Apunts de CalculTema 1. Nombres complexos i polinomis
Lali Barriere, Josep M. OlmDepartament de Matematiques - UPC
Enginyeria de Sistemes de TelecomunicacioEnginyeria Telematica
EETAC
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 1 / 32
Continguts
Continguts1.1 La unitat imaginaria
1.2 Forma binomica d’un complexDefinicioOperacions en forma binomica
1.3 El pla complexRepas de trigonometriaRepresentacio grafica de nombres complexos
1.4 Forma exponencial d’un complexDefinicioOperacions en forma exponencialFormules trigonometriques
1.5 Arrels n-esimes d’un complex
1.6 Polinomis d’una variableDefinicionsDivisibilitat i arrelsDescomposicio factorial de polinomis
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 2 / 32
1.1 La unitat imaginaria
1.1 La unitat imaginaria
Conjunts de nombres
I Els conjunts numerics estudiats fins ara son N, Z, Q i R, que satisfan:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
I Cadascun d’ells completa l’anterior, en el sentit que podem feroperacions que no tenien solucio en el conjunt precedent:
I A Z podem calcular 1− 2, cosa que no podem fer a N.I A Q podem calcular (treballar amb) 3
2 , cosa que no podem fer a Z.I A R podem calcular (treballar amb)
√2, cosa que no podem fer a Q.
I Fins ara hem treballat al conjunt R.
A R no podem calcular arrels quadrades de nombres negatius!!!
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 3 / 32
1.1 La unitat imaginaria
Arrels quadrades de nombres negatius: la unitat imaginaria
I Observem: √−2 =
√(−1) · 2 =
√−1 ·√
2
i el mateix raonament serviria per a qualsevol altre nombre negatiu.
I Per tant, si coneixem √−1,
podem calcular l’arrel quadrada de qualsevol nombre negatiu.
I Definicio. Anomenem l’arrel quadrada de −1 unitat imaginaria. Larepresentem amb la lletra j. Aixı:
j =√−1
I De la definicio es dedueix que: j2 = −1
Utilitzant j, totes les equacions de segon grau tenen solucio.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 4 / 32
1.1 La unitat imaginaria
Solucions d’equacions de segon grau
Exemple
I Fins ara, l’equaciox2 − 4x+ 13 = 0
no te solucions (reals). Les solucions haurien de ser
x =4±√
16− 52
2=
4±√−36
2,
que no existeixen perque a R no existeix l’arrel d’un nombre negatiu.
I A partir d’ara, podem resoldre l’equacio (a C):
x2 − 4x+ 13 = 0⇔ x =4±√−36
2= 2± 3 ·
√−1⇒ x = 2± 3 · j
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 5 / 32
1.1 La unitat imaginaria
Solucions d’equacions de segon grau
Exercici 1. Resoldre les equacions seguents, usant la unitat imaginaria:
1. x2 = −1
2. x2 = −4
3. x2 + x+ 1 = 0
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 6 / 32
1.2 Forma binomica d’un complex Definicio
1.2 Forma binomica d’un complex
Un nombre complex en forma binomica es un nombre de la forma
z = a+ b · j, amb a, b ∈ R
I a es la part real de z: Re(z) = a.
I b es la part imaginaria de z: Im(z) = b.
I Si Re(z) = 0, aleshores z = b · j. Diem que z es imaginari pur.
I Si Im(z) = 0, aleshores z = a i z es real.
I Donat z = a+ b · j, el conjugat de z es
z = a− b · j
Escrivim C per designar el conjunt dels nombres complexos Es compleix
R ⊂ C
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 7 / 32
1.2 Forma binomica d’un complex Operacions en forma binomica
Suma, producte i divisio
I Donats z1 = a+ b · j i z2 = c+ d · j:
z1 + z2 = (a+ c) + (b+ d) · jz1 · z2 = (ac− bd) + (ad+ bc) · j
I Es compleix z = a+ b · j⇒ z · z = (a+ b · j) · (a− b · j) = a2 + b2.
