1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:
1.1. Sistema lineal−x−4 y−7 z=−12
5 x−7 y−3 z=−5
−8 x+5 y+6 z=3
La matriz ampliada es:
-1 -4 -7 -12
5 -7 -3 -5
-8 5 6 3
F1 * -1
1 4 7 12
5 -7 -3 -5
-8 5 6 3
[F1 * -5] + F2
1 4 7 12
0 -27 -38 -65
-8 5 6 3
[F1 * 8] + F3
1 4 7 12
0 -27 -38 -65
0 37 62 99
[F2 * -1/27]
1 4 7 12
0 1 38/27 65/27
0 37 62 99
[F3 * -37] + F3
1 4 7 12
0 1 38/27 65/27
0 0 268/27 268/27
Escribimos el sistema nuevamente con los resultados obtenidos:
x+4 y+7 z=12
y+ 3827z=6527
26827z=268
27
En el ultimo al despejar z obtenemos z=1.
Remplazamos este valor en la segunda ecuación y despejamos Y:
y+ 3827
(1)=6527
y=6527
−3827
y=2727
y=1
Ahora remplazamos los valores de las dos primeras variable en la primera ecuación y despejamos y.
x+4 (1)+7(1)=12
x+4+7=12
x=12−4−7
x=1
Entonces, los valores de las variables son:
x=1, y=1, z=1.
1.2. Sistema lineal3 x− y−z+4w=10
8 x−3 y−z−2w=−18
La matriz ampliada es:
3 -1 -1 4 10
8 -3 -1 -2 -18
13f 1
1−13
−13
43
103
8 -3 -1 -2 -18
f 2−8 f 1
1−13
−13
43
103
0−13
53
−383
−1343
−3 f 2
1−13
−13
43
103
0 1 -5 38 134
f 1+13f 2
1 043
14 48
0 1 -5 38 134
La matriz ya se encuentra en su forma escalonada reducida, a continuación el sistema resultante;
x+ 43z+14w=48
y−5 z+38w=134
Despejando X en la primera ecuación y Y en la segunda, podemos expresar un el vector [x,y,z,w,] en función de z,w:
x=48−43z−14w
y=134+5 z−38w
z=z
w=w
El vector resultante seria:
[48−43 z−14w ,134+5 z−38w , z ,w ]Para cada valor que se le asigne a z y w se obtiene un valor que satisface las dos ecuaciones. Con lo anterior se trata de un caso con infinitas soluciones.
2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que prefiera para hallar A-1).
x – y - 7z = 8
3x - 8y - 2z = 7
-5x + 2y +z = -2
Empleamos el método Gauss-Jordan
Escribimos la matriz de coeficientes
1 -1 -7 8
3 -8 -2 7
-5 2 1 -2
[F1.3] +F2 ^ [F1.5] + F3
1 -1 -7 8
0 -5 19 17
0 -3 -34 -42
[F2.1/5]
1 -1 -7 8
0 1 -19/5 -17/5
0 -3 -34 -42
[F2.3]+F3 ^ [F2+F1]F1
1 0 -54/5 -57/5
0 1 -19/5 -17/5
0 0 -227/5 -261/5
[F3. -5/227]
1 0 -54/5 -57/5
0 1 -19/5 -17/5
0 0 1 261/227
[F3+19/5]+F2 ^ [F3.54/5]+F1
1 0 0 231/227
0 1 0 220/227
0 0 1 261/227
Entonces los valores de las variables son:
x = 231/227
y = 220/227
z = 261/227
Probemos los resultados en el sistema de ecuaciones
Primera ecuación: x – y - 7z = -8
231/227 – 220/227 – 7(261/227) = -8
231/227 – 220/227 – 1827/227 = -8
1816/227 = -8
-8 = -8 correcto
Segunda ecuación: 3x - 8y - 2z = -7
3(231/227) – 8(220/227) – 2(261/227) = -7
693/227 – 1760/227 – 522/227 = -7
-1589/227 = -7
-7 = -7 correcto
Tercera ecuación: -5x + 2y +z = -2
-5(231/227) + 2(220/227) + 261/227 = -2
-1155/227 + 440/227 + 261/227 = -2
-454/227 = -2
-2 = -2 correcto
3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:3.1.Contiene a los puntos P = (7,-1,1) y Q = (-1,5 - 3)
Solución:
PQ = (1 -7)i + (5 + 1)j + (-3 -1)k
6i + 6j + 4k
Entonces:
a = 6
b = 6
c = -4
Las ecuaciones paramétricas:
x = x1 + ta x = 7 + 6t
y = y1 + ta y = -1 + 6t
z = z1 + ta z = 1 – 4t
Las ecuaciones simétricas
x−x1a
=y− y1b
=z−z1c
x−76
= y−16
= z−1−4
3.2. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que
contiene a P = (5,3,−7 ) y es paralela a la recta x−93
= y+3−4
= z+97
Como la recta ya esta expresada en su ecuación simétrica, podemos encontrar el punto P y el vector dirección:
P=(−9,3,9) y su vector v=(3 ,−4,7)Y como son paralelas, entonces tienen el mismo vector dirección.
