Bioestadística - 2017
Bioestadística
Bioestadística - 2017
Probabilidad
Experimento: Desde el punto de vista de probabilidades será "cualquier acto que pueda
repetirse en igualdad de condiciones, que arroje resultados medibles".
Ej. Arrojar un dado o una moneda.
Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se
denomina con S ( ), en los ejemplos S={1,2,3,4,5,6}.o S={cara, seca}
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Probabilidad
Evento o Suceso: Es un subconjunto de resultados de un experimento, puede estar
formado por uno o más elementos del espacio muestral (puntos muestrales). Se denotaran con letras mayúsculas, de manera similar a la teoría de conjuntos. En el ejemplo del dado:
A={sale par}={2,4,6}.
Sucesos mutuamente excluyentes Son aquellos en que la presencia de uno impide la del otro, es
decir no pueden ocurrir simultáneamente.
Ejemplo: A={sale par}, B={sale impar}.
En terminos de conjuntos:
BA
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Probabilidad
Definición clásica de Probabilidades (Def. a
priori):
Si un experimento aleatorio puede producir n resultados
mutuamente excluyentes, siendo todos igualmente probables y si f
de estos resultados se consideran favorables, la probabilidad de
que aparezca un resultado favorable es el número de casos
favorables dividido el número de casos posibles.
P( A) f
n
nº de casos favorables
nº de casos posibles
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Probabilidad
Teoría del límite de la frecuencia relativa (Def.
posteriori):
"Si un experimento aleatorio se realiza n veces con f éxitos,
luego la frecuencia relativa, cuando n aumenta, tiende al valor
de la probabilidad". Entonces la probabilidad de éxito será:
P( A) = Lim
f
n = p
n
A
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Probabilidad
Teoría Axiomática de la Probabilidad
(Kolmogorov, 1937): "Esta definición enuncia 3 axiomas que debe cumplir una
función de probabilidad. Sea A un suceso en un espacio
muestral se cumple:
Siempre que sean excluyentes.
A suceso todopara 1 0 P(A))
2 ) P( S ) = 1
)P(A+...+)P(A+)P(A= )A...AP(A 3) k21k21
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Probabilidad
Consecuencias de la Teoría Axiomática:
1era Ley
Los valores que puede tomar la probabilidad están entre 0 y 1.
0 P( ) 1
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Probabilidad
Consecuencias de la Teoría Axiomática:
2da Ley (ley de la suma)
Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes la probabilidad
de obtener el suceso A o B es igual a la suma de la probabilidad
de A más la probabilidad de B
si A y B no son mutuamente excluyentes
P ( A o B ) = P ( A) + P ( B )
P ( A o B ) = P ( A) + P ( B ) - P( A B )
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Probabilidad
Consecuencias de la Teoría Axiomática:
3era Ley (ley de la multiplicación)
Dos sucesos A y B pertenecientes a S son "estadísticamente
independientes" si:
Si A y B no son "estadísticamente independientes"
(B). P (A) P= B) (A P= B)y (A P
)B
AA
B P( (B) P= )( P (A) P= B) (A P= B)y (A P
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Variable Aleatoria
Es una función que asigna un valor a cada elemento
del espacio muestral
Al arrojar un dado, se puede definir una variable
aleatoria X como: X = “resultados posibles al arrojar un
dado”. Los valores posibles para X son: x1=1; x2=2;
x3=3; x4=4; x5=5; x6=6.
Variable aleatoria X: longitud de las patas de cierto tipo
de abejas, los valores de la v.a.:
x1=35,6 ; x2=38,5 ;...; xi=40 ;...; xn=38,2, etc.
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Variable Aleatoria
Variables Aleatorias Continuas:
Funciones de probabilidad: función densidad de probabilidad:
f(x)
Variables Aleatorias Discretas:
Funciones de probabilidad: función distribución de probabilidad:
p(x)
En ambos casos la función acumulada se designa con
F(x)=P(X x)
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Variable aleatoria: Cantidad de machos producto de una
gestación de 3 cachorros
MMM
MHH HMH HHM
MMH MHM HMM
HHH
3
1
2
0
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0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 1 2 3
Núm.de hembras
fdp
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Funciones de Probabilidad
(fdp) Función a partir de la cual se obtienen las
probabilidades para los posibles valores de la variable
1)
2)
3)
0 )f(x o )p(x ii
1n
1io1 )
ip(x
dx)x(f
ix
dx)x(fo = )(x p= )x(X P= )(x Fi
1jjii
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Ejemplo: Experimento de arrojar simultáneamente dos dados.