I Donats z1 = a+ b · j i z2 = c+ d · j:
z1z2
=z1z2· z2z2
= · · · = ac+ bd
c2 + d2+bc− adc2 + d2
· j
Dividir dos nombres complexos es, en realitat, racionalitzar un trencat.
Exercici 2. Donats z1 = 2− 3j i z2 = 5 + 4j, calcular z1z2
.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 8 / 32
1.2 Forma binomica d’un complex Operacions en forma binomica
Potenciacio
I Notem que:
j0 = 1 j4 = j3 · j = −j · j = −j2 = 1 = j0
j1 = j j5 = j4 · j1 = j1 = j
j2 = −1 j6 = j4 · j2 = j2 = −1j3 = j2 · j = −1 · j = −j j7 = j4 · j3 = j3 = −j . . .
I Per tant, donat n ∈ N:jn = jr
on r es el residu de dividir n entre 4.
I El calcul de (a+ b · j)n per n petites (n = 2, 3, 4) es pot fer en formabinomica. Per a n mes grans es preferible usar una altra representaciodels complexos.
Exercici 3. Calcular:j51, (1 + 2j)2, (2− 2j)2
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 9 / 32
1.3 El pla complex Repas de trigonometria
Mesura d’angles: radiants
I Diem que l’angle que abasta un arc de circumferencia igual al seu radimesura 1 radiant.
I Graficament:
R
R
1 rad
I Equivalencia graus-radiants:
1 rad =360
2π≈ 57.295779o
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 10 / 32
1.3 El pla complex Repas de trigonometria
Raons trigonometriques: angles aguts
I Relacio entre costats d’un triangle rectangle: sinus, cosinus, tangent.
α
r
x
y
r = 1⇒ sinα = y, cosα = x
I Raons trigonometriques dels angles π4 , π
3 i π6 .
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 11 / 32
1.3 El pla complex Repas de trigonometria
Raons trigonometriques: angles qualssevol
I Circumferencia trigonometrica: centre (0, 0), radi 1.
cos αsin α
tan α
α
1
Angles coneguts del primer quadrant0 π
6π4
π3
π2
sinα 0 12
√22
√32 1
cosα 1√32
√22
12 0
tanα 0√33 1
√3 ∞
α
−α
π−α
π+α
Reduccio al primer quadrantsin(π − α) = sinα cos(π − α) = − cosα
sin(π + α) = − sinα cos(π + α) = − cosα
sin(−α) = − sinα cos(−α) = cosα
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 12 / 32
1.3 El pla complex Repas de trigonometria
Raons trigonometriques: propietatsI Formules trigonometriques importants
I tanα =sinα
cosαI sin2 α+ cos2 α = 1
I 1 + tan2 α =1
cos2 α
I
{sin 2α = 2 sinα · cosαcos 2α = cos2 α− sin2 α
I
{sin2 α = 1−cos 2α
2cos2 α = 1+cos 2α
2
I PropietatsI −1 ≤ sinα ≤ 1I −1 ≤ cosα ≤ 1I −∞ ≤ tanα ≤ +∞
I Altres raons trigonometriques: cosecant, secant i cotangent.
cscα = 1sinα , secα = 1
cosα , cotα = 1tanα = cosα
sinα
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 13 / 32
1.3 El pla complex Representacio grafica de nombres complexos
Representacio grafica de nombres complexos
I Els nombres reals es representen a la recta real, R.
I Al nombre complex z = a+ b · j li podem fer correspondre el punt delpla de coordenades cartesianes (a, b).
I El conjunt de tots els complexos, representats com a punts del pla,rep el nom de pla complex, i s’identifica amb R2.
Exercici 4. Representar en el pla complex:1 + j, 2− 2j, j, −4j, −1 +
√3j, −3
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 14 / 32
1.3 El pla complex Representacio grafica de nombres complexos
Modul i argument d’un complex z = a+ b · jI |z| =
√z · z =
√a2 + b2 es el modul de z.
I arg(z) = arctan(ba
)(+π si a < 0) es l’argument de z.
I L’argument d’un complex no es unic: arg(z) ≡ arg(z) + k · 2π, k ∈ Z.I L’argument principal de z es el que compleix 0 ≤ arg(z) < 2π.
