Breve Introduccion a la logica y los conjuntos
Algebra
Araceli Guzman y Guillermo Garro
Facultad de CienciasUNAM
Semestre 2018-1
Logica y conjuntos Algebra
Referencias basicas
1. Armando O. Rojo, Algebra, 1978. Bajar aquı.
2. Alvaro Perez Raposo, Logica, conjuntos, relaciones y funciones, 2010. Bajar aquı
3. Cardenas, Lluis, Raggi, Tomas, Algebra Superior. Bajar aquı.
4. Paul Halmos, Teorıa intuitiva de los conjuntos. Bajar aquı.
Otras referencias
1. M. O’Leary, A first course in mathematical logic and set theory, 2016. Bajar aquı.
2. Willard Van Orman Quine, Mathematical Logic, 1981. Bajar aquı.
3. Fernando Hernandez, Teorıa de conjuntos, 2003. Bajar aquı.
Araceli Guzman y Guillermo Garro Facultad de Ciencias UNAM
Logica y conjuntos Algebra
Referencias basicas
1. Armando O. Rojo, Algebra, 1978. Bajar aquı.
2. Alvaro Perez Raposo, Logica, conjuntos, relaciones y funciones, 2010. Bajar aquı
3. Cardenas, Lluis, Raggi, Tomas, Algebra Superior. Bajar aquı.
4. Paul Halmos, Teorıa intuitiva de los conjuntos. Bajar aquı.
Otras referencias
1. M. O’Leary, A first course in mathematical logic and set theory, 2016. Bajar aquı.
2. Willard Van Orman Quine, Mathematical Logic, 1981. Bajar aquı.
3. Fernando Hernandez, Teorıa de conjuntos, 2003. Bajar aquı.
Araceli Guzman y Guillermo Garro Facultad de Ciencias UNAM
Logica y conjuntos Algebra
Logica y conjuntos
Como sucede con todas las ramas de la matematica, para estudiar algebra se requierede ciertos conocimientos basicos de logica y teorıa de conjuntos.
Logica (proposicional)
Una proposicion es un enunciado del que puede decirse que es verdadero (con valor deverdad V o 1) o falso (con valor de verdad F o 0) pero no ambas cosas. Gereralmentelas proposiciones son denotadas con las letras p, q, r,... o mayusculas P , Q, R,...
Los conectivos logicos
Los conectivos logicos son operaciones con las cuales podemos combinar proposicionespara formar otras. Los conectivos mas usuales son los siguientes:
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Logica y conjuntos Algebra
Logica y conjuntos
Como sucede con todas las ramas de la matematica, para estudiar algebra se requierede ciertos conocimientos basicos de logica y teorıa de conjuntos.
Logica (proposicional)
Una proposicion es un enunciado del que puede decirse que es verdadero (con valor deverdad V o 1) o falso (con valor de verdad F o 0) pero no ambas cosas. Gereralmentelas proposiciones son denotadas con las letras p, q, r,... o mayusculas P , Q, R,...
Los conectivos logicos
Los conectivos logicos son operaciones con las cuales podemos combinar proposicionespara formar otras. Los conectivos mas usuales son los siguientes:
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Logica y conjuntos Algebra
Logica y conjuntos
Como sucede con todas las ramas de la matematica, para estudiar algebra se requierede ciertos conocimientos basicos de logica y teorıa de conjuntos.
Logica (proposicional)
Una proposicion es un enunciado del que puede decirse que es verdadero (con valor deverdad V o 1) o falso (con valor de verdad F o 0) pero no ambas cosas. Gereralmentelas proposiciones son denotadas con las letras p, q, r,... o mayusculas P , Q, R,...
Los conectivos logicos
Los conectivos logicos son operaciones con las cuales podemos combinar proposicionespara formar otras. Los conectivos mas usuales son los siguientes:
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Logica y conjuntos Algebra
Conectivos logicos usuales
CONECTIVO NOMBRE OPERACION SIGNIFICADO
¬ Negacion ¬pNo p.
No es cierto que p.
∧ Conjuncion p ∧ q p y q
∨ Disyuncion p ∨ q p o q
Y Disyuncion excluyente p Y q p o q pero no ambas
⇒ p ⇒ q
p implica q.
Si p entonces q.
Implicacion q si p.
(o condicional) p solo si q
p es condicion suficiente para q.
q es condicion necesaria para p.
⇔ p ⇔ q
p si, y solo si, q.
Doble implicacion q es condicion necesaria y suficiente para p.
(o bicondicional) p es condicion necesaria y suficiente para q.
p es equivalente a q.
El condicional: Una cuestion gramatical
La equivalenciap⇒ q ≡ p solo si q
se explica facilmente si entendemos el modo de conjugacion verbalimperfecto del subjuntivo:
Estudiarıa Fısica solo si me quedara en la UNAM.
Por tanto,
Si estoy estudiando Fısica entonces me quede en la UNAM.
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Conectivos logicos usuales
CONECTIVO NOMBRE OPERACION SIGNIFICADO
¬ Negacion ¬pNo p.
No es cierto que p.
∧ Conjuncion p ∧ q p y q
∨ Disyuncion p ∨ q p o q
Y Disyuncion excluyente p Y q p o q pero no ambas
⇒ p ⇒ q
p implica q.
Si p entonces q.
Implicacion q si p.
(o condicional) p solo si q
p es condicion suficiente para q.
q es condicion necesaria para p.
⇔ p ⇔ q
p si, y solo si, q.
Doble implicacion q es condicion necesaria y suficiente para p.
(o bicondicional) p es condicion necesaria y suficiente para q.
p es equivalente a q.
El condicional: Una cuestion gramatical
La equivalenciap⇒ q ≡ p solo si q
se explica facilmente si entendemos el modo de conjugacion verbalimperfecto del subjuntivo:
Estudiarıa Fısica solo si me quedara en la UNAM.
Por tanto,
Si estoy estudiando Fısica entonces me quede en la UNAM.
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Logica y conjuntos Algebra
Ejemplo
Consideremos las siguientes proposiciones
p : El viento sopla muy fuerte.
q : Se caen las hojas de los arboles.
Tenemos entonces
Operacion Significado
¬p Las hojas no se caen de los arboles.
p ∧ q El viento sopla muy fuerte y se caen las hojas de los arboles.
p ∨ q El viento sopla o se caen las hojas.
p Y qEl viento sopla pero no se caen las hojas de los arboles, o bien
se caen la hojas de los arboles pero el viento no sopla muy fuerte.
p⇒ qSi el viento sopla muy fuerte, entonces
se caen las hojas de los arboles.
p⇔ qEl viento sopla muy fuerte si, y solo si,
se caen las hojas de los arboles.
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Logica y conjuntos Algebra
Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:
Para la negacion (que es un conectivo unario):
p ¬pV F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:
p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ q
V V
V V F V V
V F
F V V F F
F V
F V V V F
F F
F F F V V
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Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:
Para la negacion (que es un conectivo unario):
p ¬pV F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:
p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ q
V V
V V F V V
V F
F V V F F
F V
F V V V F
F F
F F F V V
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Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:
Para la negacion (que es un conectivo unario):
p ¬pV F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:
p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ q
V V V
V F V V
V F F
V V F F
F V F
V V V F
F F F
F F V V
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Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:
Para la negacion (que es un conectivo unario):
p ¬pV F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:
p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ q
V V V V
F V V
V F F V
V F F
F V F V
V V F
F F F F
F V V
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Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:
Para la negacion (que es un conectivo unario):
p ¬pV F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:
p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ q
V V V V F
V V
V F F V V
F F
F V F V V
V F
F F F F F
V V
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Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:
Para la negacion (que es un conectivo unario):
p ¬pV F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:
p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ q
V V V V F V
V
V F F V V F
F
F V F V V V
F
F F F F F V
V
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Tablas de valores de verdad
Los conectivos se definen formalmente mediante tablas de valores de verdad:
Para la negacion (que es un conectivo unario):
p ¬pV F
F V
Para el resto de los conectivos (binarios) tıpicos:
p q p ∧ q p ∨ q p Y q p⇒ q p⇔ q
V V V V F V V
V F F V V F F
F V F V V V F
F F F F F V V
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Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V
V V V V V
V F
F V F F V
F V
F V V F F
F F
V V V V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
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Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V
V V V V V
V F
F V F F V
F V
F V V F F
F F
V V V V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
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Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V V
V V V V
V F F
V F F V
F V F
V V F F
F F V
V V V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
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Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V V
V
V
V V
V F F
V
F
F V
F V F
V
V
F F
F F V
V
V
V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
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Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V V
V
V
V
V
V F F
V
F
F
V
F V F
V
V
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F F V
V
V
V
V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
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Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V V
V
V V V
V F F
V
F F V
F V F
V
V F F
F F V
V
V V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
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Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V V V V V V
V F F V F F V
F V F V V F F
F F V V V V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
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Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V V V V V V
V F F V F F V
F V F V V F F
F F V V V V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
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Ejemplo
Estudiemos la tabla de la proposicion compuesta:
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
Tenemos:
p q (p⇔ q) ⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
V V V V V V V
V F F V F F V
F V F V V F F
F F V V V V V
Observamos que la proposicion compuesta
(p⇔ q)⇔ ((p⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
es siembre V, independientemente de los valores de verdad de sus proposiciones com-ponentes, lo que significa que p ⇔ q es (logicamente) equivalente a la conjuncion(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
De ahı que probar una doble implicacion p ⇔ q, es equivalente a probarlos enunciados p ⇒ q y q ⇒ p conjuntamente.
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Logica y conjuntos Algebra
Leyes Logicas
Una proposicion compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamadaTautologıa o Ley Logica.
Otras tautologıas:
(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)
p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)
V V
F V F V
V F
V V V F
F V
V V V F
F F
F V F V
Esto es, p Y q es equivalente a la negacion de la doble implicacion p⇔ q.
Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)
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Leyes Logicas
Una proposicion compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamadaTautologıa o Ley Logica.
Otras tautologıas:
(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)
p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)
V V
F V F V
V F
V V V F
F V
V V V F
F F
F V F V
Esto es, p Y q es equivalente a la negacion de la doble implicacion p⇔ q.
Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)
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Leyes Logicas
Una proposicion compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamadaTautologıa o Ley Logica.
Otras tautologıas:
(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)
p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)
V V
F V F V
V F
V V V F
F V
V V V F
F F
F V F V
Esto es, p Y q es equivalente a la negacion de la doble implicacion p⇔ q.
Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)
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Leyes Logicas
Una proposicion compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamadaTautologıa o Ley Logica.
Otras tautologıas:
(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)
p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)
V V F
V F V
V F V
V V F
F V V
V V F
F F F
V F V
Esto es, p Y q es equivalente a la negacion de la doble implicacion p⇔ q.
Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)
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Leyes Logicas
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Otras tautologıas:
(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)
p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)
V V F
V F
V
V F V
V V
F
F V V
V V
F
F F F
V F
V
Esto es, p Y q es equivalente a la negacion de la doble implicacion p⇔ q.
Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)
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Leyes Logicas
Una proposicion compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamadaTautologıa o Ley Logica.
Otras tautologıas:
(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)
p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)
V V F
V
F V
V F V
V
V F
F V V
V
V F
F F F
V
F V
Esto es, p Y q es equivalente a la negacion de la doble implicacion p⇔ q.
Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)
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Leyes Logicas
Una proposicion compuesta cuya tabla de valores de verdad es siempre V, es llamadaTautologıa o Ley Logica.
Otras tautologıas:
(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)
p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)
V V F V F V
V F V V V F
F V V V V F
F F F V F V
Esto es, p Y q es equivalente a la negacion de la doble implicacion p⇔ q.
Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)
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Leyes Logicas
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Otras tautologıas:
(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)
p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)
V V F V F V
V F V V V F
F V V V V F
F F F V F V
Esto es, p Y q es equivalente a la negacion de la doble implicacion p⇔ q.
Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)
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Otras tautologıas:
(p Y q)⇔ ¬(p⇔ q)
p q (p Y q) ⇔ ¬ (p⇔ q)
V V F V F V
V F V V V F
F V V V V F
F F F V F V
Esto es, p Y q es equivalente a la negacion de la doble implicacion p⇔ q.
Para negar una doble implicacion p ⇔ q, debemos demostrar que p y qson excluyentes (i.e. si p ocurre entonces no ocurre q; o bien, si qocurre, no ocurre p.)
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Logica y conjuntos Algebra
Transitividad de ⇒:
[(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)
p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)
V V V
V V V V V
V V F
V F F V F
V F V
F F V V V
V F F
F F V V F
F V V
V V V V V
F V F
V F F V V
F F V
V V V V V
F F F
V V V V V
Transitividad de ⇔
Se sigue que
[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇔ (p⇔ r)
es tambien tautologica.
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Logica y conjuntos Algebra
Transitividad de ⇒:
[(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)
p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)
V V V
V V V V V
V V F
V F F V F
V F V
F F V V V
V F F
F F V V F
F V V
V V V V V
F V F
V F F V V
F F V
V V V V V
F F F
V V V V V
Transitividad de ⇔
Se sigue que
[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇔ (p⇔ r)
es tambien tautologica.
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Logica y conjuntos Algebra
Transitividad de ⇒:
[(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)
p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)
V V V V
V V V V
V V F V
F F V F
V F V F
F V V V
V F F F
F V V F
F V V V
V V V V
F V F V
F F V V
F F V V
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F F F V
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Transitividad de ⇔
Se sigue que
[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇔ (p⇔ r)
es tambien tautologica.
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Logica y conjuntos Algebra
Transitividad de ⇒:
[(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)
p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)
V V V V
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Transitividad de ⇔
Se sigue que
[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇔ (p⇔ r)
es tambien tautologica.
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Logica y conjuntos Algebra
Transitividad de ⇒:
[(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)
p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)
V V V V
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Transitividad de ⇔
Se sigue que
[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇔ (p⇔ r)
es tambien tautologica.
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Logica y conjuntos Algebra
Transitividad de ⇒:
[(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)
p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)
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V
V
F F V V V V
V
V
F F F V V V
V
V
Transitividad de ⇔
Se sigue que
[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇔ (p⇔ r)
es tambien tautologica.
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Logica y conjuntos Algebra
Transitividad de ⇒:
[(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)
p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)
V V V V V V V V
V V F V F F V F
V F V F F V V V
V F F F F V V F
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
Transitividad de ⇔
Se sigue que
[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇔ (p⇔ r)
es tambien tautologica.
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Transitividad de ⇒:
[(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)
p q r [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p⇒ r)
V V V V V V V V
V V F V F F V F
V F V F F V V V
V F F F F V V F
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
Transitividad de ⇔
Se sigue que
[(p⇔ q) ∧ (q ⇔ r)]⇔ (p⇔ r)
es tambien tautologica.
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Logica y conjuntos Algebra
Las Leyes de De Morgan
¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V
F F F V V F
V F
F V V F V V
F V
V F V F V V
F F
V V V F V V
La primera Ley de De Morgan dice que la negacion de una conjuncion esla disyuncion de las negaciones.
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Las Leyes de De Morgan
¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V
F F F V V F
V F
F V V F V V
F V
V F V F V V
F F
V V V F V V
La primera Ley de De Morgan dice que la negacion de una conjuncion esla disyuncion de las negaciones.
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Las Leyes de De Morgan
¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F
F V V F
V F F V
V F V V
F V V F
V F V V
F F V V
V F V V
La primera Ley de De Morgan dice que la negacion de una conjuncion esla disyuncion de las negaciones.
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Las Leyes de De Morgan
¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F
F
V
V F
V F F V
V
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V V
F V V F
V
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V V
F F V V
V
F
V V
La primera Ley de De Morgan dice que la negacion de una conjuncion esla disyuncion de las negaciones.
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Las Leyes de De Morgan
¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F F V
V F
V F F V V F
V V
F V V F V F
V V
F F V V V F
V V
La primera Ley de De Morgan dice que la negacion de una conjuncion esla disyuncion de las negaciones.
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Las Leyes de De Morgan
¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F F V
V
F
V F F V V F
V
V
F V V F V F
V
V
F F V V V F
V
V
La primera Ley de De Morgan dice que la negacion de una conjuncion esla disyuncion de las negaciones.
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Las Leyes de De Morgan
¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F F V V F
V F F V V F V V
F V V F V F V V
F F V V V F V V
La primera Ley de De Morgan dice que la negacion de una conjuncion esla disyuncion de las negaciones.
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¬(p ∧ q)⇔ (¬p ∨ ¬q) (1)
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q), (2)
Tabla de la primera Ley de De Morgan (1):
p q ¬p ¬q ¬ (p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)V V F F F V V F
V F F V V F V V
F V V F V F V V
F F V V V F V V
La primera Ley de De Morgan dice que la negacion de una conjuncion esla disyuncion de las negaciones.
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Logica y conjuntos Algebra
Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambien una tabla.
O bien, podemos ocupar la ley de involucion, la cual afirma que p y la doble negacion¬¬p son equivalentes, es decir, que p⇔ ¬(¬p) es una proposicion tautologica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involucion, las siguientes dobles implicacionesson tautologicas:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).
Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
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Logica y conjuntos Algebra
Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambien una tabla.
O bien, podemos ocupar la ley de involucion, la cual afirma que p y la doble negacion¬¬p son equivalentes, es decir, que p⇔ ¬(¬p) es una proposicion tautologica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involucion, las siguientes dobles implicacionesson tautologicas:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).
Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
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Logica y conjuntos Algebra
Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambien una tabla.
O bien, podemos ocupar la ley de involucion, la cual afirma que p y la doble negacion¬¬p son equivalentes, es decir, que p⇔ ¬(¬p) es una proposicion tautologica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involucion, las siguientes dobles implicacionesson tautologicas:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).
Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
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Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambien una tabla.
O bien, podemos ocupar la ley de involucion, la cual afirma que p y la doble negacion¬¬p son equivalentes, es decir, que p⇔ ¬(¬p) es una proposicion tautologica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involucion, las siguientes dobles implicacionesson tautologicas:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).
Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
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Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambien una tabla.
O bien, podemos ocupar la ley de involucion, la cual afirma que p y la doble negacion¬¬p son equivalentes, es decir, que p⇔ ¬(¬p) es una proposicion tautologica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involucion, las siguientes dobles implicacionesson tautologicas:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).
Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
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Para probar la segunda ley de De Morgan puede hacerse tambien una tabla.
O bien, podemos ocupar la ley de involucion, la cual afirma que p y la doble negacion¬¬p son equivalentes, es decir, que p⇔ ¬(¬p) es una proposicion tautologica:
p ⇔ ¬ (¬p)
V V V F
F V F V
De este modo, si queremos probar que
¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica, procedemos como sigue:
Por la ley (1) de De morgan, y la ley de involucion, las siguientes dobles implicacionesson tautologicas:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬¬p ∨ ¬¬q)⇔ (p ∨ q).
Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
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Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
De modo que, nuevamente por involucion, las dobles implicaciones
¬(p ∨ q)⇔ ¬¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∧ ¬q),
son tautologicas.
Ası (por transitividad),¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica.
La segunda Ley de De Morgan dice que la negacion de una disyuncion esla conjuncion de las negaciones.
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Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
De modo que, nuevamente por involucion, las dobles implicaciones
¬(p ∨ q)⇔ ¬¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∧ ¬q),
son tautologicas.
Ası (por transitividad),¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica.
La segunda Ley de De Morgan dice que la negacion de una disyuncion esla conjuncion de las negaciones.
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Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
De modo que, nuevamente por involucion, las dobles implicaciones
¬(p ∨ q)⇔ ¬¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∧ ¬q),
son tautologicas.
Ası (por transitividad),¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica.
La segunda Ley de De Morgan dice que la negacion de una disyuncion esla conjuncion de las negaciones.
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Ası que por transitividad, la doble implicacion siguiente es tautologica:
¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (p ∨ q).
De modo que, nuevamente por involucion, las dobles implicaciones
¬(p ∨ q)⇔ ¬¬(¬p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∧ ¬q),
son tautologicas.
Ası (por transitividad),¬(p ∨ q)⇔ (¬p ∧ ¬q)
es tautologica.
La segunda Ley de De Morgan dice que la negacion de una disyuncion esla conjuncion de las negaciones.
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Logica y conjuntos Algebra
Equivalencias de ⇒
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)
(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V
F V V V F
V F
V F V F V
F V
F V V V F
F F
V V V V F
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar lanegacion ¬(p ∧ ¬q).
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Equivalencias de ⇒
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)
(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V
F V V V F
V F
V F V F V
F V
F V V V F
F F
V V V V F
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar lanegacion ¬(p ∧ ¬q).
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Equivalencias de ⇒
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)
(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F
V V V F
V F V
F V F V
F V F
V V V F
F F V
V V V F
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar lanegacion ¬(p ∧ ¬q).
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Equivalencias de ⇒
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)
(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V
V V F
V F V F
V F V
F V F V
V V F
F F V V
V V F
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar lanegacion ¬(p ∧ ¬q).
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Equivalencias de ⇒
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)
(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V
V V
F
V F V F
V F
V
F V F V
V V
F
F F V V
V V
F
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar lanegacion ¬(p ∧ ¬q).
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Logica y conjuntos Algebra
Equivalencias de ⇒
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)
(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V
V
V F
V F V F
V
F V
F V F V
V
V F
F F V V
V
V F
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar lanegacion ¬(p ∧ ¬q).
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Equivalencias de ⇒
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)
(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V V V F
V F V F V F V
F V F V V V F
F F V V V V F
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar lanegacion ¬(p ∧ ¬q).
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Equivalencias de ⇒
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q) (1)
(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q) (2)
Para (1) hacemos una tabla:
p q ¬q (p⇒ q) ⇔ ¬ (p ∧ ¬q)V V F V V V F
V F V F V F V
F V F V V V F
F F V V V V F
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probar lanegacion ¬(p ∧ ¬q).
