Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Enero-Marzo 2010 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS MATEMÁTICA I (MA-1111) Fecha de publicación: 03-03-2010
Contenido Tercer Parcial
PRÁCTICA DE APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS II
Contenidos
• Teorema de Rolle.
• Teorema del valor medio
• Formas indeterminadas y regla de L’Hopital.
RECUERDE QUE: Las situaciones en las que no es posible conocer, de antemano, el valor de la operaciones
con límites son:
Lo que sucede con los límites de f
y g
Expresión
reducida
Técnicas para hallar el límite
∞→∞→
=g
fLim
∞∞
• Estudio de los grados del numerador y del
denominador (3)
• Regla de L’Hôpital (2)
0
0
→→
=g
fLim
0
0
• Descomponer el factores
• Infinitésimos equivalentes (1)
• Regla de L’Hôpital (2)
)()( ∞→−∞→=− gfLim ∞−∞
• Realizar las operaciones indicadas
• Análisis del grado de f y g
• Multiplicar y dividir por (f + g)
)()0( ∞→⋅→=⋅ gfLim 0.∞ • Realizar las operaciones indicadas
Repaso en una Corchea
Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar
2
• Convertir a:∞∞
→=•g
fgf
1
• Convertir a o
o
f
ggf →=•
1
Convertir ∞±∞+ →=• g f eegf LnLn
( ) ∞→→= 1f gLim 1∞ • ( ) ( )gf
eLim1limgf −=
( ) 0g 0f →→=Lim 0
0 • ( ) ∞=→= .0.limgf eeLimLnfg
( ) 0gf →∞→=Lim ∞
0 • ( ) ∞=→= .0.limgf eeLimLnfg
Regla de L’Hôpital: En los casos de indeterminación del tipo ∞→∞→
→→
0
0y se puede
aplicar la que se conoce como Regla de L’Hopital: '
'
g
fLim
g
fLim =
Ejercicios
1.Aplicando la Regla de L’hopital calcule los siguientes límites:
a) xx
xx
x 23
3lim
4
23
0 −
−→
b) 675
252lim
2
2
2 −−
+−→ xx
xx
x
c) 1
21lim
1 −−+
→ x
x
x d)
2
)1ln(lim
2 −
−→ x
x
x
Observación: Hay ejercicios que no hace falta aplicar L’Hopital, lo recomendable es que deriven para que practiquen.
Limites donde se aplica la regla de L’Hopital
Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar
3
−∞=+−
−∞=+
−−+∞=
+−−
+∞=+−−+
−∞=+
−+−∞=
−−+
+∞=+
−+=
−−+
=−−+
−=+−+−
−=+−
++=
+−+−
=−−
=−−
=++−+−
=++−+
+∞→−∞→+∞→−∞→
−∞→+∞→+∞→−∞→
+∞→−∞→+∞→+∞→
−∞→+∞→+∞→+∞→
2
32
2
123
2
123
2
12
2
12
2
12
2
120
1
12
01
122
323
5625'0
562
3252
52
413
031
130
31
135'0
431
522
22
134
2
3
2
23
2
232
222
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
222
2
2
2
limlimlimlim
limlimlimlim
limlimlimlim
limlimlimlim
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
012
165'0
1
125'02
1
842
1
84
21
842
1
842
1
142
1
14
012
16
116
125'0
116
122
12
16
2
2
2
4
2
3 6
2
3 6
3 33 3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
limlimlimlim
limlimlimlim
limlimlimlim
=−−
=++
−=−−
=−−
−=−−
−=−−
=−
−=
−
−
=−−
∞=−
−−=
−
−+=
−−
+∞→+∞→−∞→+∞→
−∞→+∞→−∞→+∞→
−∞→+∞→−∞→+∞→
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
xx
xxxx
xxxx
xxxx
( )( )
( )
( )( )
−−
−∞=−−
−
=−
+
−
+=
−−
=−−
∞=++
=+
=++
=+
+−=
−×
+
−∞=
−−
×+−
∞→∞→
∞→∞→∞→
∞→
∞→∞→∞→
∞→∞→∞→
355
3 23
2
2
2
22
3 2
224
32
1
32
43
4x 3
124
3
19
16
43
14
23
14
13
1 0
2
31
2
13
11
110
1
1
13
24
13
72
limlim
limlimlim
lim
limlimlim
limlimlim
x
x
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
xx
xxx
x
x
x
x
xx
xx
x
xxx
x
xx
n
x
xxx
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4
( )
3294
31
12
4
3
264
191
13
14150
16
23
32
1
2
23
22
2
44
25
6
3
4
limlim
limlimlim
=−−
=−+
=−−
−−∞=
+−
+−−−=
+−
−+−
−+
−
∞→∞→
∞→∞→∞→
xx
x
x
x
xx
xx
xx
xxx
xx
xx
xx
x
xx
xxx
RECUERDE QUE: Teorema de Rolle: Si f es una función en la que se cumple:
(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
(iii) f (a) = 0 y f (b) = 0
Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que
f '(c) = 0 E l Teorema de Rolle se atribuye al matemático francés Michel Rolle (1652-
1719). Teorema del Valor medio: Si f es una función en la que se cumple que:
(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que
3
Repaso en una SemiCorchea
Ejercicios
Teoremas: Valor medio derivadas y Rolle.
