области Ω , и пространство

( )divH Ω лебеговых интегрируемых с квадратом векторных функций,

дивергенция которых принадлежит пространству ( )2L Ω .

Модель Дарси, описывающая фильтрацию жидкости в пористой среде под действием давления, имеет вид:

K p f−∇⋅ ∇ = в Ω (1)

K p n g− ∇ ⋅ = на ∂Ω , (2)

где nRΩ⊂ – ограниченная n-мерная область с границей D∂Ω = Γ , K – симметричный положительно определенный тензор.

Перейдем к системе уравнений:

u K p

u f

u n g

= − ∇ ∇⋅ = ⋅ =

(3)

с дополнительными условиями принадлежности пространству ( )2L Ω

функций f и g :

fd gdsΩ ∂Ω

Ω =

Домножив уравнения системы (3) на пробные функции v и q и воспользовавшись формулой Грина вида:

( )d d n dsΩ Ω ∂Ω

∇⋅ψϕ Ω = − ψ ⋅∇ϕ Ω+ ψ ⋅ ϕ (4)

получим смешанную формулировку задачи (3):

найти ( ) ( ) ( )0 2, divu p H L∈ Ω × Ω такие, что:

( ) ( )

( ) ( )

1 , , 0

, ,

K u v p v

u q f q

−ΩΩ

Ω Ω

− ∇⋅ =

∇⋅ = ( ) ( )0 2, qdivv H L∀ ∈ Ω ∀ ∈ Ω , (5)

71

где ( ) ( )( ) ( ) 0 2 2, , 0ndivH v L v L v n ∂ΩΩ = ∈ Ω ∇⋅ ∈ Ω ⋅ = и ( ), Ωψ ϕ означа-

ет скалярное произведение в ( )2L Ω .

Пусть h TΞ = – разбиение расчетной области Ω на конечные

элементы T , тогда hT

T∈Ξ

Γ = ∂ – множество границ элементов T ,

0 \Γ = Γ ∂Ω . Введем конечно-элементные подпространства следующим образом:

( )( ) ( )( ) 2 :n n

h T k hV v L v P T T= ∈ Ω ∈ ∀ ∈Ξ

( ) ( ) 2 :h T l hQ q L q P T T= ∈ Ω ∈ ∀ ∈Ξ ,

где ( )kP T , ( )lP T – пространства полиномов степени , 1k l ≥

Получим вариационную формулировку разрывного метода Галер-кина. Для этого рассмотрим задачу (3) на каждом конечном элементе

hT ∈Ξ . После умножения первого и второго уравнения системы (3) на пробные функции v и q соответственно и применения формулы Грина (4) получим:

( )

( ) ( )0

1 ˆ 0

ˆ ˆD

T T T

T TT T

K u vdT p vdT p v n ds

uqdT u n qds fqdT u n qds

−

∂

∂ ∈Γ ∂ ∈Γ

⋅ − ∇ ⋅ + ⋅ =− ∇⋅ + γ ⋅ = − γ ⋅

(6)

где ˆ ˆ,u q – численные потоки через границу конечного элемента. Поскольку u – значение скорости u на границе T∂ конечного эле-

мента, то в случае, когда T∂ ∩∂Ω ≠∅ установим u g= .

( )

( )0

1 ˆ 0

ˆD

T T T

T TT T

K u vdT p vdT p v n ds

uqdT u n qds fqdT gqds

−

∂

∂ ∈Γ ∂ ∈Γ

⋅ − ∇ ⋅ + ⋅ =− ∇⋅ + γ ⋅ = − γ

(7)

Для определения численных потоков на ребрах конечных элемен-тов введем операторы среднего значения ⋅ и скачка [ ]⋅ . Пусть 0e∈Γ –

внутреннее ребро, соединяющее элементы 1T и 2T , для которых на ребре e определены внешние нормали 1n и 2n соответственно. Тогда операто-ры среднего значения и скачка скалярной функции q определяются сле-дующим образом:

72

( ) [ ]1 2 1 1 2 21

,2

q q q q q n q n= + = + (8)

где , 1,2ii Kq q i= =

Для векторной функции ϕ операторы ⋅ и [ ]⋅ примут вид:

( ) [ ]1 2 1 1 2 21

,2

n nϕ = ϕ + ϕ ϕ = ϕ ⋅ + ϕ ⋅ . (9)

Для граничного ребра e∈∂Ω , принадлежащего элементу T с внешней нормалью n , операторы среднего значения и скачка функций q и ϕ определяются следующим образом:

[ ],q q q qn= = , (10)

[ ], nϕ = ϕ ϕ = ϕ⋅ . (11)

Выбирая различный вид численных потоков, мы можем получить вычислительную схему, обладающую определенными свойствами. Рас-смотрим численные потоки вида [2]:

q q= , (12)

[ ]u n u n⋅ = ⋅ . (13)

Просуммируем уравнения из (7) по всем конечным элементам и добавим ко второму уравнению системы дополнительный стабилизатор

вида [ ] [ ]u v dsΓ

μ ⋅ . Отметим, что

0

1,

1 / 2,

DT

T

∂ ∈Γγ = ∂ ∈Γ

.

Таким образом, в итоге получим:

[ ] ( )

[ ] [ ]

[ ] ( )

0

0 0

0

1

0

D

D D

K u vd p vd p v n ds p v n ds

u v ds u vds

uqd u n q ds u n qds fqd gqds

−

Ω Ω Γ Γ

Γ Γ

Ω ΩΓ Γ Γ

⋅ Ω − ∇⋅ Ω + ⋅ + ⋅ + +μ ⋅ +μ ⋅ =− ∇⋅ Ω + ⋅ + ⋅ = Ω −

(14)

Рассмотрим систему (3) для задач, имеющих аналитическое реше-ние в области [ ] [ ]0,1 0,1Ω = × .

Задача 1. Разрывный скалярный коэффициент проницаемости Пусть заданы следующие параметры задачи (3):

73

2 3

23

cos( ), 0 0.5, 0 0.5

, 2 9 2 910 , 0.5 1 cos , 0.5 120 20

x y xy xI x

K p x xI x y y x

+ ≤ ≤≤ ≤

= = + + ≤ ≤ + < ≤

Мелкость разбиения сетки – 0.025 Относительная погрешность решения в норме 2L – 4.86436e-007

Рис. 1. Численные поля давления и скорости для задачи 1

В табл. 1 приведены относительные погрешности в норме 2L для

сеток с мелкостью разбиения 0.05, / 2 0.025, / 4 0.0125.h h h= = =

Таблица 1 Относительные погрешности решения задачи 1

h / 2h / 4h 3.22146e-006 4.86436e-007 9.24956e-008 Задача 2. Тензорный коэффициент проницаемости с разрывом Параметры задачи:

( )( )

2 1, 0 0.5, 0 0.5

,1 20.5 0.5 , 0.5 1

, 0.5 1

xy xxK p

xy x y xI x

≤ ≤≤ ≤ = = + − + < ≤ ≤ ≤

Мелкость разбиения сетки – 0.025 Относительная погрешность решения в норме 2L – 1.63967e-011. В табл. 2 приведены относительные погрешности в норме 2L для

сеток с мелкостью разбиения 0.05, / 2 0.025, / 4 0.0125.h h h= = = Верификация предлагаемой вычислительной схемы, основанной

на смешанной постановке разрывного метода Галеркина, показала

74

устойчивость дискретного аналога на классе модельных задач с тензор-ным коэффициентом проницаемости среды, имеющих аналитическое решение.

Рис. 2. Численные поля давления и скорости для задачи 2

Таблица 2

Относительные погрешности решения задачи 2

h / 2h / 4h 3.87307e-012 1.63967e-011 1.20242e-010

Список литературы

1. Brezzi, F. Mixed discontinuous Galerkin methods for Darcy flow / F. Brezzi, T. J. R. Hughes, L. D. Marini, A. Masud // Journal of Scientific Compu-ting. – 2005. – 22 (1-3). – P. 119–145.

2. Toselli, A. hp discontinuous Galerkin approximations for the Stokes prob-lem / A. Toselli // Seminar fur angewandte mathematic. – 2002.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИИ ОДНОРОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Э. П. Шурина, А. Ю. Кутищева

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, Россия

E-mail: shurina@online.sinor.ru, kutischeva.anastasia@yandex.ru

Введение

В настоящее время активно развиваются области науки и техники, ориентированные на разработку новых материалов, в связи с чем требу-

75

ется выполнение большого числа физических экспериментов по опреде-лению свойств разработанных композитов. Для сокращения и оптимиза-ции числа экспериментов возможно применение различных численных подходов. Так, например, для моделирования деформации твердого тела используется метод конечных элементов [1]. Данный метод является до-статочно гибким и позволяет исследовать процессы деформации и раз-рушения с минимальными упрощениями исходной модели. Существуют также различные модификации классического метода Галёркина (обо-гащенный метод конечных элементов [2], обобщенный метод конечных элементов [3] и др.) ориентированные на решение ряда специальных за-дач в областях сложной внутренней геометрии. Поэтому на начальном этапе будем рассматривать решение задачи деформации твердого тела при различных моделях нагружения методом конечных элементов в классической постановке.

Математическая модель

Рассмотрим образец Ω ( 1 2 3∂Ω = Γ ∪Γ ∪Γ ) в форме параллелепи-педа правая грань 1Γ которого жестко закреплена, на остальные грани ( 2 3,Γ Γ ) воздействуют в соответствии с моделью нагружения. Для нахождения распределения напряжений при условии упругой деформа-ции выпишем уравнение равновесия (при отсутствии объемных сил)

1

0 в ,

0,Γ

∇⋅σ = Ω=u

2 3, 0,Γ Γσ⋅ = σ ⋅ =n f n

где σ – тензор напряжений Коши, Тx y z(u ,u ,u )=u – смещение.

Пусть деформаций

( ) Sε = ∇u u (2)

являются линейными, тогда по обобщённому закону Гука

: ( )σ = εD u (3)

1

1

1(1 ) 1 2, , ,

(1 )(1 ) 1 2(1 )

a a

a a

a aE v v va b

bv v v v

b

b

Ο − −= ⋅ = = + − − − Ο

D (4)

где E – модуль Юнга, v – коэффициент Пуассона.

76

Подставим (2) и (3) в (1)

( ): 0 в ,S∇⋅ ∇ = ΩD u

1 2 3

0, , 0.Γ Γ Γ= σ ⋅ = σ ⋅ =u n f n (5)

Вариационная постановка

Введем следующие гильбертовы пространства:

( ) ( )( )

2

1, , , , , : , ( ), , ,z,

( ) ,(x), (x) (x) (x) , x

x y z x y z p pu u u v v v u v L p x yH

dΩ

= = ∈ Ω ∀ = Ω = = ⋅ Ω ∀ ∈Ω

u v

u v u v (6)

1 10( ) ( ) : | 0 .H H ∂ΩΩ = ∈ Ω =v v (7)

Тогда вариационная постановка для задачи (5)

Найти 10 0( ) ( )H u∈ Ω + ∂Ωu такую, что 1

0( )H∀ ∈ Ωv выполняется

2

(x) : : (x) (x) на .d dΩ Γ

∇ ∇ Ω= ⋅ Ω Ω u D v f v . (8)

Дискретизация

Определим разбиение hℜ области Ω на тетраэдральные конечные элементы K и введем конечномерно подпространство

( ) ( )10

hV HΩ ⊂ Ω состоящее из N кусочно-линейных непрерывных

функций, определенных на конечных носителях hK ⊂ℜ . Тогда дискрет-ная вариационная постановка в форме Галёркина для краевой задачи (5) примет вид:

Найти 0( ) ( )h hV u∈ Ω + ∂Ωu такую, что ( )h hV∀ ∈ Ωv выполняет-ся

2

(x) : : (x) (x) , x .h h hd dΩ Γ

∇ ∇ Ω= ⋅ Ω ∀ ∈Ω u D v f v (9)

Учетом разложения hu по базису пространства ( )hV Ω перепишем

глобальную постановку (9) в виде системы линейных алгебраических уравнений

21

(x) : : (x) (x) , 1, , x ;N

i j i ji

d d j N= Ω Γ

∇ ∇ Ω = ⋅ Ω ∀ = ∀ ∈Ω

φ D φ q f φ (10)

или в матричном виде

77

,global global=A q b (11)

где ( ), ,Tyx z

i i iiq q q=q веса разложения hu по базисным функциям

( )(x) (x), (x), (x) , 1,Тyx z

i i ii i N= ϕ ϕ ϕ ∀ =φ .

С учетом конечноэлементного разбиения h Kℜ =

, x .(x) : : (x)global K Ki jij

K K

KdK∈ℜ

= ∈∇ ∇ A φ D φ (12)

Результаты моделирования

Образец без дефектов

Верификацию разработанного программного комплекса (язык про-граммирования С++) будем выполнять на однородном образце без де-фектов ( 100E кПа= и 0.3v = ). К верхней и нижней граням приклады-ваются силы f равные по модулю и противоположные по направлению, правая боковая грань зафиксирована от перемещений.

Из рис. 1 видно, что полученное решение соответствует физике рассматриваемого процесса.

а) б) в)

Рис. 1. Область моделирования (а) и распределение Z-компоненты тензора деформации ε (б – поверхностная деформация и конечноэлементное

разбиение; в – распределение в сечении, проходящем через центр образца)

Образец с трещиной

В механике разрушения используются три независимых модели нагружения [4]: Тип 1 (рис. 2,а), Тип 2 (рис. 2,б) и Тип 3 (рис. 2,в).

Результаты моделирования для каждой из моделей приведены на рис. 3–5 и также соответствуют физическим представлениям о деформа-ции нагружаемого твердого тела.

16мм

2мм

7мм f

f zzε

78

а) б) в)

Рис. 2. Типы моделей нагружения (а – Тип 1, б – Тип 2, в – Тип 3)

а) б)

Рис. 3. Тип 1 (а – область моделирования; б – распределение Z-компоненты тензора деформации ε в сечении, проходящем через центр образца)

а) б)

Рис. 4. Тип 2 (а – область моделирования; б – распределение Z-компоненты тензора деформации ε в сечении, проходящем через центр образца)

Заключение

Разработан программный комплекс по решению ряда задач меха-ники разрушения деформируемого твердого тела. Выполнено численное моделирование процесса деформации твердого тела с исходным дефек-том (трещиной). Полученные распределения тензора деформации соот-ветствуют физике рассматриваемого процесса, таким образом возможна

16мм

2мм

7мм

0.1мм

3.5мм

zzε

zzε

16мм

2мм

7мм

0.1мм

3.5мм

79

дальнейшая разработка рассмотренных моделей для исследования усложненных структур.

а) б)

Рис. 5. Тип 3 (а – область моделирования; б – распределение Z-компоненты тензора деформации ε в сечении, проходящем через центр образца)

Список литературы

1. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. – М. : Мир, 1986. – 318 с.

2. Belytschko, T. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing / T. Belytschko, T. Black // International Journal for Numerical Methods in Engineering. – 1999. – Vol. 45, 5. – P. 601–620.

3. Babuška, I. Special Finite Element Methods for a Class of Second Order Elliptic Problems with Rough Coefficients / I. Babuška, G. Caloz, J. E. Osborn // SIAM J. Numer. Anal. – 1994. – Vol. 31, 4. – P. 945–981.

4. Bigoni, D. Selected Mechanical Problems in Structural Ceramics / D. Bigon. – Warsaw : Centre of Excellence for Advanced Materials and Structures, 2002. – 116 p.

zzε

16мм

2мм

7мм

0.1мм

3.5мм

80

4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ, ЭКОЛОГИИ

МОРФОЛОГИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ И МЕХАНИЗМЫ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ЧЕЛОВЕКА И ЖИВОТНЫХ. АНАЛИЗ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ

И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

М. И. Гринцов, Ю. А. Князькина (Россия), Абдуллах Шарадгах, Мухаммад Альвахшад (Иордания), Тарек Альмадани (Сирия)

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

Актуальность. Способность ориентироваться в окружающей об-

становке является незыблемой константой организма и составляет адап-тационный потенциал всего живого. Нарушения ориентировки в чужой и чуждой среде незамедлительно вызывают дезадаптацию организмов и относятся к синдромам угрожающим жизни. Проблемы полноценного функционирования навигационной системы человека обусловлены тем, что большое количество причин приводит к тяжёлым патологическим состоя ниям, в основе которых лежат синдромы нарушения ориентиров-ки во време ни, местности и собственной личности. Цель исследования – изучить возможно ли полноценное функционирование навигационной системы человека без участия функций полукружных каналов. Методы исследо ваний. Клинический анализ и синтез общедоступных сведений по теме навигационной системы. Материал исследования. Исследова-ния, ставшие поводом присуждения нобелевской премии по физиологии и медицине за 2014 год, а также опубликованные данные российского исследователя Ю.Ульянича. Результаты. Навигационная система чело-века должна располагать основными блоками: должно быть морфологи-ческое обеспече ние навигационной системы и должны быть энергети-ческие источники внешней среды, которые должны активировать эти морфологические структуры. Гипотеза Ю.Ульянича может рассматри-ваться как полноценная равновеликая составная в теории глобальной навигации всего живого.

Результаты исследования и их обсуждение. Нобелевская премия по физиологии и медицине 2014 года присуждена Дж. О”Кифу (Лондон-ский университетский колледж), Мей-Бритт и Эдварду Мозеру (Норве-гия, Трон хейм). Предпосылками её присуждения стала серия работ, по-

81

свящённых проблемам памяти и ориентации. Связь гиппокампа с про-странственной памятью изучалась Джон О”Кифом [1]. При изучении участка гиппокампа СА1 Д. О”Киф открывает «клетки места». По дан-ным этих исследований одни клетки гиппокампа генерировали сигналы в тех случаях, когда животное находилось в одном месте площадки, а другие клетки активи ровались при нахождении животного в других ме-стах площадки [1]. Активность разных нейронов создавала нейронную конфигурацию/карту данной локации [по 2]. Исследователи не пытались выяснить механизмы активации тех нейронных ансамблей, которые изу-чались. Указывается просто: «клетки активировались». Дальнейшие ис-следования по этой теме показали, что морфологические структуры гип-покампа могут запоминать множество мест и отличать их друг от друга. В западном научном сообществе эта научная новость ставилась под со-мнение. Среди отечествен ных исследователей существует аналогичная точка зрения (З-С, 3,2015, с.65). Исследователи [3] выявили нейроны, названные «нейронами координа ционной сетки», или грид-клетками. Эти клетки составляют только морфологическую часть навигационной системы организма. Нейроны координационной сетки (грид-нейроны) работают в тесной связи с «клетками границы». Эти клетки реагируют сигналом на границы территории, преграду или барьер в пространстве при перемещении птицы или человека. Внешние стимулы и повороты головы заставляют нейроны узлов сетки смещаться и поворачиваться. Взаимодействие между вершинами активных нейронов и создаёт карту памяти. Уменьшенный энергетически архитектурно-клеточный сле-пок/отпечаток этих ансамблей нейронов и должен отражать координаты места локации. У летучих мышей рода Rousettus aegypticacus сеть нейронов, ответственная за координацию в полёте является трехмерной. Предпола гается, что аналогичная трехмерная сеть навигационной си-стемы эволюционно сформировалась и у человека. Выдвинута гипотеза о том, что расположение навигационной системы в гиппокампе должно иметь связь краткосрочной памяти с пространственной памятью [4]. Считается, что семантическая память (объектная память и память собы-тий и явлений) напоминает память о местности. Предположение такое: почему бы не представить, что карта жизни записывается в мозге так, как простая карта местности. Исходя из таких предположений исследо-ватели утверждают, что активные нейроны гиппокампа посылают сиг-налы в кору головного мозга, где создаётся общая когнитивная карта. О”Киф и сотрудники предпола гают, что именно эти виды памяти чаще всего страдают при болезни Альцгеймера [4]. Обращает на себя внима-ние, что при изучении проблем ориентации и навигации в указанных ра-ботах нет даже упоминания о вестибулярном аппарате птиц и человека и его функциях. С нашей точки зрения такая идея не соответствует ни структурным основам, ни механизмам навигационной системы человека.

82

В вышеуказанных работах совершенно не указываются вероятные меха-низмы активации указанных нейронных ансамблей. Можно было бы считать это звено системы навигации птиц и человека досадным упуще-нием, если бы не работы российского исследователя Ю.Ульянича [5], который впервые ясно изложил гипотезу о значении звёздной карты неба в обеспечении ориентировки на местности. В тезисном плане суть его гипотезы в следующем. Способность ориенти роваться в окружаю-щей обстановке является незыблемой константой организма и составля-ет адаптационный потенциал всего живого. В случае угрозы жизни пти-цы и животные возвращаются на родину кратчайшим путём. Возвраща-ются домой из мест, где больше сочной травы, больше зайцев и мышей или другой еды. Почтовые голуби, вывезенные из места появления на свет, возвращаются на родную голубятню из любого места Земного ша-ра. В личном эксперименте Ю.Ульянич [5] продемонстрировал, что в месте своего рождения сознание человека запечатлевает звёздную кар-тину неба: где встаёт и где садится Солнце, в каком месте расположена Полярная и другие звёзды. Механизм запечатления обусловлен энерге-тическими влияниями звёзд. Угловое смещение Полярной звезды во всех городах Северного полушария увеличивается по мере удаления от места рождения. В различных местах оно различное. Расчёты показыва-ют, что угол смещения Полярной звезды равен разности количества гра-дусов географических долгот или широт для точки нового места пре-бывания относительно места рождения. В точке рождения человека эта разность равна нулю. Место рождения каждого человека следует считать его «нулевым» долготным меридианом. (Гринвичский меридиан признан нулевым по взаимному согласию учёных-хронологов, геогра-фов всего лишь для удобств практики и удобств в научных исследовани-ях). Для любой личности, рождённой в конкретном месте, долготного и широтного смещения нет. Но в другом месте пребывания звёздное небо всегда выглядит не так как в Гринвиче. Оно «поворачивается». Меха-низм/эффект «поворота неба», обусловлен особенностями энергии им-пульсного излучения ядра Солнца. Существуют и другие объяснения [5]. Для прокладки курса на родину/домой кроме разности долгот организм должен уметь определять и географическую широту. Для определения географической долготы и широты создан вестибулярный аппарат. В его взаимно перпендикулярных в трёх плоскостях трёх полукружных кана-лах циркулирует эндолимфа. Для вертикальных колец скорость тока эн-долимфы максимальна на экваторе и равна нулю на полюсах. Для гори-зонтального полукружного канала – наоборот. Человек перемещается по Земле. В зависимости от географической широты и долготы скорость тока эндолимфы в полукружных каналах при поворотах головы меняет-ся. Чувствительность клеток купулы к скорости тока эндолимфы фанта-стически высокая: сенсорные нейроны купулы улавливают перемещение

83

молекул эндолимфы (водно-белковых соединений) величиной, равной половине диаметра атома водорода.