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Logica y conjuntos Algebra
Para la equivalencia (2)(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q)
podemos tambien usar una tabla.
O tambien podemos proceder como sigue:
Segun las leyes de De Morgan e involucion, las dobles implicaciones siguientes sontautologicas:
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∨ ¬¬q)⇔ (¬p ∨ q).
Esto es, p⇒ q y ¬p ∨ q son equivalentes (por transitividad).
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probardisyuncion ¬p ∨ q.
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Para la equivalencia (2)(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q)
podemos tambien usar una tabla.
O tambien podemos proceder como sigue:
Segun las leyes de De Morgan e involucion, las dobles implicaciones siguientes sontautologicas:
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∨ ¬¬q)⇔ (¬p ∨ q).
Esto es, p⇒ q y ¬p ∨ q son equivalentes (por transitividad).
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probardisyuncion ¬p ∨ q.
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Para la equivalencia (2)(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q)
podemos tambien usar una tabla.
O tambien podemos proceder como sigue:
Segun las leyes de De Morgan e involucion, las dobles implicaciones siguientes sontautologicas:
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∨ ¬¬q)⇔ (¬p ∨ q).
Esto es, p⇒ q y ¬p ∨ q son equivalentes (por transitividad).
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probardisyuncion ¬p ∨ q.
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Para la equivalencia (2)(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q)
podemos tambien usar una tabla.
O tambien podemos proceder como sigue:
Segun las leyes de De Morgan e involucion, las dobles implicaciones siguientes sontautologicas:
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∨ ¬¬q)⇔ (¬p ∨ q).
Esto es, p⇒ q y ¬p ∨ q son equivalentes (por transitividad).
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probardisyuncion ¬p ∨ q.
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Para la equivalencia (2)(p⇒ q)⇔ (¬p ∨ q)
podemos tambien usar una tabla.
O tambien podemos proceder como sigue:
Segun las leyes de De Morgan e involucion, las dobles implicaciones siguientes sontautologicas:
(p⇒ q)⇔ ¬(p ∧ ¬q)⇔ (¬p ∨ ¬¬q)⇔ (¬p ∨ q).
Esto es, p⇒ q y ¬p ∨ q son equivalentes (por transitividad).
De ahı que probar una implicacion p ⇒ q, es equivalente a probardisyuncion ¬p ∨ q.
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Otras utilısimas leyes logicas
p⇒ p
p ⇒ p
V V V
F V F
p⇔ p
p ⇔ p
V V V
F V F
(p⇔ q)⇒ (p⇒ q)
p q (p⇔ q) ⇒ (p⇒ q)
V V V V V
V F F V F
F V F V V
F F V V V
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Otras utilısimas leyes logicas
Conmutatividad: (p ∨ q)⇔ (q ∨ p)
p q (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
V V V V V
V F V V V
F V V V V
F F F V F
Conmutatividad: (p ∧ q)⇔ (q ∧ p)
p q (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F V F
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Otras utilısimas leyes logicas
Asociatividad: (p∨(q∨r))⇔ ((p∨q)∨r)
La tabla es un buen ejercicio.
Asociatividad: (p∧(q∧r))⇔ ((p∧q)∧r)
La tabla es un buen ejercicio.
Convenios
Escribimos p ∧ q ∧ r en lugar de (p ∧ q) ∧ r. E igualmente, p ∨ q ∨ r por (p ∨ q) ∨ r.
Las expresionesp1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn y p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn
se definen recursivamente
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn = p1 ∧ (p2 ∧ (· · · ∧ (pn−1 ∧ pn) · · · ))p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn = p1 ∨ (p2 ∨ (· · · ∨ (pn−1 ∨ pn) · · · ))
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Logica y conjuntos Algebra
Otras utilısimas leyes logicas
Adicion: p⇒ (p ∨ q)
p ⇒ (p ∨ q)
V V V V V
V V V V F
F V F V V
F V F F F
Simplificacion: (p ∧ q)⇒ p
(p ∧ q) ⇒ p)
V V V V V
V F F V V
F F V V F
F F F V F
Consecuencia: (p ∧ q)⇒ (p ∨ q)
Demostracion.
(p ∧ q)⇒ p⇒ (p ∨ q).
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Logica y conjuntos Algebra
Otras utilısimas leyes logicas
Idempotencia: (p ∨ p)⇔ p
(p ∨ p) ⇔ p
V V V V V
F F F V F
Consecuencia: (p ∨ q)⇔ (p ∨ p ∨ q)
Idempotencia: (p ∧ p)⇔ p
(p ∧ p) ⇒ p
V V V V V
F F F V F
Consecuencia: (p ∧ q)⇔ (p ∧ p ∧ q)
Ley del reemplazo
Supongamos que T(p, q) es una formula (una proposicion compuesta) en donde inter-
vienen dos proposiciones p y q. Supongamos ademas que P y P son dos proposicionesequivalentes. Entonces
T(P, q)⇔ T(P , q)
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Logica y conjuntos Algebra
Otras utilısimas leyes logicas
Idempotencia: (p ∨ p)⇔ p
(p ∨ p) ⇔ p
V V V V V
F F F V F
Consecuencia: (p ∨ q)⇔ (p ∨ p ∨ q)
Idempotencia: (p ∧ p)⇔ p
(p ∧ p) ⇒ p
V V V V V
F F F V F
Consecuencia: (p ∧ q)⇔ (p ∧ p ∧ q)
Ley del reemplazo
Supongamos que T(p, q) es una formula (una proposicion compuesta) en donde inter-
vienen dos proposiciones p y q. Supongamos ademas que P y P son dos proposicionesequivalentes. Entonces
T(P, q)⇔ T(P , q)
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Logica y conjuntos Algebra
Conjuntos
La palabra conjunto se usa como sinonimo de familia o coleccion de objetos. Usamoslas letras mayusculas A, B, C, X, Y , etc, para denotar conjuntos.
Los objetos que conforman un conjunto son llamados elementos, y escribimos a ∈ Apara denotar que el objeto a es un elemento (un miembro) del conjunto A, lo que leemoscomo “a pertenece a A”.
Si a no es elemento del conjunto A, escribimos a /∈ A, lo que leemos como “a nopertenece a A”. Observamos entonces que
a /∈ A⇔ ¬(a ∈ A).
Ejemplo
1) Si A = {2, 3, 4}, entonces 2 ∈ A, pero 5 /∈ A.
2) Si A = {2, 3, 4}, entonces 2 ∈ A pero {2} /∈ A.
3) Si A = {R}, entonces R ∈ A, pero 2 /∈ A.
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Logica y conjuntos Algebra
Conjuntos
La palabra conjunto se usa como sinonimo de familia o coleccion de objetos. Usamoslas letras mayusculas A, B, C, X, Y , etc, para denotar conjuntos.
Los objetos que conforman un conjunto son llamados elementos, y escribimos a ∈ Apara denotar que el objeto a es un elemento (un miembro) del conjunto A, lo que leemoscomo “a pertenece a A”.
Si a no es elemento del conjunto A, escribimos a /∈ A, lo que leemos como “a nopertenece a A”. Observamos entonces que
a /∈ A⇔ ¬(a ∈ A).
Ejemplo
1) Si A = {2, 3, 4}, entonces 2 ∈ A, pero 5 /∈ A.
2) Si A = {2, 3, 4}, entonces 2 ∈ A pero {2} /∈ A.
3) Si A = {R}, entonces R ∈ A, pero 2 /∈ A.
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Logica y conjuntos Algebra
Un conjunto A puede estar integrado por aquellos objetos x que satisfacen unapropiedad P (x). En tal caso escribimos
A = {x : P (x)},lo que leemos como “A es igual al conjunto de todas las x tales que P (x) esverdadero”.
Ejemplo
1) Sobre la recta real R, el intervalo unitario cerrado es el conjunto
[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.
2) Sobre el plano R2, la circunferencia unitaria es el conjunto
S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.
Note que solo estamos tomando el cırculo, no la “bola” completa.
3) Sobre el espacio R3, la esfera unitaria es el conjunto
S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.
Note que solo estamos considerando la “cascara”, o sea, la superficie, mas no el solido.
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Logica y conjuntos Algebra
Un conjunto A puede estar integrado por aquellos objetos x que satisfacen unapropiedad P (x). En tal caso escribimos
A = {x : P (x)},lo que leemos como “A es igual al conjunto de todas las x tales que P (x) esverdadero”.
Ejemplo
1) Sobre la recta real R, el intervalo unitario cerrado es el conjunto
[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.
2) Sobre el plano R2, la circunferencia unitaria es el conjunto
S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.
Note que solo estamos tomando el cırculo, no la “bola” completa.
3) Sobre el espacio R3, la esfera unitaria es el conjunto
S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.
Note que solo estamos considerando la “cascara”, o sea, la superficie, mas no el solido.
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Un conjunto A puede estar integrado por aquellos objetos x que satisfacen unapropiedad P (x). En tal caso escribimos
A = {x : P (x)},lo que leemos como “A es igual al conjunto de todas las x tales que P (x) esverdadero”.
Ejemplo
1) Sobre la recta real R, el intervalo unitario cerrado es el conjunto
[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.
2) Sobre el plano R2, la circunferencia unitaria es el conjunto
S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.
Note que solo estamos tomando el cırculo, no la “bola” completa.
3) Sobre el espacio R3, la esfera unitaria es el conjunto
S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.
Note que solo estamos considerando la “cascara”, o sea, la superficie, mas no el solido.
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Un conjunto A puede estar integrado por aquellos objetos x que satisfacen unapropiedad P (x). En tal caso escribimos
A = {x : P (x)},lo que leemos como “A es igual al conjunto de todas las x tales que P (x) esverdadero”.
Ejemplo
1) Sobre la recta real R, el intervalo unitario cerrado es el conjunto
[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.
2) Sobre el plano R2, la circunferencia unitaria es el conjunto
S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.
Note que solo estamos tomando el cırculo, no la “bola” completa.
3) Sobre el espacio R3, la esfera unitaria es el conjunto
S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.
Note que solo estamos considerando la “cascara”, o sea, la superficie, mas no el solido.
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Un conjunto A puede estar integrado por aquellos objetos x que satisfacen unapropiedad P (x). En tal caso escribimos
A = {x : P (x)},lo que leemos como “A es igual al conjunto de todas las x tales que P (x) esverdadero”.
Ejemplo
1) Sobre la recta real R, el intervalo unitario cerrado es el conjunto
[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.
2) Sobre el plano R2, la circunferencia unitaria es el conjunto
S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.
Note que solo estamos tomando el cırculo, no la “bola” completa.
3) Sobre el espacio R3, la esfera unitaria es el conjunto
S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.
Note que solo estamos considerando la “cascara”, o sea, la superficie, mas no el solido.
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Un conjunto A puede estar integrado por aquellos objetos x que satisfacen unapropiedad P (x). En tal caso escribimos
A = {x : P (x)},lo que leemos como “A es igual al conjunto de todas las x tales que P (x) esverdadero”.