α−2π
α+2π
α
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 15 / 32
1.3 El pla complex Representacio grafica de nombres complexos
Propietats
I z i z son simetrics respecte de l’eix real:
|z| = |z| i arg (z) = − arg(z)
I z i −z son simetrics respecte de l’origen de coordenades:
| − z| = |z| i arg (−z) = arg(z) + π
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 16 / 32
1.3 El pla complex Representacio grafica de nombres complexos
Exercicis
I Exercici 5. Trobar el modul i l’argument de:1 + j, 2− 2j, j, −4j, −1 +
√3j, −3
I Exercici 6. Expressar en forma binomica, representar graficament itrobar el modul i l’argument:
1 + j
1− j,
2− j√
3
1 + j,
(1 + j)2
1− j, (1− j)4
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 17 / 32
1.4 Forma exponencial d’un complex Definicio
Formula d’Euler i forma exponencial
I Formula d’Euler. Nombre complex de modul 1 i argument α:
eαj = cosα+ j · sinα
I Forma exponencial d’un nombre complexSi z = a+ b · j, amb |z| = R i arg(z) = α:
z = a+ b · j = R · (cosα+ j · sinα) = R · eαj
Forma binomica Forma exponencial
a+ b · j → R =√a2 + b2
α = arctanb
a(+π, si a < 0)
a = R · cosα ← R · eαjb = R · sinα
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 18 / 32
1.4 Forma exponencial d’un complex Operacions en forma exponencial
Producte, divisio i potenciacio
I Producte i divisio
z1 = R1 · eα1j, z2 = R2 · eα2j ⇒
z1 · z2 = R1 ·R2 · e(α1+α2)j
z1z2
=R1
R2· e(α1−α2)j
I Potenciacioz = R · eαj ⇒ zn = Rn · enαj
Es dedueix directament de les propietats de l’exponencial!!!
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 19 / 32
1.4 Forma exponencial d’un complex Operacions en forma exponencial
Exercicis
I Exercici 7. Demostrar que ejπ + 1 = 0.
I Exercici 8. Representar graficament i trobar el modul i l’argument:
ejπ2 , ej
π2 , −jej
π3 , −2ej
π3
I Exercici 9. Donar el resultat en forma binomica i en formaexponencial:
5j23 + 2j13, (1 + j)53,1 + 2j
2− j· e
π3j,
2e−π3j(1− j)2
(1 + j)eπ6j
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 20 / 32
1.4 Forma exponencial d’un complex Formules trigonometriques
Forma exponencial i relacions trigonometriquesA partir de la forma exponencial del nombres complexos i de les propietatsde les potencies, es poden deduir analıticament diferents relacionstrigonometriques
I e(α+β)j = eαj · eβj ⇒
cos(α+ β) + j sin(α+ β) = (cosα+ j sinα) · (cosβ + j sinβ) =
= cosα cosβ − sinα sinβ + j(sinα cosβ + cosα sinβ)
I enαj = (eαj)n ⇒
cosnα+ j sinnα = (cosα+ j sinα)n
I eαj = cosα+ j sinα, e−αj = cosα− j sinα⇒
cosα =1
2
(eαj + e−αj
), sinα =
1
2j
(eαj − e−αj
)Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 21 / 32
1.4 Forma exponencial d’un complex Formules trigonometriques
Exercicis
I Exercici 10. Demostrar:
cos 2θ = cos2 θ − sin2 θsin 2θ = 2 sin θ cos θ
I Exercici 11. Utilitzant l’exercici anterior i les raons trigonometriquesde l’angle π
6 , trobeu les raons trigonometriques de l’angle π12 .
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 22 / 32
1.5 Arrels n-esimes d’un complex
1.5 Arrels n-esimes d’un complexSi z = R · eαj, volem calcular n
√z, amb n ∈ N, n 6= 0.
I Volem trobar els nombres complexos w = S · eβj que compleixenw = n
√z, es a dir, wn = z.
