Introducción
Electromagnetismo: Estudia los campos eléctricos y magnéticos y su interacción
Teoría de circuitos: Estudia las relaciones entre corrientes y tensiones de un circuito
Basadas en las mismas observaciones experimentales
Circuito eléctrico
Conjunto de elementos combinados de modo que se pueda producir una corriente eléctrica
Elementos activos: suministran energía eléctrica Elementos pasivos: consumen energía eléctrica
CIRCUITO ELÉCTRICOExcitación
(constante/variable)Respuesta
Magnitudes básicas
Carga eléctrica Corriente eléctrica Tensión o diferencia de potencial Potencia eléctrica
Carga eléctrica Es la base para describir los fenómenos eléctricos Propiedad de la materia presente en todos los cuerpos Es de naturaleza bipolar (+ ó -) El trasvase de carga entre unos cuerpos y otros es el origen de
cualquier fenómeno eléctrico. Unidad SI: [C] qe=-1,6. 10-19C El signo de las cargas es arbitrario, pero de él depende la
interacción entre ellas.
+ +
- - - +
+ -
Corriente eléctrica
Se produce por el desplazamiento de las cargas en un material
Unidad SI [A]
iVariación de carga por unidad de tiempo en la sección transversal de un conductordt
dq=
Corriente eléctrica
CONVENIO DE SIGNO
Se considera que la corriente eléctrica es un movimiento de cargas positivas
Es equivalente suponer un desplazamiento de electrones en un sentido
+ ++
Que suponer un desplazamiento de una cantidad de carga + equivalente en sentido opuesto
--
-
La conducción se debe a un desplazamiento de electrones
Tensión o diferencia de potencial
Trabajo que se debe suministrar para mover una carga entre dos puntos de un circuito
dqdwu =
][][]
CJV =
A
B
uA= potencial eléctrico en A
uB= potencial eléctrico en B
uAB= uA- uB = difencia de potencial entre A y B
uAB>0 A está a mayor potencial que B (al pasar de A a B las cargas pierden energía)
uAB<0 A está a menor potencial que B (al pasar de A a B las cargas ganan energía)
[Unidad SI:
Tensión o diferencia de potencial
SIMIL GRAVITATORIOEp=mgh
m ..... A Al pasar de A a B la masa pierde energía potencial
Al pasar de B a A la masa gana energía potencial
..... B
Tensión o diferencia de potencial
NOTACIÓN
Punto de mayor potencial se denota +
Punto de menor potencial se denota -
A
B
+
-
A
B
o bien
uAB>0 uAB>0
Potencia eléctrica Trabajo realizado por unidad de tiempo
Unidades SI: [W]=[J]/[s]
)()()()( titudtdqtu
dtdwtp ===
dqdwu =
Potencia eléctrica
CONVENIO DE SIGNO
Dipolo absorbe potencia p>0 (ej. resistencia)
Dipolo cede potencia p<0 (ej. generador)
+
-
A
B
dipolo
COHERENCIA DE LOS CRITERIOS DE SIGNOS DE U, I Y P (p=ui)
+
-
A
B
dipolo i>0uAB>0, i>0 =>p>0
Las cargas pierden energía el dipolo la
consume
+
-
A
B
dipoloi>0
uBA<0
I>0
p<0
Resumen convenio de signos Corriente:
i>0 en el sentido del movimiento de las cargas + Tensión:
uAB >0 A a mayor potencial que B uAB <0 A a menor potencial que B
Potencia p>0 dipolo absorbe potencia p<0 dipolo cede potencia
A
B
i>0
uAB>0A
B
i<0
uAB>0
Lemas de Kirchhoff
Definiciones topológicas
Rama: Elemento que presenta dos terminales
Nudo: Punto de confluencia de varias ramas
Malla: Conjunto de ramas que forman un camino cerrado y que no contienen ninguna otra línea cerrada en su interior.
1er lema de KirchhoffLa suma algebraica de las corrientes entrantes a un nudo
es nula en todo instante
Σ i(t) = 0(Ley de conservación de la carga)
Ejemploi1 054321 =−+−+ iiiiii2
i3 Se consideran las corrientes entrantes + y las corrientes salientes -
i5 i4
2º lema de KirchhoffLa suma algebraica de las tensiones a lo largo de
cualquier línea cerrada en un circuito es nula en todo instante.