Ejemplo
1) Sobre la recta real R, el intervalo unitario cerrado es el conjunto
[0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.
2) Sobre el plano R2, la circunferencia unitaria es el conjunto
S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.
Note que solo estamos tomando el cırculo, no la “bola” completa.
3) Sobre el espacio R3, la esfera unitaria es el conjunto
S2 = {(x, y, z, ) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.
Note que solo estamos considerando la “cascara”, o sea, la superficie, mas no el solido.
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Logica y conjuntos Algebra
Contencion
Si A y B son conjuntos, definimos la relacion de contencion con la sentencia:
A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B)
(El sımbolo ∀ es un cuantificador logico, se lee “para todo”. Se llama cuatificadoruniversal).
Y tambienA 6⊂ B ⇔ ∃a(a ∈ A ∧ a /∈ B)
(El sımbolo ∃ es un cuantificador logico, se lee “existe”. Se llama cuantificador exis-tencial)
Convenios notacionales
Tambien podemos escribir
A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A)(x ∈ B)
A 6⊂ B ⇔ (∃a ∈ A)(a /∈ B).
Observacion: En general, si P (x) es una propiedad:
¬∀xP (x)⇔ ∃x¬P (x)
¬∃xP (x)⇔ ∀x¬P (x) (a veces escribimos @xP (x))
Propiedades de la contencion:
Reflexiva: A ⊂ A, para todo conjunto A.
Transitiva: A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.
Reflexiva: Para todo conjunto A, a ∈ A ⇔ a ∈ A essiempre V.
Transitiva: Si A, B y C son conjuntos, y A ⊂ B y B ⊂ C,entonces
a ∈ A⇒ a ∈ B ⇒ a ∈ C.
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Contencion
Si A y B son conjuntos, definimos la relacion de contencion con la sentencia:
A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B)
(El sımbolo ∀ es un cuantificador logico, se lee “para todo”. Se llama cuatificadoruniversal).
Y tambienA 6⊂ B ⇔ ∃a(a ∈ A ∧ a /∈ B)
(El sımbolo ∃ es un cuantificador logico, se lee “existe”. Se llama cuantificador exis-tencial)
Convenios notacionales
Tambien podemos escribir
A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A)(x ∈ B)
A 6⊂ B ⇔ (∃a ∈ A)(a /∈ B).
Observacion: En general, si P (x) es una propiedad:
¬∀xP (x)⇔ ∃x¬P (x)
¬∃xP (x)⇔ ∀x¬P (x) (a veces escribimos @xP (x))
Propiedades de la contencion:
Reflexiva: A ⊂ A, para todo conjunto A.
Transitiva: A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.
Reflexiva: Para todo conjunto A, a ∈ A ⇔ a ∈ A essiempre V.
Transitiva: Si A, B y C son conjuntos, y A ⊂ B y B ⊂ C,entonces
a ∈ A⇒ a ∈ B ⇒ a ∈ C.
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Contencion
Si A y B son conjuntos, definimos la relacion de contencion con la sentencia:
A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B)
(El sımbolo ∀ es un cuantificador logico, se lee “para todo”. Se llama cuatificadoruniversal).
Y tambienA 6⊂ B ⇔ ∃a(a ∈ A ∧ a /∈ B)
(El sımbolo ∃ es un cuantificador logico, se lee “existe”. Se llama cuantificador exis-tencial)
Convenios notacionales
Tambien podemos escribir
A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A)(x ∈ B)
A 6⊂ B ⇔ (∃a ∈ A)(a /∈ B).
Observacion: En general, si P (x) es una propiedad:
¬∀xP (x)⇔ ∃x¬P (x)
¬∃xP (x)⇔ ∀x¬P (x) (a veces escribimos @xP (x))
Propiedades de la contencion:
Reflexiva: A ⊂ A, para todo conjunto A.
Transitiva: A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.
Reflexiva: Para todo conjunto A, a ∈ A ⇔ a ∈ A essiempre V.
Transitiva: Si A, B y C son conjuntos, y A ⊂ B y B ⊂ C,entonces
a ∈ A⇒ a ∈ B ⇒ a ∈ C.
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Contencion
Si A y B son conjuntos, definimos la relacion de contencion con la sentencia:
A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B)
(El sımbolo ∀ es un cuantificador logico, se lee “para todo”. Se llama cuatificadoruniversal).
Y tambienA 6⊂ B ⇔ ∃a(a ∈ A ∧ a /∈ B)
(El sımbolo ∃ es un cuantificador logico, se lee “existe”. Se llama cuantificador exis-tencial)
Convenios notacionales
Tambien podemos escribir
A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A)(x ∈ B)
A 6⊂ B ⇔ (∃a ∈ A)(a /∈ B).
Observacion: En general, si P (x) es una propiedad:
¬∀xP (x)⇔ ∃x¬P (x)
¬∃xP (x)⇔ ∀x¬P (x) (a veces escribimos @xP (x))
Propiedades de la contencion:
Reflexiva: A ⊂ A, para todo conjunto A.
Transitiva: A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.
Reflexiva: Para todo conjunto A, a ∈ A ⇔ a ∈ A essiempre V.
Transitiva: Si A, B y C son conjuntos, y A ⊂ B y B ⊂ C,entonces
a ∈ A⇒ a ∈ B ⇒ a ∈ C.
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Contencion
Si A y B son conjuntos, definimos la relacion de contencion con la sentencia:
A ⊂ B ⇔ ∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B)
(El sımbolo ∀ es un cuantificador logico, se lee “para todo”. Se llama cuatificadoruniversal).
Y tambienA 6⊂ B ⇔ ∃a(a ∈ A ∧ a /∈ B)
(El sımbolo ∃ es un cuantificador logico, se lee “existe”. Se llama cuantificador exis-tencial)
Convenios notacionales
Tambien podemos escribir
A ⊂ B ⇔ (∀x ∈ A)(x ∈ B)
A 6⊂ B ⇔ (∃a ∈ A)(a /∈ B).
Observacion: En general, si P (x) es una propiedad:
¬∀xP (x)⇔ ∃x¬P (x)
¬∃xP (x)⇔ ∀x¬P (x) (a veces escribimos @xP (x))
Propiedades de la contencion:
Reflexiva: A ⊂ A, para todo conjunto A.
Transitiva: A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.
Reflexiva: Para todo conjunto A, a ∈ A ⇔ a ∈ A essiempre V.
Transitiva: Si A, B y C son conjuntos, y A ⊂ B y B ⊂ C,entonces
a ∈ A⇒ a ∈ B ⇒ a ∈ C.
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Logica y conjuntos Algebra
El axioma de extension
Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.
En sımbolos:∀A∀B (A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A) .
Otra forma del mismo axioma:
Un conjunto esta determinado por su extension.
Propiedades de la igualdad
Reflexiva A = A, para todo conjunto A.
Simetrica A = B ⇔ B = A.
Transitiva A = B ∧B = C ⇒ A = C.
Reflexiva: A ⊂ A es siempre V para todo conjunto A. (Consecuenciade que a ∈ A⇒ a ∈ A es siempre V).
Simetrica: Para cualesquieera conjuntos A yB,
A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A⇔ B = A
Transitiva: Si A = B y B = C, entonces A ⊂ B ⊂ C y C ⊂ B ⊂ A,y consecuentemente A ⊂ C y C ⊂ A, esto es, A = C.
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El axioma de extension
Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.
En sımbolos:∀A∀B (A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A) .
Otra forma del mismo axioma:
Un conjunto esta determinado por su extension.
Propiedades de la igualdad
Reflexiva A = A, para todo conjunto A.
Simetrica A = B ⇔ B = A.
Transitiva A = B ∧B = C ⇒ A = C.
Reflexiva: A ⊂ A es siempre V para todo conjunto A. (Consecuenciade que a ∈ A⇒ a ∈ A es siempre V).
Simetrica: Para cualesquieera conjuntos A yB,
A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A⇔ B = A
Transitiva: Si A = B y B = C, entonces A ⊂ B ⊂ C y C ⊂ B ⊂ A,y consecuentemente A ⊂ C y C ⊂ A, esto es, A = C.
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El axioma de extension
Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.
En sımbolos:∀A∀B (A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A) .
Otra forma del mismo axioma:
Un conjunto esta determinado por su extension.
Propiedades de la igualdad
Reflexiva A = A, para todo conjunto A.
Simetrica A = B ⇔ B = A.
Transitiva A = B ∧B = C ⇒ A = C.
Reflexiva: A ⊂ A es siempre V para todo conjunto A. (Consecuenciade que a ∈ A⇒ a ∈ A es siempre V).
Simetrica: Para cualesquieera conjuntos A yB,
A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A⇔ B = A
Transitiva: Si A = B y B = C, entonces A ⊂ B ⊂ C y C ⊂ B ⊂ A,y consecuentemente A ⊂ C y C ⊂ A, esto es, A = C.
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El axioma de extension
Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.
En sımbolos:∀A∀B (A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A) .
Otra forma del mismo axioma:
Un conjunto esta determinado por su extension.
Propiedades de la igualdad
Reflexiva A = A, para todo conjunto A.
Simetrica A = B ⇔ B = A.
Transitiva A = B ∧B = C ⇒ A = C.
Reflexiva: A ⊂ A es siempre V para todo conjunto A. (Consecuenciade que a ∈ A⇒ a ∈ A es siempre V).
Simetrica: Para cualesquieera conjuntos A yB,
A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A⇔ B = A
Transitiva: Si A = B y B = C, entonces A ⊂ B ⊂ C y C ⊂ B ⊂ A,y consecuentemente A ⊂ C y C ⊂ A, esto es, A = C.
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El axioma de extension
Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos.
En sımbolos:∀A∀B (A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A) .
Otra forma del mismo axioma:
Un conjunto esta determinado por su extension.
Propiedades de la igualdad
Reflexiva A = A, para todo conjunto A.
Simetrica A = B ⇔ B = A.
Transitiva A = B ∧B = C ⇒ A = C.
Reflexiva: A ⊂ A es siempre V para todo conjunto A. (Consecuenciade que a ∈ A⇒ a ∈ A es siempre V).
Simetrica: Para cualesquieera conjuntos A yB,
A = B ⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A⇔ A ⊂ B ∧B ⊂ A⇔ B = A
Transitiva: Si A = B y B = C, entonces A ⊂ B ⊂ C y C ⊂ B ⊂ A,y consecuentemente A ⊂ C y C ⊂ A, esto es, A = C.
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Principio de permutacion para cuantificadores iterados
Supongamos que p(x, y) es una propiedad que se refiere a los elementos x de un conjuntoA y los elementos y de un conjunto B, donde A y B no son necesariamente distintos.Entonces
(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)p(x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y)
(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)p(x, y)
EjemploLa proposiciones
(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)
(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
)son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizacion
x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
es valida para cualesquiera numeros reales x y y.
No obstante,
(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y).
Ejemplo
Consideremos el conjunto R\{0} (de todos los numeros reales menos el cero). Seala propiedad en dos variables
p(x, y) : xy = 1.