I Observem:
w = n√z ⇐⇒ wn = z ⇐⇒ (S ·eαj)n = R ·eαj ⇐⇒ Sn ·enβj = R ·eαj
I A mes: α = arg(z) ≡ arg(z) + k · 2π = α+ k · 2π, k ∈ Z.I Aixı,
w = n√z ⇐⇒ Sn · enβkj = R · e(α+k·2π)j
I Per tant, les arrels buscades son els nombres complexos S · eβj talsque
Sn = R⇐⇒ S =n√R
nβk = α+ k · 2π ⇐⇒ βk =α+ k · 2π
n, k ∈ Z
Hi ha un nombre infinit de possibles valors per a k!!!Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 23 / 32
1.5 Arrels n-esimes d’un complex
ObservacioFem variar k en Z per a trobar tots els possibles valors de βk.
I Per a k = 0, . . . , n− 1, tots els βk donen valors de w diferents:
β0 =α
n
β1 =α+ 2π
n=α
n+
2π
n. . .
βn−1 =α+ (n− 1) · 2π
n=α
n+
(n− 1) · 2πn
I Altres valors de k donen βk diferents pero no nous valors de w.
βn =α+ n · 2π
n=α
n+ 2π = β0 + 2π
βn+1 =α+ (n+ 1) · 2π
n=α
n+
2π
n+ 2π = β1 + 2π
. . .
Nomes 0 ≤ k < n donen valors de l’arrel diferents!!!Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 24 / 32
1.5 Arrels n-esimes d’un complex
Calcul d’arrels n-esimes
Si z = R · eαj, n ∈ N, n 6= 0, aleshores
wn = z ⇒ w =n√R · e
α+k·2πn
j, k = 0, 1, . . . , n− 1
I Si z 6= 0, z te n arrels n-esimes diferents.
I Escrivim:
n√z =
{n√R · e
α+k·2πn
j}k=0,1,...,n−1
=
w0 = n
√R · e
αnj
w1 = n√R · e
α+2πn
j
. . .
wn−1 = n√R · e
α+(n−1)2πn
j
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 25 / 32
1.5 Arrels n-esimes d’un complex
Propietats
n√Reαj =
n√Re
α+k·2πn
j, k = 0, 1, . . . , n− 1
I Totes les arrels tenen el mateix modul, n√R.
I La diferencia angular entre dues arrels consecutives es constant:
βk − βk−1 =2π
n
I Les arrels n-esimes d’un nombre complex es troben en els vertexs d’unpolıgon regular de n costats, amb centre a l’origen de coordenades.
Exercici 12. Calcular i representar graficament:6√
1, 4
√−8 + 8
√3j
Exercici 13. Doneu en forma binomica i exponencial les arrels cubiques de1 +√
2j
1−√
2j
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 26 / 32
1.6 Polinomis d’una variable Definicions
Polinomis: definicions
I Definicio. Donat n ∈ N, anomenem polinomi de grau n en lavariable x a tot objecte matematic de la forma
p(x) = anxn + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0, an 6= 0
I Un sumand qualsevol, ajxj , es el terme de grau j
I aj es el coeficient del terme de grau jI a0, a1, . . . , an son els coeficients del polinomi
I Exercici 14. Donat el polinomi 2x4 − x3 + 5x− 3, indica: el termede grau 4, els coeficients dels termes de grau 3 i grau 2, i el termeindependent
I Conjunts de polinomis:
R[x] := {conjunt dels polinomis amb tots els coeficients reals}C[x] := {conjunt dels polinomis amb tots els coeficients complexos}
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 27 / 32
1.6 Polinomis d’una variable Divisibilitat i arrels
Divisibilitat de polinomis
I Teorema. Donats D(x) i d(x) polinomis de C[x] (R[x]), ambgr(D) ≥ gr(d) i d(x) 6= 0, existeixen dos unics polinomis q(x), r(x) aC[x] (R[x]), anomenats respectivament quocient i residu, tals que essatisfa la relacio
D(x) = d(x)q(x) + r(x),
amb gr(r) < gr(d)
I Si r(x) = 0 diem que d(x) divideix, o es un divisor, de D(x)
Exercici 15. Determinar si:
I x2 + 1 divideix x3 + x2 − x− 1
I x+ 2 divideix x2 − 5x+ 6
I x− 2 divideix x2 − 5x+ 6
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 28 / 32
1.6 Polinomis d’una variable Divisibilitat i arrels
Arrels d’un polinomi
Definicio. Diem que x = a es arrel de p(x) si p(a) = 0.