Способ настройки личного вестибулярного аппарата. Это про-исхо дит так. Птицы, перед взятием курса на родину определяют широту и долготу чужого места пребывания, методом «прощальных» круговых облётов [5]. Совершенными биологическими созданиями=индикаторами места, которые это делают великолепно, являются голуби-турманы. При помощи приёма «кувыркания» в воздухе через голову голуби настраи-вают свой вестибулярный аппарат/полукружные каналы на определён-ную широту и долготу. Смысл бега по кругу тот же – настройка вести-булярного аппарата на долготу и широту родины. «Поворот неба», визу-ально определяется тем, что Полярная и другие звезды на новом месте пребывания как бы смещены в другое место небосвода. Между положе-нием Полярной звезды и дугой, которую Солнце описывает по небу, имеется следующая зависимость: солнечная дуга всегда противополож-на Полярной звезде и симметрична относительно направления на неё. Если на новом месте в визуальном поле навигатора происходит поворот солнечной дуги, то на этот же угол и в ту же сторону происходит види-мый поворот Полярной звезды и всего звездного неба. Угол «поворота неба» равен разности долгот родины=места рождения и чужбины.

Принципы работы GPS USA и ГЛОНАСС России. Навигацион-ные уравнения ГЛОНАС России и GPS USA это техническое моделиро-вание и дублирование работы полукружных каналов вестибулярного ор-гана человека, птиц и животных при помощи нескольких десятков спе-циальных спутников, как минимум четыре из которых до метров вычис-ляют местоположение на поверхности Земли. Роль зрения в навигации. Роль «вестибулярного компаса». Опыты со «слепыми голубями [по 5] показали, что зрения в навигации птиц играет существенную, но не главную, а вспомогательную роль. Перелётные птицы никогда не начи-нают отлёт «на родину» в пасмурный день или в густой туман, когда зрение не в состоянии определить не столько местные, сколько звёздные ориентиры. Но, взяв правильный курс, птицы будут продолжать полёт в любую погоду, так как чувство опорных направлений из визуального передано в «вестибулярный компас». Вселенский ориентир навигации. Единственной неподвижной точкой неба, которая может выполнять роль вселенского ориентира, является ядро нашей Галактики, вокруг которого вращаются все звёзды. Это ядро находится в созвездии Стрельца. Оно является источником очень сильных синхротронных излучений. Меха-низмы активации нейронных ансамблей при настройке системы навигации объясняется гипотезой Ю.Ульянича[5]. Звёзды неба роди-ны=места рождения (их аналоги - спутники ГЛОНАСС) являются энер-гетическими активаторами нейронных ансамблей, (как и прибора-навигатора), которые активируют морфологические структуры навига-

84

ционной системы птиц, животных и человека и формируют «чувство ме-ста». Без результатов исследований Ю.Ульянича по навигации птиц ги-потеза Дж. О”Кифа, Мей-Бритт и Эдварда Мозеров малоубеди тельна. Гипотеза Ю.Ульянича может рассматриваться как неотъемлемая равно-великая составная в теории глобальной навигации всего живого.

Выводы. 1. Гипотеза о системе навигации всего живого без учёта морфологии и функций вестибулярного аппарата не полная.

2. Основными источниками энергетической активации нейронных ансамблей навигационной системы человека (птиц и животных) являют-ся звёзды видимого неба.

3. Без результатов исследований Ю. Ульянича по навигации птиц и человека гипотеза Дж. О”Кифа, Мей-Бритт и Эдварда Мозеров являет-ся неполной и малоубедительной.

Список литературы

1. O'Keefe, J. The hippocampus as a spatial map / J. O'Keefe, J. Dostrovsky // Brain Research. – 1971. – 34. – P. 171–175.

2. Клещенко, Е. Карты памяти / Е. Клещенко // Химия и жизнь. – 2014. – 11. – С. 3–6.

3. Microstructure of a spatial map in the entorhinal cortex / T. Hafting, M. Fyhn, S. Molden, M. B. Moser, E. I. Moser // Nature. – 2005. – 436. – P. 801–806.

4. Buzsaki, G. Memory, navigation and theta rhythm in the hippocampalen-torhinal system / G. Buzsaki, E. I. Moser // Nature Neuroscience. – 2013. – 16. – P. 130–138.

5. Ульянич, Ю. Мы честь отдаём галактическим силам / Ю. Ульянич // Чудеса и приключения. – 2003. – 12. – С. 17–21.

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В РАЗЛИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ МОДЕЛИРОВАНИЯ

А. С. Дворянкин

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

E-mail: dvrnkn58@gmail.com

Введение

Работа посвящена обзору возможностей применения интеграль-ных динамических моделей (ИДМ) в моделировании различных процес-сов. Такие модели могут описываться, например, следующими инте-гральными уравнениями Вольтерра I рода

85

( ) ( ) ( ) [ ]0( )

, , , ,t

a t

K t s s ds f t t t Tϕ = ∈ (1)

где ядро ( , )K t s определяет динамику старения системы, ( )a t – время жизни старейшей единицы оборудования, находящейся в эксплуатации в момент времени t . В уравнении помимо ядра и правой части в нижнем пределе интегрирования задана функция ( )a t ,

( ) ( ) [ ]'0, 0, , .a t t a t t t T< ≥ ∈ (2)

Также применяются уравнения II рода вида

( ) ( ) ( ) ( ), .b

a

f s K s t f t dt g s−λ = (3)

Где ( )g s — непрерывная функция при a s b≤ ≤ и ( , )K s t — непрерыв-ная функция в треугольнике , a s b a t b≤ ≤ ≤ ≤ .

Ядро интегрального уравнения задается следующим образом

( ) ( ), , , ,

0,

K s t t sK s t

t s

≤= >

(4)

Другими словами, ядро обращается в ноль при условии t s> и са-мо уравнение является частным случаем интегрального уравнения Фредгольма

Принципиальное отличие динамической интегральной модели от других интегральных моделей заключается в том, что верхний предел совпадает с текущим моментом времени t .

Соотношения (1) и (2) могут описывать как скалярные, так и век-торные динамические системы. В случае описания векторной динамиче-ской системы ( )f t является векторной функцией, а ( , )K t s — матрицей соответствующей размерности.

Интегральные динамические модели находят свое применение во многих сферах моделирования. Ниже приводятся некоторые примеры.

Применение ИДМ в различных сферах

Одним из применений интегрального уравнения Вольтерра I рода является использование его при решении задачи оптимального управле-ния вводом генерирующих мощностей ЭЭС

В качестве целевого тут принят функционал затрат [1]

( )( )( )

( ) ( )0

0

3

1 21

( )(

i

T tt t i i

iit t c t

I x t a u t s u s x s ds dt−

= −

= − +

86

( ) ( )0

0

3

1

,T

t ti i

it

a k t x t dt−

=+ (5)

в котором первое слагаемое отражает эксплуатационные затраты, второе – затраты на ввод новых генерирующих мощностей. Здесь

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 31 1 1 1, , u t s u t s u t s u t s− ≡ − − − –

коэффициенты увеличения в момент времени t затрат на эксплуатацию мощностей, введенных в момент s (с увеличением срока эксплуатации t s− – эта величина возрастает в силу роста затрат на ремонт оборудо-

вания) для трех типов станций; ( ) ( ) ( )1 2 32 2 2 2( ) ( , , )u t u t u t u t≡ – удельные

затраты на эксплуатацию мощности, введенной в момент t ; ( ) ( )1 2 3( ) ( , , ( )k t k t k t k t≡ – затраты на ввод единицы мощности в момент

(по трем типам станций); 0t ta − – коэффициент дисконтирования затрат, 0 1a< < ; ( )ic t – управляющая функция.

Интегральные модели динамических систем в экологии

Использование интегральных моделей в экологических приложе-ниях позволяет эффективно описывать действие такие важных внутри-популяционных факторов, как возрастная структура популяции и эф-фект запаздывания.

Интегральная модель, рассматриваемая в данной работе, в эколо-гии соответствует моделям, учитывающим влияние возрастной структу-ры популяции на её динамику [2]:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

, 0,t

B t B t m l B t d t= + τ τ − τ τ ≥ (6)

где ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 .T

t

B t m l t d t T= τ τ ϕ τ − τ ≤ ≤ Здесь ( )B t — интенсивность

рождаемости: число особей, рождающихся в единицу времени в момент t ; ( )m τ – специфическая возрастная рождаемость: среднее число потом-ков, рождаемых особое возраста τ в единицу времени; ( )l t – выживае-мость: доля особей по возрасту τ ; ( )ϕ τ – начальное (при 0t = ) распре-деление особей по возрасту τ ; T – верхняя граница возраста.

Рассмотрим теперь одно из применений интегрального уравнения Вольтерра II рода. Интегральные динамические модели на основе таких уравнений используются при решении задачи идентификации парамет-ров электрических сетей.

87

В качестве примера рассмотрим стационарную электрическую цепь. Пусть электрическая цепь описывается интегральным уравнением Вольтерра II рода [3]

( ) ( ) ( ) ( )0

, ,t

u t K t s u s ds F t+ = (7)

( ) ( )1

0

( ), , ,

1 !

m j

jj

t sK t s p m N

j

−

=

−= ∈−

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 11 1

1 1 00

;1 ! ! !

mt m jm m k jj

j j kj j

tt s tF t f s ds C p C

m j k j

− − −− − +

= = =

−= + +

− + (8)

Здесь kC – известные величины; jp – идентифицируемые пара-

метры; ( ) , ( )f t u t – соответственно входной и выходной сигналы иссле-

дуемой электрической цепи.

Список литературы

1. Караулова, И. В. Применение интегральных моделей для исследова-ния стратегий обновления генерирующих мощностей в электроэнергетике : автореф. ... канд. техн. наук / Караулова И. В. – Иркутск, 2006.

2. Яценко, Ю. П. Интегральные модели систем с управляемой памятью / Ю. П. Яценко. – Киев : Наукова думка, 1991

3. Сытник, А. А. Применение интегральных динамических моделей при решении задачи идентификации параметров электрических цепей / А. А. Сыт-ник, К. Н. Ключка, С. Ю. Протасов // Известия Томского политехнического университета. – 2013. – Т. 322, 4: Энергетика. – С. 103–106.

ОБ УПРАВЛЕНИИ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕННЫХ БУМАГ

Т. Ф. Мамедова, Д. К. Егорова, Е. В. Десяев

Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва, Саранск, Россия

E-mail: mamedovatf@yandex.ru, egorovadk@mail.ru, desyaev@rambler.ru В настоящее время особый интерес представляет класс проблем

разработки методов исследования и расчета математических моделей сложных процессов, динамика которых описывается нелинейными си-стемами дифференциальных уравнений. К этому классу относится про-

88

блема управления портфелем ценных бумаг, которая является одной из основных задач финансовой математики.

Традиционный подход к решению данной задачи, исходит из предложения о том, что при формировании своего портфеля инвестор минимизирует риск портфеля и при этом максимизирует доходность. При этом задача оптимизации структуры портфеля решается в стати-ческой постановке и сводится к решению задачи квадратичного или линейного программирования.

В настоящей работе рассматривается математическая модель, которая является динамической и описывает структуру портфеля в пространстве состояний, что позволяет изучать динамику каждого от-дельного вложения во взаимосвязи с динамикой других вложений.

Предположим, что математическая модель управления инвестици-онным портфелем задана нелинейной системой дифференциальных уравнений вида:

( ) ( ) ( , , )dx

A t x B t u f t x udt

= + + , (1)

где ( )A t , ( )B t -матрицы ( )n n× , ( , , )f t x u вектор-столбец (1 )n× , элемен-тами данных матриц являются кусочно-непрерывные функции опреде-ленные на [ ]0,t T . Вектор столбец 1( ) ( ( ), , ( ))nx t colon x t x t= - это вектор

компоненты которого равны объему инвестиций в i -финансовый актив, 1 ( 1)i n= − , а компонента ( )nx t - описывает состояние банковского

счета. Вектор управления 1( ) ( ( ), , ( ))nu t colon u t u t= есть величина пе-рераспределяемого капитала в единицу времени. Динамика управления таким портфелем будем описываться в виде графа (рис. 1), узлы которо-го представляют капитал, помещенный в i -й финансовый актив, а дуги – направление и объем перераспределяемого капитала.

Рис. 1

89

Здесь скорость изменения компоненты ( )ix t вектора x имеет вид

,1 1 , 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i n n ix t a t x t a t x t b t u t= + + + +

( ) ( ) ( , , )in n ib t u t f t x u+ + , 1, ,i n= .

Предположим, что управление портфелем ценных бумаг осу-ществляется с помощью перераспределения капитала между различ-ными видами инвестиций с учетом банковского счета. На управление наложены ограничения в виде ограниченности банковского счета, причем предполагается, что деньги извне на банковский счет не посту-пают.

Математическая задача управления портфелем ценных бумаг фор-мулируется следующим образом:

Пусть 1

( ) ( )n

kk

V t x t=

= – общий капитал портфеля. Необходимо

определить стратегию управления портфелем таким образом, чтобы начальный капитал 0 (0)V V= достиг к некоторому моменту времени T значения 1( )V t V= , что позволяет добиться желаемой доходности порт-феля. При этом необходимо минимизировать функционал

0 00

[ ( ) ( )] min.T

F V t V t dt= − →

Предположим, что в начальный момент времени капитал 0 0V = , то

есть все (0) 0, 1,kx k n≥ = .

Рассмотрим систему уравнений вида (1), в которой nx R∈ , mu R∈ – вектор управляющих воздействий, , [0, ], 0m n t T T≤ ∈ > – не-

которое число, ( ), ( )A t B t – непрерывные на сегменте [0, ]T матрицы, ( , , )f t x u – непрерывная на [0, ]T n −мерная вектор-функция. В каче-

стве допустимых управлений будем рассматривать непрерывные на [0, ]T вектор-фукнции ( )u t . Класс всех допустимых управлений обо-значим K .

Для решения этой задачи применим метод сравнения Воскресен-ского Е.В. [1-3], который заключается в следующем. Для исследуемого уравнения строится уравнение сравнения. Предполагается, что поведе-ние решения уравнения сравнения известно. Затем через эталонную функцию сравнения сравниваются решения этих двух уравнений. Удач-ный подбор уравнения сравнения и эталонной функции дает возмож-ность для решения самых различных задач качественной теории диффе-ренциальных уравнений и теории управления.

90

Список литертуры

1. Воскресенский, Е. В. Асимптотические методы: Теория и приложения / Е. В. Воскресенский. – Саранск : Средневолжское математическое общество, 2001. – 300 c.

2. Воскресенский, Е. В. Асимптотическая эквивалентность нелинейных дифференциальных уравнений / Е. В. Воскресенский // Известия вузов. Математика. – 1987. – 12.

3. Воскресенский, Е. В. Классы управляемости линейных и близких к линейным систем дифференциальных уравнений / Е. В. Воскресенский, П. Г. Черников // Вестник МГУ. – 1997. – 2, 3. – С. 122–125.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЦИИ ВАЛЮТНЫХ РЫНКОВ СТРАН СНГ

К. В. Мартышкина, Д. М. Конинин, В. А. Толмачева

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

В современных постоянно меняющихся условиях мирового хозяй-

ства главенствующую роль интеграционных процессов сложно переоце-нить. В философии Спенсера экономическая интеграция и дезинтегра-ция представляют необходимое условие развития любого государства. Поэтому не вызывает удивления все более возрастающий интерес стран Содружества независимых государств (СНГ) к взаимовыгодному эконо-мическому сотрудничеству. Более того, наметились общие тенденции в развитии, управлении и в построении экономических отношений. Разви-тие СНГ в Едином экономическом пространстве, неотрывно друг от дру-га, имеет большую стратегическую и экономическую важность для всех стран Содружества.

Формирование новых экономических связей, их дальнейшее со-вершенствование в рамках экономической интеграции предполагает со-здание также единой валютно-финансовой системы для взаимных расче-тов между странами участниками. Интеграция в валютно-финансовой сфере необходима странам СНГ для реализации задач по укреплению позиций национальных валют, по созданию емких финансовых рынков с полным набором инструментов, присущих рынкам высокоразвитых стран, достичь которых по одиночке неизмеримо сложнее, чем совмест-ными усилиями.

Создание ресурсного потенциала страны требует корректировки курсов национальных валют, применяемых в расчетах между странами

91

СНГ, что актуализирует необходимость создания эффективной методо-логии расчета соотношений валютных курсов стран. Исследование ме-тодологии формирования валютного курса и положений теории опти-мальных валютных зон – весьма актуальный феномен среди экономи-стов.

В мировой экономической практике условно можно выделить три основных пути региональной валютной интеграции. Условно их можно назвать «западноевропейский», «латиноамериканский» и «африкан-ский». Для стран СНГ наиболее привлекателен западноевропейский ва-риант валютной интеграции (создание сначала расчетной денежной еди-ницы, а потом единой валюты на базе национальных валют стран-участниц). При этом полномочия национальных денежных властей по-степенно передаются на общеевропейский уровень.

Исследования ряда экономистов в области развития региональной интеграции, основанные на построении моделей, оценивающих измене-ния цен на товары, объемов и структуры производства в различных сек-торах, выигрыша субъектов экономики и государства, показали, что проблема валютной интеграции на территории стран СНГ вызывает ин-терес и имеет политическое значение. Большинство авторов рассматри-вают решение проблемы на основе опыта по созданию европейского ва-лютного пространства.

Проблематику экономической интеграции целесообразно рассмат-ривать, учитывая все показатели макроэкономической конвергенции. Од-нако анализ временных рядов имеет не менее важное значение. Анализ рядов динамики – это совокупность математико-статистических методов анализа, предназначенных для выявления структуры временных рядов и для их прогноза. Положительной чертой методов анализа временных ря-дов является то, что с их помощью тщательно изучается внутренняя структура временного ряда, взаимосвязь его последовательных членов.

Для математического моделирования интеграционных механизмов валютных рынков стран СНГ важно применить экономико-математи-ческие методы и модели для выявления причинно-следственных связей между спот курсами национальных валют России, Украины и Беларуси.

Покажем методику проведенного анализа на примере валютных курсов для двух стран России и Беларуси.

Временные ряды логарифмов белорусского рубля и логарифмов российского рубля проверялись на стационарность тестами KPSS (Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin) и расширенным тестом Дики-Фуллера. Временные ряды оказались стационарными с временным трен-дом в первых разностях.

На первом предварительном этапе проводится спецификация уравнений парных регрессий вида:

lnRUSt = α1 + β1 lnBELt + ut,

92

lnBELt = α2 + β2 lnRUSt + ut

где, lnBEL – логарифм обменного курса белорусский рубль/доллар; lnRUS − логарифм обменного курса российский рубль/доллар; ut – слу-чайные ошибки.

Идентификация указанных регрессий по имеющимся данным и анализ остатков позволили выявить для последних авторегрессионный процесс. Тестирование временных рядов невязок после учета автокорре-ляции позволяет отвергнуть гипотезу об их нестационарности. Влияние изменений курса российского рубля на курс белорусской валюты значи-мы. Также имеется значимое последействие рыночных колебаний в два дня, которое влияет на повышение спот курса lnBELt. Об обратной зави-симости курса российского рубля от курса белорусского рубля утвер-ждать нельзя. Однако текущие значения спот курса lnRUSt положитель-но зависят от рыночной конъюнктуры в предыдущий день. Таким обра-зом, можно констатировать однонаправленное воздействие на валютных рынках двух стран.

На втором этапе проводится анализ причинных механизмов и ко-интеграционный анализ. Для этого используется методология К. Грейн-джера. Тест причинности в рассматриваемом случае дал значение F-критерия 4,42 для нулевой гипотезы о том, что курс lnBEL не влияет на курс lnRUS, и значение 11,7 для гипотезы о том, что курс lnRUS не вли-яет на курс lnBEL. Таким образом, в обоих случаях нулевая гипотеза от-клоняется. Для подробного исследования зависимости двух временных рядов далее применяется двухшаговый алгоритм оценивания модели коррекции ошибок, на первой стадии которого выполняется оценка ко-интеграционного уравнения временных рядов с применением процедуры С. Йохансена[1].

Временные ряды логарифмов курсов lnBEL и lnRUS по отноше-нию к доллару являются коинтегрированными первого порядка на 1% уровне значимости. Следовательно, далее логично построение модели коррекции ошибок, позволяющей описать процесс, в ходе которого ко-интегрированные переменные в случае отклонения возвращаются к рав-новесию. В нашем случае в течение короткого промежутка времени ры-ночные действия инвесторов могут привести к росту одной валюты от-носительно другой, а в следующий момент времени другая валюта мо-жет стать более привлекательной.

По результатам анализов ежедневных данных попарных рядов курсов валют Россия и Беларусь, Россия и Украина, Беларусь и компе-тентными экономистами были получены следующие выводы. Присут-ствует ожидаемая зависимость приростов логарифма курса белорусского рубля от приростов логарифма курса российского рубля с лагом до 2-х дней. Увеличение ΔlnRUS с лагом 1 день увеличивает ΔlnBEL, т.е. крат-ковременные колебания российского рубля по отношению к доллару

93

приводят к максимальному приросту логарифма курса BEL на 0,044 единиц через день. Выявлена зависимость приростов логарифма курса белорусского рубля от приростов логарифма курса украинской гривны с лагами от 1 до 3 дней. Прирост логарифма курса украинской гривны приводит к приросту белорусского рубля на 0,098 единиц. Взаимозави-симость между курсами российского рубля и украинской гривны не значима.