Entonces es claro que la afirmacion
(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)
es verdadera. Pero
(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)
es falsa.
Teorema
La proposicion(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)
es verdadera
Demostracion.Si x es un numero real y x 6= 0, entonces
x
(1
x
)=
x
x= 1.
(Esto es, y = 1x
).
Teorema
La proposicion(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)
es falsa.
Demostracion.Supongamos que es verdadera, esto es, que para algun numero real y 6= 0, se cumpleque xy = 1, para todo numero real x 6= 0; en particular,
y2 = yy = 1.
De donde y = 1 o bien y = −1. Si sucede lo primero, se sigue que para todonumero real x 6= 0,
x = x1 = xy = 1.
En particular,0 = 1.
Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo numero real x 6= 0,
−x = x(−1) = xy = 1.
En particular,0 = 1.
Ambos casos son absurdos.
Otras equivalencias concuantificadores
∀x(p(x) ∧ q)⇔ (∀xp(x)) ∧ q
∃x(p(x) ∧ q)⇔ (∃xp(x)) ∧ q.
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Principio de permutacion para cuantificadores iterados
Supongamos que p(x, y) es una propiedad que se refiere a los elementos x de un conjuntoA y los elementos y de un conjunto B, donde A y B no son necesariamente distintos.Entonces
(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)p(x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y)
(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)p(x, y)
EjemploLa proposiciones
(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)
(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
)son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizacion
x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
es valida para cualesquiera numeros reales x y y.
No obstante,
(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y).
Ejemplo
Consideremos el conjunto R\{0} (de todos los numeros reales menos el cero). Seala propiedad en dos variables
p(x, y) : xy = 1.
Entonces es claro que la afirmacion
(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)
es verdadera. Pero
(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)
es falsa.
Teorema
La proposicion(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)
es verdadera
Demostracion.Si x es un numero real y x 6= 0, entonces
x
(1
x
)=
x
x= 1.
(Esto es, y = 1x
).
Teorema
La proposicion(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)
es falsa.
Demostracion.Supongamos que es verdadera, esto es, que para algun numero real y 6= 0, se cumpleque xy = 1, para todo numero real x 6= 0; en particular,
y2 = yy = 1.
De donde y = 1 o bien y = −1. Si sucede lo primero, se sigue que para todonumero real x 6= 0,
x = x1 = xy = 1.
En particular,0 = 1.
Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo numero real x 6= 0,
−x = x(−1) = xy = 1.
En particular,0 = 1.
Ambos casos son absurdos.
Otras equivalencias concuantificadores
∀x(p(x) ∧ q)⇔ (∀xp(x)) ∧ q
∃x(p(x) ∧ q)⇔ (∃xp(x)) ∧ q.
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Principio de permutacion para cuantificadores iterados
Supongamos que p(x, y) es una propiedad que se refiere a los elementos x de un conjuntoA y los elementos y de un conjunto B, donde A y B no son necesariamente distintos.Entonces
(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)p(x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y)
(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)p(x, y)
EjemploLa proposiciones
(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)
(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
)son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizacion
x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
es valida para cualesquiera numeros reales x y y.
No obstante,
(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y).
Ejemplo
Consideremos el conjunto R\{0} (de todos los numeros reales menos el cero). Seala propiedad en dos variables
p(x, y) : xy = 1.
Entonces es claro que la afirmacion
(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)
es verdadera. Pero
(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)
es falsa.
Teorema
La proposicion(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)
es verdadera
Demostracion.Si x es un numero real y x 6= 0, entonces
x
(1
x
)=
x
x= 1.
(Esto es, y = 1x
).
Teorema
La proposicion(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)
es falsa.
Demostracion.Supongamos que es verdadera, esto es, que para algun numero real y 6= 0, se cumpleque xy = 1, para todo numero real x 6= 0; en particular,
y2 = yy = 1.
De donde y = 1 o bien y = −1. Si sucede lo primero, se sigue que para todonumero real x 6= 0,
x = x1 = xy = 1.
En particular,0 = 1.
Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo numero real x 6= 0,
−x = x(−1) = xy = 1.
En particular,0 = 1.
Ambos casos son absurdos.
Otras equivalencias concuantificadores
∀x(p(x) ∧ q)⇔ (∀xp(x)) ∧ q
∃x(p(x) ∧ q)⇔ (∃xp(x)) ∧ q.
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Principio de permutacion para cuantificadores iterados
Supongamos que p(x, y) es una propiedad que se refiere a los elementos x de un conjuntoA y los elementos y de un conjunto B, donde A y B no son necesariamente distintos.Entonces
(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)p(x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y)
(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)p(x, y)
EjemploLa proposiciones
(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)
(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
)son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizacion
x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
es valida para cualesquiera numeros reales x y y.
No obstante,
(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y).
Ejemplo
Consideremos el conjunto R\{0} (de todos los numeros reales menos el cero). Seala propiedad en dos variables
p(x, y) : xy = 1.
Entonces es claro que la afirmacion
(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)
es verdadera. Pero
(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)
es falsa.
Teorema
La proposicion(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)
es verdadera
Demostracion.Si x es un numero real y x 6= 0, entonces
x
(1
x
)=
x
x= 1.
(Esto es, y = 1x
).
Teorema
La proposicion(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)
es falsa.
Demostracion.Supongamos que es verdadera, esto es, que para algun numero real y 6= 0, se cumpleque xy = 1, para todo numero real x 6= 0; en particular,
y2 = yy = 1.
De donde y = 1 o bien y = −1. Si sucede lo primero, se sigue que para todonumero real x 6= 0,
x = x1 = xy = 1.
En particular,0 = 1.
Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo numero real x 6= 0,
−x = x(−1) = xy = 1.
En particular,0 = 1.
Ambos casos son absurdos.
Otras equivalencias concuantificadores
∀x(p(x) ∧ q)⇔ (∀xp(x)) ∧ q
∃x(p(x) ∧ q)⇔ (∃xp(x)) ∧ q.
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Principio de permutacion para cuantificadores iterados
Supongamos que p(x, y) es una propiedad que se refiere a los elementos x de un conjuntoA y los elementos y de un conjunto B, donde A y B no son necesariamente distintos.Entonces
(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)p(x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y)
(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)p(x, y)
EjemploLa proposiciones
(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)
(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
)son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizacion
x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
es valida para cualesquiera numeros reales x y y.
No obstante,
(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y).
Ejemplo
Consideremos el conjunto R\{0} (de todos los numeros reales menos el cero). Seala propiedad en dos variables
p(x, y) : xy = 1.
Entonces es claro que la afirmacion
(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)
es verdadera. Pero
(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)
es falsa.
Teorema
La proposicion(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)
es verdadera
Demostracion.Si x es un numero real y x 6= 0, entonces
x
(1
x
)=
x
x= 1.
(Esto es, y = 1x
).
Teorema
La proposicion(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)
es falsa.
Demostracion.Supongamos que es verdadera, esto es, que para algun numero real y 6= 0, se cumpleque xy = 1, para todo numero real x 6= 0; en particular,
y2 = yy = 1.
De donde y = 1 o bien y = −1. Si sucede lo primero, se sigue que para todonumero real x 6= 0,
x = x1 = xy = 1.
En particular,0 = 1.
Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo numero real x 6= 0,
−x = x(−1) = xy = 1.
En particular,0 = 1.
Ambos casos son absurdos.
Otras equivalencias concuantificadores
∀x(p(x) ∧ q)⇔ (∀xp(x)) ∧ q
∃x(p(x) ∧ q)⇔ (∃xp(x)) ∧ q.
Araceli Guzman y Guillermo Garro Facultad de Ciencias UNAM
Logica y conjuntos Algebra
Principio de permutacion para cuantificadores iterados
Supongamos que p(x, y) es una propiedad que se refiere a los elementos x de un conjuntoA y los elementos y de un conjunto B, donde A y B no son necesariamente distintos.Entonces
(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)p(x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y)
(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)p(x, y)
EjemploLa proposiciones
(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)
(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
)son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizacion
x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
es valida para cualesquiera numeros reales x y y.
No obstante,
(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y).
Ejemplo
Consideremos el conjunto R\{0} (de todos los numeros reales menos el cero). Seala propiedad en dos variables
p(x, y) : xy = 1.
Entonces es claro que la afirmacion
(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)
es verdadera. Pero
(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)
es falsa.
Teorema
La proposicion(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)
es verdadera
Demostracion.Si x es un numero real y x 6= 0, entonces
x
(1
x
)=
x
x= 1.
(Esto es, y = 1x
).
Teorema
La proposicion(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)
es falsa.
Demostracion.Supongamos que es verdadera, esto es, que para algun numero real y 6= 0, se cumpleque xy = 1, para todo numero real x 6= 0; en particular,
y2 = yy = 1.
De donde y = 1 o bien y = −1. Si sucede lo primero, se sigue que para todonumero real x 6= 0,
x = x1 = xy = 1.
En particular,0 = 1.
Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo numero real x 6= 0,
−x = x(−1) = xy = 1.
En particular,0 = 1.
Ambos casos son absurdos.
Otras equivalencias concuantificadores
∀x(p(x) ∧ q)⇔ (∀xp(x)) ∧ q
∃x(p(x) ∧ q)⇔ (∃xp(x)) ∧ q.
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Logica y conjuntos Algebra
Principio de permutacion para cuantificadores iterados
Supongamos que p(x, y) es una propiedad que se refiere a los elementos x de un conjuntoA y los elementos y de un conjunto B, donde A y B no son necesariamente distintos.Entonces
(∀x ∈ A)(∀y ∈ B)p(x, y)⇔ (∀y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y)
(∃x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y)⇔ (∃y ∈ B)(∃x ∈ A)p(x, y)
EjemploLa proposiciones
(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
)(∀y ∈ R)(∀x ∈ R)
(x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
)son equivalentes. De hecho verdaderas, en cuanto que la factorizacion
x2 − y2 = (x− y)(x+ y)
es valida para cualesquiera numeros reales x y y.
No obstante,
(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)p(x, y) 6⇔ (∃y ∈ B)(∀x ∈ A)p(x, y).
Ejemplo
Consideremos el conjunto R\{0} (de todos los numeros reales menos el cero). Seala propiedad en dos variables
p(x, y) : xy = 1.
Entonces es claro que la afirmacion
(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)
es verdadera. Pero
(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)
es falsa.
Teorema
La proposicion(∀x ∈ R\{0})(∃y ∈ R\{0})(xy = 1)
es verdadera
Demostracion.Si x es un numero real y x 6= 0, entonces
x
(1
x
)=
x
x= 1.
(Esto es, y = 1x
).
Teorema
La proposicion(∃y ∈ R\{0})(∀x ∈ R\{0})(xy = 1)
es falsa.
Demostracion.Supongamos que es verdadera, esto es, que para algun numero real y 6= 0, se cumpleque xy = 1, para todo numero real x 6= 0; en particular,
y2 = yy = 1.
De donde y = 1 o bien y = −1. Si sucede lo primero, se sigue que para todonumero real x 6= 0,
x = x1 = xy = 1.