Espacio muestral:S = {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,6)} con 36
puntos muestrales. X v.a. suma de los dados.
x Sucesos P(x) P(x) F(x)
2 {(1,1)} 1/36 =0.028 1/36
3 {(1,2), (2,1)} 2/36 =0.056 3/36
4 {(1,3), (2,2), (3,1)} 3/36 =0.083 6/36
5 {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} 4/36 =0.111 10/36
6 {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} 5/36 =0.139 15/36
7 {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} 6/36 =0.167 21/36
8 {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} 5/36 =0.139 26/36
9 {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} 4/36 =0.111 30/36
10 {(4,6), (5,5), (6,4)} 3/36 =0.083 33/36
11 {(5,6), (6,5)} 2/36 =0.056 35/36
12 {(6,6)} 1/36 =0.028 36/36
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0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X
fdp
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0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X
F(x)
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Ejemplo: Experimento de arrojar simultáneamente 3 dados.
Espacio muestral:S = {(1,1,1),..., (6,6,6)} con 216 puntos
muestrales. X v.a. suma de las 3 caras superiores.
X frec. P(x) F(x)
3 1 0.005 0.005
4 3 0.014 0.019
5 6 0.028 0.046
6 10 0.046 0.093
7 15 0.069 0.162
8 21 0.097 0.259
9 25 0.116 0.375
10 27 0.125 0.500
11 27 0.125 0.625
12 25 0.116 0.741
13 21 0.097 0.838
14 15 0.069 0.907
15 10 0.046 0.954
16 6 0.028 0.981
17 3 0.014 0.995
18 1 0.005 1.000
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0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
X
fdp
Bioestadística - 2017
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
X
F(x)
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0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
X
fdp
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PARÁMETROS
Esperanza Matemática Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(X). La
esperanza matemática de X es:
Varianza Matemática
Donde E(X2)=
Asimetría
Curtosis
22 )x(E)x(E)x(V
n
1=iii)p(xx= (X) E
)x(px ii
i2
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Variables discretas
Distribución de probabilidades Binomial
Poisson
Variables continuas
Distribución de frecuencias Normal (Gauss)
Student (Gosset)
Chi2 (Pearson)
F de Snedecor
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Modelos Probabilísticos
Distribución Binomial
E(X)=np, Var(X)=npq
Características
solo dos resultados posibles: éxito y fracaso
p y q contantes en cada prueba.
que el experimento pueda repetirse (n pruebas )
independencia de los experimentos
nkqpknk
npp
k
nkXP knkknk
0,
)!(!
!)1()(
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Ejemplo
Se sabe que una perra Ovejero Alemán tendrá 6 cachorros en una misma gestación:
Calcular la probabilidad de que solo 2 sean macho. .
n=6, X=2 (cantidad de machos)
p=0.5 (probabilidad de macho) q=0.5
42262 5.05.0123412
1234565.05.0
)!26(!2
!6)2(
xP
2344.00625.025.015)2( xP
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Modelos Probabilísticos
Distribución de Poisson
E(x)= y Var(x)=
Características la variable aleatoria es conteo en una unidad de
tiempo o espacio
la probabilidad de ocurrencia es baja
el número de experiencias es alto
casootroen
,....,,Xsi!k
e),kX(f
k
0
210
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Ejemplo
En una experiencia realizada en una plantación de girasol sometida a polinización un investigador estimó que el promedio de visitas fue de 15 abejas por hora y por capítulo, utilizando 2,5 colmenas por ha.
Calcular la probabilidad de que una planta reciba 40 abejas en 3 horas
Si en una hora una planta recibe 15 visitas en 3 horas recibe en promedio 45 visitas, entonces:
04716.0!40
45)40(
4540
e
xP
!)(
k
ekxP
k
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Distribuciones continuas
Distribución Normal (“z”)
Distribución “t” de Student.
Distribución 2 de Pearson
Distribución “F” de Snedecor
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PARÁMETROS
Esperanza Matemática Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(X). La
esperanza matemática de X es:
Varianza Matemática
2)( xV
= (X) E
Bioestadística - 2017
Distribución normal
Distribución Normal o de Gauss (“z”)
Donde y 2 son los parámetros de la distribución
<< y 2>0
22
1
2
1)(
x
exf
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Distribución normal
-5 0 5 10 15 20 25 30
N(0,1) N(20,1) N(20,4)
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Si X se distribuye normal
Distribución normal
Bioestadística - 2017
Distribución normal
P(X≥x0)
P(X≤x0)
x0
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Distribución normal
P(X≤x0)
P(X≥x0)
x0
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Distribución normal
Si X~N(,2) , luego Z~N(0,1),
xz
-5 0 5 10 15 20 25 30
N(0,1) N(20,4)
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Ejemplo: Distribución normal
Se sabe que la longitud del cuerpo de las abejas reinas de un determinado apiario sigue una distribución aproximadamente normal con una media de 2 cm. y una desviación estándar de 0.046cm, ¿Cual es la probabilidad de que una abeja reina elegida al azar mida más de 2.1cm?