На основе векторной модели коррекции ошибок установлено, что долгосрочные рыночные механизмы корректировок курсов валют по от-ношению к доллару ассиметричны по анализируемым странам: положи-тельны для России и Беларуси, и отрицательны для Украины, что свиде-тельствует о потенциальной возможности объединения валютных рын-ков России и Беларуси.

Интеграция в СНГ опирается на такие объективные факторы, как сложившиеся в прошлом разделение труда, технологическая взаимоза-висимость, элементы общего культурно-цивилизационного простран-ства.

Действительно, объединение валютных рынков стран может при-нести следующие выгоды для России.

1. Формирование общей валюты как средство обмена автоматиче-ски исключает издержки конвертации и форвардных покрытий, необхо-димых при плавающем обменном курсе.

2. Повышение эффективности финансовых операций и риск-менеджмента на финансовом рынке. Увеличение количества доступных финансовых инструментов позволит как кредиторам, так и заемщикам повысить диверсификацию своих портфелей посредством приобретения или продажи активов с различными риском.

3. Уменьшение или увеличение ценности валюты из-за снижения транзакционных издержек для агентов. Чем больше эта зона, тем выше ценность валюты.

4. Экономия страны-участницы валютного союза на резервах за счет кредитования друг друга.

Наряду с выгодами от объединения, или перехода к фиксирован-ному обменному курсу или единой валюте, существуют также издержки, которые, вероятнее всего, придется нести России, как стране-участнице валютного союза:

1. Невозможность использовать плавающий обменный курс в ка-честве инструмента стабилизации платежных балансов после воз-действия различных шоков.

2. Угроза инфляции для страны с профицитом платежного балан-са, а странам, имеющим дефицит – депрессия и безработица.

3. Возможная потеря независимости фискальной политики России.

94

4. Издержки перехода, которые характеризуют потери от входа или выхода из валютной зоны или валютного союза.

Построенные векторные модели коррекции ошибок на основе ди-намики валютного курса идентифицируют процесс возврата к равновес-ному положению валютных курсов стран.

Проведенные расчеты подтвердили возможность описания дина-мики обменных курсов рассматриваемых стран с помощью динамиче-ских экономико-математических моделей. Полученные результаты мо-гут быть использованы для построения долгосрочных прогнозов обмен-ного курса рассматриваемых стран СНГ.

Валютная интеграция для стран СНГ имеет положительные аспек-ты, которые в своей совокупности превосходят негативные. Упомянутые исследования и результаты расчетов приведенные выше математически подтверждают возможность валютной интеграции между некоторыми странами СНГ. Имеется достаточно механизмов и средств для регулиро-вания валютных отношений между странами на общем валютном про-странстве. Создание такого полноценного валютного союза для стран СНГ будет мощным импульсом для их дальнейшего развития, как по от-дельности, так и в едином «валютном сообществе».

Список литературы

1. Панкратов, А. П. Математическое моделирование интеграции валют-ных рынков стран СНГ / А. П. Панкратов // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. − 2008. − 1. – С. 36–40.

2. Гришко, А. К. Структурные компоненты геоинформационных систем и их основные области применения / А. К. Гришко, А. С. Зорькин, В. Я. Бан-нов, В. А. Трусов // Труды международного симпозиума «Надежность и каче-ство». – Пенза, 2010. – Т. 1. – С. 287–288.

3. Гришко, А. К. Методология управления качеством сложных систем / А. К. Гришко, Н. К. Юрков, И. И. Кочегаров // Труды международного симпо-зиума «Надежность и качество». – Пенза, 2014. – Т. 2. – С. 377–379.

4. Гришко, А. К. Анализ временных рядов и методов обработки измери-тельной информации на основе регрессионных и авторегрессионных моделей / А. К. Гришко, В. А. Корж, В. А. Канайкин, А. С. Подсякин // Труды международного симпозиума «Надежность и качество». – Пенза, 2012. – Т. 1. – С. 246.

5. Гришко, А. К. Динамическая оптимизация управления структурными элементами сложных систем / А. К. Гришко, Н. К. Юрков, Т. В. Жашкова // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. – 2015. – 4 (26). – С. 134–141.

6. Зудов, А. Б. Интерфейсы на естественном языке как связь нейронных сетей с экспертными системами / А. Б. Зудов, А. К. Гришко // В мире научных открытий. – 2010. – 5–1. – С. 119–122.

7. Гришко, А. К. Анализ и оптимизация траектории поведения системы на основе прогнозирующего управления / А. К. Гришко // Труды международ-

95

ного симпозиума «Надежность и качество». – Пенза, 2008. – Т. 1. – С. 291–292.

8. Баландин П. Ю. Экономико-правовые аспекты социальной политики государства переходный период / П. Ю. Баландин, М. В. Бойцова, А. К. Гриш-ко // Труды международного симпозиума «Надежность и качество». – Пенза, 2006. – Т. 2. – С. 119–122.

9. Горячкина, Ю. В. Практическое развитие теории оптимальных ва-лютных зон и бюджетной политики на примере европейской валютной инте-грации / Ю. В. Горячкина, А. К. Гришко, М. П. Конинин // Труды междуна-родного симпозиума «Надежность и качество». – Пенза, 2010. – Т. 2. – С. 395–396.

10. Гришко, А. К. Анализ временных рядов и методов информационных потоков на основе сингулярного разложения траекторной матрицы / А. К. Гришко, В. А. Корж // Аналитические и численные методы моделирова-ния естественно-научных и социальных проблем : сб. ст. VIII Междунар. науч.-техн. конф., посвящ. 70-летию Пензенского государственного универси-тета / под ред. И. В. Бойкова. – Пенза, 2013. – С. 79–82.

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ИГР В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ПОЛИТОЛОГИИ

М. Е. Смердова, А. И. Дрегля

Иркутский государственный университет, Иркутск, Россия E-mail: adreglea@gmail.com, 89646528889@mail.ru

В современном мире война, в понимании глобального вооружен-

ного столкновения, утратила свой смысл с появлением ядерного оружия. Для достижения своих внешнеполитических целей политики стали при-бегать к информационным войнам. В этой войне СМИ играют немало-важную роль, формируя отношения к тем или иным событиям. Поэтому статистический анализ и построение соответствующих математических моделей являются важными задачами. Достаточно строгий подход к решению этих задач в политологии дает сочетание статистической обра-ботки результатов опроса и методов теории игр (см. алгоритмы в [1]).

На данный момент существует масса методов манипулирования: искажение информации, ее утаивание, когда СМИ замалчивают какую-то информацию и избирательно подают ее зрителю, метод манипулиро-вания со временем и местом, при котором СМИ преподносят информа-цию в определенном порядке, создавая определенные настроения.

В 2014 г. ряд стран Запада ввели санкции (ограничительные поли-тические и экономические меры) против России. Инициатором введения санкций стало руководство США.

96

В свете произошедших событий, связанных с введением санкций против Российской Федерации, на определенном этапе отечественные СМИ поддерживали мнение о том, что санкции Запада не действуют на экономику России.

Соответственно в российском обществе новостям о санкциях не придали особого значения. Общество пускало шутки о том, что скорее сам Запад пострадает от своих санкций.

В ходе проведенного опроса, в котором принимали участия более ста человек разной возрастной категории и с разным уровнем образова-ния, было выявлено преобладающее мнение жителей города Иркутска в вопросе о влиянии санкций на Россию. Проведенным в начале 2015 года опрос показал, что 46% граждан утверждали, что санкции для России не страшны, а следовательно, можно сделать вывод, что влиянию СМИ подвержена большая часть населения. Но в то же время 44 % иркутян считали, что санкции отразятся как на России, так и на странах Запада (см. рис. 1).

Рис. 1

Представляет интерес зависимость мнения иркутян от их уровня

образования. Проведенный нами статистический анализ (см. [3]), пока-зал, что зависимость есть: 19% опрошенных с неполным высшим обра-зованием считают, что санкции навредят как Российской Федерации, так и странам запада. Такого же мнения придерживаются 15 % иркутян, имеющих высшее образование. И напротив, 15 % граждан со средним

97

образованием полагают, что санкции никак не навредят России. С этой категорией граждан солидарны 19 % иркутян со средним специальным образованием.

Таким образом, люди с высшим и неполным высшим образовани-ем менее подвержены влиянию СМИ и стремятся искать истину в аль-тернативных источниках.

В целом результаты опроса показали, что среди жителей г. Иркут-ска преобладало мнение о том, что санкции не повлияют на экономику России. Следовательно, СМИ, которые пропагандировали эту точку зре-ния, оказали влияние на иркутян.

Применение теории игр: составление матрицы платежей и ее анализ

Перспективным направлением в политологии является анализ по-лученных результатов с применением методов теории игр [1]. Следуя [1] составим матрицу платежей, выясним есть ли седловые точки в этой мо-дели, доминирующие стратегии, оценим относительные частоты для смешанных стратегий.

В данном случае матрица платежей состоит из опрошенных граждан. Таблица 1

Отношение к санкциям Уровень образования

СреднееСредне

специальноеНеполное высшее Высшее

Не интересуюсь данной проблемой 4 2 0 1

От санкций только экономика России серьезно пострадает

2 0 1 2

Санкции абсолютно не повлияют на экономику России

15 19 5 7

Санкции навредят и России, и странам, которые их ввели

4 4 19 15

Всего 25 25 25 25

Таблица 2

Влияние

Люди 4 2 0 1 2 0 1 2

15 19 5 7 4 4 19 15

98

Таким образов, в нашем исследовании седловой точки нет, значит это игра в смешанных стратегиях, более того здесь есть доминирующие стратегии (см. табл. 3, 4).

Таблица 3

Влияние

Люди

15 5 7

4 19 15

Таблица 4

Влияние

Люди

15 5

4 19

Относительные частоты для смешанных стратегий (табл. 5).

Таблица 5

Влияние

Люди частота

15 5 15

4 19 10

частота 14 11

Итак, мы нашли решение оптимальной игры: стратегии можно

смешивать в отношении (0:0:10:15) и (0:14:11:0) и средний платеж равен 10,6. Таким образом, внешние факторы действительно имеют влияние на мнение граждан. При этом достаточно из опрошенных 100 человек склонить в необходимую сторону 10,6%, соответственно мнение осталь-ных и точка равновесия изменятся.

В заключение отметим, что статистический материал, представ-ленный в данной работе, собран студентами исторического факультета Иркутского госуниверситета.

Список литературы

1. Коровин, С. Г. Лекции по теории игр и политологии. Ч. 1. Введение в теорию игр / С. Г. Коровин. – Новосибирск : НГУ, 2006.

2. Иванов О. В. Статистика : учеб. курс для социологов и менеджеров / О. В. Иванов. – Ч. 2. – М. : Соц. факультет, 2005. – 220 с. – URL: http://www.docme.ru/doc/205123/stat2 (дата обращения: 23.11.2014).

3. Смердова, М. Е. Влияние СМИ на отношения жителей города Иркут-ска к санкциям против России / М. Е. Смердова // КЛИО-2015 : тезисы. – 2015.

4. ТАСС: информационное агентство России : официальный сайт. – URL: http://itar-tass.com/mezhdunarodnaya (дата обращения: 06.12.2014).

5. Википедия : официальный сайт. – URL: https://ru.wikipedia.org/ wiki/Санкции_в_связи_с_украинскими_событиями_2014_года (дата обраще-ния: 06.12.2014).

99

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

МОДЕЛЯХ ЭКОНОМИКИ

А. Н. Тында, Е. С. Карпухина

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия E-mails: tynda@pnzgu.ru, liza260@mail.ru

1. Введение и постановка задачи

Интегральные динамические системы находят применение при моделировании макроэкономических и производственных процессов (задачи замены оборудования в производственных системах, определе-ние оптимального временного интервала для службы производственного оборудования), используются в теории восстановления и математиче-ской экологии (см., например, [1–3]).

Основным математическим аппаратом описания таких систем яв-ляется аппарат линейных и нелинейных интегральных Вольтерра и их систем специального вида. При этом наиболее адекватные модели со-держат разного вида временные задержки. И если методам исследования динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциаль-ными уравнениями с задержками, уделено большое внимание исследо-вателей, то динамические модели, основанные на интегральных и инте-гро-дифференциальных уравнениях с задержками, остаются недостаточ-но разработанными. В частности, в теории автоматического управления мало исследована интегральная модель нелинейной динамической си-стемы с неизвестными величинами задержки.

В настоящей работе обратимся в к вопросу моделирования оптимального срока службы основного оборудования предприятия (с учетом технологических изменений). В экономической теории такие модели известны как Vintage Capital Models (VCMs) [3], а для их описания используются системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра с неизвестной функцией в пределе интегрирования следующего вида:

( ) ( )

( ) = ( , ) ( ) , ( ) = ( )t t

a t a t

c t t m d P t m dβ τ τ τ τ τ . (1)

Рассмотрим в рамках этих моделей следующую оптимизационную задачу, в которой необходимо определить функции ( )a t и ( )m t ,

0[ , )t t T∈ , <T ∞ , максимизирующие функционал:

,( )0

( ( ), ( )) = ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) maxt t

a mt a t

I a t m t t t m d t m t dt ρ β τ τ τ − λ →

(2)

100

при условиях:

( )

( ) = ( ) ( ),t

a t

P t m dτ τ (3)

min ( ) ( ) ( ),m t m t M t≤ ≤ (4)

где min ( ) = max0, ( )m t P t′ ,

0 0 0 0 0 0( ) = , ( ) = ( ), [ , ].a t a t m m a t≤ τ τ τ∈ (5)

Оптимизационная задача (2)-(5) позволяет максимизировать величину чистого дохода рассматриваемой экономической системы. Здесь ( )a t − время, прошедшее с момента ввода в эксплуатацию старейшего оборудования, ( )m t − новый капитал, ( , )tβ τ − удельная производительность, ( )tλ − удельная стоимость нового оборудования,

( )P t − рабочий ресурс, ( )tρ − коэффициент дисконтирования, 0 < ( ) 1tρ ≤ , ( ) 0t′ρ ≤ . Производительность ( , )tβ τ возрастает по перемен-ной τ , так как учитывается научно-технический прогресс. Зависимость

( , )tβ τ от текущего времени t позволяет учитывать износ капитала, автономный прогресс и колебания внешних рыночных цен [2–5].

Как известно [7], от оптимизационной задачи (2)-(5) можно перейти к эквивалентной задаче, состоящей в решении нелинейного интегрального уравнения следующего вида:

( )

0( )[ ( , ) ( ( ), )] = ( ) ( ), [ , ).b t

t

t a d t t t t Tρ τ β τ −β τ τ τ λ ρ ∈ (6)

относительно неизвестной функции ( )a t , где функция ( )b t , содержащаяся в верхнем пределе интегрирования, имеет вид

10( ), [ , ( )],

( ) =, ( ( ), ).

a t t t a Tb t

T t a t T

− ∈

∈

В статье [6] предложена методика построения численных методов для уравнения (6). Целью же данной работы является построение приближенного метода решения оптимизационной задачи (2)-(5) в исходной форме.

2. Описание численного метода

В данной работе предлагается приближенный метод решения задачи (2)-(5), основанный на аппроксимации искомых функций отрезками рядов по линейно независимым полным системам базисных функций. С учетом сложности функционала (2) в качестве базисных

функций разумно использовать систему степенных функций =0 kkt ∞ .

101

Приближенное решение ( )a t и ( )m t задачи (2)-(5) будем искать в следующем виде:

=0

( ) = ,Na

ii

i

a t A t (7)

=0

( ) = ,Nm

ii

i

m t M t (8)

где iA и iM − коэффициенты, подлежащие определению. Условие (3), таким образом, аппроксимируется следующим условием:

( )

( ) = ( ) ( ).t

a t

P t m dτ τ (9)

Подставляя (7) и (8) в условие (9), получим уравнение связи:

1

=0 =0

= ( ).1

iN Nm ai ki

ki k

Mt A t P t

i+

− + (10)

Таким образом, приближение I исходного функционала (2) можно представить в виде:

=0 =00

=0

= ( ) ( , ) ( ) =N Nt t m m

i ki k

i kNt aiA ti

i

I t t M t d t M t dt ρ β τ τ − λ

0 1 0 1= ( , ,..., , , ,..., ).N Na mA A A M M MΦ (11)

Для нахождения экстремалей функционала (11) с условием связи (10) воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Для этого составим функцию Лагранжа

0 1 0 1( , ,..., , , ,..., ) =N Na mL A A A M M M Φ +λΨ , (12)

где 10 0

=0 =0

( ,..., , ,..., ) = ( ).1

iN Nm ai ki

N N ka mi k

MA A M M t A t P t

i+

Ψ − − +

При этом отметим, что поскольку специфика модели подразумевает возможность использования для функций ( ), ( )t tρ λ и

( , )tβ τ степенных и показательных представлений, то при формировании функции Φ интегрирование можно выполнять аналитически.

102

Таким образом, приходим к решению нелинейной системы ( 1) ( 1) 1a mN N+ × + + уравнений, определяющей необходимые условия существования экстремума функционала (11):

0 1 0 1

( )= 0, = 0, ,

( )= 0, = 0, ,

( , ,..., , , ,..., ) = 0.

ai

mk

N Na m

i NA

k NM

A A A M M M

∂ Φ + λΨ ∂

∂ Φ + λΨ ∂Ψ

(13)

Система нелинейных уравнений (13) может иметь весьма сложный вид. Однако, по-крайней мере при небольших величинах aN и mN , может быть решена численно с помощью встроенных средств пакетов символьной математики.

Решая систему (13), определим стационарные точки, в каждой из которых проверим отрицательную определенность матрицы Гессе:

2 2 2

20 1 00

2 2 2

21 0 11

2 2 2

20 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Nm

Nm

N N Nm m m

A A A MA

A A A MA

M M M M M

∂ Φ + λΨ ∂ Φ + λΨ ∂ Φ + λΨ

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ Φ + λΨ ∂ Φ + λΨ ∂ Φ + λΨ

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ Φ + λΨ ∂ Φ + λΨ ∂ Φ + λΨ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

. (14)

Для этого воспользуемся критерием Сильвестра, который в данном случае формулируется следующим образом: для того, чтобы матрица (14) была отрицательно определена необходимо и достаточно, чтобы знаки ее угловых миноров чередовались, начиная с «− ».

Таким образом, определив набор коэффициентов

0 1 0 1, ,..., , , ,...,N Na mA A A M M M , удовлетворяющий критериям экстре-

мальности, получим приближенное решение оптимизационной задачи (2)–(5) в форме (7)–(8).

Дальнейшее развитие предложенного подхода может состоять, в частности, в спецификации вида функций ( ), ( )t tρ λ и ( , )tβ τ с учетом их роли в моделях VCM. В этом случае можно будет строить специальные

103

методы решения нелинейной системы (13), учитывающие вид ее уравнений.

Список литературы

1. Глушков, В. М. Моделирование развивающихся систем / В. М. Глушков, В. В. Иванов, В. М. Яненко. – М. : Наука, 1983. – 352 с.

2. Hritonenko, N. Mathematical Modeling in Economics, Ecology, and the Environment / N. Hritonenko, Yu. Yatsenko. – Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Netherlands, 1999.

3. Hritonenko, N. Optimization of the lifetime of capital equipment using integral models / N. Hritonenko, Yu. Yatsenko // Journal of Industrial and Management Optimization. – 2005. – Vol. 1, 4, November.

4. Hritonenko, N. Structure of Optimal Trajectories in a Nonlinear Dynamic Model with Endogenous Delay / N. Hritonenko, Yu. Yatsenko // Jour. Appl. Math. – 2004. – 5. – P. 433–445.

5. Hritonenko, N. Turnpike and Optimal Trajectories in Integral Dynamic Models with Endogenous Delay / N. Hritonenko, Yu. Yatsenko // Journal of Optimization Theory and Applications. – 2005. – 127. – P. 109–127.

6. Тында, А. Н. Применение нелинейных интегральных уравнений при решении задач оптимизации в макроэкономических моделях / А. Н. Тында, Е. С. Карпухина, К. А. Дудкин // Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем : сб. ст. IX Междунар. науч.-техн. конф. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2015. – С. 116–121.

7. Яценко, Ю. П. Интегральные модели систем с управляемой памятью / Ю. П. Яценко. – Киев : Наукова думка, 1991. – 217 с.

104

5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФИЗИКЕ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ РАДИОКАНАЛОВ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

А. К. Гришко

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия E-mail: Alexey-grishko@rambler.ru

Интерференционные явления могут возникать в большинстве ра-

диотехнических системах передачи информации[1,8,11]. Наиболее про-блемным для оценки деструктивной интерференции является влияние рельефа местности на процессы распространение радиосигналов. Вполне естественно, оценивать эффективность распространения радио-сигналов на основе технологий геоинформационных систем[2,3,6].

В работе предлагается методика моделирования и оценки интер-ференции радиосигналов, опирающуюся на электронную модель мест-ности. Для решения этой задачи предлагается геопространственная ин-терференционная модель радиосигналов[4,5]. В электронной модели местности рельеф представляется совокупностью элементарных площа-док[6]. Под элементарной площадкой понимается элемент регулярной сетки, покрывающий исследуемую территорию. Каждая элементарная площадка характеризуется наклоном к горизонтальной плоскости, ори-ентацией в пространстве, координатами диэлектрической проницаемо-стью и удельной проводимостью. Таким образом, любой участок земной поверхности может быть оценен как возможный источник формирова-ния отраженного луча. В результате такого представления направление отраженных сигналов определяется через положение площадки в про-странстве[6,8,10]. Интенсивность отраженного излучения пропорцио-нальна коэффициенту отражения площадки, который зависит от типа подстилающей поверхности и угла падения луча на площадку:

' ' 2 ' 2

' ' 2 ' 2

sin cos sin cos ,

sin cos sin cos

i i i i i i iВi Гi

i i i i i i i

R Rε Δ − ε − Δ Δ − ε − Δ

= =ε Δ + ε − Δ Δ + ε − Δ

, (1)

где ВiR и ГiR – коэффициенты отражения -ой элементарной площадки с

учетом поляризации; 'iε - комплексная диэлектрическая проницаемость

подстилающей поверхности i -ой элементарной площадки; iΔ – угол

105

скольжения отраженного луча от i -ой элементарной площадки, вычис-ляемого по формуле:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1

2 2 2 2 2 22 2 2

90 arccos i ni i ni i nii

i i i ni ni ni

x x x y y y z z z

x x y y z z x y zΔ

− + − + −= ° −

− + − + − + +, (2)

где 1 1 1, ,x y z – координаты передающей антенны; 2 2 2, ,x y z – координаты принимающей антенны; , ,i i ix y z – координаты -й точки отражения;

, ,ni ni nix y z – координаты вектора нормали к поверхности в i -й точке от-ражения.