En particular,0 = 1.
Y si sucede lo segundo, se sigue que para todo numero real x 6= 0,
−x = x(−1) = xy = 1.
En particular,0 = 1.
Ambos casos son absurdos.
Otras equivalencias concuantificadores
∀x(p(x) ∧ q)⇔ (∀xp(x)) ∧ q
∃x(p(x) ∧ q)⇔ (∃xp(x)) ∧ q.
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Logica y conjuntos Algebra
El Axioma del Conjunto Vacıo
Generalmente, aceptamos como axioma (o como consecuencia directa de otros axiomas)que existe un conjunto “que no tiene elementos”, que llamamos (apropiadamente)conjunto vacıo, y denotamos como ∅.
El conjunto vacıo cumple entonces que, para todo x (cualquier cosa que sea x), x /∈ ∅.
Aunque este conjunto puede parecer extrano, podemos caracterizarlo simplemente como
∅ = {x ∈ R : x2 < 0}.
Teorema
El conjunto vacıo esta contenido en cualquier otro conjunto. Esto es, si A es unconjunto, entonces ∅ ⊂ A.
Demostracion.
Si A es un conjunto tal que ∅ 6⊂ A, entonces debera existir un x tal que x ∈ ∅ y x /∈ A,pero esto es en sı contradictorio con la propiedad que define al conjunto vacıo (que notiene elementos).
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Logica y conjuntos Algebra
El Axioma del Conjunto Vacıo
Generalmente, aceptamos como axioma (o como consecuencia directa de otros axiomas)que existe un conjunto “que no tiene elementos”, que llamamos (apropiadamente)conjunto vacıo, y denotamos como ∅.
El conjunto vacıo cumple entonces que, para todo x (cualquier cosa que sea x), x /∈ ∅.
Aunque este conjunto puede parecer extrano, podemos caracterizarlo simplemente como
∅ = {x ∈ R : x2 < 0}.
Teorema
El conjunto vacıo esta contenido en cualquier otro conjunto. Esto es, si A es unconjunto, entonces ∅ ⊂ A.
Demostracion.
Si A es un conjunto tal que ∅ 6⊂ A, entonces debera existir un x tal que x ∈ ∅ y x /∈ A,pero esto es en sı contradictorio con la propiedad que define al conjunto vacıo (que notiene elementos).
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Logica y conjuntos Algebra
El Axioma del Conjunto Vacıo
Generalmente, aceptamos como axioma (o como consecuencia directa de otros axiomas)que existe un conjunto “que no tiene elementos”, que llamamos (apropiadamente)conjunto vacıo, y denotamos como ∅.
El conjunto vacıo cumple entonces que, para todo x (cualquier cosa que sea x), x /∈ ∅.
Aunque este conjunto puede parecer extrano, podemos caracterizarlo simplemente como
∅ = {x ∈ R : x2 < 0}.
Teorema
El conjunto vacıo esta contenido en cualquier otro conjunto. Esto es, si A es unconjunto, entonces ∅ ⊂ A.
Demostracion.
Si A es un conjunto tal que ∅ 6⊂ A, entonces debera existir un x tal que x ∈ ∅ y x /∈ A,pero esto es en sı contradictorio con la propiedad que define al conjunto vacıo (que notiene elementos).
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Logica y conjuntos Algebra
Corolario
El conjunto vacıo es unico.
Demostracion.
Si ∅′ es otro conjunto con la propiedad de que para todo x, x /∈ ∅′, entonces cumpletambien con la propiedad expuesta en el teorema anterior, es decir, estara contenido encualquier otro conjunto, en particular
∅′ ⊂ ∅,
y dado que tambien se cumple∅ ⊂ ∅′,
se sigue∅ = ∅′.
Ejemplo
∅ ∈ {∅} ∈ {{∅}} ∈ · · · .
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Logica y conjuntos Algebra
Corolario
El conjunto vacıo es unico.
Demostracion.
Si ∅′ es otro conjunto con la propiedad de que para todo x, x /∈ ∅′, entonces cumpletambien con la propiedad expuesta en el teorema anterior, es decir, estara contenido encualquier otro conjunto, en particular
∅′ ⊂ ∅,
y dado que tambien se cumple∅ ⊂ ∅′,
se sigue∅ = ∅′.
Ejemplo
∅ ∈ {∅} ∈ {{∅}} ∈ · · · .
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Logica y conjuntos Algebra
Algebra de Conjuntos
Las operaciones basicas entre conjuntos son las siguientes:
La union de los conjuntos A y B es el conjunto
A ∪B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.
La interseccion de los conjuntos A y B es el conjunto
A ∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.
La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto
A\B = {x : x ∈ A y x /∈ B}.
Observacion:
x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B
x ∈ A ∩B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B
x ∈ A\B ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B
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Algebra de Conjuntos
Las operaciones basicas entre conjuntos son las siguientes:
La union de los conjuntos A y B es el conjunto
A ∪B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.
La interseccion de los conjuntos A y B es el conjunto
A ∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.
La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto
A\B = {x : x ∈ A y x /∈ B}.
Observacion:
x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B
x ∈ A ∩B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B
x ∈ A\B ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B
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Logica y conjuntos Algebra
Diferencia simetrica
Podemos definir otra operacion tıpica entre conjuntos:
La diferencia simetrica de los conjuntos A y B es el conjunto
A4B = {x : x ∈ A y x /∈ B, o x ∈ B y x /∈ A}
Es inmediato queA4B = (A\B) ∪ (B\A).
Observacion:
x ∈ A4B ⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x /∈ A)
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Logica y conjuntos Algebra
Diferencia simetrica
Podemos definir otra operacion tıpica entre conjuntos:
La diferencia simetrica de los conjuntos A y B es el conjunto
A4B = {x : x ∈ A y x /∈ B, o x ∈ B y x /∈ A}
Es inmediato queA4B = (A\B) ∪ (B\A).
Observacion:
x ∈ A4B ⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x /∈ A)
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Logica y conjuntos Algebra
El complemento
Algunas veces se considera un conjunto “universal”, digamos U , como un conjuntotal que todos los demas conjuntos que nos interesan estan contenidos en este, aunquegeneralmente no se menciona de forma explıcita. En tal caso, si A es un subconjuntode U , definimos el complemento de A como el conjunto
Ac = U\A.
Se cumple entonces que para cualesquiera conjuntos A y B (contenidos en U),
A ∩Bc = A\B.
Observacion:
Si conocemos el “universo” U , sin ser explıtico, entoncespodemos escribir simplemente
a ∈ Ac ⇔ x /∈ A
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El complemento
Algunas veces se considera un conjunto “universal”, digamos U , como un conjuntotal que todos los demas conjuntos que nos interesan estan contenidos en este, aunquegeneralmente no se menciona de forma explıcita. En tal caso, si A es un subconjuntode U , definimos el complemento de A como el conjunto
Ac = U\A.
Se cumple entonces que para cualesquiera conjuntos A y B (contenidos en U),
A ∩Bc = A\B.
Observacion:
Si conocemos el “universo” U , sin ser explıtico, entoncespodemos escribir simplemente
a ∈ Ac ⇔ x /∈ A
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Logica y conjuntos Algebra
Ejemplo
Sea U el conjunto de los numeros dıgitos, i.e. U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, y seanA = {1, 2, 3, 5, 6, 9} y B = {0, 2, 4, 6, 8} subconjuntos de U . Entonces
A ∪B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = U
A ∩B = {2, 6}A\B = {1, 3, 5, 9}B\A = {0, 4, 8}A4B = {0, 1, 3, 4, 5, 8, 9}
Ac = {0, 4, 7, 8}Bc = {1, 3, 5, 7, 9}
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Logica y conjuntos Algebra
Algunas propiedades son casi inmediatas
Teorema : Idempotencia
Para todo conjunto A,A ∪A = A = A ∩A.
Demostracion.
x ∈ A ∪A⇔ x ∈ A ∨ x ∈ A – definicion de ∪
⇔ x ∈ A – idempotencia: p ∨ p⇔ p
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A – idempotencia: p ∧ p⇔ p
⇔ x ∈ A ∩A – definicion de ∩.
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Algunas propiedades son casi inmediatas
Teorema
Para todo conjunto A,A\A = ∅.
Demostracion.
La proposicion x ∈ A\A es falsa. En efecto, por la definicion de \,
x ∈ A\A⇔ (x ∈ A) ∧ (x /∈ A),
y (x /∈ A) ⇔ ¬(x ∈ A). Por lo tanto @x(x ∈ A\A) es verdadera. Pero el unicoconjunto que no tiene elementos es el vacıo, en consecuencia, A\A = ∅.
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Logica y conjuntos Algebra
Algunas propiedades son casi inmediatas
Teorema : Conmutatividad de ∩ y ∪
Sean A y B conjuntos. Entonces
A ∪B = B ∪A y A ∩B = B ∩A.
Demostracion.
x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B – definicion de ∪
⇔ x ∈ B ∨ x ∈ A – conmutatividad: p ∨ q ⇔ q ∨ p
⇔ x ∈ B ∪A – definicion de ∪.
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Logica y conjuntos Algebra
Algunas propiedades son casi inmediatas
Teorema
Sean A y B conjuntos. Entonces
A ∩B ⊂ A ⊂ A ∪B.
Demostracion.
x ∈ A ∩B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B – definicion de ∩
⇒ x ∈ A – simplificacion: p ∧ q ⇒ p
⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B – adicion: p⇒ p ∨ q
⇒ x ∈ A ∪B – definicion de ∪.
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Logica y conjuntos Algebra
Algunas propiedades son casi inmediatas
Teorema : Asociatividad de ∩ y ∪
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C
Demostracion.
x ∈ A ∪ (B ∪ C)⇔ x ∈ A ∨ x ∈ (B ∪ C) – definicion de ∪
⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪
⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C – asoc.: (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
⇔ (x ∈ A ∪B) ∨ x ∈ C – definicion de ∪
⇔ x ∈ (A ∪B) ∪ C – definicion de ∪.
Convenio
Definimos recursivamente
A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An = A1 ∪ (A2 ∪ (· · · (An−1 ∪An) · · · ))A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An = A1 ∩ (A2 ∩ (· · · (An−1 ∩An) · · · ))
Convenio
Otra notacion
n⋃i=1
Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An
n⋂i=1
Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An
Uniones e intersecciones numerables
Si Ai, i ≥ 1, son conjuntos, definimos
∞⋃i=1
Ai = A1 ∪A2 ∪ · · ·
∞⋂i=1
Ai = A1 ∩A2 ∩ · · ·
Uniones e intersecciones numerables
Con mas precision: Si Ai, i ≥ 1, son conjuntos, definimos
∞⋃i=1
Ai = {x : ∃i(x ∈ Ai)}
∞⋂i=1
Ai = {x : ∀i(x ∈ Ai)}
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Logica y conjuntos Algebra
Algunas propiedades son casi inmediatas
Teorema : Asociatividad de ∩ y ∪
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C
Demostracion.
x ∈ A ∪ (B ∪ C)⇔ x ∈ A ∨ x ∈ (B ∪ C) – definicion de ∪
⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪
⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C – asoc.: (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
⇔ (x ∈ A ∪B) ∨ x ∈ C – definicion de ∪
⇔ x ∈ (A ∪B) ∪ C – definicion de ∪.