( ) [ ]. , h x
x f ++−
= 2 2 intervalo el en 3
1 función la de C del
T.V.M. la Hallaa)
2
Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar
5
b) Con el resultado obtenido, calcula f '(2). 4
b) Con el resultado obtenido, calcula f '(1).
5 Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 3, verifique que las condiciones (i), (ii) y (iii) de la hipótesis del
Teorema de Rolle se cumplen para la función indicada en el intervalo dado. Luego halle
un valor adecuado para c que satisfaga la conclusión del teorema de Rolle.
En los ejercicios 4 a 9, compruebe que la hipótesis del Teorema del Valor medio se
cumple para la función dada en el intervalo indicado. Luego halle un valor adecuado para
c que cumpla la conclusión del Teorema del valor medio.
En los ejercicios 10 a 12, (a) trace la gráfica de la función dada en el intervalo indicado;
(b) compruebe las tres condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle y determine
cuáles se cumplen y cuáles, de haberlas, no se cumplen; (c) si las tres condiciones se
cumplen, determine un punto por el cual pase una recta tangente horizantal.
En los ejercicios 13 y 14, calcule un valor de c que satisfaga la conclusión del teorema
del valor medio, trace la gráfica de la función y la recta que pasa por los puntos (a, f(a))
y (b, f(b)).
( ) [ ]. , h x
x f ++
= 11 intervalo el en 1
3 función la de C del
T.V.M. la Halla a)
Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar
6
Ejercicios Tipo Selección Simple: I. En cada caso, selecciona el valor del límite indicado. .
1. x
x
x 2
)(arcsenlim
0→
2. 62
72lim
3
23
−
+++∞→ x
xx
x
3. ( ) ( )xx
x
πtan12lim
2
1
−→
4.
−
−−+→ 39
18lim
23 x
x
xx
a) 0 b) ∞+
c) 2
1−
d) 2
1
a) ∞+
b) 2
2
c) 2
1
d) No existe
a) π
2
b) 0
c) π
2−
d) ∞+
a) ∞−∞+
b) 3
2
c) 2
3
d) 2
3−
e) Ninguna de las
anteriores e) Ninguna de las
anteriores e) Ninguna de las
anteriores e) Ninguna de las
anteriores
5.
−
+→ xx
x
1ccslim
0
6.
−
−−+→ 3
1
9
6lim
23 xxx
7. xx
x
x sen
47lim
2
0
+→
8. x
x
x tan
1sec5lim
2
+π
→
a) 0 b) senx
a) ∞+
b) 6
1
a) 7
b) 7
1
a) 0 b) 10
Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar
7
c) π
d) ∞+
c) 6
1−
d) ∞−
c) 4 d) ∞+
c) ∞+
d) 5
e) Ninguna de las
anteriores e) Ninguna de las
anteriores e) Ninguna de las
anteriores e) Ninguna de las
anteriores
9. x
x
x
arctanlim
0+→
10. x
x
x −
−−→
1coslim
0
11.
)tan(seclim
2
π
xx
x
+−
−→
12.