01501720460
21212 .).Z(P)
.
.X(P).X(P
.
Sea X la variable aleatoria longitud de las abejas reinas en esa población,
X~(2;0.002116), luego,
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Distribución 2
Si X1, X2, Xn son distribuciones normales independientes cada
una con su media y variancia:
Xi~N(i,2
i)
Luego
Tiene distribución 2 con n grados de libertad
n
i
i
n
i i
ii ZX
U1
2
2
1
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Distribución 2
P(X2n<X2
p,n)=p
X2 (p,n)
Bioestadística - 2017
Distribución t de Student
Si X~N(,2) y U 2(gl) con gl=n-1
luego
Tiene distribución “t” con n-1 grados de libertad
n
U
X
t
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P(t< to)= 1-
to
Distribución t de Student
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Distribución F de Snedecor
Si V 2(n1-1) y U 2(n2-1) independientes
luego
Tiene distribución “F” con n1-1 y n2-1 gl.
1
1
2
1
nU
nV
F
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P(F<Fon1,n2)=p
Fo (n1,n2)
Distribución F de Snedecor
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Estadística analítica o inferencial
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Estadística analítica o inferencial
Inferencia
obtener conclusiones “validas” para una
población a partir de la información que nos
brinda una porción pequeña de ella (muestra).
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Estadística analítica o inferencial
Estimación
Puntual
Intervalos de confianza
Test de Hipótesis
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Estadística analítica o inferencial
Tipos de estudios
Experimentales: Se asigna aleatoriamente el tratamiento
Observacionales: La unidad “experimental” o unidad
observacional ya tiene el tratamiento asignado.
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Estimación Puntual
Parámetro Estimador
Promedio
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Estimación Puntual
Parámetro Estimador
Promedio x
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Estimación Puntual
Parámetro Estimador
Promedio
Variancia 2
x
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Estimación Puntual
Parámetro Estimador
Promedio
Variancia 2 S2
x
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Estimación Puntual
Parámetro Estimador
Promedio
Variancia 2 S2
Proporción
x
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Estimación Puntual
Parámetro Estimador
Promedio
Variancia 2 S2
Proporción p
x
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Estimación Puntual
Parámetro Estimador
Promedio
Variancia 2 S2
Proporción p
Correlación
x
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Estimación Puntual
Parámetro Estimador
Promedio
Variancia 2 S2
Proporción p
Correlación r
x
Bioestadística - 2017
Estimación Puntual
Parámetro Estimador
Promedio
Variancia 2 S2
Proporción p
Correlación r
Regresión:
ordenada al origen
pendiente
x
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Estimación Puntual
Parámetro Estimador
Promedio
Variancia 2 S2
Proporción p
Correlación r
Regresión:
ordenada al origen a
pendiente b
x
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Estimación por Intervalos
Cada intervalo particular dependerá del
parámetro y de la distribución estadística
asociada (Normal, “t”, Chi2).
1)( LsLiP
Nivel de confianza
Bioestadística - 2017
Estimación por interv. de confianza
Para el promedio, con varianza conocida:
Para el promedio con varianza desconocida:
1..
21,
21, n
Stx
n
StxP
glgl
1
21
21 n
ˆ.Zx
n
ˆ.ZxP
Bioestadística - 2017
Estimación por interv. de confianza
Para la diferencia de medias, con varianzas conocidas
1..
2
2
2
1
2
1
2121
2
2
2
1
2
1
21 2121
nnZxx
nnZxxP
1..
2
2
2
1
2
1
21;221
2
2
2
1
2
1
21;2 21
2121
21
n
S
n
Stxx
n
S
n
StxxP
nnnn
Para la diferencia de medias, con varianzas desconocidas
Bioestadística - 2017
Estimación por interv. de confianza
Para la varianza con distribución normal:
1
.
.1
.
.1
2
2
22
21
2
2
glx
Sn
glx
SnP
Bioestadística - 2017
Para la proporción (o prevalencia):
1
11
21
21 n
)p(p.ZpP
n
)p(p.ZpP
Estimación por interv. de confianza
Bioestadística - 2017
Ejemplos
Para estimar el contenido vitamínico de un alimento se tomó una
muestra de tamaño 30 y se determinó que 35 g y S =7.
a) Construir un intervalo de confianza del 95% para .
1
21
21 n
S.tx
n
S.txP
,gl,gl
4775
7045235
30
7045235
.....
6142352781045235 ....
6143738632 ..
Bioestadística - 2017
b) Construir los un intervalo de confianza del 95%. para 2.