Σ u(t) = 0(Ley de conservación de la energía)
Ejemplo
054321 =−+−− uuuuuu1
u2u4
u5q
+
++
+
+ --
-
-- Se consideran las
caídas de tensión + y las elevaciones -
u3
Elementos pasivosConsumen o almacenan energía eléctrica
R Resistencias: disipan energía en forma de calor
Bobinas: almacenan y liberan energía en forma de campo magnético
Condensadores: almacenan y liberan energía en forma de campo eléctrico
L
C
Elementos pasivos
En general consideraremos: Elementos ideales Parámetros concentrados (=el efecto que se produce al
conectar una fuente se propaga instantáneamente) Conectados por conductores que no absorben potencia
(R=0, L=0, C=0)
Resistencia Elemento del circuito en el que se disipa potencia en
forma de calor
En general consideraremos resistencias ideales
Resistencia real Resistencia idealR L R
se desprecia el efecto inductivo
efecto resistivo + efecto inductivo
ResistividadMaterial Resistividad a 23°C
en ohmios - metro
Plata 1.59 × 10-8
Cobre 1.72 × 10-8
Oro 2.20 × 10-8
Aluminio 2.65 × 10-8
Tungsteno 5.6 × 10-8
Hierro 9.71 × 10-8
Acero 7.2 × 10-7
Platino 1.1 × 10-7
Plomo 2.2 × 10-7
Nicromio 1.50 × 10-6
Carbón 3.5 × 10-5
Germanio 4.6 × 10-1
Silicio 6.40 × 102
Piel humana
5.0 × 105 aproximadamente
Vidrio 1010 to 1014
Hule 1013 aproximadamente
Sulfuro 1015
La resistencia que opone un conductor al paso de corriente depende de su conductividad y de su geometría
ρ= resistividad
L=longitud del conductor
S= sección del conductorSl
SlR ρσ
==
σρ 1= σ= conductividad
Fuente: Wikipedia
Resistencia
La resistencia depende de la temperatura
( )[ ]1212 1 θθα −+= RR α= coeficiente de variación de resistencia con la temperatura
Resistencia desde el punto de vista del circuito
R
+ -u
i En la resistencia se produce una caída de tensión. Las cargas pierden energía que se disipa en forma de calor
Riu = Ley de Ohm
Característica u/i de una resistenciai
u RG 1=
conductancia
][][][
AV
=ΩUnidades en el SI: ][]1[][Ω
=S
Potencia y energía
Potencia disipada
R
+ -u
i0)()()(2
2 ≥=⋅=⋅=RuiRtitutp
En una R la potencia se disipa en forma de calor
Energía disipada
0)()()(00
22 ≥== ∫∫
t
t
t
t
dR
udRitw ττττ
Asociación de resistencias en serie
Se dice que dos o más elementos están en serie si por ellos circula la misma intensidad
i
uu+
--. . . .
R1 R2 RN+ -
Req+-+ i-+ uNu1 u2 i
eqnnn iRRRRiiRiRiRuuuu =+++=+++=+++= )...(...... 212121
neq RRRR +++= ...21
Divisor de tensión La tensión que cae en cada resistencia es una
porción de la tensión total
iR1 R2 RN
. . . .u1 u2 uN
u
uRR
RRRuRiRu
eq
k
Nkkk =
+++==
...21
Asociación de resistencias en paralelo
Se dice que dos o más elementos están en paralelo si están sometidos a la misma tensión
u+
-
uR
uRRR
iiiieqn
N
=
+⋅⋅⋅⋅++=+++=
1111...21
21
R1 RNR2 . . . u
i1 +i
i2 iN
neq RRRR1..111
21
++=
Neq GGGG +++= ...21uGi eq=o bien
-
Req
i+
u
-
Divisor de corriente Un divisor de corriente es una asociación de
resistencias en paralelo. La corriente que atraviesa cada resistencia es una porción de la corriente total
iGGi
R
Rieq
k
eq
kk ==
1
111
uGi =
iGGG
Gin+++
=....21
11
nGGGiu
+++=
....21
Caso particular de dos resistencias en paraleloi2
iRR
Ri21
12 +=i
RRRi
21
21 +=
R1
R2i
i1
Equivalencia estrella triángulo Para que las dos configuraciones sean equivalentes, deben
proporcionar la misma respuesta ante la misma excitación= debe presentar la misma resistencia vista desde cada par de terminales
R1Y
R 2Y
R3Y
3
1
2
R 3∆