−
+→ xx
x
1csclim
0
a) 1 b) 0
c) 2
1
d) ∞+
a) No existe b) 1 c) 0 d) ∞−
a) ∞+
b) 2
π−
c) 2 d) 0
a) ∞−
b) ∞+
c) 0 d) 1
e) Ninguna de las
anteriores e) Ninguna de las
anteriores e) Ninguna de las
anteriores e) Ninguna de las
anteriores
13. 30 8
)(arctan-lim
x
xx
x→
14. x
xtan
7sec3lim
2
π
+−
→
15. 4
8lim
364 −
−
→ x
x
x
16. ( )
π-4
π2coslim
4
π x
x
x
−
→
a) 0 b) ∞+
a) ∞+
b) 7
a) 3
1
b) 0
a) 0
b) 4
1
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8
c) 24
1−
d) 24
1
c) 3 d) No existe
c) 3
1−
d) 2
c) 2
1
d) 2
1−
e) Ninguna de las
anteriores e) Ninguna de las
anteriores e) Ninguna de las
anteriores e) Ninguna de las
anteriores II. En cada caso, selecciona la afirmación correcta. ¿Cuáles de las funciones definidas a continuación satisfacen las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo indicado?
1) 4
2 1)(
x
xxf
−= , en [ ]1,1− 2) 1)( 8 −= xxf , en [ ]1,1- 3) xxf tan)( = , en [ ]π,0
4) xxf cos)( = , en
2
π3,
2
π3- 5)
1
4)(
2
2
−
−=x
xxf , en [ ]2,2− 6) xxf arctan)( = en [ ]1,1−
a) Sólo la 2 b) La 2) y la 3) c) La 2), la 3) y la 4) d) Sólo la 2) y la 4) e) Ninguna de las anteriores ¿Cuáles de las funciones definidas a continuación satisfacen las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo indicado?
1) 1
1)(
−+
=x
xxf , en [ ]2,3 −− 2) 4)( += xxf , en [ ]12,0
3) x
xxxf
cos
23)(
4 +−= , en
−
4
π,
4
π 4) xxxf 5)( 4 += − , en [ ]2,1-
5) x
xxf
−=
3
)2arctan()( , en [ ]π,0 6)
3
4cos
)(
82
+
=x
xf , en [ ]10,4−
Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar
9
a) Sólo 1) y 2) b) 1), 2), 4) c) 2) y 5) d) 1), 2), 3) y 6) e) Ninguna de las anteriores III. Selecciona, en cada caso, el número c garantizado por el Teorema del valor medio.
1. xxf 3)( = en [ ]3,1
2. xxf arctan)( = en [ ]1,0
3. 2
)(2
+=x
xxf en [ ]1,1−
a) 13 −
b) 31−
c) ( )213 −
d) 13 −
a) 1π
4−
b) 1π
4−
c) 14
π−
d) No se cumple el teorema
a) 5
2−
b) 2−
c) 3
2−
d) No se cumple el teorema
e) Ninguna de las anteriores e) Ninguna de las anteriores e) Ninguna de las anteriores IV. Selecciona, en cada caso, el valor o valores de c garantizados por el Teorema de Rolle.
1. xxf 2cos)( = en
−
4
π5,
4
π
2. ( )2arctan)( xxf = en [ ]1,1−
3. 21
1)(
xxf
+= en [ ]1,1−
a) π0 21 == cyc
b) πcπ,0 321 === ycc
a) 4
π
4
π21 =−= cyc
b) 0=c
a) 0=c
b) 11 21 =−= cyc
Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar
10
c) 0=c
d) No se cumple el teorema
c) 14
π−
d) No se cumple el teorema
c) 2
1
2
121 =−= cyc
d) No se cumple el teorema
e) Ninguna de las anteriores e) Ninguna de las anteriores e) Ninguna de las anteriores
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11
Ejercicios Extras
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12
Practica elaborada por la Prof:
Aida Montezuma. Ampliada por Prof
Antonio Di Teodoro. 2010. (Basada en prácticas anteriores de la USB-Matemáticas), en
Especial las prácticas de la Profa Diasparra Maikol.
Formato doc->Pdf
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