Положение площадки однозначно определяется координатами центральной точки и вектором нормали, который выражается через зна-чения наклона к горизонтальной плоскости и ориентацией в простран-стве:

2 2

sin , cos , 100 100 100n n n

s s sx y z = α = α =

, (3)

где угол α – угол между проекцией отражающей площадки на плос-кость XOY и осью OY ; s – уклон, величина которого показывает наклон отражающей площадки и рассчитывается в процентах.

Для определения элементарных площадок, участвующих в форми-ровании отраженных лучей, выполняется пространственный анализ. В трехмерном пространстве строится треугольник для каждой потенци-альной точки отражения с вершинами в точках 1A (излучатель), 2A (приемник), R (точка отражения), с координатами 1 1 1 2 2 2( , , ), ( , , )x y z x y z и ( , , )R R Rx y z соответственно.

Условие отражения выполняется, если нормаль к поверхности яв-ляется биссектрисой угла 1 2A RA , образованного падающим и отражен-ным лучом.. в этом случае угол 0β = и площадка является отражающей, если выполняется условие:

cos 1β = . (4)

Угол β между вектором биссектрисы b и нормалью к отражаю-щей поверхности n определяется как;

arccos arccos b n b n b n

b n

x x y y z zb n

b n d d

+ +×β = = × , (5)

где , ,b b bx y z – координаты вектора биссектрисы; bd и nd – длины век-торов биссектрисы и нормали:

2 2 2 2 2 2, b b b b n n n nd x y z d x y z= + + = + + . (6)

106

Принимаемое электромагнитное поле отраженной волны склады-вается из энергии волн, отраженных элементарными площадками в направлении приемной антенны. Тогда интерференционный множитель, учитывающий все отражения от неровностей рельефа, определяется по формуле:

1 21 21 nik rik r ik r

nF R e R e R e− Δ− Δ − Δ= + + +…+ , (7)

где k – волновое число, 2 /k = π λ ; R – коэффициент отражения (1);

1rΔ – разность хода прямого и отраженного луча,

1 1r r rΔ = − , (8)

где r расстояние между приемной и передающей антенной; 1r – рассто-яние, которое проходит отраженный луч:

( ) ( ) ( )2 2 21 1 1i i i ir x x y y z z= − + − + − +

+ ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2i i ix x y y z z− + − + − . (9)

Реализация предлагаемой методики достигается применением гео-информационных систем, что позволяет, с помощью электронной топо-графической информации выявлять зоны деструктивной интерферен-ции[9,10,12].

Предлагаемая методика позволяет проводить геоинформационное моделирование функционирования радиоканалов передачи информации и выявлять причины снижения их функциональной эффективности, обу-словленные наличием областей, в которых радиосигнал имеет наихуд-шие условия для распространения в результате многократных отраже-ний от объектов местности и геометрической невидимостью участков местности из-за влияния элементов рельефа.

Список литературы

1. Гришко, А. К. Методология управления качеством сложных систем / А. К. Гришко, Н. К. Юрков, И. И. Кочегаров // Труды международного симпо-зиума «Надежность и качество». – Пенза : Изд-во ПГУ, 2014. – Т. 2. – С. 377–379.

2. Гришко, А. К. Системный анализ параметров и показателей качества многоуровневых конструкций радиоэлектронных средств / А. К. Гришко, Н. К. Юрков, Д. В. Артамонов, В. А. Канайкин // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии. – 2014. – 2 (26). – С. 77–84.

3. Гришко, А. К. Динамическая оптимизация управления структурными элементами сложных систем / А. К. Гришко, Н. К. Юрков, Т. В. Жашкова // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. – 2015. – 4 (26). – С. 134–141.

107

4. Гришко А. К. Динамический анализ и синтез оптимальной системы управления радиоэлектронными средствами / А. К. Гришко // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. – 2015. – 4 (26). – С. 141–147.

5. Зудов, А. Б. Интерфейсы на естественном языке как связь нейронных сетей с экспертными системами / А. Б. Зудов, А. К. Гришко // В мире научных открытий. – 2010. – 5-1. – С. 119–122.

6. Гришко, А. К. Структурные компоненты геоинформационных систем и их основные области применения / А. К. Гришко, А. С. Зорькин, В. Я. Бан-нов, В. А. Трусов // Труды международного симпозиума «Надежность и каче-ство». – Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. – Т. 1. – С. 287–288.

7. Гришко, А. К. Адаптивная фильтрация в задачах синтеза оптималь-ных систем принятия решений и управления / А. К. Гришко // Труды между-народного симпозиума «Надежность и качество». – Пенза, 2009. – Т. 1. – С. 221–222.

8. Гришко, А. К. Анализ математических моделей расчета электроаку-стических полей и дальности действия радиолокационных систем методом последовательного анализа / А. К. Гришко, Н. В. Горячев, Н. К. Юрков // Ин-женерный вестник Дона. – 2015. – 2. – URL: http//ivdon.ru/ru/magazine/ archive/n2y2015/2885

9. Гришко А. К. Анализ и оптимизация траектории поведения системы на основе прогнозирующего управления / А. К. Гришко // Труды международ-ного симпозиума «Надежность и качество». – Пенза, 2008. – Т. 1. – С. 291–292.

10. Гришко А. К. Алгоритм управления в сложных технических систе-мах с учетом ограничений / А. К. Гришко // Труды международного симпозиу-ма «Надежность и качество». – Пенза : Изд-во ПГУ, 2014. – Т. 2. – С. 379–381.

11. Гришко, А. К. Метод последовательного анализа моделей радиоло-кационных систем в процессе эксперимента / А. К. Гришко, В. Я. Баннов // Труды международного симпозиума «Надежность и качество». – Пенза : Изд-во ПГУ, 2013. – Т. 1. – С. 178–179

12. Гришко, А. К. Метод оценки качества информации по принятию управляющих решений в интегрированных системах освещения обстановки / А. К. Гришко // Труды международного симпозиума «Надежность и каче-ство». – Пенза : Изд-во ПГУ, 2011. – Т. 2. – С. 331–333.

ОПТИМИЗАЦИЯ МОДЕЛИ СЕТИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ РАЗНОТИПНЫХ РЭС

А. К. Гришко

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия E-mail: Alexey-grishko@rambler.ru

Оптимальное пространственное размещение и обоснование рацио-

нальной состава распределенных систем, состоящих из отдельных ра-

108

диоэлектронных средств и функционирующих в интересах единой функциональной задачи на определенной территории, является важной и актуальной задачей.

Наиболее часто встречаются следующие задачи оптимизации и рационального выбора [1-4]:

– размещение на местности для заданной структуры s S∈ (из чис-ла допустимого множества структур S ) и состава sN , где задача опти-мизации заключается в обосновании топологии optΨ = ;

– обоснование структуры s , состава sN и пространственной топо-логии Ψ при максимизации эффекта применения maxЭΣ → и суммар-ных затрат в пределах выделенного ресурса допC CΣ ≤ задача оптимиза-ции состоит в обосновании opts = и optΨ = ;

- обоснование требуемых затрат требC для обеспечения заданной

вероятности обнаружения обнP задача оптимизации примет вид: , opt, opt, optтреб sC C s NΣ = = = Ψ = ;

– обоснование оптимальной структуры s , состава sN простран-ственной топологии Ψ и суммарных затрат CΣ , задача оптимизации примет вид: opt, opt, opt, optsC s NΣ = = = Ψ = .

Для решения поставленных выше задач были разработаны крите-рии выбора структур s , состава sN и пространственной топологии Ψ , позволяющия решить частные задачи обоснования s , sN , Ψ и суммар-ных затрат CΣ [5,6]

Критерий решения первой частной задачи синтеза при ограниче-ниях [ ], const, 0;1 ,0 ; const; consts s

s

s S s Э N N NΣ∈ = ∈ = = = состоит в

одновременном обеспечении эффективности Σ maxЭ Э→ и дальности действия maxобнД Д→ .

В соответствии с первым критерием частная задача размещения на местности системы распределенных радиоэлектронных средств задан-ной структуры и состава осуществляется путем двухэтапной оптимиза-ции [5] при условии неизменности общего числа размещаемых элемен-тов внутри классов sN : const const constsN N s= ∧ = ∧ = .

На первом этапе размещаются элементы для которых при разме-щении в условиях 1 2, , , jУ у у у= … одновременно с ( )обнP У изменяет-

ся ( )обнД У . Выполняется оптимизация топологии и фиксация мест раз-

мещения при ( ) ( )max constобн sЭ У Д У NΣ → ∧ ∧ = .

Критерий решения второй частной задачи синтеза [5,6] при огра-ничениях [ ]; const; 0;1 ,0 ;треб допN Э C CΣ≠ ∈ ≤ заключается в одновре-

менном обеспечении Σ maxЭ Э→ , maxобнД Д→ , mins sN N= , s S∈ .

109

В соответствии со вторым критерием решается частная задача обоснования структуры, состава, топологии системы распределенных радиоэлектронных средств [5-7] при максимизации ΣЭ и ограничении ресурса CΣ .

Начальный набор включает N элементов из sN подклассов. В s -м подклассе оценивается степень реализации ТТХ по дальности /s nN L L= оценивается CΣ и nCΣ . Если огрC CΣ ≤ , то любые решения

приемлемы и они сводятся к min maxopt требN N Э ЭΨ = ∧ → ∧ → .

Для минимизации sN и optnΨ → внутри каждого s -го подкласса исключаются s -е подклассы с худшими ( )sЭ tΣ до sтребN . Затем для

требsN N= классов элементов с / nN L L= решается optΨ = путем по-

следовательного исключения элементов с худшими показателями nЭ до выполнения max огр требC C Э ЭΣ ≤ ∧ → . Для уточнения Ψ решается пер-

вая задача. Критерий решения третьей частной задачи синтеза при ограниче-

ниях [ ]требmin; 0;1 ,0sN Э→ ∈ состоит в обеспечении

Σ треб обн maxЭ Э , Д Д , s S= → ∈ .

В соответствии с третьим критерием частная задача обоснования требуемого ресурса CΣ для обеспечения обнP задается в виде

( )треб обнЭ f P= . Аналогично второй задаче [5,8] включается N элемен-

тов из sN классов с / nN L L= , 1, sn N= . Внутри s -х подклассов реша-ется optsΨ = и s sтребN N= по показателю ( )sЭ tΣ . Для полученного

комплекса в s подклассах решается первая задача и проверяется условие ( ) требЭ t ЭΣ > . При увеличении производится исключение элемента из

N без восполнения, в противном случае N увеличивается. В момент выполнения условия ( ) требЭ t ЭΣ = оценивается CΣ . Для уточнения Ψ

решается первая задача. Критерий решения четвертой частной задачи синтеза при ограни-

чениях [ ]min; 0;1 ,0sN ЭΣ→ ∈ состоит в обеспечении Σ maxЭЭ → ,

CΣ→ допC , maxДобн Д→ , s S∈ . В соответствии с четвертым критерием частная задача обоснова-

ния оптимального состава, структуры и топологии распределенной си-стемы разнотипных радиоэлектронных средств, т.е. наилучшего сочета-ния обнP и CΣ , решается путем начального набора средств аналогично второй и третьей задачам [8-10], затем обеспечивается optΨ = . Далее последовательно уменьшается N до 0N = с фиксацией ΣЭ ( )обнf P= и CΣ , отыскивается / extrЭ CΣ Σ → .

110

Автоматизация процесса синтеза распределенных систем разно-типных радиоэлектронных средств обеспечивается использованием цифровых карт местности, точным описанием условий функционирова-ния и постановкой задачи размещения на местности обоснования соста-ва и структуры.

Задача обоснования структуры s S∈ , состава sN и топологии Ψ относится к классу многоэкстремальных, многофакторных с частичной неопределенностью [11,12]. Число возможных вариантов простран-ственной топологии Ψ для sN определяется сочетанием числа элемен-

тов N на nΨ – множестве возможных мест размещения элементов-

n

NCΨ , что делает решение задачи традиционными методами оптимизации

(перебор, градиентный и др.) проблематичным. Снижение вычислитель-ных затрат требует укрупнения цифровых карт местности и противоре-чит требованию точной оценки обнP .

Проведенный анализ типовых оптимизационных процедур показал возможность их применения для решения задач синтеза распределенных систем разнотипных радиоэлектронных средств.

Предложенный подход может быть реализован в системах под-держки принятия решений для организации радиотехнического монито-ринга контролируемой территории.

Список литературы

1. Гришко, А. К. Методология управления качеством сложных систем / А. К. Гришко, Н. К. Юрков, И. И. Кочегаров // Труды международного симпо-зиума «Надежность и качество». – Пенза : Изд-во ПГУ, 2014. – Т. 2. – С. 377–379.

2. Гришко, А. К. Системный анализ параметров и показателей качества многоуровневых конструкций радиоэлектронных средств / А. К. Гришко, Н. К. Юрков, Д. В. Артамонов, В. А. Канайкин // Прикаспийский журнал: управление и высокие технологии. – 2014. – 2 (26). – С. 77–84.

3. Гришко, А. К. Динамическая оптимизация управления структурными элементами сложных систем / А. К. Гришко, Н. К. Юрков, Т. В. Жашкова // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. – 2015. – 4 (26). – С. 134–141.

4. Гришко, А. К. Динамический анализ и синтез оптимальной системы управления радиоэлектронными средствами / А. К. Гришко // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. – 2015. – 4 (26). – С. 141–147.

5. Зудов, А. Б. Интерфейсы на естественном языке как связь нейронных сетей с экспертными системами / А. Б. Зудов, А. К. Гришко // В мире научных открытий. – 2010. – 5-1. – С. 119–122.

6. Гришко, А. К. Структурные компоненты геоинформационных систем и их основные области применения / А. К. Гришко // Труды международного симпозиума «Надежность и качество». – Пенза, 2010. – Т. 1. – С. 287–288.

111

7. Гришко, А. К. Адаптивная фильтрация в задачах синтеза оптималь-ных систем принятия решений и управления / А. К. Гришко // Труды между-народного симпозиума «Надежность и качество». – Пенза, 2009. – Т. 1. – С. 221–222.

8. Гришко, А. К. Анализ математических моделей расчета электроаку-стических полей и дальности действия радиолокационных систем методом последовательного анализа / А. К. Гришко, Н. В. Горячев, Н. К. Юрков // Инженерный вестник Дона. – 2015. – 2. – URL: http//ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2015/2885

9. Гришко, А. К. Анализ и оптимизация траектории поведения системы на основе прогнозирующего управления / А. К. Гришко // Труды международ-ного симпозиума «Надежность и качество». – Пенза, 2008. – Т. 1. – С. 291–292.

10. Гришко, А. К. Алгоритм управления в сложных технических систе-мах с учетом ограничений / А. К. Гришко // Труды международного симпози-ума «Надежность и качество». – Пенза : Изд-во ПГУ, 2014. – Т. 2. – С. 379–381.

11. Гришко, А. К. Метод последовательного анализа моделей радиоло-кационных систем в процессе эксперимента / А. К. Гришко, В. Я. Баннов // Труды международного симпозиума «Надежность и качество». – Пенза : Изд-во ПГУ, 2013. – Т. 1. – С. 178–179

12. Гришко А. К. Метод оценки качества информации по принятию управляющих решений в интегрированных системах освещения обстановки / А. К. Гришко // Труды международного симпозиума «Надежность и каче-ство». – Пенза : Изд-во ПГУ, 2011. – Т. 2. – С. 331–333.

ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА СПЕКТРАЛЬНУЮ ИНТЕНСИВНОСТЬ

ИЗЛУЧАТЕЛЬНОЙ РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК, ЛОКАЛИЗОВАННЫХ НА A+ -ЦЕНТРАХ

В КВАНТОВЫХ ТОЧКАХ

В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, П. С. Будянский, И. М. Мойко

Пензенский государственный университет, г. Пенза, Россия

В последнее время резко вырос интерес к исследованиям влияния

внешнего магнитного поля на фотолюминесценцию (ФЛ) структур с квантовыми ямами (КЯ) и квантовыми точками (КТ) (см. например [1 – 4]). Это связано, прежде всего с модификацией оптического спектра наноструктур, примесных и экситонных состояний, что приводит к но-

112

вым интересным эффектам в спектрах фотолюминесценции и оптиче-ского поглощения в условиях внешнего магнитного поля. Так, например, в случае КЯ GaAs/AlGaAs была впервые измерена индуцированная маг-

нитным полем циркулярная поляризация пика ФЛ связанного с A+ - цен-трами, анализ которой позволил определить тонкую, спиновую, энерге-

тическую структуру A+ - центра [1]. В работе [4] исследовались спектры ФЛ во внешнем магнитном поле ансамбля КТ InAs, выращенных мето-дом молекулярно – пучковой эпитаксии на подложке (001) GaAs, разо-риентированной в направлении [010]. Было установлено [4], что в маг-нитном поле происходит подавление захвата фоторожденных носителей в том массиве КТ, который образовался в результате коалесценции, в ре-зультате наблюдалось увеличение интенсивности ФЛ.

Магнитное поле оказывает влияние и на кинетику ФЛ КТ. Так в работе [3] было обнаружено ускорение кинетики ФЛ КТ InAs в матрице AlAs в поле 5 Тл. Полученные результаты объяснены в рамках модели, учитывающей обменное и зеемановское расщепление экситонных уров-ней КТ в магнитном поле [3].

Цель настоящей работы заключается в теоретическом исследова-нии влияния внешнего магнитного поля на энергию связи дырки в при-

месном комплексе A e+ + в сферически – симметричной КТ, а также на частотную зависимость спектральной интенсивности рекомбинационно-го излучения (СИРИ) квазинульмерной структуры с примесными ком-

плексами A e+ + . Рассмотрим задачу о связанных состояниях дырки в примесном

комплексе A e+ + в полупроводниковой сферически-симметричной КТ во внешнем магнитном поле. В качестве модели удерживающего потен-циала КТ используется потенциал бесконечно – глубокой сферически – симметричной ямы:

( ) 0

0

0,

, ,

если RU

если R

ρ ≤ρ = ∞ ρ ≥

(1)

где 0R - радиус КТ. Взаимодействие электрона, находящегося в основном состоянии в

КТ с дыркой, локализованной на 0A - центре будем рассматривать в рамках адиабатического приближения [5]. В этом случае электронный потенциал ( ), ,n l mV r действующий на дырку можно считать усреднен-

ным по движению электрона [6]

( ) ( )0

22, ,

, ,0 0

4

Rn l m e

n l m ee

reV r dr

r r

Ψ= −

πε ε −

, (2)

113

где e - заряд электрона; ε - диэлектрическая проницаемость материала КТ; 0ε - электрическая постоянная; ( ), ,n l m rΨ

- волновая функция элек-

трона в КТ; 0, 1, 2...m = ± ± - магнитное квантовое число; 0,1,2...l = -орбитальное квантовое число.

В первом порядке теории возмущений для основного состояния электрона ( 0, 0m l= = ) потенциал (2) может быть записан в виде

( )

2 * * 222 2 2

,0,00 04 2 2 2

n h hBn n n

e m m zV

R

β ωρ = − + ω + ρ + ω πε ε , (3)

где

( ) ( )0 2 ln 2n Ci n nβ = γ − π + π ;

( ) ( ) 1 22 2 2 2 * 3

0 02 3 4n hn e m R ω = π πε ε

;

, , zρ ϕ - цилиндрические координаты; 0 1,781γ = - постоянная Эйлера;

( )Ci x - интегральный косинус; n – радиальное квантовое число элек-

трона; *hm - эффективная масса дырки; /B e B m∗ω = – циклотронная ча-

стота. Можно показать (см. например [7]), что волновая функция и энер-

гетический спектр, соответствующие потенциалу (3), имеют вид

( )( )

1 2

2

12 221

, , 2 3 21 11 2

2 1

1 !, ,

22 ! !

m

n m n

nn

nz

a an n m a+

ρ Ψ ρ ϕ = × π +

( )

2 1

2 2 2

2 2 21 1

exp exp4 2 2

mn n

nn

z zH L im

aa a a

ρ ρ× − + ϕ , (4)

где 1 2, 0,1,2,...n n = – квантовые числа, соответствующие уровням

Ландау и уровням энергии осцилляторной сферически-симметричной

ямы; ( )2 42 41 / 2 1 / 4n n Ba a a a = +

; ( )*/n h na m= ω - характерная длина

осциллятора; ( )/B Ba m ∗= ω – магнитная длина; ( )nH x , ( )cnL x – по-

линомы Эрмита и Лаггера соответственно [8].

