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ASINTOTAS BACHILLERATO
ASINTOTAS ASÍNTOTA VERTICAL Para calcular la asíntota vertical lo primero que tenemos que saber y tener claro es lo siguiente: las únicas funciones que van a tener asíntota vertical son; función racional !(#)
%(&) y la función logarítmica.
Los pasos para calcular la asíntota son los siguientes: • Analizamos cuando el denominador se hace cero en las funciones racionales y cuando se hace
cero lo que se encuentra dentro del logaritmo en las funciones logarítmicas. • Cuando tenemos los valores de 𝑥 que cumplen nuestro requisito de hacer cero cada una de las
cosas, tenemos que calcular los limites laterales en dichos puntos para determinar si la función será ±∞.
Veamos un ejemplo para dejar claras las cosas:
𝑦 =𝑥' − 5𝑥 + 7
𝑥 − 2
El primer paso, determinar cuando el denominador se hace cero: 𝑥 − 2 = 0 → 𝑥 = 2
Ahora lo que tenemos que hacer es calcular los limites laterales en dicho punto:
lim#→'!
𝑥' − 5𝑥 + 7𝑥 − 2 𝑦 lim
#→'"𝑥' − 5𝑥 + 7
𝑥 − 2
lim#→'!
𝑥' − 5𝑥 + 7𝑥 − 2 =
(2,1)' − 5(2,1) + 7(2,1) − 2 =
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 = +∞
lim#→'"
𝑥' − 5𝑥 + 7𝑥 − 2 =
(1,9)' − 5(1,9) + 7(1,9) − 2 =
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 = −∞
¿Qué quiere decir estos valores? Como podéis observar, cuando nos acercamos a 2 por la izquierda los valores de 𝑦 se van a −∞.Por el contrario si nos acercamos a 2 por la derecha la función toma valores de 𝑦 que tienden a +∞. En definitiva, gracias al calculo de las asíntotas verticales logramos información necesaria para representar la función gráficamente. El mismo proceso tendríamos que emplear en el caso de una función logarítmica.
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ASÍNTOTA HORIZONTAL Para el calculo de las asíntotas horizontales simplemente tenemos que calcular los limites cuando 𝑥 → ±∞ de la función. Si la función tiene un valor para el limite que sea el mismo para ambos, esto quiere decir que la función tiene una asíntota horizontal en dicho punto. Veamos un ejemplo practico:
𝑦 =𝑥' + 1𝑥' − 2𝑥
Como estamos analizando la existencia de asíntotas horizontales, directamente pasaremos a calcular los limites de la función cuando 𝑥 → ±∞.
lim#→)
𝑥' + 1𝑥' − 2𝑥 =
∞∞ → 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 → 1
lim#→*)
𝑥' + 1𝑥' − 2𝑥 =
∞∞ → 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 → 1
La resolución de estos limites ya la hemos visto en apartados anteriores. Si tenéis algún problema id al apartado: indeterminación )
).
Continuando con el ejercicio, como el valor de ambos limites es el mismo, podemos afirmar la existencia de una asintota horizontal en 𝑦 = 1. ¿Qué quiere decir esta información? Como podemos observar en la imagen, la grafica presenta una asíntota horizontal en 𝑦 = 1, esto quiere decir que cuando cogemos valores de 𝑥 → ±∞ la función se acerca a 𝑦 = 1.
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ASÍNTOTA OBLICUA Lo primero que tiene que quedar claro es lo siguiente: UNA FUNCION RACIONAL 𝑦 = !(#)
%(#) SI TIENE
ASINTOTA HORIZONTAL, NO TIENE OBLICUA. Para calcular este tipo de asíntotas tenemos dos procedimientos:
• Procedimiento general (Para cualquier función) La expresión de una asíntota oblicua es: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, por tanto, es lo que tenemos que lograr
obtener. Para ello:
𝑚 = lim#→)
𝑓(𝑥)𝑥 𝑦𝑛 = lim
#→)(𝑓(𝑥) −𝑚𝑥)
• Procedimiento para funciones racionales !(#)
%(#) ;
Para calcular una asíntota en cualquier función racional lo que tendremos que hacer es, la división algebraica del polinomio 𝑃(𝑥) entre el polinomio 𝑄(𝑥).
Veamos un ejemplo para entenderlo mejor:
𝑓(𝑥) =4𝑥' + 1
𝑥
Veamos el resultado utilizando ambos procedimientos: • Particular:
• General: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
𝑚 = lim#→)
4𝑥' + 1𝑥𝑥 = lim
#→)
4𝑥' + 1𝑥' =
∞∞ → 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 → 4
𝑛 = lim#→)
(4𝑥' + 1
𝑥 − 4𝑥) = lim#→)
(4𝑥' + 1
𝑥 −4𝑥'
𝑥 ) = lim#→)
(+1𝑥 ) = 0
Nuestra función tiene una asíntota oblicua en 𝑦 = 4𝑥.
𝑥
4𝑥' + 1 4𝑥
−4𝑥'
1
El resultado de esta división algebraica es la asíntota oblicua de la función.
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