Para P=(5,3 ,−7) y su vector v=(3 ,−4,7) Las ecuaciones paramétricas:x=5+6 t y=3−4 t z=−7+7 t
Las ecuaciones simétricas:x−56
= y−3−4
= z+77
4. Encuentre la ecuación general del plano que:
4.1.Contiene a los puntos P = (-8,5,0) , Q = (5,-4,-8) y R = (-3,-5,1)
Formamos los vectores (PQ) y (PR)
PQ = (5+8)i + (-4-5)j + (-8+8)k
PQ = 13i – 9j
PR = (-3+8)i + (-5-5)j + (1-0)k
PR = 5i -10j + k
Hallamos un vector perpendicular a PQ y PR simultáneamente, este nos servirá como vector normal.
PQ x PR = 13 −9 05 −10 1
i= −9 0−10 1
j = 13 05 1
k = 13 −95 −10
i = 9
j = 18
k = 68
9i + 18j + 68k
Ahora utilizamos cualquiera de los tres puntos, por ejemplo R (-3,-5,1)
9(x + 3) + 18(y + 5) + 68(z + 1) =0
9x +27 + 18y + 90 + 68z + 68 = 0
9x + 18y + 68z +27 +90 + 68 = 0
9x + 18y + 68z = 185 ecuación general del plano
4.2.Contiene al punto P = (-7,-8 - 3) y tiene como vector normal an = -5iˆ - 2 ˆj + 6kˆComo tenemos un punto y el vector normal, entonces:
-5(x + 7) + -2(y + 8) + 6(z + 3) = 0
-5x -35 – 2y – 16 + 6z + 18 = 0
-5x -2y +6z -35 -16 +18 = 0
-5x -2y +6z = -33 ecuación general del plano
5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:π1: x-5y-8z=10 y π2: -2x-5y-7z=9
De π1: tenemos n1=1 i−5 j−8 k
De π2: tenemos n2=−2 i−5 j−7 kVeamos si son paralelos
n1 X n2=| i j k1 −5 −8
−2 −5 −7|=i|−5 −8−5 −7|− j| 1 −8
−2 −7|+ k| 1 −5−2 −5|
¿−5 i+23 j+15 k ≠0 i+0 j+0 k No son paralelas, por lo tanto tienen punto de intersección.
Resolvamos las ecuaciones simultáneamente:
[ 1 −5 −8−2 −5 −7|109 ]ƒ2+2ƒ1[1 −5 −8
0 −15 −23|1029 ]− 115ƒ2[1 −5 −8
0 12315 |
10−2915 ]
ƒ1+5ƒ2[1 0−13
0 12315
| 13
−2915 ]
Las ecuaciones resultantes son:
x−13z=13
y+ 2315z=−29
15
Despejando X en la primera ecuación y Y en la segunda, tenemos:
x=13+ 13z
y=−2915
−2315z
z=z
Con lo anterior los puntos donde se interceptan esta dado por:
[ 13 + 13z ,−29
15−2315z , z ]
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