1 2

2,0,0

2, ,0 0

1

4 2n

n nn m ne

E nR

= − β + ω + + πε ε

114

( )

2

1 22 1 1

28B B

nn

mn m

ω ω+ ω + + + +ω

. (5)

Короткодействующий потенциал примеси описывается в рамках модели потенциала нулевого радиуса

( ) ( ) ( ), , ; , , aa a a aV z zδ

δ ρ −ρρ φ ρ φ = γ δ φ− φ ×

ρ

( ) ( ) ( )1a a az z z z

z

∂ ∂×δ − + ρ −ρ + − ∂ρ ∂ , (6)

где ( )2 *2 / hmγ = π α - мощность потенциала нулевого радиуса; α опре-

деляется энергией iE связанного состояния этого же A+ - центра в объ-

емном полупроводнике; ,a azρ - координаты A+ - центра в КТ. Используя стандартную процедуру потенциала нулевого радиуса

получим дисперсионное уравнение дырки, локализованной на A+ - цен-тре в КТ в магнитном поле:

( ) 11 120 2h hh hw

−− −λη −β β + β + β =

2

00

2 1exp

2i h hh

dt w t+

λ

∞ =η − − β η −β + + × πβ

( ) ( )( )1 2

12 211 1 exp 2 exp

2 22 2t a

h

z tw e wt ctg

t t

∗− −− × − − − − − × β

( )( ) ( ( ) ( ) ( )2

2exp 1 exp 2 2exp2 1 exp 2

ah

h

wwt wt ch a t

wt

∗∗ − ρ× − + − − − β

β − − , (7)

где 2 /i i hE Eη = ; iE - энергия связанного состояния дырки локализо-

ванной на таком же A+ - центре в объемном полупроводнике;

/a a hz z a∗ = ; /a a ha∗ρ = ρ . На рис. 1 а,б представлена зависимость энергии связи дырки в

примесном комплексе A e+ + от координат A+ – центра в z – и в ради-альном направлениях InSb КТ, а также от величины внешнего магнитно-го поля. Как видно из рис. 1 а,б, в магнитном поле имеет место про-странственная анизотропия энергии связи дырки в примесном комплексе

115

A e+ + , обусловленная гибридным квантованием в радиальной плоско-сти КТ и размерным квантованием в направлении магнитного поля:

– (энергия связи A+ – состояния в радиальной плоскости КТ)

( )( ) 1 1 2

0/ 2 3QD

d hh h hE E w− −λλ

ρ= β − β β + η , (8)

– (энергия связи A+ – состояния в z – направлении КТ)

( )( ) ( ) 1 1 2

0/ 2 3QD

h hh hz

E E − −λλ = β −β β + η . (9)

Уменьшение энергии связи дырки ( )( )QDh

zEλ с ростом величины B

связано с вытягиванием A+ – орбитали в z – направлении КТ.

Рис.1 Зависимость энергии связи дырки, локализованной на A+ – центре,

от координат A+ - центра ( *az , *

aρ ): (a) – вдоль оси z и (б) – в поперечном

к магнитному полю направлении, также от величины внешнего магнитного поля B, при 0 95R = нм, 7iη =

116

Рассмотрим далее процесс излучательного перехода возбужденно-

го электрона на уровень A+ – центра. Для расчета частотной зависимо-сти СИРИ необходимо получить выражение для волновой функции электрона, локализованного в основном состоянии сферически – сим-метричной КТ в магнитном поле.

Во втором порядке теории возмущений энергетический спектр электрона во внешнем магнитном поле запишется в виде [9]

( )2*2

0 , , ; , ,0, , ; , , 2 2

,

n l m n l mn l m n l m

n l m n l

R VE E V

X

′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′= + +

π − , (10)

здесь ,n lX ′ ′ - корень функции Бесселя полуцелого порядка 1 / 2l + ,

( )0 2 *2, 0n l hE X E R= - нулевое приближение к энергии электрона в раз-

мерно-квантованной зоне, , , ; , ,n l m n l mV ′ ′ ′ -матричный элемент оператора

возмущения, который имеет вид

( ) ( ) ( ), , ; 2 20 , , 3 , 3 ,

2 2

4B

n l m n l mn n l n l n l n l

l l

mV

X X J X J X

∞

′ ′ ′′= ′ ′

+ +

ω= ×

π −

( ) ( )* * *0 , 1 0 , 3 0 ,

2 2

n l n l n ll l

R X J R X J R X′ ′+ +

× −

( ) ( )( )

2 13* 2 * 2

0 ,

* * *0 , 1 0 , 3 0 ,

4 202 2

1

5! 2

2

klk

h B n l

n l n l n ll l l kk

m R X

R X J R X J R Xk l k

++

∞

′+ + + +=

− ω − + ×

Γ + +

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )2

4 3 2 1

2 1 2 1 2 3

l m l m l m l m

l l l

− + − + − + − +× × + − −

( )

2, 22,

3 5, , ,

2 2

12 2 2

2

n l

n l

XF k l k l

X

l k l

′ − − − − − + × −

+ + Γ +

117

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

2,

2,

3 52 , , ,

2 21 2 1

2 3 2 1 2 2 4

n l

n l

XF k l k l

Xl m l m l m l m

l l l k

′ − − − − + − − − − + + + + +

+ − + +

2, 22,

3 5, , ,

2 2

2 2 6

n l

n l

XF k l k l

X

l k

′ + − − − − + + ×

+ +

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2

4 3 2 1

2 5 2 3 2 1

l m l m l m l m

l l l

+ + + + + + + + × + + +

. (11)

СИРИ с учетом дисперсии размеров КТ, определяется выражением вида [10]

( ) ( ) ( )2 2 2*0

, ,30

4, , , ,eh

n l mn

ez z d d dz

mc Vλ

ω εΦ ω = Ψ ρ ϕ Ψ ρ ϕ ρ ϕ × P e

( ) ( )i fP u E E du× δ − − ω , (12)

где 0m – масса свободного электрона; ehP – матричный элемент операто-ра импульса на блоховских амплитудах зонных носителей; ω – частота излучаемой электромагнитной волны поляризации 0e ; ( )P u – функция

Лифшица – Слезова [11] ; ( )Eδ – дельта-функция Дирака; V – объем КТ.

Производя необходимые вычисления и учитывая (10 и (11) для (12) получим

( )

( )

( )2 41

0 2 2*5

3 ,0 0

2

11

21

2

h

n

wX u w

Xw

J X R

Γ − Γ Δ + β Φ = Φ × × Δ Γ Δ − +

( ) 11 1

2w

× Δ Ψ Δ + −Ψ Δ − + − ×

( )3

2 121 0 11

0

1exp

2h hP u dt u u w t−λ

+∞ × − β η −β + + ×

( ) [ ]( )1

12 21 1 exp 2te wt− −−× − − − ×

118

( ) [ ][ ]

35 2222 ,1

*0 0

21 exp 2 51 2

1 exp 2 2 2 2

jjj n h

j

Xwtj

wt R

++∞

=

β − − π × − Γ + × + −

[ ][ ]

[ ][ ]

1

21 exp 2 1 exp 2

1 exp 2 1 exp 2

t wt

t wt

− + − + −

× − − − − − −

( ) ( )3

22,1*2

0 *0 0

21 2 3 !

5 22 ! 22

jnn h

n

XjR

Rn j n

+′∞′

′=

β− +− × ′ ′+ +

[ ][ ]

52

2,1, 1; ,1, 12 2

,1

1 exp 2

1 exp 2

j nn n

n

V wt

wtX

′+ +′− −

′

+ −× × − −π −

[ ][ ]

[ ][ ]

22 3

1 exp 2 1 exp 2

1 exp 2 1 exp 2

jt wt

t wt

− − + − + − × − − − − − , (13)

где

32 2 3 2 32

0 0 06 2 h ehe a c m−

Φ = ε π πP e ;

32 2 2 1 4h h u wλ

Δ = β η + +

;

2 3 41 2hw u a∗−= + β ; 2 *0 0 04n he a Rβ = β πε ε ;

( ) ( )1 2 1 2*3 2 20 03h h hE a R eβ = πε ε π ; dX E= ω ;

u - является корнем трансцендентного уравнения вида

( )( ) ( )22 *2 *2 2 2 20 0 1 ,1

1n n h

n

R u R u V u X X∞

′ ′ λ′=

π + π − = η + .

На рис. 2 приведена частотная зависимость СИРИ, а также ее за-висимость от величины внешнего магнитного поля, построенная с по-мощью формулы (13). СИРИ в магнитном поле возрастает, что связано с ростом интеграла перекрытия огибающих волновых функций связанной

на A+ - центре дырки и локализованного в основном состоянии КТ

электрона. На рис. 3 а, б представлена координатная зависимость квад-

119

рата модуля соответственно волновой функции A+- состояния и элек-

тронной волновой функции основного состояния для различных значе-ний величины внешнего магнитного поля. Можно видеть, что с ростом величины B увеличивается степень локализации как дырочной (см. рис. 3а), так и электронной (см. рис. 3б) волновых функций, и соответствен-но растет интеграл их перекрытия.

Рис. 2. Зависимость спектральной интенсивности рекомбинационного излучения (в относительных единицах) от энергии излучаемого фотона

ω и величины внешнего магнитного поля B, для квазинульмерной структуры InSb КТ при 0 55R = нм

Рис. 3. Координатная зависимость квадрата модуля волновой функции:

(а) – A+ - состояния и (б) – электронной волновой функции для различных значений величины B: 1 – 0B = ; 2 – 2B = Тл; 3 – 5B = Тл, при 0 20R = нм

Таким образом, в работе методом потенциала нулевого радиуса в

адиабатическом приближении исследована зависимость энергии связи

дырки в комплексе A e+ + от величины внешнего магнитного поля. По-

ω , мэВ

B , Тл

Ф/Ф0

120

казано, что в магнитном поле имеет место пространственная анизотро-

пия энергии связи A+ - состояния из-за гибридного квантования в ради-альной плоскости КТ и размерного квантования в направлении внешне-го магнитного поля. В дипольном приближении проведен расчет частот-ной зависимости СИРИ для квазинульмерной структуры во внешнем магнитном поле с учетом дисперсии радиуса КТ. Показано, что в маг-нитном поле происходит смещение кривой СИРИ в коротковолновую область спектра и увеличение вероятности излучательного перехода

электрона на уровень A+ - центра, что связано с ростом интеграла пере-

крытия огибающих волновых функций связанной на A+ - центре дырки и локализованного в основном состоянии КТ электрона. Полученные ре-зультаты могут быть использованы при разработке источников ИК, либо терагерцового излучения (в зависимости от величины радиуса КТ), на основе квазинульмерных структур с примесными комплексами, с управ-ляемыми во внешнем магнитном поле параметрами.

Список литературы

1. Циркулярно поляризованная фотолюминесценция, связанная с A+ -центрами в квантовых ямах GaAs/AlGaAs / П. В. Петров, Ю. Л. Иванов, К. С. Романов, А. А. Тонких, Н. С. Аверкиев // ФТП. – 2006. – Т. 40. – С. 1099–1102.

2. Петров, П. В. Циркулярная поляризация фотолюминесценции дву-

мерной системы A+ -центров в магнитном поле / П. В. Петров, Ю. Л. Иванов, Н. С. Аверкиев // ФТП. – 2011. – Т. 45. – С. 794–800.

3. Долговременная кинетика фотолюминесценции квантовых точек InAs/AlAs в магнитном поле / Т. С. Шамирзаев, А. М. Гилинский, А. К. Бака-ров, А. И. Торопов, С. А. Фигуренко, К. С. Журавлев // ФТП. – 2005. – Т. 39. – С. 35–37.

4. Фотолюминесценция квантовых точек InAs, выращенных на разори-ентированных подложках GaAs / Г. В. Астахов, В. П. Кочерешко, Д. Г. Васи-льев, В. П. Евтихиев, В. Е. Токранов, И. В. Кудряшов, Г. В. Михайлов // ФТП. – 1999. – Т. 33. – С. 1084–1087.

5. Левашов, А. В. Энергетический спектр комплекса A e+ + в кванто-вой точке в адиабатическом приближении / А. В. Левашов, В. Д. Кревчик // ФТТ. – 2006. – Т. 48, 3. – С. 548–550.

6. Екимов, А. И. Квантование энергетического спектра дырок в адиаба-тическом потенциале электрона / А. И. Екимов, А. А. Онущенко, Ал. Л. Эфрос // Письма в ЖЭТФ. – 1986. – Т. 43, 6. – С. 292–294.

7. Кревчик, В. Д. Анизотропия магнитооптического поглощения ком-плексов «квантовая точка – примесный центр» / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, Р. В. Зайцев // ФТП. – 2002. – Т. 36, 10. – С. 1225–1232.

8. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. – М. : Физматгиз, 1962. – С. 1100.

9. Ландау, Л. Д. Квантовая механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М. : Физматлит, 2004. – Т. 3. – С. 800.

121

10. Zhou Hai-Yang, Gu Shi-Wei, Shi Yao-Ming // Commun. Theor. Phys. – 2005. – V. 44. – P. 375.

11. Лифшиц, И. М. О кинетике диффузионного распада пересыщенных твердых растворов / И. М. Лифшиц, В. В. Слезов // ЖЭТФ. – 1958. – Т. 35, 2 (8). – С. 479–492.

К ВОПРОСУ ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ УЛЬТРАЗВУКА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАСХОДА ЖИДКОСТИ С ЧАСТИЦАМИ

С. И. Мартынов, С. В. Пуртов

Югорский государственный университет Ханты-Мансийск, Россия E-mail: Purtik1988@ya.ru

На основе явления распространения ультразвуковых волн в жид-

кой среде создано множество измерительных приборов, среди которых большое распространение получили ультразвуковые расходомеры для определения объемного расхода жидкости, текущей по трубе.

Акустический метод измерения расхода жидкости и газа основы-вается на том, что скорость распространения ультразвуковых колебаний в движущейся среде относительно выбранной системы отсчета опреде-ляется геометрической суммой скорости ультразвуковых колебаний c в среде и скорости среды v , что позволяет найти скорость течения жидко-сти вдоль направления распространения звуковой волны. По данным измерениям и известному для данного режима течения теоретическому профилю скорости определяется расход жидкости.

Практическое применение метода осложняется рядом присущих ему факторов, негативно влияющих на точность определения расхода жидкости. Это, во-первых, зависимость собственной скорости ультра-звуковых колебаний от физико-химических свойств измеряемой среды (температура, давление, концентрационный состав), во-вторых, зависи-мость результата измерения скорости среды от числа Re (при измерении скорость потока усредняется вдоль ультразвукового пучка, а не по сече-нию трубопровода), и в-третьих, скорость распространения ультразву-ковых колебаний много больше скорости распространения измеряемой среды (на два-три порядка по отношению к скорости транспортировки жидкости по трубам). Все эти факторы приводят к тому, что на практике применение ультразвуковых расходомеров ограничено очищенными жидкостями (без примесей). Ниже предлагается подход, позволяющей на основе теоретических результатах по распространению звука в дис-

122

персной среде использовать ультразвуковые методы и для течений жид-кости с частицами. Данный подход основывается на полученных резуль-татах по распространению звуковой волны в жидкости с частицами, поз-воляющий более точно определить количество рассеиваемой звуковой энергии и величину скорости звука в зависимости от объемной концен-трации примесей [1], а также влиянию примесей на изменение профиля скорости течения жидкости в трубе.

Если на пути распространения звуковой волны находится какое-либо тело, то происходит рассеяние звука. Это связано с появлением до-полнительных волн, распространяющихся во все стороны [2]. Рассеяние звуковой волны вызвано уже наличием самого тела. Кроме того, под влиянием звуковой волны само тело приходит в движение, что вызывает некоторое дополнительное излучение звука телом, то есть дополнитель-ное рассеяние.

Если длина излучаемой волны велика по сравнению с расстоянием r между частицами A и B в звуковой волне rλ >> , что вблизи сфер A и B движение определяется уравнением Лапласа [2]:

0Δψ =

где ψ - потенциал возмущенного поля скоростей в рассеянной волне. Следовательно, на больших расстояниях от частиц потенциала ψ рассе-янной волны может быть представлен в виде ряда по мультиполям, ана-логично случаю взаимодействия частиц в звуковой волне или несжима-емой жидкости [1]:

( ) ( ) ( ) ( ) ...A B A B A B A Bii o o i i i ij ijo ij ijk ijk ijkE S L L H L L F L L G L Lψ = + + + + + + (1)

Распределение скорости зависит от расстояний до центров частиц. На больших расстояниях от частиц решение (1) должно совпадать с ре-шением волнового уравнения для сферических волн [2]:

1 2( ) ( )f ct r f ct r

r r

− +ψ = + .

Первый член представляет собой расходящуюся волну, второй – волна, сходящаяся к центру.

В выражении для потенциала при условии rλ >> получим при-ближенные равенства

AAAB

Bo

A

Ao xrxrxx

Lx

L1

2

11,

12

≈⋅−+

=== ,

3 3 2 2 3/2 3,

( 2 )

A B A A AA Bi i i i ii i

A B A A A A A

x x x r xL L

x x x r x r x

−= − = − = ≈ −+ − ⋅

.

123

Ограничимся в выражении (1) только членами, наименее быстро убывающими с ростом r , получим, что потенциал рассеянной волны равен

( )2 jA A

ii o id H

E SL Ldt

ψ = + .

Тогда скорость жидкости в рассеянной волне равна

2

2 2 2 3

( )22ij j j ii

idE d H x xS x

vdt cx dt c x

= ⋅ + ⋅ . (2)

Здесь в соответствии с решением волнового уравнения

( )iiE t ∼ iix

E tc

−

, ( )jH t ∼ jx

H tc

+

,

где c - скорость звука. Среднее количество рассеиваемой за одну секунду энергии в дан-

ном элементе телесного угла dΩ определяется как [2] 2c v dρ Ω . Полная интенсивность I рассеяния получается интегрированием выражения (2) по всем направлениям рассеяния. При этом интегрировании удвоенное произведение обоих членов в (2), пропорциональное первой степени ко-синуса угла между направлением рассеяния и направлением распро-странения звуковой волны, исчезает и получаем следующее выражение для дополнительного количества рассеиваемой энергии звука:

22 22

2 3

116 16jj jdE d HS

Idt c dt c

= πρ < > + πρ < >

. (3)

Здесь скобками «< >» усредненные параметры. Усреднение эле-

ментов осуществляется по правилу 0

1T

a dtT

< >= .

Рассмотрим монохроматическую звуковую волну вида

0 cos( ), 2 /iv a kx t k= −ω = π λ

Здесь λ – длина волны. Выражение для дополнительного рассеива-ния звуковой энергии в единичном объеме примет вид с учетом (3)

2

2 20 3

26n I an

φ= π ρωλ

. (4)

Здесь n- концентрация включений в единице объема жидкости, φ- объемное содержание включений.

124

34

3

an

πφ =

Зная зависимость скорости звука и величину рассеянной энергии можно определить величину φ. Имея зависимость профиля скорости те-чения от величины φ можно определить величину расхода жидкости.

Список литературы

1. Борискина, И. П. Влияние гидродинамического взаимодействия на движение частиц в идеальной жидкости / И. П. Борискина, С. И. Мартынов // Труды Средневолжского математического общества. – 2003. – Т. 5, 1. – С. 93–97.

2. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – 3-е изд., перераб. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 736 с.

ОБ ОДНОМ ВАРИАНТЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОПТОМЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТЕРМОДЕФОМИРОВАННОЙ ЛИНЗЫ

А. Е. Романов

Самарский государственный университет, Самара, Россия

На практике удовлетворительное качество изображения в области

распространения параксиальных и нулевых лучей не гарантирует его во всей остальной и как для одиночной линзы, так и для диоптрической си-стемы в целом. В связи с этим решение задачи термоупругости для лин-зы целесообразно использовать для установления факта возникновения и развития термомеханической расстраиваемости, инициируемой слож-ным теплообменом в диоптрической системе [1].

Оптические поверхности достаточно считать криволинейными торцами диска или цилиндра в зависимости от типоразмеров. Одномер-ное решение задачи термоупругости фактически ищется для тонкого диска (цилиндра) толщиной d . Будем считать, что его диаметр линзы таков, что полностью охватывает область распространения параксиаль-ных и нулевых лучей. Такой подход позволяет использовать одномер-ный профиль показателя преломления ( )n n z= .

В рамках теории температурных напряжений в несвязанной стати-ческой задаче термоупругости перемещение оптической поверхности связано с температурой уравнением равновесия ( )i Tu = γα Θ ⋅Θ [2] и

125

граничными условиями в перемещениях на каждой поверхности, выра-женными через деформацию:

[ ]( )i Tε = γ α Θ ⋅Θ . (1)

Здесь 3 2

2

λ + μγ =λ + μ

, где ,λ μ - изотермические коэффициенты Ляме [3].

Абстрагируясь от постановки и решения задачи теплопроводно-сти, будем считать профиль избыточной температуры априори нелиней-ным. Тогда

( )Td dε = γ α Θ Θ . (2)

Подставляя коэффициент линейного теплового расширения, вы-раженный полиномом степени 1J −

( ) ( ) 1

1

J jj ref

j

k T−α

=α Θ = +Θ (3)

в (2), интегрируя обе части и переходя от деформаций к перемещениям, получаем

11 2

1

( ) ( ) ( )J j

i j refj

u z j k T z dz c z dz c− α

= = γ +Θ + + .

Здесь функция 1( )c z должна удовлетворять граничному условию (1) на обоих границах. Для нее

11

1

( )( ) ( ) 1

( )

J jj ref

refj

j zc z j k T z

T z− α

=

Θ = γ +Θ − +Θ . (4)

Далее, учитывая, что нас интересуют перемещения относительно срединной точки / 2dζ = толщины линзы, от которой отсчитываются перемещения, константа 2c находится из условия ( ) 0iu ζ = . Тогда

1

21

( ) ( )J j

j refj z

c k T z z dz−α

= =ζ

= −γ +Θ Θ . (5)

Раскладывая степенные выражения в (4) и (5) по биному Ньютона, получаем перемещения и деформации в следующем виде:

( )1

1 0

! ( )( )

! ! ( )

j nj nJref

i jrefj n

j T zu z k dz

j n n T z

− +α

= =

Θ= γ − − +Θ

126

( )

11

0

!( )

! !

j njref n

zn

j Tz dz

j n n

−−+

=ζ=

− Θ − , (6)

1

1

( ) ( ) ( )J j

i j refj

z k T z z−α

= ε = γ +Θ Θ . (7)

Здесь интегралы от избыточной температуры обеспечивают «инте-грирующий» эффект, формирующий дилатацию линзы вдоль оптиче-ской оси. Заметим, что если ( )zΘ представляет собой сложную функ-цию координат и не поддается непосредственному вычислению в полу-ченных выражениях, то от переменной интегрирования z в (6) можно перейти к переменной Θ , вычислив предварительно лишь производную

( )zΘ . Тогда в первом интеграле, сделав замену ( )ln refTσ = Θ+ и при-

менив разложение по биному Ньютона к выражению ( ) 1nrefe T

+σ − , по-

лучаем

( )( )

11

0

! ( )( ) 1

( ) ( ) ! !( 1)

nj njn

ref ref

ref n

j T z Tzdz

T z z j n n n

+−+

=

− Θ +Θ =+Θ Θ − + .