R1∆
R2∆
3
1
2
Resistencia entre cada par de terminales
Resistencia entre 1 y 2:
( ) 3 1 21 2 3 1 2
1 2 3
( )Y Y
R R RR R R R RR R R
∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
++ = + =
+ +R1Y
R 2Y
R3Y
23
1
=R1Y
R2Y
2
1
( ) 1 2 32 3 1 2 3
1 2 3
( )Y Y
R R RR R R R RR R R
∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
++ = + =
+ +
Resistencia entre 2 y 3:
(2)
(1)
1
R 3∆
R1∆
R2∆ =
1
23
( ) 2 3 13 1 2 1 3
1 2 3
( )Y Y
R R RR R R R RR R R
∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆
++ = + =
+ +
Resistencia entre 3 y 1:
(3)2
R3∆
R1∆
R2∆
3
Transformación triángulo estrella
Conocemos R1∆, R2∆ y R3∆ del una configuración en triángulo y queremos calcular R1Y, R2Y y R3Y de la estrella equivalente
(1)+(3)-(2)
3 1 2 2 3 1 3 21
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( ) 22 A B CY
R R R R R R R R R R RRR R R R R R
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
+ + + − += =
+ + + +
3 12
1 2 3Y
R RRR R R
∆ ∆
∆ ∆ ∆
=+ +
3 21
1 2 3Y
R RRR R R
∆ ∆
∆ ∆ ∆
=+ +
1 23
1 2 3Y
R RRR R R
∆ ∆
∆ ∆ ∆
=+ +(4) (5) (6)
Transformación estrella triángulo
Conocemos R1Y, R2Y y R3Y del una configuración en estrella y queremos calcular R1∆, R2∆ y R3∆ del triángulo equivalente
Dividiendo 2 a 2 las relaciones anteriores (4), (5), (6)
2 1
1 2
Y
Y
R RR R
∆
∆
= 3 1
1 3
Y
Y
R RR R
∆
∆
= 3 2
2 3
Y
Y
R RR R
∆
∆
=Sustituyendo en (6) y operando se llega a
1 2 2 3 3 11
1
Y Y Y Y Y Y
Y
R R R R R RRR∆
+ += 1 2 2 3 3 1
22
Y Y Y Y Y Y
Y
R R R R R RRR∆
+ +=
1 2 2 3 3 13
3
Y Y Y Y Y Y
Y
R R R R R RRR∆
+ +=
Resumen
1 2 3
Re _ _iY
sistencias conectadas nudoiR
R R R∆ ∆ ∆
∆=
+ +∏
∑
Pr _ _i
iY
oductos binarios resistenciasYR
R∆ =∑
CondensadoresUn condensador es un elemento pasivo capaz de
almacenar energía eléctrica
q
- - - - - - - -+ + + + + + + + u
+
i-
Dos placas metálicas separadas una distancia d y con un dieléctrico entre ellas que impide un flujo de carga
Al aplicar una ddp entre ambas placas aparece un trasvase de carga entre ellas
Se establece un campo eléctrico en el que se almacena la energía suministrada por la fuente
- qE
-
Capacidad La carga desplazada es proporcional a la tensión
aplicada
C = Capacidad SI: [F]=Faradios Cuq = C
La capacidad de un condensador depende de su geometría
dAC rεε0=
mpF85,80 =εdonde
Condensadores
R
C
Los condensadores reales suelen presentar pérdidas
Consideraremos condensadores ideales
C
Relación u/i
Cuq =dtduC
dtdq
==>
)(ti=>
dtduCti =)(
Ci+ -
u
Si u=cte i=0 => En corriente continua un condensador se comporta como un circuito abierto
dttiC
dtdtdu t
t
t
t∫∫ =00
)(1 dttiC
tutut
t∫=−0
)(1)()( 0=>
La tensión en un condensador no puede variar bruscamente
Potencia y energía
dtduuCtitutp == )()()( La potencia puede ser > ó < que 0 =>
el condensador absorbe o cede potencia
Energía almacenada entre 0 y t
021)(
0
2
0
≥=== ∫∫tt
CudtdtduCudttpW (Suponiendo que u(0)=0)
La energía almacenada es siempre mayor o igual que cero. Si el condensador cede potencia lo hace a expensas de la energía previamente almacenada => Es un elemento pasivo
Asociación de capacidades en paralelo
. . . u
i1 i2 ini
C1 C2 Cn
+
-
niiii +++= ....21
dtduCi kk =
( )dtduC
dtduCCC
dtduC
dtduC
dtduCi eqnn =+++=+++= ....... 2121
neq CCCC +++= ....21
Asociación de capacidades en serie
u1 u2 un
C1 C2 Cn
u
i+ + +- - - -+ nuuuu +++= ....21
iCdt
du
k
k 1=
iCiCCC
iC
iC
iCdt
dudt
dudtdu
dtdu
eqn
n
n
=
+++=
=+++=+++=
1...11
1...11....