111
2
22
21
2
22 ),gl(),gl( X
S.n
X
S.nP
04716
4929
72245
7130 22
..
04716
1421
72245
1421 2
..
5528807931 2 ..
Bioestadística - 2017
Estadística
Bioestadística - 2017
Estadística analítica o inferencial
Estimación
Puntual
Intervalos de confianza
Test de Hipótesis
Bioestadística - 2017
Estadística analítica o inferencial
Tipos de estudios
Experimentales: Se asigna aleatoriamente el tratamiento
Observacionales: La unidad “experimental” o unidad observacional
ya tiene el tratamiento asignado.
Retrospectivos: Casos y controles
Prospectivos: Cohorte
Transversal:
Bioestadística - 2017
Ensayos comparativos
¿Cuál es mi objetivo?
¿Qué es lo que quiero saber?
¿Por qué quiero saberlo?
Bioestadística - 2017
Ensayos comparativos
Identificar los factores que influyen
Cuales son variables
Cuales hay que mantener constantes
Identificar las características a medir
Procedimiento de medición de la ó las
características
Determinar el número de repeticiones
Precisar los recursos y materiales
Bioestadística - 2017
Experimento
es una investigación que establece un particular
conjunto de circunstancias bajo un protocolo
especifico con motivo de observar y evaluar los
resultados.
Bioestadística - 2017
Experimento comparativo:
Es el experimento típico en el campo de la biología,
medicina veterinaria, agricultura. El objetivo comparativo
implica establecer más de una circunstancia y las
respuestas observadas resultan de las diferentes
circunstancias y pueden ser comparados unos con otros.
La unidad básica de estudio se denomina “unidad
experimental”.
Bioestadística - 2017
Estudio observacional comparativo:
Cuando la experiencia no puede llevarse a cabo por
razones éticas o prácticas.
La unidad básica de estudio tiene el mismo rol que la
unidad experimental y se la denomina “unidad
observacional”.
Bioestadística - 2017
Tratamiento: es el conjunto de circunstancias
creadas por el experimentador en respuesta a la
hipótesis a investigar y ellos son el foco de la
investigación.
Tratamiento control o testigo
Tratamiento placebo
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Test de Hipótesis
Plantear las hipótesis (nula y alternativa)
Elección del estadístico
Determinar el nivel de confianza: (1-)100
Determinar la zona de rechazo
Cálculo del estadístico
Conclusión
Bioestadística - 2017
Bilateral Unilateral derecha Unilateral izquierda
H0: 0 H0: 0 H0: 0
H1: 0 H1: >0 H1: 0
Hipótesis
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Acepto H0 Rechazo H0
H0 verdadera No hay error Error de Tipo I
()
H0 Falsa Error de Tipo II
()
No hay error
Tipos de errores
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Test de Hipótesis
Una población Test “t” y “z”
Dos poblaciones Test “t”
Chi2 (nominales)
Más de dos poblaciones ANOVA (DCA)
Datos pareados Test “t”
ANOVA (DBCA)
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|
Ejemplo
Un vendedor de semen asegura que un toro produce terneros con un peso al nacimiento menor a 42 Kg. Para probarlo se inseminaron las vaquillonas de un establecimiento y se registró el peso de los terneros al nacimiento. De un total de 100 terneros se obtuvo un peso promedio de 41.3 Kg. Sabiendo que la variancia de la población es de 9 Kg2, ¿es cierto lo que afirma el vendedor, con un 95 % de confianza?
Bioestadística - 2017
Test de hipótesis
1) Planteo de la hipótesis:
H0: 42
H1: < 42
2) Estadístico: Test de “z”
n
xzHo
0
0
Bioestadística - 2017
Test de hipótesis
3) Nivel de confianza:
(1-) 100 95 % 0.05
4) Regla de decisión:
64.105.0 zzHo
Bioestadística - 2017
Test de hipótesis
5) Cálculo:
(P= 0.0098)
6) Conclusión: La evidencia estadística permite rechazar la hipótesis nula.
Por lo tanto el toro al cual hace referencia el vendedor, produce terneros con un peso al nacimiento significativamente menor a 42 Kg.
333.23.0
7.0
100
3
423.410
Hz
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Test de hipótesis
Test t para comparar una media
desconociendo 2
n
S
xtH
0
0
Bioestadística - 2017
Test de hipótesis
Test t para comparar dos medias
desconociendo las variancias
2
2
2
1
2
1
2121
n
S
n
S
xxtHo
Bioestadística - 2017
Test de hipótesis
Test t para datos apareados
n
S
dt
D
DH
0
Bioestadística - 2017
Test de hipótesis
Test F para comparar variancias
2
2
0
Menor
Mayor
HF
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