Во втором интеграле получаем более простое выражение:

21 11 1 ( )( )

( ) ( ) 2

nn n z

z dz dz z n

++ + ΘΘ = Θ Θ =

Θ Θ + .

Таким образом, при неоднородном поле температур искомые пе-ремещения и деформации есть

1 1 1(0) ( )u u u= − ζ , 2 2 2( ) ( )u u d u= − ζ , (8)

1 1 1(0) ( )ε = ε − ε ζ , 2 2 2( ) ( )dε = ε − ε ζ . (9)

Значение эквивалентной температуры (обозначим ее как IIΘ ) найдем из сопоставления (8)-(9) и (6)-(7). В результате получаем пару нелинейных уравнений

( ) *II ii

ε Θ = ε , ( )*i II ii i

u R= ε Θ . (10)

Складывая их, в результате преобразований системы получаем од-но нелинейное уравнение для (3) с известной правой частью:

( ) * *1

2II II i i ii i i

R u α Θ ⋅Θ = ε +

. (11)

127

Подстановка IIΘ в выражение для коэффициента преломления ( )n nΘ = Θ позволяет найти эквивалентные изотропным оптические и

термомеханические свойства линзы. Найденная из решения (11) темпе-ратура IIΘ идентична по физическому смыслу искомой эквивалентной температуре, позволяющей использовать приближение изотропной сре-ды в решении задач термоупругости и оптики в рамках оптики нулевых и параксиальных лучей при ( )z constΘ ≠ .

Список литературы

1. Романов, А. Е. Термомеханическая расстраиваемость светозащищен-ных диоптрических систем / А. Е. Романов // Вестник Самарского государ-ственного университета. – 2008. – Т. 65, 6. – С. 290–308.

2. Романов, А. Е. Термомеханические аспекты исследования оптики ну-левых и параксиальных лучей в диоптрических системах / А. Е. Романов // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и соци-альных проблем : сб. ст. 9-й Междунар. конф. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2014. – С. 214–216.

3. Коваленко, А. Д. Термоупругость / А. Д. Коваленко. – Киев : Вища школа, 1975. – 216 с.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ НЕРАВНОВЕСНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ТОКА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

А. В. Рудин, С. В. Рудин

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия E mail: rudin1951@mail.ru

Носители тока, концентрация которых соответствует тепловому

равновесию, называются равновесными. При возбуждении полупровод-ника (светом, ионизирующим излучением и т. д.) образуются избыточ-ные относительно равновесного распределения носители тока,- полу-чившие название неравновесных носителей. При освещении полупро-водника наряду с процессами генерации неравновесных носителей имеет место и обратный процесс — их рекомбинация. Поэтому, спустя некото-рое время, устанавливается стационарное значение неравновесных кон-центраций, а следовательно, и стационарное значение фототока. По этой же причине при затемнении полупроводника фотопроводимость не ис-чезает мгновенно. Этими процессами объясняется инерционность фото-резисторов. Кривые изменения со временем неравновесной проводимо-сти называют кривыми релаксации. Исследование релаксационных кри-

128

вых позволяет определить ряд важных характеристик фоторезисторов. Неравновесные носители тока определяют действие важнейших полу-проводниковых приборов: триодов, диодов, термисторов, фоторезисто-ров, кристаллических счетчиков и т.д. [1].

Если в некоторый момент времени осветить полупроводник, то число образуемых за единицу времени в единице объема неравновесных электронов Δn и дырок Δр будет пропорционально интенсивности света I:

n k IΔ = β⋅ ⋅ и p k IΔ = β⋅ ⋅ , (1)

где k − коэффициент поглощения света, β − квантовый выход, т. е. число пар электрон − дырка, образуемых одним квантом света [ 2 ]. При отсут-ствии в полупроводнике процессов рекомбинации концентрация нерав-новесных носителей возрастала бы со временем по линейному закону (см. рис. 1, пунктирная кривая):

n k I tΔ = β⋅ ⋅ ⋅ и p k I tΔ = β⋅ ⋅ ⋅ . (2)

Однако, как показывает опыт, при освещении полупроводника

наряду с процессами генерации неравновесных носителей имеет место и обратный процесс − их рекомбинация. Поэтому спустя некоторое время устанавливается стационарное значение неравновесных концентраций, а следовательно, и стационарное значение фотопроводимости ФΔσ (рис. 1, кривая I), По этой же причине при затемнении полупроводника фото-проводимость не исчезает мгновенно (рис. 1, кривая II). Этими процес-сами объясняется инерционность фоторезисторов. Кривые изменения со временем неравновесной проводимости называют кривыми релаксации.

Исследование кривых релаксации позволяет определить один из важнейших параметров, характеризующий фотопроводимость − время жизни неравновесных носителей. Оно зависит от скорости рекомбина-

t облучение затемнение

фσΔ

I

II

Рис. 1

129

ции неравновесных носителей. Вероятность захвата (рекомбинации) электрона дыркой принято характеризовать сечением захвата qn. Сече-ние захвата определяется отношением числа захватов (рекомбинаций) носителей на единице пути к числу атомов в единице объема вещества.

Среднее время τ , которое проходит между двумя встречами элек-трона с дыркой, называется средним временем жизни неравновесного носителя. Оно связано с сечением захвата qn соотношением:

1

nn nq p

τ =υ

, (3)

где υn − средняя относительная скорость движения электрона и дырки, а р − концентрация дырок.

Если скорость рекомбинации n

τ пропорциональна первой степени

концентрации (линейная рекомбинация), то изменение концентрации неравновесных носителей в единицу времени при освещении определя-ется соотношением:

dn n

k Idt

= β ⋅ ⋅ −τ

, (4)

Решение уравнения (4) имеет следующий вид:

( )0 1 tn n e− τ= − , (5)

где п0 – стационарная концентрация носителей тока (при t → ∞ ). Если полупроводниковый образец после освещения затемнить, то

изменение неравновесной концентрации происходит по закону:

dn n

dt= −

τ. (6)

Решением этого уравнения является

0tn n e− τ= . (7)

Фототок выражается как

I e n S E= ⋅μ ⋅ ⋅ ⋅ , (8)

где μ − подвижность носителей, Е − напряженность поля, S − сечение полупроводника, nо − концентрация носителей. Следовательно, закон ре-лаксации фототока при освещении фоторезистора запишется в виде

0 1t

I I e−τ

= −

. (9)

130

Закон релаксации фототока при затемнении фоторезистора примет вид

0

t

I I e−τ= . (10)

Время жизни τ можно определить, зная за какой промежуток вре-

мени t фототок изменится, например, на 50%. Если начальный ток I0, а за время t величина фототока уменьшилась в два раза, то из выражения (10) примет вид

0 01

2

t

I I e−τ= . (11)

Логарифмируя выражение (11), определим время жизни неоснов-ных носителей тока в полупроводнике

ln 2

tτ = . (12)

Функциональная блок-схема экспериментальной установки для измерения времени жизни неосновных носителей тока в полупроводни-ках приведена на рисунке 2. Основными элементами установки являют-ся - исследуемый фоторезистор, типа ФСК, источник монохроматиче-ского света СД, модулятор света, источник стабилизированного напря-жения и электронный осциллограф. Фотосопротивление и светодиод укреплены на специальной платформе оптической камеры ОК и закры-ваются металлическим цилиндром, экранирующий воздействие внешних источников света. На фотосопротивление через резистор подается напряжение от стабилизированного источника постоянного тока. В ка-честве источника света используются светодиоды, типа L-53SRC, L-53SGC, L-934PBC, излучающие в диапазоне длин волн от 0,4 до 0,6 мкм. В качестве модулятора света используется генератор прямоугольных импульсов с регулируемой амплитудой, длительностью и скважностью импульсов [3].

Если на исследуемое фотосопротивление ФСК подать постоянное стабилизированное напряжение от выпрямителя, а затем осветить фото-резистор модулированным светом, то в цепи фотосопротивления будет протекать переменный пульсирующий электрический ток, который со-здает на сопротивлении R, включенном последовательно с ФСК, неко-торое падение напряжения U. Это напряжение подается на вход «Y» вертикального усилителя осциллографа. Горизонтальная развертка ос-циллографа осуществляется от внешнего генератора запускающих им-пульсов ГЗИ, которые подаются на вход «X».

131

Рис. 2 Импульсная вспышка светодиода создает через фоторезистор экс-

поненциально изменяющийся ток – релаксационную кривую, которая наблюдается на экране осциллографа.

По релаксационной кривой и формуле (12) можно рассчитать вре-мя жизни неравновесных носителей тока в исследуемом фоторезисторе в зависимости от температуры или длины световой волны при облучении.

Список литературы

1. Лабораторный практикум по физике. Ч. 2 / В. А. Базакуца и др. – Харьков : Изд-во Харьковского университета, 1972.

2. Рывкин, С. М. Фотоэлектрические явления в полупроводниках / С. М. Рывкин. – М. : Физматгиз, 1963.

3. Рудин, А. В. Физические свойства твердых тел : метод. указания к выполнению лабор. работ по курсу «Физика твердого тела» / А. В. Рудин. – Пенза : ИИЦ ПГУ, 2007. – Ч. 1. – 68 с.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ДЛЯ ЗАДАЧИ

МОРСКОЙ ГЕОЭЛЕКТРИКИ

Э. П. Шурина, Б. В. Рак, П. С. Жигалов

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, Россия

E-mail: shurina@online.sinor.ru, bogdan.v.rak@yandex.ru, peter.zhigalov@gmail.com

В современном мире наблюдается тенденция снижения спроса на

нефть и природный газ. Так как экономика многих стран таких как Рос-

ГЗИ ФПИ ТШ

ИПТ

Ω

y x R1 СД

ФСК

ОК

ОЦ

R2

132

сия, Швеция, Канада зависит от цены на нефть, и т.к. цены будут низки-ми достаточно продолжительный период - необходимо снижать цену на добычу и, как следствие, становятся все более актуальными задачи, свя-занные с геологоразведкой.

Цены снижаются, тем самым порождая конкуренцию, порой дохо-дящую до вооруженных конфликтов. Поэтому все более острой стано-вится проблема «эффективной» разведки новых месторождений, осо-бенно в недрах земли, скрытых под толщей морской воды. Это объясня-ется тем, что, по оценкам специалистов, только на территории Северно-го Ледовитого океана находится до 25 процентов мировых запасов нефти и газа [1].

Задачи морской геоэлектрики имеют ряд отличительных особен-ностей. К ним можно отнести изменение электропроводности морской воды в зависимости от глубины, сезона, погодных условий, интенсивно-сти таяния льдов, а так же от многих других факторов. Морское дно, кроме сложного рельефа, имеет в разных участках различный уровень проникновения соленой или пресной воды в грунт.

Для задач морской геоэлектрики характерны следующие виды ис-точников: VED, HED, VMD, HMD, токовая петля, контролируемый электромагнитный источник. Также к особенностям относятся низкая частота работы (0.25—100 Гц) и большой размер расчетной области.

В работе предлагается математическая модель, описывающая по-ведение электромагнитного поля для задачи морской геоэлектрики, где источник электромагнитного возмущения есть токовая петля. Для реше-ния поставленной задачи предлагается использовать векторный метод конечных элементов [2].

Электромагнитное поле в частотной области описывается вектор-ным уравнением Гельмгольца:

1 20μ E E J Ω Ωi

i

i в−∇× ∇× + κ = − ω =

(1)

где 3Ω⊂ , E

- напряженность электрического поля, 0J

- плотность то-

ка, 2 2iκ = ωσ −ω ε , 2 fω= π - чиклическая частота, 0rε = ε ε - диэлектри-

ческая проницаемость, rε - относительная диэлектрическая проницае-

мость, 120 8.85 10 ( )Ф

м−ε = × , 0μ μ μr= - магнитная проницаемость, μr -

относительная магнитная проницаемость, 70μ 4 10 ( )Гн

м−= π× , σ - элек-

трическая проводимость, 1i = .

На границе , Ω Ωi ji jГ = ∩ любых двух подобластей с различными

материалами должны выполняться следующие условия непрерывности

133

,E | 0,

i jГn × =

(2)

,( )E | 0.

i jГn i⋅ σ + ωε =

(3)

Область окружена абсолютно проводящим материалом

ΩE | 0.n ∂× =

(4)

Для расчетной области моделирования введем следующие пространства гильбертовы пространства векторных комплексных функ-ций [3]

( ) 2 3 2 3,Ω [ (Ω)] : [ (Ω)] ,H v L v L∇× = ∈ ∇× ∈

( ) ( ) 2 30 ,Ω ,Ω : [ (Ω)] .H v H v n L∇× = ∈ ∇× × ∈

( ) ( ) 1 2 2 30 ΩΩ Ω : [ (Ω)] , | 0H L L ∂= φ∈ ∇φ∈ φ =

со скалярным произверением и нормой [2]. Для задачи (1) сформулируем вариационную формулировку: для 2 3

0 [ ( )]J L∈ Ω

найти ( )0 ,E H∈ ∇× Ω

такое, что для ( )0 ,v H∀ ∈ ∇× Ω вы-

полняется

( ) ( ) ( )1 20, , J , .E v E v i v−μ ∇× ∇× + κ = − ω

(5)

Закон сохранения заряда имеет вид

( )0J .E i∇ +σ = − ωρ

(6)

При условии того, что 0J 0∇ =

и ρ E= ∇εуравнения сохранения за-

ряда примет вид

( ) 0.i E∇ σ+ ωε =

(7)

В соответствии с диаграммой DeRham’а [4] имеет место свойство вложения

( ) ( )0 0, Ω , , ΩH H∇⋅φ∈ ∇× ∀φ∈ ∇ .

Положим ( )0 , Ωv H= ∇⋅φ∈ ∇×. Тогда (5) примет вид

( ) ( ) ( )1 20, , J , .E E i−μ ∇× ∇×∇⋅φ + κ ∇φ = − ω ∇φ

(8)

Исходя из того, что 00, J 0∇×∇⋅φ = ∇ =

получаем

( )2 , 0.Eκ ∇⋅φ =

(9)

134

Из уравнения (9) следует, что решение вариационной задачи (8) удовлетворяет закону сохранения заряда в слабом смысле.

Рассмотрим расчетную область, схематично показанную на рис. 1,

где 1Ω – воздух ( 610−σ = См/м, 0μ = μ , 0ε = ε ), 2Ω – морская вода ( 3.3σ = См/м, 0μ = μ , 0ε = ε ), 3Ω – грунт ( 0.2σ = См/м, 0μ = μ , 0ε = ε ),

4Ω – углеводороды ( 210−σ = См/м, 0μ = μ , 0ε = ε ), 1 2 3 3000L L L= = = м, 100d = м, 590h = м, 1 600h = м, 2 20h = м, 3 75h = м, 1 400l = м.

Рис. 1. Схематичное изображение расчетной области

X

Z

-600 -400 -200 0-1000

-800

-600

-400

-200

X

Z

-600 -400 -200 0-1000

-800

-600

-400

-200

Рис. 2. Электрическое поле при смещении 2 300l = − , изолинии RexE

135

X

Z

-600 -400 -200 0-1000

-800

-600

-400

-200

X

Z

-600 -400 -200 0-1000

-800

-600

-400

-200

Рис. 3. Электрическое поле

при смещении 2 300l = − , изолинии ReyE

X

Z

-600 -400 -200 0 200-1000

-800

-600

-400

-200

X

Z

-600 -400 -200 0 200-1000

-800

-600

-400

-200

Рис. 4. Электрическое поле

при смещении 2 200l = − , изолинии RexE

Источником электрического поля является петля диаметром

100d = мс током частотой 1 Гц, расположенная в воде на расстоянии 590h = мот границы раздела сред воздух-вода (в 10 метрах надповерх-

ностью грунта). В этой области рассмотрим электрическое поле при различных

смещениях объекта относительно источника ( 2 300l = − , 200− и 100− м),

а также сравним с электрическим полем в случае проводящего объекта

( 210σ = См/м).

136

На рис. 2-7 показано графическое представление поля в сечении

плоскостью 0y = , справа для объекта с 210−σ = См/м, слева для

объекта с 210σ = См/м. Стрелками обозначены направления вектора

( , )Re Re Tx zE E

.

X

Z

-600 -400 -200 0 200-1000

-800

-600

-400

-200

X

Z

-600 -400 -200 0 200-1000

-800

-600

-400

-200

Рис. 5. Электрическое поле

при смещении 2 200l = − , изолинии ReyE

X

Z

-400 -200 0 200-1000

-800

-600

-400

-200

X

Z

-400 -200 0 200-1000

-800

-600

-400

-200

Рис. 6. Электрическое поле

при смещении 2 100l = − , изолинии RexE

В работе используются базисные функции второго полного поряд-

ка [5].

137

X

Z

-400 -200 0 200-1000

-800

-600

-400

-200

X

Z

-400 -200 0 200-1000

-800

-600

-400

-200

Рис. 7. Электрическое поле при смещении 2 100l = − , изолинии ReyE

Список литературы

1. Шурина, Э. П. Морская геоэлектрика – задачи и перспективы / Э. П. Шурина, М. И. Эпов, А. В. Мариенко // Научное и техническое обеспе-чение исследования и освоения шельфа Северного Ледовитого океана : тезисы докладов Всерос. науч.-техн. конф. (9–13 августа 2010 г.). – Новосибирск, 2010. – С. 7–12.

2. Баландин, М. Ю. Векторный метод конечных элементов : учеб. посо-бие / М. Ю. Баландин, Э. П. Шурина. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2001.

3. Nedelec, J. C. Mixed finite element in 3 / J. C. Nedelec // Number. Math. – 1980. – 3. – P. 315–341.

4. Schwarzbach, C. Stability of Finite Element Solutions to Maxwell’s Equa-tions in Frequency Domain : Dis. Dr. Rer. Nat. / Schwarzbach C. – Gorlitz, 2009.

5. Lars, S. A. Hierarchical tangential vector finite elements for tetrahedral / S. Andersen Lars, L. John // IEEE Microwave and Guide Wave Lett. – 1998. – 3. – P. 8.

138

6. НЕЙРОМАТЕМАТИКА И НЕЙРОКОМПЬЮТЕРЫ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ НЕЙРОКОЛОРИМЕТРА

М. Н. Морозова

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

Рассматривая идеологию построения интегральных колориметров с

позиций искусственных нейронных сетей можно существенно уменьшить отклонения относительной спектральной чувствительности измерительных каналов от функций сложения цветов стандартного наблюдателя.

Создание интегрального колориметра на принципах искусственных нейронных сетей предполагает решение двух задач. Первая задача - это проектирование колориметра и оценка его обучаемости по величине по-грешности «измерения» виртуальных мер цвета с использованием матема-тической модели колориметра. Вторая задача - это обучение измеритель-ной системы прибора на ограниченном количестве мер цвета при его про-изводстве и переобучение в процессе эксплуатации с тем, чтобы погреш-ность измерения координат цвета была допустимой.

Решение первой задачи основывается на справочных данных для ис-точника и приемника излучения, а также на спектральных коэффициентах поглощения цветных стекол, когда определяются конструктивные пара-метры корректирующих светофильтров интегрального колориметра с це-лью минимизации целевых функций [1]

2

1 1

2

1 1

2

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) min;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) min;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) min

n m

Xj p i X i Xj i xj i ii j

n m

Yj p i Y i Yj i yj i ii j

n m

Zj p i Z i Zj i zj i ii j

K S T x

K S T y

K S T z

= =

= =

= =

Δλ φ λ λ λ ω − φ λ λ →

Δλ φ λ λ λ ω − φ λ λ →

Δλ φ λ λ λ ω − φ λ λ →

(1)

где xjω , yjω , zjω – коэффициенты синаптических связей; КX, КY, KZ – ко-

эффициенты передачи по каналам измерения X, Y, Z (устанавливаются при

139

калибровке прибора по образцу с известными координатами цвета); φp(λi), φ(λi) – относительное спектральное распределение потока излучения ре-ального источника, установленного в приборе и стандартного, соответ-

ственно; ( )ix λ , ( )iy λ , ( )iz λ – функции сложения цветов стандартного наблюдателя в системе XYZ; SX(λi), SY(λi), SZ(λi) – относительная спектраль-ная чувствительность фотоприемников по соответствующим каналам из-мерения; TXj(λi), TYj(λi), TZj(λi) – спектральные коэффициенты пропускания корректирующих фильтров, установленных перед фотоприемниками по соответствующим каналам измерения; j – номер фотоприемника; m – чис-ло фотоприемников; n – число длин волн, по которым ведется суммирова-ние [2].

Координаты цвета X, Y, Z, измеренные нейроколориметром, будут определяться выражениями:

1 1

1 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ;

( ) ( ) ( ) ( ) ;

( ) ( ) ( ) ( )

m n

Xj Xj p i Xj i Xj i ij i

m n

Yj Yj p i Yj i Yj i ij i

m n

Zj Zj p i Zj i Zj i ij i

X K S T

Y K S T

Z K S T

= =

= =

= =

= ω φ λ λ λ τ λ Δλ

= ω φ λ λ λ τ λ Δλ

= ω φ λ λ λ τ λ Δλ

(2)

где τ(λi) – спектральный коэффициент пропускания или отражения измеря-емого образца.

На рис. 1 приведена структура связей нейроколориметра, поясняю-щая табл. 1. Измерение координаты цвета Х осуществляются при помощи двух разделенных каналов Х- малое и Х- большое (по аналогии с функцией сложения цветов ( )iх λ , имеющей два максимума: малый и большой), реа-лизуемых двумя нейронами 1 и 2.

