Vectores – resta de vectores
Vector V y vector –V
La misma magnitud, la dirección –opuesta.
A – B = A + (-B)
Multiplicar un vector por un escalar.
Ejemplo: Vector V * 2La misma dirección y magnitud doble. Si escalar es positivo – la dirección no se cambia.Si escalar es negativo – la dirección es el oposito. V * (-2)
Producto de un vector v por un número real k.• Es otro vector que expresamos por k y que tiene:• Dirección: la misma que v• Sentido: el mismo que v si k es positivo y sentido contrario si k es
negativo.• Módulo: el producto del módulo de v por el valor absoluto de k.
vkkv .=
Módulo de un vector
v4
5
Por el teorema de Pitágoras:
222 45 +=v
El módulo de v es la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de las coordenadas.
22 45 ++=v
22 yxv ++=
Sistema de referencia en el plano.
Es el conjunto formado por:- Un punto fijo O, llamado origen. - Una base cualquiera.
Tomando la base canónica como base, cada punto P del plano se leasocia un vector que se llama
vector de posición.Si tenemos base ortogonal:• Los vectores x y y se pueden expresar como combinación lineal de
ellos mismos.x=1.x+0.yy=0.x+1.y
• Es decir,Las coordenadas de x son (1, 0)Las coordenadas de y son (0, 1)
Operaciones con vectores expresados en coordenadas de una base canónica.
• Suma - coordenadas• En general, si
),( 11 yxu =),( 22 yxv =
),( 2121 yyxxvu ++=+
Método analítico para la suma de vectores.
• Veamos un vector Aque esta en un plano.
• Se puede expresar como suma le los otros dos vectores –se llaman las componentes del vector.
• Se llama resolver el vector en sus propias componentes.
• Se escriben Ax y Ay.• Las componentes
con escalares.• A = Ax + Ay.
C
B
A
Sumar vectores con el método de las componentes.
• Necesitamos las funciones trigonometriítas
• seno (θ) = o/h• Coseno (θ) = a/h• Tangente (θ) = o/a• Como se definan:• Tenemos un triangulo. Identidad trigonometría:Sen2 (θ) + cos2 (θ) = 1
Cateto adyacente - a
Hipotenusa - h
Cat
eto
opue
sto
-o
θ
Sumar vectores con el metodo de las componentes.
Los componentes se definancomo:
Ax - Cateto adyacente
A (Hipotenusa )
Ay-
Cat
eto
opue
sto
θ
Dos formas de especificar un vector
• 1. Podemos dar sus componentes Vx y Vy.
• 2. Podemos dar su magnitud y el ángulo que forma con el parte positiva del eje x.
• Es posible pasar de una descripción a otra mediante:
Vy=Vsen(θ)Vx=Vcos(θ) o V=Sqrt(V2x+V2y)Tan (θ) = Vy/Vx
Suma de dos vectores en forma analitica:
• 1. Resolver cada vector de sus componentes:• Vx=V1x+V2x• Vy=V1y+V2y• V=V1+V2 • Si tememos obtener la magnitud y dirección del
vector resultante se usan:V=Sqrt(V2x+V2y) – magnitud (modulo)Tan (θ) = Vy/Vx – dirección.
Ejemplo 1.
• 3-1. Una persona camina 22.0 km en dirección norte, y a continuación camina con una dirección de 60o al sureste durante 47.0 km. A que distancia habrállegado desde donde empezó?
Ejemplo 2.
• 3-2. Un viaje en aeroplano implica tres etapas y dos escalas como se muestra en la figura. La primera etapa es en dirección este durante 620 km; la segunda etapa es en dirección sureste (45o) durante 440 km; y tercera es en dirección 53o al suroeste durante 550 km. Cual es el desplazamiento total del aeroplano?
Problemas.
• Dados los vectores a(5,-3) y b (-2,6)• 1. Sumamos analíticamente.• 2.Sumamos geométricamente• 3. calcula analíticamente 4a-7b
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