I Exercici 16. Determinar si −2 i 2 son arrels de x2 − 5x+ 6.
Propietat. x = a es arrel d’un polinomi p(x) sı i nomes si x− a divideixp(x)
I Exercici 17. Demostrar la propietat anterior.
Definicio. Sigui m ∈ N. Diem que x = a es arrel de multiplIcitat m d’unpolinomi p(x) si (x− a)m divideix p(x) i (x− a)m+1 no el divideix.
I Nota. Quan una arrel es de multiplicitat 1 diem que es simple.Altrament tenim arrels dobles, triples i, en general, multiples.
I Exercici 18. Demostrar que x = −1 i x = 1 son, respectivament,arrels simple i doble de p(x) = x3 − x2 − x+ 1.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 29 / 32
1.6 Polinomis d’una variable Descomposicio factorial de polinomis
Polinomis irreduıbles
Volem establir per als polinomis una descomposicio factorial equivalent ala dels nombres enters en producte de primers.
I Definicio. Diem que un polinomi de C[x] (R[x]) amb grau major oigual que 1 es irreduıble si no es pot escriure com a producte de dospolinomis de grau inferior.
I Propietat. Sigui p(x) = a1x+ a0 un polinomi de grau 1. Aleshores:
I p(x) es irreduıble
I p(x) = a1 (x− a), on a = −a0a1 es la unica arrel de p(x)
Intentarem factoritzar un polinomi qualsevol usant polinomis de grau 1 ide la forma x− a.
I Observacio. Aquesta factoritzacio esta lligada a la cerca d’arrels,aixo es, de les solucions de l’equacio p(x) = 0.
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 30 / 32
1.6 Polinomis d’una variable Descomposicio factorial de polinomis
Teorema fonamental de l’algebra i descomposicio a C[x]
I Teorema (TFA). Tot polinomi de C[x] i grau mes gran o igual que 1te, com a mınim, una arrel complexa, aixo es, a C.
I Exercici 19. Doneu un exemple que posi de manifest que no es satisfaun resultat paral·lel a R[x].
I Observacio. En canvi, sı deduım del TFA que tot polinomi de R[x] igrau mes gran o igual que 1 admet una arrel complexa.
I Corol·lari. Tot polinomi de C[x] i grau n admet, exactament, n arrelsa C, comptades cadascuna amb la seva multiplicitat.
I Descomposicio factorial a C[x]. Siguin a1, . . . , ak arrels de
p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 ∈ C[x]
amb multiplicitats respectives m1, . . . ,mk, de tal manera quem1 + . . .+mk = n. Aleshores podem escriure
p(x) = an (x− a1)m1 (x− a2)m2 · · · (x− ak)mk
Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 31 / 32
1.6 Polinomis d’una variable Descomposicio factorial de polinomis
Descomposicio a R[x]I Propietat. Sigui p(x) ∈ R[x]. Si a ∈ C es arrel de p(x), aleshores a
tambe ho es.
I Observacio. Aixı, en la factoritzacio de polinomis amb coeficientsreals es poden agrupar termes en base a:
(x− a) (x− a) = x2 − (a+ a)x+ |a|2 = x2 + bx+ c, b2 − 4c < 0.
I Descomposicio factorial a R[x]. Sigui
p(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 ∈ R[x].
Aleshores p(x) = an
r∏i=1
(x− ai)mit∏i=1
(x2 + bix+ ci
)ri ,amb ai, bi, ci ∈ R, b2i − 4ci < 0 i n =
∑r
i=1mi + 2∑t
i=1 ri.
Exercici 20. Descomposar x3 − x2 + 2 a C[x] i a R[x].Calcul (EETAC-UPC) Tema 1. Nombres complexos i polinomis 32 / 32
Top Related