На этапе проектирования параметры корректирующего фильтра рас-считывались и выбирались с возможностью функционирования при источ-никах излучения типа А, В, С и D65, изменяя при этом только коэффици-енты синаптических связей. Отклонения относительной спектральной чув-ствительности каналов измерения от функций сложения цветов стандарт-ного наблюдателя, с учетом относительной спектральной плотности пото-ка излучения источников всех типов, не превысили 0,2 %.

Обучение измерительной системы прибора при производстве осно-вывается на реальной спектральной чувствительности конкретного прием-ника излучения, спектральной плотности потока излучения источника и найденных параметрах корректирующих светофильтров, установленных в колориметре.

140

Рис. 1. Структура связей нейроколориметра

Необходимость переобучения нейроколориметра в процессе эксплу-

атации обуславливается тем, что спектральная чувствительность приемни-ка излучения и спектральная плотность потока излучения источника могут меняться. При реализации алгоритма обучения в обучаемый прибор уста-навливаются последовательно эталонные меры цвета ЭпX , ЭпY , ЭпZ и из-меряются при этом сигналы JпU с каждого фотоприемника, которые соот-ветствуют следующему выражению

jiijijip

n

ij UTSК =Δ

=

λλτλλλϕ )()()()(1

. (3)

Тогда можно записать:

j

m

jXjUX

=

=1

ω , j

m

jYjUY

=

=1

ω , =

=m

jjZjUZ

1

ω . (4)

Принимая во внимание, что при обучении измеряются N мер цвета с известными координатами цвета, выражение (5) перепишем в виде:

141

jn

m

jXjЭn UX

=

≈1

ω , jn

m

jYjЭn UY

=

≈1

ω , jn

m

jZjЭn UZ

=

≈1

ω . (5)

Эти соотношения выполняются лишь приближенно, а степень при-ближения и будет определять способность колориметра к обучению. Обу-чение колориметра заключается в нахождении коэффициентов синаптиче-ских связей xjω , yjω , zjω , которые должны удовлетворять, с заданной

точностью, всем мерам цвета ЭпX , ЭпY , ЭпZ . В соответствии с методом обратного распространения ошибки и с

учетом соотношения (5), запишем:

min)]([

min;)]([

min;)]([

1

2

1

1

2

1

1

2

1

→−

→−

→−

==

==

==

m

jJnZJ

N

nЭn

m

jJnYJ

N

nЭn

m

jJnXJ

N

nЭn

UZ

UY

UX

ω

ω

ω

(6)

Если изменением коэффициентов синаптических связей нельзя све-сти к допустимому минимуму отклонения между относительной спек-тральной чувствительностью каналов измерения и функциями сложения цветов стандартного наблюдателя с учетом относительной спектральной плотности потока излучения источника, то и обучить такой нейроколори-метр будет возможно только с ограниченной точностью.

Используя соотношения (6), промоделирован режим обучения на расчетных значениях координат цвета образцов, используемых при проек-тировании измерительной системы прибора. Для этого рассчитывались ве-личины сигналов на выходе фотоприемников JU , затем, используя алго-ритм обратного распространения ошибки и целевые функции (6), вычисля-лись синаптические коэффициенты, соответствующих источникам излуче-ния А и С.

Для оценки обучаемости нейроколориметра выбраны образцы цвета из цветных стекол СС17, СЗС25, СЗС27, ЖЗС5, ЖС4, ЖС12, OC12, OC19, не участвующие при обучении в процессе проектирования, значения коор-динат цвета которых приведены в табл. 3.

Проверка результатов обучения моделировалась на образцах цвета второй группы для источников излучения типа А и С по величине погреш-ности (табл. 2) с использованием вычисленных значений синаптических коэффициентов в ходе обучения по формулам:

1 1

( ); ( );m m

Эn XJ Jn Эn YJ Jnj j

X X U Y Y U= =

Δ = − ω Δ = − ω

142

1

( )m

Эn ZJ Jnj

Z Z U=

Δ = − ω (7)

Таблица 1 Значения координат цвета образцов второй группы для стандартных источников излучения А и C

Образцы цвета Для источника А Для источника С

Х Y Z Х Y Z СС17 23,859 26,256 19,808 29,118 29,361 70,303 СЗС25 38,579 46,914 25,087 43,042 52,652 83,486 СЗС27 87,065 84,644 31,885 81,143 86,670 105,810 ЖЗС5 64,905 67,197 7,383 52,364 67,368 18,543 ЖС4 103,579 94,078 27,299 88,532 93,163 87,130 ЖС12 105,736 97,660 19,284 85,003 96,171 54,154 OC12 93,718 65,065 0,131 67,203 52,452 0,128 OC19 101,156 90,940 22,198 83,578 89,176 68,323

Таблица 2 Погрешности координат цвета, вычисленные

на основе зависимостей (7) для образцов второй группы и стандартных источников излучения А и С

Образцы цвета Источник излучения С Источник излучения А ∆Х ∆Y ∆Z ∆Х ∆Y ∆Z

СС9 –0,283 –0,011 –0,048 0,128 0,009 0,214 СС17 –0,354 –0,011 0,013 0,152 -0,015 0,013 СЗС25 –0,409 0,041 0,023 0,150 0,129 0,152 СЗС27 –0,313 –0,030 0,049 0,076 -0,010 -0,045 ЖЗС5 –0,389 0,014 –0,122 0,199 0,030 0,086 ЖС4 –0,558 –0,030 0,001 0,194 0,085 -0,230 ЖС12 –0,584 0,009 0,057 -0,052 -0,399 0,573 OC12 –0,392 0,065 0,246 0,156 -0,299 -0,159 OC19 –0,283 –0,011 –0,048 0,128 0,009 0,214

Как видно из табл. 4, достаточно большие изменения спектральных

характеристик источника от распределения типа С до А, могут быть ком-пенсированы изменением синаптических коэффициентов при переобуче-нии, практически без увеличения погрешности измерения.

Таким образом, задача проектирования измерительной системы ко-лориметра, построенного на принципах искусственных нейронных сетей, можно считать задачу решенной, если возможные изменения компенсиру-ются только изменением синаптических коэффициентов, не меняя пара-метров корректирующих светофильтров.

Список литературы

143

1. Патент 85228 Российская Федерация. Нейроколориметр / А. А. Бе-лаш, В. А. Соловьев, И. В. Урнев, М. А. Щербаков // Опубл. 27.07.2009 ; Бюл. 21.

2. Патент 2395063 Российская Федерация. Способ измерения координат цвета и нейроколориметр для реализации способа / А. А. Белаш, В. А. Соловьев, И. В. Урнев, М. А. Щербаков // Опубл. 20.07.2010 ; Бюл. 20.

3. Цветное оптическое стекло и особые стекла : каталог / под ред. Г. Т. Петровского. – М., 1990.

144

7. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБРАЗОВАНИИ

ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ АКТИВНОСТИ ПРОФЕССОРСКО-ПРЕПОДАВАТЕЛЬСКОГО

СОСТАВА УНИВЕРСИТЕТА

Н. Ф. Добрынина

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

Вопрос об уровне и эффективности функционирования профес-

сорско-преподавательского состава является центральным при анализе современного состояния университетского образования и прогнозе дальнейшего развития высшей школы [1,2,3]. При подготовке статьи были проанализированы по должностным категориям результаты рей-тинга, представленные учебной частью Пензенского государственного университета..

В основу выделения характерных групп внутри преподавательско-го состава положено «должностное» деление, которое подсказывается структурой штатного расписания высшего учебного заведения. Распре-делим результаты рейтинга по возрастным категориям и изучим актив-ность каждой группы:

– ассистенты и старшие преподаватели (отношение численности этой группы к общему числу преподавателей, составило 25 %);

– доценты (их относительная численность составила 54 %); – профессора (21 %). При делении по должностям неявно учитывается возрастная

структура преподавательского состава университета, которая представ-лена в табл. 1.

Из таблицы видно, что ассистенты - наиболее молодая часть про-фессорско-преподавательского состава, доценты и профессора – более старшая возрастная группа. Максимальное число ассистентов и старших преподавателей приходится на возраст менее 30 лет, количество доцен-тов распределено по возрастам более равномерно, максимальное число профессоров приходится на группу 61-70 лет.

Рассмотрим распределение учебной нагрузки по группам препода-вателей. Построим вероятностную модель. Для этого необходимо рас-пределить полный объем учебной нагрузки S , измеряемой в баллах по

145

преподавателям, независимо от занимаемой ими должности. maxN - об-щая численность преподавателей. Нагрузка распределяется по препода-вателям случайным образом по SΔ баллов. Будем называть назначение нагрузки SΔ конкретному преподаватлю событием. Должно произойти

Sn

S=

Δсобытий. Поскольку нагрузка распределяется между преподава-

телями случайным образом и назначение нагрузки SΔ тому или иному преподавателю является равновероятным, то вероятность того, что при распределении нагрузки SΔ , она будет назначена конкретному препода-

вателю, равна max

1.p

N= При большом числе maxN преподавателей

университета величина p будет мала. Предположим, что n событий назначения нагрузки преподавателям являются независимыми друг от друга и их число достаточно велико. Тогда вероятность того, что препо-давателю за n событий будет назначено k «частей» учебной нагрузки, то SΔ определяется распределением Пуассона:

( )

( ) .!

np k

n

e npP k

k

−

= (1)

Таблица 1

Возрастная стратификация преподавателей ПГУ

Возрастная категория

Менее 30 От 31 до 40

От 41 до 50

От 51 до 60

От 61 до 70

Старше 71

Ассистенты и старшие преподаватели

47,8 % 18,2 % 18,9 % 8,3 % 6,8 % 0 %

Доценты 12,2 % 16,4 % 26,9 % 19,8 % 19,7 % 5 % Профессора 0 % 1,4 % 20,8 % 26,4 % 38,9 % 12,5 %

Суммарная нагрузка составляет k SΔ баллов. Учитывая случайный

характер назначения учебной нагрузки преподавателям в этой модели, можно сделать вывод о том, что число преподавателей, имеющих объем учебной нагрузки в k SΔ баллов, будет определяться соотношением

( ) ( )max max( ) .

!

np k

n

e npN k S N P k N

k

−

Δ = = (2)

Было проведено сравнение распределения (2) с распределением преподавателей по учебной нагрузке без учета профессиональной кате-гории. Для этого были оценены объем суммарной нагрузки 164800S = баллов и общее число сотрудников 824.maxN = В качестве единичного

146

объема распределяемой учебной нагрузки была принята величина

1 200S = баллов, что соответствует примерно одному курсу лекций, чи-таемому один раз в неделю в течении семестра. Объем учебной нагрузки – 36 аудиторных часов. При назначении учебной нагрузки преподавателям университета происходит 5600n = событий распределения, вероятность

каждого их них 31,536 10 .p −= ⋅ Используя оценочные значения, полу-чаем модельное распределение преподавателей по объему учебной нагрузки. Результаты показывают, что несмотря на грубые предполо-жения о механизмах учебной нагрузки преподавательского состава, предложенная модель дает хорошее соответствие реальным статисти-ческим данным. При моделировании не были учтены ряд факторов, ко-торые возникают при реальном распределении учебной нагрузки. Например, в действительности осуществляется многоступенчатый про-цесс распределения нагрузки: сначала нагрузка распределяется по фа-культетам, затем по кафедрам, после этого по преподавателям. Однако, исходя из полученных результатов, можно сделать вывод о том, что все преподаватели имеют примерно одинаковый объем учебной нагрузки и все преподаватели высшей школы находятся примерно в равных усло-виях, а распределение объема учебной нагрузки носит вероятностный характер.

Некоторая часть учебной нагрузки имеет авторский характер. Это оригинальные лекционные курсы, семинары, лабораторные работы, ко-торые разработаны определенными преподавателями и не меняются из года в год. Однако, как следует из вероятностной модели, эти факторы не играют существенной роли, поскольку наблюдается хорошее совпа-дение данных экспериментального измерения нагрузки и результатов, предсказанных моделью.

Перейдем к обсуждению научных показателей преподавателей. По результатам научной работы были проведены рейтинги и на их основе сделаны распределения по группам преподавателей. Оценим степень во-влеченности преподавателей в научную работу. Для этого необходимо сопоставить число набранных баллов рейтинга с достигнутыми научны-ми результатами. В качестве научных результатов выберем публикацию статей в реферируемой периодической печати, участие в научных гран-тах и научно-исследовательских работах.

Рассмотрим группу ассистентов. Более 70% принадлежащих к этой группе сотрудников имеет 50 баллов за научную работу. Нетрудно определить, что такое число баллов можно набрать , если публиковать одну научную статью в год объемом 4-5 страниц. Очевидно, что подоб-ные показатели оказываются очень малыми и свидетельствуют об чрез-вычайно низкой научной активности молодых преподавателей. В группе доцентов 74 % имеет показатели научной деятельности менее 250 бал-

147

лов в год. В группе профессоров ситуация лучше, 0 % из них набрали 600 баллов научной активности.

Полученные результаты социологического исследования распре-деления сотрудников по научной активности таковы, что в каждой долж-ностной группе они хорошо описываются распределением Болцмана:

( ) 0 exp ,x

N x NT

= − (3)

где 0N – полное число сотрудников, x – набранная преподавателем сумма баллов, T – величина, характеризующая состояние системы, в данном случае T может характеризовать активность преподавателей. Чем больше величина активности, тем большее число преподавателей имеет x баллов по категории «научная работа». Если сравнить распре-деление Больцмана и статистические данные, то можно сделать вывод о хорошем приближении. Подтверждением того, что распределение пре-подавателей по баллам внутри должностных групп подчиняется распре-делению Больцмана, служит тот факт, что для полученных распределе-ний выполняются условия нормировки:

( ) ( ) ( )( )0

1,a d pn x n x n x dx∞

+ + ≈ (4)

где ( ), ( ), ( )a d pn x n x n x – нормированные распределения по баллам за

научную работу ассистентов, доцентов и профессоров соответственно. Величины T для должностных групп не совпадают: для ассистентов

0,015,aT = для групп доцентов 0,033,dT = для групп профессоров

0,1.pT = Напрашивается вывод о том, что каждая должностная группа

может характеризоваться своей собственной величиной активности, прчем в группе профессоров показатель активности выше, чем у осталь-ных двух групп. Вид распределения свидетельствует о низкой активно-сти преподавательского состава высшей школы. Особенно сложной представляется ситуация, складывающаяся в группе молодых сотрудни-ков (ассистентов). Это говорит онизкой мотивации вузовской молодежи к научной деятельности.

Анализ полученных данных о научной деятельности и активности профессорско-преподавательского состава показывает, что пи оценке эффективности работы высшей школы необходим учет накопленного потенциала и текущей активности преподавателей. Эти характеристики однозначно влияют на качество и уровень подготовки как дипломиро-ванных специалистов (специалистов, бакалавров, магистров) так и на кадры высшей квалификации через аспирантуру.

148

Список литературы

1. Короновский А. А. Анализ и прогноз тенденций изменения научно-преподавательского состава высшей школы России / А. А. Короновский, М. Н. Стриханов, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов // Науковедение. – 2002. – 2. – С. 82.

2. Дежина, И. Г. Наука в российских вузах: что делается сегодня для ее поддержания и развития? / И. Г. Дежина // Науковедение. – 1999. – 4. – С. 121–143.

3. Короновский, А. А. К вопросу об эффективности функционирования высшей школы / А. А. Короновский, М. Н. Стриханов, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов // Науковедение. – 2002. – 4. – С. 82.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО

Н. В. Мойко

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

Творческие успехи приходят только к тем, кто способен увлечься про-блемой, длительное время размыш-лять о ней с внутренним трепетом и всепоглощающим стремлением найти ее решение. А. Пуанкаре

На кафедре «Высшая и прикладная математика» ПГУ традиционно

проводятся Дни специальности, занятия математического кружка, меро-приятие, которое уже стало считаться факультетским, «Математические этюды». Одной из задач перечисленных мероприятий является популя-ризация математики. Студенты с интересом готовят презентации, видео ролики, рассказы о математике и ее приложениях. Как показал опыт, зрителям нравится таким образом представленная информация. А ауди-тория на мероприятиях собирается самая разнообразная: это и школьни-ки, и студенты-прикладники, студенты младших курсов ПГУ (ФПИТЭ, ФЭУ, ФМТ), и, конечно же, преподаватели.

Популяризация математики представляет собой процесс распро-странения математических знаний в современной и доступной форме для широкого круга людей. Математику популяризировали: Алексей Кры-лов, Айзек Азимов, Яков Перельман и Мартин Гарднер. Также популяри-зировали математику Алексей Маркушевич, Мандельброт, Штейнгауз Г., Литлвуд Д., Мазаник, Алексей Архипович и другие. В России попу-

149

ляризацией математики занимались и занимаются журнал «Квант», сайт «Математические этюды», серия «Популярные лекции по математике» и другие. В математической научно-популярной литературе широко из-вестны популяризирующие математику книги Якова Перельмана.

Тема популяризации математики неразрывна связана с математи-ческим творчеством.

Многие люди считают непригодными для своего внутреннего по-иска математические знания. Ошибочность такого рассуждения доказы-вается в статье известного французского математика Жюль-Анри Пуан-каре "Математическое творчество", содержащей изложение его доклада Психологическому обществу в Париже в 1908 году. В этом знаменитом докладе Пуанкаре пролил свет на отношения между сознательным и бессознательным, между логикой и случайностью, отношения, которые лежат в основе проблемы.

Значение небольшой статьи Пуанкаре заключается в том, что в ней один из крупнейших ученых своего времени предпринял попытку осо-знать, каким образом совершаются научные открытия в области матема-тики и теоретической физики. Не считая кратких замечаний на этот счет, принадлежащих Гауссу, Гельмгольцу, Клейну, статья Пуанкаре была чуть ли не первой работой в области психологии научного творчества. Он выделил четыре этапа научной работы. На первом этапе исследова-тель прилагает сознательные усилия решить стоящую перед ним творче-скую задачу. Этот этап может длительным, однако решение обычно ускользает. Затем исследователь отвлекается от своей задачи и либо от-дыхает, либо занимается какими-то др. проблемами. На этом втором этапе, полагает Пуанкаре, в работу включается подсознание, приведен-ное в движение предшествующими сознательными усилиями решить за-дачу. Он сравнивает идеи и понятия с атомами-крючочками Эпикура, которые, благодаря сознательной работе, приходят в движение и, соуда-ряясь, порождают многочисленные комбинации. Эстетическое чувство осуществляет отбор среди этих случайных комбинаций. И однажды со-вершенно неожиданно приходит решение. Это озарение сопровождается чувством абсолютной уверенности в том, что вспыхнувшая идея верна. Четвертый этап вновь требует сознательной работы, в ходе которой найденное решение проверяется, из него выводятся следствия и резуль-тат оформляется в виде доклада или статьи.

Анри Пуанкаре описывает специфическое «эстетическое чув-ство», которое играет решающую роль для изобретателя, без которого невозможно сделать открытия. «Среди всех ощущений, действующих на наши органы чувств, только самые интенсивные обращают на себя наше внимание, …, если это внимание не обращено на на них по дру-гим причинам».

150

«Может вызвать удивление обращение к чувствам, когда речь идет о математических доказательствах, которые, казалось бы, связаны толь-ко с умом. Но это означало бы, что мы забываем о чувстве математиче-ской красоты, чувстве гармонии чисел и форм, геометрической вырази-тельности. Это настоящее эстетическое чувство, знакомое всем настоя-щим математикам. Воистину, здесь налицо чувство! Таким образом, мы приходим к следующему выводу: полезные комбинации это в точности наиболее красивые, т. е. те, которые больше всего воздействуют на это специальное чувство математической красоты, известное всем матема-тикам и недоступное профанам до такой степени, что они часто склонны смеяться над ним.»

Из статьи А. Пуанкаре [1] видно, как еще неопределенен ответ на вопрос: что такое математическое творчество. Однако статья интересна и заставляет серьезно задуматься над вопросом, так как прогресс неотделим от творчества. Предполагаю, что ознакомление со статьей А. Пуанкаре будет очень полезно как учителям, так и преподавателям высшей школы, в связи с их участием в исключительном по своей сложности и важности процессе воспитания у учащихся элементов творческого мышления. Ада-мар в своей книге [21] приводит многочисленные примеры творчества математиков, физиков, психологов и даже поэтов, которые в общих чер-тах соответствуют картине творчества, нарисованной Пуанкаре.

Список литературы

1. Пуанкаре, А. Математическое творчество / А. Пуанкаре. – М., 1909. 2. Адамар, Ж. Исследование психологии процесса изобретения в обла-

сти математики / Ж. Адамар. – М., 1970.

СПЕЦИФИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В МНОГОПРОФИЛЬНОМ КОЛЛЕДЖЕ

Т. В. Черушева, Н. В. Зверовщикова

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

E-mail: tank1100@yandex.ru, nvz.matematika@yandex.ru Происходящие в настоящее время в России глубокие социально-

экономические изменения по новому ставят задачи необходимости зна-чительного повышения качества подготовки конкурентноспособных и профессионально-мобильных специалистов в области компьютерных наук, техники и технологий. Приобретают особую актуальность вопро-

151

сы обеспечения преемственности различных уровней образования во всей цепочке «школа-колледж-вуз». Следовательно, требуется найти такую область знаний, которые были бы едиными как для среднеспеци-ального, так и для высшего технического образования. Одной из таких областей знаний является естественно-математическая подготовка, а именно математика.

Математика отличается высоким уровнем владения абстракциями, позволяющими переносить знания математики в сферу инженерной дея-тельности. Математика выступает также как основа профессиональной культуры, так как без нее невозможно изучение профессионально зна-чимых дисциплин. Кроме того, данной дисциплине отводится особая роль в становлении и развитии научного мировоззрения будущих специ-алистов инженерно-технического профиля.

В ПГУ на базе многопрофильного колледжа открыта специаль-ность 09.02.03 «Программирование в компьютерных системах». В ре-зультате освоения данной профессиональной образовательной програм-мы выпускники могут работать:

– прикладными программистами (область работы - создание про-граммного обеспечения для систем видео- и аудио-наблюдения‚ СКД‚ систем пожарной сигнализации; разработка программного обеспечения прикладного характера);

– системными программистами (область работы - разработка опе-рационных систем, работа с сетями);

– web-программистами (область работы – разработка программной составляющей сайтов).

