Recordemos el camino trazado…Recordemos el camino trazado…
Funciones de una variable
Limites y continuidad
La derivada
Pero, antes de iniciar HAGAMONOS una simple pregunta…
Pero, antes de iniciar HAGAMONOS una simple pregunta…
Ya analizamosfunciones…También limites de funciones…
Y el tema que iniciamos hoy es….
“La pregunta del millón…”“La pregunta del millón…”Si tenemos una función definida por
2xy
La mayoría contestaría: “su derivada es: ”
MUY BIEN!! ….. Pero……..
“memorizar términos matemáticos y no tener la mínimaidea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”
“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
xy 2
Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente
en términos geométricos
Recta secanteRecta tangente
“es una recta queintersecta un círculoen dos puntos”
“es una recta quetiene un punto en común con un circulo”
Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.La recta secante
y la recta tangenteen una función
Función original
Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.La recta secante
y la recta tangenteen una función
Función original
Recta secante
Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.La recta secante
y la recta tangenteen una función
Función original
Recta tangente
Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta esun valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 1x x
2 1y y
2 1
2 1
y ym
x x
Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!
Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.
Función original
Recta secante
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una rectasecante en la curva de una función es:
2 1
2 1
y ym
x x
1 1( , )x y
2 2( , )x y
Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.
Recta tangente
Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una rectatangente si solo se conoce un punto?
1 1( , )x y
2 1
2 1
?y y
mx x
Algo de historia.Algo de historia.Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años,
y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del CálculoModerno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a unacurva a través de lo que el llamo símbolos.
La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Supongamos que deseamosconocer la pendiente de larecta tangente en X=1
Observe que si hacemosdiversas aproximaciones de rectassecantes, podemos hacer unamuy buena estimación de la Pendiente de la recta tangente
tanm
La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y2 2( , )x y
tanm
La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
Observa que el punto
Cada vez se acercamás al punto
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Ahora, como expresar elcomportamiento anterioren términos matemáticos?
La derivada.La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
Aprox.tanm secm Procedemosa sustituir:
12
12sec xx
yym
2 1
2 1
y y
x x
tanm
12
12sec xx
yym
La derivada.La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1
2 1
y y
x x
Considerando:
( )y f xtanm 2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x
)( 1xf
)( 2xf
tanm
Procedemosa sustituir:
La derivada.La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x
2 1x x x Ahora
Consideremos:
2 1( ) ( )f x f x
x
2 1x x x
tanm
La derivada.La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1( ) ( )f x f x
x
Ahora recordemos el comportamientode las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuirx
2 1x x x
tanm
La derivada.La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1( ) ( )f x f x
x
Ahora recordemos el comportamientode las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuirx
2 1x x x
tanm
La derivada.La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
2 1x x x
2 1( ) ( )f x f x
x
Podemos expresar lo anterior así:lim 2 1( ) ( )f x f x
x
0x 0x
Analizando dicho comportamiento,procedemos a aplicar un límite así:
Se puede observarque el punto cada vez se aproximamás al puntopero no llegará a tocarlo
2 2( , )x y
1 1( , )x y
tanm
La derivada.La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm Finalmente considerando lo siguiente:lim 2 1( ) ( )f x f x
x
0x 2 1x x x
La expresión nos queda así:
1 1( ) ( )f x x f x
x
2 1x x x
tanm
1 1( ) ( )f x x f x
x
La derivada.La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm Finalmente considerando lo siguiente:lim
0x 2 1x x x
La expresión nos queda así:
2 1x x x
tanm
La derivada.La derivada.
tanm lim
0x
1 1( ) ( )f x x f x
x
Este límite (el cual genera otra función), representa la pendiente de las diversas rectas tangentes a lagráfica de una función…..Y se le conoce comúnmente como:
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
dx
dy Por su origen basado enincrementos
=
La derivada.La derivada.
lim
0x
1 1( ) ( )f x x f x
x
dx
dy=
Y precisamente por esta fórmula es que lo siguiente, ahora si, tiene sentido:
Si tenemos una función definida por 2xy
Entonces su derivada es: xdx
dy2
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original
Aplicación del límite obtenido….Aplicación del límite obtenido….Procederemos a la aplicacióndel límite deducido paraobtener la derivada de la función:
2)( xxfy
xxfxxf
dxdy
x
)()(lim
0
Recordemos que laderivada esta definidapor el límite:
Al evaluar el término
)( xxf se puede observar que:
2)()( xxxxfy
Al sustituirlo obtenemos:
xxxx
dxdy
x
22
0
)(lim
)( xxf )(xf
Al desarrollar el binomioal cuadrado obtenemos:
xxxxxx
dxdy
x
222
0
))()(2(lim Reduciendo
términos:
xxxx
dxdy
x
2
0
)()(2lim
Aplicando los teoremassobre límites tenemos losiguiente:
Aplicación del límite obtenido….Aplicación del límite obtenido….
x
xxxdxdy
x
2
0
)()(2lim xx
xx
00lim2lim
Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:
Si tenemos una función definida por 2xy
Entonces su derivada es: xdx
dy2
0
Representación gráfica de:
2xy La función querepresenta suderivada es:
xdxdy
2
1xAl sustituiren la derivadael valor de X:
2)1(2tan dxdy
mObserve que:
2tan m ?tan m
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