21
21
21
neq CCCC1....111
21
+++=
BobinasUna bobina es un dispositivo capaz de almacenar
energía magnética
Φ
i
Al circular corriente por la bobina aparece un flujo magnético
Φ depende de la corriente
LiN =Φ
L=Coeficiente de autoinducción de la bobina (o inductancia propia)
SI:[H]=Henriosfe
fe
lSNNLµ22
==R
Relación u/i Si i que recorre la bobina es variable en el tiempo => Φ es variable => Se induce una f.e.m. que se opone al flujo (Faraday Lenz)
dtdiL
dtdNeu =Φ
=−=
dtdiL
dtdN =Φ
i+
-
u
Si i=cte u=0 => En corriente continua una bobina se comporta como un cortocircuito
dttuL
dtdtdi t
t
t
t∫∫ =00
)(1dttu
Ltiti
t
t∫=−0
)(1)()( 0=>La corriente en una bobina no puede variar bruscamente
BobinasUna bobina es un dispositivo capaz de almacenar
energía magnética
Φ
i
Al circular corriente por la bobina aparece un flujo magnético
Φ depende de la corriente
LiN =Φ
L=Coeficiente de autoinducción de la bobina (o inductancia propia)
SI:[H]=Henriosfe
fe
lSNNLµ22
==R
Relación u/i Si i que recorre la bobina es variable en el tiempo => Φ es variable => Se induce una f.e.m. que se opone al flujo (Faraday Lenz)
dtdiL
dtdNeu =Φ
=−=
dtdiL
dtdN =Φ
Si i=cte u=0 => En corriente continua una bobina se comporta como un cortocircuito
i+
-
u
dttuL
dtdtdi t
t
t
t∫∫ =00
)(1dttu
Ltiti
t
t∫=−0
)(1)()( 0=>La corriente en una bobina no puede variar bruscamente
Potencia y energía
dtdiLititutp == )()()( La potencia puede ser > ó < que 0 =>
la bobina absorbe o cede potencia
Energía almacenada entre 0 y t
021)(
0
2
0
≥=== ∫∫tt
LidtdiLidttpW (Suponiendo que i(0)=0)
La energía almacenada es siempre mayor o igual que cero. Si la bobina cede potencia lo hace a expensas de la energía previamente almacenada => Es un elemento pasivo
Asociación de bobinas en serie y en paralelo
∑=
=+++=N
kkNeq LLLLL
121 ......
u1 u2 uN
u
. . . .i
Neq LLLL1...111
21
+++=u
i1 ii2 iN
Bobinas acopladas Un par de bobinas están acopladas entre sí, cuando las tensiones en cada una de ellas dependen no sólo de la corriente que circula por cada bobina sino también de las corrientes que circulan por las demás bobinas acopladas a ellas.
dtdiM
dtdiLu 21
11 +=
dtdiM
dtdiLu 12
22 +=
M=coeficiente de inducción mutua (inductancia mutua) SI: [H] =Henrios
Terminales correspondientes Se dice que dos terminales de dos bobinas son
correspondientes entre sí si una corriente que entre por uno de los terminales en la bobina 1 induce en la bobina 2 una tensión del mismo sentido que la que induciría una corriente que entrase por el terminal correspondiente de dicha bobina 2.
dttdiM
dttdiLtu )()()( 21
11 +=
dttdiL
dttdiMtu )()()( 2
21
2 +=
Ejemplo: 3 bobinas acopladas
dttdiM
dttdiM
dttdiLtu )()()()( 3
132
121
11 ++=
dttdiL
dttdiM
dttdiMtu )()()()( 3
32
231
133 +−=
dttdiM
dttdiL
dttdiMtu )()()()( 3
232
21
122 +−−=
Potencia y energía
1 2 1 21 1 2 2 1 1 12 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) di t di t di t di tp t u i u i L i M i i L idt dt dt dt
= + = + + +
021
21)( 2
222112211 ≥++= iLiiMiLtw
Resumen elementos pasivos Resistencia
)()( tGuti =)()( tRitu =
Bobina
dttdiLtu )()( = dttu
Ltii
t
t∫+=0
)(1)( 0
Condensador
dttduCti )()( =∫+=
t
t
dttiC
tutu0
)(1)()( 0
Elementos activos Son los encargados de suministrar energía eléctrica
al circuito (fuentes o generadores)
Fuentes de tensión
Fuentes de corriente
Ideales
Reales
Independientes
Dependientes
Independientes
Dependientes
Ideales
Reales
Independientes
Dependientes
Independientes
Dependientes
Fuentes de tensión ideales Dispositivo que proporciona energía eléctrica con una
determinada tensión que es independiente de la corriente que pasa por él
+ug
i
El signo + se pone en el punto a mayor potencial
Si se conecta una carga al generador de tensión ideal, éste suministrará corriente al circuito.