Программист — это специалист, который занимается разработкой алгоритмов и компьютерных программ на основе специальных матема-тических моделей.

В результате освоения профессиональной образовательной про-граммы 09.02.03 «Программирование в компьютерных системах» вы-пускник должен быть готов к профессиональной деятельности, связан-ной с работой по использованию вычислительных систем и сетей, созда-нию, внедрению и сопровождению программного обеспечения вычисли-тельной техники, что в свою очередь невозможно без глубоких знаний по математике. Согласно стандарту данной специальности дисциплина «Элементы высшей математики» входит в раздел математического и общего естественнонаучного учебного цикла.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь: – выполнять операции над матрицами и решать системы линейных

уравнений; – решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго

порядка на плоскости;

152

– применять методы дифференциального и интегрального исчис-ления;

– решать дифференциальные уравнения; – пользоваться понятиями теории комплексных чисел. В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать: – основы математического анализа и линейной алгебры и аналити-

ческой геометрии; – основы дифференциального и интегрального исчисления; – основы теории комплексных чисел.

Тематический план и содержание дисциплины

«Элементы высшей математики»

Наименование разделов и тем

Содержание учебного материала

Раздел 1. Алгебра и геометрияТема 1.1. Матрицы, опреде-лители и системы. Комплексные числа.

Матрицы, действия над матрицами, свойства дей-ствий, обратная матрица. Вычисление определителей 2-го, 3-го, n-го порядка, СЛАУ. Комплексные числа.

Тема 1.2. Геометрия

Основные понятия. Векторы. Прямоугольная система координат в пространстве, скалярное и векторное произведение. Уравнения прямой на плоскости. Кри-вые второго порядка. Раздел 2. Начала анализа

Тема 2.1. Пределы

Предел числовой последовательности, предел функ-ции. Замечательные пределы. Непрерывность функ-ции. Точки разрыва

Тема 2.2. Производная и дифференциал

Производная. Таблица производных. Основные пра-вила дифференцирования. Возрастание, убывание функции. Исследование функции на экстремум. До-статочные условия экстремума. Вторая производная, выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Дифференциал функции. Приложение дифференциа-ла к приближённым вычислениям.

Тема 2.3. Неопределённый и определённый интегралы

Первообразная. Таблица интегралов. Методы инте-грирования (подведение под знак дифференциала, подстановка, по частям). Интегрирование рациональ-ных дробей. Интегрирование некоторых тригономет-рических функций. Интегрирование некоторых ирра-циональных функций с помощью тригонометриче-ских подстановок. Определение определённого интеграла и его непо-средственное вычисление. Свойства. Замена пере-менных. Интегрирование по частям. Приложения определённого интеграла.

153

Тема 2.4. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения (ДУ). ДУ первого по-рядка с разделяющимися переменными, однородные, линейные. ДУ второго порядка. Понижение порядка ДУ. Линейные однородные ДУ второго порядка с по-стоянными коэффициентами.

Практические занятия в многопрофильном колледже - один из ви-

дов практического обучения, имеющий целью закрепление теоретиче-ских знаний и формирование практических умений и навыков.

Практическая работа по математике заключается в выполнении студентами под руководством преподавателя комплекса учебных зада-ний, направленных на усвоение основ учебной дисциплины «Элементы высшей математики», приобретение практических навыков решения примеров и задач.

Выполнение практической работы студенты производят в письмен-ном виде. Практические занятия способствуют более глубокому понима-нию теоретического материала учебного курса, а также развитию, форми-рованию и становлению различных уровней составляющих профессио-нальной компетентности студентов, пониманию межпредметных связей. Основой практикума выступают типовые задачи, которые должен уметь решать студент, изучающий дисциплину «Элементы высшей математики».

Для лучшего усвоения студентами изучаемого материала и полу-чения уверенных навыков решения примеров и задач при проведении практических используются различные методы и приемы:

– исследовательская работа при решении примеров и практиче-ских задач;

– работа в группах; – применение компьютерных программ (MathCad) для решения

математических задач. Выполнение студентами практических работ по дисциплине про-

водится с целью: – закрепления полученных теоретических знаний по дисциплине; – углубления теоретических знаний в соответствии с заданной те-

мой; – формирования умений решать практические задачи; – развития самостоятельности, ответственности и организован-

ности; – формирования активных умственных действий студентов, свя-

занных с поисками рациональных способов выполнения заданий; – подготовки к экзамену. Содержанием практических занятий являются: – выполнение вычислений, расчетов; – работа со справочниками, таблицами.

154

Необходимые структурные элементы практического занятия: – инструктаж, проводимый преподавателем; – самостоятельная деятельность студентов; – анализ и оценка выполненных работ и степени овладения сту-

дентами запланированных умений. Перед выполнением практического занятия проводится проверка

знаний студентов на предмет их готовности к выполнению задания. Критерии оценки практических заданий. Отметка «5» ставится, если: работа выполнена полностью; в логи-

ческих рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок; в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, опис-ка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного ма-териала).

Отметка «4» ставится, если: работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки); допущена одна существенная ошибка или два-три несущественных ошибки.

Отметка «3» ставится, если: допущены более одной существенной ошибки или более двух-трех несущественных ошибок, но учащийся вла-деет обязательными умениями по проверяемой теме; при этом правиль-но выполнено не менее половины работы.

Отметка «2» ставится, если: допущены существенные ошибки, по-казавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Отметка «1» ставится, если: работа показала полное отсутствие у учащегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или зна-чительная часть работы выполнена не самостоятельно.

К категории существенных ошибок следует отнести ошибки, свя-занные с незнанием, непониманием учащимися основных положений теории и с неправильным применением методов, способов, приемов ре-шения практических заданий, предусмотренных программой.

К категории несущественных ошибок следует отнести погрешно-сти, связанные с небрежным выполнением записей, рисунков, графиков, чертежей, а также погрешности и недочеты, которые не приводят к ис-кажению смысла задания и его выполнения.

При наличии существенной ошибки задание считается невыпол-ненным.

Самостоятельная работа – планируемая учебная, учебно-исследо-вательская работа обучающихся, выполняемая во внеаудиторное (ауди-торное) время по заданию и при методическом руководстве преподавате-ля, но без его непосредственного участия (при частичном непосредствен-ном участии преподавателя, контролирующего работу обучающихся).

Целью самостоятельной работы является овладение фундамен-тальными знаниями, профессиональными умениями и навыками дея-

155

тельности по профилю, опытом творческой, исследовательской деятель-ности. Самостоятельная работа обучающихся (СРО) способствует разви-тию самостоятельности, ответственности и организованности, творческо-го подхода к решению проблем учебного и профессионального уровня.

Задачами СРО являются: – систематизация и закрепление полученных теоретических зна-

ний и практических умений обучающихся; – углубление и расширение теоретических знаний; – формирование умений использовать специальную литературу; – развитие познавательных способностей и активности обучаю-

щихся: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

– формирование самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;

– развитие исследовательских умений; – использование материала, собранного и полученного в ходе са-

мостоятельных занятий на практических занятиях, для эффективной подготовки к итоговым зачетам и экзаменам.

Основными видами самостоятельной работы без участия препода-вателей являются:

– формирование и усвоение содержания конспекта лекций на базе рекомендованной лектором учебной литературы, включая информаци-онные образовательные ресурсы (электронные учебники, электронные библиотеки и др.);

– подготовка к практическим работам; – выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач,

проведения типовых расчетов; – компьютерный текущий самоконтроль и контроль успеваемости

на базе электронных обучающих и аттестующих тестов. Основными видами самостоятельной работы обучающихся с уча-

стием преподавателей являются: – текущие консультации; – прием и разбор домашних заданий (в часы практических заня-

тий). Процесс организации самостоятельной работы включает в себя

следующие этапы: – подготовительный; – основной; – заключительный. Организацию самостоятельной работы студентов обеспечивают:

кафедра, учебно-методический отдел, преподаватель, библиотека и др. В процессе самостоятельной работы обучающийся приобретает

навыки самоорганизации, самоконтроля, самоуправления, саморефлек-

156

сии и становится активным самостоятельным субъектом учебной дея-тельности.

Выполняя самостоятельную работу под контролем преподавателя обучающийся должен:

− освоить минимум содержания, выносимый на самостоятельную работу и предложенный преподавателем в соответствии с Федеральны-ми государственными образовательными стандартами высшего и сред-него профессионального образования (ФГОС ВПО/СПО) по данной дисциплине;

− планировать самостоятельную работу в соответствии с графиком самостоятельной работы, предложенным преподавателем;

−осуществлять самостоятельную работу в организационных фор-мах, предусмотренных учебным планом и рабочей программой препода-вателя;

− выполнять самостоятельную работу и отчитываться по ее ре-зультатам в соответствии с графиком представления результатов, вида-ми и сроками отчетности по самостоятельной работе.

Обучающийся может: сверх предложенного преподавателем (при обосновании и согласовании с ним) и минимума обязательного содер-жания, определяемого ФГОС ВПО/СПО по данной дисциплине:

− самостоятельно определять уровень (глубину) проработки со-держания материала;

− предлагать дополнительные темы и вопросы для самостоятель-ной проработки;

− в рамках общего графика выполнения самостоятельной работы предлагать обоснованный индивидуальный график выполнения и отчет-ности по результатам самостоятельной работы;

− предлагать свои варианты организационных форм самостоятель-ной работы;

− использовать для самостоятельной работы методические посо-бия, учебные пособия, разработки сверх предложенного преподавателем перечня;

− использовать не только контроль, но и самоконтроль результатов самостоятельной работы в соответствии с методами самоконтроля, предложенными преподавателем или выбранными самостоятельно.

Самостоятельная работа обучающихся должна оказывать важное влияние на формирование личности будущего профессионала, она пла-нируется обучающимся самостоятельно. Каждый самостоятельно опре-деляет режим своей работы и меру труда, затрачиваемого на овладение учебным содержанием по данной дисциплине. Выполняет внеаудитор-ную работу по личному индивидуальному плану, в зависимости от его подготовки, времени и других условий.

157

Опыт работы в многопрофильном колледже показывает высокую эффективность проводимых занятий по математике. Выпускники колле-джа, поступившие на 1 курс университета, лучше ориентируется в обла-сти математических понятий и абстракций, более подготовлены к вос-приятию сложного материала.

В заключение отметим, что преподавание математики в колледже даёт возможность развивать педагогическую деятельность, увеличивая её математическую составляющую в области дидактики, информацион-ности и методики.

158

8. ДИСКУССИОННЫЕ ПРОБЛЕМЫ

КАРТА РОЖДЕНИЯ КАК ЦЕННЫЙ ИНФОРМАЦИОННЫЙ ИСТОЧНИК О СОСТОЯНИИ ЛИЧНОСТИ

М. И. Гринцов, Ю. А. Князькина, Абдуллах Шарадгах, Мухаммад Альвахшад (Иордания), Тарек Альмадани (Сирия)

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

Актуальность

С момента открытия законов движения планет Кеплером стало по-нятно, что планеты солнечной системы между собой повязаны закона ми небесной механики и тесно между собой взаимодействуют. «Свободы» воли движения планет по орбитам нет. А.Л.Чижевским доказано, что поведение и здоровье населения Земли во многом определяется деятель-ностью Солнца. Многочисленные факты влияния планет и космической погоды на организм человека привели к необходимости создания специ-альных программ. В США с этой целью создана программа: National Space Weather Program. Strategic Plan. Office of Federal Coordinator for Meteorological Services and Sup porting Research FCM-P30-1995. Washing-ton DC. August 1995 и др. В России также создаётся программа изучения космической погоды, однако официально она пока не утверждена. Изу-чение особенностей влияния планет на состояние здоровья человека за-нимается дисциплина хронобиоритмология. В мире выходят сотни изда-ний, посвящённым астрологическим методам исследования. Многолет-ний личный клинический опыт подтверждает высокую надёжность её методов и высокую достоверность результатов. В подавляющем числе случаев её невозможно заменить иными методами исследования.

Цель исследования – изучить место хронобиоритмологических и астрологических методов исследования среди других дисциплин, изу-чающих человека. Методы. Клинический анализ и синтез научной информации по хронобиоритмологии, космической погоде и астро-биологии. Материал исследования. На примере двух сотен карт рож-дения студентов делается попытка доказательства непротиворечиво-сти астрологических методов исследования законам Кеплера и досто-верности её выводов. Результаты. Карты рождения являются ценным и незаменимым источником медицинской и социальной информации о человеке.

159

Обсуждение

Медицину подразделяют на традиционную и нетрадиционную. К традиционной медицине, как правило, относят те технологии, которые были выработаны и прошли вековые испытание на прочность в первых медицинских школах Греции, руководимых великим врачом Гиппокра-том. Прозвище Гиппократ состоит из двух слов и переводится как гип-пос – лошадь, а кратос – сила. Т.е., человек, обладавший большой и фи-зической силой и силой разума. Именно такие профессионалы и могли заниматься медициной в прошлые века, в которых наиболее употребля-емыми обезболивающими средствами при проведении хирургических вмешательств были мандрагора, вытяжки из мака и крепкое вино. К не-традиционной медицине относят использование заговоров=гипно-тического внушения и иных различных мето дов, улучшающих здоровье больного, выработанных внимательными наблюдателями – народными целителями. Можно встретить прямо противопо ложные точки зрения, что следует считать традиционной, а что нетрадицион ной медициной. Суть не в этом. Границы стали размытыми. В те далёкие времена врачи имели достаточно ясные представления о неизлечимых заболеваниях и они, зная исход заболевания, на который они повлиять не могли, к лече-нию не приступали. О неизлечимых заболеваниях информацию получа-ли благодаря методам астрологии. Сегодняшняя медицина принимается за лечение всех болезней, которые только существуют, но обучение аст-рологии в гиппократовских школах истолковывает приблизительно так: «среди прогрессивных врачебных взглядов тех времён, к сожалению, присутствовало и «дремучее невежество». Знаковое событие: 22 июля 2013 г. в 19 ч.24 мин. по лондонскому времени в семье наследника коро-левского престола родился мальчик Георг-Александр-Луи-Виндзор - бу-дущий король Великобритании. При прочтении карты рождения оказы-вается, что его явление свету всё свершалось по законам биоритмологии и астрологии. Продуманы: момент зачатия, место родов, время родов. Так и быть должно. Более благоприятного времени для его рождения счастливого ребёнка просто не найти. Королевская чета время для рож-дения наследника престола выбрала наиболее оптимальное, которое только можно найти в 2013 году. Это даёт нам право утверждать, что королевская чета прислушалась к советам астрологов. Сообщим также, что царствование будущего короля Георга-Александра-Луи-Виндзора будет успешным. Он будет удачливым королём.

На рис. 1 представлена карта рождения Георга-Александра-Луи-Виндзора, появившегося на свет рядом с планетами, над законами дви-жения которых раз мышлял Кеплер. Клиническая генетика и астрология ищут возможности предвидения и предупреждения рождения детей с наследственными заболеваниями, ищет возможности избежать или уменьшить наследственный груз неблагоприятных признаков. Генети-

160

кам известно, насколько род английских королей отягощен разными наследуемыми генетическими аномалиями. Молодая королевская чета прислушалась и учла не только советы генетиков, но и советы астроло-гов. Зачатие случается не всегда. Зачатие у женщины происходит в ту лунную фазу, в которую она родилась. Фаза - это дуговое расстояние между Луной и Солнцем.

Рис. 1

Выводы

1. Карта рождения является ценным источником информации о человеке и не только не противоречит законам небесной механики, но полностью соответствует им. 2. Зачатие и рождение детей должны про-исходить с учётом законов небесной механики, открытых Кеплером. 3. Родители могут и должны планировать судьбы своих детей с учётом из-вестных законов небесной механики.

Список литературы

1. Ллевеллин, Дж. Астрология : практ. руководство / Джордж Ллевел-лин. – СПб., 2004. – 482 с.

2. Рашмен, К. Искусство предсказательной астрологии / Кэрол Рашмен. – М. ; СПб., 2008. – 252 с.

3. Айч, А. Астрологический аспектариум / Александр Айч. – М., 2003. – 245 с.

4. National Space Weather Program. Strategic Plan. Office of Federal Coor-dinator for Meteorological Services and Supporting Research FCM-P30-1995. – Washington DC, August 1995.

5. Rationale for a European Space Weather Programme. ESA Space Weather Study (ESWS). FMI-RP-0002. March 30, 2001.

161

СОДЕРЖАНИЕ

1. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Azizbayov E. I., Mehraliyev Y. T. Investigation of a boundary value problem for an equation of motion of a homogeneous bar with periodic conditions ....................................................................................... 3

Бойков И. В., Бойкова А. И., Сёмов М. А. Представление фундаментальных решений дифференциальных уравнений гиперсингулярными интегралами ........................................................................... 8

Корзюк В. И., Козловская И. С. Классические решения задач для гиперболических уравнений методом характеристик .................................. 21

Бойков И. В., Елисеева Т. В. Задачи конвективного переноса в областях с фрактальной границей ..................................................... 26

Шевченко Г. Н. О разрешимости задачи Дарбу для уравнения Эйлера – Дарбу в бесконечной области ...................................... 29

2. ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ

Никитина О. Г., Никитин Н. Д. Об одной полной системе в пространстве аналитических функций .............................................................. 34

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Аналитические и численные методы исследования динамики и устойчивости аэроупругих конструкций ... 40

Аверина Т. А., Смирнов Д. Д. Численный анализ распределения решения линейного осциллятора с мультипликативным шумом ...................... 46

Безяев В. С., Макарычев П. П. Алгоритм решения задачи о назначениях целей ............................................................................................... 51

Блатов И. А., Китаева Е. В. Об оценках норм галеркинских проекторов в методе конечных элементов Галеркина для сингулярно возмущенных краевых задач на сетках Шишкина .............................................. 54

Жалнин Р. В., Масягин В. Ф., Тишкин В. Ф. О применении метода опорных операторов для решения уравнений диффузионного типа с разрывными коэффициентами на неструктурированных сетках .................... 57

162

Иткина Н. Б., Марков С. И. Применение неконформных конечноэлементных методов для решения задач просачивания ........................ 64

Трофимова С. А. Смешанные вариационные постановки разрывного метода Галеркина для задачи Дарси ................................................. 69

Шурина Э. П., Кутищева А. Ю. Численное моделирование деформации однородного твердого тела ............................................................. 74

4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ, ЭКОЛОГИИ, ДЕМОГРАФИИ, СОЦИАЛЬНЫХ НАУК

Гринцов М. И., Князькина Ю. А., Абдуллах Шарадгах, Мухаммад Альвахшад, Тарек Альмадани. Морфологические структуры и механизмы навигационной системы человека и животных. Анализ теоретических и экспериментальных данных ............................................................................... 80

Дворянкин А. С. Применение интегральных динамических моделей в различных областях моделирования ................................................... 84

Мамедова Т. Ф., Егорова Д. К., Десяев Е. В. Об управлении портфелем ценных бумаг ....................................................................................... 87

Мартышкина К. В., Конинин Д. М., Толмачева В. А. Математическое моделирование интеграции валютных рынков стран СНГ ... 90

Смердова М. Е., Дрегля А. И. Статистический анализ и теория игр в одной задаче политологии ................................................................................... 95

Тында А. Н., Карпухина Е. С. Приближенное решение одной задачи оптимизации в нелинейных интегральных моделях экономики ........................ 99

5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФИЗИКЕ

Гришко А. К. Математическая модель функционирования радиоканалов передачи информации .................................................................. 104

Гришко А. К. Оптимизация модели сети распределенных систем разнотипных РЭС ..................................................................................... 107

Кревчик В. Д., Разумов А. В., Будянский П. С., Мойко И. М. Влияние внешнего магнитного поля на спектральную интенсивность излучательной рекомбинации электронов и дырок, локализованных на A+-центрах в квантовых точках ...................................................................... 111

Мартынов С. И., Пуртов С. В. К вопросу об использовании ультразвука для определения расхода жидкости с частицами ........................ 121

Романов А. Е. Об одном варианте моделирования оптомеханических свойств термодефомированной линзы ............................... 124

163

Рудин А. В., Рудин С. В. Определение времени жизни неравновесных носителей тока в полупроводниках ......................................... 127

Шурина Э. П., Рак Б. В., Жигалов П. С. Математическое моделирование электромагнитного поля для задачи морской геоэлектрики ....................................................................... 131

6. НЕЙРОМАТЕМАТИКА И НЕЙРОКОМПЬЮТЕРЫ

Морозова М. Н. Моделирование процесса обучения измерительной системы нейроколориметра ...................................................... 138

7. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБРАЗОВАНИИ

Добрынина Н. Ф. Вероятностная модель оценки активности профессорско-преподавательского состава университета ................................ 144

Мойко Н. В. Математическое творчество ................................................. 148

Черушева Т. В., Зверовщикова Н. В. Специфика преподавания математики в многопрофильном колледже ........................................................ 150

8. ДИСКУССИОННЫЕ ПРОБЛЕМЫ

Гринцов М. И., Князькина Ю. А., Абдуллах Шарадгах, Мухаммад Альвахшад, Тарек Альмадани. Карта рождения как ценный информационный источник о состоянии личности ...................... 158

164

Научное издание

Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных

и социальных проблем

Сборник статей X Международной научно-технической конференции

г. Пенза, Россия, 28−30 октября 2015 г.

П о д р е д а к ц и е й доктора физико-математических наук,

профессора Бойкова Ильи Владимировича

Analytical and Numerical Methods of Modelling

of Natural Science and Social Problems (ANM-2015)

Proceedings of the Tenth International Conference ANM-2015

Penza, Russian Federation, 28−30 October, 2015

E d i t e d b y Ilya V. Boikov

Компьютерная верстка Д. В. Тарасова

Подписано в печать 28.10.2015. Формат 60×841/16. Усл. печ. л. 9,53.

Заказ 940. Тираж 100.

Пенза, Красная, 40, Издательство ПГУ Тел./факс: (8412) 56-47-33; e-mail: iic@pnzgu.ru