Convenio
Definimos recursivamente
A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An = A1 ∪ (A2 ∪ (· · · (An−1 ∪An) · · · ))A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An = A1 ∩ (A2 ∩ (· · · (An−1 ∩An) · · · ))
Convenio
Otra notacion
n⋃i=1
Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An
n⋂i=1
Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An
Uniones e intersecciones numerables
Si Ai, i ≥ 1, son conjuntos, definimos
∞⋃i=1
Ai = A1 ∪A2 ∪ · · ·
∞⋂i=1
Ai = A1 ∩A2 ∩ · · ·
Uniones e intersecciones numerables
Con mas precision: Si Ai, i ≥ 1, son conjuntos, definimos
∞⋃i=1
Ai = {x : ∃i(x ∈ Ai)}
∞⋂i=1
Ai = {x : ∀i(x ∈ Ai)}
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Algunas propiedades son casi inmediatas
Teorema : Asociatividad de ∩ y ∪
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C
Demostracion.
x ∈ A ∪ (B ∪ C)⇔ x ∈ A ∨ x ∈ (B ∪ C) – definicion de ∪
⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪
⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C – asoc.: (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
⇔ (x ∈ A ∪B) ∨ x ∈ C – definicion de ∪
⇔ x ∈ (A ∪B) ∪ C – definicion de ∪.
Convenio
Definimos recursivamente
A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An = A1 ∪ (A2 ∪ (· · · (An−1 ∪An) · · · ))A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An = A1 ∩ (A2 ∩ (· · · (An−1 ∩An) · · · ))
Convenio
Otra notacion
n⋃i=1
Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An
n⋂i=1
Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An
Uniones e intersecciones numerables
Si Ai, i ≥ 1, son conjuntos, definimos
∞⋃i=1
Ai = A1 ∪A2 ∪ · · ·
∞⋂i=1
Ai = A1 ∩A2 ∩ · · ·
Uniones e intersecciones numerables
Con mas precision: Si Ai, i ≥ 1, son conjuntos, definimos
∞⋃i=1
Ai = {x : ∃i(x ∈ Ai)}
∞⋂i=1
Ai = {x : ∀i(x ∈ Ai)}
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Algunas propiedades son casi inmediatas
Teorema : Asociatividad de ∩ y ∪
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C
Demostracion.
x ∈ A ∪ (B ∪ C)⇔ x ∈ A ∨ x ∈ (B ∪ C) – definicion de ∪
⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪
⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C – asoc.: (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
⇔ (x ∈ A ∪B) ∨ x ∈ C – definicion de ∪
⇔ x ∈ (A ∪B) ∪ C – definicion de ∪.
Convenio
Definimos recursivamente
A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An = A1 ∪ (A2 ∪ (· · · (An−1 ∪An) · · · ))A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An = A1 ∩ (A2 ∩ (· · · (An−1 ∩An) · · · ))
Convenio
Otra notacion
n⋃i=1
Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An
n⋂i=1
Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An
Uniones e intersecciones numerables
Si Ai, i ≥ 1, son conjuntos, definimos
∞⋃i=1
Ai = A1 ∪A2 ∪ · · ·
∞⋂i=1
Ai = A1 ∩A2 ∩ · · ·
Uniones e intersecciones numerables
Con mas precision: Si Ai, i ≥ 1, son conjuntos, definimos
∞⋃i=1
Ai = {x : ∃i(x ∈ Ai)}
∞⋂i=1
Ai = {x : ∀i(x ∈ Ai)}
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Algunas propiedades son casi inmediatas
Teorema : Asociatividad de ∩ y ∪
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C
Demostracion.
x ∈ A ∪ (B ∪ C)⇔ x ∈ A ∨ x ∈ (B ∪ C) – definicion de ∪
⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪
⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C – asoc.: (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)
⇔ (x ∈ A ∪B) ∨ x ∈ C – definicion de ∪
⇔ x ∈ (A ∪B) ∪ C – definicion de ∪.
Convenio
Definimos recursivamente
A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An = A1 ∪ (A2 ∪ (· · · (An−1 ∪An) · · · ))A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An = A1 ∩ (A2 ∩ (· · · (An−1 ∩An) · · · ))
Convenio
Otra notacion
n⋃i=1
Ai = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An
n⋂i=1
Ai = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An
Uniones e intersecciones numerables
Si Ai, i ≥ 1, son conjuntos, definimos
∞⋃i=1
Ai = A1 ∪A2 ∪ · · ·
∞⋂i=1
Ai = A1 ∩A2 ∩ · · ·
Uniones e intersecciones numerables
Con mas precision: Si Ai, i ≥ 1, son conjuntos, definimos
∞⋃i=1
Ai = {x : ∃i(x ∈ Ai)}
∞⋂i=1
Ai = {x : ∀i(x ∈ Ai)}
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Algunas propiedades son casi inmediatas
Teorema
Para todo conjunto A,
A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅
Demostracion.
Ya sabemos que ∅ ⊂ A ∪ ∅. Ahora,
x ∈ A ∪ ∅ ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ ∅⇒ x ∈ A,
puesto que x ∈ ∅ es imposible (absurdo), ası A ∪ ∅ ⊂ A. Esto prueba que A ∪ ∅ = A.
Por otra parte,∅ ⊂ A ∩ ∅ ⊂ ∅.
De donde A ∩ ∅ = ∅.
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Logica y conjuntos Algebra
Las propiedades que mas se usan
Teorema : Leyes distributivas
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) y A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).
Demostracion.
x ∈ A ∪ (B ∩ C)⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ∩ C – definicion de ∪
⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) – definicion de ∩
⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C) – dist.: p ∨ (q ∧ r)⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
⇔ x ∈ A ∪B ∧ x ∈ A ∪ C – definicion de ∪
⇔ x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C) – definicion de ∩.
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Un par de propiedades muy importantes
Teorema : Leyes de De Morgan
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) y A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\B).
Demostracion.
x ∈ A\(B ∪ C)⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∪ C – definicion de \
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x ∈ A ∧ x /∈ C – conm.: p ∧ q ⇔ q ∧ p
⇔ x ∈ A\B ∧ x ∈ A\C – definicion de \ (y asoc.)
⇔ x ∈ (A\B) ∩ (A\C) – definicion de ∩.
Mas de cerca:
x /∈ B ∪ C ⇔ ¬(x ∈ B ∪ C) – definicion de ¬
⇔ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪
⇔ ¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C) – De Morgan: ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C – definicion de ¬.
Otra forma tıpica de las Leyes de De Morgan:
Si A y B son subconjuntos de un universo U , entonces
(A ∪B)c = Ac ∩Bc
(A ∩B)c = Ac ∪Bc
Araceli Guzman y Guillermo Garro Facultad de Ciencias UNAM
Logica y conjuntos Algebra
Un par de propiedades muy importantes
Teorema : Leyes de De Morgan
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) y A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\B).
Demostracion.
x ∈ A\(B ∪ C)⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∪ C – definicion de \
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x ∈ A ∧ x /∈ C – conm.: p ∧ q ⇔ q ∧ p
⇔ x ∈ A\B ∧ x ∈ A\C – definicion de \ (y asoc.)
⇔ x ∈ (A\B) ∩ (A\C) – definicion de ∩.
Mas de cerca:
x /∈ B ∪ C ⇔ ¬(x ∈ B ∪ C) – definicion de ¬
⇔ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪
⇔ ¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C) – De Morgan: ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C – definicion de ¬.
Otra forma tıpica de las Leyes de De Morgan:
Si A y B son subconjuntos de un universo U , entonces
(A ∪B)c = Ac ∩Bc
(A ∩B)c = Ac ∪Bc
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Logica y conjuntos Algebra
Un par de propiedades muy importantes
Teorema : Leyes de De Morgan
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) y A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\B).
Demostracion.
x ∈ A\(B ∪ C)⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∪ C – definicion de \
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x ∈ A ∧ x /∈ C – conm.: p ∧ q ⇔ q ∧ p
⇔ x ∈ A\B ∧ x ∈ A\C – definicion de \ (y asoc.)
⇔ x ∈ (A\B) ∩ (A\C) – definicion de ∩.
Mas de cerca:
x /∈ B ∪ C ⇔ ¬(x ∈ B ∪ C) – definicion de ¬
⇔ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪
⇔ ¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C) – De Morgan: ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C – definicion de ¬.
Otra forma tıpica de las Leyes de De Morgan:
Si A y B son subconjuntos de un universo U , entonces
(A ∪B)c = Ac ∩Bc
(A ∩B)c = Ac ∪Bc
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Un par de propiedades muy importantes
Teorema : Leyes de De Morgan
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) y A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\B).
Demostracion.
x ∈ A\(B ∪ C)⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∪ C – definicion de \
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x ∈ A ∧ x /∈ C – conm.: p ∧ q ⇔ q ∧ p
⇔ x ∈ A\B ∧ x ∈ A\C – definicion de \ (y asoc.)
⇔ x ∈ (A\B) ∩ (A\C) – definicion de ∩.
Mas de cerca:
x /∈ B ∪ C ⇔ ¬(x ∈ B ∪ C) – definicion de ¬
⇔ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪
⇔ ¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C) – De Morgan: ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C – definicion de ¬.
Otra forma tıpica de las Leyes de De Morgan:
Si A y B son subconjuntos de un universo U , entonces
(A ∪B)c = Ac ∩Bc
(A ∩B)c = Ac ∪Bc
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Un par de propiedades muy importantes
Teorema : Leyes de De Morgan
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) y A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\B).
Demostracion.
x ∈ A\(B ∪ C)⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∪ C – definicion de \
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x ∈ A ∧ x /∈ C – conm.: p ∧ q ⇔ q ∧ p
⇔ x ∈ A\B ∧ x ∈ A\C – definicion de \ (y asoc.)
⇔ x ∈ (A\B) ∩ (A\C) – definicion de ∩.
Mas de cerca:
x /∈ B ∪ C ⇔ ¬(x ∈ B ∪ C) – definicion de ¬
⇔ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪
⇔ ¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C) – De Morgan: ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C – definicion de ¬.
Otra forma tıpica de las Leyes de De Morgan:
Si A y B son subconjuntos de un universo U , entonces
(A ∪B)c = Ac ∩Bc
(A ∩B)c = Ac ∪Bc
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Un par de propiedades muy importantes
Teorema : Leyes de De Morgan
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) y A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\B).
Demostracion.
x ∈ A\(B ∪ C)⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∪ C – definicion de \
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x ∈ A ∧ x /∈ C – conm.: p ∧ q ⇔ q ∧ p
⇔ x ∈ A\B ∧ x ∈ A\C – definicion de \ (y asoc.)
⇔ x ∈ (A\B) ∩ (A\C) – definicion de ∩.