+ug
i
o bien
i
Característica u/i del dispositivo uug
Potencia entregada por una fuente de tensión ideal
La potencia eléctrica suministrada por el generador de tensión será
GuRu
iup gg
gg2
2
===+
ug
iR
La potencia entregada a una R=0
(cortocircuito) es infinita !!
P
R
Fuente de corriente ideal Dispositivo que proporciona energía con una
determinada corriente que es independiente de la tensión en bornes
La flecha indica el sentido de circulación de la corriente
La tensión en bornes de la fuente depende de la carga conectada a ella (no tiene por qué ser 0!!!)
uig
+
-
iig
Característica u/iu
Potencia entregada por una fuente de corriente ideal
La potencia eléctrica suministrada por el generador de corriente será
G
P
R->0R->inf
ig Ru+
- Gi
Riuip gggg
22 ===
Asociación de fuentes ideales en serie
Fuentes de tensión ideales en serie La corriente que circula por un conjunto de elementos en
serie es igual en todos ellos. Por tanto no es posible conectar en serie fuentes de
corriente de distintos valores en serie
+
u1
+
u2+
un
. . . +
ueq
Neq uuuu ++−= ...21 ∑=
=N
kkeq uu
1
Asociación de fuentes ideales en paralelo
Fuentes ideales corrientes paralelo La tensión en un conjunto de elementos en paralelo es igual
en todos ellos. Por tanto no es posible conectar en paralelo fuentes de
tensión de distintos valores
i1 i2 in. . .
Neq iiii ++−= ...21 ∑=
=N
kkeq ii
1
ieq
Fuente de tensión ideal en paralelo con un elemento
En lo que respecta a cálculos en el resto de la redla presencia de un elemento en paralelo a la fuente puede omitirse.
Si se solicitan los valores internos i1 e i2 hay que volver al circuito inicial.
+
ug
i1
i
i2
A
B
+
ug
iA
B
++
--
R
Fuente de corriente ideal en serie con un elemento
En lo que respecta a cálculos en el resto de la redla presencia de un elemento en serie con la fuente puede omitirse.
Si se solicitan los valores de u1 y u2 hay que volver al circuito inicial.
+
ig u1
A
B
u
u2
+
-
-
+ -
R
+
ig
A
B
u
+
-
Fuentes dependientes La magnitud de la fuente dependiente está ligada a otra
magnitud de un elemento determinado del circuito Cuatro tipos de fuentes
circuitocircuito+ug=αu circuitocircuito
+ug=µi ig=αu ig=µi
iu i u+ - + -
F. TENSIÓN controlada por CORRIENTE
F. TENSIÓN controlada por TENSIÓN
F. CORRIENTE controlada por CORRIENTE
F. CORRIENTE controlada por TENSIÓN
Fuente de tensión real Elemento de un circuito que proporciona energía
eléctrica con una determinada tensión u(t) que depende de la corriente que pasa por él
iReu gg −=
+
+ug
iRg
uR
-
Se representa mediante una resistencia interna Rg de la fuente
Cuanto mayor sea la corriente que atraviesa la fuente mayor será su caída de tensión interna
Potencia entregada por una fuente de tensión
Al conectar R se genera una corriente
RRe
ig
g
+= RR
eRRiu
g
g
+⋅==
( )
2
2g
g g
g
ep R
R R= ⋅
+
+ug
iRg
uR
+
-
g g
p Rp p R R
η = =+ +
Rendimiento de la fuente
( )22
RRe
Ruipg
g
+⋅==
Parte de la potencia entregada por la
fuente se consume en su resistencia interna
∞→→
R1η
Transferencia de máxima potencia
La transferencia de potencia depende tanto de Rg como de R
La máxima transferencia se obtiene cuando
En este caso el rendimiento es del 50%
R
P Pmax
Rg
Re
PRgRdRdp g
40
2
max =⇒=⇒=
%50=+
=gRR
Rη
Fuente de corriente real Elemento que proporciona energía eléctrica con
una determinada i(t) que depende de la tensión en bornes
igRg
u R
+ Curva u/ii
u
iig
ig/Gg
Circuito abierto (i=0)
Cortocircuito (u=0)
-
gg Ruii /−=
Potencia entregada por una fuente de corriente real
Al conectar una carga (resistencia R) , se genera una corriente
( )22
GGi
Guipg
g
+⋅==
uGiRuii gg
gg −=−=
g
g
Gii
u−
=
igRg
u
i +
-
g
gg G
iPGG
dRdp
40
2
max =⇒=⇒=
Potencia máximaP
Pmax
RGg
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