Mas de cerca:
x /∈ B ∪ C ⇔ ¬(x ∈ B ∪ C) – definicion de ¬
⇔ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪
⇔ ¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C) – De Morgan: ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C – definicion de ¬.
Otra forma tıpica de las Leyes de De Morgan:
Si A y B son subconjuntos de un universo U , entonces
(A ∪B)c = Ac ∩Bc
(A ∩B)c = Ac ∪Bc
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Un par de propiedades muy importantes
Teorema : Leyes de De Morgan
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) y A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\B).
Demostracion.
x ∈ A\(B ∪ C)⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∪ C – definicion de \
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x ∈ A ∧ x /∈ C – conm.: p ∧ q ⇔ q ∧ p
⇔ x ∈ A\B ∧ x ∈ A\C – definicion de \ (y asoc.)
⇔ x ∈ (A\B) ∩ (A\C) – definicion de ∩.
Mas de cerca:
x /∈ B ∪ C ⇔ ¬(x ∈ B ∪ C) – definicion de ¬
⇔ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪
⇔ ¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C) – De Morgan: ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C – definicion de ¬.
Otra forma tıpica de las Leyes de De Morgan:
Si A y B son subconjuntos de un universo U , entonces
(A ∪B)c = Ac ∩Bc
(A ∩B)c = Ac ∪Bc
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Logica y conjuntos Algebra
Un par de propiedades muy importantes
Teorema : Leyes de De Morgan
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) y A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\B).
Demostracion.
x ∈ A\(B ∪ C)⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∪ C – definicion de \
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – x /∈ B ∪ C ⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ∧ x ∈ A ∧ x /∈ C – conm.: p ∧ q ⇔ q ∧ p
⇔ x ∈ A\B ∧ x ∈ A\C – definicion de \ (y asoc.)
⇔ x ∈ (A\B) ∩ (A\C) – definicion de ∩.
Mas de cerca:
x /∈ B ∪ C ⇔ ¬(x ∈ B ∪ C) – definicion de ¬
⇔ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C) – definicion de ∪
⇔ ¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C) – De Morgan: ¬(p ∨ q)⇔ ¬p ∧ ¬q
⇔ x /∈ B ∧ x /∈ C – definicion de ¬.
Otra forma tıpica de las Leyes de De Morgan:
Si A y B son subconjuntos de un universo U , entonces
(A ∪B)c = Ac ∩Bc
(A ∩B)c = Ac ∪Bc
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Logica y conjuntos Algebra
Algunas propiedades casi inmediatas
Corolario
Sean A y B conjuntos. Entonces
A\B = A\(A ∩B).
Demostracion.
A\(A ∩B) = (A\A) ∪ (A\B) – De Morgan
= ∅ ∪ (A\B) – A\A = ∅
= A\B – ∅ es neutro para ∪.
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Logica y conjuntos Algebra
Algunas propiedades casi inmediatas
Teorema
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
(A ∪B)\C = (A\C) ∪ (B\C).
Demostracion.
x ∈ (A ∪B)\C ⇔ x ∈ A ∪B ∧ x /∈ C – definicion de \
⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x /∈ C – definicion de ∪
⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ x /∈ C) – dist.: (p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
⇔ x ∈ A\C ∨ x ∈ B\C – definicion de \
⇔ x ∈ (A\C) ∪ (B\C) – definicion de ∪.
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Logica y conjuntos Algebra
Algunas propiedades casi inmediatas
Teorema : La diferencia se distribuye sobre la union por la derecha
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
(A ∪B)\C = (A\C) ∪ (B\C).
Otra demostracion.
(A ∪B)\C = (A ∪B) ∩ Cc– ∀A(A\B = A ∩ B
c)
= (A ∩ Cc) ∪ (B ∩ Cc) – dist.
= (A\C) ∪ (B\C) – ∀A(A\B = A ∩ Bc).
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Logica y conjuntos Algebra
Algunas propiedades casi inmediatas
Corolario
Sean A y B conjuntos. Entonces
A\B = (A ∪B)\B.
Demostracion.
(A ∪B)\B = (A\B) ∪ (B\B) – \ se distribuye sobre ∪ por la derecha
= (A\B) ∪ ∅ – B\B = ∅
= A\B – ∅ es neutro para ∪.
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Logica y conjuntos Algebra
Algunas propiedades casi inmediatas
Corolario
Sean A y B conjuntos. Entonces
A4B = (A ∪B)\(A ∩B).
Demostracion.
A4B = (A\B) ∪ (B\A) – definicion de 4
=[A\(A ∩B)
]∪[B\(A ∩B)
]– A\B = A\(A ∩ B) y B\A = B\(A ∩ B)
= (A ∪B)\(A ∩B) – \ se distribuye sobre ∪ por la derecha.
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Logica y conjuntos Algebra
Algunas propiedades casi inmediatas
Teorema
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
(A ∩B)\C = A ∩ (B\C) = (A\C) ∩ (B\C).
Demostracion.
Para la primera igualdad:
x ∈ (A ∩B)\C ⇔ x ∈ A ∩B ∧ x /∈ C – definicion de \
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C – definicion de ∩
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B\C – definicion de \ (y asoc.)
⇔ x ∈ A ∩ (B\C) – definicion de ∩.
Araceli Guzman y Guillermo Garro Facultad de Ciencias UNAM
Logica y conjuntos Algebra
Algunas propiedades casi inmediatas
Teorema
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
(A ∩B)\C = A ∩ (B\C) = (A\C) ∩ (B\C).
Demostracion.
Para la segunda igualdad:
x ∈ (A ∩B)\C ⇔ x ∈ A ∩B ∧ x /∈ C – definicion de \
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C – definicion de ∩
⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C ∧ x /∈ C – p ∧ q ⇔ p ∧ p ∧ q
⇔ x ∈ A ∧ x /∈ C ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C – conm.: p ∧ q ⇔ q ∧ p
⇔ x ∈ A\C ∧ x ∈ B\C – definicion de \ (y asoc.)
⇔ x ∈ (A\C) ∩ (B\C) – definicion de ∩.
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Logica y conjuntos Algebra
Un ultimo hecho importante
Teorema
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A ∩ (B4C) = (A ∩B)4(A ∩ C).
Demostracion con dibujitos.
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Logica y conjuntos Algebra
Un ultimo hecho importante
Teorema
Sean A, B y C conjuntos. Entonces
A ∩ (B4C) = (A ∩B)4(A ∩ C).
Demostracion.
A ∩ (B4C) = A ∩[(B\C) ∪ (C\B)
]– definicion de 4
=[A ∩ (B\C)
]∪[A ∩ (C\B)
]– ∩ se distribuye sobre ∪
=[(A ∩B)\C
]∪[(A ∩ C)\B
]– Teorema anterior
=[(A ∩B)\(A ∩B ∩ C)
]∪[(A ∩ C)\(A ∩B ∩ C)
]– ∀A,B(A\B = A\(A ∩ B))
=[(A ∩B) ∪ (A ∩ C)
]\(A ∩B ∩ C) – \ se distribuye sobre ∪ por la der.
=[(A ∩B) ∪ (A ∩ C)
]\[(A ∩ C) ∩ (B ∩ C)
]– (A ∩ C) ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C
= (A ∩B)4(A ∩ C) – definicion de 4.
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Logica y conjuntos Algebra
Algunas frases bonitas de Paul Halmos
Los matematicos estan de acuerdo en que cada uno de ellos debe saber algode teorıa de conjuntos; el desacuerdo comienza al tratar que tanto es algo.
Es un hecho en matematicas que un teorema es menos profundo cuando masgeneralmente se aplica.
La tarea del estudiante al aprender teorıa de conjuntos es la de empaparse engeneralidades poco familiares, pero esencialmente superficiales, hasta que seacostumbre tanto a ellas que pueda usarlas casi sin esfuerzo consciente.
En otras palabras, la teorıa general de los conjuntos en realidad es una materialbastante trivial, pero, si usted quiere ser un matematico, necesita algo de estateorıa, y aquı esta; leala, absorbala y olvıdela.
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Logica y conjuntos Algebra
Algunas frases bonitas de Paul Halmos
Los matematicos estan de acuerdo en que cada uno de ellos debe saber algode teorıa de conjuntos; el desacuerdo comienza al tratar que tanto es algo.
Es un hecho en matematicas que un teorema es menos profundo cuando masgeneralmente se aplica.
La tarea del estudiante al aprender teorıa de conjuntos es la de empaparse engeneralidades poco familiares, pero esencialmente superficiales, hasta que seacostumbre tanto a ellas que pueda usarlas casi sin esfuerzo consciente.
En otras palabras, la teorıa general de los conjuntos en realidad es una materialbastante trivial, pero, si usted quiere ser un matematico, necesita algo de estateorıa, y aquı esta; leala, absorbala y olvıdela.
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Logica y conjuntos Algebra
Algunas frases bonitas de Paul Halmos
Los matematicos estan de acuerdo en que cada uno de ellos debe saber algode teorıa de conjuntos; el desacuerdo comienza al tratar que tanto es algo.
Es un hecho en matematicas que un teorema es menos profundo cuando masgeneralmente se aplica.
La tarea del estudiante al aprender teorıa de conjuntos es la de empaparse engeneralidades poco familiares, pero esencialmente superficiales, hasta que seacostumbre tanto a ellas que pueda usarlas casi sin esfuerzo consciente.
En otras palabras, la teorıa general de los conjuntos en realidad es una materialbastante trivial, pero, si usted quiere ser un matematico, necesita algo de estateorıa, y aquı esta; leala, absorbala y olvıdela.
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Logica y conjuntos Algebra
Algunas frases bonitas de Paul Halmos
Los matematicos estan de acuerdo en que cada uno de ellos debe saber algode teorıa de conjuntos; el desacuerdo comienza al tratar que tanto es algo.
Es un hecho en matematicas que un teorema es menos profundo cuando masgeneralmente se aplica.
La tarea del estudiante al aprender teorıa de conjuntos es la de empaparse engeneralidades poco familiares, pero esencialmente superficiales, hasta que seacostumbre tanto a ellas que pueda usarlas casi sin esfuerzo consciente.
En otras palabras, la teorıa general de los conjuntos en realidad es una materialbastante trivial, pero, si usted quiere ser un matematico, necesita algo de estateorıa, y aquı esta; leala, absorbala y olvıdela.
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Algunas frases bonitas de Paul Halmos
Los matematicos estan de acuerdo en que cada uno de ellos debe saber algode teorıa de conjuntos; el desacuerdo comienza al tratar que tanto es algo.
Es un hecho en matematicas que un teorema es menos profundo cuando masgeneralmente se aplica.
La tarea del estudiante al aprender teorıa de conjuntos es la de empaparse engeneralidades poco familiares, pero esencialmente superficiales, hasta que seacostumbre tanto a ellas que pueda usarlas casi sin esfuerzo consciente.
En otras palabras, la teorıa general de los conjuntos en realidad es una materialbastante trivial, pero, si usted quiere ser un matematico, necesita algo de estateorıa, y aquı esta; leala, absorbala